2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-11-2
2017届名师一号一轮复习北师大版理科3-1
180° ， 225° ，„}，显然有 M⊆N。 k 解法二：由于 M 中，x＝ · 180° ＋45° ＝k· 90° ＋ 45° ＝ 45° · (2k＋1)，2k 2 k ＋1 是奇数；而 N 中，x＝ · 180° ＋45° ＝ k· 45° ＋ 45° ＝ (k＋1)· 45° ，k＋1 是 4 整数，因此必有 M⊆N。 答案 B
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第三章
第一节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
α (3)已知角 α 为第三象限角，试确定 2α、 的终边所在的象限。 2 3π 【解】 由 α 是第三象限角，得 π＋2kπ<α< ＋2kπ(k∈ Z)， 2
∴2π＋ 4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈ Z)。 ∴2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴。 π α 3π ∵ ＋kπ< < ＋kπ(k∈ Z)。 2 2 4 π α 3π 当 k＝2n(n∈ Z)时， ＋ 2nπ< < ＋2nπ， 2 2 4 当 k＝2n＋1(n∈ Z)时， 3π α 7π ＋2nπ< < ＋2nπ， 2 2 4
π π 5 解析 与 终边相同的角可以写成 ＋k·2π，k∈ Z。当 k＝－1 时，为－ 3 3 3 π。 答案 D
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第三章
第一节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
2．已知角 α 的终边过点 P(－1,2)，则 sin α＝( 5 A. 5 C．－ 5 5
2
)
2 5 B. 5 2 5 D．－ 5
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第三章
第一节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
k (2)设集合 M＝xx＝ · 180° ＋45° ，k∈Z ， 2 k N＝xx＝ · 180° ＋45° ，k∈Z ，那么( 4
《名师一号》高三数学总复习一轮精品课件1.1
第一模块集合与常用逻辑用语第1页共61页考纲要求1 •了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.3•理解集合之间的包含与相等关系，给定集合的子集、补集、交集、并集的含义及基本运算.4■理解命题的概念,了解命题的逆命题、否命题和逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5•理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.6■了解逻辑连结词“或”、"且”、"非”的含义，理解全称量词与存在量词的意义,能正确地写出对含有一个量词的命题的否定.命题走向纵观近几年各省、市的高考试题知:本模块是必考内容之一, 多以选择题、填空题出现■主要考查集合的简单运算，命题的充分条件、必要条件、充要条件■因为集合、充要条件可以与很多高中数学内容相结合，还可以出解答题.第_讲集合的概念及简单运算走进高考第一关考点关回归教材1 •集合的概念(1) 集合是数学中的一个不定义的原始概念，像平面几何中的点、线、面一样只可描述•一般地，某些指定的对象集在一起就构成一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个特性:确定性;互异性;无序性.(2) 根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集和空集.⑶符号“e”和 y 表示元素和集合之间的关系.(4)我们约定用N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集;C表示复数集.2 ■集合的表示方法集合有三种表示方法:列举法、特征性质描述法、韦恩图法, 它们各有优点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析.3•子集、真子集(1)对于两个集合A与B,如果A中的每一个元素都是B的元素,那么集合A叫做集合B的子集，记作A^B或B2A.⑵如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么, 集合A叫集合B的真子集，记作A B或B A.4.空集(1)空集0是指不含任何元素的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.⑵集合｛0｝不是空集;0曰0｝、0曰0｝、0 ｛0｝三种表示法都是对的.5•有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论:若有限集A中有n个元素, 则A的子集有2"个;非空子集有2^1个;真子集有2九1个.6•集合的运算⑴交集对于两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A和B的交集，记作API B.⑵并集一般地，对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作A U B.⑶全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个给定的集合为全集, 通常用U表示、⑷补集如果A是全集U的一个子集，由所有属于U,但不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CyA.7 ■集合中的常用运算性质(1) A C B,B C A,J!!)A=B;A C B5B C C,贝！|A U C;(2) 0 匚A,若AM0,则0 A;(3) AClA=A,An0=0;(4) A U A=A5A U B=B U A5A U 0=A;(5) AAC U A=0,AUC U A=U;(6) ACIB 匸AvAUB;⑺ C u(AnB)=(C u A)U(C u B);C u(AUB)=(C u A)n(C u B);(8)若A C B5则AnBuAUB,AClB二A，AUB=B.考点训练1 .（2009 •全国卷I）设集合A={4555759}5B={354575859}5全«U=AUB3则集合Cu(AClB)中的元素共有()A. 3个B.4个C.5个D.6个答案:A 解析:依题意得U=A UB={3,4,5,7,8,9},AAB={4,7,9}. .•.Cu（AnB）={3,5,8},故选A.2.(2009 •四川卷)设集合S={x||x|<5},T={x|x2+4x-21 <0},则sm=()A.{x|-7<x<-5}B.{x|3<x<5}C.{x 卜5vxv3}D.{x 卜7vxv5}答案:C解析:S=(-555)5T=(-753)5/.SnT=(-553).3.(2009 •江西卷)已知全集U=AUB中有m个元素,( CuA)U(CuB)中有n个元素•若APIB非空，则ACIB 的元素个数为()A.mn .m+n C.n-m D.m-n答案:D解析:••(CuA)U(CuB)=Cu(AnB),.•.Cu(AnB)有n个元素，故ACIB有个元素.5.(2009•盖甘#)cu wp i a -a H U o +m (p」)-m m 30JL b -b"」二+n s > )3m 3徊39 可**?>a p n Q U ()Ad(二二 Bi:?」)}cduo)}cup-二®竽a"」m.b"」+nh^pnQUCPb&a H b ^n H +=®« n H pmH」••••p n Q H 5解读高考第二关热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合，既可以表示为{a, 2 ,1},也可表示为{a25a+b50}5J!!ja2009+b2009= _______ ■°答案"解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐.这时A若能发现0这个特殊元素，和？中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法. "=-1.b由已知得—=0,及aMO,所以b=0,于是a2=*|,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性a=l应舍去，因而a=i,故a2009+b2009=(_1)2009点评：1 •利用集合中元素的特点，列出方程组求解,但仍然要检验，看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征. 2•此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验.=-1.变式1：已知X?曰1,0,X｝,求实数X的值.解:由集合中元素的确定性可知X2=1,0或X,由集合中元素的互异性可知x卅,0.若X2=OJI)X=O,此时集合为｛1,0,0｝,不符合集合中元素的互异性，舍去.若x2=1，则x= 土 1 .当X=1时,集合为｛1,0,1 ｝，不符合集合中元素的互异性，舍去；Sx=-1时,集合为｛1,0,-1｝，符合.若x2=x，则X=0或X=1，由上可知,X=0和X=1都不合题意，舍去.综上所述，x=・1.点评:即要用元素的确定性、互异性和无序性解题，又要利用它们检验解的正确性，特别是互异性，最易被忽视，在学习中必须加以重视.题型二元素与集合的关系例2已知集合A={x|ax2・3x+2=0}，若A中元素至多有一个，求a 的取值范围.2解:(l)a = OHt原方程为-3x + 2 = 0，x =「符合题意; ' 73 (2)a丰0时，方程ax2 -3x + 2 = 0为关于x的一元二次方程,当A = 9 - 8a 5 0时,即a n細关于x的方程Oax2-3x + 2 = 0无实数根或有两个相等的实数根，9都符合题意.综上所述,a的取值范围为a = 0或a >变式2:设A是数集，满足性质：若a G A,则宀1-a⑴若2 G A,求A;8(2)若a G A,求证:1- —e A.解：(1)由2 e A,则= -1 e A,---- --- = — u A，—-~— = 2 u A，1(1) 2 !_12故A = {2,_1,*}.(2)证明：由a G A知，'G A，1 —a・•・亘一=1- — e A,得证.题型三集合的基本运算例3 设全集为实数集R,M={x||x|<2},N={x|y=lg(1-x)<0},H!)(C R M)AN等于()A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|-2<x<1}答案:A解析:\M={x|-2<x<2},.•，C R M={X|X<-2或X>2},N={X|1-X>0}={X|XV1}. /.(C R M)AN={X|X<-2}.点评:进行不等式解集的运算,当遇有较复杂的集合运算时，可利用数轴来表示各不等式的解集，以便于能直观地分析出各集合之间的关系.2变式3: （2009薮徽卷）若集合A 如礬＜。
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-2
x1x2－ k 1 1 ＝ (x2－ x1)＋ k － ＝(x2－x1) 。 x1x2 x2 x1 因为 0<x1<x2，所以 x2－x1>0， x1x2>0。 故当 x1，x2∈( k，＋∞)时，f(x1)<f(x2)， 即函数在( k，＋∞)上单调递增。
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第二章
第二节
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解法二：(导数法) ax2－1－2ax2 －ax2＋1 f′(x)＝ ＝ 2 x2－12 x －12 当 a>0 时，f′(x)<0； 当 a<0 时，f′(x)>0。 ∴当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数； 当 a<0 时，f(x)在 (－1,1)上为增函数。
称_____ A 为单调区间。
在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是________ 上升 的；如 果函数是减少的，那么它的图像是 下降 的。 增加 (2)单调性：如果函数 y＝f(x)在定义域的某个子集上是 __________ 的或 是____________ 的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性。 减少 (3) 单 调 函 数 ： 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 整 个 定 义 域 内 是 _______ 增加 的 或 是 减少 的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。 _______
2
复合函数。 令 u＝x2－3x＋2>0，则 x<1 或 x>2。 ∴函数 y＝log1(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)。
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-11-1
②解方程f′(x)＝0；
③对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x0)在x0左、右两侧的符号(即 左正右负 f(x)的单调性)，确定极值点：若f′(x)在x0两侧的符号“________ ”，则x0 左负右正 ”，则 x0 为极小值 为极大值点；若 f′(x) 在 x0 两侧的符号“ __________ 点；若f′(x)在x0两侧的符号_______ ，则x0不是极值点。 相同 (2)求函数在闭区间[a，b]上的最值可分两步进行： 极值 ； ①求y＝f(x)在(a，b)内的________ ②将函数y＝f(x)的各极值与区间[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)比较， 最大的一个 为最大值，_______________ 最小的一个 为最小值。 其中______________
x f′(x) y＝f(x) f′(x) y＝f(x)
(a，x0) ＋ 增加 － 减少
x0 0 极大值 0 极小值
(x0，b) － 减少 ＋ 增加
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第二章
第十一节 第一课时
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北师大版数学(理)
3.函数极值与最值的求法
(1)求可导函数y＝f(x)极值的步骤： ①求出导数f′(x)；
2x－a＋1>0， x≥a， 则 f′(x)＝ 2x－a－1<0， x<a。
所以 f(x)在 (－∞，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增。
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第二章
第十一节 第一课时
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北师大版数学(理)
考点二 求函数的单调区间
求函数的单调区间是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也 有解答题，且多以解答题的形式出现，且主要有以下几个命题角度： 角度一：求不含参数的函数的单调区间 9 1．函数 f(x)＝x＋ 的单调递减区间为( x A．(－3,0) C．(－3,0)，(0,3) B．(0,3) D．(－3,0)∪(0,3) )
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高考大题规范练（二) 三角函数、解三角形1．（2015·湖北卷）某同学用“五点法”画函数f（x)＝A sin(ωx＋φ)ω〉0，｜φ|<错误!在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表:(1)（2)将y＝f（x)图像上所有点向左平行移动错误!个单位长度,得到y＝g（x）图像，求y ＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心。
解(1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－错误!。
数据补全如下表：错误!（2）由(1)知f(x）＝5sin错误!，因此g(x）＝5sin错误!＝5sin2x＋错误!.因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋错误!＝kπ，解得x＝错误!－错误!，k∈Z，即y＝g（x）图像的对称中心为错误!，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为错误!。
2．（2015·浙江卷)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan错误!＝2。
（1）求错误!的值；（2）若B＝错误!，a＝3，求△ABC的面积.解（1)由tan错误!＝2，得tan A＝错误!，所以sin 2Asin 2A＋cos2A＝2tan A2tan A＋1＝错误!.(2)由tan A＝错误!,A∈(0，π)，得sin A＝错误!,cos A＝错误!.又由a＝3，B＝错误!及正弦定理错误!＝错误!，得b＝3错误!。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第11章 计数原理 指点迷津(十二) 排列、组合问题的解题策略
0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,
此时共有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.
综合可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.
解题策略 解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质,对于每
一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,
每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略.
本 课 结 束
解:先把30 030分解成质因数的乘积形式30 030=2×3×5×7×11×13.
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,
所有的偶因数有C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 =25=32(个).
解题策略 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把
第十一章
指点迷津(十二) 排列、组合问题的解题策略
排列、组合一直是不少学生学习中的难点,通过我们平时做的练习,不难发
现排列、组合问题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字
庞大,难以验证,在高考中极易丢分.本文为学生提供了解决排列、组合问
题的基本策略,遵循这些策略能较大程度地提高解决问题的能力.
第二步,分到三个班的不同分法有A33 =6(种).
故不同的分配方案为 6×6=36(种).故选 D.
解题策略 排列组合的应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原
则.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均
【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 计时双基练1 集合 理 北师大版
计时双基练一集合A组基础必做1．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合，选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合，选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合，对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合。
答案 B2．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析因为A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B A。
答案 D3．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0,1}。
解lg x≤0，得0<x≤1，故N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，选A。
答案 A4．(2015·安徽卷)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁U B)＝( )A．{1,2,5,6} B．{1}C．{2} D．{1,2,3,4}解析由题意得∁U B＝{1,5,6}，则A∩(∁U B)＝{1}，因此选B。
答案 B5．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析由条件知，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝4时，3n＋2＝14，所以A∩B＝{8,14}，故选D。
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-8
如图所示，在同一平面直角坐标系中作出 y＝ sin 2x 与 y＝ x2 的图像，
当 x≥0 时，两图像有 2 个交点， 当 x<0 时，两图像无交点， 综上，两图像有 2 个交点，即函数的零点个数为 2。
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第二章
第八节
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5．用二分法求函数 y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)· f(4)<0， 2＋4 给定精度 ε＝0.01，取区间(2,4)的中点 x1＝ ＝3，计算得 f(2)· f(x1)<0，则 2
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பைடு நூலகம்
第二章
第八节
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北师大版数学(理)
(2)设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于( A．(0,1) C．(2,3) 解析 B．(1,2) D．(3,4)
)
设f(x)＝ln x＋x－4，∵f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，
∴x0∈(2,3)。
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第二章
第八节
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π (2)(2015· 湖北卷)函数 f(x)＝4cos cos －x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点 2 2
2x
2 个数为________ 。
1＋ cos x 【解析】 令 f(x)＝4· · sin x－2sin x－ |ln(x＋1)|＝ sin 2x－ |ln(x＋ 2 1)|＝ 0，即 sin 2x＝ |ln(x＋1)|，在同一坐标系作出 y＝ sin 2x 与 y＝ |ln(x＋1)| 的图像。
A．0,2 1 C．0，－ 2
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-11-3
北师大版数学(理)
第二章 函数、导数及其应用
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第二章 第十一节
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第三课时
导数与函数的综合问题
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
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第二章
第十一节
第三课时
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R
热点命题
深度剖析
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第二章
第十一节
第三课时
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(2) 用 min{m ， n} 表 示 m ， n 中 的 最 小 值 ， 设 函 数 h(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数。
解
当 x ∈ (1 ， ＋ ∞) 时 ， g(x) ＝－ ln x<0 ， 从 而 h(x) ＝ min{f(x) ，
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第二章
第十一节
第三课时
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所以 g(x)在 (－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增。 1 故 g(x)在 x＝－1 处取得极大值 g(－1)＝ ＋m，在 x＝0 处取得极小值 6 g(0)＝m。 因为函数 f(x)与函数 g(x)的图像有 3 个不同的交点，
2 2 ＋10x－6 f(x)＝ (x－3) x － 3
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6。 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)。
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第二章
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-7
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解析
将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水
面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来。 图①应该是匀速的，故下面的图像不正确；②中的变化率应该是越来越 慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律 是先慢后快再慢，也正确。故只有①是错误的。 答案 A
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第二章
第七节
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变式训练1 作出下列函数的图像：
(1)y＝|log2(x＋1)|； 解 将函数y＝log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x
轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图像，如图(1)所示。
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第二章
第七节
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(2)y＝a|x|(0<a<1)。
a ， x≥0， 解 ∵ y＝ －x 1x (0<a<1)， a ＝a ，x<0
x
1 ∴只需作出函数 y＝ax(0<a<1)中 x≥0 的图像和 y＝ x(0<a<章
第七节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
2. (2016·贵阳模拟)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶
部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止。用下面对应的图像表示该 容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )
A ．1
B．2
第29页
C．3
D．4
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第二章
第七节
名师一号高考总复习模块新课标
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-9
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第二章
第九节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
【解】 由题意，当 0≤x≤20 时， v(x)＝60； 当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b，
200a＋b＝0， 再由已知得 20a＋b＝60，
a＝－1， 3 解得 200 b＝ 3 。
故函数 v(x)的表达式为
随x的增大逐渐 随x的增大逐渐表现 表现为与______ x轴 为与______ 平行 y轴 平行
随n值变化而各 有不同
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
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第二章
第九节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
2.常见的几种函数模型
(1) 直线模型： y ＝ ______________________ 型，图像增长特点是直线 kx＋b(k≠0) 式上升(x的系数k>0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型
第九节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
(4)幂函数增长比直线增长更快。( × ) 解析 错误。对于幂函数y＝xα，在(0，＋∞)上，当α>1时，其增长速 度比直线增长快；当0<α<1时，比直线增长慢；当α<0时，为减函数。 (5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实 际问题中。( √ ) 解析 正确。
称为指数爆炸。
(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)型，图像增长特点是 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0)。
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第二章
第九节
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2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-10
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x
＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)。
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第二章
第十节
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北师大版数学(理)
基 础 自 测
[判一判] (1)y′ ＝ f′(x) 在点 x ＝ x0 处的函数值就是函数 y ＝ f(x) 在点 x ＝ x0 处的导数 值。( √) ) × ) 解析 正确。 (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)。(
y＝cos x y＝ax(a>0，且a≠1)
y′＝____ 0 y′＝_________ αxα－1 y′＝__________ cos x y′＝____________ －sin x y′＝__________ xln a a 特别地(ex)′＝ex
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第二章
第十节
名师一号高考总复习模块新课标
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第二章
第十节
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北师大版数学(理)
1 5．(2016· 阳泉模拟)直线 y＝ x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则 2
ln 2－1 。 实数 b＝________ 1 1 1 解析 y′＝ ，令 ＝ ，得 x＝2，因此切点为(2，ln 2)，代入直线方 x x 2
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第二章
第十节
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北师大版数学(理)
变式训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 解 解法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11。 解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11。
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-6
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第二章
第六节
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
4 3 3 (2)(2015· 浙江卷)若 a＝log43，则 2a＋2－a＝________ 。
解析 由 a＝log43， 知 2 ＋2 ＝2log43＋2－log43＝2log2 3 4 3 3＋ 3 ＝ 3 。a－aຫໍສະໝຸດ 3 3＋2log2 3 ＝
2 所以 a 的取值范围为 ，1。 2
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第二章
第六节
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北师大版数学(理)
1 解法二：∵0<x≤ ，∴1<4x≤2， 2 ∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项 C， D； 1 1 1 11 取 a＝ ， x＝ ，则有 4 ＝2，log ＝1， 2 2 2 22 显然 4x<logax 不成立，排除选项 A。 【答案】 B
函数值 正负
当x>1时，y>0； 当0<x<1，y<0
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当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0
第二章 第六节
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北师大版数学(理)
4.反函数 指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1) 与对数函数 y ________ ＝logax (a>0 且 a≠1) 互为反函 y＝x 对称。 数，它们的图像关于直线_________
又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D。选C。 【答案】 C
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第二章
第六节
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北师大版数学(理)
1 (2)当 0<x≤ 时，4x<logax，则 a 的取值范围是( 2
2017届名师一号一轮复习北师大版理科1-2
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第一章
第二节
名师一号高考总复习模块新课标 北师大版数学（理）
R
热点命题
深度剖析
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第一章
第二节
名师一号高考总复习模块新课标 北师大版数学（理）
考点一
四种命题及其真假判断
【例1】
(1)设原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，
)
则原命题与其逆命题的真假情况是( A．原命题为真，逆命题为假
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第一章
第二节
名师一号高考总复习模块新课标 北师大版数学（理）
(2)(2015· 重庆卷)“x>1”是“log1(x＋2)<0”的(
2
)
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由 log1(x＋ 2)<0 可得 x＋2>1， 即 x>－1， 而{x|x>1} {x|x>
4．命题“如果b2－4ac>0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的 实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( A ．0 C．2 B．1 D．3 )
解析
原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为 “如果方程
ax2 ＋ bx＋ c ＝0(a≠0) 有两个不相等的实根，则 b2－ 4ac>0”，为真命题， 则它的否命题也为真。 答案 D
①两个命题互为_______________ ，它们有相同的真假性； 逆否命题 ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有确定的关
系。
3．充分条件与必要条件 充分 必要 条件。 (1)若p⇒q，则p是q的__________ 条件，q是p的_______
(整理版)高考第一轮复习数学北师()理第十一章116 数系的
高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.6 数系的扩充与复数的引入练习一、选择题1．复数i(2＋i)1－2i 等于( )． A ．i B ．－i C ．1 D ．－12．i 是虚数，41+i 1i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝( )． A ．i B ．－i C ．1 D ．－13．a ，b ，c ，d ∈C ，定义运算＝(a ＋b )(c ＋d )－a ＋c b ＋d ，z ＝，那么z ＝( )．A ．4＋3iB ．4－3iC ．－4－3iD ．－4＋3i4．设复数z 1＝i ，z 2＝1＋i ，那么复数z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面内，复数21＋i对应的点与原点的距离是( )． A ．1 B ． 2 C ．2 D ．2 26．在复平面内，假设z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，那么实数m的取值范围是( )．A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)二、填空题z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，那么实数m 的值为__________．8．(北京海淀练习)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙〞为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数w 1，w 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为__________．9．设t 是实数，且t 1－3i＋1－3i 2是实数，那么t ＝________. 三、解答题10．(上海高考，文19)复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；(3)对应的点在x 轴的上方．12．设z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，假设z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．参考答案一、选择题1．D 解析：i(2＋i)1－2i ＝－1＋2i 1－2i ＝(－1＋2i)(1＋2i)5＝－1. 2．C 解析：1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i 2＝i ，所以41+i 1i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝i 4＝1，应选C. 3．A 解析：由题意知z ＝(1－i)(2＋2i)－1＋2－i ＋2i＝4＋3i. 4．B5．B 解析：21＋i＝1－i ，点(1，－1)与原点(0,0)的距离为 2. 6．D 解析：整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，由复数z 的对应点在第二象限，那么⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3＜m ＜4. 二、填空题7．－38．π2解析：设1OP ＝(x 1，y 1)，2OP ＝(x 2，y 2)(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)， 那么w 1＝x 1＋y 1i ，w 2＝x 2＋y 2i.∵w 1⊙w 2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP 1⊥OP 2.∴∠P 1OP 2＝π2. 9．2 解析：t 1－3i＋1－3i 2＝t (1＋3i)4＋1－3i 2＝2＋t 4＋3(t －2)4i ， 当t ＝2时，该数为实数1.三、解答题10．解：∵1(2)(1i)z －＋＝1－i ，∴1z ＝2－i.设2z ＝a ＋2i ，a ∈R .12z z ⋅＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵12·z z ∈R ，∴a ＝4，∴2z ＝4＋2i.11．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.12．解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)5＝1－i. 于是z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i.由(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别为－3,4.。
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3 【解】 f(x)的定义域为－ ，＋∞。 2
2 f′(x)＝ ＋2x 2x＋3 4x2＋6x＋2 22x＋1x＋1 ＝ ＝ 。 2x＋3 2x＋3 3 当－ <x<－1 时，f′(x)>0； 2
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第二章
第十一节 第二课时
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值。
【解】 由(1)知，x＝－3 是 f(x)的极小值点，所以有
9a－3b＋ c 3 ＝－ e ， －3 e g0＝b－c＝0， g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0，
解得 a＝1，b＝5，c＝5， x2＋ 5x＋5 所以 f(x)＝ 。 ex
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
角度三：已知极值求参数
4．(2016·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0， －7 。 则a－b＝________
解析 由题意得 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
a2＋3a－b－1＝0， a＝1， a＝2， 解得 或 b－6a＋3＝0， b＝3 b＝9，
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
【规律方法】 函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)知图判断函数极值的情况。先找导数为0的点，再判断导数为0的点
的左、右两侧的导数符号。 (2)已知函数求极值。求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x)
(或最小)值点。
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
变式训练 1
已知函数 h(x) ＝ x3 ＋ 3x2 － 9x ＋ 1 在区间 [k,2] 上的最大值为
28，求k的取值范围。 解 h′(x)＝3x2＋6x－9， 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 所以当 x 变化时， h′(x) ， h(x) 在区间 ( － ∞ ， 2] 上的变化情况如下表所 示： x h′(x) h(x) (－∞，－3) －3 ＋ 0 28 (－3,1) － 1 0 －4 (1,2) ＋ 2 ＋ 3
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
x f′(x) f(x)
(0,1) － 单调递减
1 0 极小值3
(1，＋∞) ＋ 单调递增
由上表知f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故f(x)在x＝ 1处取得极小值f(1)＝3。
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第二章
第十一节 第二课时
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第二章 函数、导数及其应用
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第二章 第十一节
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第二课时
导数与函数的极值、最值
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
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第二章
第十一节 第二课时
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R
热点命题
第6页
第二章
第十一节 第二课时
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(2)求函数f(x)的极值。
1 3 解 由 (1)知 f(x)＝－ln x＋ ＋ x＋1(x>0)， 2x 2 1 1 3 f′(x)＝－ － 2＋ x 2x 2 3x2－2x－1 3x＋1x－1 ＝ ＝ 。 2 x2 2 x2 令 f′(x)＝0， 1 1 解得 x1＝1，x2＝－ (因为 x2＝－ 不在定义域内，舍去)。 3 3 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
极值，与 f(a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小 值。
(3)先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)
在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得。 (4)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
a (2)若 ＝400，求 f(x)在(0，＋∞)内的极值。 r
解 由 (1)的解答可知 f′(r)＝0，f(x)在 (0，r)上单调递增，在 (r，＋∞) 上单调递减。因此，x＝r 是 f(x)的极大值点，无极小值。所以 f(x)在 (0，＋ ar a 400 ∞)内的极大值为 f(r)＝ ＝ ＝ ＝100。 2r2 4r 4
第4页
第二章
第十一节 第数学(理)
解析 ①当x<－2时，1－x>0。 ∵(1－x)f′(x)>0， ∴f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数。 ②当－2<x<1时，1－x>0。 ∵(1－x)f′(x)<0， ∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是减函数。 ③当1<x<2时，1－x<0。 ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0， 即f(x)在(1,2)上是减函数。 ④当x>2时，1－x<0。 ∵(1－x)f′(x)<0， ∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数。 综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值。故选D。 答案 D
由表可知，当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，因此，
k的取值范围是(－∞，－3]。
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
考点三
函数极值和最值的综合问题
ax2＋bx＋c 【例 2】 已知函数 f(x)＝ (a>0)的导函数 y＝f′(x)的两个零 ex 点为－3 和 0。 (1)求 f(x)的单调区间； 2ax＋bex－ax2＋bx＋ cex 【解】 f′(x)＝ ex2
1 B.0， 2
D．(0，＋∞)
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第二章
第十一节 第二课时
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1 解析 f′(x)＝ln x－ax＋ x －a＝ln x－2ax＋1，函数 f(x)有两个极 x
值点，即 ln x－2ax＋1＝0 有两个不同的根(在正实数集上)，即函数 g(x) ln x＋1 ＝ 与函数 y＝2a 在 (0，＋∞)上有两个不同交点。 x －ln x 因为 g′(x)＝ 2 ，所以 g(x)在 (0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， x 所以 g(x)max＝ g(1)＝1，如图。 当 g(x)与 y＝ 2a 有两个不同交点，须 0<2a<1。 1 即 0<a< ，故选 B。 2 答案 B
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第二章
第十一节 第二课时
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北师大版数学(理)
角度二：求函数的极值 1 3 2．设 f(x)＝aln x＋ ＋ x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 2x 2 处的切线垂直于 y 轴。 (1)求 a 的值；
1 3 解 因为 f(x)＝aln x＋ ＋ x＋1， 2x 2 a 1 3 故 f′(x)＝ － 2＋ x 2x 2 由于曲线 y＝f(x)在点(1， f(1))处的切线垂直于 y 轴， 故该切线斜率为 0， 即 f′(1)＝0， 1 3 从而 a－ ＋ ＝0，解得 a＝－1。 2 2
北师大版数学(理)
又因为a>0， 所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0； 当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0。 所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0， ＋∞)。
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第二章
第十一节 第二课时
名师一号高考总复习模块新课标
北师大版数学(理)
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1 当－1<x<－ 时，f′(x)<0； 2 1 当 x>－ 时，f′(x)>0。 2
3 从而，f(x)分别在区间 － ，－1， 2 1 1 － ，＋∞上单调递增，在区间－1，－ 单调递减。 2 2 3 1 1 1 根据单调性可知 f(x)在区间－ ， 上的最小值为 f－ ＝ln 2＋ 。 4 4 4 2
在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论。
(3)已知极值求参数。若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0， 且在该点左、右两侧的导数值符号相反。
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第二章
第十一节 第二课时
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考点二
利用导数解决函数的最值问题
【例 1】 求函数 f(x)＝ln(2x＋3)＋x2 在区间
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ax 3．(2015· 安徽卷)已知函数 f(x)＝ (a>0，r>0)。 x＋r2 (1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性； 解 (1)由题意知 x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)。
ax ax f(x)＝ ＝ ， x＋ r2 x2＋ 2rx＋r2 ax2＋2rx＋r2－ax2x＋2r f′(x)＝ x2＋2rx＋r22 ar－xx＋r ＝ ， x＋ r4 所以当 x<－r 或 x>r 时，f′(x)<0。当－r<x<r 时，f′(x)>0。 因此， f(x)的单调递减区间为 (－ ∞，－r)，(r，＋ ∞)； f(x)的单调递增 区间为(－r，r)，