关于凸函数的定义和性质
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
凸函数及其性质
凸函数及其性质1. 定义1.1 定义⼀如果对任意x1、x2总有f[αx1+(1−α)x2]≥αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0≤α≤1，则称f(x)为上凸函数如果对任意x1、x2且x1≠x2，总有f[αx1+(1−α)x2]>αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0<α<1，则称f(x)为严格上凸函数1.2 定义⼆如果对任意x1、x2总有f[αx1+(1−α)x2]≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0≤α≤1，则称f(x)为下凸函数如果对任意x1、x2且x1≠x2，总有f[αx1+(1−α)x2]<αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0<α<1，则称f(x)为严格下凸函数2. 琴⽣（Jenson）不等式对于上凸函数，f(E[X])≥E[f(x)]或q∑k=1λk f(x k)≤f(q∑k=1λk x k)，其中λ1,λ2,⋯,λq为正实数（或⾮负实数，后者去除⽆影响的λi=0的项即为前者，故⼆者等价）且q∑k=1λk=1；对于严格上凸函数，上述等号成⽴当且仅当x1=x2=⋯=x q。
对于下凸函数，f(E[X])≤E[f(x)]或q∑k=1λk f(x k)≥f(q∑k=1λk x k)，其中λ1,λ2,⋯,λq为正实数（或⾮负实数，后者去除⽆影响的λi=0的项即为前者，故⼆者等价）且q∑k=1λk=1；对于严格下凸函数，上述等号成⽴当且仅当x1=x2=⋯=x q。
↓证明过程如下↓2.1 上凸函数证明：因为λi均为正实数，故有 f(q ∑k=1λk x k)=f(λ1x1+q∑k=2λk∑q k=2λk x k∑q k=2λk)≥λ1f(x1)+q∑k=2λk⋅f(∑q k=2λk x k∑q k=2λk) =λ1f(x1)+q∑k=2λk⋅f(λ2∑q k=2λk x2+∑q k=3λk∑q k=2λk⋅∑q k=3λk x k∑q k=3λk) ≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+q∑k=3λk⋅f(∑q k=3λk x k∑q k=3λk) ≥⋯≥q∑k=1λk f(x k)2.2 严格上凸函数证明：由定义可知，对于严格上凸函数，f[αx1+(1−α)x2]≥αf(x1)+(1−α)f(x2)等号成⽴时当且仅当x1=x2。
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
凸函数的主要性质有：1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf 也是定义在S上的凸函数;2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;3.若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数;4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集微积分如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x）也是凸函数。
如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。
凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x）是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b）也是凸函数。
初等运算1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。
2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。
3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数举例函数f(x) = x²；处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。
绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。
当1 ≤p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。
定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥0的集合上是凸函数，在x ≤0的集合上是凹函数。
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
第三节 凸函数
d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）
2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k
凸函数的定义
凸函数的定义凸函数是数学中一种非常基础且重要的概念，其在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。
本文就来介绍凸函数的定义及其一些基本性质。
一、凸函数的定义在介绍凸函数之前，我们先来了解一下凸集的概念。
凸集是指对于该集合中任意两个点，它们之间的连线上的所有点也都属于该集合。
例如，一个圆形就是一种凸集，而一条线段则不是。
有了凸集的定义，我们就可以引出凸函数的定义了。
如果函数f 的定义域上的任意两点构成的线段都落在函数的上方，则该函数被称为凸函数。
反之，如果这些线段都落在函数的下方，则该函数被称为上凸函数。
这里需要注意的是，对于凸函数来说，图形上的“上方”指的是函数图像的上面，即函数值更大的区域。
而对于上凸函数，则是函数图像的下面，即函数值更小的区域。
二、凸函数的基本性质1.一阶导数单调递增对于凸函数来说，其一阶导数具有单调性。
也就是说，如果 f是一个凸函数，则其一阶导数 f' 是单调递增的。
反之，如果 f 的一阶导数是单调递增的，则 f 是凸函数。
这个性质非常重要，因为它可以用来证明很多凸函数的性质。
例如，如果我们知道了某个函数的一阶导数的单调性，就可以进一步证明该函数的二阶导数不小于零，从而证明该函数是凸函数。
2.上凸函数和下凸函数的判定对于一个函数 f，如果其一阶导数 f' 单调递减，则该函数是上凸函数。
反之，如果其一阶导数 f' 单调递增，则该函数是下凸函数。
这个判定方法可以用来判断很多函数的凸性。
例如，如果我们知道某个函数的一阶导数的单调性，并且该函数的一阶导数单调递增，则该函数是下凸函数。
3.凸函数的次导数函数的次导数是指它的 n 阶导数。
对于凸函数来说，它的次导数也具有一定的性质。
如果 f 是一个凸函数，则其次导数都不小于零。
这个性质可以用于推断一个函数是否是凸函数。
例如，如果我们知道某个函数的一阶和二阶导数都不小于零，则可以推断该函数是凸函数。
三、凸函数应用实例凸函数在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。
凸函数的定义和判定
凸函数的定义和判定凸函数是数学中的基础概念之一，它在实际应用中有着广泛的应用。
凸函数的定义和判定十分重要，下面我们将介绍它们的相关内容。
一、凸函数的定义在函数的定义域内，如果对于任意的 $x_1,x_2$ 和$0\leq\lambda\leq1$，都有：$$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$那么函数 $f$ 就是一个凸函数。
这个定义可以用直观的方式解释：对于任意的两个点 $x_1$ 和 $x_2$，函数图像上的曲线位于这两个点的连线的下面。
还可以用二阶导数来描述凸函数，更具体地说，如果 $f$ 在定义域内的某个区间上二阶导数存在且大于零，则 $f$ 在该区间上是凸函数。
二、凸函数的判定方法除了使用定义，我们还可以通过实际运用凸函数的特点来判断一个函数是否是凸函数。
1. 凸函数的一次导数是递增的。
由定义可知，凸函数的强严凸部分性质意味着 $f''(x)\geq0$，所以 $f'$ 是递增的。
如果我们能证明函数的导数是递增的，那么这个函数就是凸函数。
2. 函数的二阶导数大于或等于零。
由定义可知，凸函数的强严凸部分性质意味着 $f''(x)\geq0$。
因此，如果我们能证明一个函数在其定义域内的二阶导数大于或等于零，则这个函数就是凸函数。
3. 函数的上凸壳等于它本身。
函数的上凸壳指的是连接函数图像上任意两个点，并且位于函数图像上方的切线或直线。
对于一个凸函数 $f$，上凸壳等于$f$ 本身。
4. 函数的二阶导数是递增的。
根据定义，凸函数的二阶导数是非负的。
事实上，任何满足二阶导数递增条件的函数，都可以被证明是凸函数。
以上是一些判定函数是否是凸函数的方法，每一种方法都有各自的适用范围。
三、凸函数的应用凸函数在实际应用中有着广泛的应用，例如在优化问题中，凸函数的最小值就是全局最小值。
凸函数的性质
凸函数的性质凸函数是数学中非常重要的一类函数，它在经济学、物理学、计算机科学等领域中得到广泛应用。
在本篇文章中，我将会讲解凸函数的性质及其应用。
一、凸函数的定义首先，我们先来回顾一下凸函数的定义。
对于定义在$R^n$上的函数$f(x)$，若对任意$ x_1, x_2∈R^n $，以及$0≤λ≤1$都有$$ f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$则称$f(x)$为凸函数。
当$λ \in (0,1)$时，式子称为严格凸。
凸函数的定义很简单，但是它却有着非常重要的数学性质。
二、（一）一阶导数首先，我们来考虑凸函数的一阶导数。
对于一元函数$f(x)$而言，若其在点$x$处可导，则有：$$f(x + h) = f(x) + f'(x)h + o(h)$$其中$o(h)$为比$h$高阶的无穷小，即当$h$趋于0时，$o(h)/h$趋近于0。
因为$f(x)$是凸函数，所以有：$$ \begin{aligned} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} &≥ \frac{(1-λ)f(x) + λf(x + h) - f(x)}{λh} \\ &≥ \frac{(1-λ)f(x) + λf(x) + λhf'(x) + o(h) -f(x)}{λh} \\ &= f'(x) + \frac{o(h)}{h} \end{aligned} $$所以有：$$ f'(x+)≥f'(x) $$也就是说，凸函数的导数是单调非减的。
类似地，我们可以证明一阶导数单调非增的函数是凹函数。
（二）二阶导数接下来，我们来考虑凸函数的二阶导数。
对于一元函数$f(x)$而言，若其在$x$处二阶可导，则有：$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + f''(x)\frac{h^2}{2} + o(h^2)$$同时，因为$f(x)$是凸函数，所以有：$$\begin{aligned} f(λx_1+(1-λ)x_2)&≤λf(x_1)+(1-λ)f(x_2) \\f′(λx_1+(1-λ)x_2)&≥ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2−x_1} \end{aligned}$$对右边的式子取极限，得到：$$ f''(x_)≥0 $$也就是说，凸函数的二阶导数是非负的。
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
凸函数的若干性质及应用
凸函数的若干性质及应用凸函数是数学分析中的重要概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来阐述凸函数的相关内容。
一、性质：1. 定义：凸函数的定义是指函数f(x)在定义域的任意两点x1和x2，对于任意的t∈[0,1]，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)成立。
这个定义也可以用来判定函数的凹凸性。
2. 凸函数的图像：凸函数的图像总是位于其切线的下方，且曲线向上凸起，在凸函数的图像上取任意两点，连接这两点与曲线的切线，切线位于曲线的下方。
3. 严格凸函数：如果函数f(x)在定义域内的每两个不同的点x1和x2之间，对于任意的t∈(0,1)，都有f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2)成立，则称函数f(x)为严格凸函数。
4. 凸函数的一次导数：凸函数的一次导数是非递减的，也就是说，若函数f(x)是凸函数，则它的导函数f'(x)是非递减的。
二、应用：凸函数在许多领域都有广泛的应用，以下介绍凸函数的一些常见应用：1. 最优化问题：凸函数在最优化问题中具有重要作用，特别是线性规划和凸规划。
通过建立优化问题的目标函数为凸函数，可以快速求得该问题的最优解。
2. 机器学习：在机器学习中，凸函数常用于构建损失函数和约束条件。
通过选择合适的凸函数作为损失函数，可以用来拟合模型和训练模型，如线性回归和逻辑回归等。
3. 经济学：凸函数在微观经济学中具有广泛的应用，特别是在效用函数和供求关系中。
凸函数可以描述消费者偏好和生产者的成本、收益等经济现象，为经济学家提供了重要的理论工具。
4. 几何学：凸函数与凸集有着密切的关系，可以通过凸函数来描述凸集。
凸函数在几何学中被广泛用于解决凸优化问题、凸包问题等凸几何相关的问题。
5. 图像处理：在数字图像处理中，凸函数常用于图像的分割、边缘检测、图像重建等问题。
通过构建合适的凸函数和优化算法，可以提高图像处理的效率和精度。
凸函数
凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。
如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。
这个方法经常使用。
此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
2、凸函数具有的常用性质 性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=ni ia，则()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f a x a f 11 注：加权琴生不等式很重要，当na i 1=时，即为原始的琴生不等式。
注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。
二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11例2、证明：nx x x n x x x nn 2222122221.......+++≥+++例3、在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；例3、（变量和为常量型）（1） 设a a n i a ni ii ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n naa a a a a a nn -≥-++-+-1...112211；（2） 设*∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：23≥++c b a（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，求证：12)32(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a例4、条件为1=abc 的不等式证明问题（1） 若*∈R c b a ,,且1=abc ，求证：1222222≥+++++cc b b a a（2）若*∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++同步训练的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23C 223D 232、设0>x ，0>y ，证明：()2ln ln ln yx y x y y x x ++≥+3、在ABC ∆中，求证：mm C m B m A 3tan3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ．4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111．；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC Pnn nn n n i n n x x x x x x n n i x )1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知答案2、设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．．在ABC ∆中求证： （1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数；（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ．()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕．n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn n n n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。
凸函数和优化问题的数学分析方法
凸函数和优化问题的数学分析方法简介：凸函数在数学和优化领域中具有重要的地位。
本文将介绍凸函数的定义、性质以及与优化问题的关系，同时探讨凸函数在优化问题中的数学分析方法。
一、凸函数的定义与性质凸函数是定义在实数域上的函数，其定义如下：对于定义在实数域上的函数f(x)，若对于任意的x1、x2∈R及0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，则称f(x)是凸函数。
凸函数具有以下性质：1. 凸函数的下半连续性：凸函数f(x)在实数域上是下半连续的，即对于任意的x0∈R，有lim(x→x0⁺)f(x)≥f(x0)。
2. 凸函数的一阶导数定理：对于凸函数f(x)，若其在某一区间上可导，则该区间上的任意一点的导数都大于等于该区间上的另一点的导数。
二、凸函数与优化问题凸函数在优化问题中起到了重要的作用。
一些常见的优化问题可以通过凸函数的分析方法得到解决。
1. 凸优化问题的定义对于一个定义在实数域上的凸函数f(x)，优化问题可以表示为：minimize f(x)subject to g(x)≤0, h(x)=0其中，g(x)和h(x)分别为定义在实数域上的凸函数，称为约束条件。
优化问题的目标是找到使得目标函数f(x)最小化的变量x。
2. 凸优化问题的数学分析方法在解决凸优化问题时，可以采用以下数学分析方法：（1）一阶条件：对于凸优化问题，若目标函数f(x)可导，则其必要条件是梯度为零。
即∇f(x)=0。
（2）二阶条件：对于凸优化问题，若目标函数f(x)二次可导，则其充分条件是Hessian矩阵半正定。
即H(x)≥0。
（3）凸优化问题的对偶问题：对于凸优化问题，可以通过构造对偶问题来简化求解过程，并得到原问题的最优解。
三、实例分析为了更好地理解凸函数和优化问题的关系，我们通过一个实际问题进行分析。
假设有一家公司需要生产两种产品，产品A和产品B。
假设每天的生产成本为C(A)和C(B)，且两种产品的生产量分别为x和y。
凸函数的定义与性质
凸函数的定义与性质凸函数，可以说是数学中最重要、研究最深入的一种函数。
它是优化理论以及经济学等方面的基础，而在计算机科学、物理学中也是不可或缺的一种工具。
那么什么是凸函数呢？它有哪些性质呢？定义：凸函数是在其定义域上的任意两个点之间的连线都在函数图像之上的函数。
换句话说，就是任意两点之间的直线不会穿过函数图像下方。
直观地说，凸函数就是一种不会向下凹陷的图形，一只碗的外形就是一个简单的凸函数。
凸函数的性质：1.单调性：凸函数的图像是向上的，所以在函数的定义域上，凸函数关于x轴单调递增。
2.二阶可导性：对于凸函数f，其二阶导数f''(x)>=0，即函数图像上的任意一点处的曲率不会变为负值，因此函数图像是向上的。
3.可微性：凸函数是可微的，即在定义域上处处可导。
4.支持超平面：对于凸函数f,任意一点(x,f(x))上方支持超平面是存在的，也就是说，必定有一个超平面，所有位于该平面之上的点都在函数图像之上。
凸函数的应用：凸函数的一个应用是在经济学中。
常常有人会面临着优化问题，对于一个经济学家来说，他要对最优化问题进行研究。
其实，很多问题都可以通过凸函数来描述。
比如说，有一个厂家生产两种产品，对于这两种产品，厂家希望能够在生产情况下实现最大利润，而利润与销售额之间存在线性关系，这样的问题就可以转化为凸函数的优化问题。
总之，凸函数是一种在数学中运用最广泛的概念，不仅在数学中有着重要地位，同时还在物理学、经济学、计算机科学等许多领域中都有着不可替代的作用。
了解凸函数的定义和性质，对于深入探究各种凸集合、凸问题，以及优化问题等起着极为重要的作用。
凸函数的性质、判定，凸规划
最优化问题的目标函数为凸函数不式约束函数也为凸函数等式约束函数是仿射的则称该最优化问题为凸规划
一. 凸函数的性质
凸函数的性质、判定，凸规划
二. 凸函数的判别 判断一个函数是否为凸函数，最基本的方法是使用其定义。 对可微函数：
三、凸规划定义 最优化问题的目标函数为凸函数，不等式约束函数也为凸函数，等式约束函数是仿射的，则称该最优化问题为凸规 划。 凸规划的可行域为凸集。 四、凸规划性质 1-凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。 2-当凸规划的目标函数为严格凸函数时，若存在最优解，则这个最优解一定是唯一的最优解。
凸函数与物理应用
凸函数与物理应用凸函数是数学中很重要的一类函数，它具有许多有趣的性质，并且广泛应用于各个领域，包括物理学。
在本文中，我们将介绍凸函数的定义及性质，并探讨它在物理应用中的一些例子。
一、凸函数的定义和性质凸函数是一类具有下凸形状的函数，即在图像上任意两点连线的斜率都不会超过两点之间斜率的上确界。
简单来说，凸函数的函数值区间上的所有点都在连结这些点的曲线（凸壳）的上方。
具体来说，一个函数f(x)是凸函数，当且仅当：$$ f(\alpha x + (1-\alpha)y) \ge \alpha f(x) + (1-\alpha)f(y) $$其中$\alpha \in [0,1]$，并且在区间上f(x)的导数是单调递增的。
凸函数的性质有很多，这里列举其中几个：1. 任意凸函数的连结两点之间的割线斜率大于等于它们之间曲线的斜率。
2. 任意凸函数的局部最小值也是全局最小值。
3. 任意凸函数和任意直线的交点个数不会超过2个。
二、凸函数在物理应用中的例子下面我们将介绍几个凸函数在物理应用中的例子。
1. 热力学中的Gibbs自由能Gibbs自由能是热力学中非常重要的概念，它表示热力学系统在恒定温度和压力下的最小自由能。
Gibbs自由能也是一个凸函数，它的凸性质保证了它的局部最小值是全局最小值，从而得到了许多热力学上的重要性质。
2. 最短路径问题在路网中，我们可以将每条路径的长度看作是一条曲线，而这些曲线的上凸壳（convex hull）就是路径的最短长度。
凸函数可以被用于解决这个问题。
例如，在动态规划算法中，矩阵中的每个元素可以被表示为点，然后使用凸性质找到最优路径。
3. 非线性光学在非线性光学中，我们可以将一束光按时间顺序拆分成若干个光子（或者说“光量子”），然后使用紧凑性或凸性优化技术，找到反向传播光的最优路径。
这个反向传播的最优路径类似于最短路径问题，因此可以使用凸函数来解决它。
结论在物理应用中，凸函数是一个非常有用的数学工具。
凸函数的性质
凸函数的性质：（1）设)(),(21x x f f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则)()(21x x f f +也是Ω上的凸函数； （2）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意常数0>c，函数)(x cf也是凸函数； （3）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意实数c，水平集{}c f ≤Ω∈)(,x x x 是凸集。
（4）设Ω是内部非空的凸集，)(x f是定义在Ω上的凸函数，则)(x f 在Ω的内部连续。
凸函数的判定条件当函数一阶或二阶可微时，除了可以根据定义来判断其是否是凸函数外，更常用的方法是如下的判别条件：定理1-2 定义在凸集nR⊂Ω上的可微函数)(x f 为凸函数的充要条件是：对于任意Ω∈y x ,都有)()()()(x y x x y -∇+≥Tf f f （1-23）定理1-2的几何意义：设)(x f 是一元凸函数，21,x x 是两个不同点，则))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥即凸函数的图像上任一点切线上的纵坐标总不大于曲线在该点的纵坐标，见图1-4，反之亦然。
图1-4 凸函数的几何意义只要将定理1-2中（1-23）式的“≥”改为“>”，就可得到严格凸函数的充要条件。
定理1-3（凸函数的二阶充要条件） 设nR⊂Ω为含有内点的凸集，)(x f在Ω上二次可微，则)(x f 为Ω上凸函数的充要条件是：)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在整个Ω上半正定。
特别地，当1=n时，)(x f 的Hesse 矩阵)()(2x f x f ''=∇，则该定理为：若)(x f 具有二阶连续导数，则)(x f 为凸函数的充要条件是：0)(≥''x f，其中),(b a x ∈。
定理1-4（严格凸函数的二阶充分条件） 设nR⊂Ω为非空开凸集，)(x f在Ω上二次可微，若)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在Ω上处处正定，则)(x f 为Ω上的严格凸函数。
凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
凸函数与严格凸函数的几个新判别准则凸函数是数学中一类非常重要的函数形式，它在优化理论、经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
而严格凸函数则是凸函数中的一种特殊情况，具有更严格的性质。
在本文中，我们将讨论凸函数和严格凸函数的定义，并介绍凸函数与严格凸函数的几个新判别准则。
首先，我们来回顾一下凸函数的定义。
对于定义在实数集合上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2以及任意的t∈[0,1]，都有如下的不等式成立，那么f(x)是一个凸函数：f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2)凸函数的定义可以解释为，对于函数上的任意两个点，连接这两个点的线段上的所有点的函数值都不大于这条线段的两个端点的函数值的加权平均。
也就是说，凸函数图像上的任意两点之间的线段上的所有点都位于图像的下方或者位于图像上。
接下来，我们来介绍凸函数的两个基本性质：1.凸函数的定义域必须是一个凸集。
这意味着，对于定义在一维空间上的凸函数，它的定义域必须是一个区间，对于定义在多维空间上的凸函数，它的定义域必须是一个凸集合。
2.凸函数的一阶导数是单调递增的。
这意味着，对于凸函数f(x)，它的导数f'(x)在定义域上必须是单调递增的，也就是说，对于任意的x1<x2，在x1和x2之间的任意一点x，都有f'(x1)≤f'(x)≤f'(x2)。
不过，仅仅通过这两个性质来判断一个函数是否是凸函数可能不够严格，因为它们仅仅是凸函数的充要条件而不是必要条件。
为此，我们引入了更严格的严格凸函数的定义。
对于定义在实数集合上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2(x1≠x2)，都有如下的不等式成立，那么f(x)是一个严格凸函数：f(tx1+(1-t)x2) < tf(x1) + (1-t)f(x2)严格凸函数的定义要求连接函数上任意两点的线段上的所有内点的函数值都严格小于连接这两个点的线段的两个端点的函数值的加权平均。
凸函数 透视函数
凸函数透视函数凸函数和透视函数是数学中非常重要的两个概念，它们广泛应用于各个领域中，包括金融、经济、物理、工程等等。
接下来，我们将从定义、性质以及应用三个方面来全面地介绍凸函数和透视函数。
一、凸函数的定义和性质凸函数是指在定义域上，任意两个点的连线都在曲线的上方或者曲线上，即曲线一定是向上凸起的。
凸函数的定义可以用下面的公式来表示：f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y)，其中0<=t<=1。
其中f(x)表示函数在x点处的取值。
上述公式表达了凸函数的性质，即对于函数上任意两点x和y，函数值在x处和y处取得的线性插值不会超过这两点线性插值得到的值。
凸函数的性质还包括：1.凸函数的导函数是单调递增的。
2.凸函数的二阶导函数大于等于0。
3.凸函数的局部最小值一定是全局最小值。
4.凸函数的下凸壳是凸函数的下包络线。
二、透视函数的定义和性质透视函数是指在n维空间中，通过将一个点映射到一个较低维度的子空间上来获取新的点的函数。
透视函数可以用下面的公式来表示：P(x)=(x1,x2,...,xk),其中1<=k<n。
其中n表示原始空间的维度，而k则代表透视后的子空间的维度。
透视函数的性质还包括：1.透视函数具有线性变换性质。
2.透视函数是可逆的。
3.透视函数是正交的。
4.透视函数能够将高维空间中的平面映射为低维空间中的平面。
三、凸函数和透视函数的应用凸函数和透视函数在不同领域中都有着广泛的应用。
比如，在金融中，凸函数可以用于描述风险收益关系，透视函数则可以用于降维处理，提高数据分析效率。
在物理学上，凸函数可以用于描述能量和势能的关系，透视函数则可以用于多光子激发等计算。
在计算机图形学中，透视函数则是构建3D图形的基础。
总之，凸函数和透视函数在理论研究和实际应用中，都有着不可替代的重要作用。
无论是从数学角度还是从实际应用中，我们都应该深入理解和掌握它们的基本概念、性质和应用。
如何证明凸函数
如何证明凸函数
1.使用定义：凸函数的定义是指对于函数f(x)上的两个点a和b，如果对于任意的t∈[0,1]，都有f((1-t)a+tb)≤(1-t)f(a)+tf(b)，那么函数f(x)就是凸函数。
因此，可以使用这个定义来证明函数的凸性。
2. 使用二阶导数的判别法：对于二次可导函数f(x)，如果f''(x)≥0，则函数f(x)是凸函数。
因为二阶导数大于等于0意味着函数的曲线是向上凸的。
3. 使用一阶导数的判别法：对于一阶可导函数f(x)，如果f'(x)单调递增，则函数f(x)是凸函数。
因为f'(x)的单调性决定了函数
f(x)的曲线的斜率单调递增，也就是说，曲线是向上凸的。
4. 使用Jensen不等式：Jensen不等式指出，对于凸函数f(x)和任意的实数x1,x2,…,xn和对应的权重w1,w2,…,wn，有
f(w1x1+w2x2++wnxn)≤w1f(x1)+w2f(x2)++wnf(xn)。
因此，可以使用Jensen不等式来证明函数的凸性。
总之，证明函数的凸性需要使用不同的方法，具体取决于函数的性质和定义。
- 1 -。
凸函数上凸下凸凹函数
凸函数上凸下凸凹函数凸函数、上凸函数、下凸函数和凹函数是数学中常见的函数类型，它们在经济学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍这些函数类型的定义、性质和应用。
一、凸函数的定义和性质凸函数是定义在实数区间上的一类函数，它具有很好的几何性质。
具体来说，如果函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件，那么它就是凸函数：1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≤tf(a)+(1-t)f(b)。
这个条件称为凸函数的Jensen不等式。
从几何上来看，Jensen不等式意味着函数图像上任意两点之间的连线位于函数图像的下方。
这个性质被称为凸函数的上凸性。
凸函数的性质包括以下几个方面：1.凸函数的上凸性。
对于凸函数f，任意两点a和b以及他们之间的连线位于函数图像的下方。
2.凸函数的上确界性质。
如果函数f在一些区间上凸且上有界，那么在该区间上必存在一个唯一的点c，使得f(x)≤f(c)，对于任意的x∈区间。
3.凸函数的导数性质。
凸函数的导函数是非递减的。
也就是说，如果函数f在一些区间上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非负。
凸函数有许多应用，特别是在经济学和运筹学中。
经济学家和决策者常常使用凸函数来描述效用函数、成本函数、收益函数等。
在运筹学中，凸函数被广泛应用于线性规划、非线性规划和凸优化等问题的建模和求解。
二、上凸函数和下凸函数的定义和性质上凸函数和下凸函数是凸函数的两个特殊情况。
上凸函数是指函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件：1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≥tf(a)+(1-t)f(b)。
上凸函数的性质包括：1.上凸函数是凸函数的一种特殊情况。
也就是说，任何一个上凸函数都是凸函数。
2.上凸函数的导数是非递增的。
也就是说，如果函数f在一些区间上上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非正。
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关于凸函数的定义和性质作者：宋方， SONG Fang作者单位：东华大学,人文学院,法学0601,上海,201620刊名：数学的实践与认识英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY年，卷(期)：2007，37(8)被引用次数：3次1.华东师范大学数学系数学分析 19912.孙本旺数学分析中的典型例题和解题方法 19813.李文荣.徐本顺凸函数-不等式-平均值 19901.学位论文王玮递归可枚举度的一些代数性质2006长期以来图灵度形成的偏序结构D=(D，≤)是递归论的一个主要研究对象，对其子结构(R，≤)的研究则是一个重要分支。
这里R是所有递归可枚举度的集合，递归可枚举度是可以由一个递归可枚举集合代表的图灵度，而递归可枚举集合在哥德尔不完备定理的证明中扮演了重要角色：给定一个递归的、协调的公理系统，如果它蕴含谓词演算，则其所有的定理构成一个非递归的递归可枚举集合。
R的研究历史上的第一个著名问题是(Post(1944))：是否存在除了O(递归集合构成的图灵度))和O'(停机问题代表的图灵度)之外的递归可枚举度?这个问题的肯定答案由Friedberg(1957)和Mu(c)nik(1956)独立地发现，他们的证明引入了优先方法。
接下来的几十年，人们在Friedberg—Mu(c)nik工作的基础上发展出更复杂的优先方法，并用这些方法发现了(R，＜)的很多重要性质。
Sacks稠密性定理的证明导致许多人猜测冗是一个简单的结构，比如：Shoenfield(1965)猜想这个结构是齐次的(即如果一个偏序P可以嵌入R中，而且Q是P的一个扩张，则在R中也可以把P扩张到Q)，而Sacks猜想R的一阶理论是递归的。
Shoenfield的猜想被Lachlan(1966)和Yates(1966)独立地反驳。
他们在反驳中构造了称为极小对的递归可枚举度：a∧b=0(a，b＞0)(这样的a或b的集合加上0记为M)。
Lachlan和Yates的工作引起人们对R局部性质的兴趣，人们期望通过引入更多的局部性质并且通过对局部性质的研究揭示R的整体性质，例如：Sacks的猜想是否成立?然而Sacks猜想的反驳(Harrington and Shelah(1982))最终借助于在R中可定义地解释其它数学结构这样的模型论手段，而不是引入简单自然的局部性质。
事实上模型论的方法早就应用在D的研究中。
但是由R的局限性带来的复杂性，意味着应用模型论方法需要更复杂的技巧。
这些技巧近年来由Nies，Shore，Slaman和Woodin等在Harrington and Shelah(1982)的基础上系统地发展起来。
越来越多整体性质的研究都引入了模型论或者集合论的工具，需要其它逻辑分支的知识和技巧，也需要应用优先方法进行更加复杂的构造。
在本论文中，我们将从格论和模型论的角度出发研究R的一些整体性质：可定义理想和滤子的存在性，子结构和R的关系，以及同余关系和商结构。
为此我们将借助Nies，Shore和Slaman等发展的在R中解释数论模型(N，+，O)的工具。
本文将在第二章中研究R的一个理想。
在这方而的一个重要结果是Ambos-Spies et al．(1984)发现的：R可以分解为一个超滤NC和一个素理想M，并且它们是可定义的。
然而自此以后，人们一直未能找到其它可定义的代数子结构。
这方面的突破一直等到Nies(2003)证明“所有R的可定义子集生成的理想也是可定义的”。
Yu and Yang(2005)应用这一有力的结果找到了的更多的理想，其中的一个理想是由NB生成的。
Li and Yang(2003)注意到NB的构造和PC的构造接近，因此问它们是否生成同一个理想。
我们将证明上述的集合生成不同的理想，事实上PC生成一个之前未知的理想。
另一方面我们证明了：任何非主理想都是R的∑1-初等子结构。
这一结果从模型论的角度说明非主理想在一定程度上反映了R的性质。
在本论文的第三章，我们第一次给出定义滤子的一般手段：利用Nies(2003)的一个定理，我们证明“所有R的可定义子集生成的滤了也是可定义的”，这就意味着我们可以通过寻找R的可定义子集来寻找可定义的滤子。
这是上述Nies关于可定义理想的结果的对偶。
应用上述结论，我们找到两个新的可定义滤子：分别由Cups(M)和NSB生成的滤子。
在此之前，NC是唯一已知的可定义滤子。
另一方面，R的商结构的一些基本性质至今没有被系统地研究，比如稠密性。
Schwarz(1984)证明了(R/M，≤)是向下稠密的。
在第四章，我们定义了一个并非由理想诱导的同余关系，并且证明其诱导的商结构并不稠密：另一方面，尽管此同余关系和“模NCup”非常相近，我们却能够证明它们并不相同。
2.期刊论文梁滨久.Liang Binjiu方志性质定义与性质判断-中国地方志2006(2)形式逻辑里的性质定义和性质判断是两个不同问题,二者有密切联系,也有区别.方志性质定义和性质判断就是既有联系又有区别的.方志性质定义是揭示方志根本属性的逻辑方法,方志性质判断则是断定方志具有(或不具有)某性质的判断.二者有不同的要求和特点,是可以辨别出来的,将二者混淆起来的观点是需要加以纠正的.3.学位论文王耘粗糙集与粗糙函数模型研究2008本文讨论粗糙集理论和粗糙函数模型的若干相关问题。
主要研究内容包括：粗糙函数模型基本理论的深化和推广，粗糙函数模型中粗糙隶属函数及其性质讨论，粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性，以及离散函数的粗连续性讨论，粗糙函数模型中粗微积分及其应用，等等。
第一章是对粗糙集相关理论的简要综述。
主要介绍了粗糙集提出的背景与发展概况，粗糙集理论的研究领域与现状，以及粗糙集理论的基本概念。
第二章深化和推广了基于粗糙集理论的粗糙函数模型。
Pawlak 的粗糙函数模型未给出任一实数在实轴和标度两种度量下的离散化形式，其中粗糙函数的定义未能反映出粗糙函数定义和取值于整数集的显著特征.从数学的角度来看，这种定义是不严格的；从应用的角度来看，这种定义形式下的粗糙函数是不适于计算机及粗糙控制等方面的应用的.本章对Pawlak粗糙函数模型的基本概念进行改进，第二节提出标度上(下)近似，实轴上(下)近似两对近似算子的概念，并分析二者的性质及其对偶特性，给出标度双射定理及相关命题和结论.第三节以不可分辨关系为出发点，将两对近似算子推广到二维平面，建立新的实轴-标度粗糙函数模型(RL-S粗糙函数模型)。
第三章对粗糙函数模型中的粗糙区间与粗糙隶属函数及其性质展开讨论。
在实轴-标度粗糙函数模型(RL-S粗糙函数模型)的理论框架下，第二节定义了粗糙函数模型中的粗糙数、粗糙区间等概念，通过分析得出粗糙区间类似于粗糙集的一系列运算性质.第三节讨论了粗糙隶属函数及其性质并利用粗糙隶属函数给出粗糙区间另一种形式的等价定义.利用实数域上的上下近似算子及粗糙隶属函数两种工具，第四节分别定义粗糙区间的粗包含与粗相等关系，并分析其诸多性质.提出两个定理说明了粗糙区间的粗包含与粗相等的两种定义形式在考虑粗糙区间边界信息的附加条件下是等价的。
第四章讨论粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性.粗糙函数模型基于对应某一标度的不可分辨关系，将实数轴划分成由点及开区间构成的等价类，即将实轴离散化.离散化后的实轴上也存在数列这一概念，那么实轴的离散化对数列的影响是什么，离散化后实轴上的数列又有什么相同和不同的性质?这些问题在Z.Pawlak的粗糙函数模型中并未涉及.针对以上问题，本章第二节定义并讨论实轴离散化后，粗柯西数列的收敛性.给出实数轴离散化后与收敛数列极限唯一性定理截然相反的性质，即提出粗收敛数列粗极限的不唯一性定理.讨论了收敛与粗收敛、发散与粗发散的逻辑关系，并对相关结论的直观意义予以说明.第三节定义了粗有界性等概念，分析了有界性与粗有界性的关系.分别提出粗收敛的必要条件和充分条件.第四节给出离散化数轴上粗第五章研究粗糙函数模型中的粗连续离散函数及其性质.对于定义和取值于实数轴的一般实函数，其中一类重要的函数就是连续函数，而在粗糙函数模型中，粗糙连续性也是其中离散函数的一个首要性质.关于离散函数的粗糙连续性，Pawlak仅给出其定义和以充要条件的形式给出粗连续函数的介值定理，并未加证明.而其他少有的相关文献也未对该理论进行探讨.关于粗糙函数模型及粗糙连续性等相关理论和应用的完善是一个亟待解决的问题.事实上，Pawlak给出的粗糙连续性定义与实函数的连续性定义是没有可比性的，而Pawlak改进后的介值定理中的充要条件是不满足的，即只成立粗连续的必要条件，充分条件不成立.为此我们提出以下问题：Pawlak粗糙连续性与实函数的连续性有何关系?它满足什么运算性质?闭区间上连续实函数的性质定理对粗糙连续离散函数是否成立，如何证明?粗糙函数模型中的离散函数是否也存在不动点的相关概念和理论?等等.本章针对以上问题展开讨论.第二节以与经典连续的ε-δ定义相类似的形式给出离散函数粗连续的概念，并且证明了粗糙连续性的ε-δ定义与Pawlak粗糙连续性的另两种定义是一致的.第三节讨论粗连续函数的取大，取小，取余等一系列运算性质.第四节将闭区间上连续函数的性质加以推广，给出闭区间上离散函数的最值定理，有界性定理及新的介值定理.以反例的形式说明了Pawlak介值定理的充分性不成立.提出与粗糙连续性密切相关的连通函数的概念，以此为工具对新介值定理作出严格的证明。
第五节提出离散函数的粗不动点的概念，给出粗糙连续函数的粗不动点定理，并做了一定探讨。
第六章对粗糙函数模型中的粗微积分及其应用问题展开讨论.本章的具体工作如下。
关于粗糙函数模型中离散函数的粗导数，Pawlak提出粗导数的定义，给出两个离散函数四则运算的粗导数法则和高阶粗导数公式；并指出对于一般的离散函数，不成立费马定理和罗尔定理.在Pawlak给出的粗导数理论框架下，第六章第二节对这一部分内容作了改进和发展.第二节第_小节分析粗导函数及高阶粗导函数的函数特征，指出Pawlak给出的高阶粗导数定义的不完善之处，提出广义粗糙函数的概念，对原高阶粗导数定义进行改进.Pawlak只给出粗导数的四则运算公式及高阶粗导数公式的结论，未作证明.而其它少有的文献只是对粗导数的四则运算公式做出证明.本小节利用数值分析差分原理中单位映射和恒等映射的概念，对高阶粗导数公式做出证明.事实上，费马定理和罗尔定理即使对于粗连续的离散函数也是不成立的.为完善粗糙函数模型中粗导数应用的理论基础，第二节第二小节给出离散函数粗极值的概念，提出并证明了粗光滑离散函数的费马定理和罗尔定理.第二节第三小节定义离散函数的粗单调性和粗凹凸性的概念，通过与连续实函数导数的应用相对比，提出粗导数与粗单调性的关系定理，粗极值的两个充分条件，粗导数与粗凹凸性的两个关系定理，同时得到离散函数粗光滑的充分条件等一些新的结果。