24 内积空间中的正交性

2.4 内积空间中的正交性Inner Product Spaces and Orthogonality在三维空间中，如右图1所示任取一平面M ，空间中的每一个矢量x 必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量0x 在平面M 上，另一个向量z 与平面M 垂直，即0x x z =+，0x z ⊥．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？图2.4.1 三维空间向量的分解，向量0x x z =+，其中0x z ⊥2.4.1 正交分解定义2.4.1 正交设X 是内积空间，,x y X ∈，如果(,)0x y =，则称x 与y 正交或垂直，记为x y ⊥．如果X 的子集A 中的每一个向量都与子集B 中的每一个向量正交，则称A 与B 正交，记为A B ⊥．特别记x A ⊥，即向量x 与A 中的每一个向量垂直．定理2.4.1 勾股定理设X 是内积空间，,x y X ∈，若x y ⊥，则222x y x y +=+． 证明 2(,)x y x y x y +=++(,)(,)(,)(,)x x x y y x y y =+++(,)(,)x x y y =+22x y =+．□注1: 在内积空间中，是否存在222x y x y +=+ ⇒x y ⊥？显然由2x y+(,)(,)(,)(,)x x x y x y y y =+++222Re(,)x y x y =++，可知在实内积空间中222x y x y x y +=+⇒⊥成立．定义2.4.2 正交补Orthogonal complement设X 是内积空间，M X ⊂，记{|,}M x x M x X ⊥=⊥∈，则称M ⊥为子集M 的正交补．显然有{0}X ⊥=，{0}X ⊥=以及{0}M M ⊥= ．性质2.4.1 设X 是内积空间，M X ⊂，则M ⊥是X 的闭线性子空间． 证明 (1) M ⊥是X 的线性子空间,x y M ⊥∀∈，,αβ∈K ，z M ∀∈，有(,)(,)(,)(,)(,)0x y z x z y z x z y z αβαβαβ+=+=+=，于是x y M αβ⊥+∈，因此M ⊥是X 的线性子空间．(2) M ⊥是X 的闭子空间设{}n x M ⊥⊂，且依范数0n x x →()n →∞，于是z M ∀∈，有0(,)(lim ,)lim(,)0n n n n x z x z x z →∞→∞===．因此0x M ⊥∈，即M ⊥是X 的闭子空间．□注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert 空间中(完备的内积空间)，任意子集M 的正交补M ⊥是完备的子空间，即Hilbert 空间的正交补M ⊥也是Hilbert 空间．定义2.4.3 正交分解设M 是内积空间X 的子空间，x X ∈，如果存在0,x M z M ⊥∈∈，使得0x x z =+，则称0x 为x 在M 上的正交投影或正交分解．引理 2.4.1 设X 是内积空间，M 是X 的线性子空间，x X ∈，若存在y M ∈，使得(,)x y d x M -=，那么x y M -⊥．证明 令z x y =-，若z 不垂直于M ，则存在1y M ∈，使得1(,)0z y ≠，显然10y ≠． 因为α∀∈K ，有2111(,)z y z y z y ααα-=--21111(,)(,)(,)z y z z y y y αααα=--+ 21111(,)[(,)(,)]z z y y z y y ααα=---特别取111(,)(,)y z y y α=，则可得222222121111(,)(,)(,)(,)y z z y z z y z zx yd x M y y αα-=-=-≤=-=，即知1(,)z y d x M α-<．又由于1y M α∈，所以111()(,)z y x y y x y y d x M ααα-=--=-+≥．产生矛盾，故x y M -⊥．□定理2.4.1 投影定理设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，则H 中的元素x 在M 中存在唯一的正交投影，即x H ∀∈，0x x z =+，其中0,x M z M ⊥∈∈．(或表示为H M M ⊥=⊕)证明 (1) 寻找0x 进行分解．x H ∀∈，设(,)inf{}0y Md x M x y a ∈=-=>，则存在{}n y M ⊂，使得n y x a -→ ()n →∞，首先证{}n y 是M 中的基本列，因为,m n ∀∈N 有22()()m nm n y y y x x y -=-+- 22222()()m nm n y x x y y x x y =-+-----2221224()2m nm n y x x y y y x =-+--+-因为,m n y y M ∈及M 是子空间，知1()2m n y y M +∈，所以1()2m n y y x a +-≥，于是2m ny y -222224m ny x x y a ≤-+--0(,)m n →→∞故{}n y 是M 中的基本列，又因M 是闭子空间，即为完备空间，所以{}n y 是M 中的收敛列．不妨设0()n y x n →→∞，则有0(,)a x x d x M =-=．令0z x x =-，因此有0x x z =+，其中0x M ∈，且根据前面引理知z M ⊥∈．(2) 分解的唯一性．假设还存在1x M ∈，1z M ⊥∈使得11x x z =+，那么有0110()()x x z z =-+-，1⊥-∈z z M ，于是只需0的分解具有唯一性．若0y'z'=+，y'M ∈，⊥∈z'M ，则20(0,)(,)(,)(,)y'y'z'y'y'y'z'y'y'==+=+=可见0y'=及0z'=，即0的分解具有唯一性．□例2.4.1 证明在内积空间上，x y ⊥的充要条件是α∀∈K 有x y x α+≥．证明 必要性⇒ 若x y ⊥，则有(,)0x y =，α∀∈K 有(,)(,)0x y x y αα==，于是由勾股定理得：2222x y x y x αα+=+≥．充分性⇐若α∀∈K 有x y x α+≥，且0y ≠时，220x y x α≤+-(,)(,)x y x y x x αα=++-(,)(,)(,)(,)(,)x x y x x y y y x x αααα=+++- (,)[(,)(,)]y x x y y y ααα=++特别取(,)(,)x y y y α=-，于是， 220x y x α≤+-22(,)(,)(,)0(,)x y x y y x y y y=-=-≤ 故(,)0x y =，即x y ⊥．□2.4.2 标准正交系在三维空间中，任何一向量α可写成112233a e a e a e α=++，其中1(1,0,0)e =，2(0,1,0)e =，3(0,0,1)e =，11(,)a e α=，22(,)a e α=，33(,)a e α=，显然当i j ≠时，i j e e ⊥，而(,)1i i e e =．可见112233(,)(,)(,)e e e e e e αααα=++，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢？定义2.4.4 标准正交系设X 是内积空间，{}n e 是X 中的点列，若满足1(,)0i j i je e i j=⎧=⎨≠⎩．则称{}n e 为X 中的标准正交系．例2.4.2 在n 维内积空间n R 中，向量组1(1,0,,0)e = ，2(0,1,0,,0)e = ， ，(0,,0,1)n e = ，是n R 的一个标准正交系．□例 2.4.3 在2l 中，向量(0,,0,1,0,,0,)n ne = (1,2,n = )，则{}n e 是2l 的一个标准正交系．□例2.4.4 在2[,]L ππ-中，对于2,[,]f g L ππ∈-，定义内积为1(,)()()f g f t g t dt πππ-=⋅⎰则下列三组向量均是2[,]L ππ-的标准正交系，{}{cos ,1,2,}n n n e e e nx n === ；{}{sin ,1,2,}'''n n n e e e nx n === ；*00{}{,,cos ,sin ,1,2,}''n n n n n e e e e e e nx e nx n ===== ．□注3: 如果线性空间上中的点列{}n e 的任意有限个元素线性独立，则称{}n e 为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设12{,,,}kn n n e e e 是标准正交系{}n e 的一个有限子集，如果存在12,,,k ααα∈ K 使得12120kn n k n e e e ααα+++= ，那么对于任意的j α(1j k ≤≤)11(,)(,)(,)(,)(0,)0jjjjt jt j jk kj j n n j n n t n n t n n n t t e e e e e e e e e ααααα========∑∑.反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系．定理2.4.2 设{}n e 为内积空间X 的标准正交系，12{,,,}kn n n e e e ⊂{}n e ，记12{,,,}k n n n M span e e e = ，那么x X ∀∈，01(,)i i kn n i x x e e ==∑是x 在M 上的正交投影．即0x M ∈，0x x z =+，0()x x M -⊥．证明 显然0x M ∈，y M ∀∈，由于存在12,,,k ααα∈ K ，使得1,i ki n i y e α==∑于是011(,)((,),)i i i k kn n i n i i x x y x x e e e α==-=-∑∑111(,)((,),)i i i i kk ki n n n i n i i i x e x e e e αα====-∑∑∑11(,)(,)(,)0i i i i k ki n i n n n i i x e x e e e αα===-=∑∑．□注4: 上述定理中的M 为k 维闭子空间，作为内积空间M 与k R 同构，M 也是完备的子空间，根据投影定理，x 在M 上的正交投影0x 唯一存在．定理2.4.3 设{}n x 为内积空间X 中任意的一组线性独立系，则可将{}n x 用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系{}n e ，且对任何自然数n ，有()(),n n k k αβ∈K()1nn n k k k x e α==∑，()1nn n k k k e x β==∑，同时1212{,,,}{,,,}n n span e e e span x x x = ．证明 令111x e x =，则有11e =．记11{}M span e =，根据上述定理可将2x 在1M 上做正交分解22112(,)x x e e v =+，即21v e ⊥，21v M ⊥∈，得22211(,)v x x e e =-．令222v e v =，则有21e =，21e e ⊥，且有 21221221(,)1x e e x x v v x =-，221122(,)x x e e v e =+． 记212{,}M span e e =，将3x 在2M 上做正交分解33113223(,)(,)x x e e x e e v =++，则30v ≠及32v M ⊥∈，得33311322(,)(,)v x x e e x e e =--，可令333v e v =，从而治3x 是123,,e e e 的线性组合，3e 是123,,x x x 的线性组合．以此类推，可令11(,)n n n n i i i v x x e e -==-∑，且有121,,,n e e e - 正交，进而令nn nv e v =，显然1n e =，于是11()111(,)(,)n n nn n n n i i n n n i i i i i i i x v x e e v e x e e e α--====+=+=∑∑∑．同时可得n e 是12,,,n x x x 的线性组合．□线性与非线性泛函◇。