极值点偏移 Word 文档

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极值点偏移问题

若 f (x) 下凸（ f (x) 递增），则 f ( x1 x2 ) 0 2
五、解决极值点偏移问题的通法:主元法
第一步：根据 f x1 f x2 x1 x2 建立等量关系，并结合 f x 的单调性，确定
x1, x2 的取值范围；第二步：不妨设 x1 x2 ，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等

2(t 1) t 1
，∴ g '(t)

(t 1)2 t(t 1)2

0 ，∴ g(t) 在 (1, ) 上单调递增，
∴
g(t)

g(1)

0
，∴ ln t

2(t 1) t 1
，∴ ln
x1

ln
x2

2．
1、设 k R ，函数 f (x) ln x kx ．（3）若 f (x) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： ln x1 ln x2 2 ．
价转化；
第三步：构造关于 x1（或 x2 ）的一元函数T x f xi f 2a xi i 1, 2 ，这里 a
是 f (x) 的极值点，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．
x 1
x 1
解决极值点偏移问题策略三：比值换元法
1、设 k R ，函数 f (x) ln x kx ．
（3）若 f (x) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： ln x1 ln x2 2 ．（3）设 f (x) 的两个相异零点为 x1 ， x2 ，设 x1 x2 0 ，

极值点偏移

极值点偏移题型大全一、偏移题型练习 1.已知函数)()(R x xe x f x ∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x .2.函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点.证明：221<+x x .4.已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。

所以241>-x ，而)4ln(42ln 2)4()(111111x x x x x f x f -+--+=--，令)4ln(ln 422)(x x xxx h -++--=，则 0)4()2(8)4()4()4(2)4(2411)4(22)('22222222222<---=--+-+---=-++---=x x x x x x x x x x x x x x x x h所以函数)(x h 在)2,0(为减函数，所以0)2()(=>h x h ，所以0)4()(11>--x f x f 即)4()(11x f x f ->，所以)4()(22x f x f ->，所以421>+x x .1.（四星）已知函数21()2ln(1)(1)2f x x mx m x =++-+有且只有一个极值，（1）求实数m 的取值范围；（2）若1212()()()f x f x x x =≠，求证：122x x +>.（21）（2016全国1卷理）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．解：⑴由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减即：故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <，根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点．而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t ，21t =+，12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+--> 因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点．此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意． ③ 若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增；当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意． ④ 若2e a =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意． ⑤ 若2e a <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >， ()f x 单调递增即：故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．⑵由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211xx x e x e a x x ---==--设()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = 那么()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔->整理得：122x x +<．二、偏移的应用21.已知函数2()ln 12a f x x x x =-+.（1）若()y f x =在(0,)+∞恒单调递减，求a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点1212,()x x x x <，求a 的取值范围并证明122x x +>.解：(1)因为'()ln 1(0)f x x ax x =-+> 所以由'()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立得max ln 1() (0,)x a x x+≥∈+∞ 令ln 1() (0,)x g x x x+=∈+∞ 易知()g x 在(0,1)单调递增(1,)+∞单调递减所以(1)1a g ≥=即得：1a ≥ (2)函数()y f x =有两个极值点1212, ()x x x x <即'()y f x =有两个不同的零点且均为正，'()ln 1(0)f x x ax x =-+> 令()'()ln 1F x f x x ax ==-+ 由11'() (0)ax F x a x x x-=-=>可知 ①0a ≤时函数()y f x =在(0,)+∞上是增函数不可能有两个零点.②0a >时 ()y F x =在1(0,)a是增函数在1(,)a+∞是减函数此时1()f a为函数的极大值也是最大值.当1()0F a≤时最多有一个零点所以11()ln 0F aa=>才可能有两个零点得：01a <<此时又因为2211e e a a<<1()0aF e e=-<222()32ln (0<1)e e F a a a a=--<令2222222()32ln ,'()0e e e aa a a a a a a ϕϕ-=--=-+=> ()a ϕ在(0,1)上单调递增所以2()(1)3a e ϕϕ<=- 即22()0e aϕ<综上所以a 的取值范围是(0,1) 下面证明12>2x x +由于()y F x =在1(0,)a是增函数在1(,)a+∞是减函数 110x a<< 可构造出121x a a->构造函数2221()()()ln()()(ln ) (0<)m x F x F x x a x x ax x a a a a=--=-----≤则212()11'()2022()a x a m x a x x x x a a-=-+=<-- 故()m x 在区间1(0,]a 上单调减. 又由于110x a<<则11()()0m x m a>=即有1()0m x >在1(0,)a上恒成立，即有1122()()()F x F x F x a->=成立.由于21x a > 121x aa ->()y F x =在1(,)a+∞是减函数所以212x x a>-所以1222x x a+>>成立.21．（四星）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当ax 10<<时，)1()1(x af x af ->+；（III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a xx+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. （ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x aa ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. （II ）设函数11()()(),g x f x f x aa=+--则32222()ln(1)ln(1)2,()2.111a a a x g x ax ax ax g x a ax ax a x'=+---=+-=+-- 当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a'<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>-（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f aa >且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '<三、偏移问题结合其他内容20．（四星）已知函数．（I ）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（1）的条件下，若，ℎ(x )=e 3x −3ae x ，，求的极小值；（Ⅱ）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．解：（Ⅱ）由题意，知恒成立，即．…… 2分又，当且仅当时等号成立． 2()ln f x x x =+()()g x f x ax =-a 1a >[0,ln 2]x ∈()h x 2()2()3()F x f x x kx k R =--∈()F x ,(0)m n m n <<02x m n =+()F x 00(,())x F x x 21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+-()0,(0,)g x x '≥∈+∞min 1(2)a x x≤+10,2x x x>+≥2x =故． ……4分设，⑤式变为设，所以函数在上单调递增，因此，，即也就是，，此式与⑤矛盾．所以在处的切线不能平行于轴． min 1(2)x x+=a ≤(0,1)m u n =∈2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++2(1)ln 1u y u u -=-+(0,1)1|0u y y =<=2(1)ln 0.1u u u --<+2(1)ln 1m m n m n n -<+()F x 00(,())x F x x21.（四星）已知函数()21ln (1)22f x x ax a x =-++-+。

专题20 极值点偏移问题(解析版)

专题20极值点偏移问题1．极值点偏移的含义若单峰函数f (x )的极值点为x 0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x 0函数值的大小关系图示极值点不偏移x 0＝x 1＋x 22f (x 1)＝f (2x 0－x 2)极值点偏移左移x 0<x 1＋x 22峰口向上：f (x 1)<f (2x 0－x 2)峰口向下：f (x 1)>f (2x 0－x 2)右移x 0>x 1＋x 22峰口向上：f (x 1)>f (2x 0－x 2)峰口向下：f (x 1)<f (2x 0－x 2)2.函数极值点偏移问题的题型及解法极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：(1)若函数f (x )在定义域上存在两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，求证：x 1＋x 2>2x 0(x 0为函数f (x )的极值点)；(2)若在函数f (x )的定义域上存在x 1，x 2(x 1≠x 2)满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>2x 0(x 0为函数f (x )的极值点)；(3)若函数f (x )存在两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，令x 0＝x 1＋x 22，求证：f ′(x 0)>0；(4)若在函数f (x )的定义域上存在x 1，x 2(x 1≠x 2)满足f (x 1)＝f (x 2)，令x 0＝x 1＋x 22，求证：f ′(x 0)>0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点0x ．(2)构造函数，即对结论1202x x x +>型，构造函数0()()(2)F x f x f x x =--或00()()()F x f x x f x x =+--；(3)对结论2120x x x ⋅>型，构造函数20()()()x F x f x f x=-，通过研究()F x 的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．(5)比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．(6)转化，即利用函数f (x )的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．3.2．差值代换法（韦达定理代换令1212,x x t x x t =±=.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用t 表示)表示两个极值点，即12t x x =-，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．3.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用t 表示)表示两个极值点，即12x t x =，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．3.4．对数均值不等式法两个正数a 和b (),(, )ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩(, )2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立．3.5指数不等式法在对数均值不等式中，设m a e =，nb e =，则()(,)()m nme e m n E a b m n e m n ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，根据对数均值不等式有如下关系：2(,)2m nm ne e eE a b ++≤≤专项突破练1．已知函数()1ln f x x a x=++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>．【解析】（1）∵()1ln f x x a x=++，∴()22111x f x x x x -'=-=，令()0f x '=，得x ＝1，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故函数()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）由（1）知，不妨设1201x x <<<，构造函数()()()2g x f x f x =--，01x <<，故()()()()()()2222241112022x x x g x f x f x x x x x ----'''=+-=+=<--，故()g x 在()0,1上单调递减，()()10g x g >=，∵()10,1x ∈，∴()()()11120g x f x f x =-->，又∵()()12f x f x =，∴()()2120f x f x -->，即()()212f x f x >-，∵1201x x <<<，∴2x ，()121,x -∈+∞，又∵()f x 在()1,+∞上单调递增，∴212x x >-，即122x x +>，得证．2．已知函数()()e ln xf x x a =+.(1)若()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：122x x +>.【解析】(1)函数的定义域为()0,∞+，()1e ln x f x x a x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，若()f x 是增函数，即()0f x '≥对任意0x >恒成立，故1ln 0x a x++≥恒成立，设()1ln g x x a x=++，则()22111x g x x x x -'=-=，所以当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x =时，()()min 11g x g a ==+，由10a +≥得1a ≥-，所以a 的取值范围是[)1,-+∞.(2)不妨设120x x <<，因为1x ，2x 是()f x 的两个极值点，所以()11111e ln 0x f x x a x ⎛⎫'=++= ⎪⎝⎭，即111ln 0x a x ++=，同理221ln 0x a x ++=，故1x ，2x 是函数()1ln g x x a x=++的两个零点，即()()120g x g x ==，由（1）知，()()min 110g x g a ==+<，故应有(),1a ∞∈--，且1201x x <<<，要证明122x x +>，只需证212x x >-，只需证()()()()211122g x g x g x g x --=--()()111111111111ln ln 2ln ln 2022x a x a x x x x x x ⎡⎤=++--++=+--+>⎢⎥--⎣⎦，设()()11ln ln 22h x x x x x =+--+-，(]0,1x ∈，则()()()()()22222224111111102222x x x h x x x x x x x x x ---'=----=-≤----，所以()h x 在()0,1上单调递减，因为()10,1x ∈，所以()()110h x h >=，即()()2120g x g x -->，()()212g x g x >-，又21>x ，121x ->，及()g x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-成立，即122x x +>成立.3．已知函数()()11e xf x x -=+.(1)求()f x 的极大值；(2)设m 、n 是两个不相等的正数，且()()11e 1e 4e n m m n m n +-+++=，证明：2m n +<.【解析】(1)因为()()111e 1e x x f x x x --+==+的定义域为R ，()1e x xf x -'=-，当0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，当0x >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，所以，函数()f x 的极大值为()0e f =.(2)证明：因为()()11e 1e 4e n m m n m n +-+++=，则11114e e em n m n --+++=，即()()4f m f n +=，由（1）知，函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，因为m 、n 是两个不相等的正数，且满足()()4f m f n +=，不妨设01m n <<<，构造函数()()()2g x f x f x =+-，则()()()1122ee x xxx g x f x f x ---'''=--=--，令()()h x g x '=，则()()()()111111e 1e e ex x x x xh x x x -----'=---=--.当01x <<时，101x x ->>-，则()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当1x >时，101x x ->>-，则()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，又因为函数()h x 在()0,∞+上连续，故函数()h x 在()0,∞+上单调递减，当01x <<时，()()10h x h >=，即()0g x '>，故函数()g x 在()0,1上为增函数，故()()()()()()214f m f m g m g f m f n -+=<==+，所以，()()2f n f m >-，21m -> 且1n >，函数()f x 在()1,+∞上为减函数，故2n m <-，则2m n +<.4．已知函数()1ln xf x ax+=(1)讨论f (x )的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =，且121200x x x x >>≠，，，证明:>【解析】（1）()()2ln 0xf x x ax -'=>当0a >时，()01x ∈，，()0f x '>，所以()f x 单调递增；()1x ∈+∞，，()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0a <时，()01x ∈，，()0f x '<，所以()f x 单调递减；()1x ∈+∞，，()0f x '>，所以()f x 单调递增；（2）证明：()()2112x x x x =e e ，∴()()2112ln ln x x x x =e e ，()()1212ln ln x x x x =e e 即当1a =时，()()12f x f x =由（1）可知，此时1x =是()f x 的极大值点，因此不妨令1201x x <<<>22122x x +>①当22x ≥时，22122x x +>成立；②当212x <<时先证122x x +>此时()2201x -∈，要证122x x +>，即证：122x x >-，即()()122f x f x >-，即()()222f x f x >-即：()()2220f x f x -->①令()()()()()()1ln 21ln 21,22x x g x f x f x x x x+-+=--=-∈-，∴()()()()()222222ln 2ln 2ln 2ln ln 02x x x x x x g x x x x x x ---'=-->--=->-∴()g x 在区间()12，上单调递增∴()()10x g g >=，∴①式得证.∴122x x +>∵21112x x +>，22212x x +>∴221212222x x x x ++>+∴()221212222x x x x +>+->>5．已知函数()22ln x f x x a=-（a ∈R 且0a ≠）．(1)2a =，求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程．(2)讨论函数()f x 的单调性；(3)若函数()f x 有两个零点12x x 、()12x x <，且2e a =，证明：122e x x +>．【解析】(1)当2a =时，()22ln 2x f x x =-，所以()222ln 2f =-.()2f x x x '=-，所以()22212f '=-=.所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-，即2ln 2y x =-.(2)()f x 的定义域为(0，+∞)，22()x f x a x'=-.当a <0时，()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0，+∞)上单调递减；当a >0时，(222()x f x x x a x ax'=-=.在(上，()0f x '<，所以()f x 单调递减；在)+∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增.(3)当2e a =，()222ln ex f x x =-.由(2)知，()f x 在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增.由题意可得：()12(0,e),e,x x ∈∈+∞.由(2e)22ln 20f =->及2()0f x =得：()2e,2e x ∈.欲证x 1+x 2>2e ，只要x 1>2e-x 2，注意到f (x )在(0，e)上单调递减，且f (x 1)=0，只要证明f (2e-x 2)>0即可.由22222()2ln 0ex f x x =-=得22222e ln x x =.所以22222(2e )(2e )2ln(2e )e x f x x --=--2222224e 4e 2ln(2e )e x x x -+=--()2222224e 4e 2e ln 2ln 2e e x x x -+=--2222442ln 2ln(2e ),(e,2e),ex x x x =-+--∈令4()42ln 2ln(2e ),(e,2e)etg t t t t =-+--∈则24224(e )()0e 2e e (2e )t g t t t t t -'=-++=--，则g (t )在(e ，2e)上是递增的，∴g (t )>g (e)=0即f (2e-x 2)>0.综上x 1+x 2>2e.6．已知函数()ln f x x x =-(1)求证：当1x >时，()21ln 1x x x ->+；(2)当方程()f x m =有两个不等实数根12,x x 时，求证：121x x m +>+【解析】(1)令()()()21ln 11x g x x x x -=->+，因为()()()()222114011x g x x x x x -'=-=>++，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g >=，即当1x >时，()21ln 1x x x ->+.(2)证明：由()ln f x x x =-，得()11f x x'=-，易知()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()min 1f x =.因为方程()f x m =有两个不等实根，所以1m >.不妨设1201x x <<<.由（1）知，当1x >时，()21ln 1x x x ->+；当01x <<时，()21ln 1x x x -<+.方程()f x m =可化为ln x m x -=.所以()222221ln 1x x m x x --=>+，整理得()222120x m x m -++->.①同理由()111121ln 1x x m x x --=<+，整理得()211120x m x m -++-+>.②由①②，得()()()211210x x x x m -+-+>⎡⎤⎣⎦.又因为21x x >所以121x x m +>+.法二：由()ln f x x x =-，得()11f x x'=-，易知()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()min 1f x =.因为方程()f x m =有两个不等实根，所以1m >.不妨设1201x x <<<.要证121x x m +>+，只要证1211ln 1x x x x +>-+，只要证：21ln 11x x >-+>.因为()f x 在()1,+∞上单调递增，只要证：()()()1211ln f x f x f x =>-.令()()()(1ln 01h x f x f x x =--<<，只要证()0,1x ∀∈，()0h x >恒成立.因为()()()()1111ln 11ln 111ln 1ln x x x h x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=---=-+-=⎪ ⎪-⎭'⎝'-'⎝⎭，令()()ln 101F x x x x x =--<<，则()ln 0F x x '=->，故()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，所以()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递减，所以()()10h x h >=，故原结论得证.7．已知函数()()22ln 21f x a x x a x a =-+-+．(1)若1a =，证明：()22f x x x <-；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：122x x a +>．【解析】(1)当1a =时，()22ln 1f x x x =-+，定义域为()0,∞+令()()()222ln 21g x f x x x x x =--=-+，则()22g x x'=-当01x <<时，()0g x '>；当1x <时，()0g x '<；所以函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 110g x g ==-<，所以()0g x <，得()22f x x x <-；(2)因为()f x 有两个不同的零点12,x x ，则()f x 在定义域内不单调；由()()()()212221x a x af x x a x x--+'=-+-=当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意；当0a >时，在()0,a 上有()0f x '>，在(),a +∞上有()0f x '<，所以()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减．不妨设120x a x <<<令()()()2F x f x f a x =--则()()()()()()222F x f x f a x a x f x f a x ''''''=---=+-()()()()()2422221222122a x a ax a a x a x a x x a x -=-+-+--+-=--当()0,x a ∈时，()0F x '>，则()F 在()0,a 上单调递增所以()()()()20F x F a f a f a a <=--=故()()2f x f a x <-，因为120x a x <<<所以()()12f x f a x <-１，又()()2f x f x =１，122a a x a <-<则()()212f x f a x <-，又()f x 在(),a +∞上单调递减，所以212x a x >-，则122x x a +>．8．已知函数()21ln 2f x x x x x =+-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()00f x '=（()f x '为()f x 的导函数），方程()f x m =有两个不等实根1x 、2x ，求证：1202x x x +>．【解析】(1)因为()21ln 2f x x x x x =+-，则()ln f x x x '=+，所以，()112f =-，()11f '=，所以，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为112y x +=-，即32y x =-.(2)证明：因为()ln f x x x '=+，()00f x '=，所以00ln 0x x +=．因为()f x '为增函数，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．由方程()f x m =有两个不等实根1x 、2x ，则可设102x x x <<，欲证1202x x x +>，即证20102x x x x >->，即证()()2012f x f x x >-，而()()21f x f x =，即()()10120f x f x x -->，即()()()()2211110*********ln 2ln 222022x x x x x x x x x x x x +------+->，设()()()()()22000011ln 2ln 22222g x x x x x x x x x x x x x =+------+-，其中00x x <<，则()()00ln ln 22g x x x x x =+-+'，设()()()000ln ln 220h x x x x x x x =<+<+-，则()()()000211022x x x x x x x x h x -=-=>--'，所以，函数()g x '在()00,x 上单调递增，所以()()0002ln 20g x g x x x '<='+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，所以()()00g x g x >=，即()()2012f x f x x >-，故1202x x x +>得证．9．已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭．(1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．【解析】(1)0k =时，函数1()e ,(1,0)1xx f x x x -=∈-+，则221()e 0(1)x x f x x +='>+，()f x 在(1,0)-上单调递增，所以1()e (0)11xx f x f x -=<=-+．(2)e ()(1)1x f x x k x ⎛⎫=--⎪+⎝⎭，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ；设函数e ()1xF x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11x xh x x x -=++-，2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭'，由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭，由（1）有1e 01xx x ++>-，故()0h x '<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h >=，即有()()()211F x F x F x =>-，由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增，所以21x x >-，所以120x x +>．10．已知函数()()()1ln 3f x x x a x =++-．(1)若函数()f x 为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <．求证：()()12122f x f x x x +++>-．【解析】(1)因为()()()1ln 3f x x x a x =++-，该函数的定义域为()0,∞+，()1ln 2f x x a x'=++-，若函数()f x 为增函数，则()0f x '≥恒成立．令()1ln 2g x x a x =++-，()22111x g x x x x-'=-=，令()0g x '=得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，故()()11g x g a ≥=-，所以，10a -≥，因此1a ≥．(2)因为函数()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，即方程()0g x =有两个不等的实根1x 、()212x x x <，因为()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以，1201x x <<<，即1x 、2x 是1ln 20x a x++-=的两个根，所以11221ln 201ln 20x a x x a x ⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩，则()()111222ln 21ln 21x x a x x x a x ⎧+-=-⎪⎨+-=-⎪⎩，所以，()()()()121211221212ln ln ln ln 2f x f x x x x x x x x x a x x +++=++++-+12ln ln 2x x =+-，即证12ln ln 0x x +>，即证121x x >．由11221ln 201ln 20x a x x a x ⎧++-=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩两式作差得122111ln x x x x =-，令()120,1x t x =∈，则11ln t x t -=，21ln t x t t-=，即只需证111ln ln t t t t t--⋅>，即证ln 0t >．令()ln t t ϕ=-()0,1t ∈，则()210t ϕ-'=，故()t ϕ在区间()0,1上单调递减，当()0,1t ∈时，()()10t ϕϕ>=，命题得证．11．已知函数()ln f x x x =-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象与()y m m R =∈的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：12242ln 2x x +>-.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞令11()10xf x x x -'=-=>，解得01x <<令11()10x f x x x-'=-=<，解得1x >所以()f x 的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞(2)由（1）不妨设1201x x <<<由题知11ln x x m -=，22ln x x m -=两式相减整理可得：12121ln x x x x -=所以要证明12242ln 2x x +>-成立，只需证明1211222(42ln 2l )n x x x x x x +->-因为12ln 0x x <，所以只需证明212112(42ln 2ln )2x x x x x x <-+-令12,01x t t x =<<，则只需证明1(42ln l 21n 2)t t t -<-+，即证(1)ln (1)02(42ln 2)t t t +--<-令2()(1)ln (1)2(4ln 2)g t t t t -=-+-2ln 22l 12ln (2)1()22n 2ln t t t g t t t t++'--=++=记()2ln (2)12ln 2h x t t t +-=+则()2ln 2h x t '=易知，当102t <<时，()0h x '<，当112t <<时，()0h x '>所以当12t =时，min 11()()022n 2ln l h x h ==+=所以当01t <<时，()0g t '≥，函数()g t 单调递增故()(1)0g t g <=，即(1)ln (1)02(42ln 2)t t t +--<-所以，原不等式12242ln 2x x +>-成立.12．已知函数()()3ln 010f x ax x a a =+≠.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若函数()f x 有两个零点12x x ，，且12x x <，证明：12310x x +>.【解析】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+.①当0a >时，令()0f x '<，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；令()0f x '>，得1x e >，则()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当0a <时，令()0f x '<，得1x e >，则()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；令()0f x '>，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.(2)证明：因为12x x ，为()f x 的两个零点，所以113ln 010x x +=，223ln 010x x +=，两式相减，可得121233ln ln 01010x x x x -+-=，即1122123ln 10x x x x x x -=⋅，121212310ln x x x x x x -=⋅，因此，121121310ln x x x x x -=⋅，212121310ln x x x x x -=⋅.令12x t x =，则121113513310ln 10ln 10ln t t t x x t t t---+=⋅+⋅=⋅，令()()1ln 01h t t t t t =--<<，则()22211110t t h t t t t -+'=+-=>，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=，即1ln 0t t t--<.因为01t <<，所以11ln t t t->，故12310x x +>得证.13．已知函数()ln f x x x ax a =-+．(1)若1≥x 时，()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，证明：121x x <．【解析】（1）∵1≥x ，()0f x ≥，∴ln 0a x a x -+≥，设()ln (1)ag x x a x x =-+≥，()221a x a g x x x x-'=-=，当1a >时，令()0g x '=得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<，()g x 单调递减；当x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()(1)0g a g <=，与已知矛盾．当1a ≤时，()0g x '≥，∴()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=，满足条件；综上，a 取值范围是(,1]-∞．（2）证明：当1a =时，()ln f x x '=，当1x >，'()0f x >，当01x <<，'()0f x <，则()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，在区间()0,1上单调递减，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x <，只需证2111x x <<，∵()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，∴只需证121()(f x f x <，∵12()()f x f x =，∴只需证111()()f x f x <．设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211()ln ln ln 0,x F x x x x x x -'=-=>，∴()F x 在区间()0,1上单调递增，∴()(1)0F x F <=，∴1()()0f x f x-<，即111()()f x f x <成立，∴121x x <．14．设函数()()e xf x x a =+，已知直线21y x =+是曲线()y f x =的一条切线.(1)求a 的值，并讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()12f x f x =，其中12x x <，证明：124x x ⋅>.【答案】(1)1a =；()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增【解析】(1)设直线21y x =+与曲线()y f x =相切于点()()00,x f x ，()()1e x f x x a '=++ ，()()0001e 2x f x x a '∴=++=；又()()0000e 21x f x x a x =+=+，002e 21xx ∴-=+，即00e 210x x +-=；设()e 21x g x x =+-，则()e 20xg x '=+>，()g x ∴在R 上单调递增，又()00g =，()g x ∴有唯一零点0x =，00x ∴=，12a ∴+=，解得：1a =；()()1e x f x x ∴=+，()()2e x f x x '=+，则当(),2x ∞∈--时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>；()f x ∴在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增.(2)由（1）知：()()2min 2e 0f x f -=-=-<；当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >，1221x x ∴<-<<-；要证124x x ⋅>，只需证1242x x <<-；()f x 在(),2-∞-上单调递减，∴只需证()124f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又()()12f x f x =，则只需证()224f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭对任意()22,1x ∈--恒成立；设()()()421h x f x f x x ⎛⎫=--<<- ⎪⎝⎭，()()()()444333822e 2e e e 8xx xxxx x h x x x x x -⎛⎫++'∴=++=+ ⎪⎝⎭；设()()43e821x xp x x x -=+-<<-，则()2437e024x xp x x x -⎡⎤⎛⎫'=⋅++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()p x ∴在()2,1--上单调递减，()()2880p x p ∴<-=-+=，又当21x -<<-时，()432e 0xx x +<，()0h x '∴>，()h x ∴在()2,1--上单调递增，()()()()2220h x h f f ∴>-=---=，即()4f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭在()2,1x ∈--时恒成立，又()22,1x ∈--，()224f x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，原不等式得证.15．已知函数()()32ln f x x x a a R x=++-∈有两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：121x x >.【解析】(1)定义域为()()22232230,,1x x f x x x x ∞+-+=-+='，()(),0,10x f x '∈<，所以()f x 在()0,1x ∈上单调递减.()()1,,0x f x '∈+∞>，所以()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，也是最小值，又()min ()14f x f a ==-，所以先保证必要条件()10f <成立，即4a >满足题意.当4a >时，易知，()()()33222ln 22ln 2022f a a a a a a a a=++-=++>；()111132ln 2ln 0;f a a a a a a aa a ⎛⎫=+--=+->> ⎪⎝⎭由以上可知，当4a >时，()()32ln f x x x a a R x=++-∈有两个不同的零点.(2)由题意，假设1201x x <<<，要证明121x x >，只需证明121x x >.只需证()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()()12f x f x =.即只需证()221f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，构造函数()()1,(1)g x f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.()224ln g x x xx =-+()222(1)x g x x --∴='，所以()g x 在()1,+∞单调递减.()()()2210,1,1g x g x g =>∴< ，即()221f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭成立，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以原命题成立.16．已知a 是实数，函数()ln f x a x x =-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个相异的零点12,x x 且120x x >>，求证：212e x x ⋅>．【解析】(1)()f x 的定义域为()0,∞+，()1a a x f x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0f x '>得：()0,x a ∈，令()0f x '<得：(),x a ∈+∞，故()f x 在()0,x a ∈上单调递增，在(),x a ∈+∞上单调递减；综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,x a ∈上单调递增，在(),x a ∈+∞上单调递减；(2)由（1）可知，要想()f x 有两个相异的零点12,x x ，则0a >，不妨设120x x >>，因为()()120f x f x ==，所以1122ln 0,ln 0a x x a x x -=-=，所以()1212ln ln x x a x x -=-，要证212e x x ⋅>，即证12ln ln 2x x +>，等价于122x x a a +>，而1212ln ln 1x x a x x -=-，所以等价于证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()1212122ln x x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，于是等价于证明()21ln 1t t t ->+成立，设()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，故()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立，所以212e x x ⋅>，结论得证.17．已知函数()1e xf x ax -=-，(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点12,x x ，求证：121x x a>.【解析】(1)()1e xf x a -='-，x ∈R .①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得，()1ln ,x a ∈++∞，()f x 单调递增，由()0f x '<得，(),1ln x a ∈-∞+，()f x 单调递减.综上：当0a ≤时，()f x 单调递增；当0a >时，()f x 在()1ln ,x a ∈++∞上单调递增，在(),1ln x a ∈-∞+上单调递减.(2)∵()f x 在()0,2上有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设12x x <，∴1e x a x -=在()0,2上有两个不相等的实根，令()1e x g x x -=，()0,2x ∈，∴()()12e 1x x g x x --'=，由()0g x '<得，()0,1x ∈，()g x 单调递减，由()0g x '>得，()1,2x ∈，()g x 单调递增，()11g =，()e 22g =，0x →，()g x ∞→+，∴e 1,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭要证121x x a>，即证121ax x >，又∵()()12g x g x a ==，只要证211e1x x ->，即证211e x x ->，∵121x x <<，即证()()211e xg x g -<即证()()212e x g x g -<，即证12221e 112e e ex x x x ----<，即证212e ln 10x x -+->令()1eln 1xh x x -=+-，()1,2x ∈，∴()11e x h x x-'=-+，令()e e x x x ϕ=-，()1,2x ∈，则()e e x x ϕ'=-，当()1,2x ∈时，()e e>0x x ϕ'=-恒成立，所以()e e xx x ϕ=-在()1,2x ∈上单调递增，又()()10x ϕϕ>=，∴e e x x >，∴11e x x-<，∴()0h x '>∴()h x 在()1,2上递增，∴()()10h x h >>，∴1e ln 10x x -+->，∴121x x a>.18．已知函数21()ln 2f x x x x x =+-的导函数为()'f x .(1)判断()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()f x m '=有两个实数根1x ，212()x x x <，求证：2122x x <.【解析】(1)()1(1ln )(0)f x x x x x x '=+-+=>，令()ln g x x x =-，由11()1(0)x g x x x x'-=-=>，可得()g x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，所以()()(1)10f x g x g '==>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)依题意，1122ln ln x x mx x m-=⎧⎨-=⎩，相减得2121ln x x x x -=-，令21(1)x t t x =>，则有1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，欲证2122x x <成立，只需证222ln (ln )21(1)t t t t t ⋅<--成立，即证3322(1)(ln )t t t -<成立，即证13232(1)ln t t t-<成立，令13(1)t x x =>，只需证13212()3ln 0x x x-->成立，令1321()2()3ln (1)F x x x x x=-->，即证1x >时，()0F x >成立11323333232(2)3()2(1x x F x x x x+-'=+-=，令1323()2(2)3(1)h x x x x =+->，则11233()2(3)63(22)(1)x x x x x g x '=-=->，可得()h x 在23(1,2)内递减，在23(2,)+∞内递增，所以23()(2)0h x h = ，所以()0F x '，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0F x F >=成立，故原不等式成立.19．已知函数()ln f x x =.(1)设函数()()ln tg x x t x=-∈R ，且()()g x f x ≤恒成立，求实数t 的取值范围；(2)求证：()12e e x f x x>-；(3)设函数()()1y f x ax a R x=--∈的两个零点1x 、2x ，求证：2122e x x >.【解析】(1)由()()g x f x ≤可得ln ln tx x x-≤，可得2ln t x x ≤，令()2ln h x x x =，其中0x >，则()()21ln h x x '=+，当10ex <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当1ex >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()min 12e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以，2e t ≤-；(2)要证()12e e x f x x >-，即证2ln e ex x x x >-，由（1）可知，1ln ex x ≥-，当且仅当1e x =时，等号成立，令()2e exx m x =-，其中0x >，则()1e x x m x -'=，当01x <<时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，当1x >时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，所以，()()max 11em x m ==-，因为1ln ex x ≥-和()1e m x ≤-取等的条件不同，故2ln e e x x x x >-，即()12e e x f x x >-；(3)由题知1111ln x ax x -=①，2221ln x ax x -=②，①+②得()()12121212ln x x x x a x x x x +-=+③，②-①得()22121112ln xx x a x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭④.③÷④得()()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>.令()()()21ln 11t F t t t t -=->+，则()()()()222114011t F t t t t t -'=-=>++，所以()F t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10F t F >=，则()21ln 1t t t ->+，即()2121122lnx x x x x x ->+，所以()()1212212122112ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-.因为()()()()1212121212122ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==所以2，即1>.令()2ln x x x ϕ=-，()2120x x xϕ'=+>，则()x ϕ在()0,∞+上单调递增.又)1lnln 2112e =+<，所以)1ln >-)ϕϕ>，所以2122x xe >.20．已知函数1()e xx f x -=.（1）求()f x 的单调区间与极值.（2）设m ，n 为两个不相等的正数，且ln ln m n n m m n -=-，证明：4e mn >.【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()2e rxf x -'=.当(,2)x ∈-∞时，()0f x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0.f x '<所以()f x 的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞.故()f x 在2x =处取得极大值，且极大值为21e ，无极小值.（2）证明：易知m ，0n >，ln ln (ln 1)m n n m m n m n -=-⇔-()ln n ln ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1e emn m n m n m n m ----=-⇔=⇔=即()ln (ln )f f m n =，ln ln m n ≠.不妨设1ln x m =，2ln x n =，12x x <.（1）可知2(2,)x ∈+∞，()()120f x f x =>，1(1,2)x ∈当23x ≥时，124x x +>，4e mn >，当223x <<时，2142x <-<，()()()()22224222222441e 31414x xx x x x e x x f x f x e e e ----------=-=设4()(1)e (3)e x x h x x x -=---，(2,3)x ∈，则()()()()()442e2e 2e e xx x x h x x x x --=---=--'，因为(2,3)x ∈，4x x -<，所以()0h x '>，()h x 在区间(2,3)上单调递增，422()(21)e (32)e 0h x ->---=，所以()()()()2212440f x f x f x f x --=-->，()()124x f f x >-又因为1x ，24(1,2)x -∈，所以124x x >-，即124x x +>，故4e mm >.21．已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln 2ln ln x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.【解析】（1）2(1)'()ln e x xf x =-+，2e y x =是减函数，1ln y x =+是增函数，所以'()f x 在()0,∞+单调递减，∵()'0f e =，∴()0,x e ∈时，()'()'0f x f e >=，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞时，()'()'0f x f e <=，()f x 单调递减.（2）由题意得，121212ln ln 2ln 2ln x x e x e x x x -=-，即1212112ln 2ln e x e x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112211112ln 2ln e e x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设111a x =，221a x =，则由()12,0,1x x ∈得，()12,1,a a ∈+∞，且()()12f a f a =.不妨设12a a <，则即证12221e a a e <+<+，由()20f e =及()f x 的单调性知，1212a e a e <<<<.令()()()2F x f x f e x =--，1x e <<，则[]24'()'()'(2)2ln (2)(2)e F xf x f e x x e x x e x =+-=----，∵()22x e x e -≤，∴2224'()2ln 0eF x e e>--=，()()0F x F e <=，∴()()2f x f e x <-，取1x a =，则()()112f a f e a <-，又()()12f a f a =，则()()212f a f e a <-，又12e a e ->，2a e >，且()f x 在(),e +∞单调递减，∴212a e a >-，122a a e +>.下证：1221a a e +<+.（i ）当21a e <+时，由1a e <得，1221a a e +<+；（ii ）当212e a e +≤<时，令()()(21)G x f x f e x =-+-，12e x e +<<，则22'()'()'(21)1ln 1ln(21)21e e G x f x f e x x e x x e x=++-=--+--+-+-222(21)2ln (21)(21)e e x e x x e x+⎡⎤=---++⎣⎦-++，记2(21)t x e x =-++，12e x e +≤<，则2(21)'()2ln e e G x t t+=--，又2(21)t x e x =-++在[)1,2e e +为减函数，∴()22,1t e e ∈+，2(21)2e e t +-在()22,1e e +单调递减，ln t 在()22,1e e +单调递增，∴2(21)2ln e e t t+--单调递减，从而，'()G x 在[)1,2e e +单调递增，又2(21)'(2)2ln 2(212)21ln 22(212)e e G e e e e e e e e e +=--+-=--+-，ln 1≤-x x ，∴()'20G e >，又2(21)'(1)2ln(1)(211)(1)(211)e e G e e e e e e e ++=--++--++--1ln(1)01e e e -=-+<+，从而，由零点存在定理得，存在唯一0(1,2)x e e ∈+，使得()0'0G x =，当[)01,x e x ∈+时，()0'()'0()G x G x G x <=⇒单调递减；当()0,2x x e ∈时，()0'()'0()G x G x G x >=⇒单调递增.所以，{}()max (1),(2)G x G e G e ≤+，又(1)(1)(211)(1)()(1)ln(1)G e f e f e e f e f e e e e +=+-+--=+-=-+-，ln 11ln ln(1)x x e x e x e e e+≤⇒≤⇒+≤，所以，11(1)(1)0e G e e e e e+-+<-⋅-=<，显然，()()()22212000G e f e f e e =-+-=-=，所以，()0<G x ，即()()210f x f e x -+-<，取[)21,2x a e e =∈+，则()()2221f a f e a <+-，又()()12f a f a =，则()()1221f a f e a <+-，结合()221211e a e e e +-<+-+=，1a e <，以及()f x 在()0,e 单调递增，得到1221a e a <+-，从而1221a a e +<+.22．已知函数()e ln xf x x a x a =--，其中0a >．(1)若2e a =，求()f x 的极值：(2)令函数()()g x f x ax a =-+，若存在1x ，2x 使得()()12g x g x =，证明：1212e e 2x xx x a +>．【解析】(1)当2e a =时()e 2eln 2e xf x x x =-，()0,x ∈+∞，所以()()()1e 2e2e 1e xxx x f x x x x+-'=+-=，当()0,1x ∈时，202x x <+<，1e e x <<，所以()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，22x x +>，e e x >，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()f x 的极小值为()1e f =-，无极大值.(2)证明：()()()e ln e ln e x x xg x a x ax x f x ax x a x a ==-=+---，令e x t x =，则上述函数变形为()ln h a t t t =-，对于()e x t x x =，()0,x ∈+∞，则()()1e 0xt x x '=+>，即()e x t x x =在()0,∞+上单调递增，。

极值点偏移1：纯偏移(教师版)

极值点偏移1：纯偏移一、极值点偏移我们知道二次函数()f x 的顶点就是极值点0x ，若()f x c =的两根的中点为122x x +，则刚好有1202x x x +=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若函数()x xg x e =的极值点01x =刚好在两根的中点122x x +的左边，我们称之为极值点左偏；若极值点01x =刚好在两根的中点122x x +的右边，我们称之为极值点右偏.二、纯极值点偏移与纯拐点偏移常规类型 1、极值点偏移（()00f x '=）（不偏移）二次函数()()121202f x f x x x x =⇒+=（左偏）()()1220112022f x f x x x x x x x =⇒>-⇒+>2、拐点偏移（()00f x ''=）（不偏移）()()()12012022f x f x f x x x x +=⇒+=（左偏）()()()120201120222f x f x f x x x x x x x +=⇒>-⇒+>三、极值点纯偏移特征： ①函数()f x 的极值点为0x ；②函数()()12f x f x =，然后证明：1202x x x +>或1202x x x +<.四、极值点偏移的的纯偏移型解法步骤：①构造一元差函数()()()02F x f x f x x =--或是()()()00F x f x x f x x =+--； ②对差函数()F x 求导，判断单调性；③结合()00F =，判断()F x 的符号，从而确定()f x 与()02f x x -的大小关系；④由()()()()()1200200202_____2f x f x f x x x f x x x f x x ==--+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小关系，得到()()102____2f x f x x -，（横线上为不等号）； ⑤结合()f x 单调性得到102____2x x x -，进而得到120___2x x x +.【例1】【2020·平顶山市一中高二开学考·理科】已知函数()xf x xe -=（x R ∈）（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>.【答案】：（Ⅰ）()f x 在(),1-∞内是增函数，在()1,+∞内是减函数．函数()f x 在1x =处取得极大值()11f e=；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】：【例2】已知函数()21xf x e x x =---（1）求函数()'y f x =的单调区间；（2）已知1a ≥-，且()21f x x ax b ≥-++-恒成立，求()1a b +的最大值；（3）若存在不相等的实数12,x x 使()()12''f x f x =成立，试比较12x x +与2ln 2的大小. 【答案】：【解析】：（拐点偏移）【例3】【2016·全国Ⅰ卷·理科】已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】：（Ⅰ）()0,+∞；（Ⅱ）见解析【解析】：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． ①设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．②设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln 2a b <，则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．③设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞单调递增．又当1x ≤时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．【演练题组1】1、已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数12,x x 满足()()12+=4f x f x ，求证:122x x +≥. 【答案】：见解析.【解析】：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f()2=+210f x x x '+>，()22=2f x x''-+，()1=0f ''，则()1,2是()f x 图像的拐点不妨设1201x x <≤≤，要证()()1221212212x x x x f x f x +≥⇔≥-≥⇔≥-()()1142f x f x ⇔-≥-()()1142f x f x ⇔≥+-()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则()()()()222212212F x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫'''=--=++-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()141102x x x ⎛⎫=--≥ ⎪ ⎪-⎝⎭，得()F x 在(]0,1上单增，有()()()1214F x F ≤=+=，得证.2、【2020·广东10月联考】已知函数()21ln 12f x x ax =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()f x 的两个零点为12,x x ，试证明：122x x +>.【答案】：（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在0,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】：（1）易得函数()f x 的定义域为()0,∞+. 对函数()f x 求导得：()1f x ax x'=-. 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，即可知()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,a ⎛ ⎝⎭上单调递增，在a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当1a =时，()21ln 12f x x x =-+，()211x f x x x x-'=-=，此时()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.()()1102f x f ==>极大值，又10f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()0f e <，不妨设12x x <，则有1201x x <<<，令()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈，()()()()()()22212211222x x x F x f x f x x x x x ----'''=+-=+=--.当()0,1x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，()10,1x ∈，()()()()111210F x f x f x F ∴=--<=，()()112f x f x ∴<-，又()()120f x f x ==，()()212f x f x ∴<-， 21x >，121x ->，()f x 在()1,+∞上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.3、【2020·江苏南通市通州区9月一诊】已知函数()()2ln 1f x x x x =-+-. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若()()12f x f x =，12x x ≠，12,x x R ∈，求证：1202x x x +>(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】：（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】：（1）由()(2)ln 1f x x x x =-+-，有2'()ln 1x f x x x-=++ ∴()01f '=，而(1)0f =，可知曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y =（2）由（1）得22()ln 1ln 2x f x x x x x '-=++=+-，令2()ln 2,0g x x x x=+->，则212()0g x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，即2()ln 2g x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，知当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()f x 在1x =处取得极大值. ∵()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，不妨设1201x x <<<，令()()(2),01h x f x f x x =--<<，则22()()(2)ln 2ln(2)22h x f x f x x x x x'''=+-=+-+-+--4ln (2)4(2)x x x x =-+--因为01x <<，所以0(2)1x x <-<，即有4ln (2)0,40(2)x x x x -<-<-，∴()0h x '<，即函数()()(2)h x f x f x =--在(0,1)上单调递减，而(1)(1)(1)0h f f =-=，所以()(1)0h x h >=在(0,1)上恒成立，即()(2)f x f x >-在(0,1)上恒成立，有()()112f x f x >-在(0,1)上恒成立，又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，因为1201x x <<<且121x ->，而函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-，即122x x +>，而01x =，所以1202x x x +>得证.4、已知函数()()xf x e ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象与直线y a =交于,A B 两点，记,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，且12x x <，证明：212ln x x a +<.【答案】：（1）过程不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【解析】：（1）()x f x e a '=-，0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 递增；0a >时，令()0f x '>，解得：ln x a >，令()0f x '<，解得：ln x a <，故()f x 在(,ln )a -∞递减，在(ln ,)a +∞递增；（2）函数的()f x 的导数()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0x f x e a '=->，还是单调递增，则不满足条件，则0a >由()0f x '>得ln x a >，由()0f x '<得ln x a <，即当ln x a =时，还是()f x 取得极小值同时也是最小值ln (ln )ln (1ln )a f a e a a a a =-=- ∵()f x a =有两个根，∴(1ln )0a a -<，即1ln 0a -<，则ln 1a >，即a e >要证122ln x x a +<，则只需要212ln x a x <-又2ln x a >，则只需要证明()()212ln f x f a x <-，即证()()()1212ln 0f a x f x f x ->==，令()(2ln )()g x f a x f x =--，(ln )x a <，则2ln ()(2ln )a x x g x e a a x e ax -=---+，()()220x x x xe a g x a e a e a e--=-+-+=-≤'，即()g x 在(,ln ]a -∞上单调递减，即()(ln )0g x g a >=则命题成立.5、已知函数()()ln af x x a R x=-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e+>. 【答案】：（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】：（1）因为()ln a f x x x =-，所以()221a a x f x x x x+'=--=-. ①当0a ≥时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减. ②当0a <时，由()0f x '>得0x a <<-；由()0f x '<得x a >-. 即()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减，综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减.（2）证明：因为()()122f x f x ==，所以11ln 20a x x --=，22ln 20ax x --=，即111222ln 2ln 20x x x a x x x a +-=+-=. 设()ln 2g x x x x a =+-，则()ln 3g x x '=+，故()g x 在310,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 由题意不妨设12310e x x <<<，欲证1232e x x +>，只需证2132e x x >-. 又2x ，13321,e e x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，()g x 在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.故只需证()2132e g x g x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. 因为()()12g x g x =，所以只需证()1132e g x g x ⎛⎫>-⎪⎝⎭对任意的1310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即可，即111111333222ln 2ln 2e e e x x x a x x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+->--+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 整理得111111333224ln 2ln 2x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫+>--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11111333224ln ln 40e e e x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()333224ln ln 4e e e h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()23322ln ln 6ln 6e e x h x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为310e x <<，所以236210e e x x <-<，所以()232ln 60e x h x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()310e h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.所以1232e x x +>成立.。

函数极值点偏移问题.doc

函数极值点偏移问题在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望阳生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助.先看一道试题：【例1] (2015年弊埠市高三一质检试题)已知函数f(X)=xe —x・(1)求函数f (x)的单调区间和极值；(2)若xlHx2, f (xl) =f (x2),求证xl+x2>2.该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想.解析1・e第(2)问：构造函数F (x)二f (1+x) —f (1—x) = (1+x) e— (1+x) — (1 —x) ex—1,则F'(x) =x [ex—1 —e— (1+x)],当x>0时，F' (x) >0,・・・F (x)在(0, +8)单调递增，又F (0) =0,・・・F (x) >0,即f (1+x) >f (1-x).TxlHx2,不妨设xl<x2,由(1)知xl<l, x2>l,所以f (xl) =f (x2) =f [1+ (x2-l) ] >f[1- (x2-l) ] =f (2-x2) , Vx2>l, .\2-x2<l,又f (x)在(一8, 1)上单调递增，・・・xl>2-x2, ・・・xl+x2>2.上述解答，通过构造差函数F (x) =f (1+x) -f (1-x),紧接着对F (x)进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作.其解题本质是xl与2-x2的人小关系不易宜接比较时，通过化归转化为比较函数值f (xl)与f (2-x2)的人小关系, 再结合f (x)的单调性获得解决.这里的1显然是f (x)的极值点，就是直线尸f (xl) =f (x2)二h被函数y二f (x)图象所截线段中点的横坐标，要证xl+x2>2,只需证f (xl) >f(2-x2)，因此，问题本质是证极值点偏移问题.若设f (x)的极值点为x0,则可将上述的解题策略程序化如下：①构造差函数F (x) =f (xO+x) -f (xO-x)②对F (x)求导,判断F，(x)的符号,确定F (x)的单调性,③结合F (0) =0,判断F (x)的符号，确定f (xO+x)与f (xO-x)的大小关系④由f (xl ) =f (x2)结合③及f (x)的单调性确定xl与2x0-x2 (或x2与2x0—xl)的大小关系【例3] (2010年夭津高考理)(木小题满分14分)已知函数f(x) = xeTxWR).⑴求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y二f(x)的图象关于直线x=l对称,证明当x>l时,f(x)>g(x)；(3)如果X] H X2,且f(xj = f%),证明X] + X2>2.⑴解：r(x) = (l-x)e-x.令厂(x)=0,解得x=2.当x变化时,f‘(x),f(x)的变化情况如下表:所以f(x)在(・8,1)内是增函数，在⑴+8)内是减函数.函数f(x)在x=l处取得极大值f⑴八FL f(l)=ie(2)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x) = (2 - x)e x_2.令F(x)=f(x)-g(x),即F(x) = xe-x 4- (x — 2)e x-2.于是F'(x) = (x- l)(e2x-2一l)e-\当x>l 吋，2x-2>0,从而e2x_2-l>0.乂e-x>0,所以F/ (x)>0,从而函数F(x)在[1, +8)上是增函数.乂F(l) = e_1— e一所以x>l 时,有F(x)>F⑴=0,即f(x)>g(x).⑶证明：①若(X] - 1)(X2 - 1)=0,由⑴及f(X』= f(X2), = x2=l,与X] H X2矛盾.②若(X1 - l)(x2一l)>0,由⑴及f(xj = f(x2),得X] = X2”与X]工X2 矛盾.根据①②，得(X1 - l)(x2一1)<0.不妨设X1<1,X2>1.由⑵可知，f(X2)>9(X2), g(x2) = f(2-x2),所以f(X2)> f(2一X2),从而f(x』> f(2一x2).因为X2>1,所以2 -X2<1.又由⑴可知函数f(x)在区间(・8,1)内是增函数,所以X] > 2 — x2,即X] + X2>2.【例2] (2016年全国乙卷21题)【例3】(2011天津理19题)【例4】(2010辽宁理19题)(不属于该题型，恒成立问题)张同语应用上述提炼的解题策略可以解决下列一类有关函数极值点的偏移问题.例11—XXe. l+x2(I )求f (x)的单调区间；(II)证明：当f (xl)二f (x2) (xlHx2) 时，xl+x2<0.( I )易知f (x)在(一I 0)上单调递增，在(0, +8)±单调递减.(II)易知当xVl时1 — xl —x所以f (x) >0,当x>l 时VO, 2>0, l+xl+x2f (x) <0. Vf (xl) =f (x2)且xlHx2,不妨设xlVx2,由(I )知xl<0, 0<x2<l.下面证明：当OVxVl 时f (x) <f (—x)即证：1 —xxl+x —xl+xx<<0. 2c2c.即证：(1 —x) c—1+xl+xcx构造F (x) = (1 —x) ex —则F' (x) =—xe —x (c2x —1)VO<x<l, ・・・F' (x) <0,・・・F (x)在(0, 1)单调递减,从而F (x) < F (0) =0 即(1 —x) ex —f (x) <f (—x)・又0Vx2Vl, ・・・f (xl) =f (x2) =f (0+x2) <Vxl-x2e (一^, 0) , f (x)在f (0-x2) =f (-x2),( — a, 0)上单调递增，所以xl<-x2,即xl+x2<0.评注例2第(II)问不等式右边的0恰好是函数的极(2011年高考数学辽宁卷)已知函数值点，因此，该问本质上是证明极值点偏右问题.f (x) =lnx-ax2+ (2 —a) x(I )讨论f (x)的单调性；证明：当OVxV (II)设a>0, x) >f (1—x) ； a11 吋,f (+aa1+x<0,所以，当OVxVl时，ex1+x,ex解析(2013年高考湖南卷)已知函数f (x)=•14 •中学生理科应试2015. 5, 6构造“辅助元”解题的I•种策略四川省资阳市外国语实验学校有些数学问题的解决，若按常规思路寻求突破，，往往非常棘手，甚至一时受阻，这时若调整思维方式，考察题口屮有关数学式子的结构特征，尝试构造一个或多个“辅助元”来替代原来的“元”，这样做，可以减少变元的个数，降低变元的次数，化简表达式，更重要的是能够将原问题转化成熟悉的或容易解决的新问题，而且有效地降低了问题的难度，具有化繁为简、化难为易的解答功效•本文结合实例介绍构造“辅助元”解题的I•种策略，供大家参考.一、对偶代换对偶代换是指对于某些结构特殊的三角函数问题、求数列屮若干项的和或积的问题、题小给出的条件含有倒数和的问题等等，可以通过合理构造对偶关系, 并通过对对偶关系进行适当的和、差、积运算，则往B两(III)若函数y=f(X) 的图象与x轴交于A、证明：f (xO) V0•点，线段AB屮点的横坐标为xO, ( I )易得f (x) 的定义域为(0, +°°),(I)若aWO时，则f (x)在(0, +8)单调递增；(2) 11在(,若3>0时，则f (x)在(0)上单调递增，aa+°°)上单调递减.(II)构造函数F (x) =f (11+x) —f (—x) aa解析(641300)蔡勇全黄正兵往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.例1求sin220° +cos280° + 的值.解析令M=sin220° +cos280° +=cos220° +sin280° +=sin20° cos80° , Ncos20° sin80° ,由此可以得到M+N (sin20° cos80° +cos20° sin80° ) + (sin220° +° ①，cos220° ) + (cos280° +sin280° ) =2+sin20° cos80° -cos20° sin80° )并且可得M~N=X+ (sin220° -cos220° ) + (cos280° -sin280° ) =sin (—60° ) —cos40° +cosl60° = —2sinl00° sin60° —311,M二，由①+②可得2M二即sin220° +②，224=1/4. cos280° + 偏左问题.例3(2015年安徽省皖小省示范高小联考试题)已知函数f (x) =ex-2x+2a.(1)求函数f (x)的单调区间；x2, (2)若存在两个不相等的正数xl,假设f (xl)求证：f' (12<0 (f‘(x)为函数二f (x2)成立，f (x)的导函数).解析(1)易求得f (x)的递减区间为(一a, 52),递增区间为(ln2, , ln2为f (x)的极小值点.(2)构造函数F (x) =f (ln2+x) -f (ln2-x) =eln2+x—2 (ln2+x) —eln2 —x+2 (ln2 —x) =2 (ex —e —x —2x) . /.F (x)在(0, F' (x) =2 (ex+c —x —2) 20,+8)单调递增,又F (0)二0,・・・在(0, +8)上F (x) >0,即f (ln2+x) >f (ln2 —x),又Vxl, x2为不相等的两个正数，不妨设xl<x2,由(1)知0<xl<ln2, x2>ln2, Af (xl) =f (x2) =f [ln2+ (x2-ln2) ] >f [ln2-(x2-ln2) ] =f (21n2-x2) , TOV又彳匕)在(一ln2)单调xl<ln2, 21n2-x2<ln2,递减，Axl<21n2-x2, A<ln2,又f' (x)xl+x2<ln2,从而122a3x2=ln (1+ax) —In (1—ax) —2ax, F' (x)=.1—a2x21时，F' (x) >0, F (0) =0,所以当OVxVaF (X) >0,即当OVxV111时，+x) >f ( —X)・ f(3Q3(III)由(I )得当a^O,函数f (x)的图象与x轴至多有一个交点，不符合题意，故a>0.B (x2, 0<xl<x2,则x2>不妨设A (xl, 0) , 0) , 1121>xl>0 —xl>>—xl>Oaaaa112—xl) =f+ (—xl)] >由(II)知f (aaaf (xl) =0=f (x2),从血x2> 2—xl,于是x0=3=cx-2是单调递增函数，xl+x21>,由(I )知f' (xO) <0. 2a评注本题同例2类似，实际上是证明极值点・・・f' (12) Vf' (ln2) =0.评注同样，本题也是证明极值点偏右的问题.。

（完整word版）高中数学极值点偏移问题

（完整word版）⾼中数学极值点偏移问题极值点偏移问题沈阳市第⼗⼀中学数学组：赵拥权⼀：极值点偏移（俗称峰⾕偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有⼀个极⼤（⼩）值点x0,⽅程f(x)=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且a 若x1+x22≠x0，,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0偏移；（1）x1+x22>x0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；（2）x1+x22⼆：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有⼀个极⼤（⼩）值点x0,⽅程f(x)=0（f(x)=m)的解分别为x1,x2且a （1）若f(x1)2（2）若f(x1)2>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极⼩值点x0左偏;（即⾕偏左）（3）若f(x1)>f(2x0?x2)则x1+x22>x0即函数f(x)在区间上（a,b）极⼤值点x0左偏;（即峰偏左）（4）若f(x1)>f(2x0?x2)则x1+x22拓展：1）若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2ba x +=①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a -x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a -x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a -x)>(<)f(x+a)(f(x)> (<)f(2a -x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰⾕偏函数)其中①极⼤值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极⼩值偏左（或偏右）也称⾕偏左（或右）；性质：1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则 x 1+x 2=2a <=>f (x 1)=f(x 2),(f ′(x 1)+f ′(x 2)=0,f ′(x 1+x 22)=0);2)已知函数是满⾜条件的极⼤值左偏（峰偏左）若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则f (x 1)=f(x 2)则x 1+x 2>2a ,及f ′(x 1+x 22)<0极值点偏移解题步骤：①求函数f(x)的极值点x 0；②构造函数F(x)=f(x+x 0)-f(x 0?x) (F(x)=f(x 0?x )-f(x 0+x), F(x)=f(x+2x 0)-f(?x) , F(x)=f(x)-f(2x 0?x))确定F(x)单调性③结合F(0)=0（F(-x 0)=0,F(x 0)=0)判断F(x)符号从⽽确定f(x+x 0),f(x 0?x)( f(x+2x 0)与f(?x); f(x)与f(2x 0?x)）的⼤⼩关系; 答题模式：已知函数y=f(x)满⾜f (x 1)=f(x 2),x 0为函数y=f(x)的极值点,求证：x 1+x 2<2x 0 ①求函数f(x)的极值点x 0；②构造函数F(x)=f(x+x 0)-f(x 0?x) 确定F(x)单调性③判断F(x)符号从⽽确定f(x+x 0),f(x 0?x) 的⼤⼩关系;假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从⽽得到x>0时f(x+x 0)>f(x 0?x) ④1.（2016年全国I ⾼考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.2. (2010年⾼考天津卷理科21)（本⼩题满分14分）已知函数f(x)=xe -x（x ∈R ）.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2x e-令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时，2x-2>0,从⽽2x-2e 10,0,F x e -->>⼜所以’(x)>0,从⽽函数F （x ）在[1,+∞)是增函数。

导数之极值点的偏移

导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。

如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。

说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。

若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。

反之极值点偏移。

如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。

二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。

其中21x x ＜（1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。

四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。

求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。

求证：（1）、e x x 221＞＋（2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。

求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。

导数压轴：极值点偏移

一：极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x 是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且12()()f x f x ，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点122x x x ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点122x x x 的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”（左移或右移）.二：极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，. 二是利用“对数平均不等式”证明（证明方法见例题）.那么什么是对数平均不等式呢？三：对数平均不等式：已知,a b 为两不等的正实数，我们称ln ln ab a b 为,a b 的“对数平均数”．它与,a b 的“几何平均数ab ”及“算术平均数2b a ”之间有如下不等关系：ln ln 2a b a babab（a=b 的情况几乎不研究，可自行补充）。

证明：不妨设0a b ．先证ln ln a b aba b ，即证ab ba ba ln，令(1)a t tb，设1()2ln (1)f t tt tt，则0)1(112)(222t t ttt f ，所以()f t 在),1(递减，而(1)0f ，因此当1t时，1()2ln 0f t tt t恒成立，即ab ba ba ln成立．再证ln ln 2a b a bab，即证1)1-(2>ln +ba b a ba ，令(1)a t tb，2(1)g()ln (1)1t t ttt ，。

极值点偏移极值点偏移判定定理(11)

一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.[KS5UKS5U]（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f .【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5UKS5U.KS5U 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x ∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值； (2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x .★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。

2024年高考重难专攻(四)极值点偏移问题

所以f′(x)≥0在[2,5]上恒成立，即2x＋a－ax≥0对任意x∈[2,5]恒成立，所以a≥－x－2x12对任意x∈[2,5]恒成立，即a≥－x－2x12max，x∈[2,5]．
令 g(x)＝－x－2x12(x∈[2,5])，则 g′(x)＝－2xx－2＋142 x≤0(x∈[2,5])，所以 g(x)在[2,5]上单调递减，所以 g(x)在[2,5]上的最大值为 g(2)＝－8．所以 a 的取值范围是[－8，＋∞)． (2)当 a＝2 时，方程 f(x)＝x2＋2m，即 x－ln x－m＝0，令 h(x)＝x－ln x－m(x>0)，则 h′(x)＝1－1x，当 x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以 h(x)min＝h(1)＝1－m．若方程 f(x)＝x2＋2m 有两个不等实根，则有 h(x)min<0，即 m>1．
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系；
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x 之间的关系，进而得到所证或所求．
已知函数f(x)＝(x－1)ex－a，a∈R ．
(1)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围； (2)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<0．解：(1)由f(x)＝0得a＝(x－1)ex，令g(x)＝(x－1)ex，∵g′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，由g′(x)>0得x>0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g′(x)<0得x<0，∴函数g(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴当x＝0时，函数f(x)有极小值同时也是最小值， g(x)min＝g(0)＝－1，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，当x→－∞时，g(x)<0，且g(x)→0，则要使a＝g(x)有两个不同的零点，则－1<a<0，即当－1<a<0时，函数f(x)有两个零点．

导数压轴题型第9讲极值点偏移问题(mathtype WORD精编版)

极值点偏移深度研究目录第一节极值点偏移的初步认识及判定定理 (2)第二节极值点偏移之构造法 (9)第三节含参数的极值点偏移问题 (14)第四节极值点偏移的导数表达形式 (18)第五节利用ALG不等式解决极值点偏移问题 (26)第一节极值点偏移的初步认识及判定定理一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有()()00f x x f x x +=-，则函数)(x f 关于直线0x x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则0x x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为0x ，且函数)(x f 满足定义域内0x x =左侧的任意自变量x 都有()()f m x f m x +>-或()()f m x f m x +<-，则函数)(x f 极值点0x 左右侧变化快慢不同，故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点0x 必有确定的大小关系：若1202x x x +<，则称为极值点左偏；若1202x x x +>，则称为极值点右偏. 如函数xe x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，则为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：1202x x x +>(0x 为函数)(x f 的极值点)；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：1202x x x +>(0x 为函数)(x f 的极值点)；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭. ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭. .三、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大(小)值点0x ，方程()0f x =的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，(1)若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大值点0x 右偏(极小值点左偏)；(2)若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大值点0x 右偏(极小值点左偏).证明：(1)因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大(小)值点0x ，则函数)(x f 的单调递增(减)区间为),(0x a ，单调递减(增)区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极(小)大值点0x 右(左)偏； (2)证明略.左快右慢⇔极值点左偏1202x x x +⇔<左慢右快⇔极值点右偏1202x x x +⇔>(极大值极小值均如此) 四、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述(1)求出函数)(x f 的极值点0x ；(2)构造一元差函数()()0()2F x f x f x x =--； (3)确定函数)(x F 的单调性；(4)结合()00F x =，判断)(x F 的符号，从而确定()f x 与()02f x x -的大小关系. 2、答题模板若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. (1)讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. (2)构造()()0()2F x f x f x x =--；注：此处根据题意需要还可以构造成)()()(00x x f x x f x F --+=的形式.(3)通过求导()()0'()''2F x f x f x x =+-讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在()0,x +∞上的正负，并得出()f x 与()02f x x -的大小关系；假设此处)(x F 在()0,x +∞上单调递增，那么我们便可得出0()()0F x F x >=，从而得到：0x x >时，()()02f x f x x >-.(4)不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，()f x 与()02f x x -的大小关系得出结论；由于0x x >时，()()02f x f x x >-且201x x x <<，)()(21x f x f =，故()()()12022f x f x f x x =>-，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.(5)若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 五、对点详析，利器显锋芒已知函数)()(R x xe x f x∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x . 【解析】(1)()1'xx f x e -=，()f x 在()(),1,1,-∞↑+∞↓，()f x 极大值为()11f e = (2)构造函数()()()2F x f x f x =--，则()()()()()111'''211x x x xF x f x f x e e e---=+-=+-当1x >时，()'0F x >，()F x ↑，则()()10F x F >=，即()()2f x f x >- 不妨设121x x <<，则()()()1222f x f x f x =>-又121,21x x <-<，()f x 在(),1-∞↑，则122x x >-，即122x x +> 函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .【解析】易得()f x 在()(),1,1,-∞↓+∞↑构造函数()()()11F x f x f x =+--，则()()()2''1'1160F x f x f x x =++-=≥故()F x 在R 单调递增，又()00F =，故当0x >时，()()00F x F >=，即()()11f x f x +>- 不妨设121x x <<故()()()()()()()1222211112f x f x f x f x f x ==+->--=-(210x ->) 又121,21x x <-<，函数()f x 在(),1-∞-↓ 故122x x <-，即122x x +<【点评】与构造()()()02F x f x f x x =--相比，在第(4)步上要略难一些已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】()22212'x f x x x x-=-+= 故()f x 在()()0,2,2,↓+∞↑构造函数()()()()404h x f x f x x =--<<，则()()()()()()222228222'''444x x xh x f x f x x x x x ---=+-=+=--- 故当04x <<时，()'0h x ≤恒成立，则()h x ↓，而()20h =，故24x <<时，()()20h x h <=，即()()4f x f x <-不妨设1202x x <<<，当24x ≥，124x x +>成立当12024x x <<<<，则()()()1224f x f x f x =<- 又1202,042x x <<<-<，且()f x 在()0,2↓ 故124x x >-即124x x +> 综上124x x +> 已知函数()22xa g x e x =+，其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数，()f x 是()g x 的导函数.(1)求()f x 的极值；(2)若1a =-，证明：当12x x ≠，且()()12f x f x =时，120x x +<. 【解析】(1)()()xf xg x e ax ==+'的定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=+当0a ≥时， ()0f x '>在(),x ∈-∞+∞时成立()f x ∴在(),-∞+∞上单调递增，()f x 无极值.当0a <时， ()0xf x e a ='+=解得()ln x a =-由()0f x '< 得()ln x a <-；由()0f x '> 得()ln x a >-所以()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，故()f x 有极小值()()()ln ln f a a a a -=-+-.(2)当1a =-时，()xf x e x =-的定义域为(),-∞+∞， ()1xf x e '=-，由()10xf x e ='-=，解得0x =.当x 变化时， ()f x '， ()f x 变化情况如下表：()f x 在()(),0,0,-∞↓+∞↑∵12x x ≠，且()()12f x f x =，不妨设120x x <<构造函数()()()F x f x f x =--，则()1'20xxF x e e =+-≥ 故()F x 在R 上单调递增，又()00F =，故当0x >时，()0F x >，即()()f x f x >-又()()()122f x f x f x =>-，而120,0x x <-<，()f x 在(),0-∞↓ 故而12x x <-，即120x x +<已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点. (1)求a 的取值范围；(2)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【解析】(1)()()()()()'12112x xf x x e a x x e a =-+-=-+①当0a =时，()f x 只有一个零点，不满足题意 ②当0a >时，()f x 在(),1-∞↓，()1,+∞↑而()10f e =-<，()3340f e a =+>，且x →-∞时，()0f x >故()f x 有两个零点，满足题意③当0a <时，()'0f x =有两个根11x =，()2ln 2x a =-a)当2ea =-时，12x x =，()f x 在R 上单调递增，不满足题意 b)当2e a <-时，21x x >，()f x 在()()()1122,,,,,x x x x -∞↑↓+∞↑ 而()()110f x f e ==-<，最多只有一个零点，不符合题意c)当02e a >>-时，21x x <，()f x 在()()()2211,,,,,x x x x -∞↑↓+∞↑而()()()()()()()()()222ln 222ln 21122ln 210f x a a a a a a a =⎡--⎤-+--<--+--<⎣⎦最多只有一个零点，不符合题意综上，a 的取值范围属于()0,+∞(2)由(1)可得0a >，且()f x 在(),1-∞↓，()1,+∞↑ 不妨设121x x <<令()()()2F x f x f x =--，则()()()()()()11'''2111x xx F x f x f x x e ee --=+-=-+-当1x >时，()'0F x >，()F x ↑，故()()2f x f x >- 故()()()1222f x f x f x =>-又121,21x x <-<，()f x 在(),1-∞↓ 故122x x <-，即122x x +< (2013 湖南文)已知函数21()1xx f x e x-=+，证明：当1212()()()f x f x x x =≠时，120.x x +< 【解析】()()()22223'1x x x x f x e x --+=+，故()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减构造函数()()()h x f x f x =--，则()()()()()()()2222'''23231xx xh x f x f x e xx e x x x--=+-=-+-+++设()()()222323x x g x e x x e x x -=-+-++，则()()()2'10x xg x x e e -=++>故当0x >时，()()00g x g >=故当0x >时，()h x 单减，又()00h =，故当0x >时，()()f x f x <- 不妨设120x x <<则()()()122f x f x f x =<-又120,0x x <-<，()f x 在(),0-∞↑，故12x x <-，即120x x +<已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈(1)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>. 【答案】(1)102a e<<;(2)见解析【解析】()()2112'20ax f x ax x x x-=-=>(1)当0a ≤时，()0f x '>函数()f x 在()0,+∞上单调递增，不可能有两个零点(2)当0a >时，()f x 在110,,,22a a ⎛⎫⎛⎫↑+∞↓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()f x 的极大值为，由11ln 022a ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭得102a e <<；因为()()22ln 0aaaa f ee aea ae ----=-=--<，所以()f x 在1,2a e a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭必存在一个零点；显然当x →+∞时，()0f x <，所以()f x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上必存在一个零点；故而a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)由(1)可知，0a >且11112222f a a ==-，故12a = 构造函数()()()2F x f x f x =--()02x <<，则()()()()()22111'''2222x F x f x f x x x x x -=+-=+-=-- 故当12x <<时，()'0F x >，()F x ↑，故()()10F x F >= 当22x ≥时，又10x >，故122x x +>成立当12012x x <<<<，则()()()1222f x f x f x =>- 又1201,021x x <<<-<，()f x 在()0,1↑ 故而122x x >-，即1224x x a +>= 综上1224x x a +>=第二节极值点偏移之构造法函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.已知函数()()xf x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =.证明：12 2.x x +>【解法一】构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈，则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e ex x f x f x F ，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以122x x -<，即证12 2.x x +>【解法二】构造函数()()()2H x f x f x =--证明【解法三】由12()()f x f x =，得1212x xx e x e --=，化简得2121x x x ex -=…①，不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得11tt x e x +=，反解出11ttx e =-，则121221t tx x x t t e +=+=+-，故要证122x x +>，即证221t tt e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0tt t e +-->…②，构造函数()2(2)(1),(0)tG t t t e t =+-->，则()(1)1,()0ttG t t e G t te '''=-+=>，故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，即122x x +>【解法四】由解法三可得2121x x x ex -=，两边取对数可得，2121ln ln x x x x -=-，即2121ln ln 1x x x x -=- 故()221121121221211lnln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭+=+=-- 令211x t x =>，则需证明1ln 21t t t +>- 构造(1)ln 2()(1)ln ,(1)11t t M t t t t t +==+>--，则2212ln ()(1)t t tM t t t --'=-，又令2()12ln ,(1)t t t t t ϕ=-->，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ϕ'=-+=--，由于1ln t t ->对(1,)t ∀∈+∞恒成立，故()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)t ∈+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，从而()0M t '>，故()M t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，由洛比达法则知：1111(1)ln ((1)ln )1lim ()lim lim lim(ln )21(1)x x x x t t t t t M t t t t t→→→→'+++===+='--，即证()2M t >，即证式成立，也即原不等式122x x +>成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.已知函数2()ln f x x x x =++，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=.证明：1251x x -+≥. 【解析】由1212()()0f x f x x x ++=，得2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++= 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=-，令12t x x =，构造函数()ln t t t ϕ=-，得11()1t t t tϕ-'=-=，可知()t ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1t ϕϕ≥=，也即21212()()1x x x x +++≥，解得：12512x x -+≥. 设函数21()2ln (0)f x a x a ax a x=-->，函数()f x '为()f x 的导函数，且1122(,()),(,())A x f x B x f x 是()f x 的图像上不同的两点，满足12()()0f x f x +=，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0 1.ax >【分析】根据极值点偏移逆推法构造类似函数【解析】∵120121212x x ax x x a a +>⇔>⇔>-，又依题意21()()0f x a x'=-≥，得()f x 在定义域上单调递增，所以要证01ax >，只需证2122()()()f x f x f x a-=>-，即222()()0f x f x a-+<……①不妨设12x x <，注意到1()0f a =，由函数单调性知，有1211,x x a a<>，构造函数2()()()F x f x f x a=-+，则32224(1)()()()(2)ax F x f x f x a x ax -'''=--=--，当1x a ≥时，()0F x '≤，即()F x 单调递减，当1x a >时，1()()0F x F a<=，从而不等式①式成立，故原不等式成立.已知函数()ln f x x x =-． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若方程()f x m =(2)m <-有两个相异实根1x ，2x ，且12x x <，证明：2122x x <.【解析】(1)易得()y f x =在(0,1)递增，在()1,+∞递减 (2)由(1)可设的两个相异实根分别为，满足且，由题意可知又有(1)可知在递减故所以，令第三节含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.过点()1,0P -作曲线()xf x e =的切线l ．(1)求切线l 的方程； (2)若直线l 与曲线()()ay a R f x =∈交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：124x x +<-．【答案】(1)1y x =+(2)见解析【分析】需要先变形成()()12g x g x =的形式，在构造函数【解析】 (1)略 (2)()1a y x f x =+=，则()1xe x a += 设()()1xg x ex =+，则()()12g x g x a == 又()()'2xg x ex =+，故易知()g x 在()(),2,2,-∞-↓-+∞↑，02x =-是()g x 的极小值设()()()4H x g x g x =---，则()()()()()()22411'''42xx xee H x g x g x x e++++-=+--=+当2x >-时，()'0H x >，故()H x 在()2,-+∞上单调递增不妨设122x x <-<则()()220H x H >-=，即()()224g x g x >-- 又()()12g x g x =，故()()124g x g x >-- 又2142,2x x --<-<-，()g x 在(),2-∞-↓故124x x <--，即124x x +<-函数xae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且12<x x ，证明：421>+x x .【分析】需要先变形成()()12h x h x =的形式，再构造函数【解析】令()()'22xg x f x x ae ==-+，则12,x x 是函数()g x 的两个零点，令()0g x =，得()21xx a e-=-，令()()21xx h x e-=-，则()()12h x h x =()24'xx h x e -=，可得()h x 在区间()(),2,2,-∞↓+∞↑ 令()()()22H x h x h x =+-- 则()()()()22222''2'2x x x xx e e H x h x h x ee-++--=++-=当0x >时，()'0H x <，()H x ↓，有()()00H x H <= 所以)2()2(x h x h -<+，不妨设122x x <<所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==，因为21<x ，242<-x ，)(x h 在)2,(-∞上单调递减所以214x x ->，即421>+x x已知函数xae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .【解析】令()0xf x x ae =-=，则xxa e =，设()x x g x e =，则()()12g x g x =，易知()g x 在()(),1,1,-∞↑+∞↓ 构造函数()()()2F x g x g x =--，则()()()()()111'''211x x x x F x g x g x e e e---=+-=+-当1x >时，()'0F x >，()F x ↑，则()()10F x F >=，即()()2g x g x >- 不妨设121x x <<，则()()()1222g x g x g x =>-又121,21x x <-<，()g x 在(),1-∞↑，则122x x >-，即122x x +>已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：212.x x e ⋅>【解析】法一：转成标准的极值点偏移问题21212ln ln 2x x e x x >⇔+>ln ln ln ln 0x x x x ax a x e -=⇔==，故1212ln ln ln ln x x x x e e=，设1122ln ,ln t x t x ==，()x xg x e = 则()()12g t g t =，需证明122t t +>法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数：不妨设12x x >，∵1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，∴12121212ln ln (),ln ln ()x x a x x x x a x x +=+-=-，∴1212ln ln x x a x x -=-，欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>.∵1212ln ln ()x x a x x +=+，∴即证122a x x >+，∴原命题等价于证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+(ALG 不等式)法三：直接换元构造新函数：12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x ==⇔=设2121,,(1)xx x t t x <=>，则112111ln ln ln ,ln ln tx t x x tx t t x x +==⇔=，反解出：1211ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln 111t t t tx x tx t x t t t t ===+=+=--- 故212121ln ln 2ln 21t x x e x x t t +>⇔+>⇔>-，转化成法二，下同，略. 已知21,x x 是函数ax e x f x-=)(的两个零点，且21x x <. (1)求证：221>+x x ； (2)求证：121<⋅x x . 【解析】，(1)法一：构造成标准的极值点偏移问题0x xe e ax a x -=⇔=，设()xe g x x=，则()()12g x g x =()()21'x e x g x x-=，易知()g x 在()()(),0,0,1,1,-∞↓↓+∞↑，不妨设1201x x <<< 构造函数()()()2h x g x g x =--，则()()()()()()()22122'''22x xx x x e ex x e ex h x g x g x x x e ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=+-=- 设()()2x x x e ex ϕ=--，则当()0,1x ∈时，()()()'1,''0x xx x e e x xe ϕϕ=--=-<，故()'x ϕ↓，又()'010e ϕ=-<，故()()'0,x x ϕϕ<↓，又()10ϕ=，故()0x ϕ>在()0,1上恒成立故()h x 在()0,1上单调减，故()()10h x h >=，即()()2g x g x >-故()()()2112g x g x g x =>-，又211,21x x >->，()g x 在()1,+∞↑，故212x x >-，即122x x +> 法二：构造齐次式，多变量转单变量1212x x e ax e ax ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则()()21211221x x x x e e a x x e e a x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，则()2121122111x x x x e x x x x e --++=-- 设210t x x =->，即证121t t e t e +>-，即()2201t t tte t e e +-+>>令()22t t g t te t e =+-+，则()()'11t g t t e =-+，()''0tg t te =>，()()','00g t g ↑=，故()()'0,g t g t >↑，()00g =，故()0g t >，得证 (2)法一：构造成标准的极值点偏移问题0xx ee ax a x-=⇔=，则1212x x e e x x =，取对数可得1122ln ln x x x x -=- 设()ln g x x x =-，则易知()g x 在()()0,1,1,↓+∞↑，不妨设1201x x <<<即证12ln ln 0x x +<，而()ln ln x g x e x =-，设()xh x e x =-，1122ln ,ln t x t x ==，则()()12h t h t =，即证120t t +< 法二：构造齐次式，多变量转单变量要证：121<x x ，即证：1221<⋅ae e x x ，等价于212)(1221x x e e e e x x x x --<⋅，也即2122)(1)(1221x x e e e e x x x x -<-⋅，等价于2122)(1)1(1212x x e e x x x x -<---，令012>-=x x t等价于)0(1)1(22><-t t e e t t ，也等价于)0(112><-t t e e t t，等价于即证：012<+-⋅t t e e t 令)0(1)(2>+-⋅=t e e t t h t t，则)21(21)(2222tt tt t e t e e e t e t h -+=-⋅+='，又令)0(21)(2>-+=t e t t t ϕ，得0221)(2<⋅-='te t t ϕ，∴)(t ϕ在),0(+∞单调递减， 0)0()(=<ϕϕt ，从而0)(<'t h ，)(t h 在),0(+∞单调递减，∴0)0()(=<h t h ，即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数a ，得到一个关于21,x x 的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.第四节极值点偏移的导数表达形式一、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：1202x x x +>(0x 为函数)(x f 的极值点)；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：1202x x x +>(0x 为函数)(x f 的极值点)；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭. 二、答题模板若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭. (1)讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. (2)构造()()0()2F x f x f x x =--；注：此处根据题意需要还可以构造成)()()(00x x f x x f x F --+=的形式.(3)通过求导()()0'()''2F x f x f x x =+-讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在()0,x +∞上的正负，并得出()f x 与()02f x x -的大小关系；假设此处)(x F 在()0,x +∞上单调递增，那么我们便可得出0()()0F x F x >=，从而得到：0x x >时，()()02f x f x x >-.(4)不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，()f x 与()02f x x -的大小关系得出结论；由于0x x >时，()()02f x f x x >-且201x x x <<，)()(21x f x f =，故()()()12022f x f x f x x =>-，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.(5)若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 设函数2()2ln f x x x =-，()()g x f x kx =-，设1212,()x x x x <是方程()0g x =的两个根，0x 是12,x x 的等差中项，求证：0()0g x '<(()g x '为函数()g x 的导函数).【解析】标准的极值点偏移问题设函数()()xf x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，(1)证明：0)('21<x x f ； (2)求证：1212x x x x <+. 【解析】法一：构造齐次式，多变量转单变量121200x x e ax a e ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，则2121x x e e a x x -=-()'x f x e a =-↑122x x +，故只需证12'02x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭而1221122112122222112222121'2x x x x x x x x x x x x ex x e e x x e e f e a e x x x x +--++⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪+-⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-=-= ⎪--⎝⎭设2102x xs -=>，则()()12212'222x x ss x x ef s ee s +-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设()2s s g s s e e -=-+，则()'20s sg s e e -=--<，故()g s 是单调递减函数故()()00g s g <=，即12'02x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭，故'0f <法二：化成极值点偏移标准问题()'x f x e a =-↑，有两个零点，故0a >，令()'0f x =，解得ln x a =，函数()f x 在()(),ln ,ln ,a a -∞↓+∞↑构造函数()()()2ln h x f x f a x =--，则()()()2'''2ln 0h x f x f a x ⎫=+-=≥ 故当ln x a >时，()()ln 0h x h a >=，()()2ln f x f a x >- 不妨设12ln x a x <<，则()()()1222ln f x f x f a x =>-又12ln ,2ln ln x a a x a <-<，()f x 在(),ln a -∞↓，故122ln x a x <-，即12ln 2x x a +< 故12'02x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭思路较难(2)证明：由1212(1)(1)x x e a x e a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，易知211x x >>且a e >，从而11221211x x xx x e e e x --==-，令121,1x x αβ=-=-，则ln ln 1eαβααββαβ--=⇒=-，由于12121x x x x αβ<+⇔<，下面只要证明：11,(01)αββαβα<⇔<<<<，结合对数函数ln y x =的图像可知，只需证：11(,ln ),(,ln )αααα两点连线的斜率要比(,ln ),(,ln )ααββ两点连线的斜率小即可，又因为ln ln 1k αβαβ-==-，即证：1ln ln112ln 0(01)1αααααααα-<⇔-+><<-，令1()2ln 0,(01)g ααααα=-+><<，则22212(1)()10g ααααα-'=--+=-<，∴()g α在(0,1)上单调递减，∴()(1)0g g α>= ∴原不等式1212x x x x <+成立. 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+-- . (1)讨论()f x 的单调性；(2)设0a >，证明：当0x a <<时，()()f a x f a x +<- ；(3)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)当时，；(3)证明过程见解析(2)令，则.求导数，得，当时，，在上是减函数.而，，故当时，(3)由(1)可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则，，由(2)得从而，于是，由(1)知， .点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在(1)中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．(2)通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．(3)要充分利用(1)(2)问的结论.已知函数()()2ln 2,g x x ax a x a R =-+-∈. (1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-， 1212,()x x x x <是函数()f x 的两个零点，()f x '是函数()f x 的导函数，证明：1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭'. 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：(1)先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当0a ≤时， ()0g x '>， ()g x 递增，当0a >时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)利用分析法先等价转化所证不等式：要证明1202x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭'，只需证明121212ln ln 20x x x x x x --<+- 12(0)x x <<，即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明12112221ln 1x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，再令()120,1x t x =∈，构造函数()()1ln 22h t t t t =+-+，利用导数研究函数()h t 单调性，确定其最值： ()h t 在()0,1上递增，所以()()10h t h <=，即可证得结论.试题解析：(1) ()g x 的定义域为()0,+∞， ()()122g x ax a x-'=+- 当0a ≤时， ()0g x '>， ()g x 递增当0a >时， ()()()()()2221211122ax a x x ax g x ax a x x x -+-++-'+=-+-==()()10,0,xg x g x a '<递增； ()()1,0,x g x g x a'><递减综上：∴当0a >时， ()g x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当0a ≤时， ()g x 的单调增区间为()0,+∞即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明()12112221ln *1x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+ 令()120,1x t x =∈，则()()1ln 22h t t t t =+-+ 则()1ln 1h t t t +'=-， ()2110h t t t -'=<' ∴()h t '在()0,1上递减， ()()10h t h ''>=，∴()h t 在()0,1上递增， ()()10h t h <= 所以()*成立，即1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'已知函数()ln f x x =. (1)证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；(2)若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ，2x (12x x <，0a >)，证明：12213x x g a +⎛⎫<-⎪⎝⎭'. 【答案】(1)详见解析(2)详见解析试题解析： (1)欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+，()()()22101x K x x x '-=>+，()K x ∴在()1,+∞上递增， ()()10K x K ∴>=(2)1x >， ()21ln 1x x x ->+，令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减， ()10s =，01x <<， ()0s x >， ()h x ↑， 1x >， ()0s x <， ()h x ↓， ()()1h x h ∴≤， 1x >， ()0h x >， 0x →， ()h x →-∞，要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证第五节利用ALG 不等式解决极值点偏移问题前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若()f x 的极值点为0x ，则根据对称性构造一元差函数()()()02F x f x f x x =--，巧借()F x 的单调性以及()00F x =，得到()2f x 与()022f x x -的大小关系，再利用()()12f x f x =，()f x 的单调性，比较1x 与022x x -的大小，即比较0x 与212x x +的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩. 本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据()()12f x f x =建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用ALG 不等式链求解．对数平均不等式的介绍与证明若0b a <<，则有2ln ln a b a ba b+->>-即两不相等的正数的算术平均大于对数平均大于几何平均，称为ALG 不等式证明如下： (I)先证：ln ln a ba b->-①不等式①1ln ln ln 2ln (1)a a b x x x b x ⇔-<⇔<⇔<-=>其中构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x=-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--. 因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立； (II)再证：2ln ln a b a ba b+->-……② 不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)(1)aa b a x b a b x x a a b b x b---⇔->⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++. 因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<. 【解析】由12()()0f x f x ==22111222ln (2)ln (2)0x ax a x x ax a x ⇔-+-=-+-= 2212121212ln ln 2()()x x x x a x x x x ⇒-+-=-+-1212221212ln ln 2()x x x x a x x x x -+-⇒=-+-故要证12001()02x x f x x a+'<⇔=> 2212121212121212121ln ln 2ln ln 2()2x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++⇔>=--+-+-121212ln ln 2x x x x x x -⇔<+-.根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证. 已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：12210x x e <<【解析】()'ln 1f x x =+，故()f x 在110,,,e e ⎛⎫⎛⎫↓+∞↑ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设1210x x e <<<又110f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且()00021ln lim lim lim 011x x x x x f x x x -→+→+→+===-，故10m e -<< 1122ln ln x x m x x m =⎧⎨=⎩，则1122ln ln m x x m x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩相加可得()121212ln ln m x x x x x x ++=，相减可得()211212ln ln m x x x x x x --=由ALG 不等式可得121212ln ln 2x x x xx x -+<-即()121212ln ln 2x x x x x x m m+-<故12ln ln 2x x +<-，即1221x x e < 已知函数()ln f x xx =，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212x x e ⋅>. 【解析】()21ln x f x x-'=，()f x 的增区间为()0,e ，减区间为(),e +∞，可判断10k e << 不妨设120x x >>因为()()120g x g x == 所以化简得11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=可得()1212ln ln x x k x x +=+， ()1212ln ln x x k x x -=-. 由ALG 不等式可得121212ln ln 2x x x x x x -+<-，即()12ln ln 12x x k k+<，即()12ln ln 20x x k +>> 故212x x e >点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后再利用导数来证明. 已知函数()ln axf x x=，若方程()1f x =有两个不相等的实数解12,x x ，证明：122x x e +>. 【解析】由()()121222121121ln ln ln ln l ln n x x ax x a x x x ax x x a x x ⎧-=-=⎧=⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪⎩ 12122.x x x x +>212x x e >由ALG 不等式可得121212ln ln 2x x x x x x -+<-，即()12ln ln 12x x a a+<，即()12ln ln 20x x a +>> 故212x x e >已知函数()()ln ,.bf x x a a b R x=+-∈ (1)讨论函数()f x 的单调区间与极值；(2)若0b >且()0f x ≥恒成立，求11a e b --+的最大值； (3)在(2)的条件下，且11a e b --+取得最大值时，设()()1a Fb m m R b-=-∈，且函数()F x 有两个零点12,x x ，求实数m 的取值范围，并证明：212.x x e >【解析】 (1)()2'x bf x x -=，当0b ≤时，()f x 在()0,+∞↑，无极值当0b >时，()f x 在()()0,,b b ↓+∞↑，极小值为()ln 1f b b a =+-，无极大值(2)由(1)可得当0b >时，()min ln 10f x b a =+-≥即1a b e -≥，即10a e b --≤故()1max11a e b --+=(3)由(2)知，当11a e b --+取最大值1时，()()1ln 1ln ,0a beb a b F b m b b-=⇒-=⇒=->，记()()ln 0xF x m x x=->， ()0ln 0F x x mx =⇒-=，不妨设12x x <，由题意1122{lnx mx lnx mx ==，则()1212ln x x m x x =+，()22121121lnln x x x m x x m x x x =-⇒=-，欲证明212x x e >，只需证明()12ln 2x x >，只需证明()122m x x +>，即证明122211ln 2x x x x x x +>-，即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明1ln 21t t t ->⋅+，也就是证明1ln 201t t t --⋅>+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=-⋅>+，所以()()()()222114011t u t t t t t -=-=+'>+，所以()u t 在()1,+∞单调递增，所以()()10u t u >=，所以原不等式成立.已知函数()()()ln ,1a xf xg x b x x==+，其中0,0a b ≠≠，已知函数()f x 的曲线与函数()g x 的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为12,x x ，证明：()12122x x g x x a++>. 【解析】第31页共31页 ()()21112222ln ln a x b x x a x b x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则()()()121212ln ln 1a x x b x x x x -=-++ 而()()()()()12121212121212ln ln 1x x x x x x b g x x x x x x a a x x -+++=+++=- 即证()()121212ln ln 2x x x x x x -+>- 利用ALG 不等式即可证明。

专题07 极值点偏移问题 (解析版)

导数及其应用专题七：极值点偏移问题一、知识储备1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。

若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210xx x +≠。

如下图所示。

图1 极值点不偏移图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。

2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-. (3)判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．(4)比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．(5)转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．[提醒] 若要证明122x x f +⎛⎫'⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．二、例题讲解1．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，若在()f x 定义域内存在两实数1x ，2x 满足12x x <且()()12f x f x =，证明：122x x +>.【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得m x m =，当0mx m <<时，()0f x '>，当m x m >时，()0f x '<，于是得()f x 在(0,)m m 上单调递增，在(,)mm+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在(0,)m m 上单调递增，在(,)mm+∞上单调递减；（2）分析：如图：1201x x <<< 要证122x x +> 只需证：122x x -<由于101x <<，则112x <-即只需证1212x x <-< 如图，只需证12(2)()f x f x ->；由于()()12f x f x = 只需证11(2)()f x f x ->此时可构造函数()()(2)F x f x f x =--（即用x 替代了上式1x ）只需证：在01x <<，()()(2)0F x f x f x =--<。

极值点偏移

大话极值点偏移想必极值点不用说是什么东西了吧，但是——它怎么就偏移了呢？今儿个，我就给你上节课，这个极值点偏移呀，不难，但是比较有意思。

先给上个图比划比划什么叫极值点偏移。

翠花，上图——仨图里面x 0都是极值点，没标y 轴。

看甲，两边对称，不偏移，2210x x x +=。

再看乙，极值点左偏，2210x x x +<；丙，极值点右偏，2210x x x +>。

其实就是比较2x 0和x 1+x 2的大小关系。

看出来了吧，发生极值点偏移时，极值点两侧一段区间内函数值增速或减速不同。

下面咱看看这只“减毒病毒”长啥样。

例2-1-1已知xx x f e )(=。

(I)求f (x )的单调区间和极值；(II)若g (x )与f (x )的图像关于直线x =1对称，求证：x >1时，f (x )>g (x )；(III)若对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，有f (x 1)=f (x 2)，求证：x 1+x 2>2。

第一问不说了，(-∞,1)上单增，(1,+∞)上单减；e1)1()(==f x f 极大值，没有极小值。

(II)问其实一画图特直观，看右边吧。

当然了，我把纵坐标画得夸张了一点，为的是能看清楚点儿。

看图好像是显然的，下面咱来证一下。

走一个)()()(x g x f x F -=，实际上)2()(x f x g -=，因为对称嘛，所以)2()()(x f x f x F --=，这叫做对称化构造，)(x F 叫做对称函数/*P.S.这个名词是我自己编的*/。

下面的基本思路就是走)(x F 单调，判正负，因为只从)(x F 的解析式出发的话正负和单调都不太好判。

求个导吧，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=-⋅---=--x x x x x x x x x x x f x f x F e 1e1)1(e 1e 1d )2(d )2(d )2(d )(')('22。

极值点偏移问题的处理策略含探究.docx

极值点偏移问题的处理策略所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。

若函数f (x) 在 x x 0 处取得极值，且函数 y f ( x) 与直线 y b交于 A(x 1, b) , B( x 2 ,b) 两点，则 AB 的中点为 M (x 1 x 2, b) ，而往往 x 0x 1x2.如下图22所示 .极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。

而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。

不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】一、不含参数的.例 1.（ 2010 天津理）已知函数f (x)xex ()x2，且 f ( x1 ) f ( x2 ) ，x R ，如果 x1明： x1 x2 2.【解析】法一： f ( x)(1 x)e x，易得 f (x) 在 (,1) 上增，在 (1,)上减，x，f ( x)， f (0)0， x， f (x)0 ，函数 f (x) 在x1取得极大f(1) ，且f (1)1,如所示 .e由 f (x1) f ( x2 ), x1x2，不妨 x1x2，必有0x11 x2，构造函数 F ( x) f (1x) f (1x), x(0,1] ，F ( x)f(1x) f (1x)x 2 x1)0，所以 F ( x) 在 x (0,1] 上增，x1 (eeF ( x) F (0)0 ，也即 f (1x) f (1x) x(0,1]恒成立 .由 0x11x2， 1x1(0,1] ，所以 f (1 (1 x1 )) f (2 x1) f (1 (1 x1)) f ( x1 ) f ( x2 ) ，即 f (2 x1 ) f ( x2 ) ，又因 2x1 , x2(1,) ，且 f ( x) 在 (1,) 上减，所以 2x1x2，即 x1x2 2.法二：欲x1x2 2 ，即 x22x1，由法一知 0x1 1 x2，故 2x1 , x2(1, ) ，又因 f (x) 在 (1,) 上减，故只需 f ( x2 ) f (2x1 ) ，又因 f ( x1 ) f ( x2 ) ，故也即 f ( x1 ) f (2 x1 ) ，构造函数H (x) f ( x) f (2x), x(0,1) ，等价于明H ( x)0 x(0,1) 恒成立.由H ( x)f( x) f(2x)1x x(1e2 x2)0， H ( x) 在 x(0,1)上增，所以eH ( x)H (1)0 ，即已明 H ( x)0 x(0,1) 恒成立，故原不等式x1 x2 2 亦成立.法三：由 f ( x1) f ( x2 ) ，得 x1e x1x2e x2，化得 e x2x1x2 ⋯，x1不妨 x 2 x 1 ，由法一知， o x 1 1 x 2 .令 t x 2 x 1 ， t0, x 2 t x 1 ，代入式，得 e ttx 1，反解出 x 1t ， x 1x 2 2x 1 t2tt ，故要： x 1x 22 ，x 1e t 1e t 1即：2t t 2，又因 e t1 0 ，等价于明： 2t(t 2)( e t 1) 0 ⋯，e t 1构造函数( ) 2 (t 2)( t 1),( t 0)， G (t) (tt1,G (t) t0 ，G t te1)e te故 G (t ) 在 t (0,) 上增， G (t ) G (0) 0 ，从而 G (t) 也在 t(0,) 上增， G (t )G(0) 0 ，即式成立，也即原不等式x 1 x 2 2 成立 .法四：由法三中式，两同取以e 底的数，得x 2 x 1lnx2ln x 2 ln x 1 ，也即x 1x 21ln x 2 ln x 1 1，从而 x 1x 2 ( x 1x 2 )ln x2ln x 1 x 2 x1lnx2x 1ln x 2， x 2 x 1x 2x 1x 2x 1x 1x 2 1 x 1x 1令 tx 2 (t 1) ，欲： x 1x 22，等价于明：t 1 ln t 2 ⋯ ，x 1t 1构造 M (t)(t1)ln t (1 t 2 )ln t,( t 1) ， M (t ) t 2 1 2t ln t ，t 1 1t (t 1)2又令(t) t 2 1 2t ln t ,( t 1) ，(t ) 2t 2(ln t 1) 2(t 1 ln t) ，由于 t 1 ln tt (1,) 恒成立，故(t ) 0 ， (t ) 在 t(1,) 上增，所以(t)(1) 0 ，从而 M (t)0 ，故 M (t) 在 t (1,) 上增，由洛比塔法知：lim M (t )lim(t1)ln tlim((t1)ln t ) lim(ln tt 1) 2 ，即 M (t)2，即x 1x 1t 1 x 1(t 1) x 1t式成立，也即原不等式x 1 x 2 2成立 .【点】以上四种方法均是了将双元的不等式化元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四是利用构造新的元，将两个旧的元都成新元来表示，从而达到消元的目的.二、含参数的 .例 2.已知函数 f ( x)x ae x 有两个不同的零点 x 1, x 2 ，求： x 1x 2 2 .【解析】思路 1：函数f ( x)的两个零点，等价于方程xe x a 的两个实根，从而这一问题与例 1 完全等价，例 1 的四种方法全都可以用；思路 2：也可以利用参数 a 这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数 f ( x) 有两个零点x1, x2，x1ae x1(1)，所以ae x2(2)x2由 (1)(2) 得：x1x2a(e x1e x2 ) ，要证明x1x2 2 ，只要证明 a(e x1e x2 )2，由 (1)(2) 得：x1x2a(e x1e x2 ) ，即 a x1x2，) e x1e x2x2) e x1x2e x1e x2即证： ( x x2(x11 2 ，12e x1e x2e x1 x21不妨设 x1x2，记t x1x2，则 t0, e t1，因此只要证明：t e t12t2(e t1)0 ，e t1e t12(x1)再次换元令 e t x1, t ln x ，即证ln x0x(1,)2( x 1)， F (1)x1构造新函数 F (x)ln x0x11)2求导 F ' ( x)14( x0，得 F (x) 在 (1,) 递增，x( x1)2x( x1) 2所以 F (x)0 ，因此原不等式x1x2 2 获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x1, x2的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。

极值点偏移极值点偏移定理

精心整理极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点X。

，方程f(x) 0的解分别为x1, x2，且a x1 x2 b，(1)若f(xj f(2x o X2)，则x^x2 ( )x o，即函数y f(x)在区间(X iX)上极(小)大值点x o右(左)偏；(2)若f(xj f(2x°X2)，则一x2 ( )x o，即函数y f(x)在区间(人％)上极(小)2大值点x o右(左)偏.证明：(1)因为对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x o，则函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，x o)，单调递减(增)区间为(X o，b)，由于a X i X2 b，有X i X o，且2x o X2 X o，又 f (xj f(2x°x?)，故x((2)证明略.左快右慢(极值点左偏m Xi 2X2)左慢右快(极值点右偏m 左快右慢(极值点左偏m 笃生)左慢右快(极值点右偏m二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1)求出函数f (X)的极值点X o ；(2)构造一兀差函数 F (x) f (x o x) f (x o x)；(3)确定函数F(x)的单调性；()2x o X2，所以X i X22()X o，即函数极(小)大值点X o右(左)偏;X1x22X1x2(4)结合F(0) 0，判断F(x)的符号，从而确定f(x o x)、f(x o x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x i) f(X2), X o为函数f(x)的极值点，求证：X i X2 2x o .(1)讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x o ；假设此处f(x)在(，X o)上单调递减，在(x o,)上单调递增.(2)构造F(x) f (X o X) f (X o x)；注：此处根据题意需要还可以构造成F(x) f(x) f(2x o x)的形式.(3)通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f (X o X)与f (X o X)的大小关系；假设此处F(x)在(O,)上单调递增，那么我们便可得出F(x) F (X o) f (X o) f (X o) O，从而得到：X X o 时，f(X o x) f (X o x).(4)不妨设X i X o X2，通过f (x)的单调性，f (X i) f (X2)， f (X o x)与f (X o x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于X X o 时，f(X o x) f (X o x)且X i X o X2， f (x1) f (x2)，故f(X i) f(X2) f[X o (X2 X o)] f[x o (X2 X o)] f (2X o X2)，又因为X i X o，2X o X2 X o且f (X)在(，X o)上单调递减，从而得到X i 2X o X2，从而X i X2 2X o得证.(5)若要证明f'(卷X2) O，还需进一步讨论X2与X o的大小，得出凶X2所在的2 2 2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为X i X2 2X o，故Xi Xi X)，由于f (x)在(，X o)上单调递2减，故f'(Xi X2) O.2精心整理(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f (X o x)与f (X o x)(或f (x)与f (2x o x))的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x i x2 2X0或f'(「2) 0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该2小问分解为三问逐步解题•三、对点详析，利器显锋芒★已知函数 f (x) xe x(x R).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；⑵若X i X2，且f(X i) f(X2)，证明：X i X2 2.________________________________________________ /」I / y * _____________________________【解析】容易求得第⑴即/V)在(fl)上单调递増，在(1；皿)上单调递;丽刃刃的极值是f(r)=~.第(2)问：构造F(x) = /(I + x)- /(I-JC><1 + J-(1 -xX14,则尹(町匸珂屛-一」删当时，F(JC)>0. 在(Q2)上单调递增』又F(O) = G, A 即/XI十力皿―'.'JC J工耳,不妨设冯由<1)知列<1?冯=1,儿/佃〉=/5》=/[1十*—厲―—兮一严"\ ///.//[ ) •X2 1，二 2 X2 1 , f(x)在(,1)上单调递增，•••X i 2 X2，二X i X2 2.4 1 _★函数f(x) X4 -X3与直线y a(a -)交于A(x1,a)、B(x2,a)两点.3 3证明：X1 X2 2.【解析】设羽5,11数『3"—討的里调递誠区间为0」),里鱷増区间为(1.^0)，有花", 设F(x) =/(1 十劝一7X1 —血」尸(力=8G『一2x +1)>Q?故F(x)单调递增区间为又F(0)=b所決当尤,0时「F(QF(0T,即兀5寸，/(1+Jc)>y(i-Jt),f<^) =fg=y (可-D) > fa- X2)、乂兀<1, 2-耳cl ,又函数/(© =x4-^ 区间为(YQ”、所说巧c2—无：艮卩珂+在c2 一、F 2 …已知函数f(x) —Inx，若X i X2，且f(xj f(X2)，证明：X i X2 4 .x 1 . ：■■■■-'.【解析】由函数f (x) - In x单调性可知：若f(xj f(X2)，贝y必有X i 2 X2 ,。

极值点偏移专题(一)

极值点偏移专题（一）1、极值点偏移以函数函数为例，极值点为0，如果直线与它的图像相交，2x y =1=y 交点的横坐标为和，我们简单计算：.也就是说极值点刚好位1-10211=+-于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移.当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点.那么，如何判断一道题是否属于“极值点偏移”问题呢？其具体特征就是：2、主元法破解极值点偏移问题2016年全国I 卷的第21题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场．所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用．例1.（2016全国1-21）已知函数有两个零点.()()()221xf x x e a x =-+- (I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是的两个零点,证明：. ()f x 122x x +<(1)解析：详细解答⑴方法一：由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+①若，那么，只有唯一的零点，不合题意； 0a =()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=()f x 2x =②若，那么，所以当时，，单调递增0a >20x x e a e +>>1x >()'0f x >()f x 当时，，单调递减，即：1x <()'0f x <()f xx(),1-∞1()1,+∞ ()'f x-+()f x ↓ 极小值 ↑故在上至多一个零点，在上至多一个零点()f x ()1,+∞(),1-∞由于，，则，()20f a =>()10f e =-<()()210f f <根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点． ()f x ()1,2而当时，，，1x <x e e <210x -<-<故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则的两根，，，因为()0f x =11t =+21t =12t t <，故当或时，0a >1x t <2x t >()()2110a x e x e -+-->因此，当且时，1x <1x t <()0f x >又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．()10f e =-<()f x (),1-∞此时，在上有且只有两个零点，满足题意．()f x R ③ 若，则，02ea -<<()ln 2ln 1a e -<=当时，，，()ln 2x a <-()1ln 210x a -<--<()ln 2220a x e a e a -+<+=即，单调递增；()()()'120x f x x e a =-+>()f x 当时，，，即()ln 21a x -<<10x -<()ln 2220a x e a e a -+>+=，单调递减；()()()'120x f x x e a =-+<()f x 当时，，，即，单调递增．1x >10x ->()ln 2220a x e a e a -+>+=()'0f x >()f x 即：x()(),ln 2a -∞- ()ln 2a -()()ln 2,1a -1()1,+∞ ()'f x +0 -+()f x ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当时，在处取到最大值，那么1x ≤()f x ()ln 2x a =-()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦恒成立，即无解()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤()0f x =而当时，单调递增，至多一个零点，此时在上至多一个零点，1x >()f x ()f x R 不合题意．④ 若，那么2ea =-()ln 21a -=当时，，，即，单()1ln 2x a <=-10x -<()ln 2220a x e a e a -+<+=()'0f x >()f x 调递增当时，，，即，单()1ln 2x a >=-10x ->()ln 2220a x e a e a -+>+=()'0f x >()f x 调递增又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题()f x 1x =()f x R 意．⑤ 若，则2ea <-()ln 21a ->当时，，，即，单1x <10x -<()ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=()'0f x >()f x 调递增当时，，，即，单()1ln 2x a <<-10x ->()ln 2220a x e a e a -+<+=()'0f x <()f x 调递减当时，，，即，()ln 2x a >-()1ln 210x a ->-->()ln 2220a x e a ea -+>+=()'0f x >单调递增，即：()f xx(),1-∞1()()1,ln 2a - ()ln 2a -()()ln 2,a -+∞ ()'f x +0 -+()f x ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑故当时，在处取到最大值，那么()ln 2x a -≤()f x 1x =()1f e =-()0f x e -<≤恒成立，即无解()0f x =当时，单调递增，至多一个零点，此时在上至多一个零()ln 2x a >-()f x ()f x R 点，不合题意．综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．0a >a ()0,+∞简要解析（Ⅰ）方法二：．'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+（i ）设,则,只有一个零点．0a =()(2)xf x x e =-()f x （ii ）设,则当时,；当时,．所以在0a >(,1)x ∈-∞'()0f x <(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x 上单调递减,在上单调递增．(,1)-∞(1,)+∞又,,取满足且,则 (1)f e =-(2)f a =b 0b <ln2a b <, 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->故存在两个零点．()f x （iii ）设,由得或．0a <'()0f x =1x =ln(2)x a =-若,则,故当时,,因此在上单调递2ea ≥-ln(2)1a -≤(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (1,)+∞增．又当时,,所以不存在两个零点．1x ≤()0f x <()f x 若,则,故当时,；当时,2ea <-ln(2)1a ->(1,ln(2))x a ∈-'()0f x <(ln(2),)x a ∈-+∞．因此在单调递减,在单调递增．又当时,'()0f x >()f x (1,ln(2))a -(ln(2),)a -+∞1x ≤,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．()0f x <()f x a (0,)+∞⑵ 方法一：由已知得：，不难发现，，()()120f x f x ==11x ≠21x ≠故可整理得：()()()()121222122211xx x e x e a x x ---==--设，则，那么， ()()()221x x e g x x -=-()()12g x g x =()()()2321'1x x g x e x -+=-当时，，单调递减；当时，，单调递增． 1x <()'0g x <()g x 1x >()'0g x >()g x 设，构造代数式：0m > ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设， ()2111mm h m e m -=++0m >则，故单调递增，有．()()2222'01m m h m e m =>+()h m ()()00h m h >=因此，对于任意的，．0m >()()11g m g m +>-由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则()()12g x g x =1x 2x ()g x 12x x <必有121x x <<令，则有110m x =->()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而，，在上单调递增，因此：121x ->21x >()g x ()1,+∞()()121222g x g x x x ->⇔->整理得：．122x x +<(2)方法二：不妨设，由（1）知，12x x <，在上单调递减，()()()122,1,1,,2,1x x x ∈-∞∈+∞-∈-∞()f x (),1-∞所以等价于，即． 122x x +<()()122f x f x >-()()222f x f x >-由于，而，()()22222221x f x x ea x --=-+-()()()2222221x f x x e a x =-+-所以．()()()222222222x x f x f x x e x e ---=---令，则，()()22xx g x xex e -=---()()()21x x g x x e e -'=--所以当时，，而，1x >()0g x '<()10g =故当时，．从而，故． 1x >()()10g x g <=()()2220g x f x =-<122x x +<(二)对解析的分析本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是，借助于函数的特性及其122x x <-单调性，构造以为主元的函数．由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为2x ，同理构造以为主元的函数来处理．此法与官方解析正是极值点偏移问题的处212x x <-1x 理的通法．不妨设，由（1）知，，在12x x <()()()121,1,1,,21,x x x ∈-∞∈+∞-∈+∞()f x 上单调递增，所以等价于，即． ()1,+∞122x x +<()()212f x f x <-()()1120f x f x --<令，则()()()()()2221xx u x f x f x xex e x -=--=--<，()()()210x x u x x e e -'=-->所以，即， ()()10u x u <=()()()21f x f x x <-<所以； ()()()1212f x f x f x =<-所以，即.212x x <-122x x +<变式、（2010年天津理科21题）已知函数()()xf x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；()f x （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当()y g x =()y f x =1x =时，1x >()()f x g x > （Ⅲ）如果，且，证明．12x x ≠12()()f x f x =122x x +>解：（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f ′，令f ′(x )=0,解得x =1()(1)xx x e-=-当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表 X(),1-∞ 1()1,+∞f ’(x ) + 0 -f (x )极大值所以f (x )在()内是增函数，在()内是减函数。

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极值点偏移问题

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专题20 极值点偏移问题(解析版)

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