热学 (4 第四章 气体内的输运过程)
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4-气体内的输运现象解析
时气体分子可以从容器的一壁出发，无碰撞地飞到
容器的另一壁。这种气体多处的状态称为真空。 真空是一个相对的概念，随着容器线度的减小，
形成真空态的压强值提高。真空容器中所包含的气
体是高度稀薄的气体，通常称为克努森气体，这种
气体流动称为分子流。
13
6) 单位体积内气体分子相互碰撞次数 假设分子是两两相碰的，单位体积内的分子相 互碰撞的总次数为 1 2 2 2 2 4kT Z AA nZ d v n d n
——分子的有效直径
碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的平均有 效直径d
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、分子的有效碰撞截面 当两分子质心之间垂直距离b<d 时，两分子发生碰撞。 d 2 2 d 4 ( ) 2 这里的σ就是弹性刚球的有效碰撞截面，是一个分 子截面的4倍。
5
二、平均自由程和平均碰撞频率
热运动分子之间 频繁碰撞，分子的运 动路径曲折复杂 分子在与其它分 子的相邻两次碰撞之 间所经历路程的平均 值为平均自由程 分子在单位时间内 与其它分子的平均碰 撞次数称为平均碰撞 频率
第4章 气体内的输运现象
4.1 气体分子碰撞和平均自由程 4.2 输运过程的宏观规律 4.3 气体输运现象的微观解释
1
§4.1 气体分子碰撞和平均自由程
气体分子之间的碰撞对于气体中发生的过程有
重要的作用，如在气体中建立分子按速率或速度分 布的麦克斯韦分布律，确立能量按自由度均分定理 等，都是通过气体分子的频繁碰撞加以实现并维持 的。因此，分子间的碰撞时气体中建立并维持平衡
Z 2d
2
kT 8kT p 2 4d p 2 2 d p m kT mkT
11
4-气体内的输运现象
N (0 ~ ) P ( ) 0 f ( )d N 物理意义：一个分子在自由飞行了距离后与其他分 子发生碰撞的概率。 N ( ~ ) 1 P ( ) f ( )d N 物理意义：一个分子在自由飞行了距离后仍未与其 他分子发生碰撞的概率。
d u n
2
先假设其它分子静止
2
平均碰撞频率为
Z 2d vn 2vn
10
3、分子的平均自由程 v 1 2 Z 2d n 讨论：
1 2n
1) 分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分 子的数密度n成反比，与平均速率无关。 2) 平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均 碰撞频率有确定的值。 3) 用宏观量 p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程：
6
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 是偶然的、不可预测的。 平均自由程 和平均碰撞频率 Z ： 反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、 多次碰撞的统计平均值。 二者关系：
v Z
7
1、分子间的相对运动速率 u 设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计 规律，假设所有分子均以平均速率 v 运动。则分子
1 7 2.08 10 m 2 2d n
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次， 可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
15
三、有效碰撞截面的概率解释
如图所示的气体层。 一个分子以相对速度u沿x方向 入射气体层，层内其他分子看做 相对静止。问：
A
n
x
入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？
26
这也是为什么促使系统从非平衡态过渡到平衡
态的过程称为输运过程或内迁移过程的原因。 输运过程的特点：
（1）描述系统状态的宏观参量在空间的分布不随 时间改变的输运过程，称为稳定的输运过程，相 应系统状态为稳定态。 描述系统状态的宏观参量在空间的分布随时 间改变的输运过程，称为非稳定的输运过程，相 应系统状态为非稳定态。
d u n
2
先假设其它分子静止
2
平均碰撞频率为
Z 2d vn 2vn
10
3、分子的平均自由程 v 1 2 Z 2d n 讨论：
1 2n
1) 分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分 子的数密度n成反比，与平均速率无关。 2) 平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均 碰撞频率有确定的值。 3) 用宏观量 p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程：
6
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 是偶然的、不可预测的。 平均自由程 和平均碰撞频率 Z ： 反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、 多次碰撞的统计平均值。 二者关系：
v Z
7
1、分子间的相对运动速率 u 设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计 规律，假设所有分子均以平均速率 v 运动。则分子
1 7 2.08 10 m 2 2d n
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次， 可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
15
三、有效碰撞截面的概率解释
如图所示的气体层。 一个分子以相对速度u沿x方向 入射气体层，层内其他分子看做 相对静止。问：
A
n
x
入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？
26
这也是为什么促使系统从非平衡态过渡到平衡
态的过程称为输运过程或内迁移过程的原因。 输运过程的特点：
（1）描述系统状态的宏观参量在空间的分布不随 时间改变的输运过程，称为稳定的输运过程，相 应系统状态为稳定态。 描述系统状态的宏观参量在空间的分布随时 间改变的输运过程，称为非稳定的输运过程，相 应系统状态为非稳定态。
气体分子平均自由程
分子的无引力的弹性刚球模型与理想气体微观模型相比，同样忽略了分
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
热力学-4.气体内的输运过程
. 输运系数的数量级 若已知气体分子的质量、有效直径(或碰撞
截面σ), 可以计算出在不同压强和温度条件下的 输运系数。
300K时N2的η =4.2×10-5Pa·s(实验:1.78×10-5Pa·s) 273K时Ar的κ =1.47×10-2W·m-1·K-1
(实验值1.67×10-2W·m-1·K-1)。
dz z0
D为扩散系数；(单位是米2/秒)
气体在非平衡态下的三种典型变化过程:
粘滞现象
——动量的传递
传热
——热量的传递
扩散
——质量的传递
三种输运现象宏观规律共同宏观特征:
它们都是由气体中的某一性质的不均匀分 布而引起的；
为了定量描述这不均匀性，分别采用了定 向流动的速率梯度、温度梯度和密度梯度；
第四章 气体内的输运过程
问题的提出
v 1.6 RT 470 m / s
讲台处的某类气体分子约需多长时间能 运动到你处？
t ~ 0.1秒 ??
矛盾
气体分子热运动平均速率高， 但气体扩散过程进行得相当慢。
设想下课后大家闭着眼睛往外走的情形…
分子速率虽高，但分子在运动中还要和 大量的分子碰撞。
2.69 10 25 m 3
(2)v 1.60 RT /
1.60 8.31 273 / 29 103 448 m s1
(3)Z 2 d 2 nv
1.41 3.14 (3.510 10 )2 2.69 10 25 448 6.54 10 9 s1
)
z0
dS
1 nmv
3
df
(
du dz
)
z0
气体内的输运过程
（内迁移、输运过程）
热传导：温度 T 不均匀 热的迁移； 内摩擦（粘滞）：定向速度u不均 输运过程 定向动量的迁移； 扩散：密度 不均匀 m的迁移。
热学
13
一、粘滞现象的宏观规律
1、层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别， 不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称 为层流。
由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域 向密度小的区域迁移的现象。 d 1 2 ( z ) 密度梯度 2 dz
z z0
dM dS
表示气体的密度沿x 轴方向 的空间变化率。
在dt时间内，通过dS传递的质量
o
1
x
d dM D dSdt dz z0
热学
23
§3. 输运过程的微观解释
首先是气体分子的热运动 另一个重要原因就是分子间的碰撞。 一、粘滞现象的微观解释 气体黏性系数的导出
1 1 nmv或 v 3 3
讨论： 注意：*近平衡非平衡过程；
*气体既足够稀薄又不 太稀薄
1）、η 与n无关。 2）、 η仅仅是温度的函数。
热学
21
D 扩散系数
d dM D dSdt dz z0
' ' 表示扩散总沿减小的方向
1自扩散与互扩散 当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动 使粒子从密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象 称为扩散。 互扩散：发生在混合气体中，由于各成分的气体空间 分布不均匀，各成分分子均要从高密度区向低密度区 迁移的现象。 自扩散：是互扩散的一种特例
空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
热传导：温度 T 不均匀 热的迁移； 内摩擦（粘滞）：定向速度u不均 输运过程 定向动量的迁移； 扩散：密度 不均匀 m的迁移。
热学
13
一、粘滞现象的宏观规律
1、层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别， 不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称 为层流。
由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域 向密度小的区域迁移的现象。 d 1 2 ( z ) 密度梯度 2 dz
z z0
dM dS
表示气体的密度沿x 轴方向 的空间变化率。
在dt时间内，通过dS传递的质量
o
1
x
d dM D dSdt dz z0
热学
23
§3. 输运过程的微观解释
首先是气体分子的热运动 另一个重要原因就是分子间的碰撞。 一、粘滞现象的微观解释 气体黏性系数的导出
1 1 nmv或 v 3 3
讨论： 注意：*近平衡非平衡过程；
*气体既足够稀薄又不 太稀薄
1）、η 与n无关。 2）、 η仅仅是温度的函数。
热学
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D 扩散系数
d dM D dSdt dz z0
' ' 表示扩散总沿减小的方向
1自扩散与互扩散 当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动 使粒子从密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象 称为扩散。 互扩散：发生在混合气体中，由于各成分的气体空间 分布不均匀，各成分分子均要从高密度区向低密度区 迁移的现象。 自扩散：是互扩散的一种特例
空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,
热学 (4 第四章 气体内的输运过程)
速度梯度和面积也可以直接测得； 于是，从公式可以算出
内摩擦系数。
C 小镜 B A
旋转黏度计
17
18
19
二、热传导现象的宏观规律 热传导 (heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
dN
1
N0ex/ dx
13
§5-2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力，结果使得 流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。这种相互作用 力称为内摩檫力，也叫做粘滞力。这种现象称为内摩檫现 象，也叫做黏性现象。
5）、采用不同近似程度的各种推导方法的实质是
相同的。
31
理性气体内部压强的微观解释
从微观的角度看来, 理想气体内部的压强 实质上是由于垂直于截面方向的热运动 动量交换引起的
1 n dSdt
2m
6
dK 1 n dSdt2m
6
p dK 2 n(1 m 2 )
dSdt 3 2
32
二、热传导现象的微观解释
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
内摩擦系数。
C 小镜 B A
旋转黏度计
17
18
19
二、热传导现象的宏观规律 热传导 (heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
dN
1
N0ex/ dx
13
§5-2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力，结果使得 流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。这种相互作用 力称为内摩檫力，也叫做粘滞力。这种现象称为内摩檫现 象，也叫做黏性现象。
5）、采用不同近似程度的各种推导方法的实质是
相同的。
31
理性气体内部压强的微观解释
从微观的角度看来, 理想气体内部的压强 实质上是由于垂直于截面方向的热运动 动量交换引起的
1 n dSdt
2m
6
dK 1 n dSdt2m
6
p dK 2 n(1 m 2 )
dSdt 3 2
32
二、热传导现象的微观解释
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
第四章 气体内的输运过程补充 大学物理热学部分PPT
3）当任一分子在运动过程中于某地只经受一次碰 撞就会失掉它原来的运动特性，在受碰处被当 地的分子完全“同化”。
1.dt 时间内沿z轴向上和向下穿过ds面的分子数目 dN↑和dN↓
❖气体中处于ds面上方的部分为A，下方的为B，两部
分子的数密度和平均速率分别为nA、nB和 v A 、v B ，于
是
Z
dN
1. 思路与准备
• 模型中的一些假设：
1）把分子看成是彼此无吸引力的刚性小球，都以 平均速率而运动。
2）将系统中的分子等分为三队，各自平行于x轴、 y轴、z轴运动；每一队又等分为两小队，各自 沿坐标轴的正、负方向运动。(输运过程与平衡 态偏离不大 ，平衡态下分子热运动及碰撞的一 些结果都可直接采用)
处的分子热运动平均能量 z0 ；由B部沿z轴向上穿过ds
的分子携带 z0 处的平均能量 z0 。所以，A、B两部
每交换一对分子通过ds沿z轴正方向净输运的热量为：
z0
z0
依据能量按自由度均分定理
z0
i 2kTz0
z0
i
k 2
T
z0
i是分子热运动的自由度。
于是
z0
第四章 气体内的输运过程
补充
输运过程的微观解释
The microscopic explanations of transportation processes
1.思路与准备 2.粘滞现象的微观解释 3. 热传导现象的微观解释 4. 扩散现象的微观解释 5. 输运过程简单微观理论与实验的比较 6. 对简单理论的改进
dkm(u u )
z0 z0
定向流速u的下标表示相应气层的空间位置。利用在z0 处定向流动的速率梯度，可写出
du
1.dt 时间内沿z轴向上和向下穿过ds面的分子数目 dN↑和dN↓
❖气体中处于ds面上方的部分为A，下方的为B，两部
分子的数密度和平均速率分别为nA、nB和 v A 、v B ，于
是
Z
dN
1. 思路与准备
• 模型中的一些假设：
1）把分子看成是彼此无吸引力的刚性小球，都以 平均速率而运动。
2）将系统中的分子等分为三队，各自平行于x轴、 y轴、z轴运动；每一队又等分为两小队，各自 沿坐标轴的正、负方向运动。(输运过程与平衡 态偏离不大 ，平衡态下分子热运动及碰撞的一 些结果都可直接采用)
处的分子热运动平均能量 z0 ；由B部沿z轴向上穿过ds
的分子携带 z0 处的平均能量 z0 。所以，A、B两部
每交换一对分子通过ds沿z轴正方向净输运的热量为：
z0
z0
依据能量按自由度均分定理
z0
i 2kTz0
z0
i
k 2
T
z0
i是分子热运动的自由度。
于是
z0
第四章 气体内的输运过程
补充
输运过程的微观解释
The microscopic explanations of transportation processes
1.思路与准备 2.粘滞现象的微观解释 3. 热传导现象的微观解释 4. 扩散现象的微观解释 5. 输运过程简单微观理论与实验的比较 6. 对简单理论的改进
dkm(u u )
z0 z0
定向流速u的下标表示相应气层的空间位置。利用在z0 处定向流动的速率梯度，可写出
du
热学(李椿章立源钱尚武~)习题解答第四章气体内的输运过程
第四章气体内的输运过程4－1.氢气在，时的平均自由程为×m，求氢分子的有效直径。
解：由＝得：＝代入数据得：（m）4－2.氮分子的有效直径为，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。
解：＝代入数据得：－（m）＝代入数据得：＝（s）4－3.痒分子的有效直径为3.6×m，求其碰撞频率，已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm；（2）氧气的温度为300K，压强为1.0×atm解：由＝得＝＝代入数据得：＝6.3×（）（）4－4.某种气体分子在时的平均自由程为。
（1）已知分子的有效直径为，求气体的压强。
（2）求分子在的路程上与其它分子的碰撞次数。
解：（1）由得：代入数据得：（2）分子走路程碰撞次数（次）4－5.若在下，痒分子的平均自由程为，在什么压强下，其平均自由程为？设温度保持不变。
解：由得4－6.电子管的真空度约为HG，设气体分子的有效直径为，求时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。
解：（2）（3）若电子管中是空气，则4－7.今测得温度为压强为时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为和，问：（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？（2）时，为多大？（3）时，为多大？解：（1）由得：（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由得：（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：4－8.在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。
设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径来可以忽略不计。
（1）电子与气体分子的碰撞截面为多大？（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为：，n为气体分子的数密度。
解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。
又因为气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：（2）电子与气体分子碰撞频率为：（为电子平均速率）4－9.设气体分子的平均自由程为试证明：一个分子在连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是解：根据（4.6）式知在个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为＝由几率概念知：对于一个分子，自由程大于x的几率为，故一个分子连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是。
第四章 气体内的输运过程
第四章 气体内的输运过程
du d k m u1 m u 2 m 2 d z z0
2. dt时间内有多少对分子由A通过ds面到B
N 1 6 n vd td s
3. dt时间内总动量输运dK
1 du du dK N dk nm v d td s v d td s 3 3 d z z0 d z z0 1
k 导热系数 ' ' 表示热量沿温度减小的方向传递
第四章 气体内的输运过程
三、 扩散现象的宏观规律
扩散(diffusion) 物体内各部分的密度不均匀时，
由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域 向密度小的区域迁移的现象。
•（1）产生原因：
密度梯度
d dz
0
（2）迁移量：质量m
d （3）宏观规律—Fick定律 dM D dSdt dz z0 ' ' 表示扩散总沿减小的方向 D 扩散系数
介绍三种输运过程
• 各层流速不同时发生的粘滞现象 • 温度不均匀时发生的热传导过程
• 以及当气体各处密度不均匀时发生的扩散过程
第四章 气体内的输运过程
4－1 气体分子的平均自由程
分子平均碰撞频率： 单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数 . 简化模型 1 . 分子为刚性小球 , 2 . 分子有效直径为 d （分子间距平均值）， 3 . 其它分子皆静止, 某一分子以平均速率 对其他分子运动 .
第四章 气体内的输运过程
§3. 输运过程的微观解释
首先是气体分子的热运动 另一个重要原因就是分子间的碰撞。 一、粘滞现象的微观解释 气体黏性系数的导出
第四章 气体内的输运过程
导热系数
1 v cV 3
三、扩散现象的微观解释
从分子动理论的观点看来，A部的密度小，单位体积内的分子少； B部的密度大，单位体积内的分子多。因此，在相同的时间内， 由A部转移到B部的分子少，而由B部转移到A部的分子多，这就 形成了宏观上物质的输运，从而引起扩散现象。 气体内的扩散在微观上是分子在热运动中输运质量的过程。
n u t 2 n u 2nv 2 d v n t 1 则平均自由程： v 1 Z 2 n 2 d 2 n 1 T 一定时 kT kT p 2
2 p
2 d p
p 一定时
T
[例] 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。 取分子的有效直径d=3.5×10-10m。已知空气的平均相对分子质 量为29 。
很大，但前进中要与其他分子作频繁的 碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生 改变，所走的路程非常曲折。
扩散速率 < 平均速率
A
B
自由程 ：分子在相继两次碰撞之间能通过的自由路程。 （具有偶然性）
1
2
5
4
6
7
平均自由程（mean free path） ：
——气体分子在连续两次碰撞之间所通过的自由路程的平均值。
x
扩散现象的基本规律：
扩散系数 恒为正值
质量沿密度 减小的方向 输运
d dmg D dSdt dz z0
斐克（Fick）定律
这个定律对任意两种不同气体的相互扩散过程同样适用。
上述三种现象具有共同的宏观特征：
这些现象的发生都是由于气体内部存在着一定的 不均匀性。 从定性的意义上讲：这些现象乃是从各个不同 的方面揭示出气体趋向于各处均匀一致的特性。
热学第4章
d
设分子A以平均速率运动，其他分子都静止。单位时间内 分子A与其他分子碰撞的次数为：
z d 2vn
考虑所有分子都以平均速率 v 运动，则要引入修正因子 2 。
z
2 d v n
2
称为平均碰撞频率
气体分子的平均自由程：
z
2 d 2v n
v z
或：
1 2 d 2 n
kT 2 d 2 P
( P nkT )
讨论
1 z v 、 n， 而 （ 与v无 关 ） 。 n
标准状态下，空气分子（d≈3.5×10–10m）的平均碰撞频率 和平均自由程分别为：
z 6 .5 1 0 9 1
s
,
6 .9 1 0 8 m ( 2 0 0 d )
2. 分子按自由程分布 实际气体分子间的距离是不一样的，若某时刻有N0个分子， 在运动中与其它分子碰撞，自由程短的先碰，认为每碰一次 分子少一个，那么N0个分子通过x路程后只剩下N个。再经过 dx路程后，有减少dN个。 单位长度上每个分子的平均碰撞次数： 1/ 长为dx的路程每个分子的碰撞次数： dx / N个分子经过dx路程的平均碰撞次数： Ndx /
dQ dT ( ) z0 dS dt dz
付里叶定律
z
k ：导热系数，单位：W/m· K
dT ：温度梯度。 dx
y
dS
热传导现象的分子动理论解释：设n各处相等，但B部分子 比A部分子有较大的热运动能量，A、B间通过分子交换使 A向B 有能量的交换。
热传导起源于分子热运动能量的交换。
3、扩散现象：
x
§2 输运过程的宏观规律
动量迁移（内摩擦）
气体内的输运过程优秀课件
一个分子所经过的平均距离为t，而与其它分子
碰撞的平均次数是 zt，由于每碰撞一次都将结束
一段自由程，所以
t
Zt Z
二、 平均自由程公式
将分子看成是直径为d 的 弹性刚球，并假设分子A相对
于其他分子的平均速率为 u。
则平均碰撞频率：
z n d 2u t n u
t
式中：n为分子数密度。 d2 碰 撞 截 面
实验又测出在切向面积相等时,这样的 流体中的速度梯度处处相等. 而且流体层所受到的黏性力的大小是 与流体流动的速度梯度的大小成正比的。
牛顿黏性定律
•黏性力的大小与 du / dz及切向面积S成正比 .
•比例系数以η表示，称为流体的黏度或黏性系数、黏 滞系数（coefficient of viscosity)则
2）由于气体分子无规的（平动）热运动， 在相邻流体层间交换分子对的同时，交换相 邻流体层的定向运动动量。
3）结果使流动较快的一层流体失去了定向 动量，流动较慢的一层流体获得到了定向动 量，黏性力由此而产生的.
二.热传导现象的宏观规律
当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度 差时就有热量的传输. 热传递有热传导、对流与辐射 三种方式，本节将讨论热传导
三、分子按自由程的分布
• 分子在任意两次连续碰撞之间所通过的自由程不同；分子
在自由程介于任一给定长度区间 x~xdx 内的分布：
设想某个时刻一组分子共N0个，运动中与组外分子相碰， 每碰一次，组内分子减少一个。设这组分子通过路程x时还 剩下N个，在下段路程dx,又减少了dN个。
分子在长度为dx的路程上，每个分子平均碰撞 dx /
气体内的输运过程
4.1 气体分子的平均自由程
4.输运过程
拿钢笔蘸墨水写字用焊药将金属表面的氧化层洗干净不润湿的材料做成不透水的雨衣和帐篷润湿与不润湿现象在采矿工业上有一个重要应用浮选法滴下捕收剂油药的容器用螺旋桨打入空气的装置有用矿石和无用矿石分开的地方evaluationonly
输运过程与相变 §1 气体中的输运过程 一 迁移现象的宏观解释 1 粘滞现象 定义：相邻两层流体因流速不同有相对运动 时，沿接触面互施切向力（粘滞力）的现象
1.3 10 Pa
5
( P0 1.013 10 Pa )
5
三 球形液泡的内外压强差 ∵膜很薄，内外表面的 半径可看作相等
A
C
B
PC PA ?
{
2 PB PA R 2
PB PC R
①
②
4 PC PA R
—— 球形液泡内外压强差公式
四 拉普拉斯方程
对于不能润湿固体的 液体，接触角是钝角 Φ＞π/2
Φ=π 称为完全不润湿 Φ=π/2 液面是水平的
2 润湿与不润湿现象的解释 附着层 —— 液体与固体的交界 （厚度等于 分子引力有效作用距离的一薄层液体） 面 A为附着层中的分子 固体分子 对A分子的 作用力 —— 附着力 液体分子对 A分子的作 用力 —— 内聚力 结论：附着力＞内聚力 ——就发生润湿现象 附着力＜内聚力 ——则发生不润湿现象
( ) . J
P . Pa R
1 一矩形框被可移动横杆分成两部分，横杆平行于 上、下边，长度为0.1m，被分成的两部分分别蒙以 表面张力系数为40×10-3N/m和70 ×10-3N/m液膜， 求横杆所受的力。 2 等温地吹出一个直径为50 ×10-2m肥皂泡需要作 功多少？这时肥皂泡内外压强差多大？已知肥皂 水的表面张力系数α=2.5 ×10-2N/m。
输运过程与相变 §1 气体中的输运过程 一 迁移现象的宏观解释 1 粘滞现象 定义：相邻两层流体因流速不同有相对运动 时，沿接触面互施切向力（粘滞力）的现象
1.3 10 Pa
5
( P0 1.013 10 Pa )
5
三 球形液泡的内外压强差 ∵膜很薄，内外表面的 半径可看作相等
A
C
B
PC PA ?
{
2 PB PA R 2
PB PC R
①
②
4 PC PA R
—— 球形液泡内外压强差公式
四 拉普拉斯方程
对于不能润湿固体的 液体，接触角是钝角 Φ＞π/2
Φ=π 称为完全不润湿 Φ=π/2 液面是水平的
2 润湿与不润湿现象的解释 附着层 —— 液体与固体的交界 （厚度等于 分子引力有效作用距离的一薄层液体） 面 A为附着层中的分子 固体分子 对A分子的 作用力 —— 附着力 液体分子对 A分子的作 用力 —— 内聚力 结论：附着力＞内聚力 ——就发生润湿现象 附着力＜内聚力 ——则发生不润湿现象
( ) . J
P . Pa R
1 一矩形框被可移动横杆分成两部分，横杆平行于 上、下边，长度为0.1m，被分成的两部分分别蒙以 表面张力系数为40×10-3N/m和70 ×10-3N/m液膜， 求横杆所受的力。 2 等温地吹出一个直径为50 ×10-2m肥皂泡需要作 功多少？这时肥皂泡内外压强差多大？已知肥皂 水的表面张力系数α=2.5 ×10-2N/m。
第四章气体内的输运过程
第四章气体内的输运过程 第四章气体内的输运过程
教学目的要求和重点难点： 教学目的要求和重点难点： 本章知识的重点是三种输运现象的宏观规律和相应的微观物理图象解释。难点是输运 过程的微观解释。而克服难点的途径在于一开始使学员确切掌握碰撞频率和平均自由程的 概念，以及简化物理图象的叙述。
§4.1气体分子的平衡自由程 一、分子的平均自由程和碰撞频率： (一) 分子碰撞的机制： 1．分子模型———刚球模型 2．分子碰撞的机制： 1）瞄准距离——— A相对运动方向的直线与靶中心的距离。 2）分子碰撞的必要条件 3）碰撞截面 （二）、分子的平均碰撞频率： 1．平均碰撞频率： 2． Z 与 v u 的关系 三、分子的平均自由程： 1．每个分子在任意两次连续碰撞之间所通过的自由路程叫做自由程，大量自由程的平均值 叫做平均自由程。 2．平均自由程与压强、温度的关系
dq =
1 (t + r + 2s )K T z0 − λ − T z0 + λ 2
(
)
= − 2λ
dT dz z
⋅
0
1 (t + r + 2s )K 2
(2).交换的分子对数 同粘滞现象完全类似 dN= (3)沿z轴传输的总热量
1 nυdsdt 6
dQ= −
1 ρυ λ c υ dT dsdt 3 dz z
1
3
T 0.7 成正比，D约与 T 1.75 − T 2 成正比。理论与实验所以有偏差，是因为在理论推导中，把
分子看作刚球，认为λ不随T改变，而这是与实际不尽相同的。
2．η、k和D之间的关系：
k
η
D
= Cv 或
k = 1 但实验表明它不为1,而1.3～2.5 Cvη Dρ
教学目的要求和重点难点： 教学目的要求和重点难点： 本章知识的重点是三种输运现象的宏观规律和相应的微观物理图象解释。难点是输运 过程的微观解释。而克服难点的途径在于一开始使学员确切掌握碰撞频率和平均自由程的 概念，以及简化物理图象的叙述。
§4.1气体分子的平衡自由程 一、分子的平均自由程和碰撞频率： (一) 分子碰撞的机制： 1．分子模型———刚球模型 2．分子碰撞的机制： 1）瞄准距离——— A相对运动方向的直线与靶中心的距离。 2）分子碰撞的必要条件 3）碰撞截面 （二）、分子的平均碰撞频率： 1．平均碰撞频率： 2． Z 与 v u 的关系 三、分子的平均自由程： 1．每个分子在任意两次连续碰撞之间所通过的自由路程叫做自由程，大量自由程的平均值 叫做平均自由程。 2．平均自由程与压强、温度的关系
dq =
1 (t + r + 2s )K T z0 − λ − T z0 + λ 2
(
)
= − 2λ
dT dz z
⋅
0
1 (t + r + 2s )K 2
(2).交换的分子对数 同粘滞现象完全类似 dN= (3)沿z轴传输的总热量
1 nυdsdt 6
dQ= −
1 ρυ λ c υ dT dsdt 3 dz z
1
3
T 0.7 成正比，D约与 T 1.75 − T 2 成正比。理论与实验所以有偏差，是因为在理论推导中，把
分子看作刚球，认为λ不随T改变，而这是与实际不尽相同的。
2．η、k和D之间的关系：
k
η
D
= Cv 或
k = 1 但实验表明它不为1,而1.3～2.5 Cvη Dρ
第四章 气体内的输送过程
du dK - dSdt dz z0
用微观理论导出 了宏观规律！
2，热传导现象的微观解释
(1) 每换一对分子， 1 dT 1 (t + r + 2s)k dq (t + r + 2 s )k (Tz0 -l - Tz0 + l ) -2l 沿z轴传输的热量 dz Z 2 2 1 dN nv dSdt (2) 交换的分子对数 6
例如，混和气体先隔开，两边的P、T相同（n也 相同），但是 =mn不同而引起的扩散就是单纯 的扩散。将隔板抽开，密度梯度就形成了。
12CO 14CO
2 2
3，密度梯度：密度 是位置 z 的函数，其空间变化率 d/dz 叫做密度梯 度。若密度均匀一致，则d/dz =0，若密度随空间位置作线性变化，则为 一常数，该常数很小，称线性平衡过程。若密度的变化是非线性的，则 不同点处有不同的值，z0点处的密度梯度 记为(d/dz) z0
作业提示：19，1）粘滞定律采用力的形式；2）速度梯度可具体表示为 du = wR；3)dS=2RL.
21，1）通过各柱面层的热流量没有吸收和增加，总的热量就是基本 流量与时间的乘积，且时间为1秒，dQ~Q；dS=2rL；3）积分
§3 输运过程的微观解释
一，三个不同的过程有相似的宏观规律 （1）某个物理量的空间不均匀性是形成输运过程的原因，而输运的结果就是 消除这些不均匀性，当梯度为0时，输运过程就结束了，系统重新达到新的平 衡态；（2）梯度既反映了输运的起因，负号表示输运沿梯度的负反向进行， 也反映了输运的趋势和最终结果；（3）输运系数则反映了输运进行的快慢程 度，它是由气体系统本身的性质和外界提供的条件所决定的。三个系数和三 个梯度一起表现了三种过程的物理本质。 名称 不均匀性X dX u dY - dSdt 粘滞 统一表示为 dz z0 热传导 T 扩散 这种相似性意味着什么？—— 源于共同的微观机制 输运的量Y dK dQ dM 输运系数
李椿热学。第四章气体内的输运过程
z
u0 A df´
dA
df
u=u(z)
B
u=0
x
25
对于面积为 dA 的相邻流体层来说，作 用在上一层流体的阻力 df´必等于作用于下 一层流体 df 的加速力。
牛顿黏性（viscosity）定律
在相邻两层流体中，相对速度较大的流 体总是受到阻力，即速度较大一层流体受到 的黏性力的方向总与速度梯度方向相反，故
1P= 0.1Pa∙s
黏度与流体的流动性质有关。流动性好的流 体的黏度相对小。气体的黏度小于液体。气体的 黏度随温度升高而增加。液体的黏度随温度的升 高而减小。 在单位时间内，相邻流体层之间所转移的沿 流体层的定向动量为动量流 dp/dt，在单位横截 面积上转移的动量流为动量流密度JP 。
dp du JP dt A dz
x
x ln N / N 0
20
因电子运动速率远大于空气分子的热运 动速率，将空气分子看作是静止的，电子的 有效直径比起气体分子的可忽略不计。 碰撞截面为 碰撞频率为
1 2 d 4
v v 1 z n v n
z nv
p nkT
4kT 4kT ln N / N 0 p 2 d 2 x d
x 0 0 N0 x t N x+ dx t + dt N+dN
假设在 t 时刻，x 处剩下N 个分子，经过d t 时 间，分子束运动到 x + d x 处又被碰撞掉 | dN |个分子。
即自由程为x 到x + d x 的分子数为 dN 。在 x —x +
d x 距离内，减少的分子数 | dN |与 x 处的分子数 N 成正比，与 d x 的大小成正比，其比例系数为K，则
u0 A df´
dA
df
u=u(z)
B
u=0
x
25
对于面积为 dA 的相邻流体层来说，作 用在上一层流体的阻力 df´必等于作用于下 一层流体 df 的加速力。
牛顿黏性（viscosity）定律
在相邻两层流体中，相对速度较大的流 体总是受到阻力，即速度较大一层流体受到 的黏性力的方向总与速度梯度方向相反，故
1P= 0.1Pa∙s
黏度与流体的流动性质有关。流动性好的流 体的黏度相对小。气体的黏度小于液体。气体的 黏度随温度升高而增加。液体的黏度随温度的升 高而减小。 在单位时间内，相邻流体层之间所转移的沿 流体层的定向动量为动量流 dp/dt，在单位横截 面积上转移的动量流为动量流密度JP 。
dp du JP dt A dz
x
x ln N / N 0
20
因电子运动速率远大于空气分子的热运 动速率，将空气分子看作是静止的，电子的 有效直径比起气体分子的可忽略不计。 碰撞截面为 碰撞频率为
1 2 d 4
v v 1 z n v n
z nv
p nkT
4kT 4kT ln N / N 0 p 2 d 2 x d
x 0 0 N0 x t N x+ dx t + dt N+dN
假设在 t 时刻，x 处剩下N 个分子，经过d t 时 间，分子束运动到 x + d x 处又被碰撞掉 | dN |个分子。
即自由程为x 到x + d x 的分子数为 dN 。在 x —x +
d x 距离内，减少的分子数 | dN |与 x 处的分子数 N 成正比，与 d x 的大小成正比，其比例系数为K，则
热力学第四章气体内的输运过程
2m
du dz
z0
ds vdt
dK 1 nmv du dsdt 1 v du dsdt
3
2019/12/19
dz 崎山z苑0 工作室
3
dz z0 21
二 热传导现象的微观解释
气体动理论认为： a.温度较高的热层分子平均动能大， T1 温度较低的冷层分子平均动能小； b.由于两层分子碰撞和掺和，从热层 到冷层出现热运动能量的净迁移。
2019/12/19
崎山苑工作室
1
第四章 气体内的输运过程
4.1 气体分子的平均自由程 4.2 输运过程的宏观规律 4.3 输运过程的微观解释 ＊4.4 真空的获得及测量
2019/12/19
崎山苑工作室
2
4.1 气体分子的平均自由程（mean free path）
1. 分子碰撞 分子相互作用的过程。
解:按气体分子算术平均速率公式 算得
v 8RT
v
8RT ＝
88.31 273 3.14 2 103
m
/
s
1.70
103
m
/
s
按公式 p=nkT 可知单位体积中分子数为
n
p ＝ 1.013105 kT 1.38 1023 273
m
3
2.69 1025 m3
2019/12/19
崎山苑工作室
24
四 理论结果与实验的比较
1.，和D与气体状态参量的关系
mn v 8kT 1
m
2n
1 v 1 4km T1/2
3
3
n p kT
大学热学第八讲输运过程的微观解释
（2）固体和液体：
因为整个固体或液体都是由化学键把所 有分子联接而成的连续介质，一个分子的振 动将导致整个物体的振动，
同样局部分子较大幅度的振动也将使其 它分子的平均振幅增加。 • 热运动能量就是这样借助于相互联接的分子 的频繁的振动逐层地传递开去的 。
一般液体和固体的热传导系数较低 。
特色：系统仅处于力平衡（p）
=>交换分子具有最后一次受碰处
的定向动量，平均讲位于距ds面 处
u f (z)
dk = m(uz0 uz0 )
2. 计算dK：
1 v
3
dK =dN对 dk
dN对
=
1 6
n
vdt
ds
dk = m(uz0 uz0 )
u z0
u z0
2
1.3 ~ 2.5
cV
D 1.3 ~ 1.5
cV ...... 分子按速率分布
（1）多处简化假设：
P100
刚球
具有相同的平均自由程
以平均速率运动 一次碰撞同化
（2）三式的系数实际上并非均为1/3，且与气体性质有关.
§4.3 输运过程的微观解释
一.粘滞现象微观机理 二.热传导现象的微观机理 三.扩散现象的微观机理 四.理论结果与实验的比较
四.理论结果与实验的比较
1. 三系数与气体状态参量的关系 2. 三系数的关系 3. 三系数的数量级 4. 低压下的热传导和黏性现象
3. 三系数的数量级：
[例4.1] 估计标准状况下空气分子平均自由程和碰撞频率。 空气分子d =3.5×10-10 m ，分子量29
3
2
因为整个固体或液体都是由化学键把所 有分子联接而成的连续介质，一个分子的振 动将导致整个物体的振动，
同样局部分子较大幅度的振动也将使其 它分子的平均振幅增加。 • 热运动能量就是这样借助于相互联接的分子 的频繁的振动逐层地传递开去的 。
一般液体和固体的热传导系数较低 。
特色：系统仅处于力平衡（p）
=>交换分子具有最后一次受碰处
的定向动量，平均讲位于距ds面 处
u f (z)
dk = m(uz0 uz0 )
2. 计算dK：
1 v
3
dK =dN对 dk
dN对
=
1 6
n
vdt
ds
dk = m(uz0 uz0 )
u z0
u z0
2
1.3 ~ 2.5
cV
D 1.3 ~ 1.5
cV ...... 分子按速率分布
（1）多处简化假设：
P100
刚球
具有相同的平均自由程
以平均速率运动 一次碰撞同化
（2）三式的系数实际上并非均为1/3，且与气体性质有关.
§4.3 输运过程的微观解释
一.粘滞现象微观机理 二.热传导现象的微观机理 三.扩散现象的微观机理 四.理论结果与实验的比较
四.理论结果与实验的比较
1. 三系数与气体状态参量的关系 2. 三系数的关系 3. 三系数的数量级 4. 低压下的热传导和黏性现象
3. 三系数的数量级：
[例4.1] 估计标准状况下空气分子平均自由程和碰撞频率。 空气分子d =3.5×10-10 m ，分子量29
3
2
4气体内的输运过程N
1m
所以分子自由程由夹层的间距决定： L
1 1 k v cv v Lcv n P 3 3
19. 将一圆柱体沿轴悬挂在金属丝上，在圆柱体外面 套上一个共轴的圆筒，两者之间充以空气。当圆筒 以一定的角速度转动时，由于空气的粘滞作用，圆 柱体将受到一个力矩G, 由悬丝的扭转程度可测定此 力矩，从而求出空气的粘滞系数。设圆柱体的半径 为R，圆筒的内半径为 R ( R) ，两者的长度 均为L，圆筒的角速度为 ,试证明
而 N 个分子在 dx 的路程上，平均应碰撞 Ndx 次 1 dN 1 dN Ndx dx N
ln N x
C
x
ln N 0 1
N x ln N0
N N 0e
x
dN
N 0 e x dx
§2.输运过程的宏观规律
n: 分子数密度 碰撞次数 n u t nu t u n Z u 2v t
Z 2 v n 2 d 2v n 1 1 与平均速率无关 2 2n 2d n kT kT p nkT 2p 2d 2 p
例: 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率，取分子 的有效直径 d 3.5 1010 m，已知空气的平均分子量为29
28 103 m kg 4.6 1026 kg 6.02 1023
T 288K , d 3.8 1010 m , k 1.38 10 23 J K 1
1 4mkT 1 1.1 10 5 N s m 2 3 3 d2
试验值
1.73 10 5 N s m 2
五、低压下的热传导和粘滞现象
所以分子自由程由夹层的间距决定： L
1 1 k v cv v Lcv n P 3 3
19. 将一圆柱体沿轴悬挂在金属丝上，在圆柱体外面 套上一个共轴的圆筒，两者之间充以空气。当圆筒 以一定的角速度转动时，由于空气的粘滞作用，圆 柱体将受到一个力矩G, 由悬丝的扭转程度可测定此 力矩，从而求出空气的粘滞系数。设圆柱体的半径 为R，圆筒的内半径为 R ( R) ，两者的长度 均为L，圆筒的角速度为 ,试证明
而 N 个分子在 dx 的路程上，平均应碰撞 Ndx 次 1 dN 1 dN Ndx dx N
ln N x
C
x
ln N 0 1
N x ln N0
N N 0e
x
dN
N 0 e x dx
§2.输运过程的宏观规律
n: 分子数密度 碰撞次数 n u t nu t u n Z u 2v t
Z 2 v n 2 d 2v n 1 1 与平均速率无关 2 2n 2d n kT kT p nkT 2p 2d 2 p
例: 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率，取分子 的有效直径 d 3.5 1010 m，已知空气的平均分子量为29
28 103 m kg 4.6 1026 kg 6.02 1023
T 288K , d 3.8 1010 m , k 1.38 10 23 J K 1
1 4mkT 1 1.1 10 5 N s m 2 3 3 d2
试验值
1.73 10 5 N s m 2
五、低压下的热传导和粘滞现象
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设 Q为单位时间内通过的热量简称为热流，则
Q
dT
A
傅立叶定律
dz 若设热流密度为JT,则：
JT
dT dz
20
T2 ( T1 )
B
温度梯度 dT
dz
z0
dS dQ
T T(z)
表示流体中温度沿z
轴方向的空间变化率。
o
T1
Ax
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平
面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
在处的温度梯度和面积元成正比
热导率
能量流动方 向与温度梯 度方向相反
恒为正值
dQ κ dT dSdt dz z0
21
三、扩散现象的宏观规律 扩散 (diffusion)
在混合气体内部，当某种气体在各处的密度不均匀时， 这种气体将从密度大的地方向密度小的地方散布，这 种现象叫扩散。
输运过程
扩散：密度 不均匀 m的迁移
热传导：温度T不均均 热的迁移
内摩擦(黏性)： 分子定向速度u 不均匀 定向运动动量 p的迁移 22
§ 5-1 气体分子的平均自由程
一、分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡态平衡态，碰撞起重要作用。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其 他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变， 所走的路程非常曲折。
若不均
一种气体
n不均
p不均
生宏 气流
22
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
实现纯扩散的条件
不存在宏观气流
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
z L
u0 B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递
z0
df dS df
增 。 u是z的函数 u u(z)
u u(z)
流速梯度 du
o
u0
A
x
dz
沿z方向所出现的流速空间
变化率。
14
z 黏性力的大小与两部分 L
的接触面dS和截面所在
处的流速梯度成正比。 z0
u0 B
df dS df
1 2
(t
r
2s)k TB33
因此,在 dt 时间内,通过 dS 总能量为
dQ
1 6
n
v
dt
dS
(t
r 2
2s)
k (TA
TB
)
引入温度梯度，则有
TA
TB
2
dT dz
z0
因此 dQ 1 n v λ (t r 2s) k dT dsdt
根据动量定理: dK = fdt
将
f
(
du dz
)
z0
dS
代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若 du 0 dz
则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
16
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。
测定 的实验装置简图：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力；
23
24
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀
情况用密度梯度d /dz
z
2 > 1
2
表示。
z0
dM
ΔS
设想在z=z0 处有一界面
dS,实验指出，在dt内
O
通过dS 面传递的气体 质量为:
x
1
y
dM
D d
dz
dSdt z0
—菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量25 。
z
4
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率u
运动，
其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
它与多少
个分子碰
π d2
撞?
pz
dS
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内,
在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
dk 1 n v dt dS p p
6
z0 λ
z0 λ
1 n v d t d S d p 2
6 d p
d z z0
d z z0
：表示
z z0处的动量梯度
第五章 气体内的输运过程
引言 §5-1 气体分子的平均自由程 §5-2 输运过程的宏观规律 §5-3 输运过程的微观解释
引言
输运过程 (transport process)
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 热运动+碰撞、p、m的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就成为输运过程。 黏性现象，热传导现象，扩散现象是典型的输运过程
2.68 1025
/m3
z 2 πd2vn
2 π 31010 2 425 2.681025
4.55109 /s
7
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。
26
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。
下面近似地推导关系式：
气体黏性系数 1 nmv
3
简化模型:
(1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率
如果
可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，
29
dk 1 n v dt dS dp 2λ
6
dz z0
由牛Ⅱ, dS下方的流体层相应受到的
内摩擦力就是 df dk 1 n v dS dp λ
dt 3
dz z0
因为定向运动动量为 p = m u
d f 1 n m v d u d S d f d u d S
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
6
例. 数量级的概念：
氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
8RT 8 8.31 273
v
πM
π 32 103 425m/s
n
P kT
1.01 105 1.381023 273
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
约为平均自由程处发生最后一次碰撞的，
6.9 108 m
空气摩尔质量为 2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z
v
448 6.9 108
6.5 109 s1
11
二、分子按自由程的分布
全部分子中, 自由程介于任一给定长度区间xx+dx内 的分子有多少?
1
2 πd 2n
因为P = nkT 所以也可以写成
kT
2 πd2P
8
kT
2 πd2P
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC, d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
P (mmHg) 760 1
10-4
( m) 710-8 510-5 510-1
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均 碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa, d 3.5 1010 m
10
kT 2 d 2 p
1.38 1023 273 1.41 3.14 (3.5 1010 ) 1.01105
而且它们带过来的定向动量,就是在那里
的定向动量…… “一次同化论”假设。
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
28
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
z
z0
z0
z0
u u0
u
A
d
n
2d
— 碰撞截面 （collision cross-secti5on5 ）
Q
dT
A
傅立叶定律
dz 若设热流密度为JT,则：
JT
dT dz
20
T2 ( T1 )
B
温度梯度 dT
dz
z0
dS dQ
T T(z)
表示流体中温度沿z
轴方向的空间变化率。
o
T1
Ax
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平
面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
在处的温度梯度和面积元成正比
热导率
能量流动方 向与温度梯 度方向相反
恒为正值
dQ κ dT dSdt dz z0
21
三、扩散现象的宏观规律 扩散 (diffusion)
在混合气体内部，当某种气体在各处的密度不均匀时， 这种气体将从密度大的地方向密度小的地方散布，这 种现象叫扩散。
输运过程
扩散：密度 不均匀 m的迁移
热传导：温度T不均均 热的迁移
内摩擦(黏性)： 分子定向速度u 不均匀 定向运动动量 p的迁移 22
§ 5-1 气体分子的平均自由程
一、分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡态平衡态，碰撞起重要作用。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其 他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变， 所走的路程非常曲折。
若不均
一种气体
n不均
p不均
生宏 气流
22
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
实现纯扩散的条件
不存在宏观气流
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
z L
u0 B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递
z0
df dS df
增 。 u是z的函数 u u(z)
u u(z)
流速梯度 du
o
u0
A
x
dz
沿z方向所出现的流速空间
变化率。
14
z 黏性力的大小与两部分 L
的接触面dS和截面所在
处的流速梯度成正比。 z0
u0 B
df dS df
1 2
(t
r
2s)k TB33
因此,在 dt 时间内,通过 dS 总能量为
dQ
1 6
n
v
dt
dS
(t
r 2
2s)
k (TA
TB
)
引入温度梯度，则有
TA
TB
2
dT dz
z0
因此 dQ 1 n v λ (t r 2s) k dT dsdt
根据动量定理: dK = fdt
将
f
(
du dz
)
z0
dS
代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若 du 0 dz
则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
16
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。
测定 的实验装置简图：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力；
23
24
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀
情况用密度梯度d /dz
z
2 > 1
2
表示。
z0
dM
ΔS
设想在z=z0 处有一界面
dS,实验指出，在dt内
O
通过dS 面传递的气体 质量为:
x
1
y
dM
D d
dz
dSdt z0
—菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量25 。
z
4
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率u
运动，
其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
它与多少
个分子碰
π d2
撞?
pz
dS
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内,
在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
dk 1 n v dt dS p p
6
z0 λ
z0 λ
1 n v d t d S d p 2
6 d p
d z z0
d z z0
：表示
z z0处的动量梯度
第五章 气体内的输运过程
引言 §5-1 气体分子的平均自由程 §5-2 输运过程的宏观规律 §5-3 输运过程的微观解释
引言
输运过程 (transport process)
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 热运动+碰撞、p、m的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就成为输运过程。 黏性现象，热传导现象，扩散现象是典型的输运过程
2.68 1025
/m3
z 2 πd2vn
2 π 31010 2 425 2.681025
4.55109 /s
7
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。
26
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。
下面近似地推导关系式：
气体黏性系数 1 nmv
3
简化模型:
(1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率
如果
可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，
29
dk 1 n v dt dS dp 2λ
6
dz z0
由牛Ⅱ, dS下方的流体层相应受到的
内摩擦力就是 df dk 1 n v dS dp λ
dt 3
dz z0
因为定向运动动量为 p = m u
d f 1 n m v d u d S d f d u d S
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
6
例. 数量级的概念：
氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
8RT 8 8.31 273
v
πM
π 32 103 425m/s
n
P kT
1.01 105 1.381023 273
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
约为平均自由程处发生最后一次碰撞的，
6.9 108 m
空气摩尔质量为 2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z
v
448 6.9 108
6.5 109 s1
11
二、分子按自由程的分布
全部分子中, 自由程介于任一给定长度区间xx+dx内 的分子有多少?
1
2 πd 2n
因为P = nkT 所以也可以写成
kT
2 πd2P
8
kT
2 πd2P
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC, d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
P (mmHg) 760 1
10-4
( m) 710-8 510-5 510-1
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均 碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa, d 3.5 1010 m
10
kT 2 d 2 p
1.38 1023 273 1.41 3.14 (3.5 1010 ) 1.01105
而且它们带过来的定向动量,就是在那里
的定向动量…… “一次同化论”假设。
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
28
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
z
z0
z0
z0
u u0
u
A
d
n
2d
— 碰撞截面 （collision cross-secti5on5 ）