球面距离(沪教版)
上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第十讲球的体积及球面距离
沪教版数学高二下春季班第十讲课题 球的体积及球面距离单元第十五章 学科数学年级十一学习 目标 1．理解球的有关概念，掌握球的性质及有关公式；2．理解球面距离的概念，会计算常见的球面距离； 3．解决常见的与球有关的计算问题．重点 1．球面距离的计算方法；2．球的表面积与体积的计算问题；3．掌握常见的球内接与外切问题的解决方法 难点 掌握常见的球内接与外切问题的解决方法1、球的定义：半圆绕着它的直径所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做球，记作球O 。
半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球．大家要注意球面和球是不同的两个概念．点O 到球面上任意点的距离都相等，把点O 称为球心，原半圆的半径和直径分别成为球的半径和球的直径。
球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆．教学安排版块时长1 知识梳理 302 例题解析 603 巩固训练 204 师生总结 105 课后练习30球的体积及球面距离知识梳理2、球的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面；设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r=22d R -3、球的表面积、体积公式：表面积：24R S π=；球的体积公式：334R V π=．4、球的体积公式高中数学教材对球的体积公式343V r π=球(r 为球的半径)作了要求，但只是简单地说“利用祖暅原理和圆柱、圆锥的体积公式”可得出此公式，未作具体推导.鉴于部分学有余力的学生想了解其推导过程，现提供几种用高中数学知识就可推导的方法.方法一:利用祖暅原理为方便起见，现只计算半球的体积.正如教材中所说的方法，利用祖暅原理关键是要构造一个和半球等高且横截面面积处处相等的几何体.如图1，在一个底面半径为r 、高为r 的圆柱中挖去一个底面半径为r 、高为r 的圆锥， 则距离下底面h 的横截面为一圆环，面积为22r h ππ-.又半球距离下底面h 的横截面为一个圆，由勾股定理，半径为22r h -，面积也为()22r h π-.因此，所构造几何体的体积与半球的体积相等，为圆柱的体积减去圆锥的体积，即2231233r r r r r πππ⋅-⋅=， 所以球的体积为343V r π=球.方法二：把球分割成无穷多个小圆柱高中生已经学过极限的知识，可以尝试这个方法.同样，只计算半球的体积. 如图2，把半球的高n 等分，作n 个半球的横截面，再以这些横截面为底面，作n 个高为rn 的圆柱.这些圆柱的底面积分别为2r π，22r r n π⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，222r r n π⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()221,n r r n π⎡⎤-⎛⎫⎢⎥-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 所以这些圆柱的体积之和是()222222212n n r r r r V r r r r n n n n π⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅+-+-++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L()()222222121r rnr n n nπ⎡⎤=⋅-+++-⋅⎢⎥⎣⎦LO()()331111216r n n n n π⎡⎤=⋅-⋅--⎢⎥⎣⎦32211326r n n π⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭当n →∞时，圆柱体积之和就无限趋近于半球的体积，即32lim 3n V r π→∞=n ，所以球的体积为343V r π=球.方法三、把球分割成无穷多个小圆锥把球面近似分成n 个部分，当n →∞时，每个部分可看做一个圆.以这些圆为底面，以球心为顶点做圆锥，则所有圆锥体积的和即为球的体积.如图3.设每个圆的面积为12,,,nS S S L ，则所有圆锥体积的和为()121211113333n n S r S r S r r S S S +++=+++L L 又球的表面积为()212lim 4n n S S S r π→∞+++=L ，所以球的体积为()31214lim 33n n r S S S r π→∞+++=L . 这种推导方法比较简单易懂，但需要用到球的表面积公式，而他无法用高中数学知识推导，顾此方法的说服力不如前两种方法. 4、经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0o经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数5、球面距离：球面上两点之间的最短距离，也是过两点的大圆的圆弧（劣弧）长度．（1）两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 即： l R ϕ=(ϕ为球心角的弧度数)．ϕBA RR O（2）半球的底面：已知半径为R的球O ，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面．1、球的概念与球的截面【例1】①当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；②过球面上两点只能作一个球大圆；③过空间四点总能作一个球；④球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★【答案】C【例2】已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为π6和π8，则两平行截面间的距离为（）A．1B．2C．1或7D．2或6【难度】★【答案】C【例3】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。
沪教版——15.6球面距离PPT
A
在A、B之间的劣弧的长越小！
在过A、B点的球的截面中半径最大的是
过球心的大圆
球面距离
A、B两点的球面距离：
过A、B两点的大圆
在A、B间的劣弧长
O
度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
过球面上两点的大圆是唯一的吗？
当A,B,O三点共线时，不唯一； 当A,B,O三点不共线时，唯一。
A B
小试牛刀
球的概念
复习1．球的概念
半圆以它的直径为旋转轴，旋转 所成的曲面叫做球面．
球面所围成的几何体叫做球体． 简称球．
球的概念
球的直径
球心
球的半径
球的性质
复习2．球的性质
性质1：球心和截面圆心的连线垂直 于截面．
性质2：球心到截面的距离 d与
球的半径 R及截面的半径 r 有下面的
关系：r R 2 d 2
O
A 赤道
南极
经线
例1、 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东经 1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求 两个城市间的距离。（精确到1km）
城市D位于东经121°，南纬29°
A
B
P
O
赤道
C
D
(2)P地的经度的规定： 经过P点的经线与地轴确定的半
平面和本初子午线与地轴确定
性质3：球面被经过球心的平面截得的 圆叫做大圆，被不经过的截面截得的圆 叫做小圆。
• 从北京飞往纽约沿哪个方向能最快到达呢？
平面上两点连线线段的长度 ---平面上两点间的距离 球面上联结两点的最短路径的长度--- 球面上两点间的距离
球面上两点间的距离该如何去寻求呢？
B
球面距离计算公式的推导及举例
球面距离的盘算及其盘算公式在球面上,不在统一向径上的两点之间的最短距离,就是经由这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度,我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1,A.B 为球面上不在统一向径上的两点,O 为圆心,⊙O 为过A.B 的大圆,⊙O '为过 A.B 的任一个小圆,我们把这两个圆画在统一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ,α'='∠2B O A ,球半径为R ,半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=,AB小圆弧长rl α'=2r a R r R l L '='=ααα22 （1）但αα'==sin 2sin 2r R AB ,即ααsin sin '=r R （2）将（2）代入（1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L（3）∵r R >,由（2）式知αα>'.因为20παα<'<<,故只需证实函数()xxx f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可.∴()()0tan cos sin cos 22<-=-='xx x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时,有x x >tan ）∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减,由（3）式不可贵到1<lL,即l L <. 故大圆劣弧最短.球面距离公式：设一个球面的半径为R ,球面上有两点()11,βαA .()22,βαB . 个中1α,2α为点的经度数,1β.2β为点的纬度数,过A .B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ,则有()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ⋅+-=（弧度）A.B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L 证实：如图1,⊙1O 与⊙2O 分离为过A.B 的纬度圈,过A.C 的大圆,过B .D 的大圆分离为A.B 的经度圈,而经度圈与纬度圈地点的平面互相垂直,作⊥AE 面BC O 2,垂足E位于C O 2上,贯穿连接EB.AB. 则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中,由余弦定理,得：()212222222cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE 故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB又()θθθcos 122sin 42sin 222222-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=R R R AB ,比较上述两式,化简整顿得： ()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=,从而可证得关于θ与L 的两个式子.盘算球面距离的三种类型现行教材中,介绍了球面距离的概念,这方面的习题许多,同窗们进修时广泛觉得艰苦．下面给出这类习题解答的示范,以供同窗们参考．1．位于统一纬度线上两点的球面距离例1 已知A ,B 两地都位于北纬 45,又分离位于东经 30和 60,设地球半径为R ,求A ,B 的球面距离．剖析：请求两点A ,B 的球面距离,过A ,B 作大圆,依据弧长公式,症结请求圆心角AOB ∠的大小（见图1）,而请求AOB ∠往往起首请求弦AB 的长,即请求两点的球面距离,往往要先求这两点的直线距离．解：作出直不雅图（见图2）,设O 为球心,1O 为北纬 45圈的圆心,贯穿连接OA ,OB ,A O 1B O 1,AB．因为地轴⊥NS 平面B AO 1．∴1OAO ∠与1OBO ∠为纬度 45,B AO 1∠为二面角B OO A --1的平面角．∴3030601=-=∠B AO（经度差）．Rt △1OAO 中,R R OAOOA A O 2245cos cos 11=⋅=∠=． △AB O 1中,由余弦定理,B AO B O A O B O A O AB 11121212cos 2∠⋅-+=22223230cos 222222222R R R R R -=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．△OAB中,由余弦定理：43222322cos 2222222+=--+=⋅-+=∠R RR R OBOA ABOB OA AOB ,∴ 21≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R Rππ60721180=⋅． 2．位于统一经线上两点的球面距离例 2 求东经 57线上,纬度分离为北纬 68和 38的两地A ,B 的球面距离．（设地球半径为R ）．解：经由B A 、两地的大圆就是已知经线．303868=-=∠AOB ,618030RR AB ππ=⋅⋅=．3．位于不合经线,不合纬线上两点的球面距离例3A 地位于北纬 30,东经 60,B 地位于北纬 60,东经 90,求A ,B 两地之间的球面距离．（见图4）解： 设O 为球心,1O ,2O 分离为北纬 30和北纬 60圈的圆心,贯穿连接OA ,OB ,AB ．\Rt △A OO 1中,由纬度为 30知 301=∠OAO ,R R OAO OA O O 2130sin sin 11==∠= , R R OAO OA AO 2330cos cos 11==∠= ．Rt △B OO 2中, 602=∠OBO , ∴R R O O 2360sin 2=⋅= ,260cos 2R R B O =⋅= ,∴R R R OO OO O O 21321231221-=-=-=． 留意到A O 1与B O 2是异面直线,它们的公垂线为21O O ,所成的角为经度差306090=-,应用异面直线上两点间的距离公式．αcos 22122122212B O A O O O B O A O AB ⋅-++=（α为经度差）2222432530cos 212322132123R R R R R R -=⋅⋅⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．△AOB 中,RR R R R OBOA ABOB OA AOB ⋅--+=⋅-+=∠243252cos 2222228205.08323≈+=．∴ 35≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R R ππ36735180=⋅．。
沪教版高三上册第15章简单几何体15.6球面距离 课件 共14张PPT
O A’
四、巩固练习
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国
台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大
的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371
千米.
（1）求中国台北到上海的
O’
距离.答（ ）．（结果
A上海
C亚特兰大
精确到1千米）
B中国台北
A. 3336km O
课题 球面距离(1)
一、形成概念 已知上海的位置约为 东经121o,
北纬 30o，开罗的位置约为 东经 31o, 北纬 30o，你能求出开罗到上海的距离吗？
（结果精确到1千米）
经度 ——本地经线平面与本初子午线平面的夹 角（二面角）。
北极
地东
0
度
轴 地心
经
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
经
121
线 121度 度
纬度 ——本地点到球心连线与赤道平面的夹角
AB
=
R 2
, 求A, B两点的球面距离.
3．求解巩固练习（2）.
4．课本书后练习题1.
5．课本书后练习题2.
（二）选做题
1.长方体ABCD - A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上， AB = AA1 = 1，BC = 2 ，求A, B两点的球面距离.
2．习题册15.6 A组1. 3．习题册15.6 A组3. 4．习题册15.6 B组1. 5．习题册15.6 B组2.
B. 2780km
C. 319km
D. 556km
巩固练习：
已知上海的位置约为东经121°，北纬30°，中国 台北的位置约为东经121°，北纬25°，美国亚特兰大 的位置约为西经84°，北纬30°.设地球的半径为6371 千米.
球面距离(沪教版)
A OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48
AB的弧长 2 6371 99.48
360
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1)解：在BOO1中，
OO1B 90°,OB R,
2
OBO1 45 , BO1
∴纬线圈中AB 的长度为
2
R.
m
O1
A
B
O
. 2 R 2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
O1
A
B
AOB
N
解 EOB EOA
AOB, 又 EOB 68
B
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
练习： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
定义：球面上，两点 之间的最短连线的长 度，就是经过这两点
的大圆在这两点之间 B 的劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点 的球面距离.
A
α
O
一般地：球面距离L=αR （α称为球心角）
1.已知A，B是半径为3的球面上
两点，且AB= 3 3 ，求A，B两
点的球面距离.
球面距离
OC2 OD2 CD2
cos COD
0
2OC OD
COD 90
B的位置可能是：东经110 ,西经 70
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式
(2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
在东经90 20 70，北纬45处。
四、作业
1.设地球的半径为R， 若甲地位于北纬60O，东经120O； 乙地位于南纬15O度，东经120O， 求甲、乙两地的球面距离。
甲
O
乙
2.地球是一个半径为R的球， A在北纬45°，东经70°， B在北纬45°，东经160° 求A、B两地的球面距离。
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
N 解： EOB EOA
B
AOB, 又 EOB 68
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
巩固及时练： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置 约为东经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210, 北纬250, 求两个城市间的距离。
3
地球仪中的经纬度
经度：
经过P点的经线与地轴确 Q 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 所成的二面角的度数 A （即∠AOB的度数）
M
P
O
B
经度是二面角
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或AOB 的
度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第12讲 空间向量 (核心考点讲与练)解析
第12讲空间向量 (核心考点讲与练)1、空间向量的概念与运算（１）空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等）与平面向量情形相同．（２）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量．考点一：空间向量的概念与运算一、填空题1．（2019·上海市延安中学高二期中）给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④ 【分析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.2．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）若a 、b 、c 是空间中的三个向量，1a =，2b =，3c =，且()()0a b a c -⋅-=，则b c -的最小值为___________．【答案】1 【分析】建立平面直角坐标系，求得D 点的轨迹，结合圆的知识求得BC 的最小值.设a OA =，b OB =，c OC =，∴AB AC ⊥，求BC 的最值，O 、A 、B 、C 在同一平面时，BC 有最值，如图建系，不妨设1,0A ，(),B m n ，(),C p q ，BC 中点(),D x y ， 可知224m n +=，229p q +=，0.5()x m p =+，0.5()y n q =+ ，由AB AC ⊥可知(1)(1)0m p nq --+=，消参可得22 2.75x y x +-=，即D 点轨迹为22 2.75x y x +-=，D 点的轨迹是1,02⎛⎫⎪⎝⎭.所以min 12AD =，即min 1BC =．故答案为：13．（2022·上海金山·高二期末）在空间直角坐标系O xyz - 中，已知向量()1,0,3a =，则a 在x 轴上的投影向量为________. 【答案】(1,0,0) 【分析】根据向量坐标意义及投影的定义得解. 【详解】因为向量()1,0,3a =，所以a 在x 轴上的投影向量为(1,0,0). 故答案为:(1,0,0)4．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间四边形ABCD 中，E ､F ､G ､H 分别是AB ､BC ､CD ､DA 边的中点，如果2AC =，4BD =，则22EG FH +=___________.【答案】10首先构造平行四边形，然后利用向量法计算出22EG FH +. 【详解】画出图象如下图所示，1////,22EH BD FG EH FG BD ===，1////,12EF AC GH EF GH AC ===， 所以四边形EFGH 是平行四边形.EG EF EH =+，FH FE FG =+， ()22EG EF EH=+，()22FH FE FG =+，22142,142EG EF EH FH FE FG =++⋅=++⋅，两式相加得221022EG FH EF EH FE FG +=+⋅+⋅，22102210EG FH EF EH EF FG +=+⋅-⋅=.所以2210EG FH +=. 故答案为：105．（2022·上海金山·高二期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则集合{},1,2,3,,8i y y AB AP i =⋅=中的元素个数为______．【答案】1 【分析】根据空间平面向量的运算性质，结合空间向量垂直的性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅． 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，所以2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1,2,3,,8i y y AB AP i =⋅=中的元素个数为1．故答案为：16．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD '⊥α，DBD '∠=30°，如果AB =a ，AC =BD =b ，则C 、D 间的距离为_____________；【分析】根据图像将CD 用,,CA AB BD 表示出来，然后求模即可得到结果． 【详解】解：线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD AB ⊥，线段DD α'⊥，30DBD ∠'=︒，如果AB a ，AC BD b ==，由题意可知：CD CA AB BD =++， 因为AC ⊥α，DD '⊥α，运算AC DD '∕∕，又DBD '∠=30°，所以异面直线,AC BD 所成的角为60︒，∴22222()222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++++22222cos120b a b b =+++︒22a b =+．所以C 、D7．（2021·上海中学高二期中）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=且对任意x 、y R ∈，12010200|()||()|1(,),b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈则00b x y ++=______【答案】3+3 【分析】根据最值的定义，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】由12010200|()||()|1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈可知： 当00,x x y y ==时，12|()|b xe ye -+有最小值1，22222212121222()222b xe ye b xb e yb e x e y e xye e ++=-⋅-⋅+⋅++⋅因为12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=,空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=,所以()22222221243()452724y b xe ye b x y x y xy x y b -⎛⎫++=--+++=++--+ ⎪⎝⎭, 显然当40220y x y -⎧+=⎪⎨⎪-=⎩时，212()b xe ye ++有最小值，最小值为1，所以217b =-+， 解得：2128x y b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即当001222b x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时成立，因此00322b x y ++=+故答案为：3+【点睛】关键点睛：根据最值的定义利用配方法是解题的关键.二、解答题8．（2019·上海·复旦附中高二期中）如图，在四棱锥中P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD DC ⊥，AB ∥DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE PD ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求线段PF 的长.【答案】（1）略；（2【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，分别表示出BE 和PD 的坐标，数量积为0即可证明两向量垂直；（2）设F 点的坐标，由BF AC ⊥计算出F 点的位置，再根据向量计算出PF 的长。
浅析“球面距离”概念的教学
浅析“球面距离”概念的教学上海中学数学?2010年第l2期37一,问题的提出浅析"球面距离"概念的教学200050上海市长宁教育学院沈子兴"球面距离"是立体几何中的重要概念,上海市二期课改教材(高三年级)第41页关于"球面距离"的概念是这样阐述的:"可以证明,在连接球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的长度就是这两点的球面距离."最近在上海市青年数学教师教学评优中,共有8节课,课题都是"球面距离",可谓同课异构,各显神通,精彩纷呈."异构"中最大的差异就在于"球面距离"概念教学的处理,课本中"可以证明"这几个字让教师费尽心机,让学生疑虑重重.听完课以后,观摩教师议论纷纷,总感到"球面距离"概念的教学有欠缺,大家都存在这样的疑问:"球面距离"的概念到底该如何教?首先让我们一起赏析几位参赛教师的教学设计.二,教学设计及分析设计一:情境引入,呈现概念(以下为师生的一段对话)师:在三棱柱ABC_A1B1C1中,一只蚂蚁在平面A1.B上某一点P处向平面B1C上一点Q处爬行,蚂蚁爬行的最短路径如何确定?生:将三棱柱沿着棱A1A展开成平面图形,平面上两点间线段最短,连接PQ的线段长即为所求最短距离.师:在圆柱和圆锥中也有类似的问题,我们也是通过这种方法解决问题的.那么在球上两点A,B之间,它们的距离又该如何确定?课本上是这样定义的:(略)(接着,通过一个练习,强化定义,落实关键词:大圆,劣弧.)【赏析】本设计通过实例揭示距离的本质是"最短",直接给出球面距离的概念,开门见山,使学生很快了解了球面距离概念的两个关键词"大圆,劣弧",很快进入"如何求两点间的球面距离?"的环节,显然教学的重点是掌握球面距离的计算方法.但情境的刨设不尽合理,虽然展开图让学生知道了距离本质是最短,但同时也强化了另一认识:在空间图形中要求距离就需要展开图.听课时笔者在担心:在教师提出如何求球面上两点之间距离时,假如有学生提出将球面展开成平面图形,教师又该如何回答?如果教师讲球面不能展开成平面图形,学生追问为什么,教师该如何解释?"可以证明……"这句话是难以让学生信服的,这些都给学生留下了谜团.设计二:1.实例引入,形成冲突上海在靠近北纬3O度东经120度A点,美国洛杉矶在靠近北纬3O度西经120度的B点,上海航空公司的航班客机从上海飞往洛杉矶, 请你设计飞机航线.2.动手实验,探索新知在地球仪上,选定上海和洛杉矶两点,用橡皮筋两端固定并绷紧,这就是球面上两点间的最短距离.再用几何画板演示,过球面上两点的圆中,半径越大,劣弧越短.3.思辨论证,得出结论为了体现数学的严密性,必须对实验结果严格论证,但证明过程中涉及到函数—slnx~E(0,)上的单调性.几位教师的处理各有特厶色,大致有三种处理方法:一种是由于证明较复杂,留给同学们课后思考;第二种是利用单调性的定义,借助于三角比的不等式0<sinx< tanx,∈(o,-5"-)进行放缩,得出结论;第三种作厶出—sinx在zE(0,-5"-)图像,在图像上任取一厶点P(x,sinx),当从0增加到时,从图上直'观地看到,直线OP的斜率越来越小,因此说明函数.)I:在E(o,詈)上单调递减.厶4.形成概念,完善结构在以上基础上,给出球面距离的概念,突出关键词,揭示距离的本质,即最小性.【赏析】本设计中教学的重点设定在揭示球面距离概念的形成过程,通过设计一个实际问题情境, 32上海中学数学?2010年第12期使学生的认识与实际情况之问出现矛盾,产生冲突,激发学生的探究欲望,接着从研究方法上进行引导,先从实验出发,形成感性认识,再从数学的角度进行严格的证明,整个过程展示了实验猜想…论证这一科学研究的基本方法,让学生经历了概念形成过程,通过与其它距离的比较,加深了对球面距离概念的理解,并将球面距离的概念纳入到距离概念的体系之中, 进一步完善学生的知识结构.但不足之处是显然的:1.教学情境的创设必须与本节课研究的问题密切相关,本设计所用实例"飞行航线的确定"不仅是航线最短的问题,最主要的是安全问题,设计航线涉及的因素很多,包括气流的变化,地形地貌的变化,因此让学生设计航线就很困难,这类题属于指向不明,虽然激疑,但疑惑的解决与本节课所学习, 研究的内容没有很直接的因果关系,不能将学生的思维聚焦在"距离"上.没有发挥情境应有的作用.2.对函数一三在∈(0,)的单调性,￡'虽然各自处理方法不同,但从课堂上学生的反应来看,这三种处理方法都不妥当,都没有达到效果.留给学生课后思考,对绝大多数学生来说是一句卒话.都已经到了这一步,突然停止."早知此刻,何必当初"呢?第二种处理方法,教师花费力气将结论加以证明,由于证明难度较大, 对绝大多数学生来说这个证明是无效的,同时又为本节课制造了一个新的难点,是否有喧宾夺主的嫌疑,花费了许多时问,完成了一个对本节课来说是"非主流"的证明,使得后面的教学非常急促,实在不值得.第三种处理方法虽然设想得很巧妙.但从图像上直线OP斜率的变化情况也是不容易看出的,而且也不能达到严格证明的目的,完全可以在开始时就直接通过直观演示得出结论,不必要绕这么大的一个圈子, 因此从教学的实际来看,要说明"过A,B两点的圆中,半径越大,劣弧越短"的结论,不宜将问题引到函数y一在∈(0,鲁)的单调性进f'行讨论,否则不仅浪费了时间而且又讲不清楚, 教师费尽心机.学生形同雾里看花.三,对教学的启示1.情境的创没应具有启发意义,能让学生进入情境后对新问题的解决有导向作用,因此创设情境环节应强调"两个适合":一是适合学生,情境是学生熟悉的,感兴趣的才能引发思考;二是适合后续问题的展开与研究,设置情境引发思考,要对后续问题的解决具有启发意义, 且具有一定的逻辑关系及类比关系,绝不能让学生在情境中迷失方向,节外生枝.2.数学中无论是概念还是定理,法则的教学,都需要一个让学生认同,接受的过程,尽管只有一个概念如"球面距离".学生仍会有很多疑虑:为什么过球面上两点作截面与球的交线一定是圆?为什么过这两点的大圆的劣弧最短?可能有教师认为学生现有的知识不能解释这些问题,但绝不能用"可以证明"四个字蒙混过关,虽然不能证明,我们可以借助多媒体,通过直观的演示让学生感受到"确实是这样",消除疑虑,才能进一步地学习,否则总是学生的一块"心病".3.《上海市中小学数学课程标准》对球面距离的教学给出了明确的要求:知道球面距离和经度纬度等概念,进一步认识数学与实际的联系.由此可以看出教学设计二的教学要求是偏高了,并且与学生现有水平有了距离.新教材与旧教材相比,立体几何内容变化最大,新教材对立体几何教学的要求是加强直观,淡化沦证,转化方式,降低难度.因此对一些学生难以理解的概念,性质,可更多地借助于直观模型,借助于媒体,直观地描述空间图形特征,加深学生的理解,而对一些复杂线面关系的证明转化为利用空间向量处理,这样有效地解决了几何学习证明难的问题,包括一些角的计算如线面角,二面角等,都转化为向量所成的角进行计算,因此在立体几何学习过程中,如果每个结论都要利用课堂时问进行严格证明,显然是不可取的.四,教学建议1.教学情境的设计应符合学生的认知心理,使学生感到数学问题来源于现实生活.例如:上海在靠近北纬3O度东经12O度A点,美国洛杉矶在靠近北纬3o度西经120度的B点, 问上海到洛杉矶的最短距离是多少?2.概念的引入通过实验…观察一归纳的过程,采用直观与论证相结合的办法实现.如:在地球仪上,选定上海和洛杉矶两点,学生用橡皮筋两端固定并绷紧,从而感受到这就是球面上两点间的最短距离.再用几何画板演示.过球面上两点的圆中,半径越大,劣弧越短.如果只是老师讲解哪段弧最长最短,学生不太相信,难以接受,而通过亲手实验,动手操上海中学数学?2010年第l2期33一节动态生成的习题探究课315500浙江省奉化二中金晖浙江省奉化中学孙伟奇教学有预设的一面,也有生成的一面.从某种意义上说,课堂教学中的生成比预设更有意义和价值.在生成的过程中,师生双方超越了传统的教与学的理念,积极互动,课堂中充满了对智慧的挑战和对好奇心的满足,焕发了师生的生命活力.精彩往往缘自生成!最近笔者就上了这样一节高三习题课.案例记录一,抛砖引玉,发现结论例已知抛物线—4x的焦点为F及其准线上一点M(一1,1),经过点F任作一条直线交抛物线于A(l,Ly1),B(x2,yz)(.yl>0,2<O)两点,则是M4+是Ⅷ一()11A.÷B.1C.一÷D.一1厶题目刚拿出不久,就有个同学举手了.生1:答案是D吗?师:非常正确,你在这么短的时间就做出答案了,真是太了不起了,你能告诉我你是怎么思考的吗?生1:通过点M我可以求出抛物线的方程,然后直线既然是任意的,那我就取了一条特殊的垂直于轴的,这样A,B两点的坐标就求出来了.其他的同学都哗然了,纷纷在小声地赞叹他.师:你真是太聪明了!作为选择题,我们就作后,学生有了感受,对这一结论也就信服了,并借助于媒体演示在同一平面上过A,B两点的圆中,"半径越大,劣弧越短"的现象,让学生从感性上认识到这个结论是正确的,是不容置疑的,如果教师想严格论证,那将会陷入困境,因此在立体几何教学中学生的直觉思维非常重要,有些问题学生目前没有能力进行严格论证, 但这是一个正确的结论,那么可以通过实验,通过观察图形的变化验证这一结论,这样学生的"思维链"不会断裂,保证了学生思维的流畅性, 从而对这一问题形成正确的认识,在此基础上引出球面距离的概念就显得很自然.应该选择最优的解法,取特殊的元素就是非常好的做法.值得推荐!上面的题目是点M为定点,直线动,现在若反过来呢?在这道题的基础上,笔者将其做了以下变式:变式l:已知抛物线Y0—4x的焦点为F及其准线上一点M,经过点F作倾斜角为6O.的直线交抛物线于A(zl,y1),B(X2,y2)(yl>0,y2<O)两点,若+尼:m,则是MF一.学生很快给出下面的解答:解:设M(～1,a),联立直线与抛物线的方fv2—4x一1程:c一,可解得A(3,2√3),B(÷,【=43(一1)29一—一a一).又因为是_Ⅵ4+尼=m,所以有一.1一(一1)+二f_一,&一一,所以一.十——,&一一,所以定一百. 笔者在备课时觉得像这样挖掘一下就差不多了,顶多再把抛物线方程变得更一般些,根本没有往深的地方去想,可是学生的反应远远超出我的预料.生:我觉得上面的题目好像有志+忌MB一2七M,这个结论,我验证了刚才的那道题也是成立的.很快有一部分同学都表示赞同,但也有人表示怀疑:"会不会是巧合啊?".师:想知道结论是否恒成立,大家自己去证3.概念形成后应强化对关键词的理解.球面距离的概念出现之后,必须对概念进行分析,揭示其内涵和外延,明确定义中的关键词:大圆,劣弧,这样更有利于学生对概念的理解和记忆.由以上的分析可以看出,在教学过程中必须正确把握教学基本要求,根据学生的实际设计科学而且合理的教学过程,立体几何教学是高中新课程的难点,要突破这一难点,教师不仅要正确掌握教学的内容,而且要准确把握新旧教材的差异,这样才能使新课程的教学要求真正落到实处.。
高中高三数学《球面距离》教案、教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.球面距离的定义及其与欧几里得距离的区别。
2.球面三角学基本公式的掌握和应用。
3.球面距离在实际问题中的计算和运用。
（二）教学难点
1.球面距离概念的理解，尤其是球面余弦定理和球面正弦定理的应用。
2.空间想象能力的培养，尤其是在解决球面角、球冠、球扇形等问题时的运用。
3.学生对球面距离计算的熟练程度和准确性。
教学设想：
1.创设情境导入：通过引入地球表面两点之间的最短距离问题，激发学生对球面距离的兴趣，引导学生思考球面距离与平面距离的区别。
2.理论知识讲解：采用形象直观的多媒体教学手段，如球面模型、动画等，帮助学生理解球面距离的概念。结合实际例题，详细讲解球面三角学的基本公式，强调公式的适用条件和注意事项。
3.案例分析与讨论：选取具有代表性的例题，组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。在讨论过程中，教师应及时解答学生的疑问，引导学生正确运用球面三角学公式。
4.练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。针对学生的错误，教师应进行分析和指导，帮助学生找到问题所在，提高计算准确率。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究、合作交流，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。具体包括以下方面：
1.创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论，发现球面距离的计算规律。
2.利用多媒体教学手段，如球面模型、动画等，帮助学生建立空间概念，理解球面距离的计算方法。
3.组织学生进行小组讨论，培养学生合作交流的能力，提高学生的数学表达水平。
高中数学沪教版高三上册《球面距离》课件
过平面上一点A的两条射线AB,AC所形成的图形叫 作角，记成∠BAC.
过平面上一点A的两条直线，可以形成4个角。一般规 定，两条直线的夹角为不大于90°的角。
在平面几何中，一般不区分角和角的大小，都用同一个 记号，比如在三角形ABC中，∠BAC既表示角，也表示角的 大小。
从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫 做球面角。这个点叫作球面角的顶点，两条大圆半弧叫作球 面角的边。
如图所示，球面角的顶点为P，P的极线与球面角的两 边交于A,B两点。设P的对径点是P′,则这个球面角的两边
是 PAP和 PBP 。
球面角可以表示成∠APB， 在不产生混淆时，也可以简单 表示成∠P。与平面几何相同， ∠APB既表示角，也表示角的 大小。
设射线PD是 PA 的切线，射线PE是 PB 的切线，则球面
角∠APB的大小＝∠DPE的大小。简写为∠P＝∠DPE。我
们规定 0 P 。 当两个大圆所交成的球面角 等于 时，就说象概括
定理1.1 球面角的大小等于它的两边所在平面组成 的二面角的大小；
2
(2)如图所示，设B为北京所在位置，S 为上海所在位置，那么过点B的经线所在 平面与过点S的经线所在平面的夹角为： 121°29′－ 116°20′＝5°9′ 因此，过北京和上海两点的经线的夹角为5°9′.
课后作业
资料来源：3A备课网--整册备课资料打包下载
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球面角的大小等于顶点的极线夹在两边之间的弧长。
例1 (1)地球上，经线与赤道的夹角是多少？ (2)已知北京位于北纬39°56′、东经116°20′；上海位于 北纬31°14′，东经121°29′，求过这两点的经线的夹角。
教学设计：《球面距离》
《球面距离》的教学设计说明课题：球面距离教材:上海市高级中学课本数学高三年级（上海教育出版社出版）教师：上海市市西中学刘岚一．教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
在学生已经掌握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质，使学生摆脱旋转体的母线只能是线段的狭隘理解，也是对旋转体知识体系的完善。
球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，它既是教材中关于球的最后一个知识点，也是立体几何中继“异面直线间的距离”、“点到平面的距离”、“直线到平面的距离”、“平面到平面的距离”之后又一距离概念,是高中阶段研究的最后一种距离。
区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧的长度。
学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程中, 可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角) 的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用，体现二期课改中学科整合的思想。
二．教学目标和重点、难点分析“球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是：知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系。
结合课程标准，我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1. 知道球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2. 体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3. 会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。
教学难点：地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
球面距离——精选推荐
球⾯距离O'B AO 第15章简单⼏何体(教师版)三⼏何体的表⾯积、体积和球⾯距离球⾯距离⼀．要点呈现1、在平⾯上，通过两点间的线段的长来定义的两点间的距离的，因为平⾯上两点间的线段的长最短,我们在谈到距离时，⼀定要满⾜最⼩性的原则.2、在球⾯上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的⼤圆在这两点间的⼀段劣弧长度，这个弧长叫两点间的球⾯距离．3、经线和纬线的规定：过南北极的半个⼤圆是经线，⾚道和平⾏于⾚道的⼩圆是纬线.4、P 地的纬度是指：经过P 点的球半径和⾚道平⾯所成的⾓度.5、P 地的经度的规定：经过P 点的经线与地轴确定的半平⾯和0度经线与地轴确定的半平⾯所成的⼆⾯⾓的度数.6、求球⾯上两点间的球⾯距离，关键在于求这两点所对应的球⼼⾓的⼤⼩，最后⽤弧长公式进⾏求解,但是求出的球⼼⾓必须要求⽤弧度制表⽰.⼆．范例导析【例1】地球仪的北纬60度圈上有,A B 两点，它们在纬度圈上的弧长等于4r π（r 为地球仪半径）.（1）求,A B 两点间的距离；（2）求,A B 两点的球⾯的距离. 分析：注意两点间的距离与两点的球⾯的距离的差别.解答：（1）22r （2）3arccos4r 【例2】球⾯上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球⾯距离是⼤圆周长的41，B 和C 之间的球⾯距离是⼤圆周长的61，且球⼼到截⾯ABC 的距离是721，求球的体积. 分析：设球⼼为点O ，由球⾯距离得到AOB ∠、AOC ∠及BOC ∠的⼤⼩，从⽽知ABC ?的形状，找到球⼼在截⾯ABC 的射影，解三⾓形求出球的半径即可得球的体积. 解答：43V π=【例3】如图，四棱锥A －BCDE 中，BCDE AD 底⾯⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ．若?=∠90CBE ，3=CE ，1=AD ；（1）求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同⼀球⾯上；（2）求B 、D 两点间的球⾯距离．分析：证明AB 的中点到A 、B 、C 、D 、E 五点距离都相等；求B 、D 两点对球⼼所张得⾓解答：（1）略（2）23π三．随堂训练⼀．填空题1. 地球上的A 点在东经400，北纬150，B 点在东经400，北纬600，若地球半径为R ，则A 、B 两点的球⾯距离为4R π.2. 把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A 、B 两点间的球⾯距离为5arccos 8R ．3. 已知点A ，B ，C ，D 在同⼀球⾯上，AB ⊥平⾯BCD ，BC ⊥CD .若AB =6，AC 13AD =8，则B ，C 两点间的球⾯距离是43π. 4. 在体积为3π的球的表⾯上有A 、B 、C 三点，AB =1,BC 2，A 、C 两点的球⾯距离为33π，则球⼼到平⾯ABC 的距离为32． 5.在半径为3的球⾯上有C B A 、、三点，ABC ∠=90°，BC BA =，球⼼O 到平⾯ABC 的距离是223，则C B 、两点的球⾯距离是π． 6. 如图，O 是半径为1的球的球⼼，点C B A ，，在球⾯上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是⼤圆弧⌒ AB 与⌒ AC的中点，则点E 、F 在该球⾯上的球⾯距离是3π. ⼆．选择题7. 下列四个命题中错误．．的个数是（ C ）①经过球⾯上任意两点，可以作且只可以作⼀个球的⼤圆②球⾯积是它⼤圆⾯积的四倍③球⾯上两点的球⾯距离，是这两点所在截⾯圆上以这两点为端点的劣弧的长B.18. 球⾯上有3个点，其中任意两点的球⾯距离都等于⼤圆周长的61，经过这3个点的⼩圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ B ） 3 B.23 D. 39. 球的半径为R ，,A B 是球⾯上两点，且球⾯距离为3R π，则球⼼到过,A B 的所有平⾯的距离中，最⼤距离为（ B ）A.RB.32R C.12R D.不存在三．解答题 10. 把地球当作半径为R 的球，地球上,A B 两点都在北纬45o 的纬线上, ,A B 两点的球⾯距离是3R π，A 在东经20?，求B 点的位置。
高中数学球面距离的计算
球面距离的计算在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。
如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度）证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、AB ，则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()212222222cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 222222-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度） 从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。
数学15.6球面距离教案沪教版高中三级第一学期
球面距离的发现教学目标：1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．教学重点：球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．教学难点:实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．教具学具：TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．教学过程1．创设问题情境引发研究课题教师：同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？学生众：世界环境日！教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．引例（计算机演示）：1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）师：那么，怎样的航线可能最短呢？生1：沿纬线圈走可能短些．生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短．生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线?目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．师：非常好！对我们的问题有帮助吗？生7：把球面展成平面图形……生8：球面不能展成平面图形！师：有这方面的经验吗？生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．2．动手实验探索新知学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．（用实物投影仪演示,如图1）猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．3．思辩论证，得出结论师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．生15：（实物投影）如图，AB 是圆O 1和圆O 2的公共弦，O 2A ＞O 1A ，求证：AmB AnB >．分析：分析：设∠A O 1B=2α，∠A O 2B=2β，O 2A=R,O 1A=r, 则0＜β＜α＜2π，0＜ r ＜R ．欲证，AmB AnB >，即：2αr ＞2βR （公式化），也就是，α·αsin AB ＞β·βsin AB ， ααsin ＞ββsin ，或证，ααsin ＜ββsin ．又因为y=x x sin （0＜x ＜2π)是单调减函数，所以，问题得证．在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短．师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“sin x x y =（0＜x ＜2π)是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？生16：能！用TI 图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数sin x x y =（0＜x ＜2π)是单调减函数．师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？生众：两点间的球面距离．（多媒体演示课题：球面距离）师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．生17： …（投影球面距离的定义，略）师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了． O 2O 1A B R m nr4．看图辨析强化概念师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB的长是不是A、B两点的球面距离？同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A、B两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .5．距离扩张的历程回顾师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）两点间的距离点到直线的距离异面直线间的距离点到平面的距离平行直线间的距离平行平面间的离平行于平面的直线与平面间的距离共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有“最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．6．例题分类寻求解法师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．例1．东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？例2．求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）．例3．2004年的奥运会在雅典举行，2008年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．7.课题小结交流体验师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？生：……师：随便说，一句不少，十句不多．生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．师：朴素的语言，真实的感受．以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．.结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？生众：面积和体积！师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！案例分析“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．。
地球上两点之间的球面距离(卫福山)
地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、 知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、 在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、 在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、 球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。
高中数学(沪教版)知识点归纳
高一(上)数学知识点归纳第一章集合与命题5.集合的运算：(1)交集：A B{x x A且x B}.(2)并集:A B{x x A或x B}.（3）补集：C A{x x U且x A}.UPP5.真子集，交集，并集，全集，补集。
6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。
7充分条件与必要条件。
2. 如果a b,那么a c b c.116.如果a b0，那么0.a b7.如果a b0，那么a b(n N).n n8.如果a b0,那么a b(n N,n1).n n一元二次不等式的解法：这个知识点很重要，可根据与0的关系来求解，注意两个基本不等式：1.对于任意实数a和b,有a b2ab,当且仅当时等号a b22a b222.对任意正数a和b,有ab，当且仅当时等号2a ba b22成立。
我们把2求函数值f(a)，会求简单函数的定义域和值域。
理解函数运算意义，会求两个函数的和与积。
掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函数的最大值和最小值。
⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。
⑶偶函数的性质：f(x)= f(x).就是函数y f(x)的图像与轴的交点的横坐标.x注意：1.幂函数的定义：一般地，函数 y x (k 为常数，k Q ) 叫做幂函数。
k x指数函数的性质：1.指数函数 y a 的函数值恒大于零.性质x 2.指数函数 y a 的图像经过点（0，1）. x 3.函数 y a （ >1）在内是增函数； ( , )a x 函数 y a (0< <1)在内是减函数. ( , )a x 高一(下)数学知识点归纳说明：①幂函 数 y x ( Q,是常数 )的定义域 D 由常 数 确定，但 总有在（0， ）是增函数；当 时， 在（0，+）上是减函数， + y xy x 0 ②指数函数 y a (a 0,且a 1)有些同学常会与幂函数 y x ( Q,是常数)xba④函数y f(x)的定义域是它的反函数y f(x)的值域；函数的值域y f(x)1⑤对数函数y log x(a0,且a1)与指数函数y a(a0,且a1)互为反函数。
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A
C
O1
B
OD
2OC OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48
AB的弧长 2 6371 99.48
360
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
60l
R
3
O
∴ A、371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。 AOC BOD 40,
COD 360 (116 74 ) 170
由余弦定理，得：
AB2 CD2 OC 2 OD2
N
解 EOB EOA
AOB, 又 EOB 68
B
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S
6
6
A ，B的球面距离为
R
6
练习： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置约为东 经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210,北纬250, 求两个城市间的距离。
P
A
纬度是线面角
经度：
经过P点的经线与地轴确 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 Q 所成的二面角的度数 （即∠AOB的度数）
A
M
P
O
B
经度是二面角
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1. 求东经 57线上，纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
A
OA 2 OB 2 AB 2 cosAOB
2OA OB
cosAOB - 1 2
AOB 2
3
B O
A， B的球面距离为2 R
3
2.设地球的半径为R， 若甲地位于北纬60O，东经120O；乙地位 于南纬15O度，东经120O，求甲、乙两地 的球面距离。
回顾：经度与纬度
纬度： P的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度．
(1)解：在BOO1中，
OO1B 90°,OB R,
2
OBO1 45 , BO1
∴纬线圈中AB 的长度为
2
R.
m
O1
A
B
O
. 2 R 2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
O1
A
B
AOB
(1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式
(2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
2.球面距离公式 l R
定义：球面上，两点 之间的最短连线的长 度，就是经过这两点
的大圆在这两点之间 B 的劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点 的球面距离.
A
α
O
一般地：球面距离L=αR （α称为球心角）
1.已知A，B是半径为3的球面上
两点，且AB= 3 3 ，求A，B两
点的球面距离.
解：
在ABO中， OA OB 3， AB 3 3
上海与台北在同一经线上，
他们在同一个大圆上
A AOB 31 25 6
O
B r 6371
AB的弧长 2 6371 6
360
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度 线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度; (2) 求经过A、B两地的球面距离？