Ch1 线性规划(本科生版)
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运筹学Ch1线性规划全
x2
2 x4 3x5
x7 2x8 4x9 5x10 1000
x j 0, j 1,2，10
方案 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 需求量
规格
求下料y方1(根案) 时2应注2意，1 余料1 不能1 超0过最0短毛0 坯的0 长0度；10最00 好将毛 坯的长，度最按后y2 降切的割1次最序短0排的列，2 ，不即能1 先遗切漏0 割了长方4 度案3最。长2如的果毛1方坯案0，较再多10切0，0 割用次计长 算机编程y3 排方0案，1去掉0 余料2 较长3 的0方案1，进2 行初4 选5。 1000
运筹学
Operations Research
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
1.1 LP的数学模型 1.2 图解法 1.3 标准型 1.4 基本概念 1.5 单纯形法
Mathematical Model of LP
Graphical Method
Standard form of LP
2024年10月18日星期五
解: 设xj（j=1,2，…，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模
型
min Z 340x1 260x2 180x3 230x4 190x5
0.25x1 0.4x2 0.2x4 0.08x5 0.28 0.1x1 0.15x3 0.2x4 0.05x5 0.15
金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务 或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
2024年10月18日星期五
ch01-3 线性规划PPT精品文档26页
证：首先，必要性由基可行解的定义可知.再证充分性:
设X x1,x2,L ,xnT 为LP问题的可行解,若P1,P2,L ,Pk
线性独立,则必有k m;当k m时,它们恰好构成一个基,
从而使X x1,x2,L ,xk,0,L ,0T 为相应的基可行解.
当k m时,则一定可取出m-k个与P1,P2,L ,P构成最大的 线性独立向量组,其对应的解恰为X.根据定义,X为基可行解.
的一个顶点.
凸集
凸集
不是凸集
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 4
LP的基本定理
LP问题的三大定理: ●定理1：若LP问题存在可行域,则其可行域是
凸集 ●定理2：LP问题的基可行解对应于可行域的顶
点 ●定理3：若LP问题可行域有界，LP问题的目
标函数一定可在其可行域的顶点上达到最优.
为什么?如何证明?
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 5
LP的基本定理
●定理1：
若
L P问
题
存
在
可
行
域
，
则
其
可
行
域
D
X
n
Pj x
j
b,
x
j
0
是
凸
集
.
j 1
n! m!(n
m)!
.以n=60,m=
30为例, 若计算机能够每秒处理106个,那么需要3000年才能求得最优解.
中国农业大学经济管理学院
设X x1,x2,L ,xnT 为LP问题的可行解,若P1,P2,L ,Pk
线性独立,则必有k m;当k m时,它们恰好构成一个基,
从而使X x1,x2,L ,xk,0,L ,0T 为相应的基可行解.
当k m时,则一定可取出m-k个与P1,P2,L ,P构成最大的 线性独立向量组,其对应的解恰为X.根据定义,X为基可行解.
的一个顶点.
凸集
凸集
不是凸集
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 4
LP的基本定理
LP问题的三大定理: ●定理1：若LP问题存在可行域,则其可行域是
凸集 ●定理2：LP问题的基可行解对应于可行域的顶
点 ●定理3：若LP问题可行域有界，LP问题的目
标函数一定可在其可行域的顶点上达到最优.
为什么?如何证明?
中国农业大学经济管理学院
College of Economics & Management, CAU 5
LP的基本定理
●定理1：
若
L P问
题
存
在
可
行
域
，
则
其
可
行
域
D
X
n
Pj x
j
b,
x
j
0
是
凸
集
.
j 1
n! m!(n
m)!
.以n=60,m=
30为例, 若计算机能够每秒处理106个,那么需要3000年才能求得最优解.
中国农业大学经济管理学院
ch1第一节LP模型-2016
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
引言
运筹学的重要分支之一，应用最广泛的方法 之一 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整 数规划，目标规划和多目标规划都是以线性 规划为基础的 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
一、问题提出及一般模型
例1.1 某厂生产两种产品， 解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 下表给出了单位产品所需资 分别为 x1、x2 源及单位产品利润
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
一、问题提出及一般模型
例1.3 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
xj 0
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
引言
运筹学的重要分支之一，应用最广泛的方法 之一 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整 数规划，目标规划和多目标规划都是以线性 规划为基础的 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
一、问题提出及一般模型
例1.1 某厂生产两种产品， 解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 下表给出了单位产品所需资 分别为 x1、x2 源及单位产品利润
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
一、问题提出及一般模型
例1.3 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
xj 0
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
ch1线性规划-2-单纯形法130916
取初始可行基 B0 = (P3, P4, P5 )=I 这时问题已是关于基B0的典式，直接作初始单纯形表 序 号 C
CB XB x3 x4 x5 b
10
x1
18
x2
0
x3
0
x4
0
x5
0
170 100 150 0
5 2 1 10
2 3 5* 18
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Ⅰ
0 0 Z
序 号
C
CB XB b
3 x1
2 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0
x3
x4 x5
4
14 3
-1
3 1* 3 0
2
2 -1 2 1
1
0 0 0 1
0
1 0 0 0
0
0 1 0 1
Ⅰ
0 0 Z 0 0 3 Z
0
x3 7
Ⅱ
x4
x1
5
3
0
1 0
5*
-1 5
0
0 0
1
0 0
-3
1 -3
-9
序 号
C
CB XB x3 x2 x1 b 6 1 4 -14 x5 15/4
序 号
C
CB XB b
10
x1
18
x2
0
x3
0
x4
0
x5
Ⅱ
0 0 18
Z 0 10 18 Z
x3
x4 x2 x3
110 10 30 -540
540/7
23/5 7/5* 1/5 32/5
0 1 0 0 0 0
简单线性规划最终版课件
【解题回顾】要能从实际问题中, 建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
32
解: 设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元
依题意线性约束条件为： x y 10 目标函数为：Z x 0.5 y
3 x y 18
x
0
y 0
作出可行域
可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.
19
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
20
y
4 3
4
0
8x
21
y
4 3
o
22
M
4
8
y
4 3
0
M（4, 2）
由
x y 3x
10 y 18
x y
4 6
A4,6
Zmax 4 6 0.5 7（万元） 答:
33
练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售 收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需 要在A.B两种设备上加工，在每台A.B上加工1件 甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时 分别为2h,1h.A.B两种设备每月有效使用台时数 分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最 大解？: 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每
规格类型 钢板类型
第一种钢板
A规格
2
B规格
ch1-线性规划及其单纯形法习题
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 s.t. 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0( j 1,...., 4) j
4、已知线性规划问题 :
max Z x1 3x2 x1 x 2 x 1 2 st. x2 x1 ... x3 x4 x5 x5 0 5 10 4
X3 X1
2 a
Cj-Zj
(1)a~g的值
X1 c d b
X2 0 e -1
X3 1 0 f
x4 1/5 1 g
(2) 表中给出的解是否为最优解
5、已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯刑法迭代 后得到的表如下所示，试求括弧中未知数a~l的值
项目
X4 X5 6 1
X1
(b) -1 (a)
X2
(c) 3 -1
1
2 3 4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行 解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号 A X1 2 X2 4 X3 3 X4 0 X5 0
B
C D E F
10
3 1 0 0
0
0 4.5 2 4
-5
2 4 5 5
0
7 0 6 2
4
4 -0.5 2 0
5 已知某线性规划问题的约束条件为
(C C)( X X ) 0
0
课后练习（一）
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一 最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
max Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 s.t. 3 x1 4 x 2 12 x1, x 2 0
北邮运筹学ch1-7 线性规划计算公式
BX B b NX N X B B (b NX n ) B 1b B 1 NX N 令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设， 则得到基本可行解 X=(B－1b，0)T 将目标函数写成 X B Z (C B , C N ) CB X B C N X N X N
XB XB I CB XN B-1N CN b B-1b 0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
2013-8-11 Page 6 of 13
再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到
XB XN b
XB
λ N
I
0 λΝ
B－1N
CN－CBB－1N XB
(4 , 5 ) (c4 , c5 ) C B B 1 ( P4 P5 ) 1 7 1 0 (0,0) ( , ) 9 3 0 1 1 7 ( , ) 9 3 因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最优基.
故λ1=0,λ2=0,而 得
98 3 剩下来求λ4,λ5，由λN计算公式 0, 9
已知可行基
2 3 B1 1 1 3
求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3; (4)B1是否是最优基,为什么;
(5)当可行基为 B ＝1
2
3 0 1
时求λ1及λ3.
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
X X B X N
X B ( B，N ) BX B NX N b X N
§1.7 计算公式 Calculate Formula
XB XB I CB XN B-1N CN b B-1b 0
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
2013-8-11 Page 6 of 13
再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到
XB XN b
XB
λ N
I
0 λΝ
B－1N
CN－CBB－1N XB
(4 , 5 ) (c4 , c5 ) C B B 1 ( P4 P5 ) 1 7 1 0 (0,0) ( , ) 9 3 0 1 1 7 ( , ) 9 3 因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最优基.
故λ1=0,λ2=0,而 得
98 3 剩下来求λ4,λ5，由λN计算公式 0, 9
已知可行基
2 3 B1 1 1 3
求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3; (4)B1是否是最优基,为什么;
(5)当可行基为 B ＝1
2
3 0 1
时求λ1及λ3.
§1.7 计算公式 Calculate Formula
Ch1 Linear Programming
X X B X N
X B ( B，N ) BX B NX N b X N
§1.7 计算公式 Calculate Formula
简单的线性规划问题 课件
【典型例题】 例 1 已知 1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求 2x－3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y5≤，3 所表示的平面 区域(如图)即为可行域．
设 z＝2x－3y，变形得 y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随 z 变化的一组平行直线． －13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标 函数 z＝2x－3y 取得最小值．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，
y)叫做可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
分别使目标函数 z＝ax＋by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解．
4．线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 _y＝ ___－__ab_x＋__b_z，在 y 轴上的截距是bz，当 z 变化时，方程表
如图所示，直线 MB 的斜率最大， 直线 MC 的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝12. ∴z 的最大值为 3，最小值为12. (2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形知，原点到点 A 的距离最大，原点到直线 BC 的距 离最小．
由图可见，当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最小． 解方程组xx－＋yy＝＝－5 1 得 A 的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大． 解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]． 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确 地理解 z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．
线性规划 第一讲 一般线性规划问题的数学模型(2)
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例3：将下列线性规划标准化
目标函数
约束条件
max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 上页 下页
s.t.
返回
例 4：将如下线性规划标准化
x6
min z x1 2 x2 3 x3
Max
x1 x1
x2 x3 7 x 7 x2 x3 2
3 x1 x2 2 x3 7 x1 , x2 0, x3无约束
x3 x4 x5
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综合起来得到下列标准型
max Z x1 x2 3x3 3x3
2 x1 x2 x3 x3 x 4 8 x x x x x 3 1 2 3 3 5 s.t. 3x1 x2 2( x3 x3 ) x6 5 x1、x2、x3、x3、x4、x5、x6 0
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
上页 下页 返回
(例 1) 试将 LP 问题
min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 ≤7 x1-x2+x3 ≥2 -3x1+x2+2x3 = -5 x1,x2 ≥0 化为标准形式。
线性规划知识点大一
线性规划知识点大一线性规划知识点解析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种求解线性约束条件下最优解的优化问题方法。
它在数学、经济学、运筹学等领域得到广泛应用。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及一些应用实例。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念主要包括目标函数、约束条件、可行域等。
1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来求得最优解。
目标函数通常是线性函数，可以是最大化利润、最小化成本等。
2. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值范围的一组线性等式或不等式。
约束条件可以限制资源的供应与需求、生产能力等，必须满足约束条件的要求。
3. 可行域：可行域是所有满足约束条件的解所构成的区域。
可行域是线性规划问题的解空间，最优解必然位于可行域内。
二、线性规划的模型建立线性规划问题的建模主要包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件。
1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，通常用x1，x2，...，xn表示。
决策变量的取值决定了问题的结果。
2. 目标函数：根据问题的目标，建立线性规划的目标函数。
目标函数可以是最大化利润、最小化成本等。
通常用C1x1+C2x2+...+Cnxn表示。
3. 约束条件：根据问题的约束条件，建立线性规划的约束条件。
约束条件可以是线性等式或不等式。
通常用A11x1+A12x2+...+A1nxn≤B1，A21x1+A22x2+...+A2nxn≤B2，...的形式表示。
三、线性规划的求解方法线性规划的求解方法主要有图形法和单纯形法。
1. 图形法：当问题的决策变量为二维或三维时，可以利用图形法求解线性规划问题。
图形法通过绘制可行域和等高线图的交点来确定最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，不断找到目标函数值更小（或更大）的解，直到找到最优解为止。
四、线性规划的应用实例线性规划在实际应用中有广泛的用途，以下以生产计划为例进行简单说明。
ch1算法设计与分析入门
算法设计与分析—入门篇第一讲算法概述请各位评审老师提出宝贵建议！谢谢！ 本讲内容1.1 什么是算法？ 1.2 计算机科学中算法的位置 1.3 算法分析引论1.4 算法设计引论请各位评审老师提出宝贵建议！谢谢！ ●在数学和计算机科学之中，算法/算则法（Algorithm ）为一个计算的具体步骤，常用于计算、数据处理和自动推理。
(Wikipedia) ●算法的例子●刘徽割圆术●四则运算 ●最小生成树●快速排序什么是算法？请各位评审老师提出宝贵建议！谢谢！ –可由一个给定计算模型机械地执行的规则或计算步骤序列称为该计算模型的一个计算 –注意•一个计算机程序是一个计算（计算模型是计算机） •计算可能永远不停止——不是算法。
请各位评审老师提出宝贵建议！谢谢！ 算法是一个满足下列条件的计算： •有穷性/终止性：有限步内必须停止，•确定性：每一步都是严格定义和确定的动作， •能行性：每一个动作都能够被精确地机械执行， •输入：有一个满足给定约束条件的输入， •输出：满足给定约束条件的结果。
请各位评审老师提出宝贵建议！谢谢！ 关于算法 •“算法”的来源•中文名称：周髀算经•英文名称 –“Algorithm”来自于9世纪波斯数学家花拉子米（al-Khwarizmi ）–“算法”原为“algorism”，即“al-Khwarizmi”的音转，意思是“花拉子米”的运算法则–在18世纪演变为“algorithm”•最早的算法–欧几里德的“求最大公因子算法”请各位评审老师提出宝贵建议！谢谢！ •算法的目的是求解问题。
什么是问题？ •问题–设Input 和Output 是两个集合。
一个问题是一个关系R ⊆Input ⨯Output ，Input 称为问题R 的输入集合，Input 的每个元素称为R 的一个输入，Output 称为问题R 的输出或结果集合，Output 的每个元素称为R 的一个结果。
–注意•问题定义了输入和输出的关系。
Chap.1-线性规划
变换，最终变为 B1 ； (2) 检查原问题是否仍为可行解，即 b ≥ 0 ； (3) 检查对偶问题是否仍为可行解，即 σ j ≥ 0 ； (4) 原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 最优解不变 用单纯形法迭代 用对偶单纯形法迭代 引进人工变量，编制新的单纯形表重新迭代
-15/2 -1/2 3/2 [-3/2] -1/2
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
σj
0 2 1 0
x3 x1 x2 x6
作初等行变换，将基变量 x1, x2 , x3, x6 的列向量变为单位向量，
15/2 7/2 3/2 -3/2
0 1 0 0 0
σj
对偶单纯形法：
cj →
2
b
1
x2
0
x3
cj →
2
b
1
x2
0
x3
0
x4
0
x5
CB
XB x3 x1 x2
x1
0 2 1
15/2 7/2 3/2
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
5/4 1/4 -1/4 -1/4
-15/2 -1/2 3/2 -1/2
σj
增添一个约束条件 3x1 + 2x2 ≤ 12 ，试分析最优解的变化. 分析：在实际问题中，增加一个约束条件相当于增加了一种资 源。最优解 X = (7/ 2,3/ 2,15/ 2,0,0)′ 不满足约束条件 3x1 + 2x2 ≤ 12, 将 约束条件写成 3x1 + 2x2 + x6 = 12, 取 x6 为基变量，反映在最终表中，
x1
第一 线性规划文稿演示
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2
x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
第一 线性规划文稿演示
第一节 线性规划一般模型
一、线性规划问题的三个要素
•
▪ 决策问题待定的量值称为决策变量。 ▪ 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
▪ 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示 为一组等式或不等式，称之为约束条件。
▪ LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。
• 目标函数
21
1
1
0
0
0
0
100
B52cm
02
1
0
3
2
1
0
150
C35cm
10
1
3
0
2
3
5
100
余料
5
6
23
5
24
6
23
5
决策变量j——第j种下料方式的次数，J=1.2,…，8。
约束条件：
A： 21234100
B： 2x2x33xs2x6x7 150 C： x 1 x 3 3 x 4 2 x 6 3 x 7 5 x 8 100
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
大学线性规划
max124x165x第一章线性规划及单纯形法表41第一章线性规划及单纯形法表4235第一章线性规划及单纯形法表4315第一章线性规划及单纯形法五单纯形法的进一步讨论51人工变量法52两阶段法53关于解的判别1无穷多最优解2无界解3无可行解54单纯形法计算的向量矩阵描述55单纯形法小结第一章线性规划及单纯形法51人工变量法用单纯形法求解lp问题
1 X3 2 -1
0 X4 1 0
0 X5 1 -1
-M X6 -1 1
-M X7 0 0
CB XB
-M X7
6
6
6M-3
0
0
4
4M+1
0
0
3
3M
-3
-4M
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-3
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 3 X1 0 0
0 X2 0 1
1 X3 0 1/3
1 0
…0 … …0 …
… amj … amk … amn
σj σk σn
第一章 线性规划及单纯形法
3-3、单纯形法的基本思路 : 先找到一个初始基可行解，如果不是最优 解，设法转换到另外一个基可行解，并使目标 函数值不断增大，一直到找到最优解为止。 * 确定初始基可行解 *从初始基本可行解转换为另一基本可行解 *最优性检验和解的判别
第一章 线性规划及单纯形法
表4-3
C
j
2
3
0
0
0
CB
2 0 3
XB
X1 X4 X2 Cj - z j
b
3 4 3
X1
1 0 0 0
X2
1 X3 2 -1
0 X4 1 0
0 X5 1 -1
-M X6 -1 1
-M X7 0 0
CB XB
-M X7
6
6
6M-3
0
0
4
4M+1
0
0
3
3M
-3
-4M
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-3
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 3 X1 0 0
0 X2 0 1
1 X3 0 1/3
1 0
…0 … …0 …
… amj … amk … amn
σj σk σn
第一章 线性规划及单纯形法
3-3、单纯形法的基本思路 : 先找到一个初始基可行解，如果不是最优 解，设法转换到另外一个基可行解，并使目标 函数值不断增大，一直到找到最优解为止。 * 确定初始基可行解 *从初始基本可行解转换为另一基本可行解 *最优性检验和解的判别
第一章 线性规划及单纯形法
表4-3
C
j
2
3
0
0
0
CB
2 0 3
XB
X1 X4 X2 Cj - z j
b
3 4 3
X1
1 0 0 0
X2
本科用线性规划
设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为x 1,x 2,x 3 m2, z 为总面积，则本问题的数学模型为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤≤++≤++≤++++=0,,40000035.0003.00045.0147000210.0150000180.0190.0110.020000025.0030.0012.0110000120.0135.0105.0.3213211321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x Maxz 注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
Tx x X ),(21=)12,7(=C Tb )300,200,360(=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1035449A 回顾例1.1的模型，其中表示决策变量的向量；表示产品的价格向量；表示资源限制向量；问题：为什么A 称为技术系数矩阵？表示产品对资源的单耗系数矩阵。
凸集不是凸集所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属此集。
凸集问题：本性质有何重要意义？单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B. Dantzig）提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场”占有率。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++=0,3001032005436049..1272121212121x x x x x x x x t s x x Maxz ⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++=++0,,,,300 10320054360 49..54321521421321x x x x x x x x x x x x x x t s 练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型则约束化为易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I 。
⎩⎨⎧≥≤0..X b AX t s ⎩⎨⎧≥=+0,..s s X X b IX AX t s ⎩⎨⎧≥≥0..X b AX t s ⎩⎨⎧≥=−0,..s s X X b IX AX t s 问题：松弛变量在目标中的系数为何？一般地，记松弛变量的向量为X s ，则（3）自由变量x j进行变量替换：x j = x j '-x j ' ' ，其中x j '、x j ' ' ≥0——0。
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请建立相应的线性规划模型
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 10
作业2： 作业 ：运输问题
运价（ 台 运价（元/台） A1 A2 需求量（ 需求量（台） B1 15 20 100 B2 21 25 80 B3 18 16 90≤B3≤120 供应量 200 150
说明： 说明： ●线性规划模型由三部分构成：目标函数、约束条件和变 线性规划模型由三部分构成： 线性规划模型由三部分构成 目标函数、 量符号。 量符号。 ●任何实际问题严格来讲是非线性的。在实际建模时应 任何实际问题严格来讲是非线性的。 任何实际问题严格来讲是非线性的 明确什么样的特性使我们可以做出线性性质的假定 性质的假定。 明确什么样的特性使我们可以做出线性性质的假定。
Z＝617（人） ＝ （
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
为充分利用现有资源，该厂应如何制定生产计划，使获利最大？ 为充分利用现有资源，该厂应如何制定生产计划，使获利最大？
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 9
设X1表示I型饼干日产量，X2表示II型饼干日产量（单位为吨），z X1表示I型饼干日产量，X2表示II型饼干日产量（单位为吨），z 表示I型和II型饼干所创造的日总利润 表示I型和II型饼干所创造的日总利润
1.1 数学模型
Mathematical Model
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 3
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重要 线性规划 是运筹学的重要 分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟， 分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助 计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。 计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。
第二章 线性规划
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 14
天后连续休息2天 【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作 天后连续休息 天， 】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息 轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示 所示。 轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表 所示。
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 4
1.1.1 应用模型举例 【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、 】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、 丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、 上加工 上加工， 乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备 、B上加工，需 要消耗材料C、 ，按工艺资料规定， 要消耗材料 、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加 工及所需要的资源如表1.1所示 所示。 工及所需要的资源如表 所示。已知在计划期内设备的加工能 力各为200台时，可供材料分别为 台时， 公斤； 力各为 台时 可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、 、 公斤 每生产一件甲、 丙三种产品，企业可获得利润分别为40、 、 元 乙 、 丙三种产品 ，企业可获得利润分别为 、 30、50元，假定 市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划， 市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划， 使企业在 计划期内总的利润收入最大？ 计划期内总的利润收入最大？
应如何调运电机，即满足用户需要，又使总的运费最少？ 应如何调运电机，即满足用户需要，又使总的运费最少？ 请建立相应的线性规划模型
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 11
1.1.2 线性规划的一般模型 一般地，假设线性规划数学模型中， 个约束， 一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量 个约束 个决策变量 xj, j=1,2…,n，目标函数的变量系数用 j表示 cj称为价值系数。约 价值系数。 ，目标函数的变量系数用c 表示, 称为价值系数 工艺系数。 束条件的变量系数用a 表示， 称为工艺系数 束条件的变量系数用 ij表示 ， aij称为工艺系数。 约束条件右端的 常数用b 表示， 称为资源限量 资源限量。 常数用 i表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达 式可写成
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 5
表1.1 产品资源消耗
产品 甲 资源 设备A 设备 设备B 设备 材料C 材料 材料D 材料 利润（ 件 利润（元/件） 3 2 4 2 40 1 2 5 3 30 2 4 1 5 50 200 200 360 300 乙 丙 现有资源
线性规划通常研究资源的最优利用、 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问 例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾， 题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安 排，用最少的资源 （如资金、设备、原材料、人工、时间 如资金、设备、原材料、人工、 去完成确定的任务或目标； 等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限 制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（ 制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量 利润最大）。 最多 、利润最大）。
最优解X=(50,30,10);Z=3400 最优解
产品 甲 资源 设备A 设备 设备B 设备 材料C 材料 材料D 材料 利润（ 利润（元/ 件） 3 2 4 2 40 1 2 5 3 30 2 4 1 5 50 200 200 360 300 乙 丙 现有资 源
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
为了书写方便，上式也可写成： 为了书写方便，上式也可写成：
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
n
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
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max(min)Z = ∑cj xj
j=1
n i =1 L, n ,2, ∑aij xj ≤ (或=, ≥)bi j=1 xj ≥ 0, j =1 L, n ,2,
在实际中一般x 但有时 但有时x 或 无符号限制。 在实际中一般 j≥0,但有时 j≤0或xj无符号限制。
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 13
线性规划一般模型的结构 max(min) z = C T X 目标函数 ：max，min ， s.t. AX ≥ ( =, ≤) b 约束条件： 约束条件：≥, =, ≤ X ≥ ( ≤ )0, unr 变量符号： 变量符号：≥0, unr, ≤0
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
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作业1:饼干生产问题 作业 饼干生产问题
产品 小时/吨 单位时耗 小时 吨 资源
I 型饼干 3 2 2 5
II型饼干 每天现有工时 型饼干 5 1 2 4 15 5 11
搅拌机 成机 烘箱
利润（百元/吨） 利润（百元 吨
星 期 一 二 三 四
需要 人数 300 300 350 400
星 期 五 六 日
需要 人数 480 600 550
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 16
最优解： 最优解：
1 X1 2 X2 3 X3 4 X4 5 X5 6 X6 7 X7 0 C1 67 C2 146 C3 170 C4 97 C5 120 C6 17 C7 404 >= 301 >= 350 >= 400 >= 480 >= 600 >= 550 >= 300 300 350 400 480 600 550 104 1 0 0 0 0 0
运筹学
Operations Research
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
1.1 LP的数学模型 Mathematical Model of LP 的数学模型 Graphical Method 1.2 图解法 1.3 标准型 Standard form of LP 1.4 基本概念 Basic Concepts 1.5 单纯形法 Simplex Method
表1.2 营业员需要量统计表
星期 一 二 三 四
需要人数 300 300 350 400
星期 五 六 日
需要人数 480 600 550
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数， 商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。 最少。
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 6
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x +30x2 +50x3 ax 1
3x1 + x2 + 2x3 ≤ 200 2x + 2x + 4x ≤ 200 2 3 1 4x1 +5x2 + x3 ≤ 360 2x +3x +5x ≤ 300 2 3 1 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 ， ，