缺口试件拉伸试验中的应力三轴度确定方法-贾东等

a0 ) 2 R0
（7）
由此可以看出，在最小横截面的中心处（ r 0 ）应力三轴度的值最大：
0(max) ln(1
1 3
（8）
通过数值计算可以看出，Bridgman 给出的近似公式在初始时刻能够准确地计算应力三 轴度值。但是试件在整个拉伸过程中，从初始加载到最终断裂，应力三轴度是不断变化的， 初始时刻的应力三轴度值显然不能反映这一信息。 3.2 断裂时的应力三轴度 断裂时的应力三轴度计算方法有两种，其一是应用 Bridgman 公式，利用试件断裂时的 几何尺寸，便可以计算出断裂时的应力三轴度值：
*avg ( eq , ) 的计算。
5
数值计算与分析
本文利用ABAQUS /Standard对缺口试件应力三轴度在拉伸过程中的变化进行分析，鉴 于缺口试件的几何特征，采用轴对称模型，网格单元类型采用4节点轴对称实体单元。模型 一端固定，一端以恒定速度加载。引用G. Mirone对材料AISI T304的实验结果及本构关系[9] 如图2，材料的弹性模量为209GPa，泊松比为0.3。
图 1 缺口拉伸试件 Fig.1 Notched specimen
试件的颈部应力方程为：
d rr zz rr rr 0 dr r
假设缺口曲线为圆弧，得到缺口试件的应力分量：
（2）
rr ln(1 zz [1 ln(1
avg
1
f

f
0
( eq )d eq
（11）
avg 为平均应力三轴度， f 表示断裂应变值。这种应力三轴度的应变累积效应也是延性金
属材料损伤累积的体现[7,8]。
D ( eq )d eq
0
eq
（12） （13）
DCr ( eq )d eq
0
f
G. Mirone[9]在对多种金属材料的研究中发现，对于同一材料，不同初始应力三轴度的缺
口试件的临界损伤值趋于一致，而不同材料的临界损伤值是不同的。 值得注意的是， 如果假设试件在拉伸过程中应变随应力三轴度呈线性变化， 则上诉公式 的计算得到的平均应力三轴度刚好就是初始应力三轴度和断裂时应力三轴度的算术平均值。 然而研究发现，对于发生大变形的弹塑性材料来说，这种假设一般是不成立的。
end(max) ln(1
1 3
aend ) 2 Rend
（9）
由于缺口试件变形后，缺口形状在断裂时已不能满足圆形缺口的要求，所以 Bridgman 公式在此时已不能再严格适用。 另外一种是利用数值模拟得到应力三轴度在试件断裂时的应 力三轴度值，这种方法相对更为准确。
end |
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引言
在工程实际中，材料的受力情况通常比较复杂，它们的变形常常不只是简单的拉、压、 扭转等基本变形，而是两种或两种以上基本变形的组合，其应力状态为复杂应力状态。 材料所受应力状态不同时， 材料内产生的塑性变形与应力集中程度将不同， 材料断裂机 理也将发生变化，为了反映材料受力时的复杂应力状态，引用应力三轴度 作为复杂应力状 态参数，其表达式如下：
a2 r 2 ) 2aR
（3）
a2 r 2 )] 2aR
（4）
再根据应力三轴度的定义，可以得到应力三轴度和等效破坏应变的计算公式：
ln(1
1 3
a2 r 2 ) 2aR
（5）
f 2ln( 0 )
a a
（6）
其中，a 和 R 分别表示最小横截面的半径及缺口半径，r 表示到横截面中心的距离，a0 表示最小横截面初始半径， f 表示等效破坏应变。 虽然这种方法在实验上有着明显优势， 但由于在缺口试件拉伸过程中， 应力三轴度难以 保持恒定，即不能保证 轴度往往难以确定。
eq fracture
（10）
以最终断裂时刻计算应力三轴度值也是没有充分依据的， 断裂时刻的应力三轴度并不意 味着断裂应变对应的应力三轴度。 这是因为在试件整个塑性变形过程中， 应力三轴度是随着 应变的增加而不断变化的，任一时刻的瞬时应力三轴度都不能代表整个过程的应力三轴度 值，除非在整个变形过程中，应力三轴度保持恒定。 在一些研究[5]中发现，不同初始应力三轴度的试件在发生断裂时的应力三轴度值十分接 近，但断裂应变却不相同，也就是说，在发生断裂时同一应力三轴度对应着不同的断裂应变 值， 这也进一步说明仅以断裂发生时刻的应力三轴度作为断裂应变对应的应力三轴度值是不 合理的。 3.3 考虑应变路径的平均应力三轴度 在国内外的一些研究当中， 考虑整个拉伸过程中应变累积效应来计算应力三轴度的方法 [6] 已经开始应用了。Goto 以及 Bao[7]等人在研究不同延性金属材料时，对这种应力三轴度进 行了定义：

H 1
2
( 1 2 3 ) / 3 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 1 3 )
2 2 2
（1）
其中， 1 ， 2 ， 3 ， H ， 分别表示三个主应力，泊松比，平均应力（静水压力）以及 von Mises 等效应力。 应力三轴度是一个无量纲参数，拉伸状态时，应力三轴度 值始终为正，压缩状态时， 应力三轴度 始终为负。 纯剪切时， 在单轴拉伸时， 在单轴压缩时， = 0； = 1/3； = -1/3。 应力三轴度是延性金属最为常用的一种应力状态参数， 它能很好地反映各种复杂应力状 态下材料的应力状态，这在很多研究中得到了证实。McClintock[1] 、Rice 和 Tracey等[2]在 研究材料微空洞生长时，发现延性金属的断裂应变及断裂行为与应力三轴度有很大关系。 Hancock和Mackenzie [3]通过一系列的缺口试件拉伸试验也发现， 金属的延性是依赖于试件所 受的应力三轴状态。在这些研究中，都是以应力三轴度来定义材料的失效函数关系。 反映了对材料塑性变形能力的约束程 应力三轴度 是静水应力与等效应力之间的比值， 度。研究发现，应力状态处于受拉状态，应力三轴度 较大，材料的塑性变形能力较差； 反 之，塑性变形能力较强。 目前， 应力三轴度相关的材料力学性能及行为的研究很多， 特别是在断裂性能及行为方 [4] 面。在拉伸实验中，依据 Bridgman 原理 设计的缺口试件是最主要的研究对象，如图 1 所 示，然而 Bridgman 给出的近似解只在加载初始阶段能够适用。研究 [5]发现，在整个拉伸实 验过程中，应力三轴度是随等效应变不断变化的，需要考虑到应变的累积效应，同时在一些 研究[6]发现，在缺口试件最小横截面上的空间分布效应也是不应忽视的，所以应力三轴度应 是等效应变及空间分布的函数， 要准确计算缺口试件的应力三轴度， 就应综合考虑这些因素。
AISI T304
1200
1000
stress/MPa
800
600
400
200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
strain
图2 AISI T304的本构关系 Fig.2 The constitutive relationship of AISI T304
表 1 是几种不同缺口试件的尺寸及其对应的拉伸断裂应变实验值，其变形后的有限元 模型如图 3 所示。 表 1 不同类型试件的几何参数及破坏应变实验值 Table1 The geometry parameters and experimental values of fracture strain for smooth and notched specimens
* avg
( eq , ) ，其最终的表达式为：
（16）
*avg
2
f

1
f
0 0
( eq , ) d eq d
由于实验过程中无法得到应力三轴度与等效应变及无量纲量 之间的函数关系， 所以需 要借助于数值模拟， 得到应力三轴度关于这两个变量的数学关系， 进而完成平均应力三轴度
4
应力三轴度的空间分布效应
目前， 关于缺口试件的应力三轴度确定方法均是以最小横截面中心为研究对象的， 而实 际上，利用 Bridgman 计算公式及数值分析可以发现，不论是初始时刻、断裂时还是考虑了 应变路径的平均应力三轴度， 其在整个最小横截面上都是存在一定分布规律的， 如图 5 所示。 为了建立材料的失效破坏函数关系， 其应力三轴度以及断裂应变值需要通过缺口试件的 拉伸实验来确定，然而这种缺口试件拉伸试验获得的断裂应变并不是材料真实的失效应变 值，这两种应变值甚至可能相差很大[6]。在这些缺口试件的研究中，失效的普遍意义是指试 件中某一点的损伤达到临界值， 然而此时试件并未发生断裂， 仅仅是在试件中出现了起裂点， 从起裂点出现到试件真正断裂这一过程很难通过普通的实验进行观察研究， 所以试件的真实 失效应变通常是无法确定的， 而为了便于研究材料的失效函数， 断裂应变便直接作为了材料 的失效应变值。 对于大多数延性金属来说， 从实验的断口形貌可以观察到， 缺口试件的整个延性破坏过 程通常是发生在试件最小横截面上的， 所以要建立与断裂应变对应的失效破坏函数， 就应该 考虑整个最小横截面上的应力三轴度对其的影响。 考虑到最小横截面上的每一点对应力三轴度的贡献， 利用应力三轴度的分布效应， 可以 定义面积平均意义上的应力三轴度：
d ，所以断裂应变对应的真实应力三 0 （ eq 为等效塑性应变） d eq
3
现有应力三轴度确定方法
3.1 初始应力三轴度 根据 Bridgman 原理设计不同尺寸的缺口拉伸试件，由初始尺寸直接计算出对应的应力 三轴度值：
0 ln(1
1 3
a0 2 r 2 ) 2a0 R0
试件 最小截面半径 （ a mm） 缺口半径 R（mm） 初始应力三轴度 破坏应变 Smooth — ∞ 0.33 1.45 A 3 15 0.43 1.29 B 3 5 0.59 1.14 C 3 2 0.89 1.03
(a) Smooth
(b) R=15mm
(c) R=5mm
(d) R=2mm
图3 不同试件变形后的有限元模型 Fig.3 The Finite element models after deformation for smooth and notched specimens
缺口试件拉伸试验中的应力三轴度确定方法
贾 东，黄西成，莫 军
（中国工程物理研究院总体工程研究所，绵阳，621900） 摘 要：为了确定缺口试件在拉伸试验中的应力三轴度，建立应力三轴度相关的材料失效破坏函数关系， 基于缺口试件在整个拉伸过程中的应变路径和应力三轴度在最小横截面上的分布效应，结合数值模拟，对 现有的缺口试件应力三轴度确定方法进行了比较研究, 给出了缺口试件更为合理的应力三轴度确定方法。 关键词：缺口试件；应变路径；分布效应；应力三轴度 中图分类号：O346.1 文献标识码：A
avg
这里进行无量纲化，令
1 a2
2 rdr
0
a
（14）
avg
r ，则 r a ，其中 0 1 ，所以上式变为： a r a 1 1 a 2 2 rdr 2 ( ) d 0 0 a
（15）
结合应变路径的影响分析， 缺口试件在整个拉伸过程中， 既要考虑应力三轴度在最小横 截面上的空间分布效应， 还要考虑到整个时间过程中应变的累积路径， 所以最终的平均应力 三轴度应该是累积应变和空间的函数，即
2
缺口拉伸试件及其颈部近似解
复杂拉伸状态的应力三轴度实验主要采用缺口拉伸试件通过单向拉伸来进行， 这种方法
*国家 973 项目(2010CB832702)以及中国工程物理研究院基金(2009A0201008)资助。
可以避免实验加载方式的复杂性，通过试件几何尺寸上的改变实现不同应力三轴度的实验。 Bridgman 在假设最小横截面上等效应变恒定的基础上，给出了颈部应力方程的近似解：
对上述几种试件进行有限元模拟分析，得到不同缺口试件最小横截面中心的应力三轴 度（从初始加载直至试件破坏）随等效应变变化的曲线，如图4所示。