高中数学必修二平面

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高中数学必修二 8 4 1 平面(含答案)

第八章立体几何初步8.4.1 平面一、基础巩固1．下列命题的符号语言中，不是公理的是（） A ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥ B ．P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈C ．∈A l ，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂D ．a b ∥，a c b c ⇒∥∥ 【答案】A 【详解】A 不是公理，在B 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B 是公理．在C 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C 是公理；在D 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是公理； 2．如图所示，用符号语言可表达为（）A ．m n A m A n αβα=⊂⊂⊂，，，B ．m n A m A n αβα=∈∈∈，，，C ．m n m n A αβα=⊂=，，D ．m n m n A αβα=∈=，，【答案】C 【详解】结合图形可以得出平面,αβ相交于一条直线m ，直线n 在平面α内，直线,m n 相交于点A ，结合选项可得C 正确；3．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条【答案】D 【详解】平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ，由公理3知平面11ADD A 与平面1D EF 必有过1D 的交线l ，在平面11ADD A 内与l 平行的直线有无数条，且它们都不在平面1D EF 内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面1D EF 平行. 4．下列说法正确的是（） A ．任意三点确定一个平面 B ．梯形一定是平面图形C ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点D ．一条直线和一个点确定一个平面【答案】B 【解析】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错．C 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，C 错．D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．B 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，故B 对， 5．如图，四棱锥P ABCD -，ACBD O =，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（）A ．,,,O N P M 四点不共面B ． ,,,O N M D 四点共面C ． ,,O N M 三点共线D ． ,,P N O 三点共线【答案】D 【详解】直线AC 与直线PO 交于点O ，所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ，所以必相交于直线PO ，直线AM 在平面PAC 内，点N AM ∈故N ∈面PAC ，故O N P M ，，，四点共面，所以A 错．点D 若与M,N 共面，则直线BD 在平面PAC 内，与题目矛盾，故B 错．O,M 为中点，所以OM //PA ，ON PA P ⋂=，故ON OM O ⋂=，故C 错．6．下列图形中不一定是平面图形的是（） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形【答案】D 【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．7．在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA 、、、上的依次取点E F G H 、、、，若EH FG 、所在直线相交于点P ，则（）A ．点P 必在直线AC 上B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 外D ．点P 必在平面ABC 内【答案】B 【详解】如图：连接EH 、FG 、BD ， ∵EH 、FG 所在直线相交于点P ， ∴P ∈EH 且P ∈FG ，∵EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ， ∴P ∈平面ABD ，且P ∈平面BCD ，由∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD ，故选B ．8．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（） A ．平行 B ．相交C ．平行或相交D ．垂直【答案】C 【详解】由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//α平面β；若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】取1DD 中点F ，连接1,AF C F ．平面1AFC E 为截面．如下图：10．在正方体1111ABCD A B C D 中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11C D 的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D 【详解】解：延长PQ 交CD 的延长线与E ,连ER 交1DD 于T ,则T 为1DD 的中点, 延长TR 交1CC 的延长线与F ,延长QP 交CB 的延长线与G ,连接FG 交1BB 于M ,交11B C 于S ,则易得M ,S 分别为1BB ,11B C 的中点, 连接,,QT RS PM ,则截面为正六边形PQTRSM 为所求截面. 如图所示:11．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面【答案】A 【详解】连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．12．下列说法中正确的个数是（）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④若,A A αβ，且l αβ=，则A 在l 上.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确；对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确；对于④，由公理可得，若,,A A l αβαβ∈∈⋂=，则∈A l ，故④正确. 二、拓展提升13．如图所示，在空间四面体ABCD 中，,E F 分别是AB ，AD 的中点，,G H 分别是BC ，CD 上的点，且11,33CG BC CH DC ==.求证：（1）,,,E F G H 四点共面；（2）直线FH EG AC ，，共点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）连接EF ，GH ，E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥.又11,33CG BC CH DC ==，GH BD ∴∥，EF GH ∴，,,,E F G H ∴四点共面.（2）易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴设FH AC M ⋂=，则M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . ∵平面EFHG ⋂平面ABC EG =，M EG ∴∈，∴直线FH EG AC ，，共点. 14.已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【答案】(1)证明见解析；(2) 45°. 【详解】(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点.求证：（1）1,,,E C D F 四点共面；（2）1,,CE D F DA 三线共点. 【答案】（1）见证明（2）见证明【详解】证明：（1）连接11,,EF A B D C .∵E F ，分别是AB 和1AA 的中点， ∴111,2EF A B EF A B =∥. 又11111111,A D B C BC A D B C BC ∥∥==， ∴四边形11A D CB 是平行四边形， ∴11A BCD ，∴1EF CD ∥，∴EF 与1CD 确定一个平面， ∴1,,,E C D F 四点共面．（2）由（1）知，1EF CD ∥，且112EF CD =， ∴直线1D F 与CE 必相交，设1D FCE P =.∵1D F ⊂平面11AA D D ，1P D F ∈， ∴P ∈平面11AA D D .又CE ⊂平面ABCD ，P EC ∈，∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面11AA D D 的公共点，又平面ABCD 平面11AA D D AD =，∴P AD ∈，∴1,,CE D F DA 三线共点．。

高中数学必修二-第一章立体几何初步知识点整理

底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。（4）棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点；当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段叫做棱台的高。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。

高中数学必修二专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .。

高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系

①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆王新敞奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ）（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。新疆
王新敞奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面内，
则 l// 。（）
（2）若直线l与平面平行，则l与平面内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。（）

高中数学必修二《平面与平面平行的判定》PPT

问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用面面平行判定定理的推论；（4）利用面面平行的传递性。对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行，没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可．面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.

新版高中数学必修2课件：8.4.1平面

平面个数是 1 或 3，如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数是 1，所以空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是 1 或
3. 答案：B
2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
方法归纳证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．
微点 2 线共点问题例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上，点 H 在 AD 上，且 DF:FC＝DH:HA＝2:3.求证：EF，GH， BD 交于一点．
证明：如图，连接 GE、HF 因为 E，G 分别是 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC，GE＝12AC. 又 DF:FC＝DH:HA＝2:3，所以 FH∥AC，FH＝25AC，所以 FH∥GE，FH≠GE，所以 E，F，H，G 四点共面，且四边形 EFHG 是一个梯形．延长 GH 和 EF 交于一点 O，因为 GH⊂平面 ABD，EF⊂平面 BCD，所以 O∈平面 ABD，O∈平面 BCD，所以点 O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在直线 BD 上．所以 EF，GH，BD 交于一点．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练 1 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A___∈_____平面 ABC，A____∉____平面 BCD，BD___⊄_____平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝___A__C___.

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用笔记重点大全

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用笔记重点大全单选题1、已知向量a⃑,b⃑⃑满足|a⃑|=2,|b⃑⃑|=1,a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=2，则a⃑与b⃑⃑的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°答案：B分析：由题意，先求出a⃑⋅b⃑⃑，然后根据向量的夹角公式即可求解.解：因为a⃑⋅(a⃑−2b⃑⃑)=a⃑2−2a⃑⋅b⃑⃑=|a⃑|2−2a⃑⋅b⃑⃑=4−2a⃑⋅b⃑⃑=2，所以a⃑⋅b⃑⃑=1，设a⃑与b⃑⃑的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃑⋅b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|=12，因为θ∈[0°,180°]，所以θ=60°，故选：B.2、锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=7、b=8，m⃑⃑⃑=(12,cosA)，n⃑⃑=(sinA，−√32)，且m⃑⃑⃑⊥n⃑⃑，则△ABC的面积为（）A．√3B．3√3C．5√3D．10√3答案：D分析：先由向量垂直得到A=π3，利用余弦定理求出c=3或c=5，利用锐角三角形排除c=3，从而c=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sinA−√32cosA=0，故tanA=√3，因为A∈(0,π2)，所以A=π3，由余弦定理得：cosA=64+c 2−492×8c =12，解得：c=3或c=5，当c=3时，最大值为B，其中cosB=49+9−642×7×3<0，故B为钝角，不合题意，舍去；当c=5时，最大值为B，其中cosB=49+25−642×7×5>0，故B为锐角，符合题意，此时S△ABC=12bcsinA=12×8×5×√32=10√3.故选：D3、已知向量|a⃑|=2,|b⃑⃑|=4，且a⃑,b⃑⃑不是方向相反的向量，则|a⃑−b⃑⃑|的取值范围是（）A．(2,6)B．[2,6)C．(2,6]D．[2,6]答案：B分析：直接由||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|求解即可.由已知必有||a⃑|−|b⃑⃑||≤|a⃑−b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.4、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则△ABC的面积S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2].已知在△ABC中，accosB=6,b=2√2，则△ABC面积的最大值为（）A．√33B．2√33C．2D．4 答案：D分析：由条件accosB=6,b=2√2得a2+c2=20，由基本不等式得ac≤10，再由S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]可求解.∵accosB=ac·a2+c2−b22ac =a2+c2−b22=6，又∵b=2√2，a2+c2=12+b2=20.∴ac≤a2+c22=10（当且仅当a=c=√10时取等号）.∴S△ABC=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2]=√14(a2c2−62)≤√14×(102−62)=4，∴△ABC面积的最大值为4.故选：D5、已知不共线的平面向量a⃗,b⃑⃗,c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=1,|b⃑⃗|=4,|a⃗+b⃑⃗+c⃗|=√7，则|c⃗|=（）A．√2B．2C．3D．2或3答案：D分析：先求出θ=2π3，转化|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√(a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗)2=√7，列方程即可求出.由不共线的平面向量a ⃗，b ⃑⃑，c ⃑两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|c ⃑|=m. 因为|a ⃗|=1，|b ⃑⃗|=4，|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|=√7，所以|a ⃗+b ⃑⃗+c ⃗|2=7，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2+2b ⃑⃗⋅c ⃗+2a ⃗⋅c ⃗+c ⃗2=7，所以12+2×1×4cos 2π3+42+2×4×mcos 2π3+2×1×mcos 2π3+m 2=7即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3.所以|c ⃑|=2或3故选：D6、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝0→，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5答案：B分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，则AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) 因为3AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑－AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝0→所以3AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，所以AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以S △ABM =23S △ABD =13S △ABC .故选：B7、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（）A ．[−4√2,4√2]B ．[−4√2,8+4√2]C ．[8−4√2,8+4√2]D ．[−4√2,8−4√2]答案：B分析：先求出AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围即可.如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2，于是AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模与AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑在AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向上的投影的乘积，又|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为2√2×(−2)=−4√2．则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．8、已知向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃑⃗|=3，|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13则a ⃗与b⃑⃗的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b⃑⃗=−3，再利用数量积公式可求得.∵|a ⃗−2b ⃑⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃑⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b⃑⃗+4b ⃑⃗2=52，又|a ⃗|=2，|b ⃑⃗|=3，∴a ⃗⋅b⃑⃗=−3，设a ⃗与b⃑⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗||b ⃑⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角θ=2π3.故选：C9、向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(7,−5)，将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑按向量a ⃑=(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的坐标形式为（）A ．(10,1)B ．(4,−11)C ．(7,−5)D ．(3,6)答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑的坐标.因为平移后，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且长度相等，故A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(7,−5). 故选：C10、下列说法正确的是（）A ．向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑就是AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线平行于CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a ⃑=b ⃑⃑,b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑D ．共线向量是在一条直线上的向量答案：C分析：根据共线向量的定义可判断A ，D ；由相等向量的定义可判断B ，C ；进而可得正确选项.对于A ：根据共线向量的定义可知向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑就是AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑所在的直线平行或重合，故选项A 不正确；对于B ：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B 不正确；对于C ：若a ⃑=b ⃑⃑,b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，故选项C 正确；对于D ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D 不正确；故选：C.填空题11、若向量a ⃑，b ⃑⃑不共线，且|a ⃑|=4，|b ⃑⃑|=7，则|a ⃑+b⃑⃑|的取值范围是______．答案：(3,11)分析：设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角为θ，利用|a ⃑+b ⃑⃑|=√(a ⃑+b ⃑⃑)2展开计算，再将−1<cosθ<1代入，写出|a ⃑+b⃑⃑|的范围. 设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角为θ，因为|a ⃑|=4，|b⃑⃑|=7，所以|a ⃑+b ⃑|=√(a ⃑+b ⃑)2=√|a ⃑|2+2|a ⃑||b ⃑|cosθ+|b ⃑|2=√16+2×4×7×cosθ+49=√65+56cosθ，又向量a⃑，b ⃑⃑不共线，所以−1<cosθ<1，所以3<√65+56cosθ<11，即3<|a⃑+b ⃑⃑|<11. 所以答案是：(3,11).12、在直角坐标系中，O 为原点,O 、A 、B 不共线，xOA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则x +y =________ 答案：0解析：根据向量的线性运算求出(x +2)OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗，根据对应关系求出x +y 的值即可．∵ xOA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴xOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，∴(x +2)OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+(y −2)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃗， ∴x =−2，y =2，x +y =0.所以答案是：0．13、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =2√3 ，AD =5 ，∠A =30° ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=__________. 答案：−1.分析：建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．建立如图所示的直角坐标系，则B(2√3,0)，D(5√32,52)．因为AD ∥BC ，∠BAD =30°，所以∠CBA =150°，因为AE =BE ，所以∠BAE =∠ABE =30°，所以直线BE 的斜率为√33，其方程为y =√33(x −2√3)，直线AE 的斜率为−√33，其方程为y =−√33x ．由{y =√33(x −2√3),y =−√33x得x =√3，y =−1，所以E(√3,−1)．所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑·AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(√32,52)·(√3,−1)=−1．小提示：平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．解答题14、康平滕龙阁，位于康平县中央公园中心，建在有“敖包朝霞”之称的敖包山旧址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如图，小明同学为测量滕龙阁的高度，在滕龙阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为8米，在地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A ，滕龙阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得阁顶部C 的仰角为30°，试替小明求滕龙阁的高度？（精确到0.01米）答案：37.86米分析：在△ACM 中，利用正弦定理求得CM ，然后在Rt △CDM 中，由CD =CMsin60°求解.解：由题意得，在Rt △ABM 中，AM =AB sin15°，在△ACM 中，∠CAM =30°+15°=45°，∠AMC =180°−15°−60°=105°，所以∠ACM =30°，由正弦定理AM sin∠ACM =CM sin∠CAM ，得CM =sin∠CAM sin∠ACM ⋅AM =√2AB sin15°，又sin15°=sin(45°−30°)=√22×√32−√22×12=√6−√24，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=√6AB2sin15°=√62×√6−√24=24+8√3≈37.86.答：滕龙阁的高度约为37.86米.15、如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得CD=√3km，∠ADB=45°，∠ADC=30°，∠ACB=75°，∠DCB=45°（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．答案：√5km分析：由题意，先计算得∠DBC=60°，∠DCA=120°，∠DAC=30°，由正弦定理计算BD,AD，再由余弦定理计算AB∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°在△ADC中由正弦定理得：DCsin∠DAC =ADsin(∠DCB+∠ACB)∴AD=sin(∠DCB+∠ACB)×DCsin∠DAC=3在△CDB中由正弦定理得：DCsin∠DBC =BDsin∠DCB∴BD=DCsin∠DBC×sin∠DCB=√2在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×AB cos∠ADB＝2+9﹣2×√2×3×√22＝5 ∴AB＝√5km答：A、B两点间的距离为√5km。

高中数学人教必修二平面与平面垂直的判定定理

练习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a

a

(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．注2：① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点，求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结: 直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D D1 A1 A D F E Ｂ G G G G C
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.
A B C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
变式1 在三棱锥P-ABC中，PA PB PC，ABC=90，求证 : 面PAC 面ABC.
P

人教A版高中数学必修二课件《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用(平面向量基本定理)

线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
B.23a＋13b
C.35a＋45b
Hale Waihona Puke D.45a＋35b解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为基底表示E→F，D→F.
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y，又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，，所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.

高中数学必修二专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案)

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积一、考情分析二、题型分析(一) 平面向量的基本定理与坐标表示知识点1 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（）A ．B ．C ．D ．12(1,2),(2,4)e e ==12(3,1),(1,3)e e =-=-12(2,1),(2,1)e e ==--121(,0),(3,0)2e e ==【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B. （2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与【答案】C【解析】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D ：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C ：与不共线，能作为基底.故选：C ．A 114220,e ⨯-⨯=∴2eB ()()1331180,e ⨯--⨯-=≠∴2eC ()()121120,e ⨯--⨯-=∴2eD 110030,2e ⨯-⨯=∴2e 12,e e 21e e -12e e -1223e e +1246e e --12e e +12e e -121128e e -+1214e e -12,e e 1e 2e 21e e -()12e e =--1223e e +()121462e e =---121128e e -+121124e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e e +12e e -（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得. 设内切圆在边上的切点为，则，有，，故. 故选：DABCD O ABC ∆AO xAB yAD =+xy 1434-1412OB AC HABCD 122BH BD ==ABC ∆r)1BH OH OB r r =+=+==r =ABC ∆AB E ()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎛⎫-=-+=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x =1y =-11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，，，，则 .（用表示）【答案】【解析】如图：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋＝.故本题答案为. 【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此1AB e =2AC e =14NC AC =12BM MC =MN =12,e e 1225312e e -+MN CN CM CN BM CN 23BC 14AC 23AC AB 214e 212()3e e -1225312e e -+1225312e e -+ABC ∆2AB AC AD +=0AE DE +=EB xAB y AC =+3y x =3x y =3y x =-3x y =-2AB AC AD +=D BC 0AE DE +=E AD 11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，故本题选D. 31,344x y x y =-=⇒=-(二) 平面向量的坐标运算知识点2 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )．(4)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(5)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设,因为,所以.所以,所以, 解得: ,.所以.故选D. （2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（） A ．2 BC ．4 D．【答案】C 【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C(5,2),(4,3)a b =-=--230a b c -+=c 8(1,)3138(,)33-134(,)33134(,)33--(,)c x y =230a b c -+=(5,2)2(4,3)3(,)(0,0)x y ----+=(583,263)(0,0)x y ++-++=1330,430x y +=+=133x 43y =-134(,)33c =--()0,1A -()0,3B ||AB =AB ||04AB =+=【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】（1）（2），∵与共线，∴∴【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.(1) 求向量的坐标及；(2) 若，求与同向的单位向量的坐标．【答案】(1) ，；（2）.【解析】（1）,.（2）,, 与同向的单位向量. ()1,2a =()3,2b =-2a b -k ka b +2a b -()7,2-12k =-()()()21,223,27,2a b -=--=-()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+()()()21,223,27,2a b -=--=-ka b +2a b -()()72223k k +=--12k =-(3,4),(5,10)A B ---O AB AB OC OA OB =+OC ()8,6AB =-10AB =21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭()8,6AB =-2810AB ∴==()()()3,45,102,14OC OA OB =+=--+-=-22OC ==∴OC 21010OC n OC ⎛==- ⎝⎭(三) 平面向量的数量积知识点3．平面向量数量积1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a|cos θ.(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|.特别地，a·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(3)cos θ＝a·b |a||b|.(4)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ，b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)|a |＝x 21＋y 21.若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.【解析】依题意，故与方向相反的单位向量为. （2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则= A ．-3B ．-2C ．2D ．3 【答案】C 【解析】由，，得，则，．故选C【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为( ) ()3,4a =()1,2b =-2a b +=a c =34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭()21,8a b +=2218a b +=+=a c ()()()3,43,434,5553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭AB AC ||BC AB BC ⋅(1,3)BC AC AB t =-=-211BC ==3t =(1,0)BC =(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=a b c a b 60()(2)c a c b +⋅-A ．BC ．2D ． 3【答案】B 【解析】设与的夹角为，因为，，所以，所以，所以.故选：B ．【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________. 【答案】0 0【解析】∵，∴，∵，∴，解得．故答案为．【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.若，则的值是_____. 32c 2a b -θ222|2|443a b a a b b -=-⋅+=|2|3a b -=2()(2)(2)21|||2|cos 1c a c b cc a b a b c a b θ+⋅-=+⋅--⋅=+⋅--()(2)3cos c a c b θ+⋅-=max =cos 1θ=()()1,3,1,2a b ==-0a b λμ+=λμ()()1,3,1,2a b ==-()()()1,31,2,32a b λμλμλμλμ+=+-=+-0a b λμ+=0320λμλμ+=⎧⎨-=⎩0λμ=⎧⎨=⎩0,0λμ==ABC O 6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .，得即故. 【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. （1）求；（2）求与的夹角的余弦值；()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭2213,22AB AC =3,AB AC =AB AC=,a b 12a b ⋅=2a b +2a b +b θ【答案】（1；（2）.【解析】由题得；由题得与的夹角的余弦值为故答案为：（1；（2.7222=4++4=5+4a b a b a b +⋅⋅2a b +b θ(2)2cos |2|||7a b b a b a b b θ+⋅⋅====+(四) 平面向量的应用（平行与垂直）知识点1 平面向量的平行与垂直若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．(1)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．(2)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】向量，，且，，解得. 故选：D.(2)．(多选题)已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（）A ．a 与b 的夹角为钝角()1,a m =()2,5b =//a b m =152-25-52()1,a m =()2,5b =//a b 25m ∴=52m =B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 【答案】CD对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD.【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.【答案】【解析】因为，所以（1）×m 4=0,所以m= 4.所以故答案为：(1). (2).【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;(1) 若，求的值；,a b (1,2),(2,)a b m =-=//a b m =||b =4-//a b ---2||=2+b =（4-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b aR ∈θ)0,2(=+b a θθθcos sin 2sin 2+（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1），∴， ……1分∴ ； ……3分∴. ……7分（2）， ……8分∴，两边平方得， ……10分，且， ∴∴， ……12分 ∴. ……分)51,0(=-b a(,2)θππ∈θθcos sin +12-75-)cos ,1(),sin ,1(θθ==b a)0,2()cos sin ,2(=+=+θθb asin cos 0,tan 1θθθ+=∴=-1tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222++=++=+θθθθθθθθθθθ21-=)51,0()cos sin ,0(=-=-θθb a51cos sin =-θθ2512cos sin =θθ(,2)θππ∈02512cos sin >=θθ⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ23,0cos sin <+θθ57cos sin 21cos sin -=+-=+θθθθ14。

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。

教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。

逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。

变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。

高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第2课时)平面与平面垂直的性质练习(含答案)

8.6.3 平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（） A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，沿BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 ∵面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥面BCD ，又AB ⊂面ABC ，∴面ABC ⊥面BCD ，同理，面ACD ⊥面ABD.故四面体ABCD 中互相垂直的平面有3对．3．如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（）A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点【答案】D【解析】因为平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC ⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.4．已知平面α⊥平面β，n αβ=，点A α∈，A n ∉，直线AB n ，直线AC n ⊥，直线m α，m β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A ．AB m ∥B ．AC m ⊥ C ．AB β∥D ．AC β⊥【答案】D【解析】如图所示：由于//m α，//m β，n αβ=，所以//m n ，又因为//AB n ，所以//AB m ，故A 正确，由于AC n ⊥，//m n ，所以AC m ⊥，故B 正确，由于//AB n ，n β⊂，AB 在β外，所以//AB β，故C 正确；对于D ，虽然AC n ⊥，当AC 不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，不一定垂直，所以D 不正确；故答案选D5．（多选题）给定下列四个命题：A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；C.垂直于同一直线的两条直线相互平行；D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】BD【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故A 错误；由平面与平面垂直的判定可知B 正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故C 错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D 正确．综上，真命题是BD. 故选：BD6．（多选题）如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ︒∠=∠=，,A D 分别是,BF CE 上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===(①).将四边形ADEF 沿AD 折起，连接,,BE BF CE (②).在折起的过程中，下列说法中正确的是（）A ．AC 平面BEFB ．,,,BC E F 四点不可能共面C ．若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCDD ．平面BCE 与平面BEF 可能垂直【答案】ABC【解析】选项A 中，连接AC ，取AC 的中点O ，BE 的中点M ，连接,MO MF ，MO DE 且12MO DE =，而AF DE ∥且12AF DE =，所以AF MO 且AF MO =所以四边形AOMF 是平行四边形，所以AC FM ∥，而AC ⊄平面BEF ，FM⊂平面BEF ，所以AC 平面BEF ，所以A 正确；选项B 中，设,,,B C E F 四点共面，因为BC AD ∥，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ，而BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，所以BC EF ∥，所以AD EF ，这与已知相矛盾，故B C E F ，，，四点不可能共面，所以B 正确；选项C 中，连接,CF DF ，在梯形ADEF 中，易得EF FD ⊥，又EF CF ⊥，,FD CF ⊂平面CDF ，FDCF F =，所以EF ⊥平面CDF而CD ⊂平面CDF ，所以CD EF ⊥，而CD AD ⊥，,EF AD ⊂平面ADEF ，且EF 与AD 必有交点，所以CD ⊥平面ADEF ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADEF ⊥平面ABCD ，所以C 正确；选项D 中，延长AF 至G ，使得AF FG =，连接,BG EG ， AD AF ⊥，AD AB ⊥，,AF AB ⊂平面ABF ，AF AB A ⋂=，所以AD ⊥平面ABF ，而BC AD ∥，所以BC ⊥平面ABF ，因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作FN BG ⊥于N ，FN ⊂平面ABF ，平面BCE 平面ABF BG =，若平面BCE ⊥平面BEF ，则过F 作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE 上，故前后矛盾，所以D 错误.故选：ABC.二、填空题7．如图，四面体P ABC -中，13PA PB ，平面PAB ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，86AC BC ，，则PC _______.【答案】13【解析】取AB 的中点E ，连接,PE EC .因为90,8ACB AC ，6BC =，所以10AB =，所以5CE =. 因为13PA PB ，E 是AB 的中点，所以,12PEAB PE . 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，因为CE ⊂平面ABC ，所以PE CE ⊥.在Rt PEC ∆中，2213PC PE CE .8．如图所示，A B C D ，，，为空间四点，在ABC 中，2AB AC BC ===，ADB 以AB 为轴运动，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =________.【答案】2.【解析】取AB 的中点E ，连接DE CE ，.因为ADB △是等边三角形，所以DE AB ⊥.当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ⋂平面ABC AB =，且DE AB ⊥，所以DE ⊥平面ABC ，故DE CE ⊥.由已知可得1DE EC ==，在Rt DEC △中，2CD ==.9．平面α⊥平面β，l αβ=，n β⊂，n l ⊥，直线m α⊥（m ，n 是两条不同的直线），则直线m 与n 的位置关系是______.【答案】//m n【解析】解：因为平面α⊥平面β，l αβ=，n β⊂，n l ⊥，由面面垂直的性质可得n α⊥，又m α⊥，所以//m n .故答案为：//m n10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连接PB ，PC ，PD ，则平面PAB ，平面PAD ，平面PCD ，平面PBC ，平面ABCD 中，互相垂直的平面有对.【答案】5【解析】,,PA ABCD PAB ABCD PAD ABCD ⊥∴⊥⊥平面平面平面平面，又,,,CD AD PADABCD AD CD PAD ⊥=∴⊥平面平面平面PCD PAD ∴⊥平面平面，同理，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PAB ，所以互相垂直的平面共有5对.三、解答题11．已知P 是ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC AC ⊥.【答案】证明见解析【解析】如图，在平面PAC 内作AD PC ⊥于点D ，∵平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，AD ⊂平面PAC ，且AD PC ⊥，AD ∴⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，AD BC ∴⊥.PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AD PA A =，,AD PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，BC AC ∴⊥.12．如图，三棱锥P ABC -中，已知ABC 是等腰直角三角形，90ABC ︒∠=，PAC 是直角三角形，90PAC ︒∠=，平面PAC ⊥平面ABC .求证：平面PAB ⊥平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，又PAC 是直角三角形，所以PA AC ⊥， PA ∴⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥.AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，AB 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， BC ∴⊥平面PAB .又BC ⊂平面PBC ，故平面PAB ⊥平面PBC .。

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版

全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版单选题1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（） A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.2、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（） A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可. ∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3.故选：C3、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a =√3，则b+csinB+sinC等于（）A ．12B ．√3C ．√32D ．2 答案：D解析：由已知结合正弦定理即可直接求解．A ＝60°，a =√3，由正弦定理可得，bsinB =csinC =asinA =√3√32=2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，则b+csinB+sinC =2．故选：D ．小提示：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题． 4、若A(−2,3)，B(3,2)，C (12,m)三点共线，则实数m 的值为A ．2B ．−2C ．52D ．−12答案：C分析：由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题. 因为A(−2,3)，B(3,2)，C (12,m)三点共线，所以方向向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,−1)与AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(52,m −3)共线，所以5(m −3)−(−1)×52=0，解得m =52. 故选：C小提示：本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.5、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x4+y2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5，∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−5， |PD |max =|AD |+r =√5√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815−5=565，故选：D.6、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a |−|b ⃑ ||≤|a −b ⃑ |<|a |+|b⃑ |求解即可. 由已知必有||a |−|b ⃑ ||≤|a −b ⃑ |<|a |+|b ⃑ |，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.7、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ −2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=0，则△ABC 的形状是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC⃑⃑⃑⃑⃑ −2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，可得|CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，等式|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |两边平方，化简得AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因此，△ABC 是直角三角形. 故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题． 8、已知向量a =(2，3)，b ⃑ =(3，2)，则|a –b ⃑ |= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a −b ⃑ ，再根据模的概念求出|a −b ⃑ |．由已知，a −b ⃑ =(2,3)−(3,2)=(−1,1)，所以|a −b ⃑ |=√(−1)2+12=√2，故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．9、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ，若 bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得sinA =sin 2A ，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解.因为bcosC +ccosB =asinA ，由正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin 2A ，即sin (B +C )=sin 2A ，即sinA =sin 2A ，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形. 故选：A.10、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=2，|b ⃑ |=3，|a −2b ⃑ |=2√13则a 与b⃑ 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：C分析：先对|a −2b ⃑ |=2√13平方，代入已知条件整理得a ⋅b ⃑ =−3，再利用数量积公式可求得. ∵|a −2b ⃑ |=2√13，∴|a −2b ⃑ |2=a 2−4a ⋅b ⃑ +4b ⃑ 2=52，又|a |=2，|b ⃑ |=3，∴a ⋅b ⃑ =−3，设a 与b ⃑ 的夹角为θ， ∴cosθ=a⃑ ⋅b ⃑ |a ⃑ ||b ⃑ |=−12，从而θ=2π3，所以a 与b ⃑ 的夹角θ=2π3. 故选：C 填空题11、已知非零向量a ，b ⃑ ，|a |=8, |b ⃑ |=5，则|a +b ⃑ |的最大值为______．答案：13分析：根据向量数量积的运算性质，有|a +b ⃑ |2=|a |2+2a ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2，即可求|a +b ⃑ |的最大值. ∵|a +b ⃑ |2=|a |2+2a ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2=89+80⋅cos <a ,b ⃑ >， ∴当cos <a ,b ⃑ >=1时，|a +b ⃑ |2有最大值为169. ∴|a +b ⃑ |的最大值为13. 所以答案是：13.12、在菱形ABCD 中，AB =3，∠BAD =60°，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2EB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =___________. 答案：−3分析：利用向量加减法的几何意义可得AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再应用向量数量积的运算律及已知条件求AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 即可. 由题意，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−9+3+3=−3.所以答案是：−313、在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，∠BCD =150°，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =4EB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC =4√33，AE =2√3，若点M 为边CD 上的动点，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为________.答案：154分析：根据题目条件，建立适当的直角坐标系，并结合已知条件得到相关点的坐标，设出线段CD 上的动点的坐标，求得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标关于t 的表达式，得到AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 关于t 的表达式，利用二次函数的性质求得最小值. 如图所示，建立直角坐标系.由AE =2√3得E(2√3,0),由AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =4EB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得EB = 2√33, 又∵BC =4√33，∠ABC =60°，∴∠BEC =90°，且EC =2,∠BCE =30°.∴C(2√3,2),作CF ⊥AD 于F ,∵∠BCD =150°，∴∠DCF =30°，由FC =AE = 2√3,∴DF =2，∴D(0,4),∵M 在线段CD 上，故可设AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3t,4−2t),（0<t <1） ∴EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AE⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3(t −1),4−2t), ∴AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(t 2−t )+(4−2t )2=16t 2−28t +16, 当t =78时取得最小值4×16×16−2824×16=154,所以答案是：154.小提示：本题考查平面向量的数量及的最值问题，关键是建立坐标系，并利用已知条件得到相关点的坐标，要熟练掌握线段上的点的坐标的设法. 解答题14、在△ABC 中，内角A ，B ， C 所对的边分别为a,b,c .已知b +c =2a ，3csinB =4asinC .（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）求sin (2B +π6)的值. 答案：(Ⅰ) −14；(Ⅱ) −3√5+716. 分析：(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB 的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin (2B +π6)的值. (Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理b sinB=c sinC得bsinC =csinB ，又由3csinB =4asinC ，得3bsinC =4asinC ，即3b =4a . 又因为b +c =2a ，得到b =43a ，c =23a .由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a=−14.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB =√1−cos 2B =√154，从而sin2B =2sinBcosB =−√158，cos2B =cos 2B −sin 2B =−78.故sin (2B +π6)=sin2Bcos π6+cos2Bsin π6=−√158×√32−78×12=−3√5+716. 小提示：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.15、如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ．答案：(1)7√3；(2)tan∠ABD =2√33．分析：(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan∠ABD 的方程，解之即得.(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC 得： 28=22+x 2−2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x −24=0，而x>0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12⋅2⋅4⋅√32=2√3，梯形ABCD 中，AB //CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB 2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=5√3，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =7√3； (2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2−α，∠DBC =2π3−a ，∠BCA =α−π6，在△ABC 中，由正弦定理ABsin∠BCA =BCsin∠BAC 得：2sin(α−π6)=BCsin(π2−α)，在△BDC 中，由正弦定理CDsin∠DBC=BC sin∠BDC得：5sin(2π3−α)=BC sinα，两式相除得：2sin(2π3−α)5sin(α−π6)=sinαsin(π2−α)⇒2⋅(√32cosα+12sinα)5⋅(√32sinα−12cosα)=sinαcosα，整理得5√3sin 2α−7sinαcosα−2√3cos 2α=0，即5√3tan 2α−7tanα−2√3=0 解得tanα=2√33或tanα=−√35，因为α∈(π6,π2)，则tanα=2√33，即tan∠ABD =2√33．小提示：(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解； (2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.。

数学高中必修二知识点总结必看

数学高中必修二知识点总结必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，练，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些数学高中必修二知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。

高一年级数学必修二知识点总结【两个平面的位置关系】(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

【两平面垂直】两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。

高二数学必修二知识点归纳一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。

高中数学必修二课件：平面与平面垂直(第2课时)

【解析】选项A，m，n可能为平行、垂直、异面直线，但是有些同学会把面面垂直的性质误认为两垂直平面内的任意两条线都垂直；选项B，m，n可能为平行、垂直、异面直线，但有些同学会误认为两平行平面内的任意两直线都是平行的；选项C，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，但是有些同学会把两个平面内的两条直线垂直误认为两平面垂直；选项D正确．故选D.
思考题2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面 PBC.求证：BC⊥AC.
【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.∵平面 PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面 PBC＝PC，∴AD⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
②过点E作EH⊥BC于H，∵平面ABCD⊥平面EBC，平面ABCD∩平面EBC
＝BC，∴EH⊥平面ABCD，过H作HG⊥AD于G，连接EG.
∵AD⊂平面ABCD，∴EH⊥AD，又EH∩HG＝H，
∴AD⊥平面EHG，又EG⊂平面EHG，∴AD⊥EG，
∴∠EGH即为二面角E－AD－B的平面角．
在Rt△EHB中，EH＝EB×sin
13 26 .
③如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故
CM⊥AB，CM＝ 3 .又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而
CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD.所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝ AC2＋AD2＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝CCMD＝ 43.

必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

[高中数学必修2]第二章平面解析几何初步知识梳理

第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。

记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。

可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。

（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。

从点A 到点B的向量，记作AB 。

线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。

我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。

例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。

注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。

③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。

（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。

对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。

已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。

【高中数学必修二】2.2.2面面平行的判定

α β
b
a
α
β
猜想：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． a ⊂ , b ⊂ 求证: // bP 已知: a ∩ a // , b // b a
证明：用反证法证明．假设 c ．
β
P
a // , a ,
a // c
【例1】如图，在长方体 ABCD A ' B ' C ' D ' 中，求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D ' .
// DC // D ' C ' 证明： AB ABC ' D ' 是平行四边形
D' C' B'
BC '// AD '
A'
又
BC ' 平面 AB ' D ' AD ' 平面 AB ' D '

线面平行
面面平行
线不在多, 重在相交.
怎样判定平面与平面平行？
（1）定义法：证明平面与平面无公共点；
（2）判定定理：
a ⊂ , b ⊂ , a b = P, a // , b // ⇒ // .
判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行； × （2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行； × （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．×
同理 b // c,

高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系

5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有__0_或__1___个．
解析当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1；和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③，若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．