正弦定理的应用导学案---张党光 -

6.4.3.2正弦定理导学案

6.4.3.2 正弦定理（导学案）学习目标1．掌握正弦定理的内容及其证明方法;会初步运用正弦定理解三角形.2．学会运用正弦定理解三角形的方法，领悟数形结合及分类讨论思想在解三角形中的应用.3．体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、美学价值，并以更加饱满的激情投入到学习中去.学习重点正弦定理及其推导过程，正弦定理的简单应用。

学习难点正弦定理的推导及应用。

【问题导学】：1、在Rt ABC 中，=c a ， =cb ，那么=A a sin ， =Bb sin ，又=C sin ，所以 =A a sin = 那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？2、在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？AB C a b3、抽象概括正弦定理：在一个三角形中，，即4、“正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？【合作学习】例1．在ABC ∆中，已知10c =，o 45A =，o 30C =，求,a b B 和。

例2．在∆ABC 中，已知a ，b ，o 45B =，解三角形.练习：1、在∆ABC 中，已知2a =cm ，b ，o 45A =，解三角形.2、01,45,2ABC a b A ∆===中，解三角形.注意：一般地，已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形，有可能有两解或一解或无解。

【课后练习】1、在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形；2、已知在三角形中，,105,8,7===A b a 求解三角形；3、已知在三角形中，,30,6,32===A b a 求解三角形；总结反思（1）正弦定理的表示形式： = = = ；（2）正弦定理的应用范围：① ；② 。

正弦定理导学案(1)

第1章解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫ 【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理第1课时【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题3.利用正弦定理判断解的情况（画图）【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________（解的情况唯一吗）；（2）_________________________________（解的情况唯一吗）【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。

【解】【例2】根据下列条件解三角形（难点）：（1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。

技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。

如果解的情况不唯一，分类讨论即可。

【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？有解，解的个数？（画图判断）分析：本题的知识点理解即可（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =b =45A =︒，求B ；（4）a =b =45A =︒，求B ；（5）4a =，3b =，60A =︒，求B ．追踪训练：1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （） A 43 B 61C 21D 12．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形（2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形3.在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．。

导学案023 正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理、余弦定理的应用考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考情分析：1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.基础知识教学过程：实际问题中的有关概念及常用术语(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的_______ 叫做基线．(2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度之比即i＝hb＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．基础自测1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B () A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°3．(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m关键点点拨：解三角形应用题常有以下几种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两或两个以上的三角形，这里需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．(3)实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．典例分析考点一：测量距离问题[例1](2010·陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·衢州质检)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．．[冲关锦囊]求距离问题要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.考点二：测量高度问题[例2](2012·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)2．(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．[冲关锦囊]求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.考点三：测量角度问题[例3](2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．[冲关锦囊]1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．利用正、余弦定理解实际问题的答题模板[考题范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设小艇与轮船在B 处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示．在△AOB 中A ＝90°－30°＝60° ∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.(4分)∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23，又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)．故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． (12分)[模板建构]解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析.理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形AOB 中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步:求解.利用余弦定理，把S 用t 表示出来．第四步：检验.检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、选择题1．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.192．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10米B ．102米C ．103米D ．106米4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．202海里D ．203海里二、填空题6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.三、解答题8．(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？9．(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R)的值域．10．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．。

正弦定理导学案1

正弦定理 (1)导学案【学习目标】1.了解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。

4.激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐【学习重点】正弦定理的证明和应用【学习难点】正弦定理在解三角形时的应用思路.【学习过程】一、预习案1、知识链接：1）关于ABC∆几个常见的结论：设ABC∆中角,,A B C的对边分别为,,a b c，则有：①A+B+C＝②若A为最小角，则060A<≤；若A为最大角，则60180A≤<③BABAba sin____sin___⇔⇔>2）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边,,a b c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．2、预习检测：在直角三角形中，如右图，在Rt∆ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc=，sinbBc=，又sin1cCc==，从而在直角三角形ABC中，边=c_________=_________=_________．二、探究案探究1：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？如右图，锐角三角形中，上述关系式是否成立？如右图，钝角三角形中，上述关系式是否成立？从上面的探究过程中，可得到以下定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinaA sinbB sincC．思考：正弦定理有哪些基本变形？试写下来：探究2：分析正弦定理的结构，你能得出正弦定理可解决哪两类解三角形问题？1、C Abc2、三、课堂检测题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角1．已知在,30,45,10 ===∆︒C A c ABC 中，求a【随堂记录】：题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角2．在23,30,6,===∆a A b ABC 中,求B（要注意可能有两解）【随堂记录】：3． C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【随堂记录】：四、巩固训练（一）当堂练习1.在ABC ∆中，5,15,135===a C B ,则此三角形的最大边长为_____.____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .（二）课后作业：P 18 1、2、3五、反思总结1．知识小结：2．我的收获：3．我的疑惑：。

苏教版高中数学必修五《正弦定理、余弦定理的应用》导学案

1.3 正弦定理、余弦定理的应用【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、航海以及力学有关的实际问题，了解有关常用术语及其准确含义。

【重点难点】学习重点：从有关测量、航海、力学等实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

学习难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图，设A 、B 两点在河的两岸且不可到达，现要测量两点之间的距离，测量者站在A 的同侧C 点处。

问题1：利用学过的知识，测量者只要测出哪些量就可求出A 、B 两点间的距离？问题2：如何求A 、B 两点间的距离呢？二、知识建构与应用：例1 如图，为了测量河对岸两点A 、B 之间（不可到达）的距离，在河岸的这边取点C 、D ，测得∠ADC=45°，∠BDC=75°，∠ACD=60°，∠BCD=45°，CD=100m ，设A 、B 、C 、D 在同一平面内，试求A 、B 之间的距离（精确到1m ）．例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）。

(注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角)BC AD C B A 北北C B105°45°αO C B A例 3 作用于同一点的三个力321F F F 、、平衡。

已知N F N F 503021==，，1F 与2F 之间的夹角是60°，求3F 的大小与方向（精确到0.1°）。

F 3F 2F 1O例4 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2=OA ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？三、巩固练习：1．从200m 高的电视塔塔顶A 测得地面上某两点B ，C 的俯角分别为o 30和o 45，o 45=∠BAC ，则这两个点之间的距离为（精确到0.1m ）。

对《正弦定理与余弦定理》的教学反思---张党光

对《正弦定理与余弦定理》的教学反思
张党光
正余弦定理在解三角形中的应用，尤其是正余弦定理与三角函数综合问题，高考几乎每年必考，经常出现在高考数学第一道解答题，掌握正余弦定理及应用对于处理这类问题是很有必要的。

教学中，首先让学生课前讲陕西2011高考题叙述并证明余弦定理，同时作为课前引入，教学中重视学生对定理的理解和变形，给出正弦定理的证明，导学案增加了正弦定理判断三角形解的个数的方法和图形理解，正余弦定理适用范围，增加了三角形中的射影定理等，拓展学生对知识的理解。

其次，课堂例题让学生分四个小组依次展示，其他学生互评，教师点评，同时让学生给出同一道题目的不同解法，充分调动学生动脑思考动手练习能力，有效提高学生课堂参与的积极性。

最后，两类题目的规律方法总结也交给学生来总结，教师完善补充，本节课充分体现课堂以学生为主体。

教学中发现学生对知识的理解不到位，对于某些结论不清楚那种情况该用，例如求边也可以考虑用三角形中的射影定理来处理，对于解决问题缺乏正确的分析思路。

对于正余弦定理适用范围不是很清楚，对于出现边角问题，边角互化时出现三角恒等变形不会处理，对于易错点没有注意到细节，例如等式两边约去因式要考虑是否为零，由值求角要考虑角的范围等。

2018年10月25日。

正弦定理第一课时导学案(含解析)

1.1 正弦定理与余弦定理1．1.1 正弦定理导学案（第一课时）【知识目标】1、通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2、能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题. 教学难点：正弦定理的推导教学重点：正弦定理的应用【教学过程】《导入新课》直角三角形中的边角之间有什么关系？下面就来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？《探究新知》问题1：求证：在锐角三角形ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，求证：sin sin sin a b cA B C==。

证明：如图，设AB 边上的高为CD ，CD ＝a sin_B ＝b sin_A ，∴a sin A ＝b sin B ，同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝c sin C， ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 问题2：求证：在钝角三角形ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，求证：sin sin sin a b cA B C==。

证明：如图，在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝a sin(π－C )＝a sin_C ， BD ＝c sin_A ，故有a sin C ＝c sin_A ，∴a sin A ＝csin C ，同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.《学习新知》新知：1．正弦定理文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

正弦定理导学案两课时

正弦定理导学案（两课时）班级姓名小组编写：邵国宏课前预习学案预习目标：1、能简单证明正弦定理2、掌握正弦定理的简单应用，能用正弦定理解三角形3、用数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题预习内容： 1、Rt ΔABC 中，A 角的对边斜边= =斜边的对边角B2、△ABC 中，A+B+C =3、从1,2两式中我们可以得到什么结论？（提示：将上述比式进行分化出斜边）（想一想：能补能将它推广到锐角、钝角三角形中？）4、在锐角ΔABC 中，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。

作AB 上的高CD ，从而sinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD=即可得到 =化作比式得=5、在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A = ，故有sin a A= 。

同理可得 = = （正弦定理）提出疑惑：疑惑点：疑惑内容：课内探究学案一新课导入（师）二小组内交流讨论《课前预学案》，解决疑惑三展示《课前预学案》成果，梳理知识网络四课内自主探究、小组交流合作，展示成果A BC c a b探究一：定理变形(1)a=________,b=__________,c=_________(2)sinA=_______,sinB=_______,sinC=____(3)a:b:c=_____________________________对应练习1、在ABC 中，一定成立的是A 、cos cos a A bB = B 、sin sin a A b B =C 、sin sin a B b A =D 、cos cos a B b A =2．在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则::a b c = .3．已知在△ABC 中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，则b=___________.4．在△ABC 中，若102c =，60C =︒，2033a =，则A = ________ ．总结提高：正弦定理解决的类型：（1） (2) . 探究二：三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三边的对角，则三角形的面积为：（利用图形推导）①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）. ②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===. 探究三：知识巩固例1、在ABC ∆中，45,60,6B C c ===，解三角形。

正弦定理导学案

Da cbA C B1.1.1 正弦定理学习目标：1.通过对任意三角形边角关系的探索，能证明正弦定理。

2.掌握正弦定理，并能初步用它们解三角形。

学习重点和难点重点：通过对三角形边角关系的探索，证明正弦定理，并能初步用它们解三角形。

难点：在已知两边及其中一边的对角解三角形时，解的个数的确定和求解。

教学过程：复习准备：1.初中已学习过任意三角形的哪些边角关系？三边关系：三角关系：边角关系：2.在ABC R ∆t 中， 90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别为a ，b ，c 则锐角A,B 的正弦如何用边表示？探究新知问题1：ABC R ∆t 中， 90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 与C B A sin ,sin ,sin 之间有什么关系？你会得出什么样的结论？问题2：在斜∆ABC 中，问题1中的结论是否也成立？正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即。

正弦定理的理解：1.你能得到正弦定理的哪些变形？2.正弦定理有哪些用途？（5）典例导悟:正弦定理的应用类型一已知两角及一边解三角形[例1] （2102福建卷）在△ABC 中，已知∠A=60°，∠B=45°，3=a ，则b=_______.c变式训练1：若是求边c呢？则c=类型二已知两边及一边的对角解三角形[例2]（2102北京卷）在△ABC中，若a=3，b=3，∠A=3π，则∠C的大小为_________。

变式训练2：分别解下列三角形,并判断解的个数。

(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°. 能力提升：1.（2013年湖南卷）在锐角ABC∆中，角A,B所对的边长分别为a,b若bBa3sin2=，则角A等于（）A.12π B.6π C.4π D.3π2.（2013陕西卷）设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sinb Cc B a A+=, 则△ABC的形状为A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定3.（2013辽宁卷）在ABC∆,内角,,A B C所对的边长分别为a,b,c,1sin cos sin cos,2a B C c B A b+=,,.a b c且a b>,则B∠=（）A.6π B.3π C.23π D.56π小结：作业：1.课后阅读（P8-P9 ）内容；2.完成P10的习题。

正弦定理和余弦定理及应用(导学案) (2)

课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

课前预习已知在A B C ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。

则：1.正弦定理：____________________===_______（）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论（1）在A B C ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边） ( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：______________________________________ABC S ===______________________________________ABC S ===基础练习：1、在ABC ∆中， 45=A ， 60=B ，4=b ，求a .2、已知 30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ， 60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 .归纳：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角，常用定理；（2）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，常用定理或余弦定理（方程思想）；（3）已知三边求三角，常用定理；（4）已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，常用定理.要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式.课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、在ABC ∆中，已知C cB bA acos cos cos ==，判断ABC ∆的形状.2、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，试证明：ABC ∆为正三角形.高考真题体验：（2008年高考）在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且 45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、在A B C ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在A B C ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BCb c∆= 3、A B C ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么A B C ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为 60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

1.1.1正弦定理导学案(必修五)

§1.1.1 正弦定理学习目标 1。

掌握正弦定理的内容； 2。

掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．(简:大角对大边)能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=，同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ )．A ．sin sin a A bB = B 。

cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4,b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于．[理解定理](1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，，sin c k C =；（2)sin sin a b A B =sin c C =等价于，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C．（3)正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，把三角形的三个角A ，B,C 和它们的对边,,a b c 叫做。

正弦定理导学案汇编

§1.1.1 正弦定理(一)导学案学习目标:1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。

教学重点:正弦定理的证明及基本运用。

教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。

一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！”1、预习教材P45---482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===. 3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。

其中正确的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、4（2）在ABC ∆中，一定成立的等式是（）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形(4) 在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________.我的疑惑:__________________________________________二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”探究一、叙述并证明正弦定理。

正弦定理导学案

正弦定理【学习目标】（1）了解正弦定理的发现过程并熟记。

（2）会运用正弦定理解决两类解三角形的问题（3）学会运用“特殊与一般”的哲学思想分析问题和解决问题。

【学习重点】利用正弦定理解三角形【学习难点】在求解“已知三角形中的任意两边与其中一边的对角，求其余的边和角”时，如何判断解的个数。

【预习案】阅读课本第2页至第4页，并思考下列问题思考1、回忆直角三角形的边角关系?在直角三角形中，锐角三角函数的正弦函数是如何定义的？思考2、在直角三角形中，请推导结论。

其中2R 为三角形的外接圆的直径思考3、在锐角三角形和钝角三角形中能否得到结论如何证明？叙述并牢记正弦定理的内容：___ 2sin sin sin a b c c R A B C====2sin sin sin a b c RA B C===思考4、在sin sin sin a b c A B C==这个式子中包含了那几个等式？每个等式中有几个量？它可以解决斜三角形中那些类型的问题？下列哪些条件可以使用正弦定理解三角形？【探究案】探究1、已知三角形中的两个角与一边，求其余的边和角例1：在ABC D中，已知A=300，B=750，b=10cm,解三角形探究2、已知三角形中的任意两边与其中一边的对角，求其余的边和角5 7 9 8 996° 10 45° 89° 810 20°75° 45° 60°例2、在ABC D中，已知A=300，,23a b cm ==,解三角形例3、在ABC D中，已知A=300，2,a cm b =,判断B 是否有两个解？探究3、在“已知三角形中的两边a 、b 与A ，求B ”时，由正弦定理可推出sin sin b A B a=探究怎样由sin B 的值判断B 的个数，比较例2和例3，说说你的结论？【我的收获】：【练习案】（2）在ABC D 中，已知14a =，7b =，30B =?，则A =_________；（3）已知在0010,45,30,,ABC c A C a b B D ===中，求和（4）在060,1,,ABC b B c a A C D ===中，求和（1）在中，一定成立的等式是（）ABC ∆Bb A a A sin sin .=　B b A a B cos cos .=　A b B a C sin sin .=　A b B a D cos cos .=　。

余弦定理、正弦定理的应用学案-苏教版高中数学必修第二册

第十一章解三角形11.3 余弦定理、正弦定理的应用1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.1.教学重点：利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.2.教学难点：深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.题型一距离问题【例1】如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ACB中利用余弦定理求解【训练1】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A.15 3 kmB.30 kmC.15 kmD.15 2 km题型二高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M 的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________.题型三角度问题【例3】某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向.【训练3】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 点(3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，与A 距离2 n mile 的我方缉私船，奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h 的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A.12 mB.8 mC.2 3 mD.4 3 m2.海上A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A.10 3 n mileB.1063 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A.10 mB.5 3 mC.5(3－1) mD.5(3＋1) m4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为________.。

正弦定理的应用导学案---张党光 -

6.4.3.2正弦定理导学案

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对《正弦定理与余弦定理》的教学反思---张党光

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正弦定理导学案两课时

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余弦定理、正弦定理的应用 学案-苏教版高中数学必修第二册

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