人教A版高中数学必修二空间几何体表面积与体积PPT精品课件
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高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
πrl+πr^2，其中r为底面半径，l为母线长。
数学建模中的应用
通过表面积计算可以解决一些几何问题，如几何体的拼接、分割等。
实际生活中的应用
如计算包装盒的用料量、建筑物的外墙面积等。
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，表面积的计算往往是解决问题的关键步骤之一。
03
空间几何体的体积
体积的定义
体积是指三维空间中物体所占的体积量，通常用三维空间中的长度、宽度和高度的乘积来表示。
计算方法
对于规则几何体，如长方体、圆柱体等，可以直接使用公式计算体积；对于不规则几何体，可以通过分割成若干个规则或近似规则的几何体，然后分别计算体积并求和。
体积计算在日常生活和工程中有着广泛的应用，如计算物体的质量、容积、容积率等。
实际问题解决
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，利用体积计算来求解。
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
CATALOGUE
目录
空间几何体的基本概念空间几何体的表面积空间几何体的体积空间几何体的表面积和体积在生活中的应用习题与解答
01
空间几何体的基本概念
在三维空间中，由点、线、面构成的具有实在边界的物体。
空间几何体
几何体
曲面
不具有方向性的空间物体，如长方体、球体等。
由一条封闭的曲线沿着不同的方向运动所形成的封闭图形。
03
02
01
由若干个平面多边形围成的几何体。
多面体
由一个平面图形绕着一条直线旋转一周所形成的几何体。
旋转体
Байду номын сангаас
由两个或两个以上的几何体组合而成的复杂几何体。
组合体
空间几何体具有封闭性，即其边界上的点与内部的点是分开的。
数学建模中的应用
通过表面积计算可以解决一些几何问题，如几何体的拼接、分割等。
实际生活中的应用
如计算包装盒的用料量、建筑物的外墙面积等。
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，表面积的计算往往是解决问题的关键步骤之一。
03
空间几何体的体积
体积的定义
体积是指三维空间中物体所占的体积量，通常用三维空间中的长度、宽度和高度的乘积来表示。
计算方法
对于规则几何体，如长方体、圆柱体等，可以直接使用公式计算体积；对于不规则几何体，可以通过分割成若干个规则或近似规则的几何体，然后分别计算体积并求和。
体积计算在日常生活和工程中有着广泛的应用，如计算物体的质量、容积、容积率等。
实际问题解决
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，利用体积计算来求解。
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
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目录
空间几何体的基本概念空间几何体的表面积空间几何体的体积空间几何体的表面积和体积在生活中的应用习题与解答
01
空间几何体的基本概念
在三维空间中，由点、线、面构成的具有实在边界的物体。
空间几何体
几何体
曲面
不具有方向性的空间物体，如长方体、球体等。
由一条封闭的曲线沿着不同的方向运动所形成的封闭图形。
03
02
01
由若干个平面多边形围成的几何体。
多面体
由一个平面图形绕着一条直线旋转一周所形成的几何体。
旋转体
Байду номын сангаас
由两个或两个以上的几何体组合而成的复杂几何体。
组合体
空间几何体具有封闭性，即其边界上的点与内部的点是分开的。
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积课件
把球心O和每个小网格的顶点连接起来，整个 球体就被分割成n个“小锥体”.
精品PPT
球的 表面积
以第i个网格为底面的“小锥体”，其底面 为球面的一部分，所以是曲的，但如果每个
小网格都非常小，就近似 于“平”的，每个“小棱 体”就近似于棱锥，它们 的高近似于球半径R.
o
o
Si
精品PPT
球的 表面积
(2)、近似求和.
正棱锥的侧面展开图
精品PPT
h/ h/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
精品PPT
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
精品PPT
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
精品PPT
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
圆柱的侧面积；
（2） 球的表面积等于
圆柱全面积的2/3.
RO
证明：（1）设球的半径为
精品PPT
球的 表面积
以第i个网格为底面的“小锥体”，其底面 为球面的一部分，所以是曲的，但如果每个
小网格都非常小，就近似 于“平”的，每个“小棱 体”就近似于棱锥，它们 的高近似于球半径R.
o
o
Si
精品PPT
球的 表面积
(2)、近似求和.
正棱锥的侧面展开图
精品PPT
h/ h/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
精品PPT
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面 积？
侧面展开
h' h'
正棱台的侧面展开图
精品PPT
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h S 0
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
精品PPT
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
圆柱的侧面积；
（2） 球的表面积等于
圆柱全面积的2/3.
RO
证明：（1）设球的半径为
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb ab sin A
a
S 1 (a b)h
bh
2
r S r2
l
S 1lr 2
r
n r2 1 r2
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
球
球的表面积
球的体积
球面距离
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1 Sh
3
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
棱台和圆台的体积 人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
高h
V 1 (S SS S)h 3
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
h'
S表面积 S侧 S底
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb ab sin A
a
S 1 (a b)h
bh
2
r S r2
l
S 1lr 2
r
n r2 1 r2
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
球
球的表面积
球的体积
球面距离
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1 Sh
3
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
棱台和圆台的体积 人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
高h
V 1 (S SS S)h 3
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
h'
S表面积 S侧 S底
人教A版高中数学必修2第一章1.3 空间几何体的表面积与体积课件
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
人教版数学必修二空间几何体的表面积和体积(共82张PPT)
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则
S直棱柱侧＝ .（类比矩形的面积）
ch
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ .（类比矩形的面积） 2πrl
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？
侧面积怎么求？
h
cb
a
h
a
Байду номын сангаас
h
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去
底面）
2022年9月22日星期四9时44分23秒 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
2022年9月22日星期四9时44分24秒 云在漫步
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
(1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．
【思路点拨】 (1)证明△AED为直角三 角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与 底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
和高，再根据体积公式求出其体积. 2、对应的面积公式
V台体= 如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 设H为正△ABC的中心，
S直棱柱侧＝ .（类比矩形的面积）
ch
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ .（类比矩形的面积） 2πrl
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？
侧面积怎么求？
h
cb
a
h
a
Байду номын сангаас
h
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去
底面）
2022年9月22日星期四9时44分23秒 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
2022年9月22日星期四9时44分24秒 云在漫步
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
(1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．
【思路点拨】 (1)证明△AED为直角三 角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与 底面积．
【解】 (1)设正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱长
为 x.
∵△ABC 是正三角形，
∴AE⊥BC.
又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
和高，再根据体积公式求出其体积. 2、对应的面积公式
V台体= 如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 设H为正△ABC的中心，
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5 的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积 为 ______;
(2)正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面 把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱 台的侧面积.
例3：一个正三棱台的上、下底面边长
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
15cm
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
15cm
2 2
2 2
999 (cm2 )
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
例5 圆台的上、下底面半径分别为2和
4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环所
对的圆心角
例6：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
典型例题
例7 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，
问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
高中数学必修二1.3 空间几何体的表面积与体积课件(人教A版必修2)1
学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式. 难点 柱体锥体台体的表面积计算公式的应用.
小结
本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面 图形求面积的方法求立体图形的表面积.
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。
4 3 半径是R的球的体积： V R 3
推导方法：
7.5cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的 表面积 2 2
10cm
15 15 20 1.5 s 15 15 2 2 2 2
15cm
7.5cm
1000 cm
2
0.1m
2 6 . 已知圆锥的表面积为 am2 ,且它的侧面展开 3a 图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径____. 3
7 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么 这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为 180 度 ____ 8 . 已知圆锥表面积为 5 ,且侧面展开图形为 扇形,扇形的圆心角为90,则圆锥底面半径为 _____. 1
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A D1 A1 B1 O B
C A C1 A1
D B D1 B1 O
C
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式. 难点 柱体锥体台体的表面积计算公式的应用.
小结
本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面 图形求面积的方法求立体图形的表面积.
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。
4 3 半径是R的球的体积： V R 3
推导方法：
7.5cm
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的 表面积 2 2
10cm
15 15 20 1.5 s 15 15 2 2 2 2
15cm
7.5cm
1000 cm
2
0.1m
2 6 . 已知圆锥的表面积为 am2 ,且它的侧面展开 3a 图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径____. 3
7 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么 这个圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为 180 度 ____ 8 . 已知圆锥表面积为 5 ,且侧面展开图形为 扇形,扇形的圆心角为90,则圆锥底面半径为 _____. 1
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A D1 A1 B1 O B
C A C1 A1
D B D1 B1 O
C
高中数学必修二--空间几何体的表面积与体积一等奖优秀课件
，即棱锥(圆锥)的体积：
由此可知
棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的
圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
小结
圆柱 、 圆台 圆锥 各面面积之和 柱体
柱体、锥体、台体的表面积
展开图
台体
柱体、锥体、台体的体积 锥体
球的表面积
S1
R
谢 谢 大 家
人教版高中数学必修二
O’
O
O O
柱体、锥体、台体的体积
柱体
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等 的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
V柱体= Sh
h S
h S
h
S
柱体、锥体、台体的体积
锥体
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的 （其中S 为底面面积，h 为高） 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高
空间几何体的表面积与体积
人教版高中数学必修二
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？ 如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
侧面展开
h'
h'
正棱锥的侧面展开图
棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 h' h'
正棱台的 侧面展开图棱柱、棱锥 Nhomakorabea棱台都 是由多个平面图形围 成的几何体
它们的侧面展开
计算它们的表面积就 是计算它的各个侧面 面积和底面面积之和
图还是平面图形
圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法
圆柱
O
圆柱的侧面 展开图是矩形 圆锥的侧面 展开图是扇形
O
人教A版高中数学必修二空间几何体表面积与体积课件
圆锥的表面积
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l)
黄石市第二中学
Page 12
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
Page 3
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和．
因此，我们可以把多面体展成平面图形，利用平 面图形求面积的方法，求多面体的表面积．
探究
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积呢？
圆柱、圆锥、圆台它们的展开图是什么？如何计算 它们的表面积呢？
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积 3a2 ．
黄石市第二中学
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
Page 7
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
圆柱的表面积
r O l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
黄石市第二中学
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
Page 11
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
黄石市第二中学
Page 4
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l)
黄石市第二中学
Page 12
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
Page 3
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和．
因此，我们可以把多面体展成平面图形，利用平 面图形求面积的方法，求多面体的表面积．
探究
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积呢？
圆柱、圆锥、圆台它们的展开图是什么？如何计算 它们的表面积呢？
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积 3a2 ．
黄石市第二中学
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
Page 7
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
圆柱的表面积
r O l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
黄石市第二中学
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
Page 11
人教A版高中数学必修二 1.3 空间几何体表面积与体积第一课时 课件(共 38张PP T)
黄石市第二中学
Page 4
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积课件(6)
【解】易知三角形 EFQ面积恒定， 与 Q 点的位置无关即与 x ， y 无关， P 到平面 EFQ距离 与 z 有关所以四面体 EFPQ的 体积与 z 有关，与 x ， y 无关.
精品PPT
例 6、四面体 ABCD 中，AD 与 BC 互相垂直，AD＝2BC＝4，且
AB＋BD＝AC＋CD＝2 14，则四面体 ABCD 的体积的最大值
V＝Sh V＝13Sh V＝13(S 上＋S 下＋ S上·S下)h 精V品＝PP43TπR3
三 、长方体、正方体
1、长方体表面积公式：S＝2(ab＋bc＋ac)，长方体体积公式： V＝__a_b_c____.
2、正方体表面积公式：S＝__6_a，2 正方体体积公式：V＝_a_3__.
3、长方体对角线长等于 a2＋b2＋c2 ，正方体对角线长等于 ____3_a___．
A
B
四、正多面体与球
1、正方体与球
D1
C1
外接球：R 3a 2
A1
B1
内切球：r a
o
2
D
与棱相切的球：r / 2a
长方体外接球半径 2 A a
C球
心
B
均
求解与正方体相同
A
为 中
2、正四面体与球
心
外接球： R 3 AH 4
内切球：r 1 AH 4
利用等体积法求半径 B 精品PPT
oD
H
a
长轴为 2 14的椭圆上的点到 x 轴的距离，
其最大值刚好是点 B 在短轴端点的时候得到，4
即 BE≤ a2－c2＝ 142－22＝ 10
所以 V＝43 BE2－1≤43 102－1＝4. 即四面体 ABCD 的体积的最大值是 4.
人教A版高中双数学必修二课件1.3.1空间几何体的表面积与体积3高二上
问题探究点三 简单组合体的表面积和体积 例 3 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC
＝90°,AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平 面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB,以 l 为轴旋转一 周．求旋转体的表面积和体积． 解 如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝BcCos－6A0°D＝2a，AB＝CDsin 60°＝ 3a， ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， ∴DO＝12DD′＝a.
高中数学课件
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数学必修2
空间几何体的表面积与体积 （三）
球的体积
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
3
球的表面积
定理：半径是R的球的表面积为：S 4R2
Байду номын сангаас
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
R 3a 2
S 4R2 3a 2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
探究若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a ⑵正方体的外接球直径＝ 3a ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝ 2a
当堂测试： 1，课本P28，练习T1，T2，T3。 课后作业： 1，课本P29，习题B组T1。
由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱
中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长 3a，底面半径 2a；圆锥的母线
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适都和一
个底面积为S，高为h的长方体
的体积相同．
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二、探究棱柱、棱锥、棱台的体积
问题4 大家刚才阅读教材时已经发现了，棱锥的 体积公式为 V 1 Sh ，其中S为底面积，h为棱锥的高．
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六、布置作业
作业： 教科书习题8.3第1，2，3，6，7题．
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目标检测设计
AB′D′截去三棱锥A′- AB′D′后，所得几何体的表面积如何
计算？
D
C
是直接将两个几何体的面积相减吗？
A
S =S正方体 S A ABD 2SABD
D
B C
A
B
二、探究棱柱、棱锥、棱台的体积
问题3 我们之前已经学习长方体的体积公式
V长方体 abc ，其中a，b，c分别是长方体的长、宽、 高．它的一种等价表述形式是 V长方体 Sh ，其中S是长方 体的底面积，h是长方体的高．那么，公式 V Sh 是否
Sh
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四、应用公式，熟练掌握
例 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一
个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正 方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01 m3）？
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黄1石2市/1第3二/中2学020
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花盆外壁的面积=花盆的侧面积+底面积-底面圆孔面积
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温故新知
h
h
h
a
a
a
等面积法：等底等高的三角形面积相等
S
1 2
a
h
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类比
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
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思考？？
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等底等高的柱体体积相等
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柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
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一般棱柱体积也是：V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
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锥体的体积
S’
s
h’ h
S’
s
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Page 4
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h
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正棱柱的侧面展开图
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棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正棱锥的侧面展开图
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h/ h/
Page 6
典型例题
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ．
必修二第一章空间几何体第三节第一课时
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积
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北京奥运会场馆图
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提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方
体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
空间问题
平面图形面积 平面问题
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祖暅
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β S1
α
S2
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我国古代著名数学家祖冲之在计
算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。
祖暅提出这个原理，要比其他国
家的数学家早一千多年。在欧洲知道 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 （Cavalieri .B，1598年~1647年）提 出上述结论
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圆锥的表面积
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l)
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圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ?
2r'
r'O’
2r
l
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r2 r 2 rl rl)
取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们 的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
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探究
等高、等截面面积（不受截面形状影响）
体积相等
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祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几何体 ，被平行于这两个平面的任何平面所截 ，如果截得的两个截面的面积都相等， 那么这两个几何体的体积相等。
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锥体的体积
3V锥体 V柱体
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V锥体
1 3
V柱体
1 3
S
h
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探究台体的体积
h/
S’
S’
h
s
s
S（下底面积）、S （上底面积）、h（高）
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x s' xh s
棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
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h'
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棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形， 棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形， 棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形.
这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、 三角形、梯形的面积问题.
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棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
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圆柱的表面积
r O l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形
组成．
S
解：先求ABC 的面积，过点S作
SD BC ,交BC于点D．
A 因为BC=a， SD SB sin 60 3 a
2
BD
C
所以：SABC
1 2
BC SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积 3a2 ．
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（429年~500年）
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复习回顾
长方体体积：V abc
正方体体积：V a3
圆柱的体积：V r2h
圆锥的体积： V 1 Sh
3
V
Sh
探究：如何解决柱体的体积问题？
柱体的体积
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长方体的体积
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探究柱体的体积
V柱体 S h
h
ss
Ss
sS
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引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和．
因此，我们可以把多面体展成平面图形，利用平 面图形求面积的方法，求多面体的表面积．
探究
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积呢？
圆柱、圆锥、圆台它们的展开图是什么？如何计算 它们的表面积呢？
等底面积等高的两个锥体的体积相等
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探究 V柱=sh
V系
A′
C′
A′
A′
B′
1
A′ B′
2
C′ B′
3
A B
思考：
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C A
C
C
C
B
B
V V （1） A' ABC 与 C A'B'C ' 关系：
V V （2） A'BB'C 与 A'B'C 'C 关系：
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三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
l
O
r’ ＝r
上底扩大
r'O’
rO
l r’
＝0
上底缩小
l rO
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl) S锥 r(r l)
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典型例题
例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为 15cm,底部渗水孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为美化 花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油 漆，涂100个这样的花盆，需要多少油漆.(精确到1毫 升,可用计算器)