Banach空间中渐近非扩张映射的强收敛定理
Banach空间中可数拟-φ-渐近非扩张映像族的收敛定理
关 键
词： 基础数 学； 泛函分析 ； 拟一 一 渐近非扩 张映像 ； 广义投影 ； 强收敛 ； 混合迭代 算法 ； 公共 不动 点
文献标志码 ： Ａ
中图分 类号 ： Ｏ１ ４ ３
Ｏ 引言
众所周知 ， 在无穷维的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间， 即使对于非扩张映像 ， 正规 Ｍａ ｎ ｎ 迭代算法通常也只有弱收敛． 因此 ， 为 了获得 强 收敛结 果 ， 必须 修正 正规 的 Ｍａ ｎ ｎ迭 代算 法 ， 为此 ， １ ９ ６ ８年 Ｈａ ｕ ｇ ａ ｚ ｅ ａ ｕ ［ 提 出混合 投 影迭代 算 法 ， ４ ０多 年
此映像 ｒ称为典则映像 ， 如果此映像是满的， 即ｒ （ Ｘ） ＝Ｘ一 ， 则称 ｘ 是 自反的． 注１ ｌ ５ Ｊ （ １ ） 若赋范空间 ｘ是 自反的， ｘ与ｘ 均为严格凸的， 则Ｊ ： Ｘ—ｘ 与 ＿ 。 ： ｘ 一Ｘ 均为次连续和严 格单调的 ， 且 ＝Ｘ ， Ｊ Ｘ ＝Ｘ． 此时 ＿ 。 ： ｘ 一ｘ 是正对偶映像 ， ＝Ｉ ｘ ＊ ， Ｊ Ｊ ＝Ｉ ｘ ， 其中 与 ｋ 分
别是 Ｘ 与 Ｘ 上的恒等算子． （ ２ ） 设 赋范空 间 Ｘ 是 自反 的 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间， 则 Ｘ 是严格 凸的甘 Ｘ 是光 滑的 ； Ｘ 是光 滑 的∞ Ｘ 是严格 凸 的．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ． １ １ ． ０ ９ 基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ １ １ １ ７ １ ０ ４ ６ ）
到可数无限多个拟一 声 一 非扩张映像族 的情形． 文中引入一种新 的混合投影算法 ， 将文献 ［ ４ ］ 的结果进一步推广到可 数无限多个拟一 一 渐近非扩张映像族的情形 ， 并得到了其强收敛定理 ．
Banach空间中渐近伪压缩映射有限簇的迭代序列强收敛的充要条件
，
（） １
其 中 ｛，｝ ｛ ｝ Ｄ中两 有界 序列 ， ： （。 ） Ｖ ｎ ０ ｃ １ ， １ 为 ｄ 若 ， ＝ ｃ ：０ 则 （ ）即为 常见 的修 正 Ｉ ｉａ ａ ， １ ｓ ｋｗ ｈ 迭代序 列 ．
２０ ０ ０年 ， ｈｎ ．［ 一致 光滑 Ｂ ｎ ｃ 空 间 中研究 另外 用修 改 的带误 差 的 Ｉｈｋ ｗ 迭代序 列来 逼近 Ｃ ａｇ Ｓ Ｓ 在 ａ ａｈ ｓｉａ ａ
－
收 稿 日期 ：０ ７—１ —０ ２０ ０ ８
基 金 项 目 ： 兴 文 理 学 院 校 级 教 改 立 项 资 助 项 目（７ ２４ ； 江 省 教 育 厅 科 研 计 划 重 点 资 助 项 目 （０６ １４ ； 江 省 绍 ｏ ０ｏ ） 浙 ２０ １５ ）浙 自然科 学 基 金 资 助 项 目（ ６ ６ １） Ｙ ０７７ ． 作者 简 介 ： 仁 兴 （９４一）男 ， 江 绍 兴 人 ， 授 ， 士 ， 究 方 向 ： 线性 分析 和 非 线 性 逼 近 等 ． 倪 １６ ， 浙 教 硕 研 非
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第２ ７卷 第 １ Ｏ期
２０ ０ ７年 １ ２月
绍
兴
文
理
学
院
学
报
Ｊ ＲＮ Ｌ ＯＦ Ｓ ＡＯ Ｉ Ｇ Ｕ Ｉ ＥＲ Ｉ Ｙ ＯＵ Ａ Ｈ Ｘ Ｎ Ｎ Ｖ Ｓ Ｔ
Ｖ０ ． ７ Ｎｏ．Ｏ １２ １ Ｄｅ ２ Ｏ ７ ｃ． Ｏ ｒ
［， １ ＋∞） ｌ 尼 ，ｉ ＝１ ａ ｒ 渐近伪 压缩 映射 ． 又设 的不 动点 集 Ｆ（ ）＝ ｛ ∈ Ｄ， ｘ＝ ｝ 声 又 设 ｛ ｝ ｛ ， Ｔ ≠ ， ， ｃ｝
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２
一
Байду номын сангаас
Banach空间中广义平衡问题和一族相对非扩张映象的强收敛定理
２０ ０ ７年 ， ａ ａ和 Ｔ ｌ ｈＬ ｉ一 ］ Ｔ ｋ ｈ ｓｉ Ｔｄ ａ ａ ￡ｈ［ （ ｓ ３ 及 ａａ ａｈ Ｓ和 Ｔ ｋ ｈ ｓ ｉ］ 了 Ｈｉ ｌｅｔ空间 中广义平 ａ ａ ａｈ［得到 ５ ｅ ｂｒ ｒ 衡 问题 和相对非扩 张映象 的弱 收敛定理和强 收敛定理 ． 特别地 ， ａ ａ和 Ｔ ｎ ａｈ［ 用 Ｎ ｋ ｊ Ｔｄ ｋ ｈ ｓ ｉ】 ａ ａｏ和
一
族相对非扩张映象的强收敛定理
蘑金芳
宜宾 学 院 数 学 系， 宜宾 ６ ４ ０ ４０７
摘要：在 Ｂａ ａ ｈ空间中， ｎｃ 用收缩投影的方法证 明了广义平衡问题和一族相对非扩张映象的公共不动点的
强收敛定理．结论改进了最近一些人的研究结果 关键词：广义平衡问题； 一族相对非扩张映象； 不动点问题
．
∈ Ｅ
收稿 日期： ０ ９０－５ ２ ０—５１ 作者简介： 唐金芳 （９ ９ ， 四川省仁寿县人， － ｉ ｊ ｆｎｔ７￣１３ｃｍ １７一）女， Ｅ ｍａｌ ｉ ａ ｇ．９ ６ ． ：ｎ ｏ
２０ ６
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 ｌ 卷 ２
定义广义投影Ｉ ： — Ｃ ： Ｉ Ｅ
ｎＧ （）
） ∈Ｅ ， Ｖ
称映象 ： — Ｅ Ｃ 是 Ｏ Ｌ 一逆强单调的， 如果存在常数 ＞０ 使得对 Ｖ ， ， ｘ Ｙ∈Ｃ，ｚ—Ｙ Ａ （ ， ｘ—Ａ ） ｙ≥
Ｏｌ ｘ—Ａ ｌ． ＬＡ ｌ ｙｌ 引理 ２１ 一】 ．［ 。设 巳光滑 的严格 凸的 白反的 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间， 是 Ｅ的非 空闭凸子集 ， 则对 Ｖ ｘ∈
Banach空间中非线性算子不动点的收敛性定理
Banach空间中非线性算子不动点的收敛性定理非线性算子理论和不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分,尤其是非线性算子方程解的迭代逼近问题已成为非线性泛函分析领域近年来研究的活跃话题.本文对渐近拟-φ-非扩张映射,非扩张半群和严格伪压缩映射的不动点问题进行了深入研究,建立了更有效的迭代过程来逼近相关映射的不动点,所得的结果改进和推广了许多作者的结果.全文主要分为五个章节：第一章为绪论,介绍了研究的背景以及本文的主要工作.第二章在Banach空间介绍了关于逼近一族渐近拟-φ-非扩张映射的不动点和平衡问题的解的公共元的迭代算法.第三章在自反的,严格凸的且一致光滑的Banach空间中讨论了关于非扩张半群的隐式迭代算法和显式迭代算法的收敛性问题.第四章在q-一致光滑的Banach空间中讨论了严格伪压缩映射的公共不动点的迭代算法问题.第五章对本文进行了总结.。
Banach空间中φ-渐进非扩展映像不动点的迭代构造
文 章 编 号 ：１ ０ ～ ３ ７（ ０ ８ １ ０ ６ — ６ ０ ９ １ ２ ２ ０ ）０ — ０ ５０
Ｂｎｃ ａ ａ ｈ空 间 中９ 渐 进 非 扩展 映像 不 动 点 的 迭 代构 造 一
管维荣， 周海云
（ 械 工 程学 院 基 础 部 ，河 北 石 家庄 军 ０００） ５ ０ ３
定 义 ＱｃＥ— ｃ为 Ｑ －一 － ， 称 Ｑ ： ｃ ｚ ｚ 并 。 ｃ为从 Ｅ 到 ｃ上 的广 义投影 算 子． Ｅ ＝ Ｈ 为 Ｈｉ ｅｔ 当 ＝ ＝ ｌｒ ｂ 空 间时 ， 。为从 Ⅳ 到 ｃ上 的距离投 影算 子． Ｑ 设 Ｅ为实 自反 、 严格 凸、 光滑 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， ｃ为 Ｅ 中的非空 、 、 闭 凸子集 ， 那么 广义 投影算 子
中 图 分 类 号 ： ０１ ７ ９ ７．１
１ 预 备 知 识
１ ７ 年 Ｇ ｅ ｅ 和 Ｋｉ Ｅ 提 出渐进非 扩展映像 以来 ， ９２ ６ｂｌ ｒ ｋ 引起 了国内外数学 家的广泛兴 趣． 获得 并 了许 多重要 的结论． 详见 Ｒｈ ａ ｅ ［ Ｘ Ｚ ｏ 等著作． ｏｄｓ ， ｕ引， ｈ ｕ 但是在 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 中 ， 当映像或定 义
设 Ｅ 为Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 间 ， 为 Ｅ 中的子集 ， 丁： Ｋ 称 Ｋ— Ｋ 为 渐进 非扩 展映像 ， 如果 对 Ｆ（ ≠ 丁）
声 ， １ 一 １ — ｏ ） 有 （ Ｔ ｚ ， （ ｏ， ｐ， ” ） （ ｚ）Ｖ Ｐ ∈ Ｆ（ ， ｐ， ， 丁） ３ Ｋ ． ２∈
Ｅ × Ｅ— Ｒ 定义 为 ：
（， ｚ － ）一 ｌｚｌ 一 ２ － Ｊ ）＋ ｌ ， Ｖ－ Ｙ∈ Ｅ Ｉ －Ｉ ＜ ，ｙ ｚ Ｉ ｌ ｚ Ｉ Ｙ ，
Banach空间中非膨胀映象和α-逆强增生算子的强收敛性
其中 ｛ 和 ｛ ） ［ １ 和 【 ２ 】 ０ ） 是 ０ ） ０ ａ 中的两个序列． ， ， 如果 ｛ ） ｛ ｝ 和 满足
＝
０∑ ＝ 。∑ ｌ＋一 Ｉ ∞和 ∑ ＋一 小＜。 ， 。 ， １ ＜ ｎ 。
ｎ＝于 Ｆ ｘＳ ｎＶ （ ， ） 在 ｉ ｒ ｂｔ ｉ（） ＩＣ Ａ 的公共元素．
Ｂａ ａ ｈ 空间中非膨胀映象和 Ｏ 逆强增生算子的强收敛性 ｎ ｃ Ｌ 一
胡 良根 ，王 朝 ｚ王 金平 ，
１ 宁波大学 数学系， ． 宁波 ３ ５ １ １２１ ２ ．同济大学 应用数学系， 上海 ２０ ９ ００２
摘要：在 ２一致光滑 的 Ｂａ ａ ｈ空间中， 一 ｎｃ 引入一种新 的迭代 算法研究非膨胀映象的不动点集与 一 逆强增生 算子的变分不等式解集 的公共元素，并获得 了迭代算法的强收敛性定理．而且应用这些结果 考虑 了非膨胀
代序列： 对任意的 Ｘ ∈ 序列 ｛ ） ０ Ｃ， 定义为
Ｘ＋ ＝ ｌ ４（ 一Ｏ ）Ｐ 一 Ａｘ ） Ｖ他≥ ０ －１ ｌ ｓ ｘ ｃ ， （． １） ３
其中对某 ａｂ ０１， ） ａｂ 和对某 Ｃｄ ０２ ） ∈［ ｄ 他们在 Ｈｌｅ 空间中证明了 ， ∈（，）｛ ∈（， ） ， ∈（， ， Ｃ】 ，． ｉ ｒ ｂｔ 迭代序列 （． 弱收敛于 Ｆ ｘＳ ｎＶ （ ， ） １） ３ ｉ（） ＩＣ Ａ 的公共元素．
变分 不 等式问题是 对任 意的 Ｕ∈Ｃ， 寻找 一点 Ｖ∈Ｃ 使 得
（ Ｕ—Ｖ Ａ ） ， ｖ ≥０
（．） １１
这些点称为问题 （） １ 的解， 变分不等式解集记为 Ｖ （ ， ）即， ｘｃ Ａ ＝ ｛ ＩＣ ， ｖ （ ， ） ｕ∈Ｃ ： —Ｖ Ａ ） （ ，ｖ≥ ０Ｖ ， ｕ∈ｃ） 变分不等式问题最早是 由 Ｓａ ｐｃｈ ［ 研充 为了寻找变分不等式 （． 问题的解或 ． ｔｍ ａｃｉ ａ］ １） １
Banach空间中迭代序列的收敛性问题
Banach空间中迭代序列的收敛性问题
非自映射不动点的迭代逼近问题已成为近年来学术界研究的活跃课题。
在不动点问题研究的众多方向中,关于构造渐近不动点序列的迭代收敛问题以及其在控制、非线性算子和微分方程等方面的理论结合及应用成为研究的主流问题,并在实际运用中起到至关重要的作用。
本文主要研究了Banach空间上的几类非扩张映射下迭代序列的收敛性问题。
首先,我们讲述了迭代序列的发展概况。
通过引用大量前人的定义和定理,使我们对迭代序列的发展史有了一定程度的认识。
同时,对于不动点的发展史和Banach空间相关知识也有一定程度的了解。
其次,我们主要研究Hilbert空间中均衡问题和不动点问题的迭代解。
我们先提出均衡问题,给出与定理相关的定义,同时给出Hilbert空间的一些特性。
接着给出一个关于均衡问题的迭代,讨论了Hilbert空间中在严格伪压缩映射与渐近伪压缩映射下的该迭代的弱收敛性和强收敛性问题。
最后,在Banach
空间中,我们讨论了一类渐近非扩张? -伪压缩映射下的三重迭代序列的收敛性
和Lipschitz映射下三种迭代(改进的Mann迭代,改进的Ishikawa迭代和改进的三重迭代)收敛性的等价性;然后讨论具有一致Ga?teaux可微范数的一致凸Banach空间中迭代序列的强收敛问题。
banach空间中一类变分不等式的强收敛定理
banach空间中一类变分不等式的强收敛定理在数学中，变分不等式是一类重要的函数不等式，它被广泛应用于优化理论、偏微分方程和力学等领域。
在banach空间中，不同类型的变分不等式具有不同的性质和解法。
本文将重点介绍一类在banach空间中的变分不等式的强收敛定理，并探讨其在实际应用中的意义和指导意义。
首先，我们回顾一下banach空间的基本定义和性质。
banach空间是一个完备的赋范向量空间，它的元素可以是有限维向量或者无限维的函数。
banach空间中的范数满足三个基本性质：正定性、可加性和齐次性。
当这个空间中的任意一个柯西序列的极限也在这个空间中时，我们称这个空间是完备的。
在banach空间中，一般形式的变分不等式可以表示为：$$\forall u,v\in X,~\int_\Omega f(x,u(x),\nablau(x))\cdot \nabla(v-u)\ge 0$$其中，$X$是banach空间，$\Omega$是定义域，$f(x,u,\nablau)$是给定的函数，$\cdot$表示内积符号，$\nabla$表示梯度算子。
对于这样的变分不等式，我们需要证明它对于任意的$u_0\in X$，存在$u_n\to u_0$使得变分不等式在收敛序列上也成立。
这就是banach空间中变分不等式的强收敛定理。
具体地，假设$X$是一个有界闭线性算子，且$f(x,u,\nablau)$满足以下条件：1.对于所有$x\in \Omega$，$f(x,u,\nabla u)$是一个凸函数。
2.对于所有$x\in \Omega$，$f(x,u,v)$满足下列条件：①$f(x,u,v)\ge 0$且$f(x,u,u)=0$;②$f(x,u,v)+f(x,v,u)\ge 0$。
3.存在$M>0$，对于任意$x\in \Omega$和任意$\xi\in\mathbb{R}^n$，有以下不等式成立：$$|f(x,u,\xi)|+|f_u(x,u,\xi)|\le M(1+|\xi|)$$其中，$f_u$是$f$关于$u$的偏导数。
非扩张非自映射迭代的强收敛性
非扩张非自映射迭代的强收敛性
本篇论文主要研究有关非扩张非自映射迭代的强收敛性.在第一章我们首先介绍的是非扩张非自映射迭代的强收敛性研究背景及一些概念和引理.在第二章我们研究了由渐近拟非扩张非自映射构造的一个新的带误差型迭代序列.在此基础上,我们引进了具有中间意义的渐近拟非扩张非自映射：并在Banach空间中证明了由这样两个非自映射构造的带误差型更广义的修正Ishikawa迭代序列：的强收敛性定理,其中P为非扩张收缩映射.在第三章我们开始研究有限族非扩张非自映射,证明了在有限族非扩张非自映射下的由迭代：所定义的序列｛xn｝的强收敛性,其中Q为太阳非扩张收缩映射.在第四章,基于对单个迭代的收敛性研究,我们进一步讨论了两个经典迭代的收敛等价性.在一般情况下,Mann迭代与Ishikawa迭代的收敛性是不等价的.然而,Rhoades和Soltuz证明了对任意实Banach空间中Lipschtiz连续且Φ-一致伪压缩算子在迭代参数条件为αn,βn ∈[0,1],limn→∞βn=limn→∞αn=0,∑n=0+∞αn=+∞,起始点x0=u0的情况下,其迭代程序的收敛性是等价的,有些学者在这方面也作了研究.在此基础上,我们研究了在降低迭代参数的情况下两个经典迭代之间的收敛等价性.。
Banach空间中渐近Φ-半压缩型映射的迭代强收敛定理
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第 １期
刘才贵 ： ａ ａｈ空 间中渐近 半 压缩型映射的 Ｂ ｎｃ
即
由∑ｂ＜＋ｏ， ｏ可知Ⅱ （ ＋６ 收 １ ＾ 敛． ）
＾－ ０ ＾＝ Ｏ
＾
∞ ∞
一
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １ ２ ， ．
Ｍａ．２ ７ ｒ ００
Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间 中渐近 一 半压缩型映射 的 迭 代 强 收 敛 定 理
刘才贵
（ 淮海工学院 东港学院 摘 江 苏 连云港 ，２ ０ ０ ２２０ ）
要 ： Ｂ ｎ ｃ 间中 ， 在 ａ ａｈ空 讨论 了修改 的Ｉｈｋ ｗａ迭代序列强 收敛到渐近 半压缩 型映射 的不 动点 问题． 中的主 ｓｉａ 文
半 压 缩型 映射 的 Ｉｈｋ ｗ ｓｉａ ａ迭 代 逼 近 不 动 点 的 问
题 ．本 文 在 一 般 的 Ｂ ｎｃ 空 间 中 ， 用 修 改 的 ａ ａｈ 运
一
设 ｃ是 Ｘ 的一非空子集 ， 映射 ： ｃ— 称为 半 压缩 的 ， 果 Ｆ（ 如 ）非 空 且 存在 一 个严 格增 加
＜ Ｔ ｘ— Ｔ Ｙ Ｊ ｘ— ）＞≤ ０ ＇ ，（ ｚ— Ｙ０ 一 列 ， 。 且 （ｌ １ ｚ— Ｙｌ ０ ） Ｉ ｚ— Ｙｌ ≥ １ Ｖ ｌ （） ２ 口 ＋ ≤ １＋ ６ ） ＋ ｃ ， ， １ （ 一口 Ｖ ｚ∈ Ｎ 这里数列｛ 满足 ： ≥ 且ｌ 正 一１则称 为 ） 正 ｉ ， ａ ｒ
。０ Ｈ ０ 。 … ’
证 明 由式 （）运用 递 推法 ， ３， 可得
０ ｎ≤口 １ ｉ＋∑［－（＋ ］， ≤ａｌ ＋ｈ ＋ Ⅱ（ ） １ １ ） Ｉ ｃ
／ ｔ ｉ ｆ
．
—ｌ ｉ ｊ ｌ ｆ ＋ ｉ
有限个一致李普希兹渐近拟非扩张映像强收敛定理
有限个一致李普希兹渐近拟非扩张映像强收敛定理有限个一致李普希兹渐近拟非扩张映像强收敛定理（TheFinitely Consistent Lipschitz Near Non-expansive Mapping Strongly Convergence Theorem）是一种重要的定理，主要用于特定问题的有限和紧张条件下的迭代解决方案。
它是由在1960年发表的一篇著名的理论文章“Finiteness, Lipshitz Nearness Non-Expansiveness, and a Strong Convergence Condition forIterative Processes”中首次提出的。
因此，有限性李普希兹渐近拟非扩张映射强收敛定理可以使我们对特定事件进行更有效的解决方案，以改善算法的性能。
该定理也被称为Lipschitz迭代定理，它有助于揭示一致过程和计算在某一特定情况下去获得有效结果。
该定理表明，当使用一致李普希兹渐近拟非扩张映像时，可以得到强收敛，即使存在具有有限规模的条件也是如此。
因此，该定理有助于根据特定的条件及其对应的参数，以有效的方式找到解决方案。
在有限一致李普希兹渐近拟非扩张映像强收敛定理的研究中，已经发现了多种应用，其中包括图像分析、图像处理、模式识别、计算机视觉和机器学习等。
此外，它在统计学中也被用于估计参数和分析非线性模型。
有限性李普希兹渐近拟非扩张映射强收敛定理是一种有用的定理，它可以帮助我们更好地理解一致过程，提供更有效解决方案，为特定问题提供有效的计算方法。
它还有助于推导出复杂问题的解决方案，并在多个域被广泛应用。
Banach空间中非扩张映像的强收敛性
２ 预 备 知 识
Ｂ ｎｃ 空 间 ｘ 称 为一致 凸 的 ， ａａｈ 如果对 任 意 ｅ －０ ２ ， 在 一个 正 数 （ ） 如果 ， ∈ｘ 且 ｌｚ 【＝１ ｌ （ ，］存 Ｅ ｅ， ｌ ，ｃ Ｊ
ｌ １｝ — Ｉ ｅ ＝ ， Ｉ ， ｌ ｚ ｌ 一 （） Ｉ 则有Ｉ ＋ ）≤１ ￡， 吉（ Ｉ 并称
第 ２ 卷第 ３ ５ 期 ２１ ０ ０年 ６月
成
都
信
息
工
程
学
院 学
报
Ｖ＿．＾ ０ ２ Ｎｏ． １ ５ ３
Ｊ ＯＵＲ Ｌ Ｏ ＨＥ ＤＵ ＮＡ Ｆ Ｃ ＮＧ ＵＮＩ Ｒ Ｉ ＶＥ Ｓ ＴＹＯＦ Ｉ ＯＲＭＡ ＯＮ ＴＥ ＨＮ Ｘ ＧＹ ＮＦ ＴＩ Ｃ ＯＩ ）
Ｊｎ ００ ｕ ．２ １
ｃ ＝ ｛ ∈ Ｃ｝Ｊ 一 ｌ ｌ 一 Ｉ ， Ｉ 】 】 Ｉ ｚ ｝ Ｑ ＝ ｛ ∈ Ｃ１ 一ｚ ０ ３ ） ０ ， （ ， 一： ｝ ７
３ ＋ ＝ Ｐ Ｑ （ ０ ｇ １ ｎ ｃＣ ３ ） ｌ ７
（） １
其 中 ，ａ ｝ ［ ， ］ Ｅ［ ，）Ｐ Ｑ表示 由 Ｈｉｅｔ 间 Ｈ 到 ｎＱ ｛ ｃ ０ ａ ， ０ １ ， ｃＤ ｌ ｒ空 ｂ 的度 量投 影 。他 们 证 明 了 由（ ） １ 式生成 的序 列 ｛ 强 收敛 到 Ｔ 的不动 点 Ｐ （）３ ） ７ ３｝ ＦＴ（ ０。 ７ Ｘｕ５利用 广义 度量 投影 在实光 滑 和一致 凸 Ｂ ａｈ空 间 中引人如 下迭代 序列 ［ ］ ｎ ａ ｃ
＝
ｃ ｏ
（） ３
ｚ ＋ｔ
Ｉ Ｑ（ 。 Ｉｃ ｚ ） Ｎ
．
收 稿 日期 ：０ ９１—８ 修 订 日期 ：０ ００ ．９ ２ ０ ．２０ ； ２ １ ．３２
Banach空间中渐近非扩张映象的收敛性
引 理 １ ６３ 设 Ｅ是 Ｂ ｎ ｃ ．＿ ａａ ｈ空 间 ， 是 其 对 偶 空间． ： 一２ 是 正规 对偶 映象 ， Ｖ Ｙ∈Ｅ， ．Ｅ ， 则 ， 有
引理 １３ １ 设 Ｅ是具 有一致 Ｇ ｔ ｕ ．ｌ １ ￣ ａ ｘ可微 范 ｅ 数 的 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 ， 由 （ ） 义 的正 规 对 偶映 象 则 １定
｛ ｝ Ｄ， ＋ ＋ ＝１ Ｃ ６ ＿ ．
在 （） 中， ３式 若取 ｙ ０６ ＝ Ｖｎ ， 序 列 ＝ ， ０， ≥０ 则
｛ ｝ 为 ＋ １：Ｏ ＋（ ） Ｚ １一 ＋ ， Ｖｎ≥ ０ （ ） ． ４ 由（ ） （ ） ３ 与 ４ 式定 义 的序 列 ｛ ｝ ｕ 在 ＝０ ＝ ，
收 稿 日期 ：０ ８－ １ ０ ２０ ０ —９ 基 金 项 目 ： 川 省 教 育 厅 自然 科 学 重 点 基 金 （０ ３ ８ ） 助 项 日 四 ２ ０ Ａ１６ 资
（） Ｉ ＋ ≥ Ｉ ｌ ＋ （ ， ｘ ） Ｖ （ ２ ｌ ｙＩ Ｉ ｌ ｌ ２ ｙｊ ） ， ） （
是单 值 的 ， 而且在 Ｅ 的任 意 有界 集 上 ， Ｅ 的范 数 由
拓扑 到 Ｅ 的弱 拓扑 是一 致连 续 的．
定义 １ ４ 设 Ｄ是 的非 空 闭 凸子集 ， Ｄ ＋ ． 且
（ ） ｌ ＋ １ ≤ Ｉ Ｉ ＋２ ） （ ＋ｙ ） １ Ｉ Ｉ ＿ ｌ （， ， ），
第３ １卷
第 ５期
Ｂ ｎｅ 问 中渐 近 非 扩 张 映 象 的 收敛 性 ａａｈ空
郭庆 义 ， 周迎春 ， 马 丽蓉
（ 康定 民族师范高等专科学校 数学 系， 四川 康 定 ６６ ０ ） ２０ １
摘 要 ： Ｂ ｎｃ 在 ａａｈ空 间 中 引 入 和 研 究 渐 近 非 扩 张 映 象 的 某 些 类 型 迭 代 序 列 的收 敛 性 ， 用 Ｂ ｎｅ 利 ａ ａｈ压 缩 映象原理 ， 用误差迭代和不等式技巧 ， 采 获得 了 Ｂ ｎ ｃ 间 中 渐 近 非 扩 张 映 象 的相 应 序 列 强 收 敛 的充 分 必 ａａｈ空
一致凸Banach空间中渐近非扩张映射迭代序列的收敛定理
信 阳师范学 院学报 （ 自然科学版） 第 ｌ ５卷 第 ２ 期 ２０ ０ ２年 ４月
・
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅｓＣｏｌｇ ｏ ｒ ａ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｏ Ｘｉ ｅ
（ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔｏ Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ２Ａｐ ． ０ ２ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ） ［１ ． ｔ ２ ０
Ｖ ∈Ｆ（ ， ｛ 有 界 且 ｌ 丁） 则 ｚ ｝ ｉ Ｉ ａ ｒ １
ｌ ｌ 存在 ｉ ｌ ～ｐ ｍ － ｒ
证明 Ｖ ｐ∈Ｆ（ ， 丁）
一 ０＝０ ，
的非 空闭 凸子 集 ， 映射 丁： —ｃ是关 于序 列 （ 渐 ｃ ）
—、
近 非 扩 张 的 全 连 续 映 射 ， （ 一 １ ＜ 。 ， ∈Ｃ， 厶 ） 。 。
１５ ５
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第１ ５卷
第 ２期
信 用师范学院学报（ 自然科学版）
２０ ０ ２年 ４月
＋
） 一 １］Ｉ 一户｝ （ ） １ ｌ
（） ３
ｏ，
ｌ ｌ
一 ｌ ０ ｆ ） ｌ 知 也收敛 ， 令
＝
令 一“ １ ＾ （ 一１， （＋ ） ） 则∑ ＜ 重复 ， 应
Ｖ 月∈ Ｎ ．
Ｊ ￣－Ｔ ｌ Ｊ－ｙ； Ｖｎ Ｊ ｘ ”｝ ｌ Ｔ ≤＾ ｚ Ｊ ∈Ⅳ， ， ｃ ． （ Ｖ ∈ ）
２ ．映 射 丁： — Ｃ 称 为 是 一 致 Ｉｐ ｃ ｉ ｉｎ的 ， Ｃ ｓ ｈｔ ａ ｉ ｚ
如果 存在常 数 Ｉ ＞Ｏ使 得
引理 ２ 设 是一 致 凸 Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 问 ， 是 Ｃ
＋卢 （ ）Ｉ 丁 ， 一户 Ｊ １ ７ ≤ （ ～ ）ｌ １ Ｉ 一户 ｌ＋ ｌ 一ｐＩ ｚ ｌ ｌ 丁 １
一致凸Banach空间中渐近非扩张映像的Mann迭代格式的强收敛定理
ｌ
设 是 线 性 赋 范 空 间 是 的非 空 凸 子 集 ， 面 的 迭 代序 列 ： 下
ｆ‰ 则
， ≥１ ．
【 ｌ（ － ￡ ＝ １ ｔ）
， ≥１ ．
（）ｍ Ｉ￣ ｌ 在，Ｖｐ∈Ｆ（ ） ｉｌ ｐｌ ｉ Ｉ ｘ 存 Ｔ； （ｉｌ ｉ）ｍ ｉ ， ）存 在 ． ）
２１ ０ １年
第１ ３期
Ｓ ｍＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ ＯＧ Ｃ Ｃ Ｅ Ｈ ０Ｌ ＹⅡ《ＯＲ ＿ＴＯ Ｆ Ｍ ＩＮ Ａ
一
致凸 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间中渐近非扩张映像的 Ｍａ ｎ迭代格式的强收敛定理 ｎ
王 琼 郝 彦
（ 浙江海洋学院数理与信息学院 浙江 舟 山 ３ ６ ０ ） １０ ０
称 为 修 正 的 Ｍａｎ迭 代 序 列ｔ 其 中｛Ｊ Ｏｌ中 的序 列 ， ｎ １ ］ ， ｆ是ｆ，】 ＾ 关 于 非 扩 张 映 像 的 Ｍａｎ型 迭 代 序 列 和 Ｉｈｋｗ ｎ ｓｉａ ａ迭 代 序 列 问 题
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自反Banach空间中右Bregman强非扩张映射的强收敛定理
自反Banach空间中右Bregman强非扩张映射的强收敛定理万丙晟;黄建华【摘要】In this paper ,we introduce Mann-Halpern algorithm for finding a common fixed point problem of finite family of right Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive mappings in reflexive real Banach spaces .Moreover ,we prove a strong convergence theorem under suitable control conditions .Fi-nally ,the application to a common zero of a finite family of maximal monote mappings is given by the re-sult .%本文在实自反的Banach空间中针对有限族右Bregman强非扩张映射公共不动点构造了一类新型的Mann-Halpern型迭代算法,在适当条件下证明了该算法产生的序列的强收敛性.更进一步地,本文将此方法应用到求解极大单调算子的零点问题上.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(055)001【总页数】7页(P18-24)【关键词】自反的Banach空间;Mann-Halpern型迭代算法;右Bregman强非扩张映射【作者】万丙晟;黄建华【作者单位】福建教育学院 ,福州 350025;福州大学数学与计算机科学学院 ,福州350116【正文语种】中文【中图分类】O177.91(2010 MSC 41A65, 90C48,47H04)1 引言非扩张算子的不动点理论在非线性分析领域中具有广泛的应用.比如求解极大单调算子的零元、凸可行问题、变分不等式问题和均衡问题等.然而,Hilbert空间中的非扩张映射在Banach空间中却不一定是非扩张的.比如,极大单调算子A:H→2H的预解算子RA:=(I+A)-1在一般的Banach空间中未必是非扩张的.解决该问题有一些方法,其中之一是用Bregman距离函数来代替范数、Bregman非扩张映射来代替非扩张映射、Bregman投影来代替距离投影.1967年, Bregman[1]在Banach空间中引入Bregman距离函数,进而讨论Bregman非扩张映射不动点及其相关的问题.2010年,Reich 和Sabach[2]利用Bregman投影方法研究了有限族左Bregman强非扩张映射的公共不动点问题,获得了强收敛定理,并且将所得到的结果应用到凸可行问题与均衡问题上.2012年,Marin-Marquez等[3]讨论了右Bregman稳定非扩张映射及其相关性质,并证明了右Bregman强非扩张映射的不动点集是闭的,利用Picard迭代算法获得了弱收敛定理.众所周知,左Bregman强非扩张映射的不动点集是闭凸集,但是右Bregman强非扩张映射的不动点集是闭的但未必是凸的.因此,在研究右Bregman强非扩张映射时将带来许多困难.例如Bregman投影方法对右Bregman算子就不再适用. 正是基于这样的情形,本研究构造了一种新型的Mann-Halpern型迭代算法,并在合适的条件下证明算法的强收敛性.该结果在研究对象上是对文献[2]的拓展,在算法上改进了文献[3]中算法的弱收敛性,更进一步地,将此方法应用到求解极大单调算子的零点问题上.2 预备知识设R为实数集, E为实自反的Banach空间, E*为其对偶空间, E的范数记为‖.‖,E与E*的配对记为〈.,.〉,f:E→(-∞,+∞]是真值函数,f的Fenchel共轭函数f*:E*→(-∞,+∞]定义为f*(x*)=sup{〈x*,x〉-f(x):x∈E}(x*∈E*)(1)记f的有效域为domf={x∈E,f(x)<∞},f的有效域的内部为int(domf).对任意的x∈int(domf)与h∈E,f在方向h的右导数定义如下:如果对任意的h∈E,式(1)极限存在,则称f在x上是Gateaue可微的.此时f°(x,h)与f在x的梯度值f(x)是相同的.如果式(1)极限关于h在单位球面上是一致存在的, 则称f在x上是Frechet可微的.如果式(1)极限关于x∈C与‖h‖=1一致存在,称f在E的子集C上是一致Frechet可微的.Bauschke、Borwein和Combettes[4]给出了Legendre函数f:E→(-∞,+∞]的定义,即f是Legendre函数当且仅当它满足下列条件:(1) int(domf)≠∅,f在int(domf)上是Gateaue可微的,且domf=int(domf);(2) int(domf*)≠∅,f*在int(domf*)上是Gateaue可微的,且domf*=int(domf*);(3) 如果E为实自反的Banach空间, f是Legendre函数,则下列结论成立[5]:1) f是Legendre函数,当且仅当f*是Legendre函数,2) (∂f)-1=∂f*,3) f=(f*)-1,ranf=domf*=int(domf*),ranf*=domf=int(domf),其中ranf表示f的值域，4) f和f*分别在它们的有效域内部是严格凸的.定义2.1[6] 设f:E→(-∞,+∞]为Gateaux可微的凸函数,二元函数Df:domf×int(domf)→(0,+∞]定义为:Df(y,x)=f(y)-f(x)-〈f(x),y-x〉,则称Df为Bregman距离函数. 值得注意的是Bregman距离并不是真正实际意义上的距离,显然Df(x,x)=0,但是当Df(x,y)=0时,x=y不一定成立.一般地,Df也不满足对称性质和三角不等式.从Bregman距离的定义中容易得到如下基本性质:(1) (两点等式) 对任意的x,y∈int(domf),有Df(x,y)+Df(y,x)=〈f(x)-f(y),x-y〉;(2) (三点等式) 对任意的x∈domf与y,z∈int(domf)有Df(x,y)+Df(y,z)-Df(x,z)=〈f(z)-f(y),x-y〉;3) (四点等式) 对任意的y,ω∈domf与x,z∈int(domf)有Df(y,x)-Df(y,z)-Df(ω,x)+Df(ω,z)=〈f(z)-f(x),y-ω〉.定义2.2[1] 设f:E→(-∞,+∞]为Gateaux可微的凸函数, C为domf中的非空闭凸子集, x∈intdomf,若存在向量满足则称为x在C上的Bregman投影.从文献[1]可知,当C为非空闭凸集时,是存在的且是唯一的.定义2.3[7] 设f:E→(-∞,+∞]为Gateaux可微的凸函数.称f是(1)在x∈int(domf)全局凸的,若它在x的总体凸性模是正的,其中f在x的总体凸性模vf:int(domf)×[0,+∞)→[0,+∞)定义为vf(x,t):=inf{Df(y,x):y∈domf,‖y-x‖=t},∀t>0;(2)全局凸的,若对任意的x∈int(domf),f在x处是总体凸的;(3)在有界集上全局凸的,若对E的任何非空有界子集B和t>0,vf(B,t)均为正数,其中vf(B,t):=inf{vf(x,t):x∈B∩domf}为f在集合B上的全局凸性模.定义2.4[8,9] 设C是E的非空闭凸子集, T:C→C.若C包含一序列{xn}弱收敛于p,且使得则称p为T的渐近不动点. T的渐近不动点构成的集合记为若C包含一序列{xn}强收敛于p且使得则称p为T的强渐近不动点.T的强渐近不动点构成的集合记为(T).设F(T)为T的不动点集,即F(T)={x∈C|Tx=x}.对任意的算子T:C→C都有F(T)⊂⊂称T:C→int(domf)为:(1) 右Bregman拟非扩张的,若F(T)≠∅,且: Df(Tx,p)≤Df(x,p),∀x∈C,p∈F(T);(2) 右Bregman相对非扩张的,若F(T)≠∅,且: Df(Tx,p)≤Df(x,p),∀x∈C,p∈F(T);(3) 右Bregman强非扩张的,若∅,且: Df(Tx,p)≤Df(x,p),∀且对任意有界序列{xn}⊂若有:(4) 右Bregman稳定非扩张的,如果∅,∀x,y∈C有〈f(Tx)-f(Ty),Tx-Ty〉≤〈f(Tx)-f(Ty),x-y〉及等价地有Df(Tx,Ty)+Df(Ty,Tx)+Df(x,Tx)+Df(y,Ty)≤Df(x,Ty)+Df(y,Tx).如果T为右Bregman稳定非扩张映射,则因此T为右Bregman相对非扩张映射,其中Legendre函数f在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的.若Ti(i=1,2...N)均为右Bregman稳定非扩张映射,则T=TN,TN-1,...,T1为右Bregman稳定非扩张映射,且因此T为右Bregman强非扩张映射.注1 在上述定义中,关于结论F(T)⊂⊂(T),反之是不成立的(见文献[10]中的Example 2.3和文献[11]中的Example 2.5).定义2.5 设函数f:E→(-∞,+∞]是真凸下半连续的且Gateaux可微的, A:E→2E*为极大单调算子,且int(domf)∩dom(A)≠∅,定义A的预解算子的共轭算子为注2[12] 若A是单调的,且f在int(domf)是严格凸的,则为右Bregman稳定非扩张映射, 假设Legendre函数f在E的有界子集上是有界的、一致连续的.则对于每一个右Bregman稳定非扩张算子T都有在这些假设条件下为右Bregman强非扩张映射.引理2.6[2] 如果x∈int(domf),则下列结论是等价的:(1) 函数f在x处是全局凸的;(2) 对任意序列{yn}⊂(3) 对∀ε>0,∃δ=δ(ε)>0,使得当y∈int(domf)和Df(y,x)≤δ,有‖x-y‖≤ε成立.引理2.7[3] 设函数f:E→R是真凸下半连续的,且Gateaux可微的,domf*=E*,A:E→2E*是一个集值单调映射,则A是极大单调算子, 当且仅当引理2.8[3] 设f:E→R是Frechet可微函数, C是int(domf)的非空闭凸子集,T:C→int(domf)是右拟Bregman非扩张映射,则F(T)是闭的.引理2.9[5] 设f:E→(-∞,+∞]为Gateaux可微的凸函数,且在int(domf)上是全局凸的x∈int(domf),C是int(domf)的非空闭凸子集,如果z∈C,则下列结论等价:(2) z是如下变分不等式的解〈f(x)-f(z),z-y〉≥0,∀y∈C即〈f(x)-≥0,∀y∈C;(3) z是如下变分不等式的解Df(y,z)-Df(z,x)≤Df(y,x),∀y∈C,即≤Df(y,x),∀y∈C.引理2.10[6] 设f:E→R是Gateaux可微函数. 函数Vf:E×E*→[0,+∞)定义如下:Vf(x,x*)=f(x)-〈x,x*〉+f*(x*)，(x∈E,x*∈E*)(2)则Vf≥0,且Vf(x,x*)=D(x,f*(x*)),∀x∈E,x*∈E*,且由次微分不等式得:Vf(x,x*)+〈y*,f*(x*)-x〉≤Vf(x,x*+y*)，∀x∈E,x*∈E*,y*∈E*.引理2.11[7] 称f:E→(-∞,+∞]是序列一致的,如果对E中任意两个序列{xn}⊂int(domf)和{yn}⊂int(domf),当{xn}有界,且时,有:成立. 则f在有界集上是全局凸的,当且仅当f是序列一致的.引理2.12[12] 设函数f:E→(-∞,+∞]是真凸下半连续的,则f*:E*→(-∞,+∞]是真凸弱* 下半连续,因此∀z∈E, 有Df(z,f(xi))≤其中ti⊂引理2.13[13] 设f:E→R在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的和全局凸的,C⊂E,Ti:C→C是右Bregman强非扩张映射且其中i=1,2,...,N.如果非空,则T 是右Bregman强非扩张映射,且引理2.14[13] 设函数f:E→(-∞,+∞]在点x∈int(domf)是真凸下半连续的、Gateaux可微的、全局凸的.令xn⊂domf,如果序列Df(xn,x)有界, 则序列{xn}有界.引理2.15[14] 设{bn}是正实数序列,且满足如下条件:bn+1≤(1-αn)bn+αnδn,其中a⊂(0,1),{δn}⊂≤0,则引理2.16[15] 设{an}为实数列,{ni}⊂{n}且ani≤ani+1,i∈N,则存在一个递增序列{mk}⊂N,使得当k足够大时有mk→∞,amk≤amk+1,ak≤amk+1成立. 事实上mk=max{j≤k:aj≤aj+1}.3 主要结果定理3.1 设E是实自反的Banach空间, f在E的有界子集上是有界的、一致Frechet可微的和全局凸的,domf*=E*,C是int(domf)的非空闭凸子集,Ti:C→C是右Bregman强非扩张映射且其中i=1,2,...,N.假设非空,令u,x1∈C,{xn}由下列算法产生:xn+1=anu+(1-an)(βnxn+(1-βn)Txn)，其中T=TN,TN-1,...,T1,{an}⊂(0,1),{βn}⊂≤则{xn}强收敛于点p∈A.证明由引理2.13可知,是右强Bregman非扩张映射. 令p∈A,根据Df(xn+1,p)=Df(αnu+(1-αn)(βnxn+(1-βn)Txn),p)≤αnDf(u,p)+(1-αn)Df(βnxn+(1-βn)Txn,p)≤αnDf(u,p)+(1-αn)βnDf(xn,p)+(1-αn)(1-βn)Df(Txn,p)≤αnDf(u,p)+(1-αn)βnDf(xn,p)+(1-αn)(1-βn)Df(xn,p)≤αnDf(u,p)+(1-αn)Df(xn,p),f是凸函数及映射T为右强Bregman非扩张映射的定义,由归纳法可得Df(xn+1,p)≤max{Df(u,p),Df(x1,p)},∀n≥1.所以序列{Df(xn,p)}有界. 根据T为右强Bregman非扩张映射的定义可知,序列{Df(Txn,p)}是有界的.由引理2.14可知序列{xn}和序列{Txn}有界.令yn=f(xn).则yn+1=f(αnf*(f(u))+(1-αn)(βnf*(yn)+(1-βn)f*T*(yn))(3)Df*(q,yn+1)=Df*(q,▽f(αn▽f*(▽f(u))+(1-αn)(βn▽f*(yn)+(1-βn)▽f*T*(yn))=Vf*(q,αn▽f*(▽f(u))+(1-αn)(βn▽f*(yn)+(1-βn)▽f*T*(yn))≤Vf*(q,αn▽f*(▽f(u))+(1-αn)(βn▽f*(yn)+(1-βn)▽f*T*(yn))-αn(▽f*(▽f(u))-▽f*(q))+αn[▽f*(▽f(u))-▽f*(q),yn+1-q]=Vf*(q,αn▽f*(q))+(1-αn)βn▽f*(yn)+(1-αn)(1-βn)▽f*T*(yn)+αn[▽f*(▽f(u))-▽f*(q),yn+1-q]≤αnVf*(q,αn▽f*(q))+(1-αn)βnVf*(q,αn▽f*(yn))+(1-αn)(1-βn)Vf*(q,▽f*T*(yn))+αn[▽f*(▽f(u))-▽f*(q),yn+1-q]=αnDf*(q,q)+(1-αn)βnDf*(q,yn)+(1-αn)(1-βn)Df*(q,T*(yn))+αn[▽f*(▽f(u))-▽f*(q),yn+1-q]≤(1-αn)Df*(q,yn)+αn[▽f*(▽f(u))-▽f*(q),yn+1-q],其中T*为T的共轭算子,且T*:=fTf*. 由于f在int(domf)的有界子集上是一致连续的，f*在int(domf*)的有界子集上是一致连续的,所以序列{yn}和序列{Tyn}都是有界的.由文献[13]可知, T*是左Bregman强非扩张映射. 根据文献[13]中的引理3.3可知, A′:f(F(T)是闭凸的.令(f(u)).由引理2.9、引理2.10及T*是左Bregman强非扩张映射可得Df*(q,yn+1)≤(1-αn)Df*(q,yn)+αn〈f*(f(u))-f*(q),yn+1-q〉(4)下面分两种情况讨论.第一种情况:假设存在n0∈N当n≥n0时,序列{Df*(q,yn)}递减. 因为Df*(q,yn)≥0,所以{Df*(q,yn)}收敛,即当n→∞时,Df*(q,yn)-Df*(q,yn+1)→0(5)根据引理2.12和式(3),得Df*(q,yn+1)=Df*(q,▽f(αn▽f*(▽f(u))+(1-αn)(βn▽f*(yn)+(1-βn)▽f*T*(yn))≤αnDf*(q,▽f(u))+(1-αn)βnDf*(q,yn)+(1-αn)(1-βn)Df*(q,T*(yn))≤αnDf*(q,▽f(u))+(1-αn)βnDf*(q,yn)+(1-αn)(1-βn)Df*(q,yn)≤αnDf*(q,▽f(u))+(1-αn)Df*(q,yn),即Df*(q,yn+1)≤αnDf*(q,f(u))+(1-αn)Df*(q,yn)(6)由式(4),(5)和可得,当n→∞时Df*(q,yn)-Df*(q,T*yn)=Df*(q,yn)-Df*(q,yn+1)+Df*(q,yn+1)-Df*(q,T*yn)≤Df*(q,yn)-Df*(q,yn+1)+αn(Df*(q,▽f(u))-(1-αn)Df*(q,T*yn))→0.事实上, T*是左Bregman强非扩张映射,所以于是根据引理2.11可得因为E*是自反的Banach空间序列,{yn+1}是有界的,则存在子列{ynk+1}使得▽f*(q),ynk+1-q](8)由于T*是左Bregman强非扩张映射根据式(7)、式(8) 和引理2.9,可得y∈F(T*)=A′且f*(f(u))-f*(q),yn+1-q〉=f*(f(u))-f*(q),ynk+1-q〉=〈f*(f(u))-f*(q),y-q〉≤0(9)由式(4)、式(9)和引理2.15可得,当n→∞时, Df*(q,yn)→0.由引理2.7,可得(f(u)).所以xn=f(yn)→f*(q)=p∈A,即xn→p∈A.第二种情况:假设存在{n}的子列{ni},使得Df*(q,yni)<Df*(q,yni+1),∀i∈N成立.则根据引理2.16,存在一个递增序列{mk}⊂N,使得mk→∞,且Df*(q,ymk)<Df*(q,ymk+1),Df*(q,yk)<Df*(q,ymk+1),∀k∈N成立.从而可得当mk→∞时,Df*(q,ymk)-Df*(q,T*ymk)=Df*(q,ymk)-Df*(q,ymk+1)+Df*(q,ymk+1)-Df*(q,T*ymk)≤Df*(q,ymk)-Df*(q,ymk+1)+αmk(Df*(q,f(u))-Df*(q,T*ymk))→0.所以当mk→∞时,Df*(T*ymk,ymk)→0.于是,利用第一种情况中的讨论方法,得f*(f(u))-f*(p′),ymk+1-p′〉≤0(11)由式(4)可得Df*(q,ymk+1)≤(1-αmk)Df*(q,ymk)+αmk〈f*(f(u))-f*(q),ymk+1-q〉(12)对上式移项,并由式(10)、式(12)得αmkDf*(q,ymk)≤Df*(q,ymk)-Df*(q,ymk+1)+αmk〈f*(f(u))-f*(q),ymk+1-q〉≤αm k〈f*(f(u))-f*(q),ymk+1-q〉,其中αmk>0.所以Df*(q,ymk)≤〈f*(f(u))-f*(q),ymk+1-q〉.由式(11)可得Df*(q,ymk)→0.所以由式(12)可知,当k→∞时,Df*(q,ymk+1)→0. 根据Df*(q,ymk)<Df*(q,ymk+1),∀k∈N可知当k→∞时Df*(q,ymk)→0. 由引理2.11得yk→q且xk=f*(yk)→p=f*(q)∈A. 即xn→p∈A.定理证毕.假设T是一个右Bregman强非扩张映射,根据定理3.1可得如下推论:推论3.2 设E是实自反Banach空间, f在E的有界子集上是有界的、一致Frechet 可微的和全局凸的,domf*=E*,C是int(domf)的非空闭凸子集,Ti:C→C是右Bregman强非扩张映射且∅.令u,x1∈C.{xn}由下列算法产生:xn+1=anu+(1-an)(βnxn+(1-βn)Txn),其中{an}⊂(0,1),{βn}⊂≤则{xn}强收敛于点p∈F(T).假设Ti(i=1,2,...,N)均为右Bregman稳定非扩张映射,则T=TN,TN-1,...,T1为右Bregman稳定非扩张映射,且[9]因此,T为右Bregman强非扩张映射,根据定理3.1可得:定理3.3 设E是实自反Banach空间, f在E的有界子集上是有界的、一致Frechet 可微的和全局凸的,domf*=E*,C是int(domf)的非空闭凸子集,Ti:C→C是有限族右Bregman稳定非扩张映射,其中i=1,2,...,N.假设非空,其中u,x1∈C,{xn}由下列算法产生:xn+1=anu+(1-an)(βnxn+(1-βn)Txn),其中T=TN,TN-1,...,T1，{an}⊂(0,1),{βn}⊂≤则{xn}强收敛于点p∈A.4 应用近年来,许多学者对极大单调算子的零点问题做了大量的研究工作[16-18].设A:E→2E*是一个极大单调算子.下面将利用Mamn - Halpern型迭代算法来求解有限族极大单调算子的零点问题.定理4.1 设函数f:E→R满足domf*=E*,f*在E*的有界子集上是一致Frechet可微的、全局凸的,设Ai:E→2E*为极大单调算子,且∅,对任意的u,x1∈C,序列{xn}由下列算法产生:xn+1=anu+(1-an)(βn xn+(1-βn)Txn),其中序列{an},{βn}满足下列条件:{an}⊂(0,1),{βn}⊂(0,1),≤则{xn}强收敛于点且f*(q)=p∈H.证明令且Ti:E*→E*.由注2和引理2.7可知, Ti是右Bregman强非扩张映射,且f(H)≠∅.由引理2.13可知, T为右Bregman强非扩张映射.类似了定理3.11的证明方法,定理的结论便可得证.参考文献:[1] Bregman L M. 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Banach空间中渐近非扩展半群的强收敛性
Banach空间中渐近非扩展半群的强收敛性
郭金题;高改良;韩云旨
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2008(32)5
【摘要】研究了Banach空间中关于非扩展半群S={S(t):t≥0}且F(S)非空的序列的强收敛定理,主要证明了由下式定义的迭代{xn}:xn=anx+(1-
an)1t∫n0tnS(s)xnds,n=0,1,2,…的强收敛性.
【总页数】5页(P585-589)
【关键词】非扩展映像;向阳的非扩展保核收缩;Bartach极限
【作者】郭金题;高改良;韩云旨
【作者单位】河北经贸大学数学与统计学学院;军械工程学院应用数学研究所;保定学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.关于Banach空间中渐近非扩张型半群的不动点与渐近行为 [J], 曾六川
2.实Banach空间中渐近半压缩映射的强收敛性 [J], 倪仁兴
3.Banach空间中渐近非扩张映象的Reich型均值迭代的强收敛性 [J], 王雄瑞
4.Hilbert空间中均衡问题与渐近非扩张半群的迭代算法的强收敛性 [J], 来希雪;黄建华
5.p一致凸Banach空间中渐近半压缩映象迭代过程的强收敛性 [J], 刘瑞娟;曾六川
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Banach空间中的广义平衡问题和相对非扩张映象的强收敛定理
Banach空间中的广义平衡问题和相对非扩张映象的强收敛定
理
唐金芳;陈春梅
【期刊名称】《宜宾学院学报》
【年(卷),期】2009(9)12
【摘要】在Banaeh空间中针对广义平衡问题和相对非扩张映象的不动点问题,用收缩投影方法构造了一个逢代序列,证明了广义平衡问题和相对非扩张映象的强收敛定理.所得结论改进了Wataru Takahashi和Kei Zembaysshi等人的研究结果.【总页数】4页(P9-12)
【作者】唐金芳;陈春梅
【作者单位】宜宾学院数学与应用数学系,四川宜宾,644000;宜宾学院数学与应用数学系,四川宜宾,644000
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.广义平衡问题和一列非扩张映象不动点问题的强收敛定理 [J], 孟繁英;曾六川
2.广义混合平衡问题与无限族Hemi-相对非扩张映象不动点问题公解的强收敛定理 [J], 左平;刘敏
3.Banach空间广义平衡问题和一簇拟(φ)-非扩张映象的强收敛定理 [J], 孔德洲
4.Banach空间中广义平衡问题和一族相对非扩张映象的强收敛定理 [J], 唐金芳
5.Banach空间中关于平衡问题与半相对非扩张映象的强收敛定理 [J], 陈延礼;吕春兰
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Banach空间中渐近非扩张映射的强收敛定理不动点理论是泛函分析的一个重要的研究分支,它在微分方程、积分方程、数值分析、对策论、控制论以及最优化等学科中有广泛而深入的应用.不动点理论的研究起源于Banach,Banach给出了第一个不动点定理,即Banach压缩映射原理.Browder利用Banach压缩映射原理在Hilbert空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理.Browder定理被Reich推广至一致光滑的Banach空间中.Kirk 在具有一致正规结构的Banach空间中证明了非扩张映射的不动点存在性定理.Goebel和Kirk首先提出渐近非扩张映射,并证明了一致凸Banach空间中非空有界闭凸子集上的每个渐近非扩张映射都有不动点.Kim和Xu将该结果推广至空间具有一致正规结构的情形.2002年,Li和Sims证明了在具有一致正规结构的Banach空间中渐近非扩张型映射在适当条件下具有不动点:设E是一个具有一致正规结构的Banach空间, C是E的一个非空有界子集, T :C→C是渐近非扩张型映射且T在C上连续,若C存在非空闭凸子集K具有性质: ( )z∈K ?ωwz ? K,则T在K中具有不动点.在这些定理证明中,都是利用压缩映射的不动点直接逼近或迭代逼近非扩张映射的不动点.1998年,Shioji和Takahashi给出了Hilbert 空间中非扩张半群的隐式粘性平均迭代序列的强收敛定理.Shimizu和Takahashi在Hilbert空间中证明了非扩张半群的显式粘性平均迭代序列是强收敛的.2007年,Chen和Song研究了具有一致Gateaux可微范数的一致凸Banach 空间中的非扩张半群的隐式粘性平均迭代和显式粘性平均迭代的收敛性问题.本文主要利用Li和Sims的不动点存在性定理,研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,渐近非扩张映射及渐近非扩张半群的粘性隐式迭代序列{ }z n和粘性显式迭代序列{ }xn的收敛性问题.在第二章中,本文
研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,由下式定义的粘性迭代序列{ }z n和{ }xn :其中f∈ΠK, K是E的非空闭凸子集, T :K →K是渐近非扩张映射且F (T )≠? ,都收敛于T的不动点p ,且p是变分不等式0的唯一解.在第三章中,本文研究了在具有一致Gateaux可微范数与一致正规结构的Banach空间中,由下式定义的粘性迭代序列{ }z n和{ }xn :其中f∈ΠK, K是E的非空闭凸子集, ?= {T (t ), t≥0}是K上渐近非扩张半群且证明了{ }z n和{ }xn都强收敛于?的公共不动点p ,且p是变分不等式本文的主要结果推广和改进了文[9,10]中的结果.。