2018年秋九年级数学上册第四章相似三角形4.4两个三角形相似的判定②课件(新版)浙教版

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九年级数学上册第四章相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定②课件 (新版)浙教版

知
,∠ABD＝40°.求∠C的度数.
解：在△ABD与△ACB中，∠A=∠A，
•由 AB2 AD AC,
•得
AB AD AC AB
•∴△ABD∽△ACB
•∴∠C=∠ABD=40°.
＝25cm,BC边上的高线长为20cm.小慧给出一种裁纸方法:如图,将AB,AC分别五等分, 然后连结两边对应的点,并以这些连结线为一边作矩形.剪下矩形纸条(图中阴影部分)作为墙报镶边的材料.问:小慧的这种方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明理由.

C4

1 5

2 5

3 5

4 5

BC
2BC 2 25 50(cm) 48cm
谢谢大家
(两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似），
AD AO , 即 5 1，
BC BO
BC 2
BC 25 1（0 cm）
答：容器的内径BC为10cm.
1.已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB, AC上的点，
AD AE DB EC
.求证:△ADE∽△ABC.
•解：由已知可得
三角形相似还有下面的判定定理：
•两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
例2 图4 -19是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上A，D
解两端点的距离为5㎝，AO DO 1 .求容器的内径BC.
BO CO 2
} AOD BOC
AO DO
△AOD∽△BOC
BO CO
AD DB AE EC
AD
AE
••即又∵∠A=∠AAADB，
AC AE

2018年秋九年级数学上册第4章相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定第1课时判定三角形相似的预备定理和

第4章相似三角形4.4 两个三角形相似的判定第1课时相似三角形判定的预备定理和判定定理1知识点1 相似三角形判定的预备定理1．如图4－4－1，D，E分别是△ABC的两边AB，AC上的两点，且DE∥BC，则下列关系正确的是( )A．△BDC∽△BAC B．△ADE∽△ABCC．△ADE∽△CDE D．△ADC∽△CDE4－4－14－4－22．课本作业题第1题变式如图4－4－2，已知BC∥DE∥FG，则图中与△ABC相似的三角形是________．3．如图4－4－3所示，在△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是________．4－4－34－4－44．如图4－4－4，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AB＝3，若BO∶BD＝1∶3，则CD＝________．5．已知：如图4－4－5，DE∥BC，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠BAC＝45°，∠C ＝40°.(1)求∠AED 和∠ADE 的度数； (2)求DE 的长．图4－4－56．已知：如图4－4－6，AB ∥MN ，BC ∥NG . 求证：AB MN ＝BC NG.图4－4－6知识点2 有两角对应相等的两个三角形相似7．如图4－4－7，D 是△ABC 中AC 边上的一点．(1)若∠1＝________，则△CBD ∽△CAB ； (2)若∠2＝________，则△CBD ∽△CAB .4－4－74－4－88．如图4－4－8，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则BC 的长为________．图4－4－99．如图4－4－9，∠EAC ＝∠DAB ，则补充条件____________(填一组相等的角)，使△ABC ∽△ADE .10．如图4－4－10，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E . 求证：△ABD ∽△CBE .图4－4－1011．如图4－4－11，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AO ⊥DE 于点O ，则AODO等于( ) A.12B.13C.23D.2 534－4－114－4－1212．2017·恩施州如图4－4－12，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )A．6 B．8 C．10 D．1213．如图4－4－13，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为________．4－4－134－4－1414．如图4－4－14，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则1AM ＋1AN＝________．15．如图4－4－15，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求AE的长．图4－4－1516．创新学习尤秀同学遇到了这样一个问题：如图4－4－16①所示，已知AF ，BE 是△ABC 的中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c .求证：a 2＋b 2＝5c 2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连结EF ，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF ∽△BPA ，故PE PB ＝PF PA ＝EF BA ＝12，设PF ＝m ，PE ＝n ，用m ，n 把PA ，PB 分别表示出来，再在Rt △AEP ，Rt △BFP 中利用勾股定理计算，消去m ，n 即可得证．(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程； (2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点，连结BE ，CF 并延长交于点M ，BM ，CM 分别交AD 于点G ，H ，如图②所示，求MG 2＋MH 2的值．图4－4－16详解详析1．B2．△ADE ，△AFG 3.524．6 [解析]∵BO ∶BD ＝1∶3，∴BO OD ＝12.∵AB ∥CD ，∴△ABO ∽△CDO ，∴AB CD ＝BO OD ＝12. ∵AB ＝3，∴CD ＝6.5．解：(1)∵∠BAC ＝45°，∠C ＝40°， ∴∠B ＝180°－45°－40°＝95°. ∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠AED ＝∠C ＝40°，∠ADE ＝∠B ＝95°. (2)∵△ABC ∽△ADE ， ∴DE BC ＝AE AC，即DE 7＝55＋3，解得DE ＝358(cm)．6．证明：∵AB ∥MN ，∴△OAB ∽△OMN ， ∴AB MN ＝OB ON.同理，得BC NG ＝OBON，∴AB MN ＝BC NG.7．(1)∠A (2)∠CBA8．99．答案不唯一，如∠E ＝∠C10．证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. ∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠ADB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .11．A [解析] 在正方形ABCD 中，∠DAE ＝90°，AB ＝AD . ∵E 是AB 的中点， ∴AE ＝12AB ＝12AD .∵AO ⊥DE ，∴∠AOD ＝90°.∴∠DAE ＝∠AOD ＝90°，∠ADO ＝∠EDA ， ∴△AOD ∽△EAD ，∴AO DO ＝AE AD ＝12. 12．C [解析]∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B . ∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ， ∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ＝BF . ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB ＝AD AD ＋DB ＝58，∴BC ＝85DE ，∴CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，∴DE ＝10.故选C.13．6 [解析]∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ，∴AC ＝A ′C ＝4，AB ＝A ′B ′＝2，∠A ＝∠CA ′B ′. ∵CB ′∥AB ，∴∠B ′CA ′＝∠D ， ∴△CAD ∽△B ′A ′C ， ∴AC A ′B ′＝ADA ′C，即42＝AD 4，解得AD ＝8，∴BD ＝AD －AB ＝8－2＝6. 14．[解析] 由题意可得DC ∥AM ，BC ∥AN ， ∴△NDC ∽△NAM ，△MCB ∽△MNA . ∵△NDC ∽△NAM ，∴DC AM ＝CN MN，即1AM ＝CN MN. 又∵△MCB ∽△MNA ，∴BC AN ＝MC MN，即1AN ＝MC MN， ∴1AM ＋1AN ＝CN MN ＋MCMN＝1.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC . ∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C . 在△ADF 和△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD ＝∠C ，∠ADF ＝∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC .(2)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD，∴DE ＝AD ·CD AF ＝6 3×84 3＝12. 在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（6 3）2＝6. 16．解：(1)设PF ＝m ，PE ＝n ，连结EF ，如图， ∵AF ，BE 是△ABC 的中线， ∴EF 为△ABC 的中位线，AE ＝12b ，BF ＝12a ，∴EF ∥AB ，EF ＝12c ，∴△EPF ∽△BPA ， ∴PE PB ＝PF PA ＝EF BA ＝12，即n PB ＝m PA ＝12， ∴PB ＝2n ，PA ＝2m .在Rt △AEP 中，∵PE 2＋PA 2＝AE 2， ∴n 2＋4m 2＝14b 2①.在Rt △BFP 中，∵PF 2＋PB 2＝BF 2， ∴m 2＋4n 2＝14a 2②.①＋②得5(n 2＋m 2)＝14(a 2＋b 2)．在Rt △EFP 中，∵PE 2＋PF 2＝EF 2， ∴n 2＋m 2＝EF 2＝14c 2，∴5×14c 2＝14(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2＝5c 2.(2)连结EF .∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD ⊥AC ，AD ∥BC ，AD ＝BC . ∵E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点， ∴EF 为△OAD 的中位线， ∴EF ＝12AD ，EF ∥AD ，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC ，∴EF 为△MBC 的中位线．由(1)的结论得MB 2＋MC 2＝5BC 2＝5×32＝45. ∵AG ∥BC ， ∴△AEG ∽△CEB ，∴AG CB ＝AE CE ＝13， ∴AG ＝1. 同理可得DH ＝1， ∴GH ＝1.∵GH ∥BC ，∴△MGH ∽△MBC ，∴MGMB＝MHMC＝GHBC＝13，∴MB＝3MG，MC＝3MH，∴9MG2＋9MH2＝45，∴MG2＋MH2＝5.11。

4.4 探索三角形相似的条件课件(共22张PPT)北师大版数学九年级上册

A
B
C
D
E
2.有两条边对应成比例的两个三角形一定相似吗？
A
B
C
D
E
F
定理：两角相等的两个三角形相似。
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
探索新知
探索新知
知识点3 用两个条件可以判定两个三角形相似吗
3.有一条边对应成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似吗？
1.判断：（1）两个全等三角形一定相似（2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个直角三角形一定相似（4）两个等边三角形一定相似（5）顶角相等的两个等腰三角形一定相似（6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
×
√
√
√
√
√
巩固练习
2.如图所示的三个三角形中，相似的是( )A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
A
巩固练习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC.AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
巩固提高
1
2
3
A字型
8字型或X型
有关三角形相似的基本图形
课堂小结
有关三角形相似的基本图形
子母型
一线三等角型或D
例题讲解
变式2：如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若AD＝2，AB＝6，AC＝4，求AE的长.
例题讲解
例2：如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若BD＝6，AD＝2，则求AC的长.
例题讲解
变式1：D,E分别是△ABC的边所在直线AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.

2018年秋九年级数学上册第四章相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定讲义2 (新版)浙教版

∴AD2＝5＋1－4 2 5＝3－2 5，AC·CD＝1×3－2 5＝3－2 5.∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD＝BC，AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即BACC＝CBDC.
AB BD 又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.∴AC＝CB＝1，∠DBC＝∠A.
∴DB＝CB＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝ ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°.解得 x＝36°.∴∠ABD＝
解：设经过 x(s)，两三角形相似，则 CP＝AC－AP＝8－x，CQ＝2x，
CP CQ 8－x 2x ① 当 CP 与 CA 是对应边时，AC＝BC，即 8 ＝16，解得 x＝4；
CP CQ 8－x 2x
8
8
② 当 CP 与 BC 是对应边时，BC＝AC，即 16 ＝ 8 ，解得 x＝5.故经过 4 s 或5 s，△P
精彩练习九年级数学
章相似三角形
4.4两个三角形相似的判定（2） A 练就好基础 B 更上一层楼 C 开拓新思路
A
练就好基础
1 6
B A
B
15
2.
两个三角形相似的判定（2）
8．2017·铜仁中考如图所示，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝1 求证：△ABC∽△AED.
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为CB的延长线上的一点，E为BC的延长线的一点，且满足AB2＝DB·CE. 求证：△ADB∽△EAC.
两个三角形相似的判定（2）
12．福州中考如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝1，BC＝ 52－1，在 AC 边上截取 A
(1)通过计算，说明 AD2 与 AC·CD 的大小关系；

4.4 两个三角形相似的判定(第2课时)(课件)-九年级数学上册(浙教版)

F
F
讲授新课
【小组讨论】画△ABC和△DEF,使得∠B=∠E，
AB
DE
=
BC
EF
= ，尝试比较∠A,∠D的大
小， △ABC和△DEF相似吗？相似
D
A
B
F
C E
CBA = 31.90° AB = 7.76厘米
FED = 31.90° BC = 7.57厘米
AB
ED
= 0.90
BC
EF
= 0.90
∴AE：EF=CE：AE
∵∠AEF=∠CEA
∴△AEF∽△CEA
当堂检测
7、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE
交AF于点G，且AE2=EG•ED．求证：DE⊥EF．
【证明】
∵AF⊥BC，∴∠AFB=90°
∵点E是AB的中点
∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE
似吗？不一定相似
CBA = 31.90°
FED = 31.90°
DE
AC
= 0.90
DF
，这样的两个三角形相
C E
C E
AB
AC
DF
D
A
B
AB = 7.76厘米
AC = 4.22厘米
=
D
A
B
AB
DE
F'
DE = 8.60厘米
DF = 4.67厘米
DF' = 4.67厘米
= 0.90
AC
DF'
= 0.90
A
∵∠A=∠A’,∠B=∠B’
∴△ABC∽△A’B’C’
【注意】对应点写在对应的位置.

九年级数学上册 4.4 两个三角形相似的判定(第2课时)课件 (新版)浙教版

第二页，共12页。
A D
定理: E 平行于三角形一边(yībiān)的
直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.
B
C
如上图，在方格图中△ABC，
DE∥BC，问：
△ADE∽△ABC吗？说明
(shuōmíng)理由.
E
D
A
G
如右图，A、B、C、D、E、F、G都在
小方格(fānɡ ɡé)的的顶点上，问： FG
Ａ
第九页，共12页。
ＤＣ
Ｅ
延伸(yánshēn)练习
已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别(fēnbié)是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似(xiānɡ sì)的三角形吗？请一一写出。
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
第五页，共12页。
2、例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80° ∠F=60 °。求证(qiúzhèng)：ΔABC∽ΔDEF
A
D
60°
B
CE
F
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A －∠B =180°－40°－80° ＝60°
∵ 在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60°
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等(xiāngděng)，两三角形相
似）。
第六页，共12页。
3.课堂练习
（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个(liǎnɡ ɡè)三角形相似吗？为什么？

2018年秋九年级数学上册第4章相似三角形4.4两个三角形相似的判定第1课时判定三角形相似的预备定理

4.4 两个三角形相似的判定
【归纳总结】利用两角判定两个三角形相似时寻找等角的途径
(1)平行线中的同位角、内错角相等； (2)等角的余角(补角)相等； (3)公共角、对顶角相等； (4)从角的和、差、倍、分中寻找相等的角．
4.4 两个三角形相似的判定
勤反思
小结
判定三角形相
似的预备定理
三角形相似的
1．如图 4－4－1，P 是▱ABCD 的边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的三角形有( D )
图 4－4－1 A． 0 对 B．1 对 C． 2 对 D．3 对
4.4 两个三角形相似的判定
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
图4－4－3
4.4 两个三角形相似的判定
解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°. 又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB. 又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC. AE AD 3 (2)由(1)可知△ADE∽△ABC，∴ ＝＝ . AC AB 5 由(1)可知∠AFE＝∠AGC＝90°，又∵∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG， AF AE AF 3 ∴ ＝，∴ ＝ . AG AC AG 5
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．
4.4 两个三角形相似的判定
类型二利用判定定理1判定三角形相似

2018年秋九年级数学上册第四章相似三角形4.4两个三角形相似的判定②课件(新版)浙教版

九年级数学上册 第四章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定②课件 (新版)浙教版

2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定 第1课时 判定三角形相似的预备定理和

4.4 探索三角形相似的条件 课件(共22张PPT)北师大版数学九年级上册