[数学]2015-2016年上海市金山中学高一(上)数学期末试卷带解析word
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题:本大题共8小题,共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$,集合 $M=\{1,4\}$,$N=\{1,3,5\}$,则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$,$B(2,4)$,$C(-1,3)$,则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$,$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$,则 $\tan\alpha$ 的值是()A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$($x\inR,\omega>0$)的最小正周期为 $\pi$,为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象,只要将 $y=f(x)$ 的图象():A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$,$4a-b\perp b$,则 $a$ 与 $b$ 的夹角是()A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷及答案
上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题(本题共36分)1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ,集合{}R x x x B ∈≤-=,012,则=B A _______. 2.已知扇形的圆心角为43π,半径为4,则扇形的面积=S . 3. 函数12)(-+=x x x f 的定义域是___________. 4. 已知1log log 22=+y x ,则y x +的最小值为_____________.5.已知31sin =α(α在第二象限),则=++)tan()2cos(απαπ. 6. 已知x x g x x x f -=-=1)(,1)(,则=⋅)()(x g x f . 7. 方程2)54(log 2+=-x x 的解=x . 8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ,则实数k 的取值范围是___________.9.若3132)(--=x x x f ,则满足0)(>x f 的x 的取值范围 . 10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞,则b a += . 11. 设a 为正实数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,7)(++=xax x f ,若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ .12. 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A∈⎧=⎨∈⎩ð,这里U A ð表示A 在全集U 中的补集,那么对于集合UB A ⊆、,下列所有正确说法的序号是 . (1))()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ (2)()1()U A A f x f x =-ð (3)()()()A B A B f x f x f x =+ (4)()()()A B A B f x f x f x =⋅ 二、选择题(本题共12分)13.设x 取实数,则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 ( )A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x fD. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f14.已知11:<-x α,a x ≥:β,若α是β的充分非必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15.若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x x 在R 上既是奇函数,又是减函数,则)(log )(k x x g a +=的图像是 ( )A. B. C. D.16.定义一种新运算:⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ,已知函数x x x f 22)(⊗=,若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点,则实数k 的取值范围为 ( )A.(0,1)B.C.),2[+∞D. ),2(+∞三、解答题(本题共8+8+10+12+14分)17.解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .18.已知不等式)R m mx x ∈<+-(022的解集为{}1,x x n n R <<∈,函数)(2)(2R a ax x x f ∈+-=. (1)求,m n 的值;(2)若()y f x =在]1,(-∞上单调递减,解关于x 的不等式0)23(log 2<-++m x nx a .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元,每生产x 件.,需另投入成本为()C x ,当年产量不足80件时,21()103C x x x =+(万元).当年产量不小于80件时,10000()511450C x x x=+-(万元).每件..商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (件.)的函数解析式; (2)年产量为多少件.时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20. 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k ∈∈-=的图像过点)2,2(. (1)求a k ,的值;(2) 若函数()()21h x f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3,求实数b 的值.21. 已知函数()1log 1ax f x x -=+(其中0a >且1a ≠),()g x 是()2f x +的反函数. (1)已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解,求实数m 的取值范围;(2)当01a <<时,讨论函数()f x 的奇偶性和单调性;(3)当01a <<,0x >时,关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解,求m 的取值范围.参考答案一、填空题(本题共36分)1. 已知集合}1,0,1,2{--=A ,集合{}R x x x B ∈≤-=,012,则=B A _{}1,0,1-_. 2.已知扇形的圆心角为43π,半径为4,则扇形的面积Sπ16 .8. 若函数3212++=kx kx y 的定义域为R ,则实数k 的取值范围是_____.)3,0[9.若3132)(--=x x x f ,则满足0)(>x f 的x 的取值范围 .)1,0(10. 若函数2+-=x bx y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为(2,)+∞,则b a += .10- 11. 设a 为正实数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,7)(++=xax x f ,若a x f -≥1)( 对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ .4≥a12. 定义全集U 的子集A 的特征函数为1,()0,A U x Af x x A ∈⎧=⎨∈⎩ð,这里U A ð表示A 在全集U 中的补集,那么对于集合UB A ⊆、,下列所有正确说法的序号是 .(1)(2)(4) (1))()(x f x f B A B A ≤⇒⊆ (2)()1()UA A f x f x =-ð(3)()()()A B A B f x f x f x =+ (4)()()()A B A B f x f x f x =⋅二、选择题(本题共12分)13.设x 取实数,则()f x 与()g x 表示同一个函数的是 ( B )A.22)(,)(x x g x x f == B. 22)()(,)()(x xx g x x x f == C. 0)1()(,1)(-==x x g x f D. 3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f 14.已知11:<-x α,a x ≥:β,若α是β的充分非必要条件,则实数a 的取值范围是( B ) A.0≥aB.0≤aC.2≥aD. 2≤a15.若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数,又是减函数,则)(log )(k x x g a +=的图像是 ( A )A. B. C. D. 16.定义一种新运算:⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ,已知函数xx x f 22)(⊗=,若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点,则实数k 的取值范围为 ( D ) A.(0,1) B.]2,1( C.),2[+∞ D. ),2(+∞ 三、解答题(本题共8+8+10+12+14分)17.解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-+≥--221062x x x x .解:解062≥--x x 得:2-≤x 或3≥x ;解221>-+x x 得52<<x ;即不等式组的解集为)5,3[。
上海市金山中学高一数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市金山中学2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(题型注释)1.既是偶函数又在区间(0 )π,上单调递减的函数是( )A .sin y x =B .cos 2y x =C .sin 2y x =D . cos y x = 【答案】D. 【解析】试题分析:根据函数sin y x =和sin 2y x =都是奇函数,故排除A ,C ;由于函数cos 2y x =是偶函数,周期为π,在)2,0(π上是减函数,在),2(ππ上是增函数,故不满足题意条件,即B 不正确;由于函数cos y x =是偶函数,周期为π2,且在),0(π上是减函数,故满足题意,故选D.考点:余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调性.2.设)(21312111)(*N n nn n n n f ∈+++++++= ,那么=-+)()1(n f n f ( ) A .121+n B .221121+-+n n C .221+n D .221121+++n n【答案】B. 【解析】试题分析:观察题意所给的递推式特征可知:)1()1(1)1(1)1()1(13)1(12)1(11)1(1)1(+++++++-++++++++++++=+n n n n n n n n n n f ,所以22112111)1()1(1)1(1)()1(+-+=+-++++++=-+n n n n n n n n f n f ,故选B.考点:数列的递推公式.3.如图所示,为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离,李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ,然后给出了三种测量方案:(ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ): ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0【答案】A. 【解析】试题分析:根据图形可知,b a ,可以测得,角C B A ,,也可以测得,利用测量的数据,求解B A ,两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的B A ,两点间的距离;对于②直接利用余弦定理即可确定B A ,两点间的距离,故选A. 考点:解三角形的实际应用.4.无穷等差数列}{n a 的各项均为整数,首项为1a 、公差为d ,n S 是其前n 项和,3、21、15是其中的三项,给出下列命题:①对任意满足条件的d ,存在1a ,使得99一定是数列}{n a 中的一项; ②对任意满足条件的d ,存在1a ,使得30一定是数列}{n a 中的一项; ③存在满足条件的数列}{n a ,使得对任意的*N n ∈,n n S S 42=成立。
上海市金山中学高一数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市金山中学2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(题型注释)1.既是偶函数又在区间(0 )π,上单调递减的函数是( )A .sin y x =B .cos 2y x =C .sin 2y x =D . cos y x = 【答案】D. 【解析】试题分析:根据函数sin y x =和sin 2y x =都是奇函数,故排除A ,C ;由于函数cos 2y x =是偶函数,周期为π,在)2,0(π上是减函数,在),2(ππ上是增函数,故不满足题意条件,即B 不正确;由于函数cos y x =是偶函数,周期为π2,且在),0(π上是减函数,故满足题意,故选D.考点:余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调性.2.设)(21312111)(*N n nn n n n f ∈+++++++= ,那么=-+)()1(n f n f ( ) A .121+n B .221121+-+n n C .221+n D .221121+++n n【答案】B. 【解析】试题分析:观察题意所给的递推式特征可知:)1()1(1)1(1)1()1(13)1(12)1(11)1(1)1(+++++++-++++++++++++=+n n n n n n n n n n f ,所以22112111)1()1(1)1(1)()1(+-+=+-++++++=-+n n n n n n n n f n f ,故选B.考点:数列的递推公式.3.如图所示,为了测量某湖泊两侧A B ,间的距离,李宁同学首先选定了与A B ,不共线的一点C ,然后给出了三种测量方案:(ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ): ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定A B ,间距离的所有方案的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0【答案】A. 【解析】试题分析:根据图形可知,b a ,可以测得,角C B A ,,也可以测得,利用测量的数据,求解B A ,两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的B A ,两点间的距离;对于②直接利用余弦定理即可确定B A ,两点间的距离,故选A. 考点:解三角形的实际应用.4.无穷等差数列}{n a 的各项均为整数,首项为1a 、公差为d ,n S 是其前n 项和,3、21、15是其中的三项,给出下列命题:①对任意满足条件的d ,存在1a ,使得99一定是数列}{n a 中的一项; ②对任意满足条件的d ,存在1a ,使得30一定是数列}{n a 中的一项; ③存在满足条件的数列}{n a ,使得对任意的*N n ∈,n n S S 42=成立。
上海市金山中学高一数学上学期期末考试试题
金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期末考试卷参考答案(考试时间:90分钟 满分:100分)一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.若全集R U =,{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ,则=B C A U I _____________.]5,2( 2.已知1>a ,则12-+a a 的最小值为__________.1+22 3.幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81,则=)(x f ____________.31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________.2 5.已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ,则()απ-cos =______________.35-6.函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且,的图像恒过定点A ,则A 点坐标是_(2 1)--,_. 7.已知31cos =α,且παπ32<<,则2sin α= _____.33-8.若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且0)2(=f ,则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________.)2,2(- 9.若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是______. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 10.已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数,那 么a 的取值范围__11[,)62__. 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立,则实数k 的取值范围是_______.(2]-∞,12.设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足:当x S ∈时,有2x S ∈. 给出如下三个命题:①若1m =,则{1}S =;②若12m =-,则114l ≤≤;③若12l =,则202m -≤≤;④若1l =,则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________. ①②③④二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分. 13. 下列命题成立的是( D )A .如果b a >,0c ≠,那么cb c a > B .如果b a >,那么22b a > C .如果b a >,d c >,那么c b d a +>+ D .如果b a >,d c >,那么c b d a ->-14. 原命题“若A ∪B ≠B ,则A ∩B ≠A ”与其逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是 ( A ) A .4个B .2个C . 1个D . 0个15.函数()x bf x x a+=-,[1,)x ∈-+∞是增函数的一个充分非必要条件是 ( C ) A .1a <且3b > B .1a >-且1b > C .2a <-且2b < D . 1a >且1b >-16.函数()x f 的图像无论经过怎样的平移或沿直线翻折,函数()x f 的图像都不能与函数x y 21log =的图像重合,则函数()x f 可以是 ( D )A .xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B .()x y 2log 2= C .()1log 2+=x y D .122-=x y三、解答题(本大题共5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. (本题满分8分)解关于x 的方程:()()()6log 32log 14log 222++=+++x x x . 解:02082=-+x x 得102-=或x经检验:2=x18.(本题满分10分)设集合A ={}2<-a x x ,B =}1212|{<+-x x x ,若A B ⊆,求实数a 的取值范围. 解:化简{}22+<<-=a x a x A ,{}32<<-=x x B ,由B A ⊆,得⎩⎨⎧≤+-≥-3222a a ,得10≤≤a .19.(本题满分10分,第一小题满分4分,第二小题满分6分)设xx a x f 2112)(+-⋅=是R 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)判定)(x f 在R 上的单调性并加以证明。
2015-2016学年上海中学高一(上)数学期末试卷和解析
2015-2016学年上海中学高一(上)期末数学试卷一、选择题(每题4分)1.(4.00分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件2.(4.00分)已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)函数为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)3.(4.00分)已知函数y=log2x的反函数是y=f﹣1(x),则函数y=f﹣1(1﹣x)的图象是()A.B.C.D.4.(4.00分)方程3x+4x=6x解的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.(4.00分)设函数f(x)=﹣(x∈R),区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N成立的实数对(a,b)有()A.0个 B.1个 C.2个 D.无数多个6.(4.00分)对于定义在D上的函数f(x),点A(m,n)是f(x)图象的一个对称中心的充要条件是:对任意x∈D都有f(x)+f(2m﹣x)=2n,现给出下列三个函数:(1)f(x)=x3+2x2+3x+4(2)(3)这三个函数中,图象存在对称中心的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题(每题3分)7.(3.00分)若函数y=a x(a>0,a≠1)在区间x∈[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则实数a的值为.8.(3.00分)设g(x)=,则g(g())=.9.(3.00分)已知函数y=f(x+1)的定义域为[1,3],则f(x2)的定义域为.10.(3.00分)函数y=的值域是.11.(3.00分)幂函数f(x)=(t3﹣t+1)x3t+1是偶函数,且在(0,1)上单调递增,则f(2)=.12.(3.00分)设f(x)=log3(x+6)的反函数为f﹣1(x),若〔f﹣1(m)+6〕〔f﹣1(n)+6〕=27,则f(m+n)=.13.(3.00分)函数y=|x|﹣的值域是.14.(3.00分)已知函数,若?x1,x2∈R,x1≠x2,使得f (x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是.15.(3.00分)函数的单调递增区间是.16.(3.00分)已知f(x)=在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.17.(3.00分)已知a,b∈R,函数f(x)=|x﹣a|+|a﹣|是偶函数,则2015﹣3ab2的取值范围是.18.(3.00分)若实数x0满足f(x0)=x0,称x0为函数f(x)的不动点.有下面三个命题:(1)若f(x)是二次函数,且没有不动点,则函数f(f(x))也没有不动点;(2)若f(x)是二次函数,则函数f(f(x))可能有4个不动点;(3)若f(x)的不动点的个数是2,则f(f(x))的不动点的个数不可能是3.它们中所有真命题的序号是.三、解答题(8+6+8+8+10):。
2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.(3.00分)若全集U=R,A={x|x>2},B={x|x>5},则A∩∁U B=.2.(3.00分)已知a>1,则不等式a+的最小值为.3.(3.00分)幂函数y=f(x)的图象经过点(,2),则f(x)=.4.(3.00分)函数F(x)=x﹣的零点个数为.5.(3.00分)已知sin(﹣α)=,则cos(π﹣α)=.6.(3.00分)函数y=log a(x+3)﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A 坐标为.7.(3.00分)已知,且2π<α<3π,则=.8.(3.00分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上为减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是.9.(3.00分)若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集,则实数a的取值范围是.10.(3.00分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是.11.(3.00分)若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是.12.(3.00分)设非空集合s={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S.给出如下四个命题:①若m=1,则S={1};②若m=﹣,则≤l≤1;③若l=,则﹣≤m≤0.④若l=1,则﹣1≤m≤0或m=1.其中正确命题的是.二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13.(3.00分)下列命题成立的是()A.如果a>b,c≠0,那么B.如果a>b,那么a2>b2C.如果a>b,c>d,那么a+d>b+c D.如果a>b,c>d,那么a﹣d>b﹣c 14.(3.00分)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个15.(3.00分)函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是()A.a<1且b>3 B.a>﹣1且b>1 C.a>1且b>﹣1 D.a<﹣2且b<2 16.(3.00分)函数f(x)的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折,函数f(x)的图象都不能与函数的图象重合,则函数f(x)可以是()A.y=()x B.y=log2(2x)C.y=log2(x+1)D.y=22x﹣1三、解答题(本大题共5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(8.00分)解关于x的方程:log 2(x+14)﹣log(x+2)=3+log2(x+6).18.(10.00分)设集合A={x||x﹣a|<2},,若A⊆B.求实数a的取值范围.19.(10.00分)设是R上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)判定f(x)在R上的单调性.20.(12.00分)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地,如图点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为(k为正常数),求总造价T关于S 的函数T=f(S);试问如何选取|AM|的长使总造价T最低(不要求求出最低造价).21.(12.00分)设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域交集为D.若对任意的x∈D,都有f(f(x))=x,则称函数f(x)是集合M的元素.(1)判断函数f(x)=﹣x+1和g(x)=2x﹣1是否是集合M的元素,并说明理由;(2)设函数f(x)=,试求函数f(x)的反函数f﹣1(x),并证明f ﹣1(x)∈M;(3)若f(X)=(a,b为常数且a>0),求使f(x)<1成立的x的取值范围.2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.(3.00分)若全集U=R,A={x|x>2},B={x|x>5},则A∩∁U B={x|2<x≤5} .【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|x>2},B={x|x>5},∴∁U B={x|x≤5},∴A∩(∁U B)={x|2<x≤5}故答案为{x|2<x≤5}2.(3.00分)已知a>1,则不等式a+的最小值为1+2..【解答】解:a+=a﹣1++1≥1+2,当且仅当a﹣1=,即a=1+时等号成立.∴不等式a+的最小值为1+2.故答案为1+2.3.(3.00分)幂函数y=f(x)的图象经过点(,2),则f(x)=.【解答】解:设f(x)=x k,∵y=f(x)的图象经过点(,2),∴,∴=,∴.故答案为.4.(3.00分)函数F(x)=x﹣的零点个数为2.【解答】解:令得x2=4,∴x=±2;∴函数F(x)有两个零点.5.(3.00分)已知sin(﹣α)=,则cos(π﹣α)=﹣.【解答】解:∵sin(﹣α)=cosα=,∴cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣.故答案为:﹣6.(3.00分)函数y=log a(x+3)﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A 坐标为(﹣2,﹣1).【解答】解:令x+3=1,解得x=﹣2,则当x=﹣2时,函数y=log a(x+3)﹣1=﹣1,即函数图象恒过一个定点(﹣2,﹣1).故答案为:(﹣2,﹣1)7.(3.00分)已知,且2π<α<3π,则=.【解答】解:∵2π<α<3π,∴π<<,∴sin<0,∴()2=(1﹣cosα)=(1﹣)=,∴=﹣,故答案为:﹣.8.(3.00分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上为减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(﹣2,2).【解答】解:根据题意:可作满足条件的函数图象:如图:f(x)<0的x的取值范围是(﹣2,2)故答案为:(﹣2,2)9.(3.00分)若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集,则实数a的取值范围是.【解答】解:当a=0,﹣3≤0不成立,符合要求;当a≠0时,因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为ϕ,即所对应图象均在x轴上方,故须解得0<a<综上满足要求的实数a的取值范围是[0,)故答案为:[0,).10.(3.00分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是.【解答】解:依题意,有0<a<1且2a﹣1<0,解得0<a<,又当x<1时,(2a﹣1)x+4a>6a﹣1,当x>1时,log a x<0,因为f(x)在R上单调递减,所以6a﹣1≥0解得a≥综上:a∈.故答案为:.11.(3.00分)若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是(﹣∞,2] .【解答】解:不等式x2﹣kx+k﹣1>0可化为(1﹣x)k>1﹣x2∵x∈(1,2)∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是(﹣∞,2]故答案为:(﹣∞,2]12.(3.00分)设非空集合s={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S.给出如下四个命题:①若m=1,则S={1};②若m=﹣,则≤l≤1;③若l=,则﹣≤m≤0.④若l=1,则﹣1≤m≤0或m=1.其中正确命题的是①②③④.【解答】解:由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S可知:符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1,符合条件的l的值一定大于等于0,小于等于1,如此才能保证l∈S时,有l2∈S即l2≤l,再对各个命题进行判断:对于①m=1,m2=1∈S故必有,可得l=1,S={1},故正确;②m=﹣,则,解得≤l≤1,故正确;③若l=,则,可解得﹣≤m≤0,故正确;④若l=1,则可解得﹣1≤m≤0或m=1,故正确.故答案为:①②③④二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13.(3.00分)下列命题成立的是()A.如果a>b,c≠0,那么B.如果a>b,那么a2>b2C.如果a>b,c>d,那么a+d>b+c D.如果a>b,c>d,那么a﹣d>b﹣c 【解答】解:A.c<0时不成立;B.0>a>b时不成立;C.∵a>b,c>d,那么a+c>b+d,因此不成立;D.∵a>b,c>d,那么a+c>b+d,则a﹣d>b﹣c,故正确.故选:D.14.(3.00分)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个【解答】解:否命题:“若A∪B=B,则A∩B=A”为真命题;逆否命题:“若A∩B=A,则A∪B=B”为真命题.因此逆命题与原命题也为真命题.故选:D.15.(3.00分)函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是()A.a<1且b>3 B.a>﹣1且b>1 C.a>1且b>﹣1 D.a<﹣2且b<2【解答】解:因为f(x)==1+,所以f(x)的单调性有a和﹣1的大小和a+b的正负共同决定.所以函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数须要有a<﹣1且a+b<0.符合条件的有A和D但a=0,b=1时不能推出函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数故选:D.16.(3.00分)函数f(x)的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折,函数f(x)的图象都不能与函数的图象重合,则函数f(x)可以是()A.y=()x B.y=log2(2x)C.y=log2(x+1)D.y=22x﹣1【解答】解:=﹣log 2x.A.因为函数y=()x与互为反函数,所以它们的图象关于y=x对称,所以A合适.B.y=log2(2x)=1+log2x,所以将函数y=log2(2x)沿着y轴向下平移一个单位得到y=log 2x,然后关于x轴对称后可与函数的图象重合,所以B合适.C.将函数y=log2(x+1)沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x,然后关于x轴对称后可与函数的图象重合,所以C合适.故选:D.三、解答题(本大题共5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(8.00分)解关于x的方程:log 2(x+14)﹣log(x+2)=3+log2(x+6).【解答】解:∵,∴log2[(x+14)(x+2)=log2[8(x+6)],∴(x+14)(x+2)=8(x+6),解得x=2,或x=﹣10,检验,得x=2.18.(10.00分)设集合A={x||x﹣a|<2},,若A⊆B.求实数a的取值范围.【解答】解:解|x﹣a|<2得:a﹣2<x<a+2.∴集合A=(a﹣2,a+2)解得:﹣2<x<3∵A⊆B,∴.19.(10.00分)设是R上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)判定f(x)在R上的单调性.【解答】解:(1)∵f(x)是R上的奇函数.∴f(﹣x)=﹣f(x)∴1﹣a•2=a﹣2x∴a=1(2)设x1<x2,则2x1<2x2f(x1)﹣f(x2)=所以f(x)在R上是增函数.20.(12.00分)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地,如图点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为(k为正常数),求总造价T关于S 的函数T=f(S);试问如何选取|AM|的长使总造价T最低(不要求求出最低造价).【解答】解:(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan∠PCM=(30﹣x),…2分矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x(30﹣x),x∈[10,20]…4分于是200≤S≤225为所求.…6分(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分又△ABC的面积为450,即草坪造价T2=S)…8分由总造价T=T1+T2,∴T=25k(+),200≤S≤225.…10分∴T=25k(+),200≤S≤225∵+≥12,…11分当且仅当=即S=216时等号成立,…12分此时x(30﹣x)=216,解得x=12或x=18,所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.…14分.21.(12.00分)设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域交集为D.若对任意的x∈D,都有f(f(x))=x,则称函数f(x)是集合M的元素.(1)判断函数f(x)=﹣x+1和g(x)=2x﹣1是否是集合M的元素,并说明理由;(2)设函数f(x)=,试求函数f(x)的反函数f﹣1(x),并证明f ﹣1(x)∈M;(3)若f(X)=(a,b为常数且a>0),求使f(x)<1成立的x的取值范围.【解答】解:(1)因为对任意x∈R,f(f(x))=﹣(﹣x+1)+1=x,所以f(x)=﹣x+1∈M(2分)因为g(g(x))=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3不恒等x,所以g(x)∉M(2)因为f(x)=log2(1﹣2x),所以x∈(﹣∞,0),f(x)∈(﹣∞,0)…(5分)函数f(x)的反函数f﹣1(x)=log2(1﹣2x),(x<0)…(6分)又因为f﹣1(f﹣1(x))=log2(1﹣)=log2(1﹣(1﹣2x))=x…(9分)所以f﹣1(x)∈M…(10分)(3)因为f(x)=,所以f(f(x))=x对定义域内一切x恒成立,∴即解得:(a+b)x2﹣(a2﹣b2)x=0恒成立,故a+b=0…(12分)由f(x)<1,得<1即…(13分)若a=1则<0,所以x∈(﹣∞,1)…(14分)若0<a<1,则且a<,所以x∈(﹣∞,a)∪(,+∞)…(16分)若a>1,则且a>,所以x∈(,a)…(18分)。
上海市金山中学2015-2016学年高一下学期期末数学试题
绝密★启用前上海市金山中学2015-2016学年高一下学期期末数学试题试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则“a b =”是“cos cos a B b A =”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.同时具有性质:“① 最小正周期是π;② 图象关于直线3x π=对称;③ 在5[,]6ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是( ) A .cos()26x y π=+B .5sin(2)6y x π=+C .cos(2)3y x π=-D .sin(2)6y x π=-3.已知数列{}n a ,对于任意的正整数n ,()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩,设n S 表示数列{}n a 的前n 项和.下列关于lim n n S →+∞的结论,正确的是( ) A .lim 1n n S →+∞=- B .lim 2015n n S →+∞= C .()()()*2016,12016lim 1.2017n n n S n N n →+∞⎧≤≤⎪=∈⎨-≥⎪⎩D .以上结论都不对4.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数n ,如果n 是偶数,就将它减半(即2n);如果n 是奇数,则将它乘3加1(即31n +),不断重复这样的运……外……………内………现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1(注:1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为( ) A .3 B .4C .5D .32第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5.计算:2lim 31nn n →∞=+__________.6.若3sin 5α=,且(,)2παπ∈,则tan α=_______.7.用数学归纳法证明“()22111...11n n a a a a a a++-++++=≠-”,在验证1n =成立时,等号左边的式子是______.8.函数22sin y x =的最小正周期为___________.9.已知tan 2α=,则sin 2cos 2sin cos αααα+=-________.10.函数arccos y x =在1(1,]2x ∈-的值域是__________________.11.设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为(0)q q >,所有项和为1,则首项1a 的取值范围是____________.12.已知数列{}n a 满足:121a a ==,123214n n a a a a a -++++=-L ()3,n n N *≥∈,则6a =_____.13.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆,设1OA =,则阴影部分的面积是__________.14.对任意的θ∈(0,π2),不等式1sin 2θ+4cos 2θ≥|2x −1|恒成立,则实数x 的取值范围是__________. *sin nx*函数;②()()n f x n N *∈有对称轴;③π(0)2,为()()n f x n N *∈的对称中心;④*()()n f x n n N ≤∈;正确的序号是 _________.三、解答题16.对于函数()f x 和实数M ,若存在*,m n ∈N ,使()(1)(2)f m f m f m ++++++L ()f m n M +=成立,则称(,)m n 为函数()f x 关于M 的一个“生长点”.若(1,2)为函数()cos 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于M 的一个“生长点”,则M =______.17.已知()0,απ∈,1sin cos 5αα+=.求sin 2α和sin cos αα-的值. 18.已知ABC ∆的顶点都在单位圆上,角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,且2cos cos cos a A c B b C =+.(1)求cos A 的值;(2)若224b c +=,求ABC ∆的面积.19.已知等差数列{}n a 满足37a =,5726a a +=,其前n 项和为n S . (1)求{}n a 的通项公式及n S ; (2)令1()n n b n S n*=∈-N ,求数列{}n b 的前n 项和n T ,并求lim n n T →∞的值.20.已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x m m R =-+∈,将()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象,且()y g x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π. (1)求实数m 的值;(2)求函数()y g x =与直线1y =相邻交点间距离的最小值. 21.正项数列:12,,,(4,*)m a a a m m N ≥∈L ,满足:1231,,,,(,*)k k a a a a a k m k N -<∈L 是公差为d 的等差数列,111,,,,,m m k k a a a a a -+L 是公比为2的等比数列.(1)若12,8a d k ===,求数列12,,,m a a a L 的所有项的和m S ;(3)是否存在正整数k ,满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++L L ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.参考答案1.C 【解析】 【分析】由正弦定理分别检验问题的充分性和必要性,可得答案. 【详解】解:充分性:在△ABC 中,由a b =,可得A B ∠=∠,所以cos cos a B b A =,故充分性成立; 必要性:在△ABC 中,由cos cos a B b A =及正弦定理,可得sin cos sin cos A B B A =, 可得in 0()s A B -=,A B ∠=∠,故a b =,必要性成立;故可得:在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则“a b =”是“cos cos a B b A =”的充分必要条件, 故选C . 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断,相对不难,注意正弦定理的灵活运用. 2.D 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数的图象和性质,逐一检验,可得结论. 【详解】A,对于y =cos (26x π+),它的周期为212π=4π,故不满足条件.B,对于y =sin (2x 56π+),在区间56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上,2x 56π+∈[52π,176π],故该函数在区间56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上不是单调递增函数,故不满足条件. C,对于y =cos (2x 3π-),当x 3π=时,函数y 12=,不是最值,故不满足②它的图象关于直线x 3π=对称,故不满足条件.D,对于y =sin (2x 6π-),它的周期为22π=π,当x 3π=时,函数y =1,是函数的最大值,满足它的图象关于直线x 3π=对称;且在区间56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上,2x 6π-∈[32π,116π],故该函数在区间56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是单调递增函数,满足条件. 故选:D . 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质,属于中档题. 3.B 【解析】 【分析】根据题意,结合等比数列的求和公式,先得到当2017n ≥时,2016120153n n S -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再由极限的运算法则,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a ,对于任意的正整数n ,()()20161,1201612,20173n n n a n -⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫-⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎩,n S 表示数列{}n a 的前n 项和,所以122016...1a a a ====,201723a =-,201829a =-,...… , 所以当2017n ≥时,2016201620162113311201620161201513313n n n n S ---⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-, 因此20161lim lim 201520153n n n n S -→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选:B 【点睛】本题主要考查数列的极限,熟记等比数列的求和公式,以及极限的运算法则即可,属于常考题型.4.A 【解析】 【分析】由题意:任给一个正整数n ,如果n 是偶数,就将它减半(即2n);如果n 是奇数,则将它乘3加1(即31n +),我们可以从第六项为1出发,逐项求出各项的取值,可得n 的所有不同值的个数. 【详解】解:由题意:如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1, 则变换中的第5项一定是2, 变换中的第4项一定是4,变换中的第3项可能是1,也可能是8, 变换中的第2项可能是2,也可能是16, 则n 的可能是4,也可能是5,也可能是32, 故n 的所有可能的取值为{}4,5,32, 故选:A. 【点睛】本题主要考查数列的应用及简单的逻辑推理,属于中档题. 5.0 【解析】 【分析】直接利用数列极限的运算法则,分子分母同时除以3n ,然后求解极限可得答案. 【详解】解:2()203lim lim 01311103nnn n n n→∞→∞===+++, 故答案为:0. 【点睛】本题主要考查数列极限的运算法则,属于基础知识的考查.6.34-【解析】 【分析】由sin α的值及(,)2παπ∈,可得cos α的值,计算可得tan α的值.【详解】 解:由3sin 5α=,且(,)2παπ∈,由22sin cos 1αα+=,可得4cos 5α=-,故sin 3tan cos 4ααα==-, 故答案为:34-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系,熟练掌握其基本关系是解题的关键. 7.21a a ++ 【解析】 【分析】根据左边的式子是从0a 开始,1n a +结束,且指数依次增加1求解即可. 【详解】因为左边的式子是从0a 开始,1n a +结束,且指数依次增加1 所以1n =,左边的式子为0111a a a +++=21a a ++, 故答案为21a a ++. 【点睛】项数的变化规律,是利用数学归纳法解答问题的基础,也是易错点,要使问题顺利得到解决,关键是注意两点:一是首尾两项的变化规律;二是相邻两项之间的变化规律. 8.π 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理,进而利用三角函数最小正周期公式可得函数的最小正周期.解:由题意可得:21cos 22sin 2cos 212xy x x -==⨯=-+, 可得函数的最小正周期为:22ππ=, 故答案为:π. 【点睛】本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法,属于基础知识的考查. 9.43【解析】 【分析】将分子分母同时除以cos α,把原式转化为关于tan α的式子解答. 【详解】解:sin 2cos tan 22242sin cos 2tan 12213αααααα+++===--⨯-,故答案为:43.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,利用sin tan cos ααα=化简是解题的关键. 10.[,)3ππ【解析】 【分析】利用反三角函数的性质及1(1,]2x ∈-,可得答案. 【详解】解:Q 1(1,]2x ∈-,且1cos 1,cos 32ππ=-=,[0,]y π∈, ∴[,)3y ππ∈,故答案为:[,)3ππ【点睛】本题主要考查反三角函数的性质,相对简单. 11.(0,1)【分析】由题意可得得0q 1<<且111a q=-,可得首项1a 的取值范围. 【详解】解:由题意得:0q 1<<,11n (1)lim 111n a q aq q →∞-==--, 11(0,1)a q ∴=-∈故答案为:(0,1). 【点睛】本题主要考查等比数列前n 项的和、数列极限的运算,属于中档题. 12.316【解析】 【分析】从3a 开始,直接代入公式计算,可得6a 的值. 【详解】解:由题意得:133144a a =-=, 1241142a a a +=-=, 123551416a a a a ++=-=,1234631416a a a a a +++=-=,故答案为:316.【点睛】本题主要考查数列的递推公式及数列的性质,相对简单. 13.24π-【解析】 【分析】:设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,可得直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和,OC 平分AOB ∠, 可得阴影部分的面积. 【详解】解:设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,Q22111()42ππ⨯⨯=⨯, ∴直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和,由对称性可得:OC 平分AOB ∠,故阴影部分的面积是:2211122[()]2224S ππ-=⨯⨯-⨯=. 故答案为:24π-.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式,相对不难. 14.[−4,5] 【解析】 1sin 2θ+4cos 2θ=(1sin 2θ+4cos 2θ)(sin 2θ+cos 2θ)=5+cos 2θsin 2θ+4sin 2θcos 2θ≥ 5+2√cos 2θsin 2θ⋅4sin 2θcos 2θ=9,所以|2x −1| ≤9∴−4≤x ≤5点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 15.①②④ 【解析】 【分析】由三角函数的性质及*sin ()()sin n nxf x n N x=∈,分别对各选项进行验证,即可得出结论. 【详解】解:由函数*sin ()()sin n nxf x n N x=∈, 可得①(2)=()()n n f x f x n N π*+∈,可得()n f x 为周期函数,故①正确;②由*sin ()()sin n nxf x n N x=∈,*sin()sin (),()sin()sin n nx nx f x n N x x --==∈-, 故()()n n f x f x =-,()n f x 是偶函数,故()()n f x n N *∈有对称轴正确,故②正确;③n 为偶数时,sin 2()02sin 2n nf πππ==,n 为奇数时, sin 2()02sin 2nnf πππ=≠故(,0)2π不为*sin ()()sin n nx f x n N x=∈的对称中心,故③不正确; ④由sin sin nx n x ≤,可得*()()n f x n n N ≤∈正确,故④正确. 故答案为:①②④. 【点睛】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识,综合性大,属于中档题. 16.12-【解析】 【分析】由(1,2)为函数()cos 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭关于M 的一个“生长点”,得到3cos()cos()cos()23323M ππππππ=+++++由诱导公式可得答案.【详解】解:Q (1,2)为函数()cos 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭关于M 的一个“生长点”,∴3(1)(11)(12)cos()cos()cos()23323M f f f ππππππ=++++=+++++ 1sin cos sin cos 33332ππππ=--+=-=-,故答案为:12-.【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,及函数的创新题型,属于中档题.17.24sin 225α=-,7sin cos 5αα-= 【解析】 【分析】把已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系化简,可得sin 2α的值,同时由()0,απ∈与sin 2α的值可判断出sin 0α>,cos 0α<,计算出()2sin cos αα-的值,可得sin cos αα-的值.【详解】解:Q 1sin cos 5αα+=,两边同时平方可得:11sin 225α+=,24sin 225α=- 又()0,απ∈,sin 0α>,∴sin 20α< ∴,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,()249sin cos 1sin 225ααα-=-= ∴7sin cos 5αα-= 【点睛】同时主要考查同角三角函数关系式的应用,相对不难,注意运算的准确性.18.(1)12;(2【解析】分析:(1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知可得2sin cos sin A A A ⋅=,又0A π<<,即可求得cos A 的值;(2)由同角三角函数基本关系式可求sin A 的值,由于ABC ∆的顶点都在单位圆上,利用正弦定理可得2sin aA=,可求a ,利用余弦定理可得bc 的值,利用三角形面积公式即可得解. 详解:(1)∵2cos cos cos a A c B b C =+,由正弦定理得:2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+, ()2sin cos sin sin A A B C A ⋅=+=,又∵0A π<<,sin 0A ≠,∴2cos 1A =,所以1cos 2A =.(2)由1cos 2A =得,sin A =,因为ABC ∆的顶点在单位圆上,所以2sin aA=,所以2sin a A == 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-,222431bc b c a =+-=-=.∴ 11sin 2224ABC S bc A ==⨯=V .点睛:本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,熟练掌握相关公式是解题的关键,考查了转化思想和数形结合思想的应用,属于中档题. 19.(1)21n a n =+,22n S n n =+;(2)111n T n =-+,1lim n n T →∞= 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的通项公式及前n 项的和公式可得答案; (2)利用“裂项求和”法可得答案. 【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由5726a a +=,得613a =, 又6336a a d -==,解得2d =.所以3(3)72(3)21n a a n d n n =+-=+-=+. 所以21321222n n a a n S n n n n +++=⨯=⨯=+. (2)由1n n b S n =-,得21111(1)1n b n n n n n n ===-+++. 设{}n b 的前n 项和为n T ,则11111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111n =-+1lim n n T →∞=. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项的和,及数列求和的“裂项相消法”,属于中档题. 20.(1)1;(2)4π【解析】 【分析】(1)将()f x 化简可得())14f x x m π=--+,再由平移变换可得())14g x x m π=+-+,由()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,可得m 的值;(2)14x π+=,可得所求相交点距离的最小值.【详解】解:(1)()2cos (sin cos )f x x x x m =-+sin 2cos21x x m=--+)14x m π=--+所以, ()g x )14x m π=+-+x ∈Q 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π, 32,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦∴当242x ππ+=时,即8x π=时,函数()g x 1m +=,∴1m =.(2)根据题意,令()g x )14x π=+=,sin(2)42x π+=,∴2244x k πππ+=+或32244x k πππ+=+,k Z ∈. 解得11x k π=或224x k ππ=+,12,k k Z ∈.因为1212()44x x k k πππ-=--≥,当12k k =时取等号,∴相邻交点间距离的最小值是4π. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变化及三角恒等变换与三角函数的性质,属于中档题. 21.(1)84;(2)1033;(3)存在,4k = 【解析】 【分析】(1)由题意可得:16k a =, 12,,m a a a L 即为:2,4,6,8,10,12,14,16,8,4; 可得m S 的值;(2)由题意可得22m k k a -+=,故有222m k k -+=;即12m k k -+=,即k 必是2的整数幂,要m 最大,k 必需最大,2016k m <<,可得出m 的最大值;(3)由1231,,,,(,*)k k a a a a a k m k N -<∈L 是公差为d 的等差数列,111,,,,,m m k k a a a a a -+L 是公比为2的等比数列,可得()11k a a k d =+-与112+-=⋅m k k a a ,可得k 与m 的方程,一一验算k 的值可得答案. 【详解】解:(1)由已知*8,,2,16n k k m k N a n a a <∈===,故*1231,(,,),,,k k a a a a a k m k N -<∈L 为:2,4,6,8,10,12,14,16;111,,,,,m m k k a a a a a -+L 公比为2,则对应的数为2,4,8,16,从而12,,m a a a L 即为:2,4,6,8,10,12,14,16,8,4; 此时()821610,84842m m S +==++= (2)()*1231,,,,,,k k a a a a a k m k N-<∈L 是首项为2,公差为2 的等差数列,故*,,2n k m k N a n <∈=,从而2k a k =,而111,,,,,m m k k a a a a a -+L 首项为2,公比为2的等比数列且22m k k a -+=,故有222m k k -+=;即12m k k -+=,即k 必是2的整数幂又122k m k +⋅=,要m 最大,k 必需最大,2016k m <<,故k 的最大值为102, 所以1010210102410341222222m +⋅=⋅==,即m 的最大值为1033(3)由数列1231,,,,,k k a a a a a -L 是公差为d 的等差数列知,()11k a a k d =+-,而111,,,,m m k k a a a a a -+L 是公比为2的等比数列,则112+-=⋅m k k a a ,故111(1)2+-+-=⋅m k a k d a ,即()()11121m kk d a +--=-,又()121113k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++L L ,12=m a a ,则()11112132212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-,即()()111112132212m km k ka k a a +--⎡⎤+-=⨯-⎣⎦,则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-,即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⋅- 显然6k ≠,则112182166+-+==-+--m kk k k,所以k 6<,将1,2,3,4,5k =,代入验证知, 当4k =时,上式右端为8,等式成立,此时6m =, 综上可得:当且仅当6m =时,存在4k =满足等式 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列、等比数列前n 项的和,属于难题,注意灵活运用各公式解题与运算准确.。
2015-2016学年上海市金山中学高二上学期期末考试数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年上海市金山中学高二上学期期末考试数学试卷(带解析)试卷副标题考试范围:xxx ;考试时间:142分钟;命题人:xxx学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项.1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题(题型注释)1、已知曲线:(),下列叙述中正确的是( )A .垂直于轴的直线与曲线存在两个交点B .直线()与曲线最多有三个交点C .曲线关于直线对称D .若为曲线上任意两点,则有2、设曲线C 的参数方程为为参数,直线 的方程为,则曲线C 上到直线 的距离为的点的个数为( )3、与双曲线有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线标准方程为()A. B. C. D.4、设,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数的”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件第II卷(非选择题)二、填空题(题型注释)5、已知点在直线上,点在直线上,PQ的中点为,且,则的取值范围是 .6、若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是 .7、双曲线的焦点为F1、F2,,P在双曲线上,且满足:,则的面积是 .8、若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为__________.9、已知点P是椭圆上的在第一象限内的点,又、,O是原点,则四边形OAPB的面积的最大值是_________.10、过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点,则实数的值为__________.11、若直线经过原点,且与直线的夹角为300,则直线方程为___________________.12、已知方程表示椭圆,则的取值范围为__ ____.13、已知直线与圆相切,则的值为__ ___.14、设复数满足,则.15、若实数满足不等式组,则的最大值为 .16、直线的倾斜角为,则的值是___________.三、解答题(题型注释)17、椭圆和椭圆满足椭圆,则称这两个椭圆相似,m 称为其相似比.(1)求经过点,且与椭圆相似的椭圆方程;(2)设过原点的一条射线L 分别与(1)中的两个椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在线段OB 上),求的最大值和最小值;(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A 、B 两点,P 为线段AB 上的一点,若,,成等比数列,则点P 的轨迹方程为”。
上海市金山中学2015_2016学年高一数学上学期学业水平试卷(含解析)
2015-2016学年上海市金山中学高二(上)学业水平数学试卷一、填空题1.用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时,第一步取n= .2.函数y=arcsin(1﹣x)的定义域是.3.函数f(x)=1﹣3sin2x的最小正周期为.4.若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上,那么tanα= .5.已知a n=,则a n= .6.若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2= .7.已知sinα+cosα=,α是第二象限角,那么tanα= .8.若 [2﹣()n]=2,则实数r的取值范围是.9.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为.10.将函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为原来的2倍,得到的曲线与y=sinx的图象相同,则y=f(x)的解析式是.11.若sinθ=,cosθ=,θ∈(,π),则m的取值范围是.12.已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1<x2<…<x m≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x m﹣1)﹣f(x m)|=12(m≥0,m∈N*),则m的最小值为.二、选择题13.在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形14.若数列{a n}是首项为1,公比为a﹣的无穷等比数列,且{a n}各项的和为a,则a的值是()A.1 B.2 C.D.15.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>016.若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6 B.7 C.8 D.9三、解答题(共5题,共52分)17.已知函数y=cos(+2x)+cos2x﹣sin2x,当x取何值时,y取得最大值和函数的对称中心?18.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?19.已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为S n,S k=2550.(Ⅰ)求a及k的值;(Ⅱ)求.20.设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.21.已知函数f(x)=,数列{a n}满足a1=1,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1,求T n的值.2015-2016学年上海市金山中学高二(上)学业水平数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1.用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时,第一步取n= 2 .【考点】数学归纳法.【专题】点列、递归数列与数学归纳法.【分析】利用数学归纳法证明的步骤即可得出.【解答】解:利用数学归纳法证明2+3+4+…+n=时,第一步取n=2,左边=2,右边==2,因此左边=右边.故答案为:2.【点评】本题考查了数学归纳法证明的步骤,考查了推理能力,属于基础题.2.函数y=arcsin(1﹣x)的定义域是[0,2] .【考点】反三角函数的运用.【专题】函数的性质及应用.【分析】由条件利用反正弦函数的定义域求得x的范围.【解答】解:由函数y=arcsin(1﹣x),可得﹣1≤1﹣x≤1,求得0≤x≤2,故函数的定义域为[0,2],【点评】本题主要考查反正弦函数的定义域,属于基础题.3.函数f(x)=1﹣3sin2x的最小正周期为π.【考点】三角函数的周期性及其求法.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期.【解答】解:∵函数f(x)=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,∴函数的最小正周期为=π,故答案为:π.【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题.4.若角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上,那么tanα= 3 .【考点】任意角的三角函数的定义.【专题】三角函数的求值.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得tanα的值.【解答】解:由于角α的终边落在正比例函数y=3x的图象上,那么tanα==3,故答案为:3.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.5.已知a n=,则a n= ﹣1 .【考点】极限及其运算.【专题】计算题;极限思想;转化法.【分析】分析知a n==.【解答】解:当n→∞时,只需考虑a n=(n≥2015),则a n==,其中,=0,所以,==﹣1,故填:﹣1.【点评】本题主要考查了极限及其运算,对于分段数列,其极限只需考虑n→∞时对应的分段,属于基础题.6.若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2= 16 .【考点】二阶行列式与逆矩阵.【专题】矩阵和变换.【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可.【解答】解:由题意知,是方程组的解,即,则c1﹣c2=21﹣5=16,故答案为:16.【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键.7.已知sinα+cosα=,α是第二象限角,那么tanα= ﹣.【考点】同角三角函数基本关系的运用.【专题】三角函数的求值.【分析】已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,整理求出2sinαcosα,判断出sinα与cosα的正负,再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα的值,与已知等式联立求出sinα与cosα的值,即可确定出tanα的值.【解答】解:∵sinα+cosα=①,α是第二象限角,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,即2sinαcosα=﹣,∴cosα<0,sinα>0,即sinα﹣cosα>0,∴(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=,即sinα﹣cosα=②,①+②得:sinα=,①﹣②得:cosα=﹣,则tanα=﹣,故答案为:﹣.【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.8.若 [2﹣()n]=2,则实数r的取值范围是(﹣,+∞).【考点】极限及其运算;绝对值不等式.【专题】计算题;转化法;不等式的解法及应用.【分析】由 [2﹣()n]=2得()n=0,再解不等式||<1即可.【解答】解:因为 [2﹣()n]=2,所以()n=0,因此,||<1,解得r∈(﹣,+∞),故答案为:(﹣,+∞).【点评】本题主要考查了极限及其运算,以及含绝对值不等式的解法,属于基础题.9.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为.【考点】程序框图.【专题】算法和程序框图.【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果,直到条件不满足,计算输出s的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环:s=0+,n=2+2=4;第二次循环:s=+=,n=4+2=6;第三次循环:s=+=,n=6+2=8;不满足条件n<8,程序运行终止,输出s=.故答案为:.【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法.10.将函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为原来的2倍,得到的曲线与y=sinx的图象相同,则y=f(x)的解析式是y=sin(2x+).【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由题意函数y=sinx的图象,逐步逆推求出函数y=f(x)的图象对应的解析式即可.【解答】解:函数y=sinx的图象,将图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin2x,再把它的图象向左平移个单位,得到函数y=sin(2x+)的图象.故答案为:y=sin(2x+).【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,伸缩变换,注意函数变换的形式,逐步可逆,化简解题过程.11.若sinθ=,cosθ=,θ∈(,π),则m的取值范围是{8} .【考点】三角函数值的符号.【专题】三角函数的求值.【分析】通过平方关系得到关于m的表达式,求出m的值,结合三角函数的性质,判断m的值即可.【解答】解:∵sin2θ+cos2θ=1∴+=1,∴(m﹣3)2+(4﹣2m)2=(m+5)2即m2﹣6m+9+16﹣16m+4m2=m2+10m+25即25﹣22m+4m2=10m+25即﹣32m+4m2=0即m=0,或m=8因为<θ<π,当m=0时,sinθ=﹣,矛盾,所以m=8故答案为:{8}【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力,象限角三角函数值的符号,是基础题12.已知函数f(x)=sinx.若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1<x2<…<x m≤6π,且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x m﹣1)﹣f(x m)|=12(m≥0,m∈N*),则m的最小值为8 .【考点】正弦函数的图象.【专题】函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意x i,x j(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(x i)﹣f(x j)|≤f(x)max﹣f(x)min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值.【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(x i)﹣f(x j)|≤f (x)max﹣f(x)min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i(i=1,2,3,…,m)取得最高点,考虑0≤x1<x2<…<x m≤6π,|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(x m﹣1)﹣f (x m)|=12,按下图取值即可满足条件,∴m的最小值为8.故答案为:8.【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化思想方法,正确理解对任意x i,x j(i,j=1,2,3,…,m),都有|f(x i)﹣f(x j)|≤f (x)max﹣f(x)min=2是解答该题的关键,是难题.二、选择题13.在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形【考点】正弦定理.【专题】三角函数的求值;解三角形.【分析】首先利用正弦定理求得sin2A=sin2B,进一步利用三角函数的诱导公式求出结果.【解答】解:已知:acosA=bcosB利用正弦定理:解得:sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以:2A=2B或2A=180°﹣2B解得:A=B或A+B=90°所以:△ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选:D【点评】本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数的诱导公式的应用,属于基础题型.14.若数列{a n}是首项为1,公比为a﹣的无穷等比数列,且{a n}各项的和为a,则a的值是()A.1 B.2 C.D.【考点】等比数列的前n项和;等比数列.【专题】压轴题.【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a,则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可.【解答】解:由题意知a1=1,q=a﹣,且|q|<1,∴S n==a,即,解得a=2.故选B.【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想.15.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0【考点】等差数列的性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列.【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论.【解答】解:若a1+a2>0,则2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0时,结论成立,即A不正确;若a1+a3<0,则a1+a2=2a1+d<0,a2+a3=2a1+3d<2d,d<0时,结论成立,即B不正确;{a n}是等差数列,0<a1<a2,2a2=a1+a3>2,∴a2>,即C正确;若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=﹣d2<0,即D不正确.故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.16.若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6 B.7 C.8 D.9【考点】等比数列的性质;等差数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组,求得a,b后得答案.【解答】解:由题意可得:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,可得①或②.解①得:;解②得:.∴p=a+b=5,q=1×4=4,则p+q=9.故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题.三、解答题(共5题,共52分)17.已知函数y=cos(+2x)+cos2x﹣sin2x,当x取何值时,y取得最大值和函数的对称中心?【考点】三角函数中的恒等变换应用.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】利用二倍角公式和和差角(辅助角)公式,可得y=2sin(2x+),结合正弦函数的图象和性质,可得答案.【解答】解:∵函数y=cos(+2x)+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+),故当2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,y取得最大值,由2x+=kπ,k∈Z得:x=+kπ,k∈Z,故函数图象的对称中心坐标为:( +kπ,0)(k∈Z)【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,二倍角公式和和差角(辅助角)公式,难度中档.18.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?【考点】等差数列的性质.【专题】计算题;等差数列与等比数列.【分析】(I)由a4﹣a3=2,可求公差d,然后由a1+a2=10,可求a1,结合等差数列的通项公式可求(II)由b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6,结合(I)可求【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a3=2,所以d=2∵a1+a2=10,所以2a1+d=10∴a1=4,∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)(II)设等比数列{b n}的公比为q,∵b2=a3=8,b3=a7=16,∴∴q=2,b1=4∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本公式应用的考查,试题比较容易.19.已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为S n,S k=2550.(Ⅰ)求a及k的值;(Ⅱ)求.【考点】极限及其运算;等差数列的前n项和.【专题】计算题.【分析】(Ⅰ)设该等差数列为{a n},由题设条件可知首项a1=2,公差d=2.由此可以求得a=2,k=50.(Ⅱ)由,得S n=n(n+1),=,由此求得求的值.【解答】解:(Ⅰ)设该等差数列为{a n},则a1=a,a2=4,a3=3a,S k=2550.由已知有a+3a=2×4,解得首项a1=a=2,公差d=a2﹣a1=2.代入公式S k=k•a1+得∴k2+k﹣2550=0解得k=50,k=﹣51(舍去)∴a=2,k=50;(Ⅱ)由得S n=n(n+1),===∴=1.【点评】本题考查数列的极限,解题时要认真审题,仔细解答,避免不必要的错误.20.设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.【考点】正弦函数的单调性;两角和与差的正弦函数;余弦定理.【专题】三角函数的图像与性质;解三角形.【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z 可解得单调递减区间.(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:bc,且当b=c时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;所以f(x)的单调递增区间是[k,k],(k∈Z);单调递减区间是:[k,k],(k∈Z);(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:1+bc=b2+c2≥2bc,即bc,且当b=c时等号成立.因此S=bcsinA≤,所以△ABC面积的最大值为.【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本知识的考查.21.已知函数f(x)=,数列{a n}满足a1=1,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令T n=a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+…+a2n﹣1a2n+a2n a2n+1,求T n的值.【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法.【分析】(1)通过代入、取倒数可知=+,进而可知数列{}是首项为1、公差为的等差数列,计算即得结论; (2)通过(1)裂项可知a n a n+1=•(﹣),进而并项相加即得结论.【解答】解:(1)依题意, ===+,又∵=1,∴数列{}是首项为1、公差为的等差数列,∴=1+(n ﹣1)=,∴数列{a n }的通项公式a n =;(2)由(1)可知a n a n+1=•=•(﹣),∴T n =a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+a 4a 5+…+a 2n ﹣1a 2n +a 2n a 2n+1=•(﹣+﹣+…+﹣)=•(﹣)=.【点评】本题考查数列的通项及前n 项和,对表达式的灵活变形及裂项求和是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.。
上海市金山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷-Word版含解析
上海市金山区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分)1.(3分)已知全集U=R,A={x|x≥2},则∁U A=.2.(3分)函数y=lg的定义域是.3.(3分)函数y=x+(x>0)的最小值为.4.(3分)若集合A={﹣1,0,1},集合B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示B=.5.(3分)若4x﹣2x+1=0,则x=.6.(3分)已知关于x的不等式x2﹣(a﹣1)x+(a﹣1)>0的解集是R,则实数a取值范围是.7.(3分)已知函数y=a x﹣1+1(a>0,a≠1)的图象经过一个定点,则顶点坐标是.8.(3分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在12.(3分)设a+b=3,b>0,则当a=时,取得最小值.二、选择题(本大题满分18分)本大题共6题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13.(3分)下列命题中,与命题“如果x2+3x﹣4=0,那么x=﹣4或x=1”等价的命题是()A.如果x2+3x﹣4≠0,那么x≠﹣4或x≠1B.如果x≠﹣4或x≠1,那么x2+3x﹣4≠0C.如果x≠﹣4且x≠1,那么x2+3x﹣4≠0D.如果x=﹣4或x=1,那么x2+3x﹣4=014.(3分)己知实数a,b满足ab>0,则“<成立”是“a>b成立”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.(3分)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.C.D.16.(3分)如图所示曲线是幂函数y=x a在第一象限内的图象,其中a=±,a=±2,则曲线C1,C2,C3,C4对应a的值依次是()A.、2、﹣2、﹣B.2、、﹣、﹣2 C.﹣、﹣2、2、D.2、、﹣2、﹣17.(3分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=﹣|x|(x∈R)B.y=﹣x3﹣x(x∈R)C.D.18.(3分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是()A.1﹣≤m≤1+B.1﹣≤m≤2C.﹣2≤m≤2D.﹣2≤m≤1﹣三、解答题(本大题满分46分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(6分)本题共有2题,第1小题满分4分,第2小题满分2分已知集合A={x||x﹣1|≤1},B={x|x≥a}.(1)当a=1时,求集合A∩B;(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.20.(8分)已知a≠0,试讨论函数f(x)=在区间(0,1)上单调性,并加以证明.21.(8分)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物总额:(1)如果不超过500元,那么不予优惠;(2)如果超过500元但不超过1000元,那么按标价给予8折优惠;(3)如果超过1000元,那么其中1000元给予8折优惠,超过1000元部分按5折优惠.设一次购物总额为x元,优惠后实际付款额为y元.(1)试写出用x(元)表示y(元)的函数关系式;(2)某顾客实际付款1600元,在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出多少元?22.(12分)已知函数f(x)=3x+k(k为常数),A(﹣2k,2)是函数y=f1(x)图象上的点.(1)求实数k的值及函数y=f1(x)的解析式:(2)将y=f1(x)的图象向右平移3个单位,得到函数y=g(x)的图象,若2f1(x+﹣3})﹣g(x)≥1对任意的x>0恒成立,试求实数m的取值范围.23.(12分)已知集合H是满足下列条件的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.(1)幂函数f(x)=x﹣1是否属于集合H?请说明理由;(2)若函数g(x)=lg∈H,求实数a的取值范围;(3)证明:函数h(x)=2x+x2∈H.。
上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)
金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷(考试时间:90分钟 满分:100分)一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1. 设集合{5,1}A a =+,{,}B a b =,若A B =,则a b +=____________.2. 函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数,则(2)f =____________.3. 已知函数2()f x =,()g x =,则()()f x g x ⋅=____________.4. 设集合{|2}M x y ==,{|2}N y y ==,则A B =I ____________.5. 已知全集U R =,集合11A xx ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则U A =ð____________. 6. 若集合2{|210}x ax x -+=中至多只有一个元素,则实数a 的取值范围是____________.7. 已知集合{|5}A x x =>,集合{|}B x x a =>,若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分非必要条件,则实数a 的取值范围是____________.8. 若命题“存在实数x ,使得2(2)2(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题,则实数a 的取值范围是____________.9. 已知集合{}(2)(5)0M x x x =+->,集合{}()(21)0N x x a x a =--+<,若M N N =I ,则实数a 的取值范围是____________.10. 已知a b >,且1ab =,则221a b a b++-的最小值是____________. 11.定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集,记为()P A ,用()n A 表示有限集A 的元素个数. 给出下列命题:① 对于任意集合A ,都有()A P A ∈;② 存在集合A ,使得[()]3n P A =;③ 若A B =∅I ,则()()P A P B =∅I ;④ 若A B ⊆,则()()P A P B ⊆;⑤ 若()()1n A n B -=,则[()]2[()]n P A n P B =⨯.其中所有正确命题的序号为____________.12. 对于一切实数x ,若二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值恒为非负数,则a b c M b a++=-的最小值为____________. 二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13.下列结论正确的是…………………………………………………………………………( )(A) 若a b >,c d >,则a c b d ->-(B) 若a b >,c d >,则a d b c ->- (C) 若a b >,c d >,则ac bd > (D) 若a b >,c d >,则a b d c> 14. 若集合A 、B 是全集U 的两个子集,则“A B Ü”是“U A B U =U ð”的…………( ) (A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件15. 设整数4n ≥,集合{1,2,3,,}X n =L ,令集合{(,,)|,,,S x y z X y z X X x ∈∈∈=且三,,}x y z y z x z x y <<<<<<条件恰有一个成立. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中,则下列选项正确的是………………………………………………………………………( )(A) (,,)y z w S ∉,(,,)x y w S ∉(B) (,,)y z w S ∈,(,,)x y w S ∉ (C) (,,)y z w S ∉,(,,)x y w S ∈ (D) (,,)y z w S ∈,(,,)x y w S ∈16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数0,(),1R x f Q Qx x ⎧=⎨⎩∈∈ð被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数()f x 有如下四个命题:① (())0f f x =;② 函数()f x 是偶函数;③ 任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立;④存在三个点11(,())A x f x 、22(,())B x f x 、33(,())C x f x ,使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是……………………………………………………………………( )(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题(本大题共5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分8分) 解不等式组:22|21|1x x x +⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩.18.(本题满分10分)已知集合22{|(4)30}A x x a x a =+-++=,2{|560}B x x x =-+=, 2{|2520}C x x x =-+=,若A B A C =≠∅I I ,求a 的值.19.(本题满分10分)本题有2个小题,第一小题满分5分,第二小题满分5分.已知两个正数,a b 满足1a b +=.(1)求证:114a b +≥;(2)若不等式11|2||21|x x a b-+-≤+对任意正数,a b 都成立,求实数x 的取值范围.20.(本题满分12分)本题有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分8分.某森林发生火灾,火势正以每分钟2100m 的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场. 已知消防员在现场平均每人每分钟灭火250m ,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁21m 森林损失费为60元. 设t 表示救火时间,x 表示去救火消防员人数.(1)求t 关于x 的函数表达式;(2)求应该派多少名消防队员前去救火,才能使总损失最少?21.(本题满分12分)本题有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分8分.已知全集U R =,集合2{|320}A x x x =-+≤,2{|20,}B x x ax a a R =-+≤∈.(1)当A B A =I 时,求a 的取值范围;(2)当A B A =U 时,求a 的取值范围.金山中学2015学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷参考答案一、填空题:1. 11;2. 3;3. (1,0(0,,))x x ∈-+∞U ; 4.{2};5. [0,1];6. {0}[1),+∞U ;7. (,5)-∞;8. (2,2]-; 9. ({1},[],25)∞--∞+U U ;10.11. ①④⑤; 12. 3.二、选择题:13. B ;14. A ; 15. D ; 16. C.三、解答题:17. 解:由22x x+≥,得02x <≤. ……………………………………………………(3分) 由|21|1x -≤,得01x ≤≤. ……………………………………………………(6分)故原不等式的解集为(0,1]. ……………………………………………………(8分)18. 解:{2,3}B =, 1,22C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. ………………………………………………………(4分)由A B A C =≠∅I I ,得 2A ∈.从而 242(4)30a a +-++=, 解得52a =-或3a =. …………………………………………………………(8分) 当3a =时,{2,3}A =,不合题意,舍去. 当52a =-时,1,24A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,符合题意.故a 的值为52-. ………………………………………………………………(10分)19.(1)证明:0,0a b >>Q ,且1a b +=,1111()11b a a b a b a b a b⎛⎫∴+=+⋅+=+++ ⎪⎝⎭24≥=. …………………………………………(4分) 当且仅当1b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,即12a b ==时,等号成立. 故114a b+≥. …………………………………………………………(5分) (2)解: 由题意结合(1)可知,只须|2||21|4x x -+-≤. ……………(6分) 当12x <时,由不等式2124x x -+-≤,得1132x -≤<; 当122x ≤≤时,由不等式2214x x -+-≤,得122x ≤≤; 当2x >时,由不等式2421x x +-≤-,得723x <≤. 综上,实数x 的取值范围是17,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………(10分)20.解:(1)由100(5)50t tx +=,得10,(2,)2t x x N x =>∈-. …………………(4分)(2)记总损失为y 元,则60100(5)125100y t tx x =⨯+++ ……………………………………(7分)6000023000012510022x x x x =++⋅+-- 6250031450100(2)2x x =+-+-3145036450.≥+= ………………………(10分) 当且仅当62500100(2)2x x -=-,即27x =时,等号成立. …………(11分) 故应派27名消防员前去救火,才能使总损失最少. …………………(12分)21.解:(1)[1,2]A =, ………………………………………………………………(1分)当A B A =I 时,A B ⊆,记2()2f x x ax a =-+ 由(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩,即120440a a a a -+≤⎧⎨-+≤⎩,得43a ≥. 即a 的取值范围是4[,)3+∞. …………………………………………(4分)(2)由A B A =U ,得B A ⊆.记2()2f x x ax a =-+. ① 当2(2)40a a ∆=--<,即01a <<时,B =∅,满足题意; …(5分)② 当0∆=即0a =或1a =时,若0a =,则2{|0}{0}B x x ≤==,不合题意;……………………(6分)若1a =,则2{|(1)0}{1}B x x A ≤=-=⊆,满足题意; ………(7分)③ 当0∆>时,2()2f x x ax a =-+的图象与x 轴有两个不同交点.由B A ⊆,知方程220x ax a -+=的两根位于1,2之间.从而244012(1)0(2)0a aaff∆=-⎧⎪⎪⎨><<≥≥⎪⎪⎩,即114312a aaaa<>⎧⎪<<⎪≤⎨≤⎪⎪⎪⎪⎩或,故a∈∅. ………………(11分)综上,a的取值范围是(0,1]. …………………………………………………(12分)。
上海市高一数学上学期期末试卷及答案(共3套)
{} 5.已知sinα=(α在第二象限),则⎩0,x∈ðU AUA B (x)=f(x)+f(x)(4)fA B(x)=f(x)⋅f(x)B.f(x)=,g(x)=上海市金山中学高一上学期期末考试数学试卷一、填空题(本题共36分)1.已知集合A={-2,-1,0,1},集合B=x x2-1≤0,x∈R,则A B=_______.2.已知扇形的圆心角为3π4,半径为4,则扇形的面积S=.3.函数f(x)=x+2x-1的定义域是___________.4.已知log x+log y=1,则x+y的最小值为_____________.221 3cos(π+α)2tan(π+α)=.6.已知f(x)=x1-x,g(x)=1-x,则f(x)⋅g(x)=.7.方程log(4x-5)=x+2的解x=.28.若函数y=1kx2+2kx+3的定义域为R,则实数k的取值范围是___________.219.若f(x)=x3-x-3,则满足f(x)>0的x的取值范围.10.若函数y=x-b在(a,a+6)(b<-2)上的值域为(2,+∞),则a+b=. x+211.设a为正实数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+ax+7,若f(x)≥1-a对一切x≥0成立,则a的取值范围为________.⎧1,x∈A12.定义全集U的子集A的特征函数为f(x)=⎨,这里ðA表示A在全集U中的补A U集,那么对于集合A、B⊆U,下列所有正确说法的序号是.(1)A⊆B⇒f(x)≤f(x)(2)f(x)=1-f(x)A BðA A(3)fA B A B二、选择题(本题共12分)13.设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A.f(x)=x2,g(x)=x2(x)2x x(x)2C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0D.f(x)=x2-9x+3,g(x)=x-3⎩b , (a < b )17.解不等式组 ⎨ x + 1 . > 2 ⎩ x - 219. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 件,需另投入成本为C ( x ) ,当年14. 已 知 α : x - 1 < 1 , β : x ≥ a , 若 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 , 则实 数 a 的 取 值 范 围 是()A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a ≥ 2D. a ≤ 215 . 若 函 数 f ( x ) = (k - 1)a x - a - x (a > 0, a ≠ 1) 在 R 上 既 是 奇 函 数 , 又 是 减 函 数 , 则g ( x ) = log ( x + k ) 的图像是( ) aA.B. C. D.⎧a , (a ≥ b ) 216.定义一种新运算: a ⊗ b = ⎨ ,已知函数 f ( x ) = ⊗ 2 x ,若函数 g ( x ) = f ( x ) - k 恰有x 两个零点,则实数 k 的取值范围为 ( )A.(0,1)B. C. [2,+∞) D. (2,+∞)三、解答题(本题共 8+8+10+12+14 分)⎧x 2 - x - 6 ≥ 0 ⎪⎪18. 已 知 不 等 式 x 2 - mx + 2 < 0(m ∈ R ) 的 解 集 为{x 1 < x < n , n ∈ R } , 函 数f ( x ) = x 2 - ax + 2(a ∈ R ) .(1)求 m , n 的值;(2)若 y = f (x ) 在 (-∞,1] 上单调递减,解关于 x 的不等式 log (nx 2 + 3x + m - 2) < 0 .a.2 x - 1450 (万元).每件商品售价为 50 万元.通过市场分析,该厂生产的商 (1)写出年利润 L ( x ) (万元)关于年产量 x (件)的函数解析式;.产 量 不 足 80 件 时 , C ( x )= 1 3x + 1 0( 万 元 ) . 当 年 产 量 不 小 于 80 件 时 ,C ( x ) = 51x + 10000x ..品能全部售完.. (2)年产量为多少件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20. 设幂函数 f ( x ) = (a - 1) x k (a ∈ R , k ∈ Q ) 的图像过点 ( 2,2) . (1)求 k , a 的值;(2) 若函数 h ( x ) = - f ( x ) + 2b f ( x ) + 1 - b 在 [0,2] 上的最大值为 3 ,求实数 b 的值.21. 已知函数 f (x ) = log x - 1 a x + 1(其中 a > 0 且 a ≠ 1 ), g (x )是 f (x + 2)的反函数.(1)已知关于 x 的方程 logma (x + 1)(7 - x )= f (x )在 x ∈ [2,6 ]上有实数解,求实数 m 的取值范围;(2)当 0 < a < 1 时,讨论函数 f (x )的奇偶性和单调性;(3)当 0 < a < 1 , x > 0 时,关于 x 的方程 g (x ) 2 + m g ( x ) + 2 m + 3 = 0 有三个不同的实数解,求 m 的取值范围.{ }-3 ,则满足f ( x ) > 0 的 x 的取值范围 . (0,1)11. 设 a 为正实数,y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x < 0 时, f ( x ) = x + + 7 ,若 f ( x ) ≥ 1 - a 对0, x ∈ ð A⎩ UA B ( x ) = f ( x ) + f ( x )(4) fA B ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ), g ( x ) =x B. a ≤ 0参考答案一、填空题(本题共 36 分)1. 已知集合 A = {-2 , - 1 , 0 , 1} ,集合 B = x x 2 - 1 ≤ 0, x ∈ R ,则 AB = _ { 1,0,1}_.2.已知扇形的圆心角为 3π 4,半径为 4 ,则扇形的面积 S = 16π .8. 若函数 y =1kx 2 + 2kx + 3的定义域为 R ,则实数 k 的取值范围是_____.[0,3)2 9.若 f ( x ) = x 3- x- 110. 若函数 y = x - b x + 2在 (a , a + 6)(b < -2) 上的值域为 (2, +∞) ,则 a + b = . - 10ax一切 x ≥ 0 成立,则 a 的取值范围为________ . a ≥ 4⎧1, x ∈ A12. 定义全集U 的子集 A 的特征函数为 f ( x ) = ⎨ ,这里 ð A 表示 A 在全集U 中的补集,那么A U U对于集合 A 、B ⊆ U ,下列所有正确说法的序号是 .(1)(2)(4) (1) A ⊆ B ⇒ f ( x ) ≤ f ( x ) (2) f ( x ) = 1 - f ( x )A Bð A A(3) f A B A B 二、选择题(本题共 12 分) 13.设 x 取实数,则 f (x ) 与 g (x ) 表示同一个函数的是( B )A. f ( x ) = x 2 2( x ) 2 xB. f ( x ) = , g ( x ) =x ( x ) 2C. f ( x ) = 1, g ( x ) = ( x - 1) 0D. f ( x ) =x 2 - 9 x + 3, g ( x ) = x - 3 14. 已 知 α : x - 1 < 1 , β : x ≥ a , 若 α 是 β 的 充 分 非 必 要 条 件 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是( B ) A. a ≥ 0 C. a ≥ 2 D. a ≤ 2 15.若函数 f ( x ) = (k - 1)a x - a - x (a > 0, a ≠ 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g ( x ) = log ( x + k ) 的a图像是( A )⎧ > 2 ⎩ x - 2x < -1或x > - ⎧⎪2 x 2 + 3x + 1 > 0 ⎪⎪ 2 2 + 3x + 1) < 0 ,∴ ⎨ ⇒⎨ ⎪⎩2 x ⎪- ∴- < x < -1或 - < x < 0 ,即不等式的解集为 (- < x < -1) (- < x < 0) .19. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 件,需另投入成本为 C ( x ) ,当年产量不足 80 件时, C ( x ) = 1x 2+ 10 x (万元).当年产量不小于 80 件时, C ( x ) = 51x +- 1450 (万元).每3x 件商品售价为 50 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L ( x ) (万元)关于年产量 x (件)的函数解析式; .A.B. C. D.16.定义一种新运算:a ⊗ b = ⎨a , (a ≥ b ) ⎩b , (a < b ) 2 ,已知函数 f ( x ) = ⊗ 2 x ,若函数 g ( x ) = f ( x ) - k 恰有两个零 x点,则实数 k 的取值范围为( D )A.(0,1)B. (1,2]C.[2,+∞)D. (2,+∞)三、解答题(本题共 8+8+10+12+14 分)⎧x 2 - x - 6 ≥ 0 ⎪17.解不等式组 ⎨ x + 1 .⎪解:解 x 2 - x - 6 ≥ 0 得: x ≤ -2 或 x ≥ 3 ;x + 1 解 > 2 得 2 < x < 5 ;即不等式组的解集为[3,5) 。
上海市金山中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题(含精品解析)
金山中学2016学年度第一学期高一数学学科期末考试卷(考试时间:90分钟满分:100分)一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.已知幂函数的图象过点,则的值为__________.【答案】【解析】设幂函数,把点代入函数,得,解得,则,,故答案为.2.设、是非空集合,定义,,,则________________。
【答案】【解析】由题意,得:,∴,∴点睛:理解新定义的含义,是由属于集合的元素,且不属于的元素构成的,借助数轴答案显而易见.3.关于的不等式(a)的解集为_____________。
【答案】【解析】∵不等式(a≠1)∴<0可得(x−2a)[x−(+1)]<0且x≠,又−2a=(a−1)2⩾0,因为a≠1,(a−1)2>0,即>2a,解不等式得,2a<x<,故答案为(2a,)点睛:一次分式不等式可以转化为一元二次不等式,解一元二次方程注意二次项系数的正负,以及两根的大小关系.4.函数的反函数是_______________________。
【答案】【解析】试题分析:函数的值域为,则由即函数的反函数为考点:反函数5.已知集合,,那么命题“若实数,则”可以用集合语言表述为“”。
则命题的逆否命题可以用关于的集合语言表述为_______________________。
【答案】【解析】命题的逆否命题:“若实数,则”∴6.已知关于的方程有一个正根,则实数的取值范围是_________。
【答案】【解析】∵关于的方程有一个正根,∴,解得:故答案为:7.定义在上的奇函数也是减函数,且,则实数的取值范围为_____________。
【答案】【解析】∵是定义在上的奇函数∴∴,解得:又是减函数,∴,得到:又∴∴实数的取值范围为故答案为:8.若偶函数在单调递减,则满足的取值范围是____。
【答案】【解析】偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递减,则由f(2x−1)<f(),可得<,∴−<2x−1<,求得<x<,故答案为:.9.作为对数运算法则:()是不正确的.但对一些特殊值是成立的,例如:.那么,对于所有使()成立的应满足函数表达式为.【答案】【解析】若,则.10.已知函数的图像与函数及其反函数的图像分别交于、两点,若,则实数为____________。
上海市金山中学2015_2016学年高一数学下学期期末考试试题
6
D. y sin(2x ) 6
15.
已知数列 an,对于任意的正整数 n , an
1, 2
(
1) 3
(1 n n2016 .(n
2016) 2017)
,设
Sn
表示数列
an
的
前
n
项和.下列关于
lim
n
S
n
的结论,正确的是
( ).
A.
lim
n
S
n
1
B.
lim
n
S
n
2015
C.
lim
n
S
11.
对任意的
0,
2
,不等式
1 sin 2
4 cos 2
2m 1 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
是
. [4,5]
12.已知函数
fn (x)
sin nx sin x
(n N
*)
,关于此函数的说法正确的序号是
. ①②④
① fn (x) (n N ) 为周期函数; ② fn (x) (n N ) 有对称轴;
(考试时间:90 分钟 满分:100 分 )
一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分.
1.
计算:
lim
n
3
2
n
n
1
_______ .0
2.
若 sin
3 ,且
(
, ) ,则 tan
=
5
2
. 3 4
③
( π ,0) 为 2
上海市金山中学高一数学上学期期末考试试题
上海市金山中学2017—2018学年高一数学上学期期末考试试题(考试时间:120分钟 满分:150分)一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,其中第1题至第6题每小题4分,第7题至第12题每小题5分,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分. 1.与496-终边相同的角中,最小正角是 . 2.已知+∈R y x ,,且1=+y x ,则y x ⋅的最大值为 .3.已知函数()1-=x a x f 的图象经过()1,1点,则()=-31f.4.已知{}12,M x x x R =-≤∈,10,2x P xx R x ⎧-⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭,则MP = .5.已知一扇形的弧所对的圆心角为60,半径cm r 20=,则扇形的周长为 cm .6.已知20πα<<,20πβ<<,则32βα-的取值范围是 .7.已知不等式052>++b x ax 的解集是{}32<<x x ,则不等式052>+-a x bx 的解集 是_ 。
8.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,0,22x m x x x f x 的值域为(]1,∞-,则实数m 的取值范围是 . 9.奇函数()x f 的定义域为[]2,2-,若()x f 在[]2,0上单调递减,且()()01<++m f m f ,则实数m 的取值范围是 .10.设)(x f 是定义在R 上的函数,且满足对任意y x ,等式()()()34322+-+-=-y x y x f x y f 恒成立,则)(x f 的解析式为 .11.如果定义在R 上的函数)(x f 满足:对于任意21x x ≠,都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+,则称)(x f 为“H 函数”.给出下列函数:①1y x =+;②21y x =+;③1+=xe y ;④⎩⎨⎧=≠=00||ln x x x y ,其中“H 函数"的序号是 .12.已知R a ∈,函数()a a xx x f +-+=4在区间[]4,1上的最大值是5,则a 的取值范围是______. 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13.已知()31cos -=+απ,且α为第四象限角,则()=-απ2sin ( ) A .322-B .322C .31D .31-14.设R b a ∈,,则“⎩⎨⎧>>+12ab b a ”是“1>a 且1>b ”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件15.已知()[)[]⎩⎨⎧∈+-∈+=1,0,10,1,12x x x x x f ,则下列函数的图像错误的是 ( )A .)1(-x f 的图像B .)(x f -的图像C .|)(|x f 的图像D .|)(|x f 的图像16.已知函数()()220171log 201722017+-+++=-x xx x x f ,则关于x 的不等式()()413>++x f x f 的解集为 ( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,41 B 。
上海市金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷带答案
上海市金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷带答案金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷(满分:150分,完卷时间:120分钟)(答题请写在答题纸上)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.lim3n1. n2n 334i(i为虚数单位),则z. 12i2.已知全集U=R,集合M={x |x2–4x–5<0},N={x | x≥1},则M∩(UN. 3.若复数z满足z4.若直线l1:6x+my–1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则m= .5. 若线性方程组的增广矩阵为23c1x2,解为,则c1–c2.32c2y 16.方程4x– 62x +8=0的解是7.函数y=secx sinx的最小正周期T8.二项式(x163)x展开式中系数的值是. 2xx2y21的中心为顶点,且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 . 9.以椭圆251610.在报名的5名男生和3名女生中,选取5人参加数学竞赛,要求男、女生都有,则不同的选取方式的种数为.(结果用数值表示)11.方程cos2x+sinx=1在(0,)上的解集是.12.行列式abcd(a、b、c、d{–1,1,2})所有可能的值中,最小值为.213.已知点P、Q分别为函数f(x)x 1 (x≥0)和g(x)和Q两点距离的最小值为. x1图像上的点,则点P14.某种游戏中,用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”,它们从棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.“直线l1、l2互相垂直”是“直线l1、l2的斜率之积等于–1”的( ).(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件16.若m、n是任意实数,且m>n,则( ).n 1 m1m1n(C) lg(m–n)>0 (D) ()() 22(A) m2>n2 (B)17.已知,是单位向量,且向量满足|c a b|=1,则||的取值范围是( ). a b0,(A) [21,21] (B) [21,(C) [2,2] 21] (D) [22,22]P18.如图,AB为定圆O的直径,点P为半圆AB上的动点.过点P作AB的垂线,垂足为Q,过Q作OP的垂线,垂足为M.记弧AP的长为x,线段QM的长为y,则函数y=f(x)的大致图像是( ).BMx(A)(B) (C)(D) )三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3,cosA=试求b的大小及△ABC的面积S.20.(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB AC1,BAC90,且异面直线A1B与6,B=A+. 23B1C1所成的角等于60,设AA1 a.(1) 求a的值;(2) 求三棱锥B1A1BC的体积.21.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数f x|x|m1x0. x(1) 当m=2时,证明f(x)在(–∞,0)上是单调递减函数;(2) 若对任意x R,不等式f(2x) > 0恒成立,求m的取值范围;(3) 讨论函数y=f(x)的零点个数.23.(本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.2已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且6Sn an 3an2(n N*).(1) 求{an}的通项公式;(2) 设数列bn满足bn an,n为偶数,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn; an2,n为奇数(3) 设Cn bn1,问是否存在正整数N,使得当任意正整数n > N 时,(n为正整数)bn恒有Cn>2015成立?若存在,请求出正整数N的取值范围;若不存在,请说明理由.金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考意见一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.3; 2.{x| –1< x <1}; 3. 25; 4.–3; 5. –1;6. x=1或x=2; 7.; 8.–6; 9.y2=12x; 10.5511.325; 14.3. ,; 12.–6; 13.466二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.B; 16.D; 17.A; 18.A三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.解:因为cosA=63,所以sinA=,………………………………………………1分 33又B=A+,所以sinB=sin(A+)=cosA=,……………………………………………2分 223ab,………………………………………………………………………4分 sinAsinBa sinB所以b==32,……………………………………………………………………6分 sinA又因为cosB=cos(A+3)= –sinA= –………………………………………………………………8分 231,…………………………………………………10分 3132.……………………………………………12分所以△ABC的面积S=absinC=22sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=或解:因为a2=b2+c2–2bccosA(2分)即:c2–43c+9=0,解之得:c=33(舍去),c=,(2分)△AB C的面积S=13bcsinA=2.(2分) 2220.解(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角,即∠A1BC =60,…………………………………………………………………………2分又AA1⊥平面ABC,AB=AC,则A1B=A1C,∴△A1BC为等边三角形,…………4分由AB AC1,BAC90BC2,∴A1B2a22a1;……………………………………………6分(2)连接B1C,则三棱锥B1–A1BC的体积等于三棱锥C–A1B1B的体积,即:VB1A1BC VC A1B1B,………………………………………………………………9分△A1B1B 的面积S1,……………………………………………………………11分 2又CA A1A,CA AB,CA平面A1B1B,所以VC A1B1B11111,所以VB1A1BC.………………………………14分 326621.解:(1)由题意得:圆R的半径为22,因为直线OP,OQ互相垂直,且与圆R相切,所以四边形OPRQ为正方形,故OR222r4,即x0y016① ………………3分。
【数学】上海市金山区2015届高三上学期期末考试(一模).docx
上海市金山区 2014— 2015 学年第一学期期末考试高三数学试卷(满分: 150 分,完卷时间: 120 分钟 )(答题请写在答题纸上)一、填空题(本大题满分56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1.若集合 M={ y | yx 25 ,x R }, N={ y | yx 2 , x ≥ –2},则 M ∩N=▲.2.计算: lim 3n2n n 1n 1 =▲.n3 211 的解是▲.3.不等式:x4.如果复数 z = 2bi ( b R )的实部与虚部相等,则 z 的共轭复数 z =▲.1 i5.方程: sinx+cosx=1 在 [0, π]上的解是▲.6.等差数列 {a n }中, a 2=8, S 10=185,则数列 {a n }的通项公式 a n =▲ (n N* ).a 17.当 a>0, b>0 且 a+b=2 时,行列式的值的最大值是▲.1b8.若 ( x22 )12的二项展开式中的常数项为m ,则 m= ▲.x9.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别是:(单位:克 )125,124,121,123,127,则该样本的标准差是▲克.10.三棱锥 O –ABC 中, OA=OB=OC=2,且∠ BOC=45 ,则三棱锥 O –ABC 体积的最大值是▲.11.从集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 中任取两个数,欲使取到的一个数大于 k ,另一个数小于 k(其中 k {5, 6, 7, 8, 9})的概率是 2,则 k=▲.512.已知点 A(–3,–2)和圆 C :(x –4)2+(y –8)2=9,一束光线从点 A 发出,射到直线 l :y=x –1 后反射(入射点为 B),反射光线经过圆周 C 上一点 P ,则折线 ABP 的最短长度是▲.AD13.如图所示,在长方体 ABCD –EFGH 中,AD=2,AB=AE=1, BMCM 为矩形 AEHD 内的一点,如果∠ MGF=∠ MGH , MGEH和平面 EFG 所成角的正切值为1,那么点 M 到平面F第 13 题图G2EFGH 的距离是▲.14. 已知点 P(x 0, y 0) 在椭圆 C :x 2 y 2 1(a>b>0)上,如果经过点 P 的直线与椭圆只有 a2b2一个公共点时,称直线为椭圆的切线,此时点P 称为切点,这条切线方程可以表示为:x 0 x y 0 y a 2b 2 1.根据以上性质,解决以下问题:已知椭圆 L :x 2y 2 1,若 Q(u ,v)是椭圆 L 外一点 (其中 u ,v 为定值 ),经过 Q 点作169椭圆 L 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,则直线 AB 的方程是▲.二、选择题(本大题满分20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5 分,否则一律得零分.15.复数 z 1 = a+bi(a 、b R ,i 为虚数单位 ),z 2= –b+i ,且 | z 1|<| z 2| ,则 a 的取值范围是( ▲ ).(A)a > 1 (B)a >0 (C)–l < a < 1 (D)a < –1 或 a >116.用 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数有( ▲ ). (A) 60 个(B) 48 个 (C) 36 个 (D) 24 个17.设 k>1,f(x)=k(x –1) (x R ),在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A点,它的反函数y=f –1(x)的图像与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的图像相交于P 点 . 已知四边形 OAPB 的面积是 3,则实数 k 等于 ( ▲ ).(A) 33 4 6(B)(C)(D)23518.若集合 A 1、 A 2 满足 A 1∪ A 2=A ,则称 (A 1,A 2)为集合 A 的一个分拆,并规定:当且仅当 A 1=A 2 时, (A 1 ,A 2 )与 (A 2,A 1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={a 1,a 2,a 3}的不同分拆种数是( ▲ ).(A)8 (B)9 (C)26 (D)27三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分 12 分 )a 、b 、c 分别是锐角△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边,向量 p =(2–2sinA ,cosA+sinA),q =(sinA –cosA ,1+sinA),且 p ∥ q .已知 a= 7 ,△ ABC 面积为3 3,求 b 、 c 的大小.220.(本题满分14 分 )本题共有 2 个小题,第 1 小题满分8 分,第 2 小题满分 6 分.如图,在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中, AD∥ BC, AB⊥ BC, AB=2, AD=3,∠ ADC=45 .已知 PA⊥平面 ABCD, PA=1.求: (1)异面直线PD与 AC所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)三棱锥 C–APD 的体积.PA DB C第 20 题图21.(本题满分14 分 ) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分7 分,第 2 小题满分 7 分 .已知 a>0 且 a1,数列 {a n}是首项与公比均为 a 的等比数列,数列{b n}满足 b n=a n lga n(n N* ).(1)若 a=3,求数列 {b n}的前 n 项和 S n;(2)若对于 n N* ,总有b n<b n+1,求a的取值范围.22.(本题满分16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第3小题满分 6 分.动点 P 与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等,记点P 的轨迹为曲线 C .(1)求曲线 C 的方程;(2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时,A T 的最短距离为 a 1,求a的值以及取到最小值时点T 的坐标;(3) 设P1,P2为曲线C的任意两点,满足OP1OP2(O为原点),试问直线 P1 P2是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由.23.(本小题满分18 分 ) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3小题满分 8 分 .设函数 f(x)=2ka x+(k–3)a–x(a>0 且 a1)是定义域为R的奇函数.(1)求 k 值;(2)若f(2)<0,试判断函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2–x)+f(tx+4)<0 恒成立的t 的取值范围;(3)若 f(2)=3,且 g(x)=2x+2–x–2mf (x)在[ 2,+∞)上的最小值为–2,求 m 的值.参考答案4一、填空 (本大 分56 分)本大 共有 14 ,考生 在答 相 号的空格内直接填写 果,每个空格填 得4 分,否 一律得零分.1.[0, 5] ; 1 ;3.0<x<1;4. 1–i ;5. 或 0; 6. 3n+2;7. 02. 328.7920;9.2;10. 2 2 ;11.7;12.10; 13.2;14.uxvy 132169二、 (本大 分 20 分)本大 共有 4 ,每 有且只有一个正确答案,考生 在答 的相 号上,将代表答案的小方格涂黑, 得 5 分,否 一律得零分 .15. C ;16. B ;17. B ;18. D三、解答 (本大 分74 分)本大 共有 5 ,解答下列各 必 在答 相 号的定区域内写出必要的步 .19. (本 分 12 分 )解: p2 2sin A,cos A sin A , q sin A cos A,1 sin A ,又 p ‖ q(2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA –cosA)=0,即: 4 sin 2A3 0又A 角,3sin A2,所以∠ A=60 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分因 △ ABC 面33 ,所以 1 bcsinA= 3 3,即 bc=6,2 22222 2又 a= 7 ,所以 7=b +c –2bccosA , b +c =13,b 3 b2 12 分解之得:或c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯c 2320. (本 分 14 分 )本 共有 2 个小 ,第 1 小 分 8 分,第 2 小 分 6 分.解: (1) 点 C 作 CF ∥ AB 交 AD 于点 F ,延 BC 至 E ,使得 CE=AD , 接 DE , AC ∥ DE ,所以∠ PDE 就是异面直PD 与 AC 所成的角或其 角,⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因 ∠ ADC=45,所以 FD=2,从而 BC=AF=1,且 DE=AC= 5 ,AE=20 , PE= 21 , PD= 10 , 在 △ PDE中 ,PAF DBC E3 2 cos PDE,所以,异面直 PD 与 AC 所成角的10大小 arccos32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10(2) 因 V C –APD =V P –ACD ,△1CF AD=32S ACD = PA ⊥底面 ABCD ,三棱 P –ACD 的高 PA=1,V P –ACD = 1S △ACD PA=1,3所以,三棱 C –APD 的体 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分21. (本 分14 分 ) 本 共有 2 个小 ,第 1 小 分 7 分,第 2 小 分 7 分 .(1) 由已知有 a n3n , b n a n lg a n n 3n lg 3S n [3 2 32 3 33(n 1)3n 1n 3n ] lg 3 ,3S n [322 33 (n 1)3n n 3n 1 ] lg 3 ,所以2S n(3 32333n 13nn 3n 1 ) lg 3 ,S n3lg 3 (2n 1) 3n 1 lg 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4 4(2) b nb n 1 即 na n lg a (n 1)a n 1 lg a .由 a 0 且 a1 ,得 n lg a(n 1)a lg a ,lg a或lg a 0所以(n 1)a n 0( n 1)a n 00 a 1 a 1即an 或an 任意 nN* 成立,n1n 1且 1n 11,所以 0 a1 或 a 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分n 2222.(本 分 16 分)本 共有3 个小 ,第 1 小 分4 分,第 2小 分 6 分,第 3小 分6 分.(1) 根据抛物 的定 可知 , 点 P 的 迹是抛物所以曲 C 的方程x 2=4y ;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(2) 点 T(x 0, y 0), x 02=4y 0(y 0≥ 0),| AT|= ( x 0 0)2 ( y 0 a)2 = [ y 0 ( a 2)] 24a 4 ,a –2>0, 当 y 0=a –2 , | AT| 取得最小 2 a 1 ,2 a1 =a –1, a 2–6a+5=0, a=5 或 a=1 (舍去 ),所以 y 0=a –2=3, x 0=23 ,所以 T 坐 ( 23 , 3);⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分(3) 然直 OP 1 、OP 2 的斜率都必 存在,1 ,k ,ky kx4 ,4),同理 P 2(–4k, 4k 2),x 2,解之得 P 1(4 yk k 2直 P 1P 2 的斜率1k 2 ,直 P 1P 2 方程 : y 4k 21 k 2(x 4k)kk整理得: k(y –4)+(k 2–1)x=0,所以直 P 1 P 2 恒 点 (0, 4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分23. (本小 分 18 分 )本 共有 3 个小 ,第 1 小 分4 分,第 2 小 分 6 分,第 3小 分 8分 .解(1) 因 f(x)是定 域 R 的奇函数,所以 f(0)= 0,所以 2k+(k –3)=0,即 k=1, 知,符合条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x–x且 a 1)(2) f(x)=2(a –a )(a>0因 f(2)<0, a21 <0,又 a>0 且 a1,所以 0<a<1a2因 y=a x 减, y=a –x 增,故 f(x)在 R 上 减。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.(3.00分)若全集U=R,A={x|x>2},B={x|x>5},则A∩∁U B=.2.(3.00分)已知a>1,则不等式a+的最小值为.3.(3.00分)幂函数y=f(x)的图象经过点(,2),则f(x)=.4.(3.00分)函数F(x)=x﹣的零点个数为.5.(3.00分)已知sin(﹣α)=,则cos(π﹣α)=.6.(3.00分)函数y=log a(x+3)﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A 坐标为.7.(3.00分)已知,且2π<α<3π,则=.8.(3.00分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上为减函数,且f (2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是.9.(3.00分)若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集,则实数a的取值范围是.10.(3.00分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是.11.(3.00分)若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是.12.(3.00分)设非空集合s={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S.给出如下四个命题:①若m=1,则S={1};②若m=﹣,则≤l≤1;③若l=,则﹣≤m≤0.④若l=1,则﹣1≤m≤0或m=1.其中正确命题的是.二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13.(3.00分)下列命题成立的是()A.如果a>b,c≠0,那么B.如果a>b,那么a2>b2C.如果a>b,c>d,那么a+d>b+c D.如果a>b,c>d,那么a﹣d>b﹣c 14.(3.00分)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个15.(3.00分)函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是()A.a<1且b>3 B.a>﹣1且b>1 C.a>1且b>﹣1 D.a<﹣2且b<2 16.(3.00分)函数f(x)的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折,函数f(x)的图象都不能与函数的图象重合,则函数f(x)可以是()A.y=()x B.y=log2(2x)C.y=log2(x+1)D.y=22x﹣1三、解答题(本大题共5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(8.00分)解关于x的方程:log 2(x+14)﹣log(x+2)=3+log2(x+6).18.(10.00分)设集合A={x||x﹣a|<2},,若A⊆B.求实数a 的取值范围.19.(10.00分)设是R上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)判定f(x)在R上的单调性.20.(12.00分)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地,如图点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为(k为正常数),求总造价T关于S的函数T=f(S);试问如何选取|AM|的长使总造价T最低(不要求求出最低造价).21.(12.00分)设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域交集为D.若对任意的x∈D,都有f(f(x))=x,则称函数f(x)是集合M的元素.(1)判断函数f(x)=﹣x+1和g(x)=2x﹣1是否是集合M的元素,并说明理由;(2)设函数f(x)=,试求函数f(x)的反函数f﹣1(x),并证明f﹣1(x)∈M;(3)若f(X)=(a,b为常数且a>0),求使f(x)<1成立的x的取值范围.2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12小题,满分36分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.(3.00分)若全集U=R,A={x|x>2},B={x|x>5},则A∩∁U B={x|2<x≤5} .【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|x>2},B={x|x>5},∴∁U B={x|x≤5},∴A∩(∁U B)={x|2<x≤5}故答案为{x|2<x≤5}2.(3.00分)已知a>1,则不等式a+的最小值为1+2..【解答】解:a+=a﹣1++1≥1+2,当且仅当a﹣1=,即a=1+时等号成立.∴不等式a+的最小值为1+2.故答案为1+2.3.(3.00分)幂函数y=f(x)的图象经过点(,2),则f(x)=.【解答】解:设f(x)=x k,∵y=f(x)的图象经过点(,2),∴,∴=,∴.故答案为.4.(3.00分)函数F(x)=x﹣的零点个数为2.【解答】解:令得x2=4,∴x=±2;∴函数F(x)有两个零点.5.(3.00分)已知sin(﹣α)=,则cos(π﹣α)=﹣.【解答】解:∵sin(﹣α)=cosα=,∴cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣.故答案为:﹣6.(3.00分)函数y=log a(x+3)﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则点A 坐标为(﹣2,﹣1).【解答】解:令x+3=1,解得x=﹣2,则当x=﹣2时,函数y=log a(x+3)﹣1=﹣1,即函数图象恒过一个定点(﹣2,﹣1).故答案为:(﹣2,﹣1)7.(3.00分)已知,且2π<α<3π,则=.【解答】解:∵2π<α<3π,∴π<<,∴sin<0,∴()2=(1﹣cosα)=(1﹣)=,∴=﹣,故答案为:﹣.8.(3.00分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上为减函数,且f (2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(﹣2,2).【解答】解:根据题意:可作满足条件的函数图象:如图:f(x)<0的x的取值范围是(﹣2,2)故答案为:(﹣2,2)9.(3.00分)若关于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集为空集,则实数a的取值范围是.【解答】解:当a=0,﹣3≤0不成立,符合要求;当a≠0时,因为关于x的不等式ax2+4ax++3≤0的解集为ϕ,即所对应图象均在x 轴上方,故须解得0<a<综上满足要求的实数a的取值范围是[0,)故答案为:[0,).10.(3.00分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是.【解答】解:依题意,有0<a<1且2a﹣1<0,解得0<a<,又当x<1时,(2a﹣1)x+4a>6a﹣1,当x>1时,log a x<0,因为f(x)在R上单调递减,所以6a﹣1≥0解得a≥综上:a∈.故答案为:.11.(3.00分)若不等式x2﹣kx+k﹣1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是(﹣∞,2] .【解答】解:不等式x2﹣kx+k﹣1>0可化为(1﹣x)k>1﹣x2∵x∈(1,2)∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是(﹣∞,2]故答案为:(﹣∞,2]12.(3.00分)设非空集合s={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S.给出如下四个命题:①若m=1,则S={1};②若m=﹣,则≤l≤1;③若l=,则﹣≤m≤0.④若l=1,则﹣1≤m≤0或m=1.其中正确命题的是①②③④.【解答】解:由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有y=x2∈S可知:符合定义的参数m的值一定大于等于﹣1,符合条件的l的值一定大于等于0,小于等于1,如此才能保证l∈S时,有l2∈S即l2≤l,再对各个命题进行判断:对于①m=1,m2=1∈S故必有,可得l=1,S={1},故正确;②m=﹣,则,解得≤l≤1,故正确;③若l=,则,可解得﹣≤m≤0,故正确;④若l=1,则可解得﹣1≤m≤0或m=1,故正确.故答案为:①②③④二、选择题(本大题共有4小题,满分12分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13.(3.00分)下列命题成立的是()A.如果a>b,c≠0,那么B.如果a>b,那么a2>b2C.如果a>b,c>d,那么a+d>b+c D.如果a>b,c>d,那么a﹣d>b﹣c【解答】解:A.c<0时不成立;B.0>a>b时不成立;C.∵a>b,c>d,那么a+c>b+d,因此不成立;D.∵a>b,c>d,那么a+c>b+d,则a﹣d>b﹣c,故正确.故选:D.14.(3.00分)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0个 B.1个 C.2个 D.4个【解答】解:否命题:“若A∪B=B,则A∩B=A”为真命题;逆否命题:“若A∩B=A,则A∪B=B”为真命题.因此逆命题与原命题也为真命题.故选:D.15.(3.00分)函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数的一个充分非必要条件是()A.a<1且b>3 B.a>﹣1且b>1 C.a>1且b>﹣1 D.a<﹣2且b<2【解答】解:因为f(x)==1+,所以f(x)的单调性有a和﹣1的大小和a+b 的正负共同决定.所以函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数须要有a<﹣1且a+b<0.符合条件的有A和D但a=0,b=1时不能推出函数,x∈[﹣1,+∞)是增函数故选:D.16.(3.00分)函数f(x)的图象无论经过怎样平移或沿直线翻折,函数f(x)的图象都不能与函数的图象重合,则函数f(x)可以是()A.y=()x B.y=log2(2x)C.y=log2(x+1)D.y=22x﹣1【解答】解:=﹣log 2x.A.因为函数y=()x与互为反函数,所以它们的图象关于y=x对称,所以A合适.B.y=log2(2x)=1+log2x,所以将函数y=log2(2x)沿着y轴向下平移一个单位得到y=log 2x,然后关于x轴对称后可与函数的图象重合,所以B合适.C.将函数y=log2(x+1)沿着x轴向右平移一个单位得到y=log2x,然后关于x轴对称后可与函数的图象重合,所以C合适.故选:D.三、解答题(本大题共5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(8.00分)解关于x的方程:log 2(x+14)﹣log(x+2)=3+log2(x+6).【解答】解:∵,∴log2[(x+14)(x+2)=log2[8(x+6)],∴(x+14)(x+2)=8(x+6),解得x=2,或x=﹣10,检验,得x=2.18.(10.00分)设集合A={x||x﹣a|<2},,若A⊆B.求实数a 的取值范围.【解答】解:解|x﹣a|<2得:a﹣2<x<a+2.∴集合A=(a﹣2,a+2)解得:﹣2<x<3∵A⊆B,∴.19.(10.00分)设是R上的奇函数.(1)求实数a的值;(2)判定f(x)在R上的单调性.【解答】解:(1)∵f(x)是R上的奇函数.∴f(﹣x)=﹣f(x)∴1﹣a•2=a﹣2x∴a=1(2)设x1<x2,则2x1<2x2f(x1)﹣f(x2)=所以f(x)在R上是增函数.20.(12.00分)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地,如图点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为(k为正常数),求总造价T关于S的函数T=f(S);试问如何选取|AM|的长使总造价T最低(不要求求出最低造价).【解答】解:(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°∴|PM|=|MC|tan∠PCM=(30﹣x),…2分矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x(30﹣x),x∈[10,20]…4分于是200≤S≤225为所求.…6分(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分又△ABC的面积为450,即草坪造价T2=S)…8分由总造价T=T1+T2,∴T=25k(+),200≤S≤225.…10分∴T=25k(+),200≤S≤225∵+≥12,…11分当且仅当=即S=216时等号成立,…12分此时x(30﹣x)=216,解得x=12或x=18,所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.…14分.21.(12.00分)设函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的定义域交集为D.若对任意的x∈D,都有f(f(x))=x,则称函数f(x)是集合M的元素.(1)判断函数f(x)=﹣x+1和g(x)=2x﹣1是否是集合M的元素,并说明理由;(2)设函数f(x)=,试求函数f(x)的反函数f﹣1(x),并证明f﹣1(x)∈M;(3)若f(X)=(a,b为常数且a>0),求使f(x)<1成立的x的取值范围.【解答】解:(1)因为对任意x∈R,f(f(x))=﹣(﹣x+1)+1=x,所以f(x)=﹣x+1∈M(2分)因为g(g(x))=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3不恒等x,所以g(x)∉M(2)因为f(x)=log2(1﹣2x),所以x∈(﹣∞,0),f(x)∈(﹣∞,0)…(5分)函数f(x)的反函数f﹣1(x)=log2(1﹣2x),(x<0)…(6分)又因为f﹣1(f﹣1(x))=log2(1﹣)=log2(1﹣(1﹣2x))=x…(9分)所以f﹣1(x)∈M…(10分)(3)因为f(x)=,所以f(f(x))=x对定义域内一切x恒成立,∴即解得:(a+b)x2﹣(a2﹣b2)x=0恒成立,故a+b=0…(12分)由f(x)<1,得<1即…(13分)若a=1则<0,所以x∈(﹣∞,1)…(14分)若0<a<1,则且a<,所以x∈(﹣∞,a)∪(,+∞)…(16分)若a>1,则且a>,所以x∈(,a)…(18分)。