2019届高考数学一轮复习第四章平面向量第3讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课件文新人教版

5．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a· b＋b2.
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向 量．( )
常见题型 题型多为选 择题、填空 题，形式单 一，难度适 中，中档题 型为主，占5 分.
[知识梳理] 1．向量的夹角 定义 已知两个非零向 → 量a和b，作OA → ＝a，OB＝b， 则 ∠AOB 就 图示 范围 设θ是a与b 的夹角，则 θ＝0° 或θ＝ θ的取值范 围是 0° ≤θ≤180° 180° ⇔a∥b， θ＝90° ⇔a⊥b 共线与垂直
[解析] ∵a⊥b，∴a· b＝0，即x－2＝0， ∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5， ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a· b＋b2 ＝ 5＋5＝ 10. [答案] 10
题型一 例1
平面向量数量积的运算(基础保分题，自主练透)
(1)(2017· 课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P )
→ → → 为平面ABC内一点，则PA· (PB＋PC)的最小值是( A．－2 4 C．－3 3 B．－2 D．－1
[解析] 以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点 → 建立坐标，则A(0， 3 )，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，所以 PA ＝ → → → (－x， 3 －y)， PB ＝(－1，－x，－y)， PC ＝(1－x，－y)所以 PB ＋
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的 运算结果是向量．( ) )
(3)由a· b＝0可得a＝0或b＝0.( (4)(a· b)c＝a(b· c)．( )
π (5)两个向量的夹角的范围是0，2.(
)
(5)×
[答案] (1)√
(2)√
(3)×
(4)×
2．(2018· 南宁质检)已知向量a与b的夹角为30° ，且|a|＝1，|2a－ b|＝1，则|b|等于( A. 6 ) B. 5 C. 3 D. 2
→ → → → 3 2 2 2 PC＝(－2x，－2y)， PA · (PB＋ PC )＝2x －2y( 3 －y)＝2x ＋2 y－ 2 3 3 3 3 －2≥－2当P 0， 时，所求的最小值为－2，故选B. 2
[答案] B
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 → → → → DE· CB的值为________：DE· DC的最大值为________．
5．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量 积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、平角等问 题． 6．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合 成与向量的 加法与减法 相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W ＝F· s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
3 [解析] 由题意可得a· b＝|b|cos 30° ＝ 2 |b|,4a2－4a· b＋b2＝1， 即4－2 3|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝ 3，故选C. [答案] C
3．(2018· 厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a ⊥b，则|a＋b|＝________.
[解析] 方法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面 直角坐标系，
→ 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则 DE ＝ → → → (t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE· CB＝(t，－1)· (0，－1)＝1.
a⊥b的充要 条件
a· b ＝0
|a· b|与|a||b|的 关系
|a· b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号 成立)
|x1x2＋
2 2 2 y1y2|≤ x2 1＋y1· x2＋y2
4．平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则： (1)交换律：a· b＝b· a； (2)结合律：(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)； (3)分配律：(a＋b)· c＝a· c＋b· c.
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角. 向量表示 数量积 模 a· b＝|a||b|cos θ |a|＝ a· a a· b cos θ＝ |a||b| 坐标表示 a· b＝x1x2＋y1y2 |a|＝ x2＋y2
cos θ＝ 夹角 x1x2＋y1y2 2 2 x2 x2 1＋y1 2＋y2 x1x2＋y1y2＝0
是a与b的夹角.
2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a、b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫 做a与b的数量积，记作a· b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
投影
几何 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 意义ຫໍສະໝຸດ Baiduθ的乘积.
[知识感悟] 1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a· b＝a· c(a≠0)不 能得出b＝c，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a· b>0，反之不成立；两个向 量夹角为钝角，则有a· b<0，反之不成立． 3 ．a · b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a· b＝0时，有可能a⊥b. 4．在用|a|＝ 方． a2 求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开
第四章 平面向量
• 第3讲 平面向量的数量积与平面向量应用举 例
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最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数 量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量 积判断两个向量的垂直关系． 5.会用向量方法解决某些简单的实际问题.