中考数学相似形专题复习导学案

2017年中考数学相似形专题复习导学案2017年中考数学专题练习21《相似形》【知识归纳】（一）1．成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 2．比例线段的基本性质若ab＝cd，则；当b＝c时，，那么b是a，d的比例中项． 3．线段的黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且ACAB＝BCAC＝5－12≈0.618，则C点叫做线段AB的． 4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角，对应边的比． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应，且夹角，那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于 . (2)相似三角形面积的比等于 . (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于 . 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于 . (2)相似多边形面积的比等于 . 5.位似图形（1）定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做，对应边的比叫做．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于点； (3)位似图形对应边； (4)位似图形对应角 . 【基础检测】1．（2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 2．（2016•达州）如图，在△ABC 中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2016•哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（） A． = B． C． D． 4．（2016•巴中）如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1 5．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 6．（2016•辽宁丹东•3分）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为． 7.（2016•广西桂林•3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于H，点O是AB中点，连接OH，则OH= ． 8.（2016•贵州安顺•4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥B C，BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为． 9. （2016•四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，�3）、B（3，�2）、C（2，�4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标． 10. （2016•四川眉山）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4 ，点P为线段BE延长线上一点，连接CP 以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F （1）求证：；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【达标检测】一．选择题 1.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（） A．0对B．1对 C． 2对 D．3对 2.如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△ED C：S△ABC=（） A． 1：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 1：4 3.（2016•湖北随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE 与S△CDE的比是（） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 4.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE= BC 5.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（） A. P1 B. P2 C. P3 D. P4 6.（2016•江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（） A．只有②B．只有③C．②③D．①②③ 7. （2016•辽宁丹东）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（） A．1个B．2 个C．3 个D．4个二、填空题 8.如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 9．（2016贵州毕节）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A．已知BC= ，AB=3，则BD= ． 10.（2016•湖北武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______． 11.（2016•黑龙江龙东）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE= AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是． 12．（2016•黑龙江齐齐哈尔•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为． 13.如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB 边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB= ，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．三、解答题 14.如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A1B1C1．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A1B1C1是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为． 15.如图所示，AD，BE 是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．16.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；17. （2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度． 18. （2016•重庆市A卷•12分）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2 ，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．【知识归纳答案】（一）1．成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 2．比例线段的基本性质若ab＝cd，则ad=bc；当b＝c时，b2=ad，那么b是a，d的比例中项． 3．线段的黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且ACAB＝BCAC＝5－12≈0.618，则C点叫做线段AB的黄金分割点． 4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等，对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形（1）定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点； (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 【基础检测答案】 1．（2016•德州）对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似【分析】根据平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质进行判断即可．【解答】解：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换”；旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换”；轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换”；位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换，故选：D．【点评】本题考查的是平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换，理解“等距变换”的定义、掌握平移、旋转变换、轴对称变换和位似变换的性质是解题的关键． 2．（2016•达州）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF= AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE�DF可得答案．【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵A B=10，D为AB中点，∴DF= AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = ，即，解得：DE=8，∴EF=DE�DF=3，故选：B．【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键． 3．（2016•哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（） A． = B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解；A、∵DE∥BC，∴ ，故正确； B、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴ ，故错误； C、∵DE∥BC，∴ ，故错误； D、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴ ，故错误；故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键． 4．（2016•巴中）如图，点D、E 分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△AD E的面积与四边形BCED 的面积的比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1 【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC 的面积=1：4，即可得出结果．【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE= BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积=（）2=1：4，∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键． 5．（2016•烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（） A．（3，2） B．（3，1）C．（2，2） D．（4，2）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴ = ，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴ = ，∴ = ，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键． 6．（2016•辽宁丹东•3分）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3 ，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3 ，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3 ，∴EF=CF+CE=3 =6 ，故答案为：6 ． 7.（2016•广西桂林•3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH= ．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH= ，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD= ，∴△CDH∽△BDC，∴ ，∴CH= ，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠C BD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD�DH�CH= ��= ，∴OH=EH× = ，故答案为：． 8.（2016•贵州安顺•4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD�EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴ ，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD�EF=2�2x，∴ ，解得：x= ，则EH= ．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 9. （2016•四川眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，�3）、B（3，�2）、C（2，�4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（�2，�2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键． 10. （2016•四川眉山）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4 ，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F （1）求证：；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC与BD的位置关系；（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出△PBD的面积．【解答】（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，∴△BCE∽△DCP，∴ = ；（2）解：AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，∴∠PCE=∠BCD，又∵ = ，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD=∠CEP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD，∴AC∥BD；（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，∵AC=4 ，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE=CE=4，∵△PCE∽△DCB，∴ = ，即 = ，∴BD= x，∵∠PBM=∠CBD�∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，∴PM= ，∴△PBD的面积S= BD•PM= × x× = x2+2x．【点评】此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出PM的长是解题关键．【达标检测答案】一．选择题 1.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（） A．0对 B．1对 C． 2对 D．3对【答案】D．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D． 2.如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（） A． 1：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 1：4 【答案】D．【解析】∵△ABC中，AD、BE是两条中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE= AB，∴△EDC∽△ABC，∴S△EDC：S△ABC=（）2= ．故选D． 3.（2016•湖北随州•3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴ = ，∵DE∥AC，∴ = = ，∴ = ，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（） A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE= BC 【答案】D．【解析】∵DE∥BC，∴ ，∠ADE=∠B，∵AB=AC，∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，∴∠ADE=∠C，而DE不一定等于 BC，故选D． 5.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（） A. P1 B. P2 C. P3 D. P4 【答案】C．【解析】∵∠BAC=∠PED=90°，，∴当 =时，△ABC∽△EPD时. ∵DE=4，∴EP=6.∴点P落在P3处．故选C． 6.（2016•江西•3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（） A．只有②B．只有③C．②③D．①②③ 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可．【解答】解：假设每个小正方形的边长为1，①：m=1+2+1=4，n=2+4=6，则m≠n；②在△ACN中，BM∥CN，∴ = ，∴BM= ，在△AGF中，DM∥NE∥FG，∴ = ， = ，得DM= ，NE= ，∴m=2+ =2.5，n= +1+ + =2.5，∴m=n；③由②得：BE= ，CF= ，∴m=2+2+ +1+ =6，n=4+2=6，∴m=n，则这三个多边形中满足m=n的是②和③；故选C． 7. （2016•辽宁丹东•3分）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2；④S△ABC=4S△AD F．其中正确的有（） A．1个B．2 个C．3 个D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD= AB，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE= AB，延长FD=FE，①正确；证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；证明△ABD～△BCE，得出 = ，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD= AE2；③正确；由F 是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD= AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE= AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴ = ，即BC•AD=AB•BE，∵ AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD= AE2；③正确；∵F 是AB的中点，BD=CD，∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．二、填空题 8.如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为【答案】18. 【解析】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵ ，∴ ，，∴S△ABC=18， 9．（2016贵州毕节5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A．已知BC= ，AB=3，则BD= ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明△DCB≌△CAB，得 = ，由此即可解决问题．【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，∴△DCB≌△CAB，∴ = ，∴ = ，∴BD= ．故答案为． 10.（2016•湖北武汉•3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．【考点】相似三角形，勾股定理【答案】2 【解析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝11.（2016•黑龙江龙东）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE= AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是或．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；②当当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．【解答】解：∵AE= AD，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE= AD，∴DE=2AE= AD= BC，∴DE：BC=2：3，∴EF：FC=2：3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE= AD，∴DE=4AE= AD= BC，∴DE：BC=4：3，∴EF：FC=4：3；综上所述：EF：FC的值是或；故答案为：或．12．（2016•黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为（�，）．【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或�k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（�2，1），∴点B1的坐标为（�2× ，1× ），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（�2× × ，1× × ），∴Bn （�2× ，1× ），∵矩形AnOCnBn的对角线交点（�2× × ，1× × ），即（�，），故答案为：（�，）． 13.如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB= ，∠CBO=45°，在直线BE 上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．【答案】（1，）或（，）．【解析】∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB= ，∠CBO=45°，∴AB=AC= ，OD=CD，在Rt△BAC中，BC= =2，∴OB=2，∴OA=OB�AB= ，在Rt△OAC中，OC= = ，在Rt△OAD中，，，解得AD= ，∴OD=CD= ，在Rt△BAD中，BD= = ，①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，，即，解得BM= ，∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，∴MF∥DA，∴△BMF∽△BDA，∴ ，即，解得BF=1，MF= ，∴OF=OB�BF=1，∴点M的坐标是（1，）；②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，，即，解得BM= ，∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，∴MF∥DA，∴△BMF∽△BDA，∴ ，即，解得BF= ，MF= ，∴OF=BF�OB= ，∴点M的坐标是（，）．综上所述，点M的坐标是（1，）或（，）．故答案为：（1，）或（，）．三、解答题 14.如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A1B1C1．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A1B1C1是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）△A1B1C1是由△A2B2C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到；（4）（�2x�2，2y+2）．【解析】（1））△ABC与△A1B1C1的位似比等于= = ；（2）如图所示：（3）△A1B1C1是由△A2B2C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到；（4）点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为（�2x�2，2y+2）． 15.如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：．【答案】证明见解析. 【解析】∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴ ． 16.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；【答案】(1)证明见解析；（2）．【解析】（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴ ，即，整理得：x2+x�1=0，解得：x1= ，x2= （负值，舍去），则x= ； 17. （2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB 的长．【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则= ， = ，即 = ， = ，解得：AB=99，答：“望月阁”的高AB的长度为99m． 18. （2016•重庆市A卷•12分）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2 ，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H，分别在RT△ABH，RT△AHC 中求出BH、HC即可．（2）如图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，作DK⊥AB于K，设BK=DK=a，则AK= a，AD=2a，。