数理统计1-6

0
x
2
(x)
x2 x 4
1
0
x
2
x
第一章 概率论
当x>2时, F ( x )
t 0dt ( 1) dt 0dt 2 0 2
0
2
x
( x)
1
2 t2 2 | t | 1 2 1 0 4 0
0
2
x
x
第一章 概率论
综合前面最后得
150
100
100 1 dx 2 x 3
P X 150 F (150) 1
100 1 150 3
设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时的元 件数， Y ~ B(5, 1/ 3).
80 1 2 2 P{Y 2} C5 243 3 3
第一章 概率论
用两种方法计算P{1.5<x<2.5}的示意图 (x)
1
0.0625
0
F(x)
1.5
2 2.5 0.0625
x
1 0
1.5 2 2.5
x
第一章 概率论
例5*: 设 X 是连续型随机变量，其密度函 数为 2
c 4 x 2 x f x 0


0 x2 其它
2) F( x) ； (3)P X 1． 求：⑴常数c； (
1
F(x) 0 1 2 3 x
第一章 概率论
1.6.7 连续型随机变量的概念与性质 1) 定义 随机变量X在某区间上连续取值 ，存在非 P( X x) 负函数 f (x)，使得对于任意实数 x ， 有
P( X x) F ( x)
x

f (t )dt ,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数,简称概率密度.
1
f x dx
0
0.5
3 2 4 x 2 x dx 8
0.5
3 2 2 3 5 2x x 8 3 0 32
2 3 3 2 5 P ( 1 X 0.5) F (0.5) - F (-1) 2 0.5 0.5 8 3 32
b.根据概率密度函数进行计算
第一章 概率论
(3.b)根据概率密度函数计算 P{1.5<x<2.5}
P{1.5 2.5} x ( 1)dx 2 1.5
2 2
2.5
1.5 2.5
( x)dx
0dx
2
2.5 x 2 | x| 2 4 1.5 1 0.5625 0.5 0.0625
cos x ( x ) g( x) 2 2 (其它) 0

2

2
x
y
f ( x) 0
y cos x




2
O
2



x


g( x )dx cos xdx [sin x ] 2 1 ( 1) 2 1
第一章 概率论
(3) P X 1


1
3 1 2 f x dx 4 x 2 x dx 8 2 1
2
3 2 2 3 1 P X 1 1 F (1) 1 2 x x 8 3 1 2
0.5
(4) P ( 1 X 0.5)
x 2
2
0
x

f t dt
0
x
0
x
tdt
0
第一章 概率论
当1 x 2时，F x
0

tdt 2 t dt
1 2 x 2x 1 2
0 1
1
f t dt f t dt f t dt
(x)
1
x 1 0 x 2 ( x) 2 其它 0
0
2
x
第一章 概率论
(2) 计算分布函数 F(x)
当x<0时,
F ( x ) 0dt 0

x
(x)
1
x 0
2
x
第一章 概率论
当0<x<2时,
x t t x F ( x ) 0dt ( 1) dt | t | 0 0 2 4 0
2 3
第一章 概率论
一些常用的连续型随机变量 1.6.8 正态分布（Normal Distribution） 如果连续型随机变量X的密度函数为
f ( x) 1 2
2
e

( x )2 2 2
0
f (x)
X ~ N (, )
(1)对称性(2)最大值(3)拐点
x
第一章 概率论
综上所述, 最后得分布函数为
0 xa F ( x) ba 1
xa a xb xb
第一章 概率论
F(x) 的图形如下
F(x) 1 0 a
b
x
第一章 概率论
例4 已知连续型随机变量有概率密度
kx 1 0 x 2 ( x) 其它 0
x
0 1

f t dt
1
x
x
第一章 概率论
当x 2时，F x
0 1

f t dt
2 x 1 2
x


1
f t dt f t dt f t dt f t dt
0
2 0 1
tdt 2 t dt
1
当 a<x<b 时
( x)
1 ba
0
a
a
x
x
b
x
F ( x)

0dt
a
x 1 1 xa dt t| ba ba a ba
第一章 概率论
当 x >b 时
(x)
1 ba
0
a
a
b
b
x
x
x
1 1 b F ( x ) 0dt dt 0dt 1 | a b a b a a b
求系数k及分布函数F(x), 并计算P(1.5<x<2.5) 解 (1)
0 2
( x )dx 0dx ( kx 1)dx 0dx
0 2

2 1 22 kx | x| 2k 2 1 0 0 2 1 k 2
第一章 概率论
则 ( x ) 及其图形如下
y
O
100
x
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. y 解： 0 x 100
F x 100 1 x x 100
O
100
x
第一章 概率论
P X 150
150

f x dx
a b
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b

1 ba
第一章 概率论
( x ) 的图形为
( x)
1 ba
0
a
b
x
x
求分布函数F(x)则是根据公式
F ( x ) (t ) dt

第一章 概率论
当 x <a 时
(x)
1 ba
0
x a
x
b
x
F ( x ) 0dt 0

第一章 概率论
x2 . F ( x ) P { X x } P { X 0} P {0 X x } 4
（ 3） 若 x
2,
则 { X x } 是必然事件，于是
F ( x ) P { X x } 1.
第一章 概率论
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 x 2. 1,




2
2
第一章 概率论
例3 若 有概率密度
a x b ( a b ) ( x) 其它 0
则称ξ 服从区间[a,b]上的均匀分布, 试求λ 和分布 函数F(x).

解

( x)dx 0dx dx 0dx (b a ) 1
分布函数与密度函数
几何意义
F(x)
0.08 0.06 0.04 0.02
y f ( x)
-10
-5
x
5
x
第一章 概率论
例2: 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，假定射击 都能中靶,弹着点在圆上均匀分布，以 X 表示 弹着点与圆心的距离, X 的分布函数:
x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 x 2. 1, x , 0 x 2, f ( x) 2 0, otherwise
第一章 概率论
例6 设随机变量 X的密度函数为 0 x1 x f x 2 x 1 x 2 0 其它 试求 X 的分布函数．
解： 当 x 0时，F x
当0 x 1时，F x
x

f t dt f t dt f t dt
F (x ) 1
X
0
1
1 f (x )
2
3
x
F ( x)
x