专题训练十四一次函数背景下的线段和差最值问题(共14张PPT)

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一次函数综合—线段和差、存在性问题

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题

【知识点】

1. 最短路径原理

【原理1】作法作图原理

在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。连AB，与l 交点即为

P．

两点之间线段最短．

PA+PB 最小值为AB．

【原理2】作法作图原理

在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称

点B＇连A B＇，与l 交

点即为P．

两点之间线段最短．

PA+PB 最小值为A B＇．

【原理3】作法作图原理

在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l

的交点即为P．

三角形任意两边之差小于第

三边．≤AB .

PA－

（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；

（2）求三角形周长最小值；

（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”

（一）一次函数线段和最小值问题

【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)

A，(3,1)

B 的距离之和最小，则点P的坐标是()

A．(0,0)B．4

(0,)

7C．5

(0,)

D．4

(0,)

的值最大 .

【原理4】作法作图原理

在直线l 上求一点P，使

的值最大 .作B 关于l 的对称点

B＇作直线A B＇，与l

交点即为P．

三角形任意两边之差小于第

三边．≤A B＇ .

PB PA－

★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)

B-，在x轴上存在点P到A，B两点的

A，点(2,1)

距离之和最小，则P点的坐标是．

★★☆练习2．如图，直线34120

+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限

专题：一次函数最值问题

类型一：线段和

例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．

（1）求点C的坐标；

（2）求出△BCO的面积；

（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．

练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；

（2）求四边形COBP的面积S；

（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；

类型二：多条线段和

例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．

（1）求直线l2的解析式；

（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；

练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．

（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；

（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；

练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．

重庆市八中中考数学专题复习——线段和差的最值问题(共31张PPT)

1、已知在对抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标 .
第一步寻找、构造几何模型要求△PBC的周长最小？只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小 AC 22 32 13
EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，
并说明理由；
A
D
N
E
M
B
C
B
CE D/
F
AO
D
例5、例6中的最小值问题所涉及到的路径，虽然都是由三条动线段连接而成，且路径都是“定点→动点→动点→定点”，但是例5中的量动点间的线段长度不确定，而例6的两动点间的线段长度为定值，正是由于这点的不同，使得它们的解题方法有很大差异，例5是根据两点之间线段最短找到动点的位置，例6是通过构造平行四边形先找到所求的其中一个动点的位置，另一个位置也随之确定。
两条线段和的最小值两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB 最小
当Q运动到F时，QD－QC 最大

(完整版)初中几何中线段和与差最值问题

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2百度文库点与圆在直线同侧：
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。
3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
1、如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）
（1）求点D的坐标；
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？
若存在，请求出这个最大值和点P的坐标．若不存在，请说明理由．
5、抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C.
⑴在其对称轴上是否存在一点P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标；

第十四章一次函数复习课件

(千克）
（2）画函数图象时，应 40 . A
根据函数自变量的取值范围来 20
确定图象的范围。
.B
0
8
t (小时)
例3、已知一次函数y= – 2x – 1与x轴、y轴分别交于Ａ、
ＳＢ两点，求 AOB。
y
解： y= – 2x – 1 与x轴
相交于A点,
– 2x – 1=0
x= – 1
2
A( –
性质
图象从左向右上升即y 随x 的增大而增大
6.一次函数的图象及性质
y=kx+b b=0
k<0 b>0 b<0
示意图
y
o
x
直线经过的象限
二、四
y
o
x
一、二、四
y
o
x
二、三、四
性质
图象从左向右下降即y 随x 的增大而减小
7.一次函数与方程(组)、不等式之间的完美结合
从数的角度
分别交于P，Q两点，若P、Q两点关于x轴对称，则
m= 2
。
5、已知函数y=-x+2.当-1<x≤1时,y的取值范围___1_≤_y_<_3__.
练习；小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒。试写出这段时间里他的跑步路程s（单位：米）随跑步时间x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象。

中考数学专题复习第14讲一次函数课件

【解析】与 x 轴相交，y＝0；与 y 轴相交，x＝0. 【答案】(－10,0) (0，－5) 25
三、解答题(共 37 分)
18．(12 分 )(2010· 镇江 )如图，直线 l1： y＝x＋ 1 与直线 l 2： y＝mx＋ n 相交于点 P(1，b) ．
(1)求 b 的值；
y＝x＋ 1， (2)不解关于 x、 y 的方程组请你直接写出它的解； y＝mx＋n，
考点一一次函数的定义一般地，如果 y＝kx＋b(k、b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数．特别地，当 b＝0 时，一次函数 y＝kx＋b 就成为 y＝kx(k 是常数，k≠0)，这时，y 叫做 x 的正比例函数． 1．由定义知：y 是 x 的一次函数⇔它的解析式是 y＝kx＋b，其中 k、b 是常数，且 k≠0. 2．一次函数解析式 y＝kx＋b(k≠0)的结构特征： (1)k≠0；(2)x 的次数是 1；(3)常数项 b 可为任意实数． 3．正比例函数解析式 y＝kx(k≠0)的结构特征： (1)k≠0；(2)x 的次数是 1；(3)没有常数项或者说常数项为 0.
考点四一次函数应用 1．求一次函数解析式求一次函数解析式，一般是已知两个条件，设出一次函数解析式，然后列出方程，解方程组便可确定一次函数解析式． 2．利用一次函数性质解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤答．

线段和差的最值问题

1.2
（1）求点D的坐标；
当P运动到E时，PA＋PB最小
当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算
如图，点A为⊙O外一点,点B在圆上当点B位于何处AB可以取最大值或最小值？
考题模型
点到圆上一点距离的最大/小值问题
当O，B，A三点共线，且点B位于OA之间时，AB最小；
中考专题复习
——求线段和差的最值
2.几何最值问题的基本原理。 ①两点之间线段最短 ②垂线段最短 ③三角形两边之差小于第三边 ④利用函数关系求最值
1.常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等；
一、两条线段和的最小值
已知：直线m外两点A,B，在直线m上求一点P，使PA+PB最小；
A
D
C
B
2、如图所示，直线
与x轴交于点C，
与y轴交于点B，
点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A与点D。
（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,
使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。
最大
典型例题
1.（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）

数学线段和(差)的最值问题

最值问题

总体理论依据：

1．线段公理——两点之间，线段最短。

2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线3．三角形两边之和大于第三边。

4．三角形两边之差小于第三边。

5、垂直线段最短

类型一、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4

）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线

n、m分别上求点D、E

点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧,

n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

O x

B D

A C P 例题1、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），

B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

例2、如图,矩形OABC 顶点O 位于原点,OA,OC 分别在x 轴、y 轴上.B 点坐标为(3,2),E 为AB 中点,F 为BC 边的三等分点.在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.

2020详解初中几何线段和（差）的最值问题

2020详解初中几何线段和（差）的最值问题2020详解初中几何线段和（差）的最值问题：

一、两条线段和的最小值问题

基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）

一）、已知两个定点：

二）、一个动点，一个定点：

三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P

在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

2.3在菱形中探求线段和的最小值

2.4在正方形中探求线段和的最小值

三、在圆背景下探求线段和的最小值

四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值

五、在二次函数背景下探求线段和的最小值

六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值

二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)

三、其它非基本图形类线段和差最值问题

专题14 一次函数中的最值问题(解析版)

变，根据 22+22
，得到∠PBA＝90°，由勾股定理求出 PM 即可
【解析】解：取 AB 的中点 M，连 OM，PM，
，另两边长度不
在 RBaidu Nhomakorabea△ABO 中，OM
1，在等边三角形 ABP 中，PM ，
无论△ABP 如何运动，OM 和 PM 的大小不变，当 OM，PM 在一直线上时，P 距 O 最远，
∵O 到 AB 的最大值是 AB＝1，
∴AN AD ，由勾股定理得：DN
，
∵C（，0），
∴CN＝3
1，
在 Rt△DNC 中，由勾股定理得：DC
，
即 PA+PC 的最小值是．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中． 3．如图所示的平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（﹣4，4）、点 B 的坐标是（2，5），在 x 轴上有一动点 P，
【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大． 2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B 的坐标为（3，），点 C 的
第 3页（共 25页）
坐标为（，0）点 P 的斜边 OB 上一个动点，则 PC+PA 的最小值为（）

“线段和差最值问题”专题学习 (2)

◆如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，
当PB — 1 PA 最小时，试确定点 P 的位置. 2
◆如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，点M、N分别是y轴与x轴上
的动点，当 MA+MN + 1 BN最小时，试在坐标系中确定动点M、N 的位置。 2
【思考】如图，抛物线 y x2 2x 3 与x轴交于A、B两点，抛物线的
“线段和差”最Leabharlann Baidu问题
专题学习
涪陵十四中学校刘汉亮
1、如图，直线L外有点A与点B，点P是L 上一动点，当PA+PB最小时，试确定点P的位置.
2、如图，射线AC外有一点B，点P是射线AC 上一动点，当PB + 1 PA最小时，试确定点 P
2 的位置.
◆如图，平面直角坐标系中，OA =2，点P为 x 轴正半轴上一动点， ∠POA=30 °. 求：OP+2PA的最小值。
顶点为 C.
（1）求点A、B、C的坐标.
（2）点M、N分别是y轴与x轴上的动点，当 MC+MN — 2 AN最小时，试确定动
2
点M、N 的位置，并求 MC+MN — 2 AN
2
的最小值。
通过本节课的学习，你有哪些收获？请你与大家共分享！
用习惯和智慧创造奇迹，用理想和信心换取动力!
祝您成功！

初中数学华东师大八年级下册函数及其图象一次函数的最值问题PPT

解析
解：设总运费为ｙ元，A城运往C乡的肥料量为ｘ吨，则运往D乡的肥料量为（200－ｘ）吨；B城运往C、D 乡的肥料分别为（240－ｘ）吨与（60＋ｘ）吨。由总运费与各运输量的关系可知，反映ｙ与ｘ之间关系的函数为：
ｙ＝20ｘ＋25（200－ｘ）＋15（240－ｘ）＋24 （60＋ｘ）可得：y=4x＋10040（0≤x≤200）
取值最小。要 y 最小，x 取最大。解：当 x=6 时，函数最小值为： y 0.56 0.8 3.8 。当 x=2 时，函数最大值为： y 0.5 2 0.8 1.8 。
分类讨论
一般地，有下面的结论：
（2）如果 x n ，那么 y kx b 有最小值或最大值（如图 2）：当 k 0 时， y最小 kn b ；当 k 0 时， y最大 kn b 。
2、找出与两个变量相关的等量关系式，列出二元一次方程（或其他方程）。
3、写成函数的形式（如：y=kx+b），求得一次函数解析式。
4、确定自变量的取值范围。 5、根据一次函数的增减性计算函数的最大（小）值。
练习1、预防新冠肺炎防控期间，某种消毒液A市需要6吨，B市需要8吨，正好M市储备有10吨，N市储备有4吨，防控领导小组决定将这14吨消毒液调往A市和B市，消毒液每吨的运费价格如下表。设从M市调运x吨到 A市。（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？

《线段的和与差》PPT课件

A
B
C
M
N
5㎝
所以点A不一定是线段BC的中点
4、如图，B、C为线段AD上的两点，C为线段AD的中点，AC=5厘米，BD=6厘米，求线段AB的长.
·
·
A
B
C
D
解：BC=BD-CD = BD-AC =6-5 =1（厘米） AB=AC- BC=5-1=4（厘米）所以线段AB的长是4厘米
B
如图，点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP=1.5cm，求线段AB的长等于______.
A
B
A
思维测评
9cm
3、已知线段AB=AC，请判断点A是否为线段BC的中点？
B
C
A
B
C
A
2、如图，点C在线段上，线段AC=6㎝,BC=4㎝，M、N分别是线段AC，BC的中点，线段MN的长度是
a
b
C
b
D
所以AC=b-a。
画法：
a
在线段AD上截取DC=a。
想一想
已知线段a、b，画线段AB，使AB＝2a-b．
b
A
l
C
a
D
a
b
B
解：
（2）在直线l上顺序截取 AC=a,CD=a.
（3）在线段AD上截取BD=b.
所以线段AB=2a-b.

专练-14最值问题

九13-15班数学中考专题练习—14最值问题

最值问题是初中数学中综合性较强的问题，是中考的热点问题， “最值”问题大都归于两类：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数增减性、二次函数的对称性及增减性或一元二次方程根的判别式，确定某

范围内函数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用此模型。（2）归于“△三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用此模型。平面几何中的最大值或最小值问题有时还要用到“连结直线外一点和直线上各点的线段中，垂线段最短” “ 定圆中所有弦中直径最长”等定理。

一、归于“两点之间的连线中，线段最短”

例1、模型：如下图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P ，使：

⑴PA PB +的值最小；⑵PB PA -的值最小； ⑶PB PA -的值最大。

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小。应用：（1）如图正方形ABCD 边长=2，E 为AB 中点，P 是AC 上一动点．则PB PE +的最小值=_____；（2）如图点A B C 、、在半径=2的O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 在是OB 上，则PA PC +最小值= ；

（3）如图45AOB ∠=°，P 在AOB ∠内，10PO =，Q R 、分别在OA OB 、上，则PQR △周长的最小值= ．

专题14 一次函数中的动态问题训练(解析版)八年级数学下学期(人教版)

专题14 一次函数中的动态问题训练

（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分

一、解答题

1．如图1所示，直线l：y=k（x﹣1）（k＞0）与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于A，B两点．

（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线l的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过AB

两点分别作AD⊥OC于点D．BE⊥OC于点E．若AD=

，求BE的长；

（3）如图3所示，当k取不同的值时，点B在y轴负半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第三象限．第四象限内分别作等腰直角⊥OBG和等腰直角⊥ABF，连接FG交y轴于点H．

⊥连接AH，直接写出⊥ABH的面积是；

⊥动点F始终在一条直线上运动，则该直线的函数表达式是．

【答案】（1）点A的坐标为（1，0）；直线l的函数表达式为y=x﹣1；（2）1

；（3）①

；

①y=-x－1

【分析】

（1）分别表示出点A和点B的坐标，然后根据OA=OB即可求出k的值，从而求出结论；（2）利用勾股定理即可求出OD，利用AAS证出①OBE①①AOD，根据全等三角形的性质即可求出结论；

（3）①过点F作FE①y轴于E，利用AAS证出①OAB①①EBF，可得BE=OA=1，EF=OB，然后利用AAS证出①FEH①①GBH，即可求出BH，从而求出结论；

①用含k的式子表示出点F的坐标，从而得出结论．【详解】

解：（1）当x=0时，解得y=-k；当y=0时，解得x=1①点B的坐标为（0，-k），点A的坐标为（1，0）①OA=1，OB=k

线段和差的最值问题ppt课件

点A为 y 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O,直线BC交⊙A
与点D。
（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使线段PO与PD之差最大？若存在，请求出这个最大值和
点P的坐标。若不存在，请说明理由。
y
B
A
D
O
Cx
.
当P运动到E时，PA ＋PB最小
当Q运动到F时， QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算 .
考题模型点到圆上一点距离的最大/小值问题
如图，点A为⊙O外一点,点B在圆上当点B位于何处AB可以取最大值或最小值？
.
当O，B，A三点共线，且点B位于OA之间时，AB最小；
.
最大
.
典型例题
1.（2016•安徽）如图，Rt△ABC中， AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
明理由.
.
第一步寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE F/
F
的周长最小？
N
E
M
E/
把三条线段转移到同一条直线上 . 就好了！
第二步计算——勾股定理
E'F' 3242 5
EF 1222 5
因此四 M边 N的 F 形E 周长的5最 5小 . .

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