教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第3章章末小结知识整合与阶段检测-缺答案

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江苏省高二数学苏教版选修2-3教案：3.2 回归分析3

3.2回归分析（1）教学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．教学重点，难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．教学过程一．问题情境1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当先作散点图，如下图所示：从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，1221()ni i i ni i x y nx y b x n x a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？二．学生活动思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与y 之间的关系，y 的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差．三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；y 的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；将y a bx ε=++称为线性回归模型．说明：（1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计，？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：对于问题②，设有对观测数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，根据线性回归模型，对于每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使21nii ε=∑越小越好．所以，只要求出使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取得最小值时的α，β值作为，的估计值，记为，．注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离．用什么方法求，？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到，的计算公式为1122211()()()()nni i iii i nni ii i x x y y x ynx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑由此得到的直线y a bx =+就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，y 称为回归值．在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中， 3.5361a =， 2.1214b =． 3．线性回归方程y a bx =+中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，y 相应地平均增加个单位；4．化归思想（转化思想）在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．（1）b y a x =+，令'y y =，1'x x=，则有''y a bx =+．（2）by ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（3）bxy ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（4）b x y ae =，令'ln y y =，1'x x=，'ln a a =，则有'''y a bx =+．（5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+．四．数学运用 1．例题：例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用表示，对应人口数用y 表示，得807 909 975 1035 1107 1177 1246作出11个点(),x y 构成的散点图，由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型y a bx ε=++来表示它们之间的关系．根据公式（1）可得14.453,527.591.b a ⎧≈⎪⎨≈⎪⎩ 这里的,a b 分别为,a b 的估计值，因此线性回归方程为527.59114.453y x =+由于2004年对应的55x =,代入线性回归方程527.59114.453y x =+可得1322.50y =（百万），即2004年的人口总数估计为13.23亿.例2．某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本（万元）与人均产出y （万元）的数据：（1）设y 与之间具有近似关系by ax ≈（,a b 为常数），试根据表中数据估计和的值；（2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．分析：根据，y 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对by ax ≈的两边取对数，就能将其转化为线性关系．解（1）在by ax ≈的两边取常用对数，可得lg lg lg y a b x ≈+，设lg y z =，lg a A =，lg x X =，则z A bX ≈+．相关数据计算如图327--所示．仿照问题情境可得A ，的估计值A ，分别为0.2155,1.5677,A b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩由lg 0.2155a =-可得0.6088a ≈，即，的估计值分别为0.6088和1.5677．（2）由（1）知1.56770.6088y x =．样本数据及回归曲线的图形如图328--（见书本102P页）当16x =时， 1.56770.60881647.01y =⨯≈（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元． 2．练习：104P 练习第题．五．回顾小结：1．线性回归模型y a bx ε=++与确定性函数y a bx =+相比，它表示y 与之间是统计相关关系（非确定性关系）其中的随机误差提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值，的工具；2．线性回归方程y a bx =+中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，y 相应地平均增加个单位；3．求线性回归方程的基本步骤．六．课外作业：．。

高二数学选修2-3教案03排列与排列数

有A 种，故符合题意的偶数有A A A 个。
3 3
1 2
1 3
3 3
2、由数字 1、、、、组成没有重复数字的五位数， 2 3 4 5 其中小于 50000 的偶数共有多少个？
解法二：（逆向思维法）由1、、 4、组成无重复 2 3、 5 数字的5位数有A 5 个，减去其中奇数的个数A1 A 4 个，再 5 3 4 减去偶数中大于50000的数A1 A 3 个，符合题意的偶数 2 3 共有：A 5 − A1 A 4 − A1 A 3 = 36个 5 3 4 2 3
2、由数字1、、 4、组成没有重复数字的五位数， 2 3、 5 其中小于50000的偶数共有多少个？万位千位百位十位个位
A
1 3
A
3 3
A
1 2
解法一：（正向思考法）个位上的数字排列数
1 4 有A2种（从2、中选）；万位上的数字排列数有 1 A3种（5不能选），十位、百位、千位上的排列数
正向思考样的五位数共有多少个和百位必须是奇数这数字的五位数且个位个数组成没有重复个数字中任取五位奇数的个数是个故满足题意的的个数是个数字可排成五位奇数有5名男生4名女生排队
排列
引例
问题1 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加
某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
AA
4 9
5 5
小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关排列与元素的顺序有关，也排列与元素的顺序有关就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．

[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章章末小结知识整合与阶段检

.[对应学生用书P46]1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 2．复数的分类复数(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0，b ≠0)非纯虚数(a ≠0，b ≠0).3．共轭复数的性质设复数z 的共轭复数为z ，则(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ，z 为纯虚数⇔z ＝－z .4．复数的几何意义5．复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)⇔a ＝c ，b ＝d .特别地，a ＋b i ＝0(a ，b ∈R)⇔a ＝b ＝0.注意：两复数不是实数时，不能比较大小．(2)几何形式：z 1，z 2∈C ，z 1＝z 2⇔对应点Z 1，Z 2重合⇔1OZ 与2OZ 重合．6．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．[对应学生用书P65](时间：120分钟，总分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.解析：∵z 1＝2＋i 在复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.答案：－52．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________.解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：3＋4i3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5＝35＋45i ， ∴z 的虚部是45. 答案：454．已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．解析：m 1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ，因为m ，n ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i.答案：2＋i5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴z ＝3－i.答案：3－i6．在复平面内，复数2－i 1＋i对应的点位于第________象限．解析：2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 12＋12＝12－32i ，对应的点位于第四象限．答案：四7.5(4＋i )2i (2＋i )＝________. 解析：5(4＋i )2i (2＋i )＝5(15＋8i )－1＋2i ＝5(15＋8i )(－1－2i )(－1)2＋22＝1－38i.答案：1－38i8．设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于________．解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋12＋(1－a )2i 是实数，∴1－a 2＝0，即a ＝1. 答案：19．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i. 答案：－4i11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ，101－2i ＝10(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝10(1＋2i )12＋22＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4. ∴z ＝3＋4i.答案：3＋4i12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i.答案：－5－4i13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________．解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，解得a ＝112，∴m ＝112i. 答案：112i 二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i ). 解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i＝2(1－2i )1－2i＝2. (2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i )＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12 ＝－12＋12i. 16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数， ∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R.当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1＋3i －z ，得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，所以z ＝－4＋3i.则(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (3＋4i )22(－4＋3i )＝2(－4＋3i )(3＋4i )2(－4＋3i )＝3＋4i. 18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i. (1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)ω2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋1＝0. (2)由于ω2＋ω＋1＝0，∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z.∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0， n ＝3k (k ∈Z )，1， n ＝3k ＋1(k ∈Z )，12＋32i ， n ＝3k ＋2(k ∈Z ).19．(本小题满分16分)已知z ＝a －i 1－i(a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．解：把z ＝a －i 1－i(a ＞0)代入ω中，得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a (a ＋1)2i. 由a (a ＋1)2－a ＋12＝32，得a 2＝4. 又a ＞0，所以a ＝2.所以|ω|＝|32＋3i|＝325. 20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.。

【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.5 二项式定理-含解析

第1课时二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n －r b r 叫做二项展开式的第r ＋1项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n an －r b r ． 3．二项式系数C r n (r ＝0，1，2，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．1．(a ＋b )n 中，n ∈N *，a ，b 为任意实数． 2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C 0n ，C 1n ，…，C r n ，…，C n n .4．(a ＋b )n 的二项展开式中，字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐次减1直到0；字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n .[例1] 求下列各式的展开式：(1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝（4x 3－3）532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5]＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10. [一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×1×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解； (2)利用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4＝C 410·⎝⎛⎭⎫124·x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10.(2)设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r·⎝⎛⎭⎫12x r＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0，1，2，…，10)，令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x 3n －3r x －2r ＝C r n x 3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0，1，2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x16－3r4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r·⎝⎛⎭⎫－23x r(r ＝0，1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.[一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________．解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4. 答案：48．求⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r·⎝⎛⎭⎫1x r＝29－r ·C r9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含x r(或x p y q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．课下能力提升(八)一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．解析：第3项的二项式系数为C210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________．解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x 15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3. 故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________．解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n，又∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3nC 2n ＝31，即n （n －1）（n －2）·26n （n －1）＝3，解得n ＝11. 答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：7 二、解答题 6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．解：二项式⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r()－a rx －2r ＝C r 6x6－3r()－a r.当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n ·()x n －r⎝⎛⎭⎫12x r＝⎝⎛⎭⎫12rC r nxn －2r 2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列，则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12rC r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.第2课时二项式系数的性质及应用(a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2，4，6时，中间一项最大，n ＝3，5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －mn；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ；当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n．1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n 和Cn ＋12n (两者相等)最大．3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[例1] 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________．解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－1)r ＝(－1)r 26－r C r 6x6－r， ∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6. ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 ＝－(－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5)， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝243. (3)a 1＋a 3＋a 5＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________．解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3. 所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r⎝⎛⎭⎫3x r＝3r C r3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：9 6．在()x 23＋3x25的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5()x235－r(3x 2)r ＝3r C r 5x10＋4r 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] 求证：2n ＋2·3n ＋5n －4(n ∈N *)能被25整除．[思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明． [精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C nn ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n .以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除．证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C051·4951＋C151·4950·2＋…＋C5051·49·250＋C5151·251－1.易知除C5151·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117·716＋…＋C1617·7＋C1717－1＝7·(C017·716＋C117·715＋…＋C1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除．证明：当n＝0时，原式＝0，可被676整除．当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n≥2时，原式＝27n－26n－1＝(26＋1)n－26n－1＝(26n＋C1n26n－1＋…＋C n－2n ·262＋C n－1n·26＋1)－26n－1＝26n＋C1n26n－1＋…＋C n－2n·262.每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题 (1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．课下能力提升(九)一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x8－r ⎝⎛⎭⎫12r，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x ＝1，2n ＝64⇒n ＝6.由T r ＋1＝C r 6·36－r·x 6－r2·(－1)r ·x －r2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________. 解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中 (1)二项式系数最大的项； (2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：∵32n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(1＋8)n＋1－8n－9·8n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1n＋1＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除.。

2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.1 条件概率-缺答案

2.3独__立__性2．3.1 条件概率[对应学生用书P31]三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取．问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示：相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P (A )＝23.问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示：用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”则 P (B )＝13.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下，最后一名同学抽到中奖奖券”．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P (C )＝12.1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．2．条件概率的计算公式(1)一般地，若P (B )>0，则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). (2)利用条件概率，我们有P (AB )＝P (A |B )P (B )．1．由条件概率的定义可知，P (A |B )与P (B |A )是不同的；另外，在事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定是P (A )，即P (A |B )与P (A )不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P (B )>0.3．P (A |B )＝P (AB )P (B )可变形为P (AB )＝P (A |B )P (B )，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[对应学生用书P31][例1] 6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？ [思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解． [精解详析] (1)设x 表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y 表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤6,1≤y ≤6}，如图所示，由古典概型计算公式可知：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536. (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512.[一点通] 利用P (A |B )＝P (AB )P (B )求条件概率的一般步骤：(1)计算P (B )；(2)计算P (AB )(A ，B 同时发生的概率)；(3)利用公式P (A |B )＝P (AB)P (B )计算．其中(1)(2)可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知P (A )＝35，P (AB )＝35×24＝310，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P (B |A )＝12.答案：122．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，A ＝“其中一个女孩”，B ＝“其中一个男孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}．∴P (AB )＝24，P (A )＝34.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2434＝23.3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为 A 26＝30，根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为A 14A 15＝20，于是P (A )＝2030＝23.(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A 24＝12，于是P (AB )＝1230＝25.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.[例2] 7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球，若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．[思路点拨] 设出基本事件→求相应事件概率→求试验成功的概率[精解详析] 设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}， B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310， P (R |A )＝12，P (W |A )＝12，P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为RA ＋RB ，又事件RA 与事件RB 互斥，故由概率的加法公式，得P (RA ＋RB )＝P (RA )＋P (RB ) ＝P (R |A )·P (A )＋P (R |B )·P (B ) ＝12×710＋45×310＝0.59. [一点通] 为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．解析：设事件A 表示“任选一名同学是男生”；事件B 为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为P (B |A )．依题意得P (A )＝4060＝23，P (AB )＝560＝112.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11223＝18.答案：185．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ＋B ＋C ，E ＝A ＋B .由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620，P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )． P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故所求的概率为1358.1．P (A |B )表示事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．2．若事件A ，C 互斥，则P [(A ＋C )|B ]＝P (A |B )＋P (C |B )．[对应课时跟踪训练(十二)]一、填空题 1．已知P (AB )＝310，P (B )＝35，则P (A |B )＝________. 解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )＝31035＝12.答案：122．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P (AB )＝C 25C 2100，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.答案：4993．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A ，“第二次抛出偶数点”记为事件B ，则P (A )＝3×66×6＝12， P (AB )＝3×36×6＝14.所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.答案：124．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“三个人去的景点不相同”，B ＝“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．解析：由题意知，P (B )＝C 13·223×3×3＝49，P (AB )＝A 333×3×3＝29.∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2949＝12.答案：125．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．解析：设动物活到20岁的事件为A ，活到25岁的事件为B ，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，由AB ＝B ，所以P (AB )＝P (B )．所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5.答案：0.5 二、解答题6．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？解：设A ＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，P (A )＝1040＝14，即这个代表恰好在第一小组里的概率是14.P (A |B )＝P (AB )P (B )＝4401540＝415，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为415.7．任意向x 轴上(0,1)这一区间内投掷一个点，问 (1)该点落在区间⎝⎛⎭⎫0，12内的概率是多少； (2)在(1)的条件下，求该点落在⎝⎛⎭⎫14，1内的概率．解：由题意可知，任意向(0,1)这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的．令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0<x <12，由几何概型的计算公式可知．(1)P (A )＝121＝12.(2)令B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <1，则AB ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14<x <12，故在A 的条件下B 发生的概率为 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12－1412＝12.8．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解：记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B . P (A )＝C 25C 36＝1020＝12，P (BA )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P (BA )P (A )＝25，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5 二项式定理》

构造思维搭载体，突破教学难点--------二项式定理教学设计与思考1、背景描述笔者最近参加了学校组织的青年教师根本功大赛，讲授了“二项式定理〞这节课，在备课过程中，收集了大量的资料，在同组老师悉心帮助下，进行了深入研究。

二项式定理为苏教版选修2-3 第一章第5节第1课时，是在计数原理之后学习的一个重要应用，然而从知识的长远来看，它是开启微分学的一把钥匙，也是对于多项式乘法和知识的开发和拓展，开拓学生的视野，了解辉煌的数学史，激发学生学习的数学兴趣。

本节课的重点是二项式的定理发现，形成过程，二项式定理的简单应用。

难点在于二项式系数的生成。

就二项式定理这一内容而言，就是一个展开式，毕业后初次遇到这个课题，笔者竟一时想不起具体的公式，然后看到了问题是=？，理性的思考了下这个问题，应该是用从特殊到一般，归纳推理的解决方案。

所以笔者就想假设干年后学生大概也是跟我相差无几，那么本节课能留给学生什么呢？我想培养学生一种解决问题的能力作为重要，所以课上的重点是二项式定理的形成过程。

对于突破二项式系数的生成这一难点，可以构造思维搭载体，帮助学生建立系数生成的过程，理解二项式系数生成的本质者打算采用探究式教学的方法，主要采用对话和引导的方式，本节课力图表达“过程〞和其中蕴含的数学思想方法，以，的展开式为知识的生长点，要得到的展开式，再加上刚学过的推理证明，学生自然会想到用特殊到一般，归纳猜测的方法，归纳猜测展开式，再加以证明。

在推测一般展开式的规律时，可以猜测说出，项数，项的结构特征，系数规律难以发现，思路受阻后，教师启发学生转换思维角度，重新审视问题，构造思维的搭载体，把观察结论的规律转换为探寻多项式乘法的形成过程规律，以为例，分析每项的产生及得到每一项的方法数，引出用组合数表示展开式各项的系数，突破教学难点，在二项式定理的发现过程中，积极调动学生的思维，留给学生充分的思维量，让学生自主发现二项式定理的形成。

2、片段实录1.创设情境激发兴趣师：恩格斯说：“牛顿由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学。

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.5.2 二项式系数的性质及应用-缺答案

1．5.2 二项式系数的性质及应用[对应学生用书P21](a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m n；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ；当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C rn ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n 2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n和C n ＋12n(两者相等)最大． 3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[对应学生用书P22][例1] 已知0127(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r＝(－1)r 26－r C r 6x 6－r，∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n ＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－243. (3)a 1＋a 2＋a 3＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：96．在⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 25的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x 235－r (3x 2)r ＝3r C r5x 10＋4r3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大， T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] [思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明． [精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C n n ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n . 以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除．证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C 051·4951＋C 151·4950·2＋…＋C 5051·49·250＋C 5151· 251－1.易知除C 5151·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017717＋C 117·716＋…＋C 1617·7＋C 1717－1 ＝7·(C 017·716＋C 117·715＋…＋C 1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n,33n －26n －1可被676整除．证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除．当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n ≥2时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝(26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262＋C n －1n ·26＋1)－26n －1 ＝26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n·262. 每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n,33n －26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，则⎝⎛⎭⎫x ＋128的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫12r ，令r ＋1＝4，得r ＝3，则第四项为T 4＝C 38x 5⎝⎛⎭⎫123＝7x 5.答案：7x 52．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x ＝1,2n ＝64⇒n ＝6. 由T r ＋1＝C r 6·36－r·x 6－r 2·(－1)r ·x －r 2＝(－1)r C r 636－r x 3－r，令3－r ＝0⇒r ＝3. 所以常数项为－C 3633＝－20×27＝－540.答案：－5403．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中只有第6项的系数最大，则n ＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n ＝10.答案：104．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________.解析：(1＋x )10＝[2－(1－x )]10其通项公式为：T r ＋1＝C r 10210－r(－1)r (1－x )r ，a 8是r ＝8时，第9项的系数．所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.答案：1805．若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C48(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C38(－x)3＝－56x3，T6＝C58(－x)5＝－56x5.8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1·8n＋1－8n－9n＋1＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．。

苏教版数学高二- 选修2-3教案 1.3《组合》

1.2.2 组合教学设计一、教学目标1.理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合；2.明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；3.了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系；4.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.二、教学重难点重点：明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

难点：理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算三、教学过程一、数学情境情境1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？情境2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、学生活动引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．三、数学建构1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同.2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列 dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；②求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：mn A ＝mnC mm A ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=(,N ,)n m m n *∈≤且.规定: 01n C =.四、数学运用例1 判断下列问题是组合还是排列：（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合？例2 用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3 计算：（1）47C ；（2）710C .（1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例4 求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C mn -=，111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -.∴11+⋅-+=m n mn C mn m C . 例5 设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值.解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈，∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．五、课堂小结组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理六、课后同步检测。

高中数学(二项式定理)教案3 苏教版选修2-3 教案

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n= 现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算。
（3）各二项式系数的和
在中令得.Fra bibliotek例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2、用二项式定理证明：9910-1能被1000整除
例3、已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．
巩固练习：书本35页， 1， 2， 3， 4， 5
课外作业：第36页习题1.5 9，11，12
教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.(a+b)n的展开式的二项式系数
2.组合数的性质

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.2 二项式系数的性质及应用》4

1.5.2二项式系数的性质及应用教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2．初步了解用赋值法解决二项式系数问题；3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力．教学重点：二项式系数的性质．教学难点：对二项式系数的理解和应用．教学过程一、复习回顾1．二项式定理，二项式展开式的通项及二项式系数．二、建构数学1．二项式系数表（杨辉三角）．(a＋b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3…时，如下表所示：(a＋b)1……………………1 1(a＋b)2…………………1 2 1(a＋b)3………………1 3 3 1(a＋b)4……………1 4 6 4 1(a＋b)5…………1 5 10 10 5 1(a＋b)6………1 6 15 202115 6 1……2．你能发现什么特点？（1）（2）（3）（4）三、数学理论：以上数据的特点：（1）每一行的二项式系数是对称的．（2）每行两端都是1，而且除1外每个数都等于它肩上两个数之和．（3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．（4）每行的二项式系数和等于2n总结：(a＋b)n二项式系数：Cn，1Cn，2Cn，…C rn，…C nn有如下性质：（1）C C -m n mn n ＝；（2）11C C C-+m m mn n n＋＝；（3）当12nr－＜时，1C Cr rn n+＜；当12nr－＞时，1C C+r rn n＜；即n为偶数时，第12n＋项的二项式系数最大；n为奇数时，第12n＋和第112n＋＋项的二项式系数最大．（4）012C C C C2n n n n n n⋅⋅⋅＋＋＋＝．四、数学应用知识巩固：1.在10)1(x+的展开式中，二项式系数最大为；2. 在11)1(x+的展开式中，二项式系数最大为 .3.指出15)2(ba+的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数.4.已知nxx)1(43+的展开式中只有第10项系数最大，求第五项思考：将“只有”去掉，结果怎样？例1 证明：在(a ＋b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和．练习：（1）1010210110...C C C +++= （2）1111511311111...C C C C ++++=例2、已知7722107...)21(x a x a x a a x ++++=+，求（1）0a（2）721...a a a +++（3）76543210a a a a a a a a -+-+-+-（4）7531a a a a +++（5）6420a a a a +++变式1:已知7722107...)21(x a x a x a a x ++++=-，求（1）0a（2）721...a a a +++（3）76543210a a a a a a a a -+-+-+-（4）7531a a a a +++（5）6420a a a a +++（6）||...||||||7210a a a a ++++变式2：设()44332210432x a x a x a x a a x ++++=+求下列各式的值 ()432101a a a a a ++++ ()43212a a a a +++()()()23124203a a a a a +-++五、回顾反思1．二项式系数的性质；2．应用二项式定理证明组合恒等式；3．利用赋值法求项系数和的问题。

高中数学(排列)教案1 苏教版选修2-3 教案

丙
副班长乙丙甲丙甲乙
即共有6种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
事实上，这6种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序排成一列（班长排在第1位，副班长排在第2位）而得到的。
数学建模
一般地，从n个不同的元素中取出m（m﹤n）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
教学难点
理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列.
掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列。
教学过程：
学生探究过程：
（1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少种不同的结果？
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？
排列的定义中包含两个基本内容：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同.
例题讲解
例1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列。
课题
1.2排列

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.2 二项式系数的性质及应用》

3．4函数与方程3．方程的根与函数的零点[学习目标]1理解函数零点的定义，会求函数的零点2掌握函数零点的判定方法3了解函数的零点与方程的根的联系．[知识链接]考察以下一元二次方程与对应的二次函数：1方程2－2－3＝0与函数＝2－2－3；2方程2－2＋1＝0与函数＝2－2＋1；3方程2－2＋3＝0与函数＝2－2＋3你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与轴交点的坐标吗？答案[预习导引]1．函数的零点对于函数＝f，我们把使f＝0的实数叫做函数＝f的零点．2．方程、函数、图象之间的关系；方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与轴有交点⇔函数＝f有零点．3．函数零点存在的判定方法如果函数＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa·fb＜0那么，函数＝f在区间a，b内有零点，即存在c∈a，b，使得fc＝0，这个c也就是方程f＝0的根．温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否那么不一定存在零点；反过来，假设函数＝f在区间a，b内有零点，那么fa·fb＜0不一定成立．要点一求函数的零点例1判断以下函数是否存在零点，如果存在，请求出．1f＝2＋7＋6；2f＝1－og2＋3；3f＝2－1－3；4f＝错误!解1解方程f＝2＋7＋6＝0，得＝－1或＝－6，所以函数的零点是－1，－62解方程f＝1－og2＋3＝0，得＝－1，所以函数的零点是－13解方程f＝2－1－3＝0，得＝og26，所以函数的零点是og264解方程f＝错误!＝0，得＝－6，所以函数的零点为－6规律方法求函数零点的两种方法：1代数法：求方程f＝0的实数根；2几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数＝f的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．跟踪演练1判断以下说法是否正确：1函数f＝2－2的零点为0,0，2,0；2函数f＝－12≤≤5的零点为＝1解1函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f＝2－2的零点为0和2，故1错．2虽然f1＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f＝－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故2错．要点二判断函数零点所在区间例2在以下区间中，函数f＝e＋4－3的零点所在的区间为答案C解析∵f错误!＝错误!－2＜0，f错误!＝错误!－1＞0，∴f错误!·f错误!＜0，∴零点在错误!上．规律方法1判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，假设f图象在[a，b]上连续，且fa·fb＜0，那么f在a，b上必有零点，假设fa·fb ＞0，那么f在a，b上不一定没有零点．跟踪演练2函数f＝e＋－2所在的一个区间是A．－2，－1 B．－1,0 C．0,1 D．1,2答案C解析∵f0＝e0＋0－2＝－1＜0，f1＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f0·f1＜0，∴f在0,1内有零点．要点三判断函数零点的个数例3判断函数f＝n ＋2－3的零点的个数．解方法一函数对应的方程为n ＋2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数＝n 与＝3－2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象如图．由图象知，函数＝3－2与＝n 的图象只有一个交点．从而n ＋2－3＝0有一个根，即函数＝n ＋2－3有一个零点．方法二由于f1＝n 1＋12－3＝－2＜0，f2＝n 2＋22－3＝n 2＋1＞0，∴f1·f2＜0，又f＝n ＋2－3的图象在1,2上是不间断的，所以f在1,2上必有零点，又f在0，＋∞上是递增的，所以零点只有一个．规律方法判断函数零点个数的方法主要有：1对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；2由f＝g－h＝0，得g＝h，在同一坐标系下作出1＝g和2＝h的图象，利用图象判定方程根的个数；3解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．跟踪演练3函数f＝2||－1的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析令f＝2||－1＝0，可得||＝错误!设g＝||，h＝错误!，在同一坐标系下分别画出函数g，h的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f有2个零点．1．函数＝4－2的零点是A．2 B．－2,0答案D解析令＝4－2＝0，得＝错误!∴函数＝4－2的零点为错误!2．对于函数f，假设f－1·f3＜0，那么A．方程f＝0一定有实数解B．方程f＝0一定无实数解C．方程f＝0一定有两实根D．方程f＝0可能无实数解答案D解析∵函数f的图象在－1,3上未必连续，故尽管f－1·f3＜0，但未必函数＝f 在－1,3上有实数解．3．函数＝g －错误!的零点所在的大致区间是A．6,7 B．7,8C．8,9 D．9,10答案D解析因为f9＝g 9－1＜0，f10＝g 10－错误!＝1－错误!＞0，所以f9·f10＜0，所以＝g －错误!在区间9,10上有零点，应选D4．方程2－2＝0的解的个数是A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析在同一坐标系画出函数＝2，及＝2的图象，可看出两图象有三个交点，故2－2＝0的解的个数为35．函数f＝2－2＋a有两个不同零点，那么实数a的范围是________．答案－∞，1解析由题意可知，方程2－2＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜11在函数零点存在定理中，要注意三点：1函数是连续的；2定理不可逆；3至少存在一个零点．2．方程f＝g的根是函数f与g的图象交点的横坐标，也是函数＝f－g的图象与轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的根底．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.2 二项式系数的性质及应用》0

课题：二项式系数的性质及应用〔第一课时〕授课教师：江苏省板浦高级徐勇教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3一、内容与内容解析1本课地位与作用本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的根底上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的根底上进行的．对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，稳固二项式定理，稳固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用．从知识发生开展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然〞，他们更应渴望的是“知其所以然〞．2本课内容剖析二项式系数的性质及应用是普通高中课程标准实验教科苏教版选修2-3第1章第5节第2课时的内容．以前面学习的第一节的二项式定理为根底，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般〞的数学思想方法解决问题的能力．这一过程不仅有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的探究精神与理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，开展其数学应用意识、创新精神．二、目标与目标解析1．通过观察二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法．2．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力．教学重点：归纳二项式系数的性质；教学难点：从函数的角度，理解二项式系数的增减性与最大值，证明．三、学情分析1．知识层面：学生已经学习了两个计数原理、二项式定理和组合数的性质等，已经具备了对二项式局部性质的归纳和证明的能力．2．思想方法角度：高二的学生也已经根本熟悉函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论思想，为突破本节课的难点奠定了根底．3．学习方式方面：通过在教学中开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题．学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够突破完成二项式系数的性质的证明这个难点．四、教学策略分析本节课教学上应从学生的认知规律出发，遵循知识的发生、开展过程，让学生屡次经历探究过程．教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体情形，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，从中学习解决问题的一般方法．首先，根据教学内容的特点，结合数学史知识，利用“杨辉三角〞这个历史材料，对学生进行情感教育并以此激发学生学习的热情．接下来，依据知识的发生开展过程和学生的思维规律，从布置课前探究，到课上合作交流完成规律展示，再从函数角度理解并证明性质，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性和深刻性，为不同认知根底的学生提供合理的学习时机和学习反应的时机．其中，按照“观察规律——归纳性质——推理论证——反应升华〞的环节来理解和掌握内容．即学生课前自主探究，课堂上分组讨论的方式，教师采用启发式提示语，启发观察和问题引导的方式，引导学生主动参与提出问题和解决问题的过程，由师生共同完成对结论的推理证明．五、教学过程1课前预习：预习并查阅“杨辉三角〞的历史资料，结合二项式定理谈谈对杨辉三角的认识；【设计意图】引导学生开展课前预习并探究活动，既能了解“杨辉三角〞的历史及其包含的规律，弘扬我国古代数学文化；又能节约课堂时间，提高学生动手动脑能力、归纳能力与探究能力．2 复习导入回忆旧识：二项式定理及其特例、二项展开式的通项公式、二项式系数等根底知识【设计意图】通过回忆，然后温故而知新，基于已经掌握的相关知识，找到新知的生长点．3探索新知【活动一】观察填表、介绍历史计算展开式中二项式系数填入到表格中：【设计意图】学生通过填表的活动，从特殊到一般，进而教师启发学生探究二项式系数的更多规律，进而引发思考二项式系数的性质．通过对“杨辉三角〞的介绍，适时补充数学史知识，增强民族自豪感，同时借助杨辉三角的直观观察，让学生更好地探究二项式系数的性质．【活动二】合作交流、探究性质在观察二项式系数表，探究二项式系数的数字规律．先让同学说自己的发现和想法，并尝试证明，由同学代表展示成果．【设计意图】以学生为主体，让学生先来，教师适度引导，暴露学生的不同想法，展示学生不同的成果，让不同的学生获得与体验学习成功的成就感．【活动三】构建模型、证明性质问题1证明．思路一：直接法用阶乘将组合数展开，从右向左证．左边=右边思路二：间接法思考问题：展开式中项的系数是；展开式中项的系数可以表示为；通过以上的两个问题，你联想到了二项式系数的哪个性质？还用以怎么证明？【设计意图】用阶乘展开组合数公式进行直接证明，学生自然易想好操作．思考问题，由教师给出，通过算两次的思想，构建一个模型，以新颖的视角证明性质，表达知识的灵活应用．问题2类比函数或数列，探究并证明展开式的二项式系数的增减性与最大值．请思考：①展开式的二项式系数按顺序排成一列，可以看成一个数列吗？可以看成是以为自变量的函数吗？它的定义域是什么？②画出和7时函数的图象，并观察分析他们的对称性、增减性与最大值．③对于刚刚的特殊情形，结合观察的结论，能否给出一般方法？对于一般情形，又如何证明二项式系数的增加性及最大值？【设计意图】运用类比思想，从函数与数列探究单调性的经验根底，分析与论证二项式系数的性质，从几何直观进行数学抽象，利用数形结合思想，表达特殊到一般的数学思想．分层次设计问题，让学生的思维拾级而上．问题3．证明：展开式的各二项式系数的和．变形：证明展开式的奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和．旧题新探：设集合中有个元素，那么该集合的子集个数为个．【设计意图】运用二项式定理来证明，体会赋值法这个典型．运用新知识解释老问题，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和照应，将学生思维升华．4 稳固练习1．在展开式中，与第五项二项式系数相同的项是第几项？2．在展开式中，二项式系数最大的项是第几项？3 求展开式中各二项式系数的和．变形：求展开式中各系数的和．【设计意图】通过反应练习，及时稳固新知．通过变形，制造认知冲突，激发探究的欲望．6小结作业【小结】通过本节课的学习，从知识与思想方法等角度总结．1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出，性质有4个．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择那么需根据所求的展开式系数和特征来确定．3．注意区分开二项式系数与项的系数．【作业】1课本练习2，3，42课后延伸：探究“杨辉三角〞与二项式系数的问题通过查阅资料，探究与发现“杨辉三角〞与二项式系数的更多微妙，整理成小论文的形式．【设计意图】学生通过对本节课的总结与反思，回忆所学知识与数学思想方法．通过作业，及时稳固新知识，延伸活动，让探究继续，培养学生自主学习的习惯．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理》

二项式定理一、教学目标：1．知识技能：〔1〕理解二项式定理是代数乘法公式的推广；〔2〕理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

3．情感、态度、价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨；二、教学重点、难点重点：用计数原理分析的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要根底．这局部知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的根底．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比拟抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的时机让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的时机，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的开展和创造意识，以使他们能在再创造的气氛中学习教学过程：一、复习引入：由牛顿引出二项式定理得由来，沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究和发现二项式定理的过程。

牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？让我们一起回1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的?无穷算术?时，引发了许多思考…1学生计算以下式子⑴；⑵⑶，2、引导学生观察、的展开式，发现规律。

2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第3章3.2 回归分析含答案

1．线性回归模型(1）随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．(2)随机误差产生的主要原因①所用的确定性函数不恰当引起的误差；②忽略了某些因素的影响；③存在观测误差．(3)线性回归模型中a，b值的求法y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型．a，b的估计值为a∧，b∧，则错误!（4）回归直线和线性回归方程直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a∧称为回归截距，b∧称为回归系数,y∧称为回归值．2．样本相关系数r及其性质（1）r＝错误!．（2）r具有以下性质①|r|≤1．②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强．③|r|越接近于0，x,y的线性相关程度越弱．3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤（1）提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系．(2)如果以95％的把握作出判断,那么可以根据1－0。

95＝0。

05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0。

95＝0。

05称为检验水平）．(3）计算样本相关系数r．（4）作出统计推断:若｜r|〉r0。

05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r｜≤r0。

05，则没有理由拒绝原来的假设H0,即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．2．通过回归方程y∧＝a∧＋b∧x可求出相应变量的估计值．3．判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图，但在作图中,由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．[例1] 假设关于某设备的使用年限x（年)和所支出的维修费用y（万元)有如下的统计资料：x23456y 2.23。

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.3 第二课时组合的应用-缺答案

第二课时组合的应用[对应学生用书P15][例1]队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨]特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析](1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通]解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．[例2](1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨]解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析]法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通]解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C420＝20×19×18×17＝4 845个．4×3×2×1答案：4 8454．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：120二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)．。

2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：第3章章末小结知识整合与阶段检测-缺答案

[对应学生用书P50]一、独立性检验1．独立性检验的思想及方法独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量X 的含义，可以通过概率来评价假设不合理程度．2．独立性检验的一般步骤 (1)提出假设H 0；(2)根据样本数据列2×2列联表，计算χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )；(3)比较χ2与临界值的大小并作出判断．二、回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．建立回归模型的基本步骤： (1)确定两个变量； (2)画出散点图； (3)进行相关系数检验；(4)确定线性回归方程类型，求出回归方程．建立回归模型的基本步骤，不仅适用于线性回归模型，也适用于非线性回归模型的建立．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把正确答案填在题中横线上) 1．下列有关线性回归的说法①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归直线得到具有代表意义的线性回归方程；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程其中错误的是________．解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程．答案：④2．下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归直线必过点________.解析：∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，∴样本点的中心为(1.5,4)，而回归直线必过样本点的中心，故必过(1.5,4)．答案：(1.5,4)3．对两个变量y 和x 进行线性相关性检验，已知n 是观察值组数，r 是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0，则变量y 和x 具有线性相关关系的是________．(填序号)解析：判断变量y 与x 是否具有线性相关关系时，观察值组数n 不能太小．若y 与x 具有线性相关性，则相关系数|r |≥0.75，故②④错．答案：①③4．由线性回归直线方程y ∧＝4.75x ＋157，当x ＝28时，y ∧为________．解析：将x 的值代入回归直线方程得估计值y ∧＝4.75×28＋157＝290.答案：2905．一家保险公司调查其总公司营业部的加班情况，收集了10周中每周加班工作时间y (小时)与签发保险单数目x 的数据如下表所示：已知用最小二乘法估计求出的线性回归方程的斜率为0.003 585，则线性回归方程为________________________________________________________________________．解析：线性回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧过样本中心点(x －，y －)，故将x －，y －求出代入即可．答案：y ∧＝0.118 2＋0.003 585x6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表，则喜不喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为________.解析：假设H 0：喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少没有关系，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝50×(18×15－9×8)227×23×26×24≈5.06，对照临界值表，当假设成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系．答案：97.5%7．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是________．(填序号) ①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．解析：由回归分析、独立性检验的意义知，回归分析与独立性检验都是研究两个变量之间的相关性，但方法与手段有所不同，研究角度不同．由其意义知，③正确．答案：③8.如图，有5组数据对(x ，y )，去掉哪组数据后剩下的4组数据的线性相关程度最大________．解析：由散点图可知，除D 之外的其余各点近似地在某条直线附近，而D 点则偏离这一直线．故应去掉D .答案：D9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.解析：由题意可知x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ∧＝－2.又回归方程y ∧＝－2x ＋a ∧过点(10,40)，故a ∧＝60，所以当x ＝－4时，y ∧＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6810．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的2×2列联表：试回答吃零食与性别有关系吗？(“有”或“没有”)________．解析：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝85(140－480)217×68×45×40＝≈4.722>3.841.故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关．答案：有11．变量x ，y 具有线性相关关系，当x 的取值分别为8,12,14和16时，通过观测知y 的值分别为5,8,9和11，若在实际问题中，y 的预报值最大是10，则x 的最大取值不能超过________．解析：因为x ＝16时，y ＝11；当x ＝14时，y ＝9，所以当y 的最大值为10时，x 的最大值属于区间(14,16)．答案：1512．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由某散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y∧＝－0.7x ＋a ∧，则该厂6月份的用水量约为________．解析：∵x ＝2.5，y ＝3.5，b ∧＝－0.7， ∴a ∧＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.∴当x ＝6时，y ∧＝－0.7×6＋5.25＝1.05. 答案：1.05百吨13．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，则l 1与l 2的位置关系是____________．解析：每条回归直线都过样本的中心(x ，y )．答案：l 1与l 2有公共点(x ，y )14．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则________．(填序号)①r 2＜r 1＜0；②0＜r 2＜r 1；③r 2＜0＜r 1；④r 2＝r 1.解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1.答案：③二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．解：由表中数据画出散点图，如图所示．由散点图可知热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．16．(本小题满分14分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于5的整数，则a 取何值时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系？解：查表可知，要有90%的把握认为x 与y 之间有关系，则χ2≥2.706，而 χ2＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由χ2≥2.706，得a ≥7.19或a ≤2.04. 又a ＞5，且15－a ＞5，a ∈Z ，即a ＝8,9.故a 为8或9时，有90%的把握认为x 与y 之间有关系．17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能得出什么结论？解：根据列联表中的数据，得到χ2＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103＝10.76.因为10.76>7.879，所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．18．(本小题满分16分)某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高约为多少？解：由题意父亲身高x cm 与儿子身高y cm 对应关系如下表：则x －＝173＋170＋1763＝173，y ＝170＋176＋1823＝176，∑3i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，∑3i ＝1(x i －x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18. 所以b ∧＝1818＝1. 所以a ∧＝y －b ∧x ＝176－173＝3.所以线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧＝x ＋3. 所以可估计孙子身高为182＋3＝185(cm)．19．(本小题满分16分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． (1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)列联表如下：因为χ2＝100×(30×25－20×25)250×50×55×45＝10099≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．20．(本小题满分16分)某运动员训练次数与运动成绩之间数据关系如下：(1)作出散点图； (2)求出回归方程；(3)计算相关系数，并利用其检验两变量的相关关系的显著性； (4)试预测该运动员训练47次和55次的成绩．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)计算得x ＝39.25，y ＝40.875，b ∧≈1.0415，a ∧≈－0.004，所求回归方程为y ∧＝1.0415 x －0.004. (3)计算得∑8i ＝1x 2i ＝12 656，∑8i ＝1y 2i ＝13 731， r ＝∑8i ＝1x i y i －8x －y－∑8i ＝1x 2i －8x2∑8i ＝1y 2i －8y2＝345.2512 656－8×39.252×13 731－8×40 8752≈345.25347.79≈0.993，查表得r 0.05＝0.707，r >r 0.05，由此可得出，训练次数与运动成绩有较强的线性相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用回归方程y＝1.041 5x－0.004作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 本章回顾》

随机变量及其分布列摸球中的分布一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个。

现从中任意抽取3个球，1、求恰好抽出两个2号球的概率2、求至少抽出两个2号球的概率变式一一盒子中有大小相同的球10 个，其中标号为1的球3个，标号为2 的球4个，标号为3 的球3个。

现从中不放回地依次取出两个球1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差变式二：二项分布一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球1、求恰好抽出两个2号球的概率2、求至少抽出两个2号球的概率变式三：一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号为2的球2个，现从中任取一个球，假设取到标号2的球就不再放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数X 的均值求概率1、在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，那么经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率〔〕5 15 C 2/5 152、10件产品，其中3件次品，不放回抽取3次，第一次抽到是次品，那么第三次抽次品的概率是_____。

6．某商店试销某种商品2021获得如下数据：试销结束后假设该商品的日销售量的分布规律不变，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，假设发现存量少于2件，那么当天进货补充至3件，否那么不进货，将频率视为概率．1求当天商店不进货的概率；2记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 2.3.1 条件概率》

条件概率
一、教学目标
1．了解条件概率的概念．重点
2．掌握条件概率的两种方法．重点
3．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．难点二、知识梳理，新课引入
三、合作探究，拓展新知
方法点拨：1．本题第3问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
1在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即PB|A．
2在原样本空间Ω中，先计算P AB，P A，再利用公式PB|A＝错误!计算求得PB|A．
3条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求PB|A，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即
PB|A＝错误!＝错误!＝错误!
四、练习回顾，巩固提高
方法指导：
1．若事件B，C互斥，则PB∪C|A＝PB|A＋PC|A．
2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
五、梳理总结，构建体系
[构建·体系]
引导学生总结反思：
1我学到了什么
2我还存在哪些疑问
3我还想知道什么。

【配套K12】2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 3.1 数系的扩充

[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x1－y2＋y1－x2＝1.解析：要使x1－y2＋y1－x2＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y1－x2，即2y1－x2＝1－x2＋y2.只需使(1－x2－y)2＝0，即1－x2＝y，∴x2＋y2＝1.答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n n x n ≥n ＋1，故a ＝n n .答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，① 所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，② 由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n ＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1，则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1①而(2－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1，即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1. S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立，即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。