热学 (4 第四章 气体内的输运过程)
气体分子平均自由程
v 9 1 Z 6.5 10 s
每个分子平均每秒与其他分子碰撞65亿次。
13
前面引入的分子间碰撞的平均频率及平均自由程， 虽然均能表示分子间碰撞的主要特征，但不能反映分 子间碰撞的随机性质。
实际上，若一分子在某处刚好被碰撞过，则以后遭 受第二次碰撞的时间完全是随机的。所以它在两次碰 撞之间走过的路程也是随机的。
第四章气体内的输运过程
前面我们对热学的学习所涉及的都是气体在平衡态 下的性质和规律，然而许多的问题都是牵扯到气体在
非平衡态下的变化过程。
非平衡态问题是至今没有完全解决的问题。理论只 能处理一部分，另一部分问题还在研究中。 最简单的非平衡态问题是：不受外界干扰时，系统 自发地从非平衡态向平衡态过渡的过程——输运过程。
2
§1 气体分子的平均自由程
3
无引力的弹性刚球模型
气体分子间发生碰撞，两分子间的距离较大时，它 们之间无相互作用力，分子作匀速直线运动。 当两分子质心间的距离减小到分子有效直径d 时， 便发生无穷大的斥力，以阻止分子间的接近，并使分 子运动改变方向。 因此把两个分子间的这种相互作用过程看成是两个 无引力的弹性刚球之间的碰撞。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
热力学-4.气体内的输运过程
§ 3、输运过程的微观解释
z
一、粘滞现象
在微观上是分子在热运 动中输运定向动量的过程。
z0 假设气体内的温度、密度是均 匀的，仅在不同位置处（如图） O 沿x方向有不同的定向速度u(z)
Q
u0
df u=u(z) dS df’
P
x
在dt时间内穿过dS面的分子对数
dN 1 nvdtdS 6
假定碰撞一次就被完全“同化”；
宏观规律
只讨论最简单的单纯扩散 过程：混合气体的温度和 压强各处相同。
z
dS dM= (z)
z0
O
x
设一种组分的密度沿z轴方向减小，密度是z的
函数，其不均匀情况用密度梯度d /dz表示。
设想在z=z0处有一界面dS。实验指出，在dt内 通过dS面传递的这种组分的质量为:
dM D d dSdt
z0
O
CM B
A
旋转 黏度计
Q
u0
df u=u(z) dS df’
P
x
实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及 ds的大小成正比。
df du ds
dz z0
上式就是牛顿粘滞定律，它对气体和液体都 是适用的。
称为流体的内摩擦系数或粘滞系数；
单位：帕秒。
z0处相邻流层之间因互施粘滞力，在dt 时间内、通过ds截面、沿z轴的定向动量输运 量dK也可由牛顿粘滞定律求得。若规定沿z轴 正方向传递的动量dK>0，则
长春理工大学《普通物理》考研复习纲要
普通物理考研复习纲要
理学院研究生入学考试普通物理考试内容包括力学、热学、电磁学和光学四部分。（一）力学部分
第一章质点运动学
1.1质点运动学方程
1.2速度和加速度矢量
1.3运动学计算
1.4自然坐标系，切向，法向加速度
第二章动量定理和动量守恒定律
2.1牛顿第一定律惯性参考系
2.2惯性质量、动量和动量守恒定律
2.3牛顿定律、伽利略相对性原理
2.4牛顿定律的应用
2.5非惯性系中的力学
2.6用冲量表述的动量定理
2.7质点系的动量定理、动量守恒定律
第三章动能和势能
3.1能量—另一种守恒量
3.2功与功的计算
3.3质点和质点系的动能定理
3.4保守力、势能
3.5功能原理、机械能守恒
3.6碰撞问题
第四章刚体力学
4.1刚体运动学
4.2刚体动量和质心定理
4.3刚体定轴转动角动量、转动惯量
4.4刚体定轴转动的动能定理
4.5刚体平面运动的动力学
4.6自转与旋进
第五章振动
5.1简谐振动动力学特征
5.2简谐振动运动学
5.3简谐振动的能量
5.4简谐振动合成
第六章波动
6.1波的基本概念
6.2平面简谐波方程
6.3波动方程与波速
6.4波的能量与能流
6.5波的叠加、干涉、驻波
6.6乡普勒效应
（二）热学部分
第一章温度
1.1平衡态、状态参量
1.2温度
1.3气体状态方程
第二章气体分子运动论的基本概念
2.1物质微观模型
2.2理想气体压强、温度微观解释
2.3分子力
2.4苍德瓦耳斯气体压强
第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律3.1速率分布律
3.2麦克斯韦速度分布律
3.3玻尔兹曼分布、重力场中微粒按高度分布3.4能量按自由度均分定理
热学-兰州大学物理学院
热学课程教学大纲
一、课程说明
课程名称：热学
所属专业：物理学专业本科学生
课程性质：大类平台课程
学分：3分
主要先修课程和后续课程：
（1）先修课程：高等数学，力学。
（2）后续课程：热力学与统计物理，电磁学，原子物理学，固体物理。
课程简介、目标与任务：
“普通物理学”课程是理科物理类专业的重要基础课，由力学、热学电磁学、光学和原子物理学这五个部分组成。各个部分单独设课，“热学”是其中继“力学”后的第二门课程。
“普通物理学”课程的“目的是使学生系统地了解和掌握物理学的基本概念、基本原理、基本知识、基本思想“和方法，以及它们的实验基础；了解物理学的发展方向及物理学与其它自然科学和社会科学等的关系；培养学生进一步学好物理学的兴趣，提高学生的自学能力、分析和解决问题的能力；逐步帮助学生建立科学的自然观、世界观和方法论。”
“热学”课程在物理类专业一年级第二学期开设。通过“热学”课程的学习，使学生认识物质热运动形态的特点、规律和研究方法，深刻地理解热运动的本质，较为系统地掌握热力学、气体动理论和物性学的基础知识，能独立解决今后学习中遇到的一般热学问题，为进一步学习电磁学、原子物理学、理论物理热力学和统计物理等后续课程打下良好的基础。
教材：《热学》（第二版），李椿等编，高等教育出版社，2008
主要参考书：
1. 《热学》（第二版）习题分析与解答，宋峰常树人编，高等教育出版社，2010
2. 《热学》（第二版）常树人编，南开大学出版社，2009
2.《热学教程》，包科达编，科学出版社，2007
3. 《热学》（第二版），张玉民编，科学出版社，2006
热学课后习题答案
。第一章温度
1-1 定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。
（1）用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？
（2）当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少？
解：对于定容气体温度计可知：
(1)
(2)
1-3用定容气体温度计测量某种物质的沸点。原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压
强；当测温泡浸入待测物质中时，测得的压强值为,当从
测温泡中抽出一些气体,使减为200mmHg时,重新测得,当再抽出一些
气体使减为100mmHg时,测得.试确定待测沸点的理想气体温度.
解：根据
从理想气体温标的定义：依以上两次所测数据,作T-P图看趋
势得出时,T约为400.5K亦即沸点为400.5K.
题1-4图
1-6水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm；温度计浸在沸水中时，水银柱的长度为24.0cm。
（1）在室温时，水银柱的长度为多少？
（2）温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm，试求溶液的温度。
解：设水银柱长与温度成线性关系：
当时，
代入上式
当，
（1）
（2）
1-14水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的
读数为时，它的读数只有。此时管内水银面到管顶的距离为
。问当此气压计的读数为时，实际气压应是多少。设空气的温度保持不变。
题1-15图
解：设管子横截面为S，在气压计读数为和时，管内空气压
强分别为和，根据静力平衡条件可知
，由于T、M不变
根据方程
有，而
1-25一抽气机转速转/分，抽气机每分钟能够抽出气体，设容器的容积
热学课件
每交换一对分子，沿z轴正方向输运的能量为： 1 1 ( t r 2 s ) kT A ( t r 2 s ) kT B 2 2
dt时间内通过dS面输运的总能量,即沿z轴正方向传递的热量为：
dQ
1 6
n vd S d t
(t r 2 s ) 2
v z
Байду номын сангаас：
气体分子在相邻两次碰撞间飞行的平均路程。
二. 平均碰撞频率 理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
2d d
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
π d
v cV
N N 0e
x
自由程介于区间 x x dx 内的分子数：
dN
1
N dx
1
N 0e
x
dx
d K (
du dz
)z dSdt
0
dN
dK 1 3
1 6
nvdSdt
du dz
v(
) z dSdt
0
1 3
n m v 或
1 3
1 .4 1 4
4-2 第四章之二 气体的输运现象
就得到 2 η=[(1/3)+(1/3) + ……]ρvλ =(1/2)ρvλ.
低压下气体的黏性 现象 低压下气体的热传 导现象 *真空 *皮拉尼真 空规 *杜瓦瓶
*估算分子有效直 径的方法的比较 *分子热运动的典 型数据 **真空的获得与真 **真空的获得与真 空度的测量
第四章小结
如果气体内的温度沿 y 坐 标轴的正方向逐渐升高， 标轴的正方向逐渐升高，在 y=Y 处垂直于 y 轴取一个面 积为 dS 的截面把气体分成 乙两部分， 甲、乙两部分，此时热量将 从温度较高的乙部通过 dS 面传递到温度较低的甲部。 面传递到温度较低的甲部。
若dS面所在处的温度梯 T/d 度为 dT/dy ，则由傅里叶 定律可知， 定律可知，在单位时间内 从甲部沿 y 轴正方向通过 dS 面向乙部传递的热量 即热流量） （即热流量）Φ 为 T/d )dS (1) Φ =−κ(dT/dy)dS.
注意到材料的电阻率与其 电导率之间总是互为倒数， 电导率之间总是互为倒数， 根据电阻定律， 根据电阻定律，一段长度为 dL 、横截面积为 dS 、电阻 率为 ρ、电导率为 σ 的均匀 导体的电阻 r 为 r=ρdL/dS=dL/(σdS). (3) L/d =dL/(
如果在这段导体的两端 加上的电势差为 dV ，在 单位时间内通过导体所流 过的电量（即电流强度） 过的电量（即电流强度） 为 I，则由欧姆定律可知 dV=Ir. (4)
4热学四章2008.3
x
z u
O
}
dS
z0
F'
u
F
y
x
1)速度梯度 速度梯度
du = u − u0
dZ = Z − Z0
u − u0 du = dZ Z 0 Z − Z 0
Z
z
称为速度梯度 2)速度梯度的物理意义： 速度梯度的物理意义： 速度梯度的物理意义
O
}
dZ
z0
dS
u
u0
y
F
x
速度梯度越大，dS面上下两端的速度差别越大 面上下两端的速度差别越大。 速度梯度越大，dS面上下两端的速度差别越大。 3)黏性力的大小 黏性力的大小
8RT 8 × 8.31 × 273 = ν= = 448m / s −3 πM 3.14 × 29 × 10
利用求得的平均自由程和平均速率可求出空气的碰撞次数： 利用求得的平均自由程和平均速率可求出空气的碰撞次数：
ν 448 Z = = λ 6 . 9 × 10
−8
= 6 . 5 × 10 9 s − 1
二、热传导现象
当气体内各的温度不同时， 当气体内各的温度不同时，热量就会从温度高处传递到温 温度不同时 度的低处这种现象叫做热传导现象 叫做热传导现象。 度的低处这种现象叫做热传导现象。 z
T
1.设气体温度随z轴方向逐渐增高， 设气体温度随 轴方向逐渐增高 轴方向逐渐增高，
热学(李椿章立源钱尚武~)习题解答第四章气体内的输运过程
第四章气体内的输运过程
4－1.氢气在，时的平均自由程为×m，求氢分子的有效直径。
解：由＝得：
＝代入数据得：（m）
4－2.氮分子的有效直径为，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。
解：＝代入数据得：－（m）
＝代入数据得：
＝（s）
4－3.痒分子的有效直径为3.6×m，求其碰撞频率，
已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm；
（2）氧气的温度为300K，压强为1.0×atm
解：由＝得＝＝代入数据得：
＝6.3×（）
（）
4－4.某种气体分子在时的平均自由程为。
（1）已知分子的有效直径为，求气体的压强。
（2）求分子在的路程上与其它分子的碰撞次数。
解：（1）由得：
代入数据得：
（2）分子走路程碰撞次数
（次）
4－5.若在下，痒分子的平均自由程为，在什么压强下，其平均自由程为？设温度保持不变。
解：由得
4－6.电子管的真空度约为HG，设气体分子的有效直径为，求时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。
解：
（2）
（3）若电子管中是空气，则
4－7.今测得温度为压强为时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为
和，问：
（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？
（2）时，为多大？
（3）时，为多大？
解：（1）由得：
（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由得：
（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：
4－8.在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径来可以忽略不计。
《热学》教学大纲
《热学》课程教学大纲
一、课程基本信息
英文名称 Thermal Physics 课程代码 PHYS1002
课程性质 专业必修课程 授课对象 物理学
学 分 3学分 学 时 54学时
主讲教师 修订日期 2021年9月
指定教材 李椿等，热学（第3版）[M]， 北京：高等教育出版社，2015.
二、课程目标
（一）总体目标：
让学生了解热力学和统计物理学的基本知识和基本概念，掌握由宏观的热力学定律和从物质的微观结构出发来研究宏观物体的热的性质的研究方法，了解宏观可测量量与微观量的关系以及如何把宏观规律与微观解释相联系的方法。在教学中通过对热学相关问题的深入讨论、物理前沿课题、新技术应用的教学和讨论，强化学生对热学基本概念和基本原理的理解，使学生体会物理学思想及科学方法，更好地理解科学本质，形成辩证唯物主义世界观和科学的时空观，培养学生科学思维能力，分析问题和解决问题能力。
（二）课程目标：
课程目标1：通过系统的学习热学的基本规律，让学生掌握物体内部热学的普遍规律，以及热运动对物体性质的影响。
课程目标2：体会该课程理论体系建立过程中的物理思想方法，培养学生模型建构、分析与综合、推理类比等科学思维方法，掌握研究宏观物体热性质的宏观描述方法(热力学)和微观描述方法(统计物理学)，为学习后续课程和独力解决实际问题打下必要的基础。
课程目标3：应用热学理论分析讨论固、液、气相变中的问题，适当介绍一些与本课程相关的前沿课题，培养学生科学探究能力。
课程目标4：通过学习和了解热学发展史、重大科学事件和物理学家故事等，体会物理学家的物理思想和科学精神，培养学生的爱国热情，探索未知、追求真理、永攀高峰的责任感和使命感。
气体的热学性质与输运现象
气体的热学性质与输运现象
气体是一种常见的物质状态，在自然界和人类活动中都有广泛
的应用。研究气体的性质对于了解能量传递、热力学过程以及工
程应用具有重要的意义。本文将探讨气体的热学性质与输运现象，带你一起了解气体的独特特性及其在各个领域中的应用。
一、气体的热学性质
1. 压力与温度的关系
气体分子在容器中不断碰撞运动，这种碰撞对容器壁面施加了
作用力，即为气体的压力。根据理想气体状态方程，可以发现气
体的压力与温度存在一定的关系。根据实验数据，我们可以得出
以下结论：
- 在恒定体积下，气体的压力与温度成正比，称为Gay-Lussac
定律。即P ∝ T。
- 在恒定压力下，气体的温度与体积成正比，称为Charles定律。即V ∝ T。
2. 气体的热容和比热容
气体的热容指的是气体吸收或释放单位质量的热量所引起的温度变化。热容可以分为定压热容和定容热容两种。
- 定压热容指的是在恒定压力下，气体吸收或释放的热量所引起的温度变化。用Cp表示。
- 定容热容指的是在恒定体积下，气体吸收或释放的热量所引起的温度变化。用Cv表示。
这两者的关系可以由以下公式表示：
γ = C p / Cv
其中γ称为比热容比，对于大部分双原子分子气体，它的值约等于1.4。根据热力学理论，气体的热容与其分子结构和运动方式有关。
二、气体的输运现象
1. 扩散和扩散系数
扩散是指由浓度较高的区域向浓度较低的区域传递的物质。气
体扩散是气体分子由高浓度区域向低浓度区域运动的过程。气体
分子的运动造成了热平衡和浓度平衡的不均衡，从而驱使气体分
子发生扩散。
热学总复习提纲
2009年 热学总复习提纲
第一章 温度
1、基本概念：孤立系；封闭系；开放系统；平衡态； 稳恒态；温度。
2、掌握：温标建立的三要素及类型；温度计类型；理想气体温标特点。
3、熟练掌握：理想气体状态方程。
4、熟练掌握常数：
5、熟练掌握混合理想气体状态方程
6、了解Van der Waals 方程：
1mol 实际气体： 任意质量实际气体：
第二章气体分子运动论的基本概念（气体动理论） 1. 了解物质微观模型
2、熟练掌握理想气体微观模型
（1） 分子本身的线度比起分子之间的距离小得对多而忽略不计。 （2） 除碰撞的一瞬间外，分子间相互作用力可忽略不计。
（3） 处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性的碰撞。 在标准状态下，1摩尔理想气体中的分子数：
例如固体氮：
分子紧密排列，分子的半径：
3、熟练掌握理想气体的压强公式（气动理论的基本公式）
4、熟练掌握温度的微观意义
地球的逃逸速度=11.2km.s-1。
RT M
RT PV μυ==RT
P V M μρ==mol N A
2310023.6⨯=K mol J R .31.8=K J N R k A
231038.1-⨯==V
V i i =α∑
=i
i μαμM M i i =β∑
=i
i μβμ1RT b v v a P =-+))((2RT M b M V V
a M p μμμ=-+))((2223
2500107.2-⨯==m v N n A m
n L 9
31
0103.31-⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3
3.1000.1-⨯=m kg ρ3341r n π=m N n r A N 103131
热力学第四章气体内的输运过程
第四章气体内的输运过程
⏹前面讨论的都是气体在平衡状态下的性质。实
际上，许多问题都牵涉到气体在非平衡态下的变化过程。
⏹当气体各处不均匀时发生的扩散过程，温度不
均匀时发生的热传导过程，以及各层流速不同时发生的粘滞现象等等都是典型的非平衡态趋向平衡态的变化过程，称为输运过程。
⏹研究输运过程必须考虑到分子间相互作用对运
动情况的影响，即分子间的碰撞机构。
第四章气体内的输运过程
⏹4.1气体分子的平均自由程
⏹4.2输运过程的宏观规律
⏹4.3输运过程的微观解释
⏹＊4.4真空的获得及测量
4.1气体分子的平均自由程（mean free path）
1. 分子碰撞分子相互作用的过程。
a. 频繁地与其他分子相碰撞，分子的实际运动路径是曲
折无规的。
b. 正是碰撞，使得气体分子能量按自由度均分。
c. 在气体由非平衡态过渡到平衡态中起关键作用。
d. 气体速度按一定规律达到稳定分布。
e. 利用分子碰撞，可探索分子内部结构和运动规律。
f .在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力
的有效直径（两分子质心间最小距离平均值）为d的刚球。
2. 平均自由程平均碰撞频率
平均自由程：在一定的宏观条件下，一个气体分子
在连续两次碰撞间可能经过的各段自
由路程的平均值，用表示。
λ
平均碰撞频率：在一定的宏观条件下，一个气体分
子在单位时间内受到的平均碰撞次
数，用表示。
Z
若运动过程中，分子运动平均速度为t∆v 则分子运动平均自由程为
Z
v
t
Z
t
v
=
∆
∆
=
λ线度 ~ 10-8m
平均自由程和碰撞频率的大小反映了分子间碰撞的频繁程度。在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁，则碰撞频率越大，平均自由程越小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.68 1025
/m3
z 2 πd2vn
2 π 31010 2 425 2.681025
4.55109 /s
7
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均
路程称为平均自由程，记作 。
v v 1
z 2 π d 2 vn 2 π d 2n
z
4
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率u
运动，
其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
它与多少
个分子碰
π d2
撞?
dN
1
N0ex/ dx
13
§5-2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力，结果使得 流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。这种相互作用 力称为内摩檫力，也叫做粘滞力。这种现象称为内摩檫现 象，也叫做黏性现象。
温度差不大时，
nA vA nB vB nv
T2 ( T1 )
B
在dt 时间内,通过 dS面， A、B两部分交换 的分
z0
dS dQ
T T(z)
子对数为
o
dN 1 n v dt dS
6
T1
Ax
根据能量均分定理，A部分子的平均热运动能量
A
1 2
(t
r
2s)kTA
B部分子的平均热运动能量 B
5）、采用不同近似程度的各种推导方法的实质是
相同的。
31
理性气体内部压强的微观解释
从微观的角度看来, 理想气体内部的压强 实质上是由于垂直于截面方向的热运动 动量交换引起的
1 n dSdt
2m
6
dK 1 n dSdt2m
6
p dK 2 n(1 m 2 )
dSdt 3 2
32
二、热传导现象的微观解释
v v 碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
u
90 u 2v
z 2 π d 2nv
6
例. 数量级的概念：
氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
8RT 8 8.31 273
v
πM
π 32 103 425m/s
n
P kT
1.01 105 1.381023 273
1 2
(t
r
2s)k TB33
因此,在 dt 时间内,通过 dS 总能量为
dQ
1 6
n
v
dt
dS
(t
r 2
2s)
k (TA
TB
)
引入温度梯度，则有
TA
TB
2
dT dz
z0
因此 dQ 1 n v λ (t r 2s) k dT dsdt
在处的温度梯度和面积元成正比
热导率
能量流动方 向与温度梯 度方向相反
恒为正值
dQ κ dT dSdt dz z0
21
三、扩散现象的宏观规律 扩散 (diffusion)
在混合气体内部，当某种气体在各处的密度不均匀时， 这种气体将从密度大的地方向密度小的地方散布，这 种现象叫扩散。
而且它们带过来的定向动量,就是在那里
的定向动量…… “一次同化论”假设。
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
28
分子由上到下携带 的动量是 pz0 ;
分子由下到上携带 的动量是 pz0 .
z
z0
z0
z0
u u0
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均 碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa, d 3.5 1010 m
10
kT 2 d 2 p
1.38 1023 273 1.41 3.14 (3.5 1010 ) 1.01105
6.9 108 m
空气摩尔质量为 2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z
v
448 6.9 108
6.5 109 s1
11
二、分子按自由程的分布
全部分子中, 自由程介于任一给定长度区间xx+dx内 的分子有多少?
1
2 πd 2n
因为P = nkT 所以也可以写成
kT
2 πd2P
8
kT
2 πd2P
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC, d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
P (mmHg) 760 1
10-4
( m) 710-8 510-5 510-1
在相同的t时间内，分子由A到
B的位移大小比它的路程小得多
A
扩散速率
平均速率
(位移量/时间) (路程/时间)
B
平均碰撞频率 (mean collision frequency) z：
单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的平均次数。
平均自由程 (mean free path) ：
气体分子在相邻两次碰撞间飞行的平均路程 — v
pz
dS
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内,
在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
dk 1 n v dt dS p p
6
z0 λ
z0 λ
1 n v d t d S d p 2
6 d p
d z z0
d z z0
：表示
z z0处的动量梯度
u u(z)
o
u0
Ax
f
(
du dz
)
z0
dS
——牛顿黏性定律
——是流体的黏性系数，单位：NSM-2，表示单
位时间、单位面积、单位速度梯度上输运的动量。
du ( dz ) z0
——是流体定向流动速率梯度在z0处之值
ds——是在z0处两流体层接触面的面积。 15
dK ：表示一段时间dt内通过截面积ds沿z 轴正方向疏运的动量
29
dk 1 n v dt dS dp 2λ
6
dz z0
由牛Ⅱ, dS下方的流体层相应受到的
内摩擦力就是 df dk 1 n v dS dp λ
dt 3
dz z0
因为定向运动动量为 p = m u
d f 1 n m v d u d S d f d u d S
若不均
一种气体
n不均
p不均
生宏 气流
22
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
实现纯扩散的条件
不存在宏观气流
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
பைடு நூலகம்
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
u
A
d
n
2d
— 碰撞截面 （collision cross-secti5on5 ）
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
π d2
u
A 2d d
n
— 碰撞截面 （collision cross-section）
单位时间内扫过的体积 u
z u n π d 2nu
设 Q为单位时间内通过的热量简称为热流，则
Q
dT
A
傅立叶定律
dz 若设热流密度为JT,则：
JT
dT dz
20
T2 ( T1 )
B
温度梯度 dT
dz
z0
dS dQ
T T(z)
表示流体中温度沿z
轴方向的空间变化率。
o
T1
Ax
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平
面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所
§5-3 输运过程的微观解释
一、黏性现象的微观解释
z
从分子运动角度看内摩擦现象： L
u0 B
从分子运动看,各层流体的流速不 同, 是在各层分子无规则热运动之
z0
上加上去的定向运动的速度不同。 o
df dS df
u0
u u(z) Ax
由于热运动,下层的分子跑到上层时带去 较小的定向动量;
上层的分子跑到下层时带去较大的定向动量,
z L
u0 B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递
z0
df dS df
增 。 u是z的函数 u u(z)
u u(z)
流速梯度 du
o
u0
A
x
dz
沿z方向所出现的流速空间
变化率。
14
z 黏性力的大小与两部分 L
的接触面dS和截面所在
处的流速梯度成正比。 z0
u0 B
df dS df
输运过程
扩散：密度 不均匀 m的迁移
热传导：温度T不均均 热的迁移
内摩擦(黏性)： 分子定向速度u 不均匀 定向运动动量 p的迁移 22
§ 5-1 气体分子的平均自由程
一、分子的平均自由程和碰撞频率
非平衡态平衡态，碰撞起重要作用。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其 他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变， 所走的路程非常曲折。
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
约为平均自由程处发生最后一次碰撞的，
23
24
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀
情况用密度梯度d /dz
z
2 > 1
2
表示。
z0
dM
ΔS
设想在z=z0 处有一界面
dS,实验指出，在dt内
O
通过dS 面传递的气体 质量为:
x
1
y
dM
D d
dz
dSdt z0
—菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量25 。
3
d z z0
d z z0
η 1 nmv λ 1 ρv λ
3
3
30
气体黏性系数 η 1 n m v λ 1 ρ v λ
3
3
讨论：
1）、η 与n无关。
mv 3 2
2）、 η仅仅是温度的函数。
2
3
3）、可以测定σ 和d的数量级。
km T1/2 T
4）、公式的适用条件d<<λ<<L.
速度梯度和面积也可以直接测得； 于是，从公式可以算出
内摩擦系数。
C 小镜 B A
旋转黏度计
17
18
19
二、热传导现象的宏观规律 热传导 (heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
根据动量定理: dK = fdt
将
f
(
du dz
)
z0
dS
代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若 du 0 dz
则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
16
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。
测定 的实验装置简图：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力；
第五章 气体内的输运过程
引言 §5-1 气体分子的平均自由程 §5-2 输运过程的宏观规律 §5-3 输运过程的微观解释
引言
输运过程 (transport process)
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 热运动+碰撞、p、m的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就成为输运过程。 黏性现象，热传导现象，扩散现象是典型的输运过程
下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。
26
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。
下面近似地推导关系式：
气体黏性系数 1 nmv
3
简化模型:
(1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率
如果
可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的，
10-6…… 50 ……
若超过了容器的线度 l, >> l ----真空。 在这种情况下,可以认为 l 。
9
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
氮
氧
空气
(m) 1.13 107 0.599 107 0.647 107 7.0 108
d (m) 2.30 1010 3.10 1010