一草一世界 一沙一天堂
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d
dF ( ) -jω =j e d
+ F(- ω)e-j ω
很显然，这两种不同的方法得到的结果是 不同的。 这到底是为什么呢?
让我们再来检查一下。 第一种算法不会有什么错误，它都来 自于简单推导出的公式。 那么，第二种算法呢？ 我们在证明（1）式时，是如下过程
F ( )
故
d
这看起来很容易，可让我们换个角度 再来看看这个问题。 如果我们先做时域平移变换，再利用 微分特性，结果又如何呢？ 下面我们就具体看看这个问题。
首先，令F1(ω )=F[f(1-t)]=F(- ω)e-j ω
dF1 ( ) － 1 然后，可得F [ d
ຫໍສະໝຸດ Baidu
]＝-j(1-t)f(1-t)。
所以我们可得 j d [ F ( ) e ] F[tf(1-t)]＝j
一草一世界 一沙一天堂
——从一道小题看傅立叶变换
无03 陈阳 001174 刘奇佳 001182
王童 001188 郭次荣 001194 缪蔚 001200 张海刚 001197
问题： 已知：F[f(t)]=F(ω). 求：F[(1-t)f(1-t)].
一般的，我们都会想到：先利用微分 特性，变换为F[tf(t)]；然后，利用时域的 平移特性，变化t为1-t。具体过程如下： ( ) F－1[ dF ] ＝ -jtf(t) d dF ( ) 则 F[ tf(t)]=j d （1） dF ( ) -jω 故F[(1-t)f(1-t)]=-j e
这里，我们忽略了(1-t)只是对函数在时域t中 的一个变换，而仍然是t的函数。因而，等式右 边积分号中还应该是e-j ω t而非e-j ω(1- t)。 。
正确的过程应该是 dF1 ( ) jtf (1 t )e jt dt d dF1 ( ) － 1 故F [ ]＝-jtf(1-t)。 d
纵然是一道小题，也提醒我们基本概念 的重要性。
f (t )e
jt
dt
dF ( ) ( jt ) f (t )e jt dt d
然而，当我们在使用 F－1[ dF1 ( )]＝-j(1-t)f(1-t) d 想当然的使用了如下等式
dF1 ( ) j (1 t ) f (1 t )e j (1t ) dt d
dF ( ) -jω =j e d
+ F(- ω)e-j ω
很显然，这两种不同的方法得到的结果是 不同的。 这到底是为什么呢?
让我们再来检查一下。 第一种算法不会有什么错误，它都来 自于简单推导出的公式。 那么，第二种算法呢？ 我们在证明（1）式时，是如下过程
F ( )
故
d
这看起来很容易，可让我们换个角度 再来看看这个问题。 如果我们先做时域平移变换，再利用 微分特性，结果又如何呢？ 下面我们就具体看看这个问题。
首先，令F1(ω )=F[f(1-t)]=F(- ω)e-j ω
dF1 ( ) － 1 然后，可得F [ d
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]＝-j(1-t)f(1-t)。
所以我们可得 j d [ F ( ) e ] F[tf(1-t)]＝j
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——从一道小题看傅立叶变换
无03 陈阳 001174 刘奇佳 001182
王童 001188 郭次荣 001194 缪蔚 001200 张海刚 001197
问题： 已知：F[f(t)]=F(ω). 求：F[(1-t)f(1-t)].
一般的，我们都会想到：先利用微分 特性，变换为F[tf(t)]；然后，利用时域的 平移特性，变化t为1-t。具体过程如下： ( ) F－1[ dF ] ＝ -jtf(t) d dF ( ) 则 F[ tf(t)]=j d （1） dF ( ) -jω 故F[(1-t)f(1-t)]=-j e
这里，我们忽略了(1-t)只是对函数在时域t中 的一个变换，而仍然是t的函数。因而，等式右 边积分号中还应该是e-j ω t而非e-j ω(1- t)。 。
正确的过程应该是 dF1 ( ) jtf (1 t )e jt dt d dF1 ( ) － 1 故F [ ]＝-jtf(1-t)。 d
纵然是一道小题，也提醒我们基本概念 的重要性。
f (t )e
jt
dt
dF ( ) ( jt ) f (t )e jt dt d
然而，当我们在使用 F－1[ dF1 ( )]＝-j(1-t)f(1-t) d 想当然的使用了如下等式
dF1 ( ) j (1 t ) f (1 t )e j (1t ) dt d