分数裂项求和方法总结

合集下载

分数裂项求和方法总结

一、简单分数裂项法：

1.若分数的分母为n，则可将该分数表示为n等分之和，即如下形式：

$\frac{a}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{ 1}{n}$

这种情况下，裂项个数为分母的值。

2.若分数的分母为n，且分子a能被n整除，则可以将该分数表示为

n等分之和，裂项个数为分子的值，即如下形式：

$\frac{a}{n}=\frac{a}{n}+\frac{a}{n}+...+\frac{a}{n}$

二、特殊分数裂项法：

1.若分母为n(n≥2)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：

$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$

若此时n=2，则该分数可表示为：

$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$

2.若分母为n(n≥3)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：

$\frac{1}{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}$

若此时n=3，则该分数可表示为：

$\frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}$

三、通用分数裂项法：

1.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b，则

可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}+\frac{-b}{b}$

如将 $\frac{7}{3}$ 进行裂项，可得：

六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版

分数裂项求和方法总结

（一）用裂项法求1(1)

n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)

n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯的和。（二）用裂项法求1()n n k +型分数求和：分析：1()

n n k +型。（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++所以1111()()n n k k n n k =-++

【例2】计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯

（三）用裂项法求

()k n n k +型分数求和：分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()

k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求2222 (1335579799)

++++⨯⨯⨯⨯的和（四）用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和：分析：2()(2)

k n n k n k ++ （n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++

【例4】计算：

4444......135357939597959799++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （五）用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：

分数裂项法总结.

解：
Sn
1 (1 3
1) 4
1 (1 34
1) 7
1 (1 37
1 ) 10
1( 1 3 3n 2
1) 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
一 .分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边 .即：
1 1
2
2
1
3
(n
1 1)
n
n
1 (n
1)
1
n
1
1
n n 1
习
练
题
11 1 1 1 12 23 34 45 56
111111 344556677889
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1 1 100
99 .消去中间留下两边.
100
一 .分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂项法公式：
1 1 1 n (n 1) n n 1 即：把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边.
就可以利用裂项法公式： 1 n(n
1)
1 n

分数裂项六种题型

一、整数裂项

整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。以下是一些常见的整数裂项例子：

1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。

2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。

二、分数裂项

分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。以下是一些常见的分数裂项例子：

1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。

2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。

三、混合数裂项

混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。以下是一些常见的混合数裂项例子：

1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。

2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。

四、裂项相消法

裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分

数。以下是一个裂项相消法的例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。

解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...

分数裂项求和：6道例题6种题型，难度逐渐递增

裂项求和题型特征

1：分子全部相同，最简单的形式都为1，复杂的形式都是n（n 为任意自然数），只要将n提取出来即可转化为分子都是1的运算。

2：分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

3：分母上的几个因数，差是一个定值

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和

1 1

分析：因为------ -------

n n 1

n 1 n n(n 1)

n(n 1)

（n为自然数）

n（n 1）

所以有裂项公式:

1 1 1

n(n 1) n n 1

【例

1】10 11

11 12

的和。

59 60

1 1

10 60

丄

（二）用裂项法求乔七型分数求和

分析: 型。（n,k均为自然数）

n（n k）

因为

1(1

所以

【例

2】

n(n

k)] n(n k)

n(n k)

计算5 7 9 11 11 13 13 15

勺

1(1 9 2'9

1 1、，1 1 )(

丄(丄丄)

2 11 13

1 1

)(

丄(1 1)

2 5 7

111

-[( )( )( ,、 ,、

2 5 7 7 9 9 11 11 1

3 13 15

2[515]

丄

（三）用裂项法求—「型分数求和

n（n k）

分析：

- 型（n,k均为自然数）

n（n k）

1 1 _ n k n k

n n k n(n k) n(n k) n(n k)

所以

k _ 1

n(n k) n n k

亠2 2 2 2

【例3】求2的和

1 3 3 5 5 7 97 99

（四）用裂项法求仝型分数求和

n(n k)(n 2k)

分析：2k 均为自然数）

分析：

n（n k)(n (n,k

2k)

2k 1 1

n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)

【例4】计算：-

4 4 4 4 1 1 1 1

(1 3)( ) (-

3 5 5 1 1

(

1 1 ) ( 1 1 )

(

93 95

95 97)(95 97

分数裂项的知识点总结

一、分数裂项的定义

在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。

1. 分母为线性函数的分数裂项

当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。具体的步骤如下：

首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。

然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。

最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。

例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。

2. 分母为二次函数的分数裂项

当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。具体的步骤如下：

首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。

然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。

最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。

例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =

\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。

分数裂项公式大全整理

分数裂项公式：

解：an=1/[N(N+1)]=（1/N）- [1/(N+1)]（裂项）

Sn=1/(1×2) +1/(2×3) +1/(3×4) +1/(4×5)+....+1/N(N+1)

=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/N）- [1/(N+1)]（裂项求和）= 1-1/(N+1)

= N/(N+1)

数列的裂项相消法三大特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”。

（3）分母上几个因数间的差是一个定值裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

分式裂项方法公式

分式裂项方法公式主要包括以下几种：

1. 分数裂项基本型：对于形如1/n(n+1)的数列，可以通过裂项法求和。具体地，可以将其表示为1/n-1/(n+1)。例如，求数列an=1/n(n+1)的前n 项和，可以通过裂项求和得到Sn=1-1/(n+1)=n/(n+1)。

2. 1/[(2n-1)(2n+1)]：对于形如1/[(2n-1)(2n+1)]的数列，同样可以通过裂项法求和。具体地，可以将其表示为1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。

以上公式仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询专业人士获取更准确的信息。

分数裂项求和方法总结

一、分数裂项法的基本原理：

1.基本思路：将一个分数拆分成多个分数的和，然后对每一项求和。

2.裂项方法：根据需要选择合适的方法进行裂项，常见的裂项方法有：

a)定比裂项法：将分数中的分子或分母按照一个固定比例分割成两个

数相加或相减的形式。

b)等差裂项法：将分数中的分子或分母按照等差数列递增或递减的方

式分割成多个数相加或相减的形式。

3.求和方法：根据裂项后的分数的性质，利用求和公式或其他方法对

每一项进行求和。

二、定比裂项法：

1.定比裂项法的基本原理：将分数的分子或分母按照一个固定的比例

进行分割。

2.定比裂项法的应用：

a)对于有限和的求和，可以将分数的分子或分母按照1/n的比例进行

分割，其中n为有限和的个数。

b)对于无限和的求和，可以将分数的分子或分母按照a^n的比例进行

分割，其中a为分式的基数。

3.定比裂项法的求和公式：

a)有限和的求和公式：分子或分母的分割比例为1/n时，求和公式为

S=(n-1)/n*a+(n-1)/n*b，其中a和b为分子或分母的每一项的值。

b)无限和的求和公式：分子或分母的分割比例为a^n时，求和公式为

S=a/(1-a)*(a*a+a*b+b*b+...)，其中a和b为分子或分母的每一项的值。

三、等差裂项法：

1.等差裂项法的基本原理：将分数的分子或分母按照等差数列的递增

或递减方式进行分割。

2.等差裂项法的应用：

a)对于有限和的求和，可以将分数的分子或分母按照等差数列的递增

或递减方式进行分割，然后利用等差数列的求和公式对每一项进行求和。

b)对于无限和的求和，可以将分数的分子或分母按照等差数列的递增

分数裂项法总结.知识讲解

解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： 1 ( 1 1 ) ( 原 1 1 ) ( 1 1 式 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 2 2 33 44 55 66 77 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
1 （ 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 335 11 13 13 15

分数裂项法总结

3 ?3
?? 5 6 5? 6
5? 6 30
求和：1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 1? 2 2? 3 3? 4 4 ? 5 5? 6 6? 7 7 ? 8
解：原式
?
1 ?
1
?
(1
?
1) ?
(1
?
1) ?
(1
?
1)
?
(1
?
1) ?
(1
?
1) ?
(1
?
1)
12 23 34 45 56 67 78
1
1? 2 2? 3 3? 4
2010 ? 2011
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边 .即：
1? 1? 1? 2 2? 3
?
1 (n ? 1)?
n
?
n?
1 (n ? 1)
?
1?
n
1 ?
1
?
n n?1
、两个不相邻数裂项方法：若干个
分数连加，如果每个分数的分母，都是判断：两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就
解：原式
?
1
?（1 ?
1 )
?
1
?（ 1
?
1 )?
?
?
? 1 ?（ 1 ?

分数裂项求和方法总结(K12教育文档)

分数裂项求和方法总结(word版可编辑修改)

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：

这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（分数裂项求和方法总结(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为分数裂项求和方法总结(word版可编辑修改)的全部内容。

分数裂项求和方法总结

（一）用裂项法求1(1)

n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)

n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1

n n n n =-++ （二）用裂项法求

1()n n k +型分数求和分析：1()

n n k +型。(n ，k 均为自然数）因为11111()[]()()()

n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++

（三）用裂项法求()

k n n k +型分数求和分析:()

k n n k +型（n,k 均为自然数）

11n n k

-+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以

()k n n k +＝11n n k -+

（四）用裂项法求2()(2)

专题3：分数的裂项求和

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30
解析
这道题是分数的裂项求和基础练习题，可以通过将每个分数拆分成两个分数之差的形式，然后进行求和。具体来说，可以将1/2拆分为1-1/2，将1/6拆分为1/2-1/3，以此类推，最后得到结果为1又2/3。
总结
这道题考察了分数的裂项求和基础方法，需要掌握如何将分数拆分成两个分数之差的形式。
代数法
通过代数运算，将分数拆分为不同的项，以便于计算。
分数裂项的实例解析
$frac{1}{2}times(a+b) = frac{1}{2}a + frac{1}{2}b$
将分数$frac{1}{2}$分别与$a$和$b$相乘，得到$frac{1}{2}a$和$frac{1}{2}b$。
$frac{1}{3}times(a+b+c) …
题目
1/3+1/15+1/35+1/63
解析
这道题同样是分数的裂项求和基础练习题，可以通过将每个分数拆分成两个分数之差的形式，然后进行求和。具体来说，可以将1/3拆分为1-1/3，将1/15拆分为1/3-1/5，以此类推，最后得到结果为5/9。
总结
这道题同样考察了分数的裂项求和基础方法，需要掌握如何将分数拆分成两个分数之差的形式。
VS