常见分布的期望和方差

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常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

概率与数理统

计

重点摘要 1、正态分布的计算：()()(

)X F x P X x μσ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x

y F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)

f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx

+∞-∞

+∞-∞==⎰

⎰

边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv

+∞

常用分布的数学期望及方差

数学期望的性质
非负性
01
可加性
02
03
线性性质
数学期望的非负性是指对于任何随机变量$X$，其数学期望$E(X) geq 0$。
如果两个随机变量$X$和$Y$相互独立，那么它们的数学期望满足$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$。
如果随机变量$X$和常数$a$、 $b$满足$E(aX+b) = aE(X) + b$。
04 常用分布的方差
离散型随机变量的方差
1 2
定义
离散型随机变量的方差是描述随机变量取值分散程度的量，记作σ²或Var(X)。
计算公式
方差 = Σ[(xi - μ)²] / N，其中μ是随机变量的数学期望，xi是每一个取值，N是样本数量。
3
方差的性质
方差是数学期望的函数，具有可加性。
连续型随机变量的方差
效用函数
在决策理论中，效用函数是描述决策者偏好关系的函数，而数学期望和方差是效用函数的重要参数。
风险厌恶与风险偏
好
根据效用函数中数学期望和方差的关系，可以将决策者分为风险厌恶型和风险偏好型。
贝叶斯决策
贝叶斯决策理论中，数学期望和方差用于计算期望收益和风险，帮助决策者做出最优选择。
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常用分布的数学期望及方差

概率论中的一些常见的分布与公式

概率论中的⼀些常见的分布与公式⼀些公式：

对于随机变量X，它的期望可以表⽰为EX，下⾯看看它的⽅差怎么表⽰：

DX ＝ E（X－EX）2 ＝ E（X2－2XEX +（EX）2）＝ EX2－（EX）2

所以当 EX＝0时，DX ＝ EX2

当随机变量X与随机变量Y相互独⽴时，我们有这样的结论：

EXY ＝ EX * EY

DXY = EX2EY2 –(EX)2(EY)2

D(X+Y) = DX + DY + 2[E（XY)-EXEY] = DX + DY

常见的概率分布：

均匀分布：U（a,b），它们对应的数学期望和⽅差分别是：

数学期望：E(x)=(a+b)/2

⽅差：D(x)=(b-a)²/12

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()(

)X F x P X x μ

-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞

=⎰

⎰

具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y

F x y πππ2

++22的概率密度为：222

(,)(,)(4)(9)

f x y F x y x y x y π∂==∂∂++

5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：

()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx

+∞

-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边缘分布函数：

()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y

Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv

+∞

-∞-∞+∞

-∞

=+∞==+∞=⎰⎰

⎰⎰

二维正态分布的边缘分布为

一维正态分布。

6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。

(完整版)常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N2()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()(

)X F x P X x μ

-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞

⎰⎰

具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y

F x y πππ2=++22的概率密度为：2222

6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：

()(,)()(,)X Y f x f x y dy

f y f x y dx

+∞

-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边缘分布函数：

()(,)[(,)]()(,)[(,)]x

X y

Y F x F x f u y dy du

F y F y f x v dx dv

常见分布的期望和方差

罕睹分散的憧憬战圆好之阳早格格创做

(0,1)N 2()Y

x n t =

概率取数理统计沉面纲要

1、正态分散的预计：()()()X F x P X x μσ

-=≤=Φ.

2、随机变量函数的概率稀度：

是遵循某种分散的随机变量，供()Y f X =的概率稀度：

()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜睹

P66～72）

3、分散函数(,)(,)x

F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具备以下基赋本量：

⑴、是变量x ，y 的非落函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对付于任性牢固的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 闭于x 左连绝，闭于y 左连绝；

⑷、对付于任性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述没有等式创造：

4、一个要害的分散函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率稀度为：222

(,)(,)(4)(9)

f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分散：

边沿概率稀度：

()(,)()(,)X Y f x f x y dy

f y f x y dx

+∞-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边沿分散函数：

()(,)[(,)]()(,)[(,)]x

X y

Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv

+∞

-∞-∞+∞

-∞

=+∞==+∞=⎰⎰

⎰⎰

二维正态分散的边沿分散为一维正态分散.

常见分布的期望与方差的计算

1.0－1分布

q p X E ⋅+⋅=01)(X

p −1已知随机变量X 的分布律为

则有

2)]

([)()(X E X E X D −=2

)1(01p p p −−⋅+⋅=.

=p pq 常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n , p 二项分布,

(法一)设X i 为第i 次试验中事件A 发生的次数，则

∑==n

i i

X X 1

显然，X i 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

n i ,,2,1"=.

)1()()(.

)()(1

∑∑==−====n

i i n

i i p np X D X D np X E X E 所以

概率分布计算公式

概率分布是概率论中重要的概念之一，它描述了随机变量在各个取

值上的取值概率。在实际问题中，我们常常需要计算概率分布以解决

相关的概率统计问题。本文将介绍几种常见的概率分布以及它们的计

算公式。

一、二项分布(Binomial Distribution)

二项分布是概率论中常用的离散型概率分布，它描述了在一定次数

的独立重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布。其计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验次数，p

表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数，可以使用n个数任取k

个的方式计算。二项分布的期望为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。

二、泊松分布(Poisson Distribution)

泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数。其计算公式为：

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ))/k!

其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率，λ表示单位时间(或单位空间)内事件发生的平均次数，e为自然对数的底。泊松分布的期望为

E(X)=λ，方差为Var(X)=λ。

三、正态分布(Normal Distribution)

正态分布是概率论中最重要的连续型概率分布，也称为高斯分布。

它的形状呈钟型曲线，对称于均值。正态分布在实际问题中得到广泛

应用。其概率密度函数的计算公式为：

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-1/2)*((x-μ)/σ)^2)

常见分布函数的期望和方差

六种常见分布的期望和方差：

1、0-1分布

已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。

2、二项分布

n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。

3、泊松分布

其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。

其中期望和方差均为λ。

4、均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。

其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。

5、正态分布

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。

其中期望是u，方差是σ的平方。

6、指数分布

若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。

其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。

常见分布的期望和方差

罕见分布的期望和方差之吉白夕凡创作

(0,1)N 2()Y

x n t =

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()(

)X F x P X x μ

-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（拜见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x

F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基赋性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立：

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：222

(,)(,)(4)(9)

f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分布：

边沿概率密度：

()(,)()(,)X Y f x f x y dy

f y f x y dx

+∞-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边沿分布函数：

()(,)[(,)]()(,)[(,)]x

X y

Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv

+∞

-∞-∞+∞

-∞

=+∞==+∞=⎰⎰

⎰⎰

二维正态分布的边沿分布为一维正态分布。

常见分布的期望和方差

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()(

)X F x P X x μ

-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞

⎰⎰

具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y

F x y πππ2=++22的概率密度为：2222

6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：

()(,)()(,)X Y f x f x y dy

f y f x y dx

+∞

-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边缘分布函数：

()(,)[(,)]()(,)[(,)]x

X y

Y F x F x f u y dy du

F y F y f x v dx dv

+∞

-∞-∞+∞

-∞

常见分布的期望和方差.pdf

n
(1)、当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 Zn = Xi 的分布近似于正态分布 N (n, n 2 ) 。 i =1
(2)、对于 X1, X2,...Xn 的平均值 X
=
1 n
n i =1
Xi
，有 E(X ) =
1 n
n
E(Xi) =
i=1
n n
= ， D(X ) =
1 n2
n i =1
2、随机变量函数的概率密度： X 是服从某种分布的随机变量，求Y = f (X ) 的概率密度： fY ( y) = fX (x)[h( y)] h '( y) 。（参见 P66～72）
xy
3、分布函数 F (x, y) =
f (u, v)dudv 具有以下基本性质：
− −
⑴、是变量 x，y 的非降函数；
pi
=
PX
= i =
i i!
e −
(i = 0,1, 2,3...)
f (x) = 1 或f (x) = 1 等
b−a
r 2
f (x) =
1
−(x− )2
e 2 2
2
(− x +, 0)
e−x , x 0 f (x) =
0, x 0
X1, X2,...Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)

4.3常见分布的数学期望与方差ppt课件

0
2
xe x
0
+ 0
e
x
dx
2
2
e x
0
2
2
D( X ) E(X 2 ) [E( X )]2 2 1 1
2 2 2 7
常见分布及其期望和方差列表
分布名称
数学期望E（X）方差D（X）
0-1分布
p
pq
二项分布
np
npq
泊松分布均匀分布正态分布
ab 2
(b a)2 12
2
1
2
2.二项分布的方差
分布律
X ~ B ( n, p )
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
方差
推导？
E(X ) np E( X 2 ) n(n 1) p2 np
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 np(1 p) npq
If X ~ B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p )
指数分布
1
2 8
三、小结
• 常见的离散型随机变量的数学期望与方差 • 常见的连续性随机变量的数学期望与方差
9
4.3常见分布的数学期望与方差
一、常见离散型随机变量的期望与方差二、常见连续型随机变量的期望与方差

常见分布的期望和方差

x n N() (0,1)

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()

X f

y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x

F x y f u v dudv -∞-∞

=⎰⎰具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的1

(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立：

(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：

1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=

++22的概率密度为：

222

(,)(,)(4)(9)

f x y F x y x y x y π∂==∂∂++

5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx

+∞

-∞+∞

-∞

==⎰⎰

边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x

X y

Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv

概率分布期望方差汇总

概率分布是描述随机变量取值的概率的数学模型。期望是对随机变量取值的平均值的度量，方差则是衡量随机变量取值分散程度的度量。在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念，对于理解和应用概率分布非常关键。

一、期望

期望是对随机变量取值的平均值的度量，也可以理解为随机变量的中心位置。对于离散随机变量X，其期望计算公式为E(X) = Σ x*p(x)，即随机变量各取值乘以其对应的概率之和。对于连续随机变量X，其期望计算公式为E(X) = ∫ x*f(x) dx，其中f(x)是X的概率密度函数。

二、方差

方差是对随机变量取值分散程度的度量。方差越大，表示随机变量的取值更分散；方差越小，表示随机变量的取值更集中。方差计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]，即随机变量取值与其期望之差的平方的期望。方差的平方根称为标准差。

三、常见概率分布的期望和方差

1.二项分布

二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述在n次独立重复试验中成功次数的分布。设X为成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布记作X~B(n,p)。

期望：E(X) = np

方差：Var(X) = np(1-p)

2.泊松分布

泊松分布描述单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率。设X为

单位时间或单位空间内事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布

记作X~P(λ)。

期望：E(X)=λ

方差：Var(X) = λ

3.均匀分布

均匀分布是最简单的连续概率分布之一，描述在一个区间上随机取值

的概率。设X在[a,b]区间上服从均匀分布，则X服从均匀分布记作

常见分布的数学期望和方差

2
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X )
n
k
C
k n
p
k
q
n
k
k0
n
k
k 1
n! k!(n
k )!
pk q nk
n
np
(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)!(n k )!
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上
均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
解易见X和Y的联合概率密度为
y x y
f (x,
y)
1, 0，
0
x 1，0
其它
y
1，
1
x y
x y
11
E | X Y | 0 0 | x y | dxdy
1
2
.
16
3. 正态分布 X ~ N(, 2 )
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
，
x
( 0)
2
E( X ) xf ( x)dx
1
2
(
xe