第22章_一元二次方程复习提纲

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第22章一元二次方程复习课课件概要

解 : 设水渠的宽度 xm, 根据题意, 得
(92 2x)60 x 6885.
整理得: x2 106 x 105 0,
解得: x1 1; x2 105(不合题意,舍去).
答 : 水渠的宽度为1m.
甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?
解: 设每年平均增长率为 x,根据题意,得
如果关于x的一元二次方程有k2x2 (2k 1)x 1 0
两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
1. 若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是（）
已知关于x的一元二次方程
x2-（m+2）x+
1 4
m2-2=0
当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根?并求出这两个相等的根。
(40 x)(20 2 x ) 1200. 1
整理得 : x2 30 x 200 0.
解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?
解得:
x1
5 10
7
0.2
20%; x2
5 10
7
1.2
0(不合题意, 舍去).
答: 该厂今年产量的月平均增长率为20%.
某水果批发商场经销一种高档水果, 如果每千克盈利10元,每天可售出 500千克,经市场调查发现,在进货价不解变:设的每情千克况水果下应,若涨价每x元千, 克涨价1元,日销依售题量意得减: 少(5020-020千x)(1克0+x,现)=60该00 商场要保证每整天理盈得:利6x02-0150x元+50,=同0 时又要使顾客得到解实这惠个方,那程得么:x每1=5千克x2=应10 涨价多少元?

一元二次方程复习课(绝对经典)

2
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根、
(1)求k的取值范围；（）若 6, 求（） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程一般形式二次项系一次项常数项数系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4

华师大版九年级数学上册第22章单元知识梳理

关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根
x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1
D.2
【解析】选B.由题意得 x1+x2= 3a 1 , x1x2= 2a 2 ,因为x1-
a
a
x1x2+x2=1-a,所以
3a a
2y-3=17. 答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.
复习归纳
设未知数，实际问题列方程
实际问题的答案
检验
数学问题
ax2 bx c 0a 0
配方法
解
降
方
程公式法
次
因式分解法
数学问题的解
x b b2 4ac b2 4ac≥0 2a
(1)直接开平方法
x2=b(b 0)
适应于没有一次项的一元二次方程
考点分类
一一元二次方程及根的有关概念
1.若(a-3) xa2 7+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为
()
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
2.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 C.3x2+2y- 1 =0
一元
(2)因式分解法
二
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程
次方 (3) 配方法程的
当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方

第22章一元二次方程复习和小结-九年级数学上册(华东师大版)

2.一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0)
3.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
第22章一元二次方程
二、一元二次方程的解法解法一：直接开平方法 ➢ 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； ➢ 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； ➢ 求解：解一元一次方程，得出方程的根．
， x1x2=
2a 2 a
，
因为
x1
-
x1x2
+
x2
=
1
-
a，所以
3a 1 a
2a a
2
1
a，即 a 1 a
1
a，
解得 a1 = 1，a2 = - 1.当 a = 1 时，原方程有两个相等的
实数根，不合题意，舍去.所以 a = -1.
第22章一元二次方程
5
∵5k + 20＜0，∴Δ＜0，∴没有实数根.
第22章一元二次方程
5.已知一元二次方程：①x2 + 2x + 3 =0，②x2 - 2x - 3 = 0，下列说法正确
的是( B ) A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①②都无实数解 D.①有实数解，②无实数解
【解析】选 B.一元二次方程①的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 - 12= - 8 ＜0，所以方程无实数根；一元二次方程②的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 + 12 = 16＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
15 ，x2
3 3
15
（5）3x

一元二次方程提纲

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=b 1x=-a+b 2x=-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx242(b2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2 －4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。

【初中数学】精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方程

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程
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1.一元二次方程的一般形式:a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究
一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的数学分析:一元二次方程的四种数学分析建议灵活运用，其中轻易
开平方法虽然直观，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围小，但排序较繁，极易出现
计算错误;因式分解法适用范围很大，且排序方便快捷，就是新宠方法;分体式方法采用较少.
3.一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0(a≠0)时，δ=b2-4ac叫一元二次方程根
的判别式.请注意以下等价命题：
δ=存有两个左右的实根;δ=0存有两个成正比的实根;δ=并无实根;
4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x)：
(1)第一年为a，第二年为a(1+x)，第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和。

只要这样踏踏实实顺利完成每天的计划和小目标，就可以自如地应付崭新自学，达至
长远目标。

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第22章一元二次方程复习

第22章一元二次方程复习（1）一元二次方程及其解法樊城区太平店中学刘玉萍一、内容与内容解析1、内容复习一元二次方程及其有关的概念，一元二次方程的基本解————配方法、公式法、因式分解法，一元二次方程根与系数的关系等知识，建立知识体系，综合运用一元二次方程的知识解决有关的问题。

2、内容解析本章学习了一元二次方程。

在学习中通过具体实例认识了一元二次方程，探索了一元二次方程的解法，研究了实际问题与一元二次方程，分别讨论了传播问题、增长率问题和几何图形面积问题。

本章的重点是一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。

这些知识都是方程领域的基础知识，在以后学习“二次函数”中“用函数的观点看一元二次方程”也要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习。

学好这部分内容的关键是要使学生理解一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的情况；一元二次方程根与系数的关系等知识。

并将一元二次方程与一元一次方程作类比，因为一元二次方程是一元一次方程的拓展和延伸，一元一次方程是学习一元二次方程的基础。

在本章的学习过程中需要学生通过观察、对比、归纳、类比等来发现一元二次方程的解法，同时还要注意引导学生分析方程的特点，引导学生进行转化，是学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题的思考方法。

作为本章复习课的第一节课，本节主要复习一元二次方程的有关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的根与系数的关系。

本节内容是对本章重点知识的巩固和提高，通过复习使学生能够熟练地选用适当的方法解一元二次方程，进一步体会一元二次方程化归降次的思想。

由以上的分析，确定本节课的教学重点是：灵活应用一元二次方程的解法解决有关的问题。

二、教材解析本节课主要内容是复习巩固一元二次方程有关概念和一元二次方程的解法及根与系数的关系等知识，重点是一元二次方程的解法。

在知识回顾的过程中，结合问题让学生通过独立思考，回顾所学的内容，建立相应的知识结构图。

人教版九年级数学上第二十二章22.2一元二次方程的解法复习

一元二次方程的解法复习教学目标掌握一元二次方程的解法，会选择合适的方法解一元二次方程教学重难点选择合适的方法解一元二次方程教学过程一、课前热身解下列方程：1. X2-7x=02. X2+12x=273. x(x-2)+x-2=04. X2+x-2=45. 5X2-2x-41= X2-2x+436. 4(x+2)2=9(2x-1)2二、归纳总结：1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义2x p=或2()mx n p+=(0)p≥配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法4、公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

三、例题分析1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

2．配方法移项，把常数项移到方程右边；配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；利用直接开平方法解之。

例2．用配方法解方程3x2-4x-2=03．公式法把一元二次方程化成一般形式，求出a、b、c，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

第22章_一元二次方程复习提纲

清水中学九年级数学人教版第22章一元二次方程复习提纲【知识要点回顾】1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．4. 若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2 = x 1·x 2 =5.平均增长率或降低率：b x a =±2)1(精典练习①方程013)2(=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m= 。

②当m =__________时,关于x 的方程m x 2－3m x+m +5=0有两个相等的实数根。

③关于x 的方程x 2－x 2+21+m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______ ④关于x 的方程m x 2－2x+1=0有两个实数根，则m 的取值范围是。

⑤：用适当的方法解下列方程．（1）2（x+3）2=x （x+3）（2）x 2（3）x 2-8x=0 （4）x 2+12x+32=0⑥甲型H1N1流感病毒的性极强，某地因1患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，遭感染病，在每一天的传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？⑦某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m ）另外三边用木栏围成，木栏长40m 。

九年级数学上册第22章一元二次方程章末复习新版华东师大版

16(2（ x1)）2 9 0
解:原方程变形为: (2 x)2 9
16
直接开平方得:
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
解:原方程变形为:
x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
3. 配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
第22章
章末复习
知识梳理
一元二次方程的概念及解法
一
元
二
根的判别式与系数的关系
次
方
程
一元二次方程的实际应用
1、一元二次方程的概念:等号两边都是整式 ,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a 是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2)
=0
提公因式得
(3x 5)(x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
x1
5 3
x2 2
（2） x(3x 2) 6(3x 2) 0
解:提公因式得:
(3x 2)(x 6) 0
3x 2 0或x 6 0
x1
2 3
x2 6
➢平方差公式与完全平方公式
x2 a形2 如0
运用平方差公式得:
(x a)(x a) 0
x a 0或x a 0
x1 a x2 a
x2 2a形x如 a2 0

一元二次方程复习提纲

一元二次方程复习提纲数学是初中学习中的一个重要科目，是三大主科之一，但是有许多同学的数学成果并不志向，以下是我给大家整理的一元二次方程复习提纲，盼望对大家有所协助，欢送阅读!一元二次方程复习提纲一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简洁题目。

2.驾驭通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，驾驭依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用娴熟驾驭以上学问解决问题。

二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.判定一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领悟降次──转化的数学思想。

5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3.用公式法解一元二次方程时的探讨。

4.通过依据平方根的意义解形如x2=n，学问迁移到依据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区分。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

7.学问框架四、学问点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数次数是2;(3)是整式方程。

要判定一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理。

假如能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，那么这个方程就为一元二次方程。

一元二次方程知识点框架

一元二次方程知识点框架
一元二次方程知识点框架如下：
一、定义：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。

二、一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠0。

三、解法：
1. 直接开平方法：对于形如x^2 = b（b≥0）的方程，可以直接开平方求得解。

2. 因式分解法：通过因式分解将方程化为两个一次因式的乘积等于0，然后分别令每个因式等于0，解出x的值。

3. 公式法：使用求根公式ax^2 + bx + c = 0的解为x = [-b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)。

当判别式Δ=b^2 - 4ac≥0时，方程有两个实根；当Δ＜0时，方程无实根。

4. 配方法：先将方程化为一般形式，然后配方得到(x + p)^2 = q的形式，再根据q的正负性求得方程的解。

四、根的判别式：判别式Δ=b^2 - 4ac。

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ＜0时，方程无实根。

五、根与系数的关系：若方程的两个实根为x1和x2，则x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。

六、应用：一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，如几何、三角、代数等问题中都需要用到一元二次方程的知识点。

第二十二章一元二次方程小结与复习

第二十二章一元二次方程——小结与复习【学习目标】1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

3、熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。

4、进一步熟悉具体问题的数量关系并列出一元二次方程。

5、能根据问题的实际意义，合理地运用几何图形解决问题。

【学习过程】一、自主学习：复习教材本章内容，思考以下几个问题：1、正确理解一元二次方程的定义。

2、一元二次方程都是有哪些解法？各自的解题步骤是什么？3、如何运用b2-4ac判断一元二次方程根的情况，及求一些字母的取值范围。

4、想一想，四个探究是怎样处理的。

“按一定速度传播问题、增长（或降低）率问题、图形设计问题、匀减速问题”5、针对每个探究，怎样找相等关系？6、仔细体会本章内容，你都是有哪些收获？交流与点拨：1、一元二次方程的定义满足的三个条件：（1）整式方程（2）只含一个未知数（3）未知数的最高次数是22、解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

3、用b2-4ac判断一元二次方程根的情况，（考点）ax2+bx+c=0(a≠0)①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；4、平均增长率或降低率（考点）bxa=±2)1(例1、方程013)2(=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值并解方程。

解：例2、用适当的方法解下列方程：（1）096)46(92=--x （2）22)32(9)1(4+=-x x解：解：例3、已知关于x 的方程01)32()2(22=+-++x k x k 其中k 为常数，试分析此方程根的情况。

解：例4：某电脑公式2007年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为600万元，占当年经营总收入的40％，该公式预计2009年经营总收入达到2160万元，且计划从2007年到2009年每年经营总收入的年增长率相同，求年平均增长率为多少？解：例5、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m ）另外三边用木栏围成，木栏长40m 。

第二十二章复习一元二次方程综合复习

第二十二章复习一元二次方程综合复习本章知识框架】【本章重点】1.一元二次方程的定义一元二次方程有三个特点：(1) 只含有一个未知数；(2) 未知数的最高次数是2；(3) 是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为(a工0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.2.一兀二次方程的一般形式我们把(a工0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0, b、c可以为任意实数，包括可以为0,即一元二次方程可以没有一次项，常数项.(a工0), (a工0), (a工0)都为一元二次方程.3.一元二次方程的解法元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法.要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程.4.一元二次方程根的判别式元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根．△ = 0方程有两个相等的实数根.△ <0 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边.5.一元二次方程根与系数的关系如果一兀「次方程(a工0)的两个根是，那么.6.解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答.解题思想】1.转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法.运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．2．从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．3．分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．【经典例题精讲】1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．3.一元二次方程（a工0）的根的判别式正反都成立.利用其可以（1）不解方程判定方程根的情况；⑵根据参系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题4 一元二次方程根与系数的应用很多：（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程【中考热点】本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单独出现或和其他内容结合出现历届中考题目】一、填空题1. （2003 •吉林）方程的解是_________________,2.（2002 •江苏泰州）如果是方程的两根，那么= __________________ .3. （2002 •杭州）已知2是关于x的方程的一个解，贝U 2a—1的值为___________________ .4. （2003 •大连）某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米.设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为X,则可列方程为___________________ .5. （2003 •四川）已知关于X的一元二次方程有两个负数根，那么实数m的取值范围是__________________ .6. （2003 •青岛）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程”.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得：.当y = 1时，，••• X =± 1；当y = 5时，，••，所以原方程有四个根：.（1）在由原方程得方程①的过程中，利用__________________ 达到降次的目的，体现了转化的数学思想.（2）解方程，若设，贝原方程可化为_________________7 . （2003 •泰安）已知实数X、y满足，则x + 2y的值为__________________ .8 （2003 •泰安）如图22—1,是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 _________________________________________9. （2003 •济宁）关于x的二次方程的两个实数根为，如果，那么k =、选择题1. （2002 •泰州）k为实数，则关于x的方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C没有实数根 D.无法确定2. （2002 •杭州）用配方法将二次三项式变形的结果是（）A．B．C．D．3. （2002 •桂林）如果方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A．m<1 B．m>1C．m<－1 D．m>－14. （2003 •重庆）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．B．C．D．5.（2003 •威海）对于一元二次方程，下面的结论错误的是（）A.若c= 0，则方程必有一个根为0B.若c<0,则方程必有两个正数根C•若c>0, bv0,则方程必有两个正数根D.若b>c + 1,则方程有一个根大于—1, 一个根小于—16.（2003 •青岛）已知，且a^P，则aP + a + P的值为（）A．2 B．－2C．－1 D．0三、解答题1. （2003 •潍坊）已知关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？解：（1）根据题意，得=—12k + 13>0,所以，．所以，当时，方程有两个不相等的实数根．（2）存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则解得，检验知：是的解.所以,时,方程的两实数根互为相反数.当你读了上面的解答过程后,请判断是否有错误？如果有,请指出错误之处,并直接写出正确的答案.2. (2003 •菏泽)已知方程的两个实数根的平方和等于11,求m的值.3. (2003 •滨州)设(a , b)是一次函数y = (k —2)x +m与反比例函数的图象的交点，且a, b是关于x的一兀二次方程的两个不相等的实数根，其中k 为非负数，m，n 为常数.(1) 求k 的值；(2) 求一次函数与反比例函数的解析式．4.(2003 •淄博)下面是一位同学做的一道练习题.已知关于x的方程的两个实数根为P、q,求P、q的值.解：将P、q分别代入，得(1) 请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；(2) 这道题还可以怎样解？请写出你的解法.参考答案历届中考题目】1.2.3．5 4．5．m>76.换元法，7.— 3 或 28．4，6 9．－31. (1)中忽视k — 1M 0的情况，正确答案为：当, ⑵中的实数k 不存在，当时，判别式△=— 5<0,方程没有实数根.应为：不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数2．解：设方程的两根为，由韦达定理，得．又，整理，得，解之，得.由二次方程有两个实数根，解之，得．故rm=-3不合题意应舍去.取mT= 1,即nn= 1为所求.3.解：(1) •••关于x 的方程有两个不相等的实数根,解得k<3,且k 工0.又•••一次函数y = (k — 2)x +m 存在且k 为非负整数,•- k = 1.⑵•- k = 1,•••原方程可变形为.二 a + b = 4, ab = — 2.又当k = 1时，一次函数y = — x +m 过点(a , b),•- a + b = m二 rm= 4.同理可得n = — 2.故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为 y = — x + 4与.4．答： (1) 该同学的解法存在问题．问题出在没有把求出的解代入根的判别式进行检验．因为，当时，方程，此时△= 0;当时，方程，此时△ >0,符合题意.而当时，方程，此时△ >0,与方程有等根不符.1．A 2 ．A 3 ．A 4 ．C 5 ． C 6 ．B当k — 1 = 0时，方程为一元一次方程，只有一个实数根. 且k M 1时，方程有两个不相等的实数根.所以，p、q 的值只能取；．(2) 解：由根与系数的关系，得解得；．分别对p，q 的两组值对应的方程判别式检验，知这两组值符合题意要求．。

《一元二次方程》复习提纲

《一元二次方程》复习提纲一，知识结构梳理（1）含有个未知数。

（2）未知数的最高次数是 1、概念（3）是方程。

（4）一元二次方程的一般形式是。

（1）法，适用于能化为)(()2≥=+n n m x 的一元二次方程。

（2）法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法（a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3）法（4）法，其中求根公式是（5）法当时，方程有两个不相等的实数根。

（6）当时，方程有两个相等的实数根。

当时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值题（1）一元二次方程的应用（2）（3）可用于解决实际问题的步骤（4）（5）（6）二，知识点归类（一）建立一元二次方程模型 1，一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x答案：（2），（4）2，一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别一元二次方程叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例：(2012广安中考试题第8题，3分)已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<-2 思路导引：一元二次方程有两个不相等的实数根，由于二次项系数是字母的代数式形式，注意两点，一是二次项系数不等于0，二是根的判别式大于0 解析：△=4－4(a －1)×1=8－4a ＞0，所以a ＜2，结果选 C 。

第22章：一元二次方程复习总结

第22章：一元二次方程知识点一．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）．练习：1.下列方程中是一元二次方程的是（）A 、2240x xy --= B 、23420x x +-= C 、215402x x-+= D 、340x -= 2、方程013)2(=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则（） A 、2±=m B 、2=mC 、2-=mD 、2≠m3、已知053)23(6522=+++-+-x x m m m m ,是关于x 的二次方程, 则m ＝4、一元二次方程2(13)(3)21x x x -+=+的一般形式是，它的二次项系数是，一次项系数为，常数项是。

知识点二．一元二次方程的解法：⑴ 配方法（含直接开平方法）．⑵ 公式法：求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0).⑶ 因式分解法。

练习：1.解方程：①x 2+2x =2 ②3(1)2(1)y y y -=-③64)6)(6(=-+x x ④4x 2-12x-1=0⑤04)53(5)53(2=++-+x x ⑥ 22)2(25)3(4-=+x x2. 用换元法解分式方程2221x x x x++=+时，如果设2y x x =+，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是． 3. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（） A ．14 B ．12C ．12或14D ．以上都不对 4．等腰三角形的底和腰是方程0862=+-x x 的两根，则这个三角形的周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．不能确定5. 已知x 2＋4x －2=0，那么3x 2＋12x ＋2000的值为。

6. 已知012=-+x x ，则代数式7223-+x x 的值为（）A ．6B ．8C ．6-D ．8- 知识点三．一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的根的判别式：为△=b 2-4ac.①若b 2－4ac>0，则有两个不等的实数根；②b 2－4ac=0，则有两个相等的实数根；③b 2－4a<0，则此方程无解．反之也成立．练习：1. 若关于x 得一元二次方程x 2－3x ＋m =0有实数根，则m 的取值范围是。

第22章_一元二次方程复习提纲

第22章一元二次方程复习课课件概要

一元二次方程复习课(绝对经典)

华师大版九年级数学上册 第22章 单元知识梳理

第22章 一元二次方程复习和小结-九年级数学上册(华东师大版)

一元二次方程提纲

【初中数学】精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方程

第22章 一元二次方程复习

人教版九年级数学上第二十二章22.2一元二次方程的解法复习

第22章_一元二次方程复习提纲

九年级数学上册第22章一元二次方程章末复习新版华东师大版

一元二次方程复习提纲

一元二次方程知识点框架

第二十二章 一元二次方程 小结与复习

第二十二章复习一元二次方程综合复习

《一元二次方程》复习提纲

第22章：一元二次方程复习总结

华师大版九年级数学上册第22章单元知识梳理

第22章一元二次方程复习和小结-九年级数学上册(华东师大版)

第22章一元二次方程复习

第二十二章一元二次方程小结与复习