强化卷04(3月)-冲刺2020高考数学之必拿分题目强化卷(山东专版)(解析版)

3月一模精选（第4卷）1．设全集{|25,}U x x x Z =−≤<∈，{0,2,3,4}A =，{2,1,0,1,2}B =−−，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0,2}B ．{3,4}C ．{0,3,4}D ．{2,1,0,1,2}−−【答案】B【解析】可得阴影部分所表示的集合为()UA B ∩，集合{0,2,3,4}A =，{3,4}U B =，则(){3,4}U A B ⋂=.故选：B .2．若a R ∈，则“复数5aiz i−=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由题得5aiz i−==-a -5i, 由于复数5aiz i −=在复平面内对应的点在第三象限，所以0,0.50a a −<⎧∴>⎨−<⎩ 所以“复数5aiz i−=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的充要条件. 故答案为C3. 已知变量x 与y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数3x =，4y =，线性回归方程y bx a =+中的系数b ，a 满足2−=b a ，则线性回归方程为（ ） A ．7y x =−+ B ．1322y x =−− C ．1y x =+D ．3122y x =− 【答案】D【解析】同归直线y bx a =+过()3,434b a ∴+=，又2b a −=解得32b =，12a =− ∴线性回归方程为3122y x =−.故选D. 4. 已知函数1()ln 1f x x x =−−，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭−−−，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==−−，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f e e =>−，排除D 选项.故选A. 5. 已知直三棱柱111ABC A B C −，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A．5B ．25C ．45D．5【答案】B【解析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =−，()1,0,2CF =−.2cos ,5AE CF AE CF AE CF⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25.故选：B .6 ．关于曲线C ：222214x y a a +=−性质的叙述，正确的是（ ）A ．一定是椭圆B ．可能为抛物线C ．离心率为定值D ．焦点为定点【答案】D【解析】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B 错误；因为24a −可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆，则()22244c a a =−−=，∴2c =，2e a=，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0−，为定点； 若曲线为双曲线，方程为222214x y a a −=−，则()22244c a a =+−=，∴2c =，2e a =，离心率不是定值，焦点()2,0，()2,0−，为定点；故选D.7. 已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于6x π=对称B ．()f x 为奇函数C ．()f x 的值域为[]3,1−D ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A【解析】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 236x ππ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫−=−−≠− ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误； 因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈− ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2−，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A .故选A.8. （多选）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =−，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（ ） A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．22212413nn a a a −+++=D ．m n +为定值【答案】BD【解析】由题意，当1n =时，1122S a =−，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a −−=−，所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a −−−−=−=−−−=，所以12nn a a −=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，故选项A 错误，选项B 正确；数列{}2n a 是以首项214a =，公比14q =的等比数列，所以()()21112221211414441143n n n na q a a a q +−⨯−−+++===−−，故选项C 错误；6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.故选：BD9. （多选）对于函数()13f x x πω⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ）A ．若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12−； B ．若2ω=，则函数21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象； C ．若2ω=，则函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； D ．若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=. 【答案】AD【解析】2ω=，则()213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦. 故()()min 102f x f ==−，A 正确； 21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()2213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，故B 错误； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22,333x πππ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，函数先增后减，故C 错误； 函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则44T π=，故T π=，2ω=，D 正确；故选：AD .10. 小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75︒方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是__________km ． 【答案】【解析】依题意有20248,30,1807510560AB BAS ABS =⋅=∠=∠=−=,45ASB ∠=，由正弦定理得sin 30sin 45BS AB=，解得BS =11．已知单位向量a ，b 满足()22a a b ⋅+=，则向量a 与向量b 的夹角的大小为__________． 【答案】3π 【解析】因为a ，b 均是单位向量，故可得1,1a b ==，故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=， 即2?,?1cos a b =，解得1,?2cos a b =， 又因为向量夹角的范围为[]0,π， 故,a b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 12. 在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，记数列{}21n a −的前n 项和为n S ． （1）求n S ； （2）设数列1n n n a S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若25,,m a a a 成等比数列，求m T ．【解析】（1）在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，11(22)(32)12a a ∴+⨯++⨯＝，解得11a =，1(1)221n a n n ∴+−⨯=−=．∴数列21{}n a −的前n 项和为n S ，212(21)143n a n n −=−−=−，21{}n a −∴是1为首项，4为公差的等差数列， ()214322n n n n n S +−∴=−=（2）25m a a a ，，成等比数列，225m a a a ∴=，23(21)9m ∴−＝，解得14m．()()11111212122121n n n a S n n n n +⎛⎫==− ⎪−+−+⎝⎭，141111111112335572729m T T ⎛⎫∴=−+−+−++− ⎪⎝⎭＝1114122929⎛⎫=−= ⎪⎝⎭． 1429m T ∴=13. 某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛.经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下图是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图.赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.（1）从进入决赛的选手中随机抽出2名，X 表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求X 的分布列和数学期望； （2）请填写下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关？下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++）【解析】（1）由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名. 根据题意，X 的可能取值为0，1，2.()21021315026C P X C ===，()113102135113C C P X C ===，()232131226C P X C ===. X 的分布列如下： ()1601216132613E X=⨯+⨯+⨯=. （2）由茎叶图可得22⨯列联表如下： ()22403101017 5.584 5.024********K ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关.14. 如图，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，90BAD CDA ∠=∠=︒，122AB AD DE CD ====，M 是AE 的中点.（1）证明：//AC 平面MDF ；（2）求平面DMF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【解析】（1）证明:连接CE ,交DF 于N ,连接MN ,如图所示,因为四边形CDEF 是矩形,所以N 是CE 的中点, 由于M 是AE 的中点, 所以//MN AC ,由于MN ⊂平面MDF ,AC ⊄平面MDF , 所以//AC 平面MDF .（2）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ,平面ABCD 平面CDEF CD =,DE CD ⊥,所以DE ⊥平面ABCD , 可知,,AD CD DE 两两垂直,以点D 为原点,分别以,,DA DC DE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz −,如图所示,因为2AB =,则(1,0,1)M ,(0,4,2)F , 所以(1,0,1)DM =,(0,4,2)DF =, 设平面MDF 的法向量为1(,,)n x y z =,则110n DM n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以0420x z y z +=⎧⎨+=⎩,取1y =,则1(2,1,2)n =−,依题意,得平面ABCD 的一个法向量为2(0,0,1)n =, 1212122cos ,34n n n n n n ⋅∴<>===−,故平面MDF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为23.。