高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理随堂检测文北师大版

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一轮复习北师大版正弦定理和余弦定理作业

第四章三角函数、解三角形第六节正弦定理和余弦定理A 级·基础过关 |固根基|1.在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴tan B ＝1.∵0°<B <180°，∴B ＝45°.故选B ．2．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C 由余弦定理得，2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.故选C ．3．(2021届宝鸡一模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B ．372C ．9D ．92解析：选B ∵b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得7＝a 2＋16－2×a ×4×34，整理可得a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×4×74＝372.故选B ． 4．(2021届湘东六校联考)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a ＝4b ＝3c ，则可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k >0，则cos C＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k<0，所以C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故选C ．5．(2021届昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C 如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C ．6．(2021届湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos A a ＋cos Bb ＝sin C c ，若b 2＋c 2－a 2＝85bc ，则tan B 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－3D ．3解析：选C 因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，所以由正弦定理得cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，即1tan A ＋1tan B ＝1.又b 2＋c 2－a 2＝85bc ，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得cos A ＝45，则sin A ＝1－cos 2A ＝35，则tan A ＝sin A cos A ＝34，解得tan B ＝－3，故选C ．7．(2021届四川五校联考)在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于点D ，BD ＝2CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3D ．4解析：选C 如图，由BD ＝2CD ＝2，知BC ＝3，由角平分线定理，得AB AC ＝BDCD ＝2，设AC ＝x ，∠BAC ＝2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则AB ＝2x ，由余弦定理，得32＝4x 2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2α，即x 2＝95－4cos 2α.S △ABC ＝12·2x ·x ·sin 2α＝x 2·sin 2α＝9sin 2α5－4cos 2α＝9×2sin αcos α5－4×（cos 2α－sin 2α）＝9·2tan α1＋tan 2α5－4·1－tan 2α1＋tan 2α＝18tan α1＋9tan 2α＝181tan α＋9tan α≤1821tan α·9tan α＝3，当且仅当1tan α＝9tan α，即tan α＝13时取等号，故△ABC 面积的最大值为3.8．(2021届合肥调研)在△ABC 中，A ＝2B ，AB ＝73，BC ＝4，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，则线段AD 的长为________．解析：解法一：因为A ＝2B ，BC ＝4，所以由正弦定理AC sin B ＝BC sin A ，得AC sin B ＝4sin 2B ＝42sin B cos B，所以cos B ＝2AC 且AC >2，由余弦定理AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ，得AC 2＝42＋⎝⎛⎭⎫732－2×4×73×2AC ，即9AC 3－193AC ＋336＝0，得(AC －3)(3AC －7)(3AC ＋16)＝0，解得AC ＝73或AC ＝3.当AC ＝73时，△ABC为等腰三角形，且cos B ＝67，2B ＝2∠ACB ＝A ，由三角形内角和定理A ＋B ＋∠ACB ＝π，得B ＝π4，与cos B＝67矛盾，舍去；当AC ＝3时，由三角形的角平分线定理，得AD BD ＝AC BC ，即AD 73－AD ＝34，解得AD ＝1.综上可得，AD ＝1.解法二：因为A ＝2B ，BC ＝4，所以由正弦定理AC sin B ＝BC sin A ，得AC sin B ＝4sin 2B ＝42sin B cos B ，所以cosB ＝2AC ，则cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝8AC2－1.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，由正弦定理可得AC cos A ＋BC cos B ＝AB ，即AC ·⎝⎛⎭⎫8AC 2－1＋4·2AC ＝73，解得AC ＝－163(舍去)或AC ＝3，由三角形的角平分线定理，得AD BD ＝AC BC ，即AD 73－AD ＝34，解得AD ＝1.答案：19．(年天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得，sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 10．(2021届石家庄摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos A ＋22a ＝c ，D 是BC 边上的点．(1)求角B ；(2)若AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，求AB 的长．解：(1)由b cos A ＋22a ＝c 及正弦定理，得sin B cos A ＋22sin A ＝sin C ，即sin B cos A ＋22sin A ＝sin(A ＋B )，所以sin B cos A ＋22sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即22sin A ＝sin A cos B ．∵sin A ≠0，∴cos B ＝22，∴B ＝π4.(2)在△ADC 中，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠ADC ＝2π3.在△ABD 中，AD ＝5，B ＝π4，∠ADB ＝π3，由AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝5×sin π3sin π4＝5×3222＝562. 11．(年江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值．解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B ，从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ＝255. B 级·素养提升 |练能力|12.(2021届惠州调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且内角满足sin A －sin B ＋sin Csin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C .(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．解：(1)由题意及正弦定理可得a －b ＋c c ＝ba ＋b －c，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴cos A ＝bc 2bc ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3. (2)记△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得a sin A ＝2R ，即a ＝2R sin A ＝2sin π3＝3，由余弦定理得3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤3(当且仅当b ＝c 时取等号)，故S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334(当且仅当b ＝c 时取等号)，即△ABC 的面积S 的最大值为334.13．(年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理，得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知，△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.所以△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 14．(2021届长春市第二次质量监测)如图，在△ABC 中，AB ＝3，∠ABC ＝30°，cos ∠ACB ＝74. (1)求AC 的长；(2)作CD ⊥BC ，连接AD ，若AD ∶CD ＝2∶3，求△ACD 的面积．解：(1)因为cos ∠ACB ＝74，所以sin ∠ACB ＝34，由正弦定理得AC ＝ABsin ∠ACB·sin ∠ABC ＝2.(2)因为CD ⊥BC ，所以∠ACD ＝90°－∠ACB ，所以cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝34.设AD ＝2m ，则CD ＝3m .由余弦定理得AD 2＝AC 2＋CD 2－2×AC ×CD cos ∠ACD ，即4m 2＝4＋9m 2－2×2×3m ×34，解得m ＝1或m ＝45.当m ＝1时，CD ＝3，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD ·sin ∠ACD ＝374；当m ＝45时，CD ＝125，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD sin ∠ACD ＝375.综上，△ACD 的面积为374或375.。

高三数学一轮复习 4-7正弦定理和余弦定理北师大版

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第六章数列
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知识梳理 1．正弦定理和余弦定理
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2.解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
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3.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，上页
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第六章数列
解析] 方法一：∵B＝45°<90°，且 b<a， ∴问题有两解．
由正弦定理，得 sinA＝asibnB＝
3sin45°＝ 2
23，
∴A＝60°或 A＝120°.
(1)当 A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
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第六章数列
3．(2011·铜陵一中月考)在△ABC 中，内角 A、B、C
的对边分别为 a、b、c，已知 a、b、c 成等比数列，且 a
＋c＝3，tanB＝ 37，则△ABC 的面积为( )
7 A. 4
5 B. 4
7 C. 2
5 D. 2
[答案] A
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第六章数列
[解析] 因为 a、b、c 成等比数列，所以 b2＝ac.
又因为
b<a，所以
B<A，故
B
为锐角，cosB＝
6 3.

2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理北师大版

正弦定理、余弦定理一、选择题1．(2021·全国卷甲)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( ) A．1 B． C． D．3D　[法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝．又＝，所以BC＝3．故选D．]2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝( )A．2 B．2 C．2 D．B　[由S＝ab sin C＝2a×＝2，解得a＝2．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12，故c＝2．]3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是( )A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C　[对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，∵sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C＝＝，且AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝AC·AB sin A＝或，D不正确．故选C．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )A． B． C． D．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A．]5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形B　[由cos2＝得＝＋，∴cos B＝，又cos B＝，∴＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选B．]6．(2021·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ＝，△ABC的周长为5＋，(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C，则△ABC的面积为( )A． B． C． D．C　[由题意可得：a＝，△ABC的周长为5＋，可得b＋c＝5，因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bc cos A，因为A∈(0，π)，所以cos A＝，A＝，a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，所以S△ABC＝bc sin A＝×5×＝，故选C．]二、填空题7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．　[∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝．由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝．]8．(2021·全国卷乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为．B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．2　[由题意得S△ABC＝ac sin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×＝8，则b＝2．]9．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos∠MAC＝________．2 [法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC 的中点，所以BC＝8．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos∠B ＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝．法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4．所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2．在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝．]三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－．(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×．因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×．解得c＝5．所以b＝7．(2)由cos B＝－得sin B＝．由正弦定理得sin C＝sin B＝．在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cos C＝＝．所以sin(B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝．11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．所以＝0，cos A＝．由于0<A<π，故A＝．(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ．即sin B－cos B＝，sin＝．由于0<B<，故B＝．从而△ABC是直角三角形．1．(2021·南宁模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则等于( )A． B． C． D．D　[由b sin 2A＝a sin B及正弦定理得2sin B sin A cos A＝sin A sin B，又sin A sin B≠0，∴cos A＝．又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，∴＝3，从而＝，故选D．]2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )A． B． C． D．D　[cos A＝＝＝，则sin A＝＝，∴h＝b sin A＝3×＝，故选D．]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinA sin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为．(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝．由sin A sin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝．(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B ＋cos2C＝1＋sin A sin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D　[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin A sin C，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sin A sin C，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin A sin C，∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cos B＝＝＝－，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin A sin C．∴变形得＝(sin A＋sin C)2－sin A sin C，又∵sin A＋sin C＝1，得sin A sin C＝，∴上述两式联立得sin A＝sin C＝，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D．]2．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－；条件②：cos A＝，cos B＝．[解]　选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11．(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－，解得a＝8．(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝．在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sin C＝＝＝．∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6．若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11．(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝．在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝＝．∴S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝．。

【高考领航】（北师大版）高三数学（文）大一轮复习练习：3.7正弦定理和余弦定理（含答案解析）

【高考领航】（北师大版）高三数学（文）大一轮复习练习：3.7正弦定理和余弦定理（含答案解析）课时规范训练[A 级基础演练]1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝c sin C，∴sin B ＝bsin C c ＝40×3220＝3>1. ∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C2．(2016·贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k(k>0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈π2，π，∴△ABC 为钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sin A ＋sin B ＋10sin C)，A ＝60°，则a ＝( )A.3 B ．23 C ．4 D ．不确定解析：由已知及正弦定理得a sin A ＝2， a ＝2sin A ＝2sin 60°＝3，故选A.答案：A4．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin Acos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：15．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b.又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×－14＝16，∴c ＝4.答案：46．(2016·苏北四市联考)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×ACsin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7. 答案：77．(2015·高考课标卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC.(1)求sin B sin C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B. 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B)，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B)＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，所以∠B ＝30°.8．(2016·南昌市高三模拟)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos(B ＋C)＋sin 2A 2＝54. (1)求角A 的大小；(2)若AB →·AC →＝－1，求BC 边上的高AD 长的最大值．解：(1)由题意知－cos A ＋1－cos A 2＝54， cos A ＝－12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3. (2)设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，所以S △ABC ＝12bcsin A ＝32，而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，当且仅当b ＝c ＝2时，上式取等号，所以BC 边上的高AD 的最大值为22. [B 级能力突破]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．∵bcos C ＋ccos B ＝b·b 2＋a 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a ＝2a 22a＝a ＝asin A ，∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．答案：B2．(2014·高考江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c 2＝(a－b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.332 D ．3 3解析：∵c 2＝(a －b)2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①。

高考数学一轮复习同步训练第27讲《正弦定理和余弦定理》A文北师大版必修4

课时作业(二十七)A [第27讲正弦定理和余弦定理][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝( )A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．5 62．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 34．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665 B ．－1665 C.5665 D ．－5665 能力提升5．判断下列说法，其中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解6．[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．17．[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1 D.238．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 10．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.11．[2011·东北三校一模] 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是________．12．(13分)[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．难点突破13．(12分)[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课时作业(二十七)A【基础热身】1．D [解析] 由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝10sin60°sin45°＝5 6.2．B [解析] 用正弦定理可以将条件：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 化为a 2＝b 2＋c 2.3．C [解析] 由条件易得A ＝B ＝30°，所以b ＝a ＝6，S ＝12ab sin C ＝12×6×6×32＝9 3.4．A [解析] 由已知可得sin A ＝1213，sin A >sin B ，由于在△ABC 中，由sin A >sin B ⇔A >B知角B 为锐角，故cos B ＝45，所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝2065－3665＝－1665，故cos C＝1665. 【能力提升】5．B [解析] A 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝14×127＝1，所以B ＝90°，故只有一解，A 错误；B 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝25×1230<1，又A 为钝角，故只有一解，B 正确；C中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a＝9×226>1，所以角B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由正弦定理得sin C ＝c sin Bb＝10×329<1，因为b <c ，B ＝60°，且0°<C <180°，所以角C 有两解，D 错误．故选B.6．D [解析] ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.7．A [解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.①由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.故选A.8．C [解析] 在△ABC 中，由正弦定理：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入sin A a ＝cos B b ＝cos C c 得：sin A 2R sin A ＝cos B2R sin B＝cos C 2R sin C ，∴sin B cos B ＝sin Ccos C＝1. ∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形． 9.54 [解析] 由正弦定理知，原式＝BC ＋BA AC ，又由椭圆定义知BC ＋BA ＝10，AC ＝8，∴原式＝54.10.π4 [解析] 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.11．－12 [解析] 因为a ∶b ＝1∶3，所以sin A ∶sin B ＝1∶3，又A ∶B ＝1∶2，则B＝2A ，所以sin A ∶sin B ＝sin A ∶sin2A ＝1∶3，即cos A ＝32，∴A ＝30°，∴B ＝60°.cos2B ＝cos120°＝－12.12．[解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2.则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. 【难点突破】13．[解答] (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B.所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5.从而a＝1，因此b＝2.。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲正弦定理与余弦定理知能训练轻松闯关文北师大版

第7讲正弦定理与余弦定理1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b sin B ＋c sin C <a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形解析：选B.由正弦定理得b 2＋c 2<a 2，由余弦定理可得cos A <0，故△ABC 是钝角三角形．2．由下列条件解△ABC ，其中有两解的是( )A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，c ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°解析：选C.对于A ，由A ＝45°，C ＝80°，得B ＝55°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得，a ＝bsin A sin B ＝102sin 55°，c ＝20sin 80°sin 55°，此时△ABC 仅有一解，A 不符合条件；对于B ，由a ＝30，c ＝28，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝844，可得b ＝2211，此时△ABC 仅有一解，B 不符合条件；对于D ，由a ＝12，c ＝15，知a <c ，则A <C ，而A ＝120°，得C 也为钝角，此时△ABC 无解，D 不符合条件；对于C ，由a ＝14，c ＝16，A ＝45°及正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin C ＝16×2214＝427>22，又c >a ，故C >45°，由正弦函数的图像和性质知，此时△ABC 有两解，故选C. 3．(2016·上饶模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知3cos A cos C ＝a c ，且a 2－c 2＝2b ，则b ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.由题意可得3c cos A ＝a cos C ，由余弦定理可得3c ×b2＋c2－a22bc ＝a ×a2＋b2－c22ab，整理得b 2＝2(a 2－c 2)，又因为a 2－c 2＝2b ，代入得b ＝4. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π4解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b2＋c2－a22bc ，即32＝b2＋c2－a22bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，所以c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ，所以cos C ＝b2＋a2－c22ab ＝22，所以C ＝π4. 5．(2016·河南省六校联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( ) A.3 B.2 C ．22D ．23 解析：选A.由sin A ＝223及A 为锐角可得cos A ＝13，由三角形的面积公式可得S △ABC ＝12bc sin A ＝2，即23bc ＝2，所以bc ＝3，①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6，②由①②可得b ＝c ＝3.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝1，a ＝2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为( )A.33 B.36 C.233 D.3解析：选B.当C 取最大值时，cos C 最小，由cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝3c2＋14c ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋1c ≥32，当且仅当c ＝33时取等号，且此时sin C ＝12，所以当C 取最大值时，△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×2c ×1×12＝36. 7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：48．在△ABC 中，b ＝c cos A ＋3a sin C ，则角C 的大小为________．解析：因为b ＝c cos A ＋3a sin C ，由余弦定理得b ＝c ·b2＋c2－a22bc ＋3a sin C . 即b 2＋a 2－c 2＝23ab sin C .所以2ab cos C ＝23ab sin C ，即tan C ＝33.又0<C <π，所以C ＝π6. 答案：π69．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________．解析：由正弦定理得sin A sinC ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b2＋c2－a22bc ，因为 a ＝4，b ＝5，c ＝。

届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课时规范练含解析文北师大版

第三章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理课时标准练A 组——根底对点练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，那么b ＝( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3解析：由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，应选D.答案：D2．在△ABC 中，假设sin A a ＝cos B b，那么B 的值为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案：B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设a sin A ＋b sin B <c sin C ，那么△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，故C 是钝角．即△ABC 是钝角三角形．答案：C4．锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，那么b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，解方程，得b ＝5.答案：D5．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，A ＝π4，b 2 sin C ＝42sin B ，那么△ABC 的面积为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，即bc ＝42，故S △ABC ＝12bc sin A ＝2. 答案：B6．(2022·广东广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝7，c ＝4，cosB ＝34，那么△ABC 的面积为( ) A ．37B ．372C ．9D ．92答案：B7．(2022·河南三市联考)a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3，c ＝2cos C ＝3，那么△ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3B ．2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 3 解析：因为sin A ∶sin B ＝1∶3，所以b ＝3a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋〔3a 〕2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23，应选C.答案：C8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，那么以下等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2 sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，所以2sin B ＝sin A ，所以2b ＝a ，应选A.答案：A9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，那么B ＝。

【配套K12】高三数学一轮复习两角和与差的正弦余弦和正切公式随堂检测文北师大版

2011《金版新学案》高三数学一轮复习两角和与差的正弦余弦和正切公式随堂检测文北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．3－sin 70°2－cos 2 10°＝( )A.12B.22C ．2 D.32【解析】原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2，故选C.【答案】 C2．在△ABC 中，已知2sin A·cos B＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形【解析】 ∵2sin Acos B＝sin(A ＋B)，且A ，B∈(0，π)∴sin(A－B)＝0，且－π<A －B<π∴A＝B 为等腰三角形．【答案】 B3．已知cos(π－2α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α等于( )A ．－72 B.72 C.12 D ．－12【解析】由已知可得cos(π－2α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α22(sin α－cos α)＝－(sin α＋cos α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝sin α＋cos α22＝－22⇒sin α＋cos α＝－12.【答案】 D4．若点P(cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α的值是() A ．－145 B ．－75C ．－2 D.45【解析】 ∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α.∴sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.【答案】 C5．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．cos(α＋β)＞cos αcos βC ．sin(α＋β)＞sin(α－β)D ．cos(α＋β)＞cos(α－β)【解析】 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β＞0，故sin(α＋β)＞sin(α－β)．【答案】 C6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C.14D.78【解析】 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－78.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α的值为( )【解析】原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1.【答案】 18．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．【解析】原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30° ＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.【答案】 19．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.【解析】因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)＝45.因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－5665. 【答案】－5665三、解答题(共46分)10．(15分)已知sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－cos β]＝12，0＜β＜π，求β的值．【解析】因为sin(α＋β)cos α－12{sin[(α＋β)＋α]－cos β}＝12，所以sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋12cos β＝12，所以12[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋12cos β＝12，所以12(sin β＋cos β)＝12.即sin β＋cos β＝1，所以 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝1， sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝22，因为π4＜β＋π4＜54π，所以β＋π4＝34π，所以β＝π2. 因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－5665. 【答案】－566511．(15分)求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ. 【解析】 (1) 原式＝2cos(30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3. (2)原式＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ ＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝ 3. 12．(16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．【解析】 (1)因为x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， ∴x－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210. sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋ cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. (2)∵x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin 2x ＝2sin xcos x ＝－2425， cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2xcos π3＋cos 2xsin π3＝－24＋7350.。

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理课时分层训练文北师大版

课时分层训练(二十一) 正弦定理和余弦定理A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：66482174】A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )【导学号：66482175】A.34 B ．34 C ．32D ．32B [依题意得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34，故选B.] 5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B ．1010C ．55D ．31010D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a ，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010.]二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.] 7．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3613 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD －2AB ·AD cos ∠BAD ，∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________.【导学号：66482176】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值.【导学号：66482177】[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17. 5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sinB,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．[解] (1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5. 3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45. 6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2. 8分又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B ．π3C ．π4D ．π6C [∵b ＝c ，∴B ＝C .又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A2.由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )，即sin 2A ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2(1－sin A )，即sin 2A ＝2cos 2A2(1－sin A )，即4sin 2A2cos 2A2＝2cos 2A2(1－sin A )，整理得cos 2A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0，即cos 2A2(cos A －sin A )＝0.∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A2≠0，∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π4.]2．如图362，图362在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________． 562[在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝562.]3．(2017·陕西质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，a ＋c ＝3 3.(1)求cos B 的最小值； (2)若BA →·BC →＝3，求A 的大小.【导学号：66482178】[解] (1)∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－2ac －b 22ac＝32－2ac －92ac＝9ac－1≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－1＝13.当且仅当a ＝c ＝332时，取到最小值13.(2)∵BA →·BC →＝3，∴ac cos B ＝3. 由(1)中可得cos B ＝9ac－1，∴cos B ＝12，∴ac ＝6.由a ＋c ＝33及ac ＝6，解得a ＝23或a ＝ 3. 由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得当a ＝23时，sin A ＝a b sin B ＝233·32＝1， ∴A ＝π2.同理，当a ＝3时，求得A ＝π6.综上，A 的大小为π2或π6.。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理练习理北师大版-北师大版

第6讲正弦定理和余弦定理[基础题组练]1．(2020·某某某某调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12 B ．π6C.π4D ．π3解析：选B.因为在△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cosB ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B. 2．(2020·某某某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值是( )A.43 B ．34 C ．－43D ．－34解析：选C.因为S ＝12ab sin C ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以由2S ＝(a ＋b )2－c 2，可得ab sin C ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2－2ab ·cos C )，整理得sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，所以（sin C －2cos C ）2sin 2C ＋cos 2C ＝4，sin 2C ＋4cos 2C －4sin C cos C sin 2C ＋cos 2C ＝4，化简得3tan 2C ＋4tan C ＝0，因为C ∈(0，π)，所以tan C ＝－43，故选C.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cosB ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2 B ． 3 C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c2－2bc ·cos A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2020·某某某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且有a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则A ＝________．解析：由3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，得3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ，所以3sin (A ＋C )＝－b cos A ，即3sin B ＝－b cos A ，又a sin A ＝bsin B ，所以3cos A ＝－b sin B ＝－a sin A ，从而sin A cos A ＝－13⇒tan A ＝－33，又因为0<A <π，所以A＝5π6.答案：5π67．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则bc＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B2＝0.因为sin C＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b c＝2.答案：29．(2020·某某某某一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长．解：(1)因为△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ，sin B ＝b24S，所以4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12ac sin B ×sin B ＝b 2，所以ac ＝b 22sin 2B ，所以由正弦定理可得sin A sin C ＝sin 2B 2sin 2B ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，sin A sin C ＝12，所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝12－34＝－14，因为b ＝15，所以ac ＝b 22sin 2B ＝b 22（1－cos 2B ）＝（15）22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝8，所以由余弦定理可得15＝a 2＋c 2＋12ac ＝(a ＋c )2－32ac ＝()a ＋c 2－12，解得a ＋c ＝33，所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cosB ．(1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ．由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12.因为B ∈()0，π，所以B ＝π3.(2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sinC ＝12×6×27×217＝6 3. [综合题组练]1．(2020·某某某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos Ccos B，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．4 3B ．2 3C ．2D ． 3解析：选A.因为在△ABC 中，2a －c b ＝cos Ccos B ，所以(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A ，所以cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3.故选A.2．(2020·某某抚州二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＋c ＝3，则a 的最小值为( )A ．1B ． 3C ．2D ．3解析：选B.在△ABC 中，因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，所以3sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，即3sin A cos A ＝sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，所以cos A ＝13.因为b ＋c ＝3，所以两边平方可得b 2＋c 2＋2bc ＝9，由b 2＋c 2≥2bc ，可得9≥2bc ＋2bc ＝4bc ，解得bc ≤94，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝b 2＋c 2－23bc ＝(b ＋c )2－8bc 3≥9－83×94＝3，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以a 的最小值为 3.故选B.3．(2020·某某某某2月质检)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝13，b ＝4，S △ABC ＝42，则△ABC 的周长为________．解析：由cos B ＝13，得sin B ＝223，由三角形面积公式可得12ac sin B ＝12ac ·223＝42，则ac ＝12①，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得16＝a 2＋c 2－2×12×13，则a 2＋c 2＝24②，联立①②可得a ＝c ＝23，所以△ABC 的周长为43＋4.答案：43＋44．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc .若a ＋b ＝2，则c 的取值X 围为________．解析：在△ABC 中，因为(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，所以a 2＋b 2－c 2ab(a cos B ＋b cos A )＝c ，由正、余弦定理可得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，所以2cos C sin(A ＋B )＝sinC ，即2cos C sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3，B ＝2π3－A ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝c 32，可得a ＝c sin A32，b ＝c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32，因为a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，整理得c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝332sin A ＋32cos A ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以c ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈[1，2)．答案：[1，2)5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sinA cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝60°. (1)若△ABC 的面积为33，a ＝13，求b －c ； (2)若△ABC 是锐角三角形，求sin B sin C 的取值X 围．解：(1)由S △ABC ＝33，得12bc sin A ＝33，即12bc sin 60°＝33，得bc ＝12. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－bc ＝13，所以(b －c )2＝13－bc ＝1，所以b －c ＝1或b －c ＝－1. (2)因为A ＝60°，所以B ＋C ＝120°，所以C ＝120°－B . 所以sin B sin C ＝sin B sin(120°－B ) ＝sin B ⎝⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝34sin 2B ＋1－cos 2B 4 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2B －12cos 2B ＋12＝12sin ()2B －30°＋14. 因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝120°－B <90°，得B >30°，所以30°<B <90°，则30°<2B －30°<150°，所以12<sin(2B －30°)≤1，14<12sin(2B －30°)≤12，所以12<12sin(2B －30°)＋14≤34，所以sin B sin C 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，34.。

高三数学一轮总复习 47正弦定理和余弦定理同步练习北师大版

4-7正弦定理和余弦定理基础巩固一、选择题1．(2012·上海理，16)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定[答案] C[解析] 本题考查正弦定理和余弦定理． sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2.cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，∴C 为钝角．2．在△ABC 中，a ＝3，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于( ) A ．3 3 B. 3 C.32D ．2 3[答案] A[解析] 由正弦定理，得asin A ＝bsin B，∴b ＝a sin Bsin A ＝3×3212＝3 3.3．(2012·合肥高三第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵△ABC 中，c b<cos A ，∴c <b cos A ，由正弦定理得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， ∴sin A cos B <0.又sin A >0，∴cos B <0.故B 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．4．(文)已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°[答案] B[解析] 本小题主要考查三角形面积公式、三角函数等基础知识． ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32，∴C ＝60°，故选B.(理)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63 [答案] D[解析] 由正弦定理可得15sin60°＝10sin B ，∴sin B ＝33，又因为b <a ，所以B <A ，故B 为锐角，cos B ＝63. 5．(2012·陕西理，9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、基本不等式等知识．由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∵a 2＋b 2＝2c 2， ∴c 2＝2ab cos C ，又由2c 2＝a 2＋b 2≥2ab 得c 2≥ab ，∴cos C ＝c 22ab ≥12，故选C.6．(文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c :sin C 等于( )A ．3:1 B. 3 :1 C. 2 :1D ．2:1[答案] D[解析] ∵cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0， ∴2cos 2B －1－3cos B ＋2＝0，即2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝32， ∴csin C ＝b sin B ＝332＝2:1，故选D. (理)锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)[答案] D[解析] ∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A ＝2cos A ，又△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A <90°A ＋2A >90°∴30°<A <45°，则b a＝2cos A ∈(2，3)，故选D.二、填空题7．(文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________[答案]2[解析] 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos120°，即6＝a 2＋2－2a ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒a ＝2或a ＝－22(舍去)．(理)(2012·开封模拟)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，则AB ＝________.[答案]10[解析] 设AB ＝c ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，cos A ＋B ＝12，∴cos C ＝－12.又∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a ＋b 2－2ab －c 22ab＝8－c 24＝－12，∴c 2＝10，∴c ＝10，即AB ＝10.8．(文)(2012·北京文，11)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．[答案]π2[解析] 本题考查已知两边及其一边的对角解三角形，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sinπ3＝3sin B ， ∴sin B ＝12，又∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2.(理)(2012·北京理，11)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.[答案] 4[解析] 本题考查了解三角形中，正弦、余弦定理的应用．先利用余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即－14＝4＋c ＋bc －b4c＝4＋7c －b 4c，所以8c －7b ＋4＝0，又b ＋c ＝7，解得a ＝2，b ＝4，c ＝3. 三、解答题9．(文)(2012·新课标文，17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[解析] (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.(理)(2012·新课标理，17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[解析] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.能力提升一、选择题1．(2012·四川理，4)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010 B.1010 C.510D.515[答案] B[解析] 本小题考查解直角三角形、两角差的正弦公式等知识． ∵AE ＝AD ，∴△ADE 为等腰直角三角形，∴∠DEA ＝π4.在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，∴EC ＝5， ∴sin ∠CEB ＝BC EC＝15，cos ∠CEB ＝25.∴sin ∠CED ＝sin(π4－∠CEB )＝sin π4cos ∠CEB －cos π4sin ∠CEB＝22×25－22×15＝1010. 2．(2012·湖北文，8)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A :sin B :sin C 为( )A ．4:3:2B ．5:6:7C ．5:4:3D ．6:5:4[答案] D[解析] 本题主要考查了正余弦定理，及三个连续整数的设法问题．由于△ABC 的三边长为三个连续的整数且A >B >C ，故可以设a 、b 、c 三边长分别为b ＋1，b ，b －1且必须b >1，由于3b ＝20a cos A ，即3b ＝20a b 2＋c 2－a 22bc.将三边代入化简可得b (7b2－27b －40)＝0.故解得b ＝5.故A 、B 、C 对应的三边长为6,5,4.由正弦定理可得sin A ：sin B ：sin C ＝6:5:4.二、填空题3．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.[答案]255210 [解析] 本题主要考查了解斜三角形及正弦定理．依题意：0<A <π，tan A ＝2，∴sin A ＝25＝255.由正弦定理得：a ＝b sin B ·sin A ＝5×2×25＝210.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案]π6[解析] 本题考查了三角恒等变形，给值求角及正弦定理等知识点，考查学生灵活解三角形的能力，属中档题，sin B ＋cos B ＝2⇒2sin(B ＋π4)＝2，∴sin(B ＋π4)＝1，∴B ＋π4＝π2，∴B ＝π4，又a ＝2，b ＝2，由正弦定理：2sin A ＝2sinπ4.解得：sin A ＝12，又a <b ，∴A <B ＝π4，∴A ＝π6为所求．三、解答题5．(文)(2011·辽宁文，17)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[解析] (1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理知c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.(理)(2011·湖北理，16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．[解析] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－1582＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116. 6．(2012·山东文，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[解析] (1)在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B (sin A cos A ＋sin C cos C )＝sin A cos A ·sin C cos C ，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.7．(文)(2012·江西文，16)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . [解析] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C 知3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， 3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1，即cos(B ＋C )＝－13，又A ＋B ＋C ＝π，∴cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由0<A <π及cos A ＝13知sin A ＝223，又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，∴bc ＝6.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6b 2＋c 2＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.(理)(2012·江西理，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[解析] (1)由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22. 整理得 sin B cos C －cos B sin C ＝1. 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝2sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝12.。

近年年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案文北师大版(2021学年)

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第六节正弦定理和余弦定理［考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(对应学生用书第５0页)［基础知识填充]1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式错误!=错误!=错误!=2Ｒ.(R为△ABC外接圆半径)a2=ｂ２＋c2－２bc·ｃｏｓ_A；b2＝ｃ2+ａ2-２ca·cos＿B；c2=a2+b２-2ａｂ·coｓ＿C公式变形(１)ａ＝2Rｓin A，b=２Ｒsin B,c=２R sｉn C；(2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;（3）ｓin Ａ=错误!，siｎB=错误!,ｓinC＝错误!ｃｏｓA＝＼f(b２＋c2－a2,2bc);ｃｏs B＝＼f(c2＋a2－b２,2cａ);cos Ｃ=错误!2。

在△ABＣ中，已知a、ｂ和Ａ时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ａb sｉｎＡ<a<ｂａ≥b a＞ｂ解的个数一解两解一解一解３.ﻩ（１)S＝错误!a·h a（hａ表示边a上的高）；2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案文北师大版(2)S＝＼f（1,2）ab siｎC=错误!ac sｉn Ｂ=错误!bc sｉn A.ﻩ(３)S=错误!r（ａ＋ｂ＋c)(r为内切圆半径）.［知识拓展]１．三角形内角和定理ﻩ在△AＢＣ中,A+B+C＝π;ﻩ变形:＼f（A＋Ｂ,２）＝错误!-错误!．2．三角形中的三角函数关系（1)sｉn（Ａ＋B)=ｓin C；(2)cos(A+B）＝－cos C;ﻩ(2）ｓiｎＡ＋B2=cos 错误!;（４）ｃos错误!＝sin 错误!。

高考数学一轮复习(基础+提升)第3篇第6讲正弦定理和余弦定理精品课时训练北师大版

第6讲正弦定理和余弦定理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·新余模拟)在△ABC 中，若a2－c2＋b2＝3ab ，则C ＝( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解析由a2－c2＋b2＝3ab ，得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°. 答案 A2．(2014·西交大附中模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )． A.32 B ． 3C ．2 3D ．2解析 S ＝12×AB·ACsin 60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC ＝ 3.答案 B3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为 ( )．A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－1解析由正弦定理b sin B ＝c sin C及已知条件得c ＝22，又sin A ＝sin(B ＋C)＝12×22＋32×22＝2＋64. 从而S △ABC ＝12bcsin A ＝12×2×22×2＋64＝3＋1. 答案 B4．(2013·山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )．A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1 解析由a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝b sin 2A ，所以1sin A ＝32sin Acos A ，故cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，c ＝a2＋b2＝12＋3＝2.答案 B5．(2013·陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为 ( )．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析由正弦定理及已知条件可知sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin2 A ，即sin(B ＋C)＝sin2 A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C)＝sin A ，所以sin2 A ＝sin A ，又0＜A ＜π，sin A＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 A二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6. 答案 π67．(2014·惠州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C.若(a2＋c2－b2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 答案π3或2π3 8．(2013·烟台一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B 等于________．解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝4，即c ＝2.由cos C ＝14得sin C ＝154.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝bsin C c ＝22×154＝154(或者因为c ＝2，所以b ＝c ＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B ＝sin C ＝154)．答案154三、解答题 9．(2014·宜川质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋bcos C.(1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值．解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin Bcos C ，又因为A ＝π－(B ＋C)，所以sin A ＝sin(B ＋C)，可得sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝12sin C ＋sin Bcos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为S △ABC ＝3，所以12acsin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac ，所以(a ＋c)2＝b2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.10．(2013·萍乡模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7.(1)求角C 的大小；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的值．解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12.∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 sin B ＝bsin C c ＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角， ∴cos B ＝1－sin2 B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin Bcos π3＋cos Bsin π3 ＝5314×12＋1114×32＝437. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC 中，若BC ＝2，sin A ＝223，则AB →·AC →的最大值为 ( )．A.13 B ．45C ．1D ．3解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×13＝4，由基本不等式可得4≥43bc ，即bc≤3，所以AB →·AC →＝bccos A ＝13bc≤1. 答案 C2．(2013·青岛一中调研)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a3＋b3＝c3，那么 △ABC 的形状为 ( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上均有可能解析由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.根据余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形．答案 A二、填空题3．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________ .解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A.又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C)＝2(sin C ＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C)＝2(2sin C ＋3cos C)＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.答案 27三、解答题4．(2013·长沙模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足bcos C ＝(3a －c)cos B ．(1)求cos B ；(2)若BC →·BA →＝4，b ＝42，求边a ，c 的值．解 (1)由正弦定理和bcos C ＝(3a －c)cos B ，得sin Bcos C ＝(3sin A －sin C)cos B ，化简，得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝3sin Acos B ，即sin(B ＋C)＝3sin Acos B ，故sin A ＝3sin Acos B ，所以cos B ＝13. (2)因为BC →·BA →＝4，所以BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|·cos B ＝4，所以|BC →|·|BA →|＝12，即ac ＝12.①又因为cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝13，整理得，a2＋c2＝40.②联立①②⎩⎪⎨⎪⎧ a2＋c2＝40，ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，c ＝2.。

一轮复习北师大版正弦定理余弦定理的综合应用作业

课时分层作业(三十一) 正弦定理、余弦定理的综合应用一、选择题1．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°B [如图所示，由AC ＝BC 得∠CAB ＝∠CBA ＝45°．利用内错角相等可知，点A 位于点B 的北偏西15°，故选B ．]2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A ．4003 m B ．40033 mC ．20033 mD ．2003 mA [如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°， ∴∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝120°，又AB ＝200 m ， ∴AC ＝40033 m ．在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin 120°＝DC sin 30°，即DC ＝AC ·sin 30°sin 120°＝4003(m)．]3．(2021·武昌区模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里A [由题意可知：∠BAC ＝70°－40°＝30°，∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°－65°＝45°，∴∠ABC ＝180°－30°－45°＝105°．又AB ＝24×0.5＝12，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 45°＝BC sin 30°，即1222＝BC12，∴BC ＝62，故选A ．] 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32 B ．22 C ．12 D ．－12C [因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C ．]5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．83B ．43C ．23D ．3B [由已知等式得a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12．由C ∈(0，π)，所以sin C ＝32．又16＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，则ab ≤16，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×16×32＝43．故S max ＝43．故选B ．]6．已知△ABC 中，BC 边上的中线AD ＝3，BC ＝4，∠BAC ＝60°，则△ABC 的周长为( ) A ．46＋4 B ．43＋4 C ．52＋4 D ．213＋4A [根据余弦定理：AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ＝13－12cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ＝13－12cos ∠ADC ，∴AB 2＋AC 2＝26，又BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝26－AB ·AC ＝16，∴AB ·AC ＝10， ∴(AB ＋AC )2＝AB 2＋AC 2＋2AB ·AC ＝26＋20＝46，所以△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝46＋4，故选A ．] 二、填空题7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．10 [如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，AC ＝10，∠CAB ＝60°，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．12 [由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B ＞0， ∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0＜A ＜π，∴A ＝π3．由于a ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，又bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8，∴a ＋b ＋c ≤12．]9．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．66 [设AB ＝a ，∵AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3．在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33， ∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63．在△BDC 中，BDsin C ＝BCsin ∠BDC，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66．]三、解答题10．(2021·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设3b sin A ＝a (2＋cos B )．(1)求B ；(2)若△ABC 的面积等于3，求△ABC 的周长的最小值． [解] (1)因为3b sin A ＝a (2＋cos B )．由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2＋cos B )．显然sin A ＞0，所以3sin B －cos B ＝2．所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝2，∵B ∈(0，π)．所以B －π6＝π2，∴B ＝2π3． (2)依题意3ac4＝3，∴ac ＝4．所以a ＋c ≥2ac ＝4，当且仅当a ＝c ＝2时取等号．又由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ＝12． ∴b ≥23．当且仅当a ＝c ＝2时取等号．所以△ABC 的周长最小值为4＋23．11．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝3，BC ＝2．(1)若CD ＝1＋3，求四边形ABCD 的面积；(2)若sin ∠BCD ＝325，∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ∠ADC ．[解] (1)连接BD ，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得，BD 2＝AB 2＋AD 2＝4，故BD ＝2，△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－42×2×(1＋3)＝22，因为C 为三角形的内角，故C ＝π4，所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32，S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32，故求四边形ABCD 的面积S ＝12＋3．(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35，因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ∠BDC ＝45， Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33，故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋∠BDC ＝45×12＋35×32＝4＋3310．1．(2021·南昌模拟)在△ABC 中，角A 的平分线交BC 边于点D ，AB ＝4，AC ＝6，AD ＝3，则BC ＝( )A ．5210 B ．15 C ．3 D ．83A [由角平分线性质可得，BD CD ＝AB AC ＝23，故可设BD ＝2x ，CD ＝3x ， △ABD 中，由余弦定理可得，cos ∠ADB ＝9＋4x 2－162×3×2x＝4x 2－712x ，△ACD 中，由余弦定理可得，cos ∠ADC ＝9＋9x 2－362×3×3x ＝9x 2－2718x ＝x 2－32x ，∵∠ADB ＋∠ADC ＝π， ∴cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ， ∴4x 2－712x ＝－x 2－32x ，解可得x ＝102，BC ＝5x ＝5102，故选A ．]2．圭表(如图①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC )为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC )为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ，则表高(即AC 的长)为( )图①图②A ．a sin 53°2sin 47°B ．2sin 47°a sin 53°C ．a tan 26.5° tan 73.5°tan 47°D ．a sin 26.5° sin 73.5°sin 47°D [由题可知：∠BAD ＝73.5°－26.5°＝47°，在△BAD 中，由正弦定理可知： BD sin ∠BAD ＝ADsin ∠ABD ，即a sin 47°＝AD sin 26.5°，则AD ＝a sin 26.5°sin 47°，又在△ACD 中，ACAD ＝sin ∠ADC ＝sin 73.5°，所以AC ＝a sin 26.5° sin 73.5°sin 47°，故选D ．]3．如图，在平面四边形ABCD 中，∠D ＝2π3，sin ∠BAC ＝cos B ＝513，AB ＝13．(1)求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．[解] (1)在三角形ABC 中，sin ∠BAC ＝cos B ＝513，可得AC ⊥BC ，AB ＝13，所以BC ＝AB ·cos B ＝13×513＝5，AC ＝AB ·sin B ＝13×1213＝12，所以AC ＝12．(2)S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AC ·BC ＋12AD ·CD ·sin D ＝12×12×5＋12×32AD ·CD ＝30＋34·AD ·CD ，在三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·DC ·cos 2π3 ≥2AD ·DC ＋DC ＝3AD ·DC ，所以3AD ·DC ≤AC 2＝122，所以AD ·DC ≤48，所以S 四边形ABCD ≤30＋34·48＝30＋123．所以四边形ABCD 面积的最大值为30＋123．1．(2021·泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．805 [由已知得，在△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°，由正弦定理得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)．在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，所以∠DBC ＝30°，由正弦定理CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，得BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD＝80×sin 15°12＝160sin 15°＝40(6－2)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝1 600×(8＋43)＋1 600×(8－43)＋2×1 600×(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB ＝805．故图中海洋蓝洞的口径为805．]2．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为36．(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．[解] (1)如图，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin ∠DCE ＝12×3×5×sin ∠DCE ＝36，所以sin ∠DCE ＝265．因为0°＜∠DCE ＜90°，所以cos ∠DCE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2652＝15．所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2CD ·CE cos ∠DCE ＝9＋25－2×3×5×15＝28，所以DE ＝27．(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin ∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos ∠DCE ＝15，在△ADC 中，由正弦定理得 AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，即315＝5sin A ，所以sin A ＝13．。

2024届新高考一轮复习北师大版 24 正弦定理和余弦定理作业

课时规范练24 正弦定理和余弦定理基础巩固组1.(2023·山东济南高三月考)在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积等于()A.9B.18C.9√3D.18√3答案:C解析:根据正弦定理,得BCsinA =ACsinB,所以AC=BC×sinBsinA=6√3.因为C=180°-B-A=30°,所以S△ABC =12×CA×CB×sin C=9√3.故选C.2.(2023·湖北宜昌高三期中)在△ABC中,若b=2,A=120°,△ABC的面积S=√3,则△ABC的外接圆的半径为()A.√3B.2C.2√3D.3答案:B解析:由S=12bc sin A=c sin120°=√32c=√3,解得c=2,由余弦定理,得a=√b2+c2-2bccosA=√4+4-8cos120°=2√3.令△ABC外接圆半径为R,由正弦定理,得2R=asinA =2√3sin120°=4,解得R=2,所以△ABC的外接圆的半径为2.故选B.3.(2023·湖南岳阳高三月考)在△ABC中,若a cos A-c cos C=0,则△ABC是()三角形.A.等腰B.直角C.等边D.等腰或直角答案:D解析:因为a cos A-c cos C=0,由正弦定理,得sin A cos A-sin C cos C=0,即12sin2A-12sin2C=0,即sin2A=sin2C,所以2A=2C或2A=π-2C,即A=C或A+C=π2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.4.(2023·河南郑州高三月考)在△ABC中,B=120°,AB=√2,角A的角平分线AD的长为√3,则AC=() A.2 B.3 C.√6 D.√3答案:C解析:设∠BAC=2α,则0°<2α<60°,0°<α<30°.在△ABD中,∠BAD=α,由正弦定理,得ADsinB =ABsin∠ADB,即√3sin120°=√2sin(60°-α),所以sin(60°-α)=√22,-30°<-α<0°,30°<60°-α<60°,所以60°-α=45°,α=15°,∠BAC=2α=30°,则C=30°.在△ABC 中,由正弦定理,得AC sinB =AB sinC ,即AC sin120°=√2sin30°,即√32=√212,解得AC=√6.故选C .5.(多选)(2023·山东青岛高三期末)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列条件能判断△ABC 是钝角三角形的有( ) A.a cos A=b cos B B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a C.a -bc+b =sinCsinA+sinB D.b cos C+c cos B=b 答案:BC解析:对于A,由a cos A=b cos B 及正弦定理,可得sin A cos A=sin B cos B ,即sin2A=sin2B ,所以2A=2B 或2A+2B=π,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故A 不能判断;对于B,由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-ac cos B=2a ,得cos B<0,则B 为钝角,故B 能判断;对于C,由正弦定理,得a -b c+b =c a+b ,得b 2+c 2-a 2=-bc ,则cos A=-12,A=2π3,故C 能判断;对于D,由b cos C+c cos B=b 及正弦定理化边为角,可得sin B cos C+sin C cos B=sin B ,即sin A=sin B ,因为A ,B 为△ABC 的内角,所以A=B ,所以△ABC 是等腰三角形,故D 不能判断.故选BC .6.(多选)(2023·浙江杭州高三模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin B=√3b cos A ,a=3.若点D 在边BC 上,且BD=2DC ,O 是△ABC 的外心,则下列判断正确的是( ) A.A=π6B.△ABC 的外接圆半径R 为√3C.OD=1D.AD=2 答案:BC解析:对于A,在△ABC 中,0<A ,B ,C<π,因为a sin B=√3b cos A ,所以sin A sin B=√3sin B cos A.又sin B>0,所以tan A=√3,A=π3,故A 错误;对于B,又a=3,所以a sinA =2R=√32=2√3,故R=√3,故选项B 正确;对于C,取BC 的中点M ,如图所示,在Rt △BOM 中,BM=12BC=32,OM=√OB 2-BM 2=√(√3)2-(32)2=√32,在Rt △DOM 中,DM=BD-BM=12,OD=√OM 2+DM 2=√(√32)2+(12)2=1,故选项C 正确;对于D,由题意,点A 的位置不确定,故AD 长度不确定,选项D 错误.故选BC .7.(2021·全国乙,文15)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为√3,B=60°,a 2+c 2=3ac ,则b= . 答案:2√2解析:由题意可知△ABC 的面积S=12ac sin60°=√3,整理得ac=4. 结合已知得a 2+c 2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=12-2×4×cos60°=8,所以b=2√2.8.(2023·山东潍坊高三月考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2sin B-sin C ≥2sin A cos C ,则角A 的取值范围为 . 答案:(0,π3]解析:由2sin B-sin C ≥2sin A cos C ,可得2sin(A+C )-sin C ≥2sin A cos C ,整理得2cos A sin C-sin C ≥0,因为sin C>0,所以cos A ≥12,又A ∈(0,π),所以A ∈(0,π3].9.(2023·辽宁沈阳高三期中)如图所示,四边形ABCD 是由等腰直角三角形BCD 以及直角三角形ABD 拼接而成,其中∠ADB=∠BCD=90°,tan 2∠ABD=43,若BC=2,则点A 与点C 的距离为 .答案:√10解析:因为tan2∠ABD=2tan∠ABD1-tan 2∠ABD =43, 解得tan ∠ABD=12或tan ∠ABD=-2(舍去),由{sin∠ABDcos∠ABD=12,sin 2∠ABD +cos 2∠ABD =1,解得cos ∠ABD=2√55,因为△BCD 是等腰直角三角形,∠BCD=90°,BC=2,所以BD=2√2,所以AD=BD ·tan ∠ABD=√2.在△ACD 中,∠ADC=135°,由余弦定理,得AC=√AD 2+CD 2-2AD ·CD ·cos135°=√10.综合提升组10.(2023·广东惠州高三月考)设△ABC 的面积为S ,若4cos 2A-1=cos 2B+2cos 2C ,则SAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.√32B.√33C.√156D.√66答案:C解析:因为4cos2A-1=cos2B+2cos2C ,所以4(1-2sin 2A )-1=1-2sin 2B+2(1-2sin 2C ),整理得4sin 2A=sin 2B+2sin 2C ,即4a 2=b 2+2c 2,a 2=14b 2+12c 2.于是cos A=b 2+c 2-a 22bc =34b 2+12c 22bc≥2√34b 2·12c 22bc =√64,当且仅当√3b=√2c 时取等号.因为S AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗=12bcsinA bccosA=12·sinA cosA=12√1cos 2A-1,所以当cos A=√64时,SAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值12√1(√64)2-1=√156,故选C .11.(2023·重庆一中高三月考)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3a 2=(c+b )(c-b ),则tan A ·tan B 的取值范围是 . 答案:(0,12)解析:由题意得3a 2=(c+b )(c-b ), 根据余弦定理,得b cos C+a=0, 所以由正弦定理,得sin B cos C+sin A=0,即sin B cos C+sin(C+B )=0, 化简得tan C=-2tan B , 又0<B<π,所以tan 2B>0, 又tan A ·tan B=-tan(B+C )·tan B =-tanB+tanC1-tanB ·tanC ·tan B=-tanB+(-2tanB )1-tanB ·(-2tanB )·tan B =11tan 2B+2,所以0<tan A ·tan B<12.创新应用组12.(2022·全国甲,理16)已知△ABC 中,点D 在边BC 上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB 取得最小值时,BD= .答案:√3-1解析:(方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,√3),B(-t,0),AC 2AB2=(2t-1)2+3(t+1)2+3=4-12t+1+3t+1≥4-2√3,当且仅当t+1=√3,即BD=√3-1时,等号成立.此时,ACAB=√3-1.(方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得AC 2AB2=4t2+4-2×2t×2cos60°t2+4-2t×2cos120°=4t2-4t+4t2+2t+4=4-12t+1+3t+1≥4-2√3,当且仅当t+1=√3,即BD=√3-1时,等号成立,此时,ACAB=√3-1.。

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