1.3组合(3)备课笔记
2020-2021学年数学北师大版选修2-3学案：1.3 组合 Word版含解析
§3组合知识点一组合的定义[填一填]一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题．[答一答]1．如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求，寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题．知识点二 组合[填一填]我们把从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．[答一答]2．如何理解记忆组合数公式？提示：在记住排列数公式的基础上，分母再除以m ！就得组合数公式． 知识点三 组合数的性质[填一填]性质1：C m n ＝C n －m n. 性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. [答一答]3．如何理解和记忆组合数的性质．提示：从n 个元素中取m 个元素，剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －m n .从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n，第二类不含有此元素a ，则为C m n ，根据分类加法计数原理得C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n.1．组合的定义(1)给出的n 个元素是互不相同的，且从n 个元素中抽取m 个元素是没有重复抽取情况的，因而这m 个元素也是互不相同的，这就决定了m ≤n .(2)组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．(3)由定义可知，两个组合相同，只需这两个组合的元素相同即可．2．组合数我们可以从集合的角度来理解，从n 个不同元素中取出m 个元素并成一组是一个组合，任取m 个元素组成的组合的全体构成一个集合，例如：从3个不同元素a ，b ，c 中任取2个的所有组合构成的集合为：A ＝{ab ，ac ，bc }．所谓组合数就是求这个集合的元素的个数．从集合中可以清楚地了解组合之间的互异性．3．组合数公式(1)组合数公式的推导应注意以下两点：①遵循从特殊到一般的原则，重点研究了从3个不同元素中取出2个元素的组合数．推导过程中采用了穷举法．②遵循以退为进的原则，先建立了组合与排列之间的对应关系，依据分步计数原理，把求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数；求全排列数．从而利用这种对应关系和已知的排列数公式得到组合数公式．我们应理解和掌握这种分步解决问题的思路，它在解决排列组合应用题时非常重要．(2)组合数公式的应用对于组合数公式我们强调：第一个公式体现了组合数与相应排列数的关系，当n 确定而m 变化时，组合数与m 的一种函数关系．第二个公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！的主要作用有： ①当m ，n 较大时，可借助计算器，利用这个公式计算组合数比较方便．②对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用此式．4．组合数的两个性质(1)性质1：C m n ＝C n －m n①从n 个元素中取出m 个元素，相当于从这n 个元素中留下n －m 个元素，所以C m n ＝C n －m n.这体现了“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．②性质表达式的特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标．③性质的作用：(Ⅰ)当m >n 2时，计算C m n 可转化为计算C n －m n，简化运算；(Ⅱ)C x n ＝C y n ⇒x ＝y 或x ＋y ＝n .(2)性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n，①从含有a的n＋1个不同的元素中取出m个元素的组合数是C m n＋1这些组合可以分为两类：第一类：取出的m个元素中含有元素a，相当于个．第二类：从不含a的n个不同的元素中取出m－1个元素，共有C m－1n取出的m个元素中不含元素a，相当于从不含a的n个不同的元素中取出.这体现了“含m个元素，共有C m n个．根据加法原理，得到C m n＋1＝C m n＋C m－1n与不含某元素”的分类思想．②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数．③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的具体应用．题型一组合的概念[例1](1)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位去参加学习交流会，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出所有的可能情况；(2)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位分别到A，B两个班级当班主任，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出所有的可能情况．[思路探究](1)两位老师参加学习交流会没有顺序要求，是组合问题；(2)由于班级不一样，若选出两位老师后，安排班级不同时，结果不一样，所以是排列问题．[解](1)该问题为组合问题，所有情况为：甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共6种情况．(2)该问题为排列问题，班级A，B的班主任的所有情况为：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12种情况．规律方法用组合的知识解简单的应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与顺序有关，而组合问题与顺序无关．若顺序对结果无影响，则是组合问题，若顺序对结果有影响，则是排列问题．判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．题型二 有关组合数的计算或证明[例2] (1)已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345，求n . (2)证明：①C n m ＝m m －n C n m －1， ②C k n ·C m －k n －k ＝C m n C k m .[思路探究] 充分利用组合数公式及性质解题，并注意有关限制条件．[解] (1)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3，即(n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)5！＝145·(n －3)(n －4)(n －5)3！， 化简整理得n 2－3n －54＝0.解此二次方程得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)．∴n ＝9. (2)证明：①m m －n C n m －1＝m m －n ·(m －1)！n ！(m －1－n )！＝m ！n ！(m －n )！＝C n m . ②∵C k n ·C m －k n －k ＝n ！k ！(n －k )！·(n －k )！(m －k )！(n －m )！＝n ！k ！(m －k )！(n －m )！. C m n ·C k m ＝n ！m ！(n －m )！·m ！k ！(m －k )！＝n ！k ！(n －m )！(m －k )！， ∴C k n ·C m －k n －k ＝C m n ·C k m .规律方法 解和组合数有关的方程、不等式、求值、证明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条件．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C n n ＋1·C n －1n . 解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2(6＋5×42×1)＝32. (3)方法一：原式＝C n n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)！n ！·n ＝(n ＋1)·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 方法二：原式＝(C n n ＋C n －1n )·C n －1n ＝(1＋C 1n )·C 1n ＝(1＋n )·n ＝n 2＋n . 题型三 无约束条件的组合问题[例3] 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路探究] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值．[解] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35. 规律方法 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”其次要看这件事是分类完成还是分步完成．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．题型四 有约束条件的组合问题[例4] 要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？(1)A ，B ，C 三人必须入选；(2)A ，B ，C 三人都不能入选；(3)A ，B ，C 三人只有一人入选；(4)A ，B ，C 三人至少一人入选；(5)A ，B ，C 三人至多两人入选．[思路探究] 判断是否与顺序有关，确定是否为组合问题．[解](1)只需再从A，B，C之外的9人中选择2人，所以有方法C29＝36(种)．(2)由于A，B，C三人都不能入选，所以只能从余下的人中选择5人，即有选法C59＝126(种)．(3)可分两步：先从A，B，C三人中选出一人，有C13种选法；再从其余的9人中选择4人，有C49种选法．所以共有选法C13C49＝378(种)．(4)(直接法)可分三类：①A，B，C三人只选一人，则还需从其余9人中选择4人，有选法C13C49＝378(种)；②A，B，C三人中选择两人，则还需从其余9人中选择3人，有选法C23C39＝252(种)；③A，B，C三人都入选，则只需从余下的9人中选择2人，有选法C33C29＝36(种)．由分类加法计数原理，共有选法378＋252＋36＝666(种)．(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人都不入选的情况，共有选法C512－C59＝666(种)．(5)(直接法)可分三类：①A，B，C三人均不入选，有C59种选法；②A，B，C三人中选一人，有C13C49种选法；③A，B，C三人中选两人，有C23C39种选法．由分类加法计数原理，共有选法C59＋C13C49＋C23C39＝756种．(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有选法C512－C29＝756种．规律方法解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．(1)四面体的一个顶点为A ，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，有多少种不同的取法？解：(直接法)如题图，含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有3C 35种取法；含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A 共面三点的取法有3C 35＋3＝33(种)．(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( C )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：本题考查了利用组合知识来解决实际问题． 方法一：C 316－4C 34－C 24C 112＝16×15×146－16－72＝560－88＝472. 方法二：C 04C 312－3C 34＋C 14C 212＝12×11×106－12＋4×12×112＝220＋264－12＝472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重．题型五 分配问题[例5] 有6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(组)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本．[思路探究](1)、(2)两题可设想甲、乙、丙三人依次如数取书；(3)则在(2)的基础上甲、乙、丙三人全排列分配；由等概率思想，(4)为(1)的A33分之一；(5)为(3)的A33分之一．[解](1)每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有C26种，再由乙在余下的书中取2本，取法有C24种，最后由丙取余下的2本书，有C22种取法，由分步计数原理．所以共有分法数：N＝C26C24C22＝90.所以一共有90种取法．(2)选取方法同(1)，所以共有分法数N＝C16C25C33＝60.所以一共有60种取法．(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的机会相等，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有分法数：N＝C16C23C33·A33＝360.所以一共有360种选法．(4)由于三堆的位置并无差别，可在(1)的情况下，得共有分法数为：N＝C26·C24C22A33＝15.所以一共有15种分法．(5)类似(4)与(1)，考虑本题与(3)的差别，所以共有分法数：N＝C16C25C33＝60(种)．所以一共有60种分法．规律方法本题利用计数原理和组合知识，解决了分配问题．解决此类问题关键是实现合理的转化，最基本最简单的情形是分到具体的人，并且各人分的数目确定，其他的都要向这种情形转化．现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习，每个车间至多去2人，有多少种不同的方法？解：本例要求5个人去四个车间，每个车间至多去2人，但是并没有强调每个车间必须去几人，因此，本例可分为如下两类：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，或者，有两个车间各去2人，一个车间去1人，一个车间不去人．依题意，至少有一个车间去2人，至多有两个车间各去2人，因此，实习方案可分为两类：第一类：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，所以，先在5个人中任选2人去一个车间，有C25种方法；将此2人看做1个元素，连同其余3个人，共4个元素分别到四个车间，有A44种方法，∴共有C25·A44＝240(种)．第二类：有两个车间各去2个人，一个车间去1个人，一个车间不去人，因此，先在5个人中确定1个人去一个车间，并在四个车间中选一个车间插入此人，有C15·C14种方法；然后在其余4个人中选2人到一个车间，另2人则自然到另一车间，并在剩下的三个车间中选两个车间来安排他们，有C24·C22·C23(种)方法，∴共有C15·C14·C24·C22·C23＝360(种)方法．由分类加法计数原理可知，所求方法共有240＋360＝600(种)．题型六排列、组合的综合应用[例6]有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒内不放球，有多少种放法？[思路探究](1)可直接用分步计数原理．(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)该问题事实上与问题(2)是同一个问题．(4)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必须放入球，有几种放法？”[解](1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步计数原理知，共有放法：C14·C24·C13·A22＝144(种)．(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．(4)先从四个盒子中任意拿走两个有C24种拿法，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法．因此共有C34·C12＋C24＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：C24·14＝84(种)．规律方法该例的分析过程比较重要，当问题从某个方面入手较困难时，可从另外一个角度去思考．该例是用直接法求解．有几个小题也可用间接法．请同学们试试．(1)我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为(C)A．72 B．108C．180 D．216解析：甲需从另外3个选一个，有C13种方法，其余可分两类，第一类：除同学甲外的另四名同学分别参加四个社团，共有A44种，第二类：其余四名同学只参加三个社团，共有C24A33种，所以一共有C13(A44＋C24A33)＝180(种)．(2)从1到9的九个数中取三个偶数和四个奇数，试问： ①能组成多少个没有重复数字的七位数？ ②上述七位数中三个偶数排在一起有几个？③在①中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ ④在①中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C 34种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C 45种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A 77种情况，所以符合题意的七位数有C 34·C 45·A 77＝100 800(个)． ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34·C 45·A 55·A 33＝14 400(个)．③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34·C 45·A 33·A 44·A 22＝5 760(个)．④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空当，共有C 34·C 45·A 44·A 35＝28 800(个)．——误区警示系列——1．组合数公式用错致误[例6] 已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m .[错解] 由已知得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7(7－m )！m ！10×7！，即60－10(6－m )＝(7－m )(6－m )，整理，得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2. [正解] 依题意知m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N }． 由已知得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7(7－m )！m ！10×7！，整理，得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2. ∵m ∈[0,5]，∴m ＝2.[辨析] 这是一个关于m 的含组合数的方程．错解中，转化为关于m 的一元二次方程后，忽略了m 的允许值的范围导致出错．解这类题时，要将C m n 中m ，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．2．概念混淆致误[例7] 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)．[错解一] 分3步完成：第一步：从10人中选出4人，有C 410种方法． 第二步：从这4人中选出2人承担任务甲，有A 24种方法． 第三步：剩下的2人分别承担任务乙、丙，有A 22种方法． 根据乘法原理，不同的选法共有C 410A 24A 22＝5 040种． [错解二] 分3步完成，不同的选法共有C 410C 24C 22＝1 260种．[正解一] 先从10人中选出2人承担任务甲 ；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理，不同的选法共有C 210C 18C 17＝2 520(种)．[正解二] 先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据乘法原理，不同的选法共有C 210A 28＝2 520(种)．[辨析] 错解一的错因是：“排列”“组合”概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即A 24应为C 24.错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即C 22应为A 22.1．解不等式C m －18>3C m 8.解：由8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！，整理得19－m >3m ，所以m >27－3m .所以m >274＝7－14.又因为0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ，所以7≤m≤8，所以m＝7或8.2．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为16.解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况；若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况．由分类加法原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．1．以下四个命题，属于组合问题的是(C)A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：A，B，D与顺序有关，是排列问题，只有C与顺序无关，是组合问题．2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) A．30种B．35种C．42种D．48种解析：方法一：可分为以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C23C14种不同的选法．故不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．方法二：∵事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A或全部选修B”∴两类课程中各至少选一门的选法有：C37－C33－C34＝30(种)．3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，则车票票价的种数是(C)A．1 B．2C．3 D．6解析：从甲、乙、丙三地中任取两个地点则对应着一个票价，故票价应为C 23＝3(种)．4．计算：C 11＋C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110＝55.解析：原式＝1＋2＋3＋4＋…＋10＝10×(1＋10)2＝55. 5．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝13. 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364.又由C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，即(n ＋1)n (n －1)3×2×1＝364，又由n 是正整数，解得n ＝13.6．求证：A 8100＝100A 77·C 799. 证明：∵100·A 77·C 799＝100×7！×99！7！(99－7)！＝100×99！92！＝100！(100－8)！＝A 8100，∴原等式成立．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高中数学 组合 1.3.3 组合的应用导学案 新人教A版选修
高中数学组合 1.3.3 组合的应用导学案新人教A版选修1、3、3组合的应用学习目标：1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2、能够解决一些组合应用问题学习重点：解决一些组合应用问题学习过程一、复习引入：1、组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数、用符号表示、3、组合数公式的推导：（1）一般地，求从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝、（2）组合数的公式：或4、组合数的性质1：、5、组合数的性质2：＝+、二、学习新课：典例分析例1、将1，2，3，…，9这9个数字填在如下图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()34A、6种B、12种C、18种D、24种例2、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例3、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？例4、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例5、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例6、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本、课堂练习：1、已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}、现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成的集合个数为()A、24B、36C、26D、272、(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？第六课时1、3、3组合的应用答案典例分析例1、答案：A解析：第一行从左到右前面两个格子只能安排1，2，最右下角的格子只能是9，这样只要在剩余的四个数字中选取两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故总的方法数是C＝6、例2、解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有，∴一共有++、例3、解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，∴一共有++＝42种方法、例4、解法一：（排除法）、解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；另一类为甲不值周一，但值周六，有，∴一共有+＝42种方法、例5、解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法、根据分步计数原理，一共有＝1800种方法例6、解：(1)无序不均匀分组问题、先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C 种选法、故共有分配方式CCC＝60(种)、(2)有序不均匀分组问题、由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式CCCA＝360(种)、(3)无序均匀分组问题、先分三组，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复、不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共有A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)、(4)有序均匀分组问题、在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A＝CCC＝90(种)、(5)无序部分均匀分组问题、共有分配方式＝15(种)、(6)有序部分均匀分组问题、在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式A＝90(种)、(7)直接分配问题、甲选1本，有C种方法；乙从余下的5本中选1本，有C种方法；余下4本留给丙，有C种方法、共有分配方式CCC＝30(种)、课堂小节：本节课学习了组合的应用课堂练习1、解析：分三类：第一类：选集合A、B可组成CC＝12个集合；第二类：选集合A、C可组成CC＝8个集合；第三类：选集合B、C可组成CC＝6个集合、由分类加法计数原理，可组成12＋8＋6＝26个集合、答案：C2、解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24(种)、(2)∵总的排法数为A＝120(种)，∴甲在乙的右边的排法数为A＝60(种)、(3)解法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数、分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C2＝42(种)；若分配到3所学校有C＝35 (种)、∴共有7＋42＋35＝84(种)方法、解法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84种不同方法、所以名额分配的方法共有84种、。
小学备课笔记的规范要求模版
小学备课笔记的规范要求模版一、课程信息1.1 课程名称：（填写课程的正式名称）1.2 课程年级：（填写课程所属的年级）1.3 课时：（填写本节课的课时）1.4 授课教师：（填写授课教师的姓名）1.5 上课时间：（填写上课的具体时间）二、教学目标2.1 知识目标：（明确学生在本节课中需要掌握的知识点）2.2 技能目标：（明确学生在本节课中需要掌握的技能）2.3 情感目标：（明确培养学生在本节课中的情感态度）三、教学重点与难点3.1 教学重点：（指明本节课程中需要特别关注和突出强调的内容）3.2 教学难点：（指明本节课程中可能会遇到的难点，并提出应对措施）四、教学准备4.1 教学资料准备：（准备本节课所需要的教学资料和教具）4.2 教学环境准备：（准备本节课所需要的教学环境条件）4.3 学生学习准备：（提醒学生在上课前需要做的预习准备）五、教学步骤5.1 导入（引起学生兴趣）（简要描述开头的导入方式，如讲故事、展示图片等）5.2 探究（引导学生主动思考）（描述在探究环节中引导学生参与的具体活动，如小组合作探究、实验观察等）5.3 梳理（对所学内容进行整理总结）（描述对所学内容进行梳理总结的方式，如思维导图、知识结构图等）5.4 拓展（进一步延伸学习）（描述拓展环节中引导学生拓展学习的方式，如课外阅读、实地考察等）5.5 练习与巩固（巩固所学知识与技能）（描述练习与巩固环节中的具体练习活动，如个人练习、小组对话等）5.6 评价与反思（对学习过程和结果进行评价和反思）（描述学生评价与反思环节中的具体活动，如自我评价、小组交流等）六、教学资源6.1 教学资料：（列出使用的教材、练习册等教学教材）6.2 教具：（列出使用的教学具体，如实物模型、幻灯片等）6.3 多媒体资源：（列出使用的多媒体资源，如视频、音频等）七、课堂管理7.1 学生配合度：（描述学生配合度的情况，如是否积极参与课堂活动）7.2 学生互动情况：（描述学生之间的互动情况，如是否积极合作）7.3 教师指导和引导：（描述教师的指导和引导情况，是否有效）八、教学反思8.1 教学效果：（对本节课程的教学效果进行分析和总结）8.2 不足与改进：（指出教学中存在的不足和需要改进的方面）8.3 个人感悟：（对本节课程的个人感悟和体会）以上是小学备课笔记规范要求的模板，根据具体的课程内容和教学目标进行相应的调整和完善，确保备课笔记的完整性和系统性。
1.3组合(3)
三．例题讲解
例 2．从编号为 1，2，3，…，10，11 的共 11 个球 中，取出 5 个球，使得这 5 个球的编号之和为奇数， 则一共有多少种不同的取法？
例 5．6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本，有 多少种不同的送书方法？
四．课堂练习
1．在一次考试的选做题部分，要求在第 1 题的 4 个小
题中选做 3 个小题，在第 2 题的 3 个小题中选做 2 个小
题，第 3 题的 2 个小题中选做 1 个小题，有 种不同
的选法 新疆 王新敞 奎屯
例 3．现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工 作；有 4 名青年能胜任德语翻译工作（其中有 1 名青 年两项工作都能胜任），现在要从中挑选 5 名青年承 担一项任务，其中 3 名从事英语翻译工作，2 名从事 德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
三．例题讲解
例 4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两 天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不 同的值周表 ？
该科技小组中女生的人数 新疆 王新敞 奎屯
7. 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个
新疆 王新敞
奎屯
一．复习引入
组合数的性质
2：
C
m n
1
＝ Cnm
+
C
m n
1
说明：①公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合 数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与大 的相同的一个组合数；
(教师用书)高中数学 1.3.3 组合组合数公式配套课件 苏教版选修2-3
证 明
C
m n
＋ C
m－1 n
n！ ＝ ＋ m！（n－m）！
n！ （m－1）！[n－（m－1）]！ n！（n－m＋1）＋n！m （n＋1）！ ＝ ＝ ＝Cm n＋1， m！（n－m＋1）！ m！（n＋1－m）！
m m－1 即 Cm ＝ C ＋ C ＋ n 1 n n .
1．组合数公式：Cm n＝
2．组合数具有哪些性质？各自应当怎样证明？
n－ m 【提示】性质 1Cm n ＝Cn .
证明：因为 C n！ ， m！（n－m）！ 又 Cm n＝
n－ m n
n！ ＝ ＝ （n－m）！[n－（n－m）]！
n！ ， m！（n－m）！
n－ m 所以 Cm ＝ C n n . m m－1 性质 2Cm ＝ C ＋ C ＋ n 1 n n .
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组合 的个 数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cm n表 示．
组合数公式
【问题导思】 1．组合数公式有几个？各自作用是什么？
【提示】与排列数公式类似，组合数也有两个公式．第
m n（n－1）…（n－m＋1） A n m 一个公式 Cn ＝ m＝ 中的分子是 m Am m！
(3)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的含有 3 个元 素的子集有多少个？
【思路探究】是排列还是组合，关键是元素之间有序还 是无序．
【自主解答】(1)是排列问题，因为三个人担任哪一科的 课代表是有顺序区别的，排列数为 A3 10＝720(个)． (2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑 谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C2 10＝45(个)． (3)是组合问题，因为集合的子集与元素的顺序无关．组 合数为 C3 5＝10(个)．
数学知识点苏教版选修2-3高中数学1.3《组合》word导学案-总结
1.3 组合1．组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．预习交流 1如何区分排列问题和组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．2．组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．C mn ＝A mn A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以m ！. 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －m n ，性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，就剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －mn .从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n ；第二类不含有此元素a ，则为C m n ，由分类计数原理知：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .一、组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．①设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含3个元素的子集有多少个？ ②一个班中有52人，任两个人握一次手，共握多少次手？③4人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题． 解：①因为集合中取出的元素具有“无序性”，故这是组合问题； ②因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；③因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．①从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；②从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； ③a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛； ④a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果． 答案：①③解析：①2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； ②2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； ④冠亚军是有顺序的，是排列问题．组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关． 二、组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200；(2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ；(3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1.思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18，解得n ＝8或2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N *，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1＝1＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的．三、组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90种．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有C 13·C 17种方法，第二类：2名女生当选代表，有C 23种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C 13·C 17＋C 23＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有C 210种选法，若2名代表全是男生有C 27种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C 210－C 27＝24种．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有__________． ①某班选10名学生参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标；③由1,2,3,4选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在x 轴上的双曲线方程数； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？ 答案：①④解析：由组合的概念知①④是组合问题，与顺序无关，而②③是排列问题，与顺序有关．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝__________. 答案：161 700解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100＝C 3100＝161 700.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作__________个圆．答案：220解析：由题意知，可作C 312＝12×11×103×2×1＝220个不同的圆．4．解方程：C x 17－C x 16＝C 2x ＋216.解：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x 17－C x 16＝C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x ＝－3(舍)或x ＝5.∴x ＝5. 5．平面内有10个点，其中任何3点不共线，以其中任意2点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45条不同的线段．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90条不同的有向线段．。
1.3组合(三)
6
4、任务训练
2 练习 1、已知 Cx 28 ，求 x 的值。 x 2 练习 2、若 C6 ，求 x 的值。 C6
课堂小结：
1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质； 2．组合的应用：分清是否要排序．
练习本
教
编号：YJSD/JWC-17-10 课 题 序号 授 课 课时 授 课 章节 名 称 使 用 教具
案（首页）
9 2
授课班级 授课形式 §1.3 组合（三） 新授课
无
1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，
教 学 目的 2、能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质， 教 学 重点 2、能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力． 教 学 难点 更 新 、补 充 、 删减 内 容 课 外 作业 能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．
m n m 性质 1： Cn Cn m m m1 性质 2： Cn 1 ＝ C n + C n
0 0 k k 1 常用的等式： Ck Ck 1 Ck Ck 1 1
二、讲解新课
§1.3 组合（三） 例 1．100 件产品中有合格品 90 件，次品 10 件，现从中抽取 4 件检查． ⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有 1 件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？
5、课后作业
第 6 课时
例 2．从编号为 1，2，3，„，10，11 的共 11 个球中，取出 5 个球，使 得这 5 个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
1.3探索三角形全等的条件(3)备课笔记
江苏省盐城中学（教育集团）备课笔记备课时间：2019年5月日课题 1.3探索三角形全等的条件(3）课型新授课课时 1教学设想教学目标1. 经历探索三角形全等的“ASA”条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验．2.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；会利用基本作图作三角形：已知两角及其夹边作三角形．3.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力．教学重点掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．并会运用这个基本事实说明两个三角形全等.教学难点如何找出符合基本事实三个的条件说明两个三角形全等.教学准备多媒体课件教学过程一次备课教学内容三次备课【问题导学预学清单】具备两角及其夹边分别相等的两个三角形全等吗？为什么？【教学过程】一、情境创设：调皮的小明用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？【学生活动】问题1：你能画出两个三角形吗？问题2：你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？【活动意图】给予学生探索、思考时间，能准确画出图形，让学生感受三角形的两角和夹边确定，这个三角形的形状和大小就唯一确定。
通过情境引导学生主动地观察、思考和讨论，从而激发学生探索三角形全等的又一个条件的好奇心和积极性.教学过程一次备课二、探索活动：1、在下图中，△ABC与△PQR、△DEF能完全重合吗？【学生活动】问题：哪两个三角形全等？2、按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB=a，∠A=∠α，∠B=∠β.(1)作AB=a.(2)在AB的同侧分别作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β，AM、BN相交于点C.△ABC就是所作的三角形.【学生活动】问题1：你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？问题2：从以上活动中，你得到什么启发？【活动意图】让学生再次感受三角形的两角和夹边确定，这个三角形的形状和大小就唯一确定并归纳出“角边角”的结论。
1.3 组合(3)(苏教版选修2-3)
第一章 计数原理 1.3 组合（3）编写人： 编号：008学习目标1、掌握组合数的两个性质；2、进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 。
学习过程：一、预习：回顾：组合数的公式与性质：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质1： 组合数的性质2：方法归纳：解有关组合的应用问题时，首先要认真分析题意，以判断这个问题是不是组合问题。
组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题取出的元素之间与顺序有关，即如元素相同而顺序不同，就是不同的排列；而组合问题取出的元素之间与顺序无关，即只要元素相同就是同一个组合解有限制条件的组合问题的方法与排列问题一样，主要有两种方法：1、直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处理问题的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求出所要求的组合数；2、间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数其他一些在排列问题中使用的方法同样可以在组合问题中运用练习：1、从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛,共有 种不同的选法2、10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有 种3、有10道试题，从中选答8道,共有 种选法、又若其中6道必答，共有 不同的种选法二、课堂训练：例1、有100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件。
（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？例2、房间里有5个电灯，分别由5个开头控制，至少开一个灯用以照明，有多少种不同的方法？例3、(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？例6、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本练习：1、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？2、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？3、从6双不同手套中，任取4只，(1)恰有1双配对的取法是多少？(2)没有1双配对的取法是多少？(3)至少有1双配对的取法是多少？4、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？三、巩固练习：1．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A ．42B ．30C ．20D ．122．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A3．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A 4．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．5．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法6．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个7．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 个平行四边形8．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体i i=的同学的考试成绩8．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)f i∈，且满足(1)(2)(3)(4)(){85,87,88,90,93}≤<<，则这四位同学的考试成绩的f f f f所有可能情况有种9．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览A、B必选，并且在旅游过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则不同的游览路线有种10．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有种不同的调换方法11．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法12、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？13、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？14、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？。
1.3组合(三)
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 9
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
生和护士.
(C13
C 62)
(C12
C
2 4
)
1
540
作业:P25 7, 8.
分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:C259 4095
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解:
(1)
C160
1 2
C64
C21
C11
3150
(2) C160 C62 C42 C22 18900
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
1.3组合(1)备课笔记
1．3 组合（一）一、教学目标1．正确理解组合与组合数的概念；2．弄清组合与排列之间的关系；3．会做组合数的简单运算．二、教学重点1．组合与排列的区别与联系；2．组合数公式的推导．三、教学难点组合数公式的推导．四、教学过程1．设置情境前面我们研究的排列问题，许多计数问题可归结为排列问题来处理．思考下面两个问题：问题一：有5本不同的书，（1）取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，有几种不同的分法？（60）（2）取出3本给甲，有几种不同的取法？（10）问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名，（1）分别去参加某天的上、下午活动，有多少种不同的选法？（2）去参加一项活动，有多少种不同的选法？分析：两个问题的第（1）问都涉及顺序，而第（2）问都没有顺序．前者是排列问题，后者就是今天要研究的组合问题．2．数学理论1组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考：排列和组合有什么区别与联系？区别：对于从n个不同元素中所取出m个元素，排列还要“把所取元素按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“把所取元素并成一组无顺序要求”．联系：排列可以看成由两步来完成的事情：第一步：从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；第二步：把所取的m个元素排成一列（m个元素的全排列）．3．学生活动——概念对比研究，加深印象排列：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素（注意：所取元素必须不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）．组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合．共同点：都是与“从n 个不同元素中任取m 个元素”有关的．不同点：对于从n 个不同元素中所取出m 个元素，排列还要“把所取元素按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“把所取元素并成一组无顺序要求”．联系：排列可以看成由两步来完成的事情：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；第二步：把所取的m 个元素排成一列（m 个元素的全排列）．4．数学理论2组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作：m n C ．注意：m n C 是一个数，应该与组合区分清楚．5．数学理论3：如何求组合数m n C ？简单的，可以用列举法，如：范例：（1）写出从a ，b ，c 三个元素中取出两个元素的所有组合．（323=C ）（2）写出从a ，b ，c ，d 四个元素中取出两个元素的所有组合．（624=C ）（3）写出从a ，b ，c ，d 四个元素中取出三个元素的所有组合．（434=C ）一般地，如何求m n C 呢？（尝试用组合与排列的联系来思考）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ．第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m m A ．根据分步计数原理得到：m mm n m n A C A ⋅=．这里m ，n ∈N *，m ≤n ，这个公式就叫做组合数公式． 又因为)!(!m n n A m n -=特别地，当m = 0时，1!!0!0=⋅=n n C n ，即10=n C ，同理：1=n n C ． 6．数学运用 例1 求（1）47C ；（2）710C ．（答案：（1）35；（2）120．）例2 已知n n n C C C 76510711=-，求n C 8．（答案：28） 例3 求证11+-+=m n m n C mn m C ．（答案：略） 例4 解不等式m m C C 8183>-．（答案：7或8） 例5 下列问题是排列问题还是组合问题，请用排列数或组合数表示其结果．（1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？排列问题，25A ；（2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的票价（相连两站来去票价一样）？组合问题，25C ．（3）集合A = {a ，b ，c ，d ，e ，f }，则集合A 含有4个元素的子集有多少个？组合问题，46C ．（4）从1，3，5，9中任取两个数相加，可得多少个不同的和？组合问题：24C ．（5）从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少个不同的商？既不是排列数问题也不是组合数问题，可用分步计数原理解决（需删除部分相同的商值）．7．课堂小结组合只取元素，排列既取元素又排顺序；排列问题可看成先取元素，后排顺序． 组合数公式的推导过程．8．布置作业。
《1.3 组合》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《组合》教案教学目标:知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合｡明确组合与排列的联系与区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题｡过程与方法:了解组合数的意义,理解排列数m n A 与组合数 之间的联系,掌握组合数公式,能运用组合数公式进行计算｡情感､态度与价值观:能运用组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力｡ 教学重点:组合的概念和组合数公式教学难点:组合的概念和组合数公式授课类型:新授课课时安排:2课时教具:多媒体､实物投影仪教学过程:一､复习引入:1分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++L 种不同的方法2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法3.排列的概念:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序．．．．．排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4.排列数的定义:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号mn A 表示 mn C5.排列数公式:(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L (,,m n N m n *∈≤) 6阶乘:!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘规定0!1=.7.排列数的另一个计算公式:m n A =!()!n n m - 8.提出问题: 示例1:从甲､乙､丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?示例2:从甲､乙､丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?引导观察:示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的引出课题:组合．．. 二､讲解新课:1组合的概念:一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同例1.判断下列问题是组合还是排列(1)在北京､上海､广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?(3)从全班23人中选出3人分别担任班长､副班长､学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法?(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信?(5)10个人互通电话一次,共多少个电话?问题:(1)1､2､3和3､1､2是相同的组合吗?(2)什么样的两个组合就叫相同的组合2.组合数的概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．.用符号mn C 表示. 3.组合数公式的推导:(1)从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢?启发:由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得,故我们可以考察一下34C 和34A 的关系,如下:组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有34C 个;②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有33A 种方法.由分步计数原理得:34A =⋅34C 33A ,所以,333434A A C =. (2)推广:一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ,可以分如下两步: ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ;② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ,根据分步计数原理得:m n A =m n C m m A ⋅. (3)组合数的公式:(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 规定: 01n C =.三､讲解范例:例2.用计算器计算710C .解:由计算器可得例3.计算:(1)47C ; (2)710C ;(1)解: 4776544!C ⨯⨯⨯==35; (2)解法1:710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯==120. 解法2:71010!10987!3!3!C ⨯⨯===120. 例4.求证:11+⋅-+=m n m n C m n m C . 证明:∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- =1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- =!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5.设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解:由题意可得:⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ,解得24x ≤≤, ∵x N +∈, ∴2x =或3x =或4x =,当2x =时原式值为7;当3x =时原式值为7;当4x =时原式值为11.∴所求值为4或7或11.例 6. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?分析:对于(1),根据题意,17名学员没有角色差异,地位完全一样,因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题;对于( 2 ) ,守门员的位置是特殊的,其余上场学员的地位没有差异,因此这是一个分步完成的组合问题.解: (1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有 C }手= 12 376 (种) .(2)教练员可以分两步完成这件事情:第1步,从17名学员中选出 n 人组成上场小组,共有1117C 种选法;第2步,从选出的 n 人中选出 1 名守门员,共有111C 种选法.所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136(种). 例7.(1)平面内有10 个点,以其中每2 个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?解:(1)以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数,就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数,即线段共有2101094512C ⨯==⨯(条). (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点､另一个是终点,以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段共有21010990A =⨯=(条).例8.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?解:(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,所以共有31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 (种). (2)从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种,从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种,因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3)解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品,包括有1件次品和有 2 件次品两种情况.在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种,因此根据分类加法计数原理,抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 (种) . 解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数,也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数,即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 (种).说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解｡变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?(1)甲､乙､丙三人必须当选; (2)甲､乙､丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙､丙不能当选; (4)甲､乙､丙三人只有一人当选;(5)甲､乙､丙三人至多2人当选; (6)甲､乙､丙三人至少1人当选;例9.(1)6本不同的书分给甲､乙､丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法?解:90222426=⋅⋅C C C .(2)从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1名女生参加,有多少种选法?解:问题可以分成2类:第一类 2名男生和2名女生参加,有225460C C =中选法;第二类 3名男生和1名女生参加,有315440C C =中选法依据分类计数原理,共有100种选法错解:211546240C C C =种选法,可知重复的很多例10.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有34C ,1624C C ⋅,2614C C ⋅, 所以,一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅=100种方法.解法二:(间接法)10036310=-C C组合数的性质1:m n n m n C C -=.一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n m -个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数,即:m n n m n C C -=.在这里,主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明:∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=,∴n n m n C C -=说明:①规定:10=n C ;②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标;③此性质作用:当2n m >时,计算m n C 可变为计算m n n C -,能够使运算简化. 例如20012002C =200120022002-C =12002C =2002; ④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+.2.组合数的性质2:m n C 1+=m n C +1-m n C .一般地,从121,,,+n a a a Λ这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的,共有1-m nC 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有m n C 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.证明:)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+=m n C +1-m n C .说明:①公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;②此性质的作用:恒等变形,简化运算例11.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球,(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解:(1)5638=C ,或=38C +27C 37C ,;(2)2127=C ;(3)3537=C .例12.(1)计算:69584737C C C C +++;(2)求证:n m C 2+=n m C +12-n m C +2-n m C .解:(1)原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===;证明:(2)右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边 例13.解方程:(1)3213113-+=x x C C ;(2)解方程:333222101+-+-+=+x x x x x A C C . 解:(1)由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=,∴4x =或5x =,又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈,∴原方程的解为4x =或x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.(2)原方程可化为2333110x x x C A -++=,即5333110x x C A ++=,∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅, ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-, ∴2120x x --=,解得4x =或3x =-,经检验:4x =是原方程的解例14.证明:pn p m p m p n n m C C C C --⋅=⋅｡证明:原式左端可看成一个班有m 个同学,从中选出n 个同学组成兴趣小组,在选出的n 个同学中,p 个同学参加数学兴趣小组,余下的p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数｡原式右端可看成直接在m 个同学中选出p 个同学参加数学兴趣小组,在余下的p m -个同学中选出p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数｡显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立｡例15.证明:++-110m m n m m n C C C C …m n m m m n C C C +=+0(其中m n ≥)｡ 证明:设某班有n 个男同学､m 个女同学,从中选出m 个同学组成兴趣小组,可分为1+m 类:男同学0个,1个,…,m 个,则女同学分别为m 个,1-m 个,…,0个,共有选法数为++-110m m n m m n C C C C …0m m n C C +｡又由组合定义知选法数为m n m C +,故等式成立｡例16.证明:+++32132n n n C C C …12-=+n n n n nC ｡证明:左边=+++32132n n n C C C …n n nC +=+++313212111n n n C C C C C C …n n n C C 1+,其中i n i C C 1可表示先在n 个元素里选i 个,再从i 个元素里选一个的组合数｡设某班有n 个同学,选出若干人(至少1人)组成兴趣小组,并指定一人为组长｡把这种选法按取到的人数i分类(，，21=i …n ，),则选法总数即为原式左边｡现换一种选法,先选组长,有n 种选法,再决定剩下的1-n 人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有12-n 种,所以选法总数为12-n n 种｡显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立｡例17.证明:+++3222132n n n C C C …222)1(-+=+n n n n n C n ｡证明:由于i n i i i n C C C C i 112=可表示先在n 个元素里选i 个,再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数,所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长(可兼职)的组合数｡对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况｡若组长和副组长是同一个人,则有12-n n 种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有22)1(--n n n 种选法｡∴共有12-n n +22)1(--n n n 22)1(-+=n n n 种选法｡显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立｡ 例18.第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国､日本举办､五大洲共有32支球队有幸参加,他们先分成8个小组循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一､二名晋级16强),这支球队按确定的程序进行淘汰赛,最后决出冠亚军,此外还要决出第三､四名,问这次世界杯总共将进行多少场比赛?答案是:642248824=++++C ,这题如果作为习题课应如何分析解:可分为如下几类比赛:⑴小组循环赛:每组有6场,8个小组共有48场;⑵八分之一淘汰赛:8个小组的第一､二名组成16强,根据抽签规则,每两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;⑶四分之一淘汰赛:根据抽签规则,8强中每两个队比赛一场,可以决出4强,共有4场; ⑷半决赛:根据抽签规则,4强中每两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;⑸决赛:2强比赛1场确定冠亚军,4强中的另两队比赛1场决出第三､四名 共有2场.综上,共有642248824=++++C 场四､课堂练习:1.判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题:(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 2.7名同学进行乒乓球擂台赛,决出新的擂主,则共需进行的比赛场数为( )A .42B .21C .7D .63.如果把两条异面直线看作“一对”,则在五棱锥的棱所在的直线中,异面直线有( ) A .15对 B .25对 C .30对 D .20对4.设全集{},,,U a b c d =,集合A ､B 是U 的子集,若A 有3个元素,B 有2个元素,且{}A B a =I ,求集合A ､B ,则本题的解的个数为 ( )A .42B .21C .7D .35.从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记,有 种不同的选法6.从6位同学中选出2人去参加座谈会,有 种不同的选法7.圆上有10个点:(1)过每2个点画一条弦,一共可画 条弦;(2)过每3个点画一个圆内接三角形,一共可画 个圆内接三角形 8.(1)凸五边形有 条对角线;(2)凸n 五边形有 条对角线 9.计算:(1)315C ;(2)3468C C ÷.10.,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛,(1)共需比赛多少场?(2)若各队的得分互不相同,则冠､亚军的可能情况共有多少种?11.空间有10个点,其中任何4点不共面,(1)过每3个点作一个平面,一共可作多少个平面?(2)以每4个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体?12.壹圆､贰圆､伍圆､拾圆的人民币各一张,一共可以组成多少种币值?13.写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合答案:1. (1)组合, (2)排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 157. (1)45 (2) 120 8. (1)5(2)(3)/2n n -9. ⑴455; 2 10. ⑴10; ⑵20 11. ⑴310120C =; ⑵410C =12. 12344444421C C C C +++=-=13. ,,,a b c d ; ,,,a b c e ; ,,,a b d e ; ,,,a c d e ; ,,,b c d五､小结 :组合的意义与组合数公式;解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理学生探究过程:(完成如下表格)七､板书设计(略)八､教学反思:排列组合问题联系实际生动有趣,题型多样新颖且贴近生活,解法灵活独到但不易掌握,许多学生面对较难问题时一筹莫展､无计可施,尤其当从正面入手情况复杂､不易解决时,可考虑换位思考将其等价转化,使问题变得简单､明朗｡教科书在研究组合数的两个性质①m n n m n C C -=,②11-++=m n m n m n C C C 时,给出了组合数定义的解释证明,即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法,由组合个数相等证出要证明的组合等式｡这种构造法证明构思精巧,把枯燥的公式还原为有趣的实例,能极大地激发学习兴趣｡本文试给几例以说明｡教学反思:1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2特殊元素(或位置)优先安排将5列车停在5条不同的轨道上,其中a 列车不停在第一轨道上,b 列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”,“不邻”就“插空”七人排成一排,甲､乙两人必须相邻,且甲､乙都不与丙相邻,则不同的排法有多少种4､混合问题,先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?5､分清排列､组合､等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?6､分类组合,隔板处理从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?。
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式323数学
;
题型一
题型二
题型三
题型一
组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)一个班中有52人,任意两个人握一次手,共握多少次手?
(3)4个人去干5种不同的工作,每人(měi rén)干一种,有多少种分工方法?
分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是组合问题.
·A66 .
【做一做 3】 A6100 =
6
答案: C100
12/12/2021
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1
2
4. C
3
=
4
A
A
5
=
(-1)(-2)…(-+1)
!
=
【做一做 4】 C72 + C63 + C54 =
答案:46
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!
, 规定: C0
②“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关,无序性是组合的特征性质.
(2) 只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同
的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),就是不同的
组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同点:对于排
列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序有要求,而组合
C31 ·C94 = 378 种不同的选法.
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题型一
题型二
题型三
反思解答简单的组合问题的步骤:
(1)弄清要做的这件事是什么事;
2019高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版
一二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关.
2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时, n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的
定义 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
表示法 ������nm
组合数 乘积式 公式 阶乘式
������nm
=
������nm ������mm
=
n(n-1)(n-2)…(n-m + m!
1)
������nm
抽调方法.
方法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有C160种选法; 考虑选取 1 名外科专家参加,有C41 ·C65种选法; 没有外科专家参加,有C66种选法.所以共有: C160 − C41 ·C65 − C66=185 种抽调方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答.
名的选法有C42种,
根据分步乘法计数原理,因此共有不同的选法C62
·C42
=
6×5 2×1
×
4×3 2×1
=90
∴C������������
=
������+ 1 ������+1
C������������++11
=
������ ������-������
C������������-1.
探究一
新人教A版：1.3组合
授课主题组合教学目标1．通过实例，理解组合的概念．2．明确组合与排列的区别与联系．3．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际问题．4．进一步深化组合的概念，熟悉组合数公式，会用组合知识解决简单的实际问题．5．能够解决具有限制条件的组合问题．教学内容1.组合一般地，从n个不同元素中，任意取出m()m n≤个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．2.组合数从n个不同元素中，任意取出m()m n≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C mn表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C!!()!mm nn mmA n n n n m nA m m n m---+===-，(,)m n m n+∈N，≤．组合数的两个性质：性质1：C Cm n mn n-=；性质2：11C C Cm m mn n n-+=+．（规定0C1n=）3.排列组合一些常用方法a)特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；b)分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．c)排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．d)捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．e)插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．f)插板法：n个相同元素，分成()m m n≤组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从1n-个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．g) 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！h) 错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．4. 实际问题的解题策略（1）排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． （2）具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．题型一 组合的概念的理解例1 判断下列问题是排列问题还是组合问题．(1)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个组成一个集合，这样的集合有多少个？分析：取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序有关则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．解析：(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字后，无论怎样改变这些数字之间的排列顺序，其构成的集合都不变，故此问题只与取出的元素有关，而与元素的排列顺序无关，是组合问题．点评：区别排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，“有序”则为排列，“无序”则为组合问题．巩 固 判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)8个人相互各写一封信，共写了多少封信？ (2)8个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)8支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)8支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？解析：(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别． (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.题型二 与组合数有关的计算例2 (1)计算：96979999C C +; (2) 设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值;(3) 求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ． 分析：(1)先用组合数两个性质化简，再用组合数公式的乘积形式计算； (2)C m n 的限制条件是,m n m n +∈N ，≤，可先求x 的值； (3)利用组合数的阶乘形式证明.解析：(1) 9697979999100==161700C C C +；(2) 由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11． (3)证明：∵)!(!!m n m n C mn -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n m nC mn m C点评：组合数公式的应用：(1)公式(1)(2)(1)C !m m n nm m A n n n n m A m ---+==(,)m n m n +∈N ，≤一般用于求值、计算；(2)公式!C !()!m n n m n m =-(,)m n m n +∈N ，≤一般用于化简、证明.巩 固 (1)计算：3C 38－2C 25＋C 66＝__________；(2)若C x 18＝C 2x －618，则x ＝________.解析：(1)3C 38－2C 25＋C 66＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＋1＝149. (2)由已知x ＝2x －6或x ＋2x －6＝18，所以x ＝6或x ＝8. 答案：(1)149 (2)x ＝6或x ＝8巩 固 已知C 4n 、C 5n 、C 6n 成等差数列，则C 12n ＝______.解析：由题可知2C 5n ＝C 4n ＋C 6n， 所以2×n ！(n －5)！×5！＝n ！(n －4)！×4！＋n ！(n －6)！×6！，所以25(n －5)＝1(n －4)(n －5)＋16×5，得：n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝14或n ＝7(舍去)，所以C 1214＝C 214＝14×132＝91. 答案：91题型三 组合数的简单应用例3 要从12个人中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)A ，B ，C 三人必须当选； (2)A ，B ，C 三人不能当选； (3)A ，B ，C 三人中只有一人当选．解析：(1)∵A ，B ，C 三人必须当选，∴再从其他9个人中选出2人，则可组成5人小组，∴共有选法C 29＝9×82＝36(种)．(2)∵A ，B ，C 三人不能当选，∴须从其他9个人中选出5人，共有选法种数为C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126(种)． (3)从 A ，B ，C 三人中选出1人，有13C 种选法，再从其他9人中选出4人，有49C 种选法.由分步乘法计数原理，共有选法种数为1439C C =378(种)．点评：根据组合数的概念先判断是否是组合问题，若是，则用组合数公式表示，再求出结果.巩 固 一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？ (3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解析：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C 58＝C 38＝8×7×63×2×1＝56(种)． (2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成： 第一步：从7个白球中任取4个白球，有C 47种取法； 第二步：把1个红球取出，有C 11种取法，故不同取法的种数是：C 47·C 11＝C 47＝C 37＝35(种)．(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C 57＝C 27＝7×62×1＝21(种)．题型四 简单的综合应用题例4 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题，其中： (1)不同的抽法，即为3100C ； (2)直接分步法； (3)直接分类法或间接法．解析：(1)所求的不同抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有3100C ＝100×99×983×2×1＝161 700(种)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成． 第一步：从2件次品中任取1件，有12C 种方法； 第二步：从98件正品中任取2件，有298C 种方法．根据分步计数原理知，不同的抽取方法共有12C 298C ＝2×4 753＝9 506(种)． (3)法一(直接分类法)．抽出的3件中至少有一件是次品的这件事，分为两类． 第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有12C 298C 种； 第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有22C 198C 种． 根据分类计数原理，不同的抽法共有12C 298C +22C 198C =9 604(种) ． 法二(间接法)．从100件产品中任取3件的抽法，有C3100种，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有3100C ―398C =9 604(种) ．点评：(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．巩 固 (1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有____种．(2)某高中学生会由6名男生和4名女生组成．从男生和女生中各选2名学生去“阳光敬老院”进行某项社会调查，共有____种不同的选法解析：(1)完成这件事分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有C 36种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有C 45种选法．根据分步乘法计数原理，此人有C 36×C 45＝100种不同的投资方式．(2)完成这件事分两步：第一步从6名男生中任选2名学生，共有C26＝15种不同的选法；第二步从4名女生中任选2名学生，共有C24＝6种不同的选法．由分步乘法计数原理得，共有15×6＝90种不同的选法．答案：(1)100(2)90题型五有限制条件的组合问题例5某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法．根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．点评：解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．巩固高一、高二、高三年级共30个班，每个年级10个班，每班有一支球队．现举行篮球比赛．首先每个年级中各队进行单循环比赛，然后将各年级的前3名集中起来进行第二轮比赛．在第二轮比赛中，除了在第一轮中已经赛过的两队外，每队要和其他队赛一场，那么先后共比赛多少场？分析：两轮比赛的场次，可按每轮比寒的场次来求解．但第二轮中，特殊条件是第一轮比赛中赛过的，不再打比赛，应用加法原理．比较难考虑，分类层次难掌握，这时可考虑间接法，即把问题变成无限制条件，减去不符合条件的就是符合条件的．解析：各年级进行单循环赛，一共比赛3C210＝135(场)．在第二轮比赛中，若无限制，共需比赛C29＝36(场)，但在第一轮中已赛过的球队共赛了3C23＝9(场)．所以，先后一共比赛场数为135＋36－9＝162(场)．题型六几何问题中的组合问题例6(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？C个四点组，其中共面的四点组是正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别解析：(1)正方体8个顶点可构成48C－12＝58(个)．所在的6个平面的四个顶点，故可确定四面体48(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任一点为C＝48(个)．顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥1214点评：解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题一样，只要将图形中隐含的条件准确理解，分析有哪些限制条件．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．巩固如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有____个．解析：有一个顶点在圆内的有：C14(C212－4)＝248(个)；有两个顶点在圆内的有：C24(C112－2)＝60(个)；三个项点均在圆内的有：C34＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．答案：312（组合一）A组1．下列问题是排列问题还是组合问题？(1)A ，B ，C ，D ，E 五个人在假期里约定互通一封信，总共要写多少封信？________ (2)A ，B ，C ，D ，E 五个人在假期里约定互通一次电话，他们总共通几次电话？________ (3)一个班里有35名同学，要选三个代表去参加会议，有几种选法？________ (4)过平面上五点(无三点共线)中的任意两点，可作多少条不同的直线？________答案：排列，组合，组合，组合.2．从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的方法有( ) A ．3种 B ．4种 C ．6种 D ．24种解析：从4名同学中选出3人，是从4个元素中选出3个元素的组合，所以方法数共有C 34＝4种．故选B. 答案：B3．若466x C C ，则x 的值是________．答案：2或44．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条 答案：DB 组一、选择题1．下列计算结果为21的是( )A ．A 24＋C 26B ．C 77 C ．A 27D ．C 27解析：由计算可知C 27＝7×62×1＝21.故选D. 答案：D2．将甲、乙、丙三名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A ．8种B ．6种C ．4种D ．3种解析：不同的分法是：(甲丙、乙)，(乙、甲丙)，(乙丙、甲)，(甲、乙丙)，共4种不同的分法．故选C. 答案：C3．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法的种数是( ) A. 12种 B ．6种 C ．5种 D ．4种解析：因为甲必须参加，所以只有从甲之外的4人再选2人即可，故共有C 24＝6种选法．故选B. 答案：B4．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A. 222583C C C ++B ．222583C C C C ．222583A A A ++D ．216C答案：A5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法有( )A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种解析：分步：第一步，从5人中选2人在星期五，有25C 种． 第二步，从剩下3人中选1人在星期六，有13C 种． 第三步，从剩下2人中选1人在星期日，有12C 种． 由分步计数原理知：共有25C •13C •12C =60(种) ． 答案：B二、填空题6．9796959898982C C C ++=__________．解析：979695979696959796979898989898989899991002()()161700C C C C C C C C C C ++=+++=+==7．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有______种．解析：父母应为A 或B 或O ，C 13·C 13＝9(种)． 答案：98．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有______种．答案：34三、解答题9．解不等式：2C x －2x ＋1 < 3C x －1x ＋1.解析：因为2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1， 所以2C 3x ＋1<3C 2x ＋1，所以2×(x ＋1)x (x －1)3×2×1＜3×(x ＋1)x 2×1，所以x －13<32，所以x ＜112，因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，所以x ≥2，所以2≤x <112，又x ∈N *，所以x ＝2,3,4,5.所以不等式的解集为{2,3,4,5}．10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点． (1)线段有多少条？ (2)有向线段有多少条？解析：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有210C ＝10×92×1＝45(条)． 即以10个点中的2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有210A ＝10×9＝90(条)． 即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．（组合二）A组1．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种解析：∵先从3个信封中选一个放1,2，有3种不同的选法，再从剩下的4个号中选两个放入一个信封有C24＝6种，余下的放入最后一个信封，∴共有3C24＝18(种)．答案：B2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C24·C25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．答案：D3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有() A．140种B．84种C．70种D．35种答案：CB组一、选择题1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有() A．27种B．24种C．21种D．18种解析：分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．故选C.答案：C2．计算：C37＋C47＋C58＋C69＝()A. 120 B ．150 C. 180 D ．210解析：根据公式C n m ＋C n ＋1m ＝C n ＋1m ＋1知，原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.故选D.答案：D3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 24＋C 23·C 14＝30 种选法．答案：A4．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( ) A ．11种 B ．20种 C ．21种 D ．12种解析：若前两个开关只接通一个，则后一个有C 13＋C 23＋C 33＝7(种)，此时有2×7＝14(种)，若前两个开关接通两个，则后一个有C 13＋C 23＋C 33＝7(种)，所以总共有14＋7＝21(种)．故选C.答案：C5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A ．233197C C 种B ．()233231973197C C C C +种 C ．()55200197C C -种D ．()5142003197C C C -种解析：直接法()233231973197C C C C +种；间接法()55142001973197C C C C --种. 答案：B二、填空题6．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有____种．解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 答案：1207．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个． 答案：328．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．解析：分类：第一类：从A ，B ，C 中选1门，从另6门中选3门，共有1336C C (种)． 第二类：从6门中选4门，有46C (种)． 由加法原理知，共有：1336C C +46C =75 (种)． 答案：75三、解答题9．已知平面M 内有4个点，平面N 内有5个点，则这九个点最多能确定： (1)多少个平面？ (2)多少个四面体？分析：(1)空间中不共线的三点确定一个平面． (2)空间中不共面的四点确定一个四面体． 解析：(1)可分三类．第一类：平面M 中取一点，N 中取两点，最多可确定C 14·C 25个；第二类：平面M 中取两点，N 中取一点，最多可确定C 24C 15个；第三类：平面M 和平面N ，共2个．故最多可确定平面C 14·C 25＋C 24·C 15＋2＝72(个)． (2)法一(直接分类法) 分三类．第一类：平面M 内取一个点，N 内取三个点，最多可确定C 14·C 35个．第二类：平面M 内取两个点，N 内取两个点，最多可确定C 24·C 25个． 第三类：平面M 内取三个点，N 内取一个点，最多可确定C 34·C 15个．故最多可确定平面C 14·C 35＋C 24·C 25＋C 34·C 15＝120(个)． 法二(间接法) C 49－C 45－C 44＝120(个)．10．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？解析：(1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，有C14种，再将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，共有放法：C14C24C13A22＝144(种)．(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．。
1.3组合(2)备课笔记
1．3 组合（二）一、教学目标1．理解排列数与组合数的异同；2．熟练进行组合数的运算、化简；3．能利用组合数的两个性质简化计算．二、教学重点1．组合数公式与排列数公式的区别与联系；2．组合数公式的两个性质．三、教学难点组合数公式的两个性质的应用．四、教学过程1．复习与引入上节课，我们认识了组合的意义，并注意到排列与组合的联系：对于从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列可分两步来做：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；第二步：把所取的m 个元素按一定顺序排成一列（m 个元素的全排列）．正是运用该联系，根据分步计数原理我们得到组合数的计算公式：2．学生活动1练习：（1）计算310C ，710C ；（2）比较198200C 与2200C 的大小．答案：（1）310C = 120，710C = 120；（2）大小相等．思考一：为何上面两个不同的组合数其结果相同？这一结果的组合的意义是什么？3．数学理论1一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素后，剩下n – m 个元素，因为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的每一个组合，与剩下的n – m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，等于从这n 个元素中取出 n – m 个元素的组合数．即m n nm n C C -= 这就是我们今天学习的组合数的第一个性质． 性质的证明：m n n m n C m n n m n n m n m n C -=---=-=)]!([)!(!)!(!!． 4．学生活动2练习：（1）计算：97100C ．（答案：161700）（2）已知：725225+=x x C C ，求x ．（答案：6或7） （3）已知：414t t C C =，求t C 20．（答案：190）5．学生活动3思考：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（38C ）（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（271127C C C =） （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（37C ）6．数学理论2组合数的第二个性质：11-++=m nm n m n C C C ．（证明略） 7．学生活动4练习：（1）计算9710098100C C +；（原式166650310198101===C C ） （2）若8771n n n C C C =-+，则n = ；（14） （3）=++++2100252423C C C C ；（166649） （4）计算=++++913261504C C C C ．（2002） 8．数学运用例 （课本P22页例4）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件．（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？（4）抽出的3件中至多有2件是不合格品的抽法有多少种？9．课堂小结（1）组合数的两个性质；（2）解组合应用题的一般思路．。
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1．3 组合（三）
一、教学目标
1．进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2．熟练进行组合数的运算与排列数的运算；
3．熟练运用排列与组合，解决一些简单的应用题．
二、教学重点
对计数问题进行清晰分类，合理分步．
三、教学难点
对计数问题进行清晰分类，合理分步．
四、教学过程
1．引入
在计数问题中，重点要做到“分类清晰，分步合理”，那么问题将“迎刃而解”．
2．思考一
有6个工人，按下列条件，各有多少种分法？
（1）分配到3个不同的车间，每车间2人；
（2）分为3组，每组2人；
（3）分为3组，一组1人，一组2人，一组3人；
（4）分配到3个不同的车间，一车间1人，一车间2人，一车间3人；
（5）分配到3个不同的车间，每车间至少1人．
答案：（1）90； （2）15；
（3）60； （4）360； （5）450．
3．思考二
现有6个不同的白球和7个不同的黑球，从中取5个，至少有2个黑球的概率是多少？
选取至少两个黑球为31127C C ，这样做对吗？如果不对，错在那里？ 4．思考三
你会求方程10721=+++x x x 有多少组正整数解吗？
这个问题等价于：（1）要从7个班中选出10个人参加数学竞赛，每个班至少一个 人，这10个名额有多少种分配方案？（2）当然，这个问题还可以等价于：把10个球放入7个不同的盒子，每个盒子中至少放一个球，至少有多少种放法？ 答案：84种．
5．随堂练习
（1）今欲从1，2，3，8，9，10，12这七个数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种
选法？（答案：9）
（2）（05江西）将9个（含甲、乙）人平均分成3组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为多少种？（答案：70）
（3）某段马路上有7盏路灯，为了节约用电，现关掉其中的2盏，但要求关掉的2盏不能相邻，且不在马路的两段，那么关灯的不同方案共有多少种？（答案：6种）（4）学校准备把12个三好学生的名额分给高二10个班，每班至少一个名额，则有多少种不同的分配方案？（答案：55种）
6．课堂小结
解决一个排列组合题首先必须分清它是排列问题还是组合问题；其次，分析求解过程要注意掌握处理排列与组合的基本思想：即按元素的性质分类或按事件发生过程分步．另外，对于同一个问题应从多个角度去思考，一题多解，这样既可以防止重复与遗漏问题，又可提高分析问题、解决问题的能力．。