习题课第六章

数理统计
第二节
样本及抽样分布
统计量与经验分布函数 统计三大抽样分布 几个重要的抽样分布定理 课堂练习 小结 布置作业
数理统计
一、统计量与经验分布函数
1. 统计量 由样本值去推断总体情况， 由样本值去推断总体情况 ， 需要对样本值进 加工” 这就要构造一些样本的函数， 行“ 加工 ”， 这就要构造一些样本的函数 ， 它把 样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 样本中所含的（某一方面）的信息集中起来 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量. 它是完全由样本决定的量. 计量 它是完全由样本决定的量
数理统计
点α 1 2 F 1 2 布 上分 点 图 示 的 F (n ,n )为 (n ,n )分 的 α 位 .如 所 .
α
F 布 上分 点 性 ： 分 的 α 位 的 质
1 F−α(n ,n ) = 1 1 2 F (n ,n ) α 2 1
F (n1,n2) α F 布 上 分 点 查 求 .例 分 的 α 位 可 表 得 , 1 1 F.95(12,9) = = = 0.357 0 F.05(9,12) 2.80 0
χ分 的 质 布 性
2
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, 相互独立 都服从正态分布 1. 设 X1, X2,L Xn 相互独立,
N(µ,σ ), 则 χ2 =
2
1
σ i=1 2 2 2．设 X1 ~ χ (n ), X2 ~ χ (n ), X1,X2相互独立， 相互独立， ． 1 2 且
这个性质叫 χ分布的可加性.
2
2 2
2 2 1 2 2
所服从的分布为自由度为 所服从的分布为自由度为 n 的 记为
χ 分布 分布.
2
2 n
χ ~ χ (n)
2 2
请看演示
χ2 分布
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χ 分布的密度函数为
2
其中伽玛函数 Γ )通过积分 (x
∞ −t x− 1 0
n x − − 1 1 n2 x2 e 2 f (x;n) = 2 Γ(n 2) 0
x ≥0 x <0
来定义. 来定义
Γ x) = ∫ e t dt, x >0 (
2
1 注 已 χ (1)就 Γ ,2分 .由 义 i2 ~ χ2(1), 知 是 布 定 X 2 n 1 n 2 2 2 X 即 i ~ Γ ,2.再 Γ可 性 χ = ∑Xi ~ ,2. 由 加 知 Γ i=1 2 2
E(X)=n, D(X)=2n.
实 ， X E ( 事 上 由 i ~ N(0,1),故 (Xi ) = D Xi ) =1
2
D Xi2) = E(Xi4) −[E(Xi2)]2 = 3−1= 2 (
E(χ ) = ∑E(Xi ) = n, D χ ) = ∑D Xi ) = 2n. ( (
2 2 2 2 i=1 i=1 n n
(Xi −µ)2 ~ χ2(n) 2∑
n
则 1 + X2 ~ χ2(n + n ). X 1 2
当 充 大 , X −n的 布 3．若 χ ~ χ (n),则 n 分 时 ． 分
2n
近似正态分布N(0,1). 近似正态分布 (应用中心极限定理可得 ) 应用中心极限定理可得
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. χ ４ 若 2 ~ χ2(n),χ2分 的 学 望 方 , 布 数 期 与 差
概率密度函数为： 概率密度函数为：
[( ) ] t2 − Γ n+1 2 h t) = ( (1+ ) ( n Γ n 2) n π
n+ 1 2
−∞< t < ∞
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t分 的 质 布 性 ：
1. 具 自 度 n t分 t ~ t(n),其 学 望 有 由 为的 布 数 期 方 为 E ( 与 差 ： (t) = 0, D t) = n (n−2) (n> 2)
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5. χ 分 的 位 布 分 点 对 给 的 数 ， α<1, 于 定 正 α 0< 称 足 件 满 条
2
P{χ > χ (n)} = ∫
2 2 α
∞ 2 χα(n)
f ( y)dy = α
点2 的 χα(n)为 2(n)分 的 α 位 ， χ 布 上分 点 图 示 2 如n
k =1 2,Ln 再 辛 大 定 可 上 结 . , , 由 钦 数 律 得 述 论
由 概 收 性 知 可 上 性 推 为 再 依 率 敛 质 ， 将 述 质 广
p g(A , A ,L A ) →g(µ1,µ2,Lµk ) , k , 1 2
中 连 函 . 其 g为 续 数
2
1 n 2 E(Xi ) − nE(X2) = i∑ n−1 =1 1 n 2 2 2 2 2 = ∑(σ +µ ) −n(σ n+µ ) = σ n−1i=1
当总体为正态分布时 当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分 正态分布 布定理. 布定理
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样本均值的分布) 定理 1 (样本均值的分布 样本均值的分布 设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 的样本， 是样本均值，则有 是样本均值， 的样本， X
2 t分 的 度 数 于 = 0对 . n充 大 , . 布 密 函 关 t 称当 分 时 图 近 于 准 态 布 率 度 图 ， 其 形 似 标 正 分 概 密 的 形 1 −t2 2 ( e . 再 Γ函 的 质 由 数 性 有 limh t) = n→ ∞ 2π
当 够 时 t 即 n足 大 ， ~ N(0,1).
1.F分布的数学期望为 分布的数学期望为: 分布的数学期望为
n 2 E F) = ( 若n2>2 n −2 2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n 即它的数学期望并不依赖于第一自由度 1.
2.F分布的分位数 分布的分位数
于 定 α 0< , 满 条 对 给 的 ， α< 1 称 足 件
∞ {F > F (n ,n2)} = ∫Fα(n1,n2)ϕ( y)dy = α p α 1
似 近
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3. t分 的 位 布 分 点 对 给 的 ， α<1 称 足 件 于 定 α 0< , 满 条
{ p t > tα(n)} = ∫
∞ tα(n)
h t)dt = α (
点 t 的 tα(n)为(n)分 的 α 位 .如 所 . 布 上分 点 图 示
α
tα(n)
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t分 的 α 位 的 质 布 上分 点 性 ： t1−α(n) = −tα(n)
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几个常见统计量 样本平均值 样本方差
它反映了总体 方差的信息 它反映了 1 总体均值 X = ∑Xi 的信息 n i=1 n 1 2 2 S = ∑(Xi − X) n−1 i=1
n
1 n 2 2 = ∑Xi − nX n−1i=1
样本标准差
1 n 2 S= ∑(Xi − X) n−1i=1
, k =1 2,L
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请注意 :
总 X k 矩 若 体 的 阶 E(Xk ) = µk存 ， 当 →∞ ， 在 则 n 时 1n k p A = ∑Xi → k k =1 2,L , . µ k ni=1 X , 事 上 由 1, X2,L Xn独 且 X同 布 实 立 与 分 ，
有 , X ,L X 独 且 Xk同 布 E(Xik ) = µk X , 立 与 分 ,
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定义设 1, X2,L Xn是 自 体 的 个 本 X , 来 总 X 一 样 ，
g(X , X2,L Xn)是 1, X2,L Xn的 数 若 X , , 函 ， g 1 不 未 参 ， g 1 , 中 含 知 数 则 (X , X2,L Xn)称 一 是 统 量 个 计 .
请注意 :
X X 来 总 X 一 样 , 设 1, X2,L n是 自 体 的 个 本 x1, x2, L n是 个 本 观 值则 (x1, x2,L n)也 统 x 一 样 的 察 , g x 是 计 g(X , X2,L n)的 察 . 量 1 X 观 值
就 矩 计 的 论 据 这 是 估 法 理 根 .
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2. 经验分布函数
X , 设 1, X2,L Xn是 体 的 个 本 用 (x) x < ∞ 总 F 一 样 ， s 示 , 表 x1, x2,L xn中 大 x的 机 量 个 . 不 于 随 变 的 数
义 经 分 函 为 定 验 布 数 1 F (x) = s(x) −∞< x < ∞ n n 例设 体 具 一 样 值， ， 经 分 函 总 F 有 个 本 11 2 则 验 布 数 ，
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样本k阶原点矩 样本 阶原点矩
1 k A = ∑Xi k=1,2,… k n i=1
样本k阶中心矩 样本 阶中心矩
n
它反映了总体k 它反映了总体 阶矩的信息
1 k B = ∑ Xi − X) ( k n i=1
n
它反映了总体k 阶 它反映了总体 中心矩的信息
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统计量的观察值
1n 1 n 2 x = ∑xi ; s = (xi − x)2 ∑ ni=1 n−1i=1 1 n 1n k 2 s= ∑(xi − x) ; αk = ∑xi n−1i=1 ni=1 1 n k b = k =1 2,L , ∑(xi − x) k n−1i=1
Un 1 F= Vn 2
服从自由度为 自由度为n 分布， 称为第自 服从自由度为 1及 n2 的F分布，n1称为第自 分布 由度， 称为第二自由度 第二自由度， 由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见， 由定义可见，