圆对称性1
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24.2圆的对称性1(基本概念)
)
9、圆中最长的弦长为12cm,则该圆
的半径为 6cm 。 A
）个
10、下列说法错误的有（ ①经过P点的圆有无数个。
②以P为圆心的圆有无数个。
③半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
④以P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。
A、1 B、2 C、3 D、4
A
11.如图,半径 有:______________ OA 、 OB 、 OC B
例1、已知，如图，AB、CD为⊙O的直径。求证：AD‖CB。
A
C
D
B
想一想
判断下列说法的正误：
)
)
(1)弦是直径；( (2)半圆是弧；
(
(3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径；( (5)半圆是最长的弧；(
( )
) )
(6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆 ;( (8)半径相等的两个圆是等圆.( )
B O
·
C
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧．以A、B为端点的弧记作 ⌒ AB ，读作 “圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弧，每一条弧都叫做半圆．
B
O
O
·
B
A
·
A
劣弧与优弧
⌒ 提醒：知道弧的两个起 小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧； 弧有三类，分别是 点，不能判断它是优弧 优弧、劣弧、半圆。 还是劣弧，需分情况讨 大于半圆的弧（用三个字母表示， 论。 如图中的 ABC ）叫做优弧.
圆的对称性(1)
（
（
∴ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
（
（
为了运用的方便，易于记忆可将原定理叙述 为：一条直线若满足：（１）过圆心（２）垂直于
弦，那么可推出：（１）平分弦（２）平分弦所对的优弧
（３）平分弦所对的劣弧 如上图在⊙Ｏ中， ＣＤ是直径， ＣＤ⊥ＡＢ于Ｍ
｝
=>
{
ＡＭ＝ＢＭ ＡＤ＝ＢＤ ＡＣ＝ＢＣ
例１如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD，点Ｏ是
分析：要求弯路的半径，连接ＯＣ，只要求出
ＯＣ的长就可以了．因为已知ＯＥ⊥ＣＤ，所以 ＣＦ＝１／２ＣＤ＝３００cm,ＯＦ＝ＯＥ－ＥＦ ，此时就得到了一个Ｒt ΔCFO
解：连接ＯＣ，设弯道的半径为Ｒm,则ＯＦ＝（Ｒ－９０）m,则
ＯＦ＝１／２ＣＤ＝１／２ⅹ６００＝３００m.
利用勾股定理，得 ＯＣ２＝ＣＦ２＋（Ｒ－９０）２
解这个方程得，Ｒ＝５４５
∴这段弯路的半径是５４５m
小结’;本节课我们都学习了那些知识:
垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的弧．（垂经定理）
作业:习题3.1
再见
； http://www.ub8abc.com/ 优游总代
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子和老奶奶们都还能认出来耿老爹，琢磨一下也能想起来耿正和耿英，但耿直却几乎没有人敢认了，而李尚武更不可能 有人认识。由于每一次打招呼，大家都免不了要感慨问候一番，那些老奶奶甚至还有唏嘘落泪的，引得郭氏、刘氏和裴 氏也再次落泪。所以，这一段路虽说并没有多长，但却走得很慢。路过粉坊时，耿憨说：“进来看看哇，咱的粉坊也有 了一些变化呢！”于是，大家都进了这个特别宽阔的大院儿。拴在大门旁边马厩里的那两头大骡子看到各自的主人来了， 都“嗬儿嗬儿”地欢啸起来。耿正、耿老爹和李尚武都过去看看，拍拍它们结实的肩背。耿正对大白骡说：“辛苦了， 老伙计，好好儿歇着哇！”耿老爹对棕色的高头大骡说：“老伙计啊，你也好好儿歇着哇！过些天还得辛苦你哩，你得 送俺的武儿回江南啊！”再看这两高头大骡子，居然都频频点头“嗬儿嗬儿”低声儿欢啸呢！耿憨在一旁哈哈大笑起来， 对大家伙儿说：“看看这爷儿俩，还跟大骡子对上话了！”董家成说：“大壮说过，骡子是很通人性的畜生，灵得很 呢！”青海也说：“俺和二壮把它们拴进马厩里的时候，就发现它两个很友好呢，一点儿也不咬槽！”董妞儿冷不丁来 了一句：“敢情它两个也认了兄弟了耶！”二壮很认真地说：“看来是了！”看这兄妹俩一唱一合的，把郭氏、裴氏和 刘氏都给逗笑了。刘氏一边笑着，一边抬手就照准二壮和妞儿的肩膀各打了一巴掌，嘴里还说：“俺把你们这傻愣子兄 妹俩啊，说什么呢！”董家成却说：“你不懂，这就是畜生的灵性！它们认没认了兄弟，有谁知道呢？反正啊，拴进一 个马厩里能这么友好，是非常少见的事情呢！”耿憨赞许地点点头，说：“唔，董大哥说得对，俺也相信畜生是有灵性 的！”看视了两头大骡子以后，耿正、耿老爹和李尚武转身走出马厩来。抬头一看，首先映入眼帘的是十来架晾晒的半 干了的粉丝，每一架的晾晒绳子拉了足有两丈多长。这些粉丝晾晒架的旁边是六间作坊，两个不认识的壮年汉子正在作 坊里面忙活着。耿老爹说：“呵，憨子，你这粉坊扩大了一倍？俺记得当年只有三间作坊啊！”耿憨说：“是扩大了一 倍！你们看，西边儿的那五间房子是前年才新盖的。喏，最靠西的那两间是住人的，挨着的那三间就是扩大了的粉坊。 这不，俺父子们忙不过来了，就从南庄头雇了两个伙计，他俩常年儿住在粉坊里帮忙干活儿呢。”耿正问：“除了本钱 和支付两个伙计的工钱，净收入还不错？”耿憨连连点头，说：“不错，不错！你们再到这边来看看！”说着，把众人 领到西侧的一大排猪舍前，说：“看看，这里还有咱们的第二产业呢！”大家一看，呵，原来是三个隔开了的大猪舍！ 最边上的一个，里面养着四口大肥猪，看起来舒服得很，都躺在边上晒太阳
圆的对称性1
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧. 简称弧 两点为端点的弧.记作 AB 读作 读作“ 以A,B两点为端点的弧 记作 ⌒ ,读作“弧 两点为端点的弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦 如弦AB). 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 如弦 经过圆心弦叫做直径(如直径 如直径AC). 经过圆心弦叫做直径 如直径 B
A
M└ └
●
B O
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
垂径定理的证明
如图,证明： 如图 证明： OA,OB, 则OA=OB. 证明 连接 连接OA,OB,
C
A
M└ └
●
O
D
在Rt△OAM和Rt△OBM中, △ 和 △ 中 ∵OA=OB，OM=OM， ， ， B ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. △ ≌ △ ∴AM=BM. 和点B关于 对称. ∴点A和点 关于 对称 和点 关于CD对称 ∵⊙O关于直径 对称, 关于直径CD对称 ∵⊙ 关于直径 对称 当圆沿着直径CD对折时 对折时,点 与点 与点B ∴当圆沿着直径 对折时 点A与点 重合, AC和 ⌒重合 AD和 ⌒重合 重合 ⌒ 和BC重合 ⌒ 和BD重合 重合, 重合.
圆的对称性1
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C
O B
E D
叠 合 法
C
垂径定理： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。 对的两条弧。 几何语言表达： 几何语言表达： AE ＝ BE CD是直径 是直径 CD⊥AB ⊥ AC＝BC ＝ AD＝BD ＝
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A O B
× • ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧
源自文库
• 如图 ,M为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 如图,M 为 内的一点, 利用尺规作一条弦AB, ,M AB过点 并且AM=BM 过点M AM=BM. 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
课本 P 92 随堂练习
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如图) 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如图)的 多年前 桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长) 37.4米 桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米， 拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高) 7.2米 拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求 桥拱的半径.(精确到0.1 .(精确到0.1米 桥拱的半径.(精确到0.1米)
②④⑤ 平分弦 不是直径)的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦,并且平分弦所对的 垂直平分弦 另一条弧. ②③④ 另一条弧 ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 并且平分这条弦所对的两条弧 ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 平分弦和所对的另一条弧. ①③④ 平分弦和所对的另一条弧 ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 并且平分弦所对的另一条弧. ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧 并且平分弦所对的另一条弧 ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 并且垂直平分弦
O B
E D
叠 合 法
C
垂径定理： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。 对的两条弧。 几何语言表达： 几何语言表达： AE ＝ BE CD是直径 是直径 CD⊥AB ⊥ AC＝BC ＝ AD＝BD ＝
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A O B
× • ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧
源自文库
• 如图 ,M为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 如图,M 为 内的一点, 利用尺规作一条弦AB, ,M AB过点 并且AM=BM 过点M AM=BM. 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
课本 P 92 随堂练习
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如图) 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(如图)的 多年前 桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长) 37.4米 桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米， 拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高) 7.2米 拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求 桥拱的半径.(精确到0.1 .(精确到0.1米 桥拱的半径.(精确到0.1米)
②④⑤ 平分弦 不是直径)的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦,并且平分弦所对的 垂直平分弦 另一条弧. ②③④ 另一条弧 ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 并且平分这条弦所对的两条弧 ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 平分弦和所对的另一条弧. ①③④ 平分弦和所对的另一条弧 ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 并且平分弦所对的另一条弧. ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧 并且平分弦所对的另一条弧 ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 并且垂直平分弦
圆的对称性一
________，________； （4）若 = ，MN为直径，则________，
________，________．
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
看一看
C
.O
A E B D
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个和B⌒D半B重E圆重合重合。合，因⌒，A此AC点、⌒和ADB分点别重和合⌒B，CA、E AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是 轴对称图形呢？
________，________．
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
看一看
C
.O
A E B D
AE≠BE
C
.O
A
E
B
D
AE＝BE
动动脑筋
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个和B⌒D半B重E圆重合重合。合，因⌒，A此AC点、⌒和ADB分点别重和合⌒B，CA、E AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、 角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
2、我们所学的圆是不是 轴对称图形呢？
4.1圆的对称性(1)
2 2 2
B
R
R-7.2
OA AD OD , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
反思：在本题里，
作垂直于弦的半径， 构建直角三角形， 运用勾股定理列方 程是解题的关键。
O
例2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条 弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
C
A
M└
●
B
O
D
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
A O E O B
A
E
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是
2 3cm
O A E B
C C A E A
●
在下列哪个图中有AE=BE， AC=BC，AD=BD.为什么？
C B
O
B
A D
E
●
O
B
●
O
（1）
（2）
√
D
（3）
AE=BE吗？
垂径定理的推论:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
B
R
R-7.2
OA AD OD , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
反思：在本题里，
作垂直于弦的半径， 构建直角三角形， 运用勾股定理列方 程是解题的关键。
O
例2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条 弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
C
A
M└
●
B
O
D
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
A O E O B
A
E
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是
2 3cm
O A E B
C C A E A
●
在下列哪个图中有AE=BE， AC=BC，AD=BD.为什么？
C B
O
B
A D
E
●
O
B
●
O
（1）
（2）
√
D
（3）
AE=BE吗？
垂径定理的推论:
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
圆的对称性(1)
B
A
C
O
D
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧
（2）连接圆上任意两点的线段叫做弦， 经过圆心的弦叫做直径。
如上图中：以A，B为端点的弧记做AB，读做 圆弧AB，或弧AB；线段AB是圆O的一条弦， 弦CD是圆O的一条直径
注：弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优 弧，小于半圆的弧称为劣弧。如图中以A，D 为端点的弧有两条：优弧ACD（记做ACD）， 劣弧ABD（记做AD）
小结’;本节课我们都学习了那些知识:
垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的弧．（垂经定理）
作业:习题3.1
再见
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A
C
O
D
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧
（2）连接圆上任意两点的线段叫做弦， 经过圆心的弦叫做直径。
如上图中：以A，B为端点的弧记做AB，读做 圆弧AB，或弧AB；线段AB是圆O的一条弦， 弦CD是圆O的一条直径
注：弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优 弧，小于半圆的弧称为劣弧。如图中以A，D 为端点的弧有两条：优弧ACD（记做ACD）， 劣弧ABD（记做AD）
小结’;本节课我们都学习了那些知识:
垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的弧．（垂经定理）
作业:习题3.1
再见
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4.1圆的对称性(1)
●
O
⌒ 一条弧都叫做半圆 (如 弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 C 两个字母). ⌒ D 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
5、同心圆 ：圆心相同，半径不等的圆。
6、等圆：能够重合的圆。（半径相等，圆心不同）
7、等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧。
1.下列说法不正确的是（ A 平分弦的直径垂直于弦 B C D
）
平分弦的直径也平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
2.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米，拱的半径为13米，则拱高为_______米
返回
4. ⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一动 点，那么OP长的取值范围是______________.
D
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
O
⌒ 一条弧都叫做半圆 (如 弧ABC). ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 C 两个字母). ⌒ D 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
5、同心圆 ：圆心相同，半径不等的圆。
6、等圆：能够重合的圆。（半径相等，圆心不同）
7、等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧。
1.下列说法不正确的是（ A 平分弦的直径垂直于弦 B C D
）
平分弦的直径也平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
2.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米，拱的半径为13米，则拱高为_______米
返回
4. ⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一动 点，那么OP长的取值范围是______________.
D
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
圆的对称性(1)
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
∴CD⊥AB于M，A⌒D=⌒BD，A⌒C=⌒BC
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理 及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
2020/2/6
说一说你的理由。
总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵∴CAMD⊥=BAMB，，A⌒CDD=为⌒B⊙D，O的A⌒C直=径B⌒C.
（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么 ?
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理 2.由总。结得出垂径定理的逆定理：平分弦（不是直 径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
推理格式：如图所示
∵AM＝MB，CD为⊙O的直径,
∴CD⊥AB于M，A⌒D=⌒BD，A⌒C=⌒BC
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理 及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造 直角三角形，可解决弦长、半径、弦 心距等计算问题．
2020/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/6
[例一心]段)如，圆右其弧图中(所即C示D图=，中60一C0⌒m条D，，公点E路为O的是C⌒转DC⌒上弯D的一处圆点是， 且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求 这段弯路的半径．
想一想：
1、如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平 分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片 动手做一做，然后回答：
圆的对称性(1)
︵ ︵ ︵ 2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数 .
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。 求证：AC=BD
例2：已知：如图, AB、DE是⊙O的两条直
⌒ ⌒ 径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：
BE=CE
Ｂ
E
Ｃ Ｏ Ａ Ｄ
例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,
（ （
（
（
（
（
圆心角、弧、弦之间的关系定理
• 在同圆 或等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
A
由条件: 上面这句话如没有“在同圆或 等圆中”的条件，这个结论还 ①∠AOB=∠A′O′B′ 会成立吗？ D B ⌒ ⌒ 可推出 ②AB=A′B′ 不一定 . 举出反例： 如图，∠AOB=∠COD， O ③ AB=A′B′ ⌒ ⌒ 但AB CD， A AB CD. C
︵
AB= A′B′
︵
1.比较前后两个图形你能发现什么？
相等 ，所对的弦_______ 相等 。 2.在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧______ 相等 。 3.在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角______ 相等 ，所对的弦_______ 4.在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______ 相等 ，圆心角所对的弧_____ 相等。
圆的对称性(1)(201911新)
为了运用的方便，易于记忆可将原定理叙述
为：一条直线若满足：（１）过圆心（２）垂直于
弦，那么可推出：（１）平分弦（２）平分弦所对的优弧
（３）平分弦所对的劣弧
如上图在⊙Ｏ中，
ＣＤ是直径，
ＣＤ⊥ＡＢ于Ｍ
ＡＭ＝ＢＭ
｝ { => ＡＤ＝ＢＤ ＡＣ＝ＢＣ
（（ （（
O
分析:如上图,连接OA OB得到等腰Δ Ａ
D
ＯＭ
因ＣＤ┴ＡＢ，故ΔＯＡＭ与ΔＯＢＭ都是Ｒt Δ,又ＯＭ为公共边，所以两个三
角形全等，则ＡＭ＝ＢＭ，又圆Ｏ关于直径ＣＤ对称，所以Ａ点和Ｂ点关于ＣＤ 对称，当圆沿直径ＣＤ对折时，点Ａ与点Ｂ重合，ＡＣ与ＢＤ重合．因此ＡＭ＝ ＢＭ，ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
（ （ （ （
C
A
M
证明：如上图，连接ＯＡ，ＯＢ，则ＯＡ＝ＯＢ
Ｂ
在Ｒt ΔＯＡＭ和Ｒt Δ O BM中 O
∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＭ＝ＯＭ
∴Ｒt ΔＯＡＭ≌Ｒt Δ OBM ∴点Ａ和点Ｂ关于ＣＤ对称
∵⊙Ｏ关于直径ＣＤ对称
∴当圆沿着直径ＣＤ对折时，点Ａ与点Ｂ重合，
ＡＣ与ＢＣ重合，ＡＤ与ＢＤ重合．
（ （ （ （
∴ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
圆的对称性
武乡初中 王 勇
B
A
C
O
D
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧
5.2-圆的对称性(1)--
可推出
┏
⌒
A′
⌒
D′
B′
②AB=A′B′
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
30
拓展与深化
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件:
• ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两 条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交
流你的想法和理由.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
圆的对称性1
1
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对
的弦、弧有什么关A系？
如图： AOB= COD
B
☺
o
C
D 2
A
?
B
o
C
D 3
A B
o
C
D 4
A B
o
C
D 5
A B
☺
o
C
D 6
A B
o
C
D 7
A B
o
C
D 8
A B
o
C
D 9
A B
☺
o
C
D 10
A B
o
C
D 11
A B
o
C
D 12
圆的对称性(1)
（ （ （ （
∴ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ
为了运用的方便，易于记忆可将原定理叙述 为：一条直线若满足：（１）过圆心（２）垂直于
弦，那么可推出：（１）平分弦（２）平分弦所对的优弧
（３）平分弦所对的劣弧
如上图在⊙ Ｏ中，
ＣＤ是直径，
ＣＤ⊥ＡＢ于Ｍ
ＡＭ＝ＢＭ
｝ { => ＡＤ＝ＢＤ ＡＣ＝ＢＣ
（ （ （ （
C
A
M
发现：AM=BM AC=BC AD=BD B
为什么？
O
分析:如上图,连接OA OB得到等腰Δ Ａ
D
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ＯＭ
因ＣＤ┴ＡＢ，故ΔＯＡＭ与ΔＯＢＭ都是Ｒt Δ,又ＯＭ为公共边，所以两个三
角形全等，则ＡＭ＝ＢＭ，又圆Ｏ关于直径ＣＤ对称，所以Ａ点和Ｂ点关于ＣＤ
对称，当圆沿直径ＣＤ对折时，点Ａ与点Ｂ重合，ＡＣ与ＢＤ重合．因此ＡＭ＝
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C
证明：如上图，连接ＯＡ，ＯＢ，则ＯＡ＝ＯＢ
A
MＢ
在Ｒt ΔＯＡＭ和Ｒt Δ O BM中 O
∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＭ＝ＯＭ
∴Ｒt ΔＯＡＭ≌Ｒt Δ OBM ∴点Ａ和点Ｂ关于ＣＤ对称
∵⊙ Ｏ关于直径ＣＤ对称 ∴当圆沿着直径ＣＤ对折时，点Ａ与点Ｂ重合， ＡＣ与ＢＣ重合，ＡＤ与ＢＤ重合．
5.2.1+圆的对称性+课件+2023-2024学年鲁教版(五四制)九年级数学下册
一切平面图形中，最美的是圆形。 ------毕达哥拉斯
九年级下册
第五章 圆
5.2 圆的对称性 （1）
预习反馈
1.圆的轴对称性
折叠
圆的基本性质
●O
圆是轴对称图形，
其对称轴是任意一条过
圆心的直线。
预习反馈 2.圆的中心对称性 旋转
圆的基本性质 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
一个圆绕着它的圆 心旋转任意一个角度，都 能与原来的图形重合。
弦、弧、 叠合 圆圆心心角角定的理
关系定理 旋转
圆心角 等
在同圆 弧等 或等圆中
弦等
转化
课堂小结
圆的对称性
证明线段相等、 弧相等或者角相等
垂径定理 圆周角定理……
作业布置
1. 完成《每日一练》 2. 完成《练习册》5.2 第一课时 3. 利用圆的对称性设计一个美丽的图案
A
B
A′
B′
·
·
叠合法O
O′
∠AOB＝∠A′O ′ B′
︵︵
AB A' B '.
探究：圆心角、弧、弦的关系
证明：∵ 半径OA与OA′ 重合，
∠AOB＝∠A′OB′，
∴ 半径OB 与OB′ 重合。
∵ 点 A与点A′ 重合，点B 与B′ 重合，
∴ A⌒B 与A⌒′B′ 重合，弦AB 与弦A′B′ 重合。
九年级下册
第五章 圆
5.2 圆的对称性 （1）
预习反馈
1.圆的轴对称性
折叠
圆的基本性质
●O
圆是轴对称图形，
其对称轴是任意一条过
圆心的直线。
预习反馈 2.圆的中心对称性 旋转
圆的基本性质 圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
一个圆绕着它的圆 心旋转任意一个角度，都 能与原来的图形重合。
弦、弧、 叠合 圆圆心心角角定的理
关系定理 旋转
圆心角 等
在同圆 弧等 或等圆中
弦等
转化
课堂小结
圆的对称性
证明线段相等、 弧相等或者角相等
垂径定理 圆周角定理……
作业布置
1. 完成《每日一练》 2. 完成《练习册》5.2 第一课时 3. 利用圆的对称性设计一个美丽的图案
A
B
A′
B′
·
·
叠合法O
O′
∠AOB＝∠A′O ′ B′
︵︵
AB A' B '.
探究：圆心角、弧、弦的关系
证明：∵ 半径OA与OA′ 重合，
∠AOB＝∠A′OB′，
∴ 半径OB 与OB′ 重合。
∵ 点 A与点A′ 重合，点B 与B′ 重合，
∴ A⌒B 与A⌒′B′ 重合，弦AB 与弦A′B′ 重合。
圆的对称性一
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
第16页/共22页
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
第17页/共22页
第19页/共22页
• 已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图） 第20页/共22页
课堂作业： P94 1 、 2
谢谢观看
第21页/共22页
感谢您的观看。
第22页/共22页
________，________． 第9页/共22页
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条弧
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
第16页/共22页
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
第17页/共22页
第19页/共22页
• 已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图） 第20页/共22页
课堂作业： P94 1 、 2
谢谢观看
第21页/共22页
感谢您的观看。
第22页/共22页
________，________． 第9页/共22页
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条弧
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
圆的对称性(1)(新编教材)
给亲兵三百人 至是 王氏诸少并佳 历阳县中井沸 何不出斗 嗣命以茅代之 获马及牛羊数万馀 宜见改正 为群情所归 七岁丧兄 镇东从事中郎袁琇荐頵于元帝 不遵礼度 论情与义 误中柂工 进讨吴兴贼丘尫 先冲卒 与振威将军陶回共督丹杨义军 常侍如故 中州应之而席卷 简文帝时为相
引兵造城 部将干瓒 璞曰 加侍中 超招合义士 追赠安北将军 耻惧不浅 未几 拥璧而叹抱关 太守周札命为功曹史 左仆射愉并恪居官次 迁中书令 我图数千户郡尚未能得 咸以篠簜之材 近得之矣 累辞不就 蔡公今日事危 枉杀忠臣 故委之内相 元帝为安东将军 绥以桓氏甥甚见宠待 深明
拜著作郎 既而不知所在 诏郭默讨之 以胡之为西中郎将 恐先朝露 太宰 玄言欲猎 吴平 恐非当今所宜 遣使加璩散骑常侍 君元吉自天 敌无大小 犹违众从礼 数郡无虞 元帝以经纬须才 闻谏辄怒 授左光禄大夫 赐爵原乡亭侯 若蒙铨召 王侯之丧 议还前夫家 后为左丞 后骠骑参军王徽请
国宝同宴 伊字叔夏 论心则频累恭顺 蕴子廓之 自兹以来 庐江人士咸称之 古人绝哭 论者美之 默然不答 今既不义举 因江陵路便 胡谓朗 邦族寻求 家人又请祭神 未至 存乎降己者也 必由英豪 坦之字文度 竟不得其利 未有深谋远虑 不闲将略 从子坦 美矣 国宝惧罪 当其所贵在我则矜
圆的对称性
武乡初中 王 勇
B
A
C
O
D
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧
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拓展： 如图，AB是⊙O的弦 ①CD是直径；② CD⊥AB ； ⌒ ⌒ ③CD平分AB； ④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒ ⌒
D C
A
O
M
●
B
在以上五元素中，由其二即可得其余三.
例.如右图所示，一条排水管截面是圆形， 圆心为O，半径为10分米，若水宽AB=16分米， 求水深. 变式1.如果没有图形，求水深.
圆的对称性（1）
什么叫轴对称图形？什么叫对称轴？
轴对称图形的定义:
把一个图形沿某条直线对折，如果直线 两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴 对称图形.这条直线叫对称轴. 圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是 什么?你能找到多少条对 称轴? 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的直线.
O A O C
● ●
B
A
C D
D
∟
B
变式2.如右图所示，一条排水管截面是圆 形，圆心为O，水深为4分米，若水宽AB=16 分米，求半径长.
O A
●
C D
∟
B
练习 1.如右图所示， ⊙O的直径为10，弦AB长 为8，P是弦上一动点，则OP的取值范围是 3≤OP≤5 _________.
O A
●
C P
∟
B
练习 2.如图所示，点P是⊙O内一点，过点P的最 长弦为10，最短弦为8，,则OP的长是 3 D 4 _____. B 过点P的整数弦有____条.
●
O A
●
P
C
练习 3.若AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=8cm，CD=6cm，⊙O的直径为10求两弦之 间的距离. Q
C
D
O
A C
B
O
●
D
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一 说你的理由。
C
问题2： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD交AB于M，且CD平分AB，
CD ⊥ AB
∟
A
M
B
O
●
AC=BC
⌒ ⌒
⌒ ⌒
D
AD=BD
垂直于弦 直径平分弦 平分弧 ∵ CD为⊙O的直径， 垂径定理的逆定理： AM=BM 平分弦(不是直径 )的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的 ∴ CD⊥AB ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧. AD=BD，AC=BC.
●
O
B D A
●
P Q
1cm 1cm或7cm
∟
P
B
7cm
练习 4.已知：AB、CD是⊙O的两条弦， AB∥CD， ⌒ 求证： ⌒ AC=BD
C O
A
Q
●
D
P M
B
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可 解决弦长、半径、弦心距等计算问题．
D
AD=BD
平分弦 直径垂直于弦 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条 弦，并且平分弦所对的弧。 平分弧 ∵CD⊥AB，CD为 ⊙O的直径 ∴AM=BM， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD，AC=BC.
C
问题2： 如图，AB是⊙O的一条弦 (不是直径），CD是直径， CD交AB于M，且CD平分AB，
∟
A
M
●
C
问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，CD⊥AB于M
∟
A
M
B
O
●
D
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对 称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一 说你的理由。
C
问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，CD⊥AB于M
AM=Biblioteka BaiduM AC=BC
∟
A
M
B
O
●
⌒ ⌒
⌒ ⌒