高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质优化练习
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式达标训练新人教A版选修
1.1 不等式更上一层楼基础·巩固1.若a<b<0，则下列不等式不能成立的是（ ） A.a 1>b 1 B.2a >2b C.|a|>|b|>0 D.(21)a >(21)b 思路分析：本题用到了不等式的基本性质及其应用的知识.取a=-2,b=-1验证即可求解. 答案：B2.如果a∈R 且a 2+a<0，那么a,a 2,-a,-a 2的大小关系是（ ）A.a 2>a>-a 2>-aB.-a>a 2>-a 2>aC.-a>a 2>a>-a 2D.a 2>-a>a>-a 2思路分析：本题是一道实数大小比较题.因为a 2+a<0，即a(a+1)<0，可得-1<a<0，所以-a>a 2>0，所以0>-a 2>a.综上可得-a>a 2>-a 2>a.答案：B3.已知2π-≤α<β≤2π,则2βα-的取值范围是____________. 思路分析：这类问题在三角函数一章中经常遇到，而且易出错误，现在可以利用不等式的性质进行求解. 答案：2π-≤2βα-<0 4.已知x<45，则函数y=4x-2+541-x 的最大值为__________. 思路分析：∵x<45,∴(5-4x)>0,又y=4x-2+541-x , =(4x-5)+541-x +3=-［(5-4x)+x451-)］+3≤-2+3=1, 当5-4x=x451-,即x=1时，取“=”.此时，y max =1. 答案：15.x∈R ，比较(x+1)(x 2+2x +1)与(x+21)(x 2+x+1)的大小. 思路分析：本题用到了实数比较大小的充要条件及其解题应用的知识.直接作差需要将(x+1)(x 2+2x +1)与(x+21)(x 2+x+1)展开，过程复杂，式子冗长.可否考虑根据两个式子的特点，予以变形后，再作差. 解：∵(x+1)(x 2+2x +1)-(x+1)(x 2+x+1-2x )=(x+1)(x 2+x+1)-2x (x+1); (x+21)(x 2+x+1)=(x+1-21)(x 2+x+1)=(x+1)(x 2+x+1)-21(x 2+x+1). ∴(x+1)(x 2+2x +1)-(x+21)(x 2+x+1)=21(x 2+x+1)-21x(x+1)=21>0, ∴(x+1)(x 2+2x +1)>(x+21)(x 2+x+1).6.设a>b>c ，且ca m cb b a -≥-+-11恒成立，求m 的取值范围. 思路分析：由a>b>c 知,a-b>0，b-c>0，a-c>0，因此，原不等式等价于c b c a b a c a --+--发≥m，要使原不等式恒成立，只需cb c a b a c a --+--的最小值不小于m 即可. 解：∵a>b>c,∴a -b>0,b-c>0,a-c>0. 因此原不等式可等价化为cb c a b a c a --+--≥m 恒成立. 又∵c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+-+--+-=--+--)()()()( cb b a b ac b c b b a b a c b --∙--+≥--+--+=222=4.当且仅当c b b a b a c b --=--，即2b=a+c 时，等号成立.m≤4.综合·应用7.求函数y=3x+24x(x>0)的最值. 思路分析：本题是三个正数的平均值不等式的应用.求最值时要注意三个正数的积（和）是一个常数.解：由已知x>0,∴y=3x+3322293423233423234=∙∙≥=+=x x x x x x x, 当且仅当23x =24x ，即x=3933时，取等号. 当x=3933时，函数y=3x+24x 的最小值为393. 8.已知a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证a 1+b 1+c1≥9. 思路分析：若从特征运算结构上看，左边是分式且分子为1，又a+b+c=1，所以可把1=a+b+c 代入推证.证明：cb c a b c b a a c a b c c b a b c b a a c b a c b a ++++++=++++++++=++3111 )()()(3ac c a c b b c b a a b ++++++=≥3+2+2+2=9 （当且仅当ca a c cb bc b a a b ===,,,即a=b=c 时取“=”）. 9.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每一年都增加4万元，每年捕鱼收益为50元.（1）问从第几年起开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案；一是，年平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总纯收入获利最大时，以8万元出售该船.问：哪种方案合算？（注：取51≈7.2） 思路分析：第一问根据题意建立总利润关于年数的函数关系式，解一元二次不等式，在第二问通过实数大小比较的方法去选取优化方案.解：（1）前n 年各种费用总和为12n+2)1(-n n ×4=2n 2+10n （万元），∴n 年的总利润为y=50n-2n 2-10n-98=-2n 2+40n-98,令y>0，得n 2-20n+49<0.∴10-51<n<10+51.∴2.8<n<17.2,又∵n∈N *,∴n=3,4,5,…,17.故从第3年起开始获利.（2）［方案一］ 年平均收入为：n y =40-2(n+n 49)≤40-2×14=12（万元）.当且仅当n=n 49，即n=7时取“=”，此时获利7×12+26=110（万元）.［方案二］ y=-2(n-10)2+102,∴当n=10时，y max =102.此时获利102+8=110（万元），比较两种方案，总收益均为110（万元）.但方案1中n=7，故方案1合算.回顾·展望10.设a,b∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是（ ） A.22- B.335- C.-3 D.27-思路分析：不妨设a=6sin α,b=3cos α.则满足a 2+2b 2=6.∴a+b=6sin α+3cos α,∴最小值为36+-=-3,故选C.答案：C11. 若a>0,b>0.则不等式-b<x 1<a 等价于（ ） A.-b<x 1<0或0<x<a 1 B.-a 1<x<b 1C.x<-a 1或x>b 1 D.x<-b 1或x>a 1思路分析：x 1<a ⇒x>a 1,-b<x 1⇒x<b 1-.答案：D12. 已知不等式(x+y)(x 1+y a)≥9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A.2 B.4 C.6 D.8思路分析：(x+y)(x 1+y a )=1+a+x y +y ax ≥1+a+a 2=(a +1)2,当y=a x 时等号成立.∴(x+y)(x 1+ya )的最小值为（a +1)2. ∴(a +1)2≥9,a +1≥3,a ≥2,即a≥4,∴a 的最小值为4. 答案：B。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1 不等式的基本性质课件 新人教A版选修4-5
探究二 不等式性质的简单应用
[例 2] 若 a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A.1a<1b，
B．a2>b2
C.c2＋a 1＞c2＋b 1
D．a|c|>b|c|
[解析] 选项 A，还需有 ab>0 这个前提条件；选项 B，当 a，b 都为负数或一正
一负时都有可能不成立，如 2>－3，但 22>(－3)2 不正确；选项 C，c2＋1 1>0，因而
)
A．2 x
B．x＋1
1 C.1－x
D．无法确定
解析：∵0<x<1，x＋1－2 x＝( x－1)2>0， ∴x＋1>2 x. 又1－1 x－(x＋1)＝1－x2x>0，
∴1－1 x>x＋1. 答案：C
∴2 x，x＋1，1－1 x三个数中最大的是1－1 x.
4．已知 a＋b>0，则ba2＋ab2与1a＋1b的大小关系是________． 解析：ba2＋ab2－1a＋1b＝a－b2 b＋b－a2 a ＝(a－b)b12－a12＝a＋ba2ba2－b2. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0.
探究一 作差法比较大小 [例 1] 若 x∈R，试比较(x＋1)x2＋x2＋1 与x＋12(x2＋x＋1)的大小．
[解析] ∵(x＋1)x2＋x2＋1＝(x＋1)x2＋x＋1－x2 ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)． x＋12(x2＋x＋1)＝x＋1－12(x2＋x＋1) ＝(x＋1)(x2＋x＋1)－12(x2＋x＋1)． ∴(x＋1)x2＋x2＋1－x＋12(x2＋x＋1)
＝(x＋1)(x2＋x＋1)－x2(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋12(x2＋x＋1) ＝12(x2＋x＋1)－12(x2＋x) ＝12>0. ∴(x＋1)x2＋x2＋1>x＋12(x2＋x＋1)．
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.1 不等式的基本性质练习(含解析)新人教A版选修4-
1.1.1 不等式的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知m ，n ∈R ，则1m >1n成立的一个充要条件是() A ．m >0>n B ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0 解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn>0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0. 答案：D2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ； 而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．答案：B3．已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．ab 2>cb 2D ．a (a －c )<0解析：由题意，知a >0，c <0，b 的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．答案：A4．设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a <b 且a >0，b >0，则1a >1b ⇒－1a <－1b ， 所以a －1a <b －1b. 若a －1a <b －1b， 且a >0，b >0⇒a 2b －b <ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a <0，ab (a －b )＋(a －b )<0⇒(a －b )(ab ＋1)<0⇒a －b <0⇒a <b .答案：C5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则()A.1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y ＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0xy ＞1 ln(xy )＞0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误． 答案：C二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0， 所以a ＜1a. 又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜1a. 答案：a 2＜a ＜1a7．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值X 围是______．解析：因为－4＜b ＜2，所以0≤|b |＜4，所以－4＜－|b |≤0.又1＜a ＜3，所以－3＜a －|b |＜3.答案：(－3，3)8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b与a ＋b 的大小关系是________． 解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三、解答题9．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值X 围．解：设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝52.所以3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤3a －2b ≤10.10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －bb （b ＋1）.因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －bb （b ＋1）＞0.所以a b ＞a ＋1b ＋1.B 级 能力提升1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则()A ．a c ＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：法一 由0＜c ＜1知y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，故由a ＞b ＞1知a c ＞b c ，A 错；因为0＜c ＜1，所以－1＜－c ＜0，所以y ＝xc －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1＞a c －1，又ab ＞0，所以ab ·b c －1＞ab ·a c －1，即ab c＞ba c ，B 错； 易知y ＝log c x 是减函数，所以0＞log c b ＞log c a ，所以log b c ＜log a c ，D 错； 由log b c ＜log a c ＜0，得－log b c ＞－log a c ＞0，又a ＞b ＞1＞0，所以－a log b c ＞－b log a c ＞0，所以a log b c ＜b log a c ，故C 正确．法二 依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确． 答案：C2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a （a －1）＝a －b a （a －1）. 因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知c a ＞d b，bc ＞ad ，求证：ab ＞0. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学
第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞nb n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d. 反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案 B解析由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式． 跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三 含绝对值的不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52.②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ， 解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四 恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析 由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－b a＞－1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b； ②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b或x ＞1a答案 D解析 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋3－(x －3)＞3，得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 二、填空题 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 令f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________． 答案 {x |－13≤x ≤13}解析 当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3， 解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3， 解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x 是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12； 当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23； 当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32， 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值． 解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2.∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ， ∴a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。
第一讲 不等式的基本性质(基础训练)(解析版)
第一讲不等式的基本性质一、单选题1．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2B．2m＞2n C．＞D．m2＞n2【答案】D【解析】试题分析：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；故选D．【考点】不等式的性质．2．下列推理正确的是( )A．因为a＜b，所以a＋2＜b＋1 B．因为a＜b，所以a－1＜b－2C．因为a＞b，所以a＋c＞b＋c D．因为a＞b，所以a＋c＞b－d【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可.【详解】A. 因为由a＜b，变为a＋2＜b＋1，两边不是加的同一个数，故不正确；B. 因为由a＜b，变为a－1＜b－2，两边不是减的同一个数，故不正确；C. 因为由a＞b，所以a＋c＞b＋c，符合不等式的性质1，故正确；D. 因为由a＞b，变为a＋c＞b－d，两边不是同时加上或减去同一个数，故不正确；故选C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3．如果t>0,那么a+t与a的大小关系是( )A．a+t>a B．a+t<a C．a+t≥a D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，①a＋t＞a，故选A.考点：本题考查的是不等式的基本性质点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变.4．把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的( )A ．基本性质1B ．基本性质2C ．基本性质3D ．以上都不是【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合变形的方法求解即可.【详解】①把不等式－3x ＞－6的两边都除以-2可变形为x ＜2，①变形的依据是不等式的基本性质3.故选C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．5．若－2a ＜－3a ，则a 一定满足的条件是( ) A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a≥0D ．a≤0 【答案】A【解析】将原不等式两边都乘以﹣6，得：3a ＞2a ，移项、合并，得：a ＞0，故选A ．6．设“○”、“□”、“①”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“①”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为( )A．○□①B．○①□C．□○①D．①□○【答案】D【解析】由图1可知1个○的质量大于1个□的质量，由图2可知1个□的质量等于2个①的质量，因此1个□质量大于1个①质量．故选D7．a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①b＋c＞0；①a＋b＞a＋c；①bc＞ac；①ab＞ac.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数，原点右边表示正数，左边表示负数，结合有理数运算法则进行判断即可求解．【详解】解：依题意得-2＜c＜-1＜0＜b＜1＜2＜a①b+c＜0，故说法错误；①a+b＞a+c，故说法正确；①bc＞ac，故说法正确；①a-b＞0，故说法正确；①正确的是①①①，共3个．故选C．【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个负数的大小，绝对值大的反而小．8．2a与3a的大小关系（）A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定【答案】D【分析】题目中没有明确a的正负，故要分情况讨论．【详解】当a<0时，2a>3a；当a=0时，2a=3a；当a>0时，2a<3a，故选D．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．9．若x+5＞0，则（）A．x+1＜0B．x﹣1＜0C．＜﹣1D．﹣2x＜12【答案】C【解析】试题分析：根据不等式x+5＞0，求得x＞﹣5，然后可知：A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；故选C．考点：不等式的性质10．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【答案】D【解析】试题分析：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．故选D．考点：不等式的性质．点睛：根据不等式的性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，来判断各选项．11．在平面直角坐标系中，点A ()7,21m --+在第三象限，则m 的取值范围是（ ）A ．12m >B ．12m >-C ．12m <-D ．12m < 【答案】A【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得-2m+1＜0，求不等式的解即可．【详解】解：①点在第三象限，①点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即-2m+1＜0，解得m ＞12． 故选A ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 12．当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x的大小顺序是( ) A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<< 【答案】A【解析】 分析：先在不等式0＜x ＜1的两边都乘上x ，再在不等式0＜x ＜1的两边都除以x ，根据所得结果进行判断即可．详解：当0＜x ＜1时，在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜1x，又①x＜1，①x2、x、1x的大小顺序是：x2＜x＜1x．故选A．点睛：本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或a bm m ＞．二、填空题13．用“＞”“＝”或“＜”填空：(1) 若a＞b，且a＜0，则a2________ab；(2) 若a＋5＜b＋5，则－a_________－b.【答案】＜＞【解析】【分析】（1）根据不等式的性质3求解即可（2）先根据不等式的性质1，再根据性质3求解即可.【详解】(1) ①a＞b，且a＜0，①a2>ab；(2) ①a＋5＜b＋5，①a＜b，①－a>－b.故答案为：(1)＜ ， (2)＞.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．14．已知a>b ，选择适当的不等号填空：(1)－3a ________－3b ； (2)1－5a__________1－5b ；(3)ax 2_________bx 2；(4)a(－c 2－1)_________b(－c 2－1)．【答案】＜ ＜ ≥ ＜【解析】【分析】（1）根据不等式的性质3两边都除以-3解答即可；（2）先用不等式的性质3两边都乘以-5，，再用不等式的性质1两边都加1解答；（3）先判断x 2的取值范围，再根据不等式的性质解答；（4）先判断－c 2－1的取值范围，再根据不等式的性质解答.【详解】(1) ① a >b ，①－3a <－3b ； (2) ① a >b ，①－5a <－5b , ①1－5a <1－5b ；(3) ① a >b ，x 2≥0，①ax 2≥bx 2；(4) ①c2≥0，①-c2≤0，①－c2－1<0；① a>b，①a(－c2－1)<b(－c2－1)．故答案为：(1)＜；(2) ＜；(3) ≥ ；(4) ＜.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．15．若7x＋2＜7y＋2，则x_______y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边_______________，第二步是将不等式的两边_______________．【答案】＜都减去2 都除以7【解析】【分析】先根据不等式的性质1两边都减去2，再根据不等式的性质2两边都除以7.【详解】若7x＋2＜7y＋2，则x<y，它经历了两步，第一步是将不等式7x＋2＜7y＋2的两边都减去2，第二步是将不等式的两边都除以7．故答案为：＜；都减去2 ；都除以7.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．16．当x____________时，代数式2x－3的值是正数．【答案】＞3 2先由题意列出不等式，再根据不等式的基本性质即可得到结果．【详解】由题意得2x－3＞0，解得x＞3 2 .考点：本题考查的是不等式的基本性质【点睛】解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变.三、解答题17．将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：(1)2x＞3x－4；(2)5x－1＜14；(3)－19x＜－3；(4) 13x＜12x＋1.【答案】(1) x＜4；(2) x＜3；(3) x＞27；(4) x＞－6.【解析】（1）先根据不等式的性质1两边都减去3x，合并同类项后，再根据不等式的性质3两边都除以-1；（2）先根据不等式的性质1两边都加1，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以5；（3）先根据不等式的性质3两边都乘以-9即可；（4）先根据不等式的性质1两边都减去12x，合并同类项后，再根据不等式的性质2两边都除以6.【详解】(1) ①2x＞3x－4，①2x-3x>-4,①-x>-4,①x<4;(2) ①5x－1＜14，①5x<14+1,①5x<15,①x<3；(3)－19x＜－3，①－19x×（-9）>－3×（-9）①x>27；(4) ① 13x＜12x＋1，①13x-12x<1，①-16x<1，①x>-6.【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．18．指出下列各式成立的条件．(1)由a>b，得ac≤bc；(2)由(a－3)x>a－3，得x>1；(3)由a<b，得(m－2)a>(m－2)b.【答案】(1)c≤0；(2)a>3；(3)m<2.【解析】试题分析：根据不等式的性质，又不等式的不等号的变化判断即可.试题解析：（1）由a＞b，得ac≤bc，根据不等式的性质3，可知c≤0；(2)由(a－3)x＞a－3，得x＞1，根据不等式的基本性质2，可得a-3＞0，即a＞3；(3)由a＜b，得(m－2)a＞(m－2)b，根据不等式的性质3，可知m-2＜0，解得m＜2.19．已知x>0，试比较10x2－3x＋2与8x2－3x＋2的大小【答案】10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.【解析】【分析】先把两个式子相减，并去括号合并同类项，然后由x>0，结合不等式的性质判断差的正负即可.【详解】解：(10x2－3x＋2)－(8x2－3x＋2)＝2x2，①x>0，①2x2>0，①10x2－3x＋2>8x2－3x＋2.【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小.作差法比较大小的方法是:如果a-b>0，那么a>b；如果a-b=0,那么a=b；如果a-b<0,那么a<b；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果a>b，b>c，那么a>b>c.20．已知x>y，试比较(m－1)x与(m－1)y的大小【答案】见解析【解析】【分析】分三种情况①m－1>0，①m－1＝0，①m－1<0，根据不等式的性质解答即可.【详解】解：当m－1>0，即m>1时，(m－1)x>(m－1)y；当m－1＝0，即m＝1时，(m－1)x＝(m－1)y；当m－1<0，即m<1时，(m－1)x<(m－1)y.【点睛】本题考查了不等式的基本性质及分类讨论的数学思想，分三种情况解答是解答本题的关键．21．小明从一商店买了3个相同的玻璃杯，平均每个a元，又从另一个商店买了2个相同的玻璃杯，平均每个b 元，后来他以每个2a b +元的价格把玻璃杯全部都卖给了乙，结果赔了钱，你能用不等式的知识说明原因吗？【答案】见解析【解析】【分析】 先理解题意知道赔钱是什么意思，进而利用题中数量关系列出不等式2a b +<3a +2b >5，根据不等式的基本性质变形即可得到赔钱的原因.【详解】 解：因为赔了钱，所以×5＜3a ＋2b ，①5a ＋5b ＜6a ＋4b ，①－a ＋b ＜0，即b ＜a ，①赔钱的原因是b ＜a.【点睛】本题考查了不等式的基本性质的应用，根据题意列出不等式并能根据不等式的基本性质变形是解答本题的关键.。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A版选修4-5-新人
2016-2017学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a ＜b ＜0，则( ) A.1a ＜1b B ．0＜a b＜1C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b解析： 因为a ＜b <0，所以1a ＞1b ，故A 错．因为a ＜b ＜0，所以|a |＞|b |，所以ab＞1，故B 错．因为a ＜b ＜0，所以ab ＞b ·b ，即ab ＞b 2，故C 对．因为a ，b 同号，|a |＞|b |，所以ab ＞1,0＜b a＜1，故D 错．答案： C2．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 由ab ＞0，bc －ad ＞0可得bc ＞ad 两边同除以ab 得 c a ＞d b ，即c a －db＞0. 由c a －d b ＞0得c a ＞d b，再由ab ＞0， 两边同乘以ab 得bc ＞ad ，即bc －ad ＞0.由bc －ad ＞0，c a －d b >0可得bc ＞ad ，c a ＞d b，所以可得ab ＞0. 答案： D3．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |>|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案： B4．已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有( ) A ．log a (xy )＜0 B ．0＜log a (xy )＜1 C ．1＜log a (xy )＜2D ．log a (xy )＞2解析：∵0＜x ＜y ＜a ＜1，∴0＜xy ＜a 2＜1，由对数函数的单调性和对数的定义得，log a (xy )＞log a a 2＝2.答案： D 二、填空题5．若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：∵x >0， ∴x ＋4x≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以x ＋4x的最小值为4.答案： D6．若0＜2α－β＜π，－π2＜α－2β＜π，则α＋β的取值X 围是________． 解析： 由－π2＜α－2β＜π得－π＜2β－α＜π2，再与0＜2α－β＜π相加得－π＜α＋β＜3π2答案： －π＜α＋β＜3π2三、解答题7．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．解析：a a b b a b b a ＝a a －b ÷b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b.当a ＞b ＞0时，ab＞1，a －b ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a ，b ，都有a a b b＞a b b a.8．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值X 围． 解析：∵－6＜a ＜8，∴－12＜2a ＜16. 又2＜b ＜3，∴－10＜2a ＋b ＜19， ∵2＜b ＜3，∴－3＜－b ＜－2.又－6＜a ＜8，∴－9＜a －b ＜6. ∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12.①当0≤a ＜8时，0≤a b ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3＜a b＜4.9．设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围． 解析： 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b .于是，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. ∴5≤f (－2)≤10.。
不等式和绝对值不等式(一)
课堂练习:
1((13.判)) aa断下bb,列c 命abc题2是ab否c2正c ((确××):)
(5) a c2
b c2
a
b
(√)
(7) a b a2 b2 ×( )
(2) a b c a c b (√) (4) a b,c d ac bd×( ) (6) a2 b2 a b ×( )
(8) a b a2 b2 (√)
(9) a b 0,c d 0 a b (× )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
3．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2
⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.⑶求函数 y x2 3 的最小值.
如
1.求解下列不等式：
① x2 3x 10 0
② x 2 >0 x5
2.设 n 1,且 n 1, 求证: n3 1 > n2 n .
下面我们来系统且更进一步地认识不等式，从 而进一步提高分析问题、处理问题的能力。
两个实数大小比较:
⑴a b a b 0 ; ⑵a b a b 0 ; ⑶a b a b 0
x2 2 解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0,
2
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 1 2x 3 2x = 3 2
不等式的基本性质
基本不等式
不等式的性质 ⑴(对称性或反身性) a b b a ; ⑵(传递性) a b，b c a c ; ⑶(可加性) a b a c b c ,此法则又称为移项法则;
(同向可相加) a b，c d a c b d ⑷(可乘性) a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc . (正数同向可相乘) a b 0，c d 0 ac bd ⑸(乘方法则) a b （0 n N） an bn 0
【人教版】高中数学选修4-5第1讲不等式和绝对值不等式课堂练习
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞)
D．3lg 2，＋∞)
解析：因为 lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而 xyz≤x＋3y＋z3＝23， 所以 lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x＝y＝z＝2 时，取等号． 答案：B 4．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
(3)当 a＝1，b＝－2，k＝2 时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取 a＝2，b＝0，c＝－3 满足 a＞b，b＞c 的条件，但是 a－b＝2＜b－c
＝3.所以是假命题．
10．已知 a＞b＞0，比较ba与ba＋＋11的大小．
解：ab－ab＋＋11＝a（b＋b1（）b－＋b1（）a＋1）＝b（ab－＋b1）.
A．a－b＞0
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
解析：当 b≥0 时，a＋b＜0，当 b＜0 时，a－b＜0，所以 a＋b＜0，
故选 D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设 a，b 是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝3－3x＋1x≤3－2 3，
当且仅当 3x＝1x，即 x＝ 33时，等号成立．
所以 ymax＝3－2 3. 答案：3－2 3 7．已知函数 f(x)＝2x，点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，那么 f(a)·f(b) 的最小值是________． 解析：点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，所以有 ab＝1. 因为 a＞0，b＞0，所以 f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22 ab＝4， 当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立． 答案：4 8．当 x＞0 时，f(x)＝x22＋x 1的值域是________． 解析：因为 x＞0，所以 x＋1x≥2，所以 0＜x＋1 1x≤12. 所以 0＜x＋2 1x≤1. 又因为 f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x， 所以 0＜f(x)≤1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的值域是(0，1]． 答案：(0，1] 三、解答题 9．已知 x＜0，求 2x＋1x的最大值． 解：由 x＜0，得－x＞0， 得－2x＋－1x≥2 （－2x）－1x＝2 2， 所以 2x＋1x≤－2 2，
2020版高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.1.1 不等式的基本性质试题 新人教A版选修4-5
1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.解析∵c<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故>0.即.答案D2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a·lg x>b·lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a·2x>b·2x解析由a>b,当lg x≤0时,a·lg x>b·lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a·2x>b·2x,故D正确.答案D3.若角α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)解析因为-<β<,所以-<-β<.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.答案B4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A. B.>1C.a2>b2D.ab<a+b-1解析由a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.答案D5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]解析令3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则所以因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以(a+b)≤,-(a-b)≤,故-2≤3a-2b≤10.答案D6.已知0<a<1,则a,,a2的大小关系是.(从小到大)解析∵a-<0,∴a<.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<.答案a2<a<7.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.解析由题意可知0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.答案(0,8)8.设a>b>c>0,若x=,y=,z=,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)解析因为x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.答案x<y<z9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,的取值范围.解因为3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以.又1<b<10,所以,即.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较的大小.解当q=1时,=3,=5,所以.当q>0,且q≠1时,=<0,所以有.综上可知有.B组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则()A.log a c<log b cB.C.ab c<ba cD.a log c<b log c解析取a=,b=,c=2,得选项A,B,C错误.由0<a<b<1,c>1,则>1,log c x在定义域上单调递增.故a log c<b log c.答案D2.已知a,b∈R,则下列条件中能使a>b成立的必要不充分条件是()A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.3a>3b解析因为a>b⇒a>b-1,但a>b-1a>b,所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件;“3a>3b”是“a>b”的充要条件.答案A3.导学号26394001已知实数a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b解析由c-b=a2-4a+4=(a-2)2≥0易知c≥b,又由已知可解得b=a2+1>a,所以c≥b>a.答案A4.若a,b∈R,且a2b2+a2+5>2ab+4a,则a,b应满足的条件是.解析原不等式可化为(ab-1)2+(a-2)2>0,则a≠2或b≠.答案a≠2或b≠5.设x>5,P=,Q=,试比较P与Q的大小关系.解因为P=,Q=,又,所以Q<P.6.导学号26394002已知θ∈,且a=2sin2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a与b的大小.解因为θ∈,所以a=2sin2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为=2sin θ,又θ∈,所以sin θ∈,2sin θ∈(0,1), 即0<<1,故a<b.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4_5
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．数、式大小的比较[例1] 已知p q p q px qy 2px 2qy 2[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件． [解] (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋2pqxy ＋q 2y 2－px 2－qy 2＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0， (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 与n 的大小．解：m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n ，当且仅当x ＝y 时取等号．不等式的证明[例2] 已知a >b c d e 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即ea －c >eb －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0， ∴原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立．4．已知a >b >0，d >c >0，求证：a c >b d. 证明：因为d >c >0，所以1c >1d>0.又因为a >b >0， 所以a ·1c >b ·1d ，即a c >bd.利用不等式的性质求范围[例3] 已知30<x <42,16<y <24，求x ＋y ，x －2y ，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x <42,16<y <24， ∴46<x ＋y <66. ∵16<y <24， ∴－48<－2y <－32， ∴－18<x －2y <10. ∵16<y <24， ∴124<1y <116. ∴54<x y <218.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知－π2≤α＜β≤π2，求α－β的取值范围．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且α＜β.∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，∴－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：选B ∵x <y <0，∴|x |>|y |>0. 故P 在Q 的右边．2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab >0，则下面推理中正确的是( ) A ．a >b ⇒am 2>bm 2B.a c >b c⇒a >bC ．a 3>b 3⇒1a <1bD ．a 2>b 2⇒a >b解析：选C 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c <0，则不成立；对于C ，a 3－b 3>0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0恒成立，∴a －b >0，∴a >b .又∵ab >0，∴1a <1b.∴C 成立；对于D ，a 2>b 2⇒(a －b )(a ＋b )>0，不能说a >b .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：选 A 由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋ca ＋b＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件，即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：∵f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1>0，∴f (x )>g (x )．答案：> 6．下列命题： ①c －a <c －b ⇔a >b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③c a <c b ，且c >0⇒a >b ；④ na <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . 其中真命题是________．(填序号) 解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b . ②a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b.③c a －c b ＝c (b －a )ab<0，∵c >0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ b －a >0，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧b －a <0，ab >0即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0.∴③不正确，④中无论n 为奇数或偶数， 均可由n a <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . ∴①②④正确． 答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 令f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]． 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 即a 5＋1>a 3＋a 2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 第一课时 不等式的基本性质练习 新人教A版选修4
第一课时 不等式的基本性质[基础达标]1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 A.a d ＞b c B.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 解法一 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d ＜bc，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 解法二 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc .故选B.答案B2.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A.ab >ac B.c (b －a )>0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0解析 由条件c <b <a ，ac <0，得a >0，c <0，但b 的正负情况不确定.解法一 取a ＝1，b ＝0，c ＝－1分别代入选项A ，B ，C ，D 中验证可知选项C 不成立. 解法二 由题意，知c <0，a >0，则选项A 一定正确；因为c <0，b －a <0，所以c (b －a )>0，所以选项B 一定正确；因为ac <0，a －c >0，所以ac (a －c )<0，所以选项D 一定正确，故选C(当b ＝0时，不成立).答案C3.已知a >b ，则下列不等式： ①a 2>b 2；②lg(a －b )>0；③1a －b >1a. 其中不一定成立的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，且a －b >0，但a ＋b 的正负无法确定；对于②，a －b >0，但a －b 与1的关系无法确定；对于③，1a －b －1a ＝b （a －b ）a ，且a －b >0，但ba 的正负无法确定，所以这三个不等式都无法确定是否成立.答案D4.当a ＞0时且a ≠1时，log a (1＋a )与log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 的大小关系为________.解析log a (1＋a )－log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a＝log a 1＋a1＋1a＝log a a ＝1，因此log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a .答案log a (1＋a )＞log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a5.已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小.解析m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y＝x ＋y xy －4x ＋y ＝（x ＋y ）2－4xy xy （x ＋y ）＝（x －y ）2xy （x ＋y ）， ∵x ，y 均为正数，∴x ＞0，y ＞0，xy ＞0，x ＋y ＞0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0即m ≥n .[能力提升]1.若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则有a ＜1b ；若b ＜0，则a ＜0，从而有b ＞1a.“0＜ab＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分条件.反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a ＜1b 或b ＞1a，但ab ＜0.故选A.答案A2.已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能解析x 1＋x 2＜0⇒x 1＜－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)＜0. 同理：f (x 2)＋f (x 3)＜0，f (x 1)＋f (x 3)＜0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]＜0. 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0. 答案B3.若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有A.1个B.2个C.3个D.4个解析1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案B4.若0<x <y <1，则下列不等式正确的是 A.4y<4xB.x 3>y 3C.log 4x <log 4yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析由0<x <y <1，则4y>4x，x 3<y 3，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y.故选C. 答案C5.已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3答案D6.已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是 A.b a ＞c a B.b －ac＞0C.b 2c ＞a 2cD.a －cac＜0 解析 ∵c ＜b ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0，可得b a ＞ca，故A 恒成立.∵b ＜a ，∴b －a ＜0. 又c ＜0，∴b －ac＞0，故B 恒成立. ∵c ＜a ，∴a －c ＞0. 又ac ＜0，∴a －cac＜0，故D 恒成立. 当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立. 答案C7.以下四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中使1a <1b成立的充分条件是________.解析1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，依题设①②④能使b －a 与ab 异号.答案 ①②④8.设a ＞b ，(1)ac 2＞bc 2；(2)2a ＞2b ；(3)1a ＜1b；(4)a 3＞b 3；(5)a 2＞b 2中正确的结论有________.解析 若c ＝0，(1)错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，(3)(5)错. 答案 (2)(4)9.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________.解析 本题条件较多，若两两比较，需6次，很麻烦.但如果能找到一个合理的程序，则可以减少解题步骤.⎭⎪⎬⎪⎫③⇒d －b <c －a ②⇒c －a ＝b －d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b <b －d ，a －c <c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d <b ，a <c ，又由①，得a <c <d <b . 答案a <c <d <b10.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 11.已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值X 围. 解析 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 得－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5. 设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3.∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403. ∴－1≤－53u ＋83v ≤20.∴f (3)∈[－1，20]. 12.已知a ＞0，a ≠1. (1)比较下列各组大小①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ；③a 5＋1与a 3＋a 2. (2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明.解析 (1)①a 2＋1＞a ＋a ；②a 3＋1＞a 2＋a ；③a 5＋1＞a 3＋a 2. (2)根据(1)可探讨，得am ＋n＋1＞a m ＋a n.(证明如下)a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m－1)(a n－1). 当a ＞1时，a m＞1，a n＞1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；当0＜a＜1时，0＜a m＜1，0＜a n＜1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；总之(a m－1)(a n－1)＞0，即a m＋n＋1＞a m＋a n.。
不等式的基本性质
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________ ①若a>b>0,c>d>0,那么
a b ; d c
.
②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a-b).
【解析】因为a>b>0,c>d>0, 所以 a b >单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则 1 1 .
a
(2)c>a>b>0,则
c d
b a b . ca cb
(3)若 a ＞ b ,则ad>bc.
(4)设a,b为正实数,若a- 1 <b- 1 ,则a<b.
a
b
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不 等 式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0
a-b=0
a-b<0
2.不等式的基本性质 b<a (1)对称性:a>b⇔____.
a>c (2)传递性:a>b,b>c⇒____.
a>b ⇔a+c>b+c. (3)可加性:____
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可 减性.
如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式优化练习
1 绝对值三角不等式[课时作业][A 组 基础巩固]1．设ab ＞0，下面四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④解析：∵ab ＞0，①|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a |，正确；②|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|b |，所以②错；③|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |，所以③错；④|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |≥|a |－|b |，正确．所以①④正确，应选C.答案：C2．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1C ．m >2D ．m ≥2解析：∵|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x |＝2，∴|x －5|＋|x －3|的最小值为2.∴要使|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m >2.答案：C3．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是()A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：令a ＝3，b ＝2，则m ＝1，n ＝1；令a ＝－3，b ＝2，则m ＝15，n ＝5，∴n ≥m ，选D.答案：D4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值及取得最小值时x 的值分别是( )A ．1，x ∈[－1,2]B ．3,0C ．3，x ∈[－1,2]D ．2，x ∈[1,2]解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3.当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤x ≤2.答案：C5．下列不等式中恒成立的个数是( )①x ＋1x≥2(x ≠0)； ②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )； ④|a ＋b |＋|b －a |≥2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①不成立，当x <0时不等式不成立；②成立， a >b >0⇒a ab >b ab 即1b >1a， 又由于c >0，故有c b >c a ；③成立，因为a ＋m b ＋m －a b ＝b －a m b b ＋m >0(a ，b ，m >0，a <b )，故a ＋m b ＋m >a b； ④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a ＋b |＋|b －a |≥|(a ＋b )－(b －a )|＝|2a |≥2a ，故选B.答案：B6．已知|a ＋b |<－c (a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式：①a <－b －c ；②a >－b ＋c ；③a <b －c ；④|a |<|b |－c ；⑤|a |<－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上)．解析：∵|a ＋b |<－c ，∴c <a ＋b <－c ，∴a <－b －c ，a >－b ＋c ，①②成立，|a |－|b |<|a ＋b |<－c ，∴|a |<|b |－c ，④成立．答案：①②④7．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为________．解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2，当且仅当4≤x ≤6时，等号成立． 答案：28．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案：(－∞，9)9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min时，f(x)的定义域为R.∴a<4，即a的取值范围是(－∞，4)．[B组能力提升]1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.答案：B2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.答案：C3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2 (y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.答案：54．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝x x 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f (x )|≤m |x |，当x ≠0时，知m ≥|f x |x |，对于①，有|f x |x |＝0，x ≠0，故取m >0即可；对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f x |x |＝|x |，无最大值；对于③，由f (x )＝2sin(x＋π4)，而|f x |x |＝|2six ＋π4|x |无最大值；对于④，由|f x|x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ≠0，只要取m ＝43即可； 对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |.答案：①④⑤5．对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m ，求m 的值．解析：不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，即左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |，当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立，即|a |≥|b |时，等号成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2. 所以m ＝2.6．已知|x 1－2|<1，|x 2－2|<1.(1)求证：2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|<2.(2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2， 求证：|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|. 证明：(1)∵|x 1－2|<1，|x 2－2|<1， ∴2－1<x 1<2＋1,2－1<x 2<2＋1， 即1<x 1<3,1<x 2<3，∴2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)| ≤|x 1－2|＋|x 2－2|<1＋1＝2， 即|x 1－x 2|<2.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 22＋x 2| ＝|(x 1－x 2)·(x 1＋x 2－1)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|，由(1)知2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|>0， ∴|x 1－x 2|<|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|<5|x 1－x 2|， 即|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|.。
高中数学课件-第一讲《 不等式和绝对值不等式》 副本
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
O
ab
a+b
x
x
a+b
ba
O
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
b
a+b O
a
x
如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
a
O
a+b
练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由： （1）如果a>b，那么ac>bc； （假命题） （2）如果a>b，那么ac2>bc2；（假命题） （3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)； （假命题） （4）如果a>b, c<d，那么a-c>b-d。 （真命题）
2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。 解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
解：y2 sin2 cos4 1 2sin2 cos2 cos2
2
1 ( 2sin2 cos2 cos2 )3 4 ,
2
3
27
当且仅当2sin2 cos2 1 sin2 ,即sin 3
3
时取等号，此时ymax
23 9
.
课本P11第15题
已知a>0, b>0, 且h=min{a,
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
数学学案：单元整合第一讲不等式和绝对值不等式
单元整合知识网络专题探究专题一不等式性质的应用利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立,进行数值或代数式大小的比较，这些常用到分类讨论的思想．错误!若a,b是任意实数,且a＞b，则( )A．a2＞b2B．错误!＜1C．lg(a－b)＞0 D．错误!a＜错误!b提示:为提高解题速度，特殊值法与不等式性质的运用可以交替进行．解析:a＞b并不保证a，b均为正数,从而不能保证选项A，B成立．又a＞b a－b＞0,但不能保证a－b＞1，从而不能保证选项C成立．显然只有选项D成立，∵y＝错误!x是减函数,且a＞b,∴错误!a＜错误! b。
答案：D专题二平均不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2:如果a，b＞0，那么错误!≥错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3:如果a，b,c∈R＋,那么错误!≥错误!，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．算术几何平均不等式：（1）如果a1,a2，…，a n∈R＋，n＞1且n∈N＋，则错误!叫做这n 个正数的算术平均，错误!叫做这n个正数的几何平均;(2）推广到一般情形：对于n个正数a1，a2，…，a n，它们的算术平均不小于它们的几何平均,即错误!≥错误!，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．语言表述：n 个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(3）a ＋b 2≥错误!的几何解释:如图，以a ＋b 为直径作圆,在直径AB 上取一点C ，过C 作弦DD ′⊥AB 交AB 于C ，则CD 2＝CA ·CB ＝ab ，从而CD ＝错误!，则半径错误!≥CD ＝错误!.错误!若x ，y ＞0,设Q (x ，y )＝错误!,A （x ,y )＝错误!，G （x ,y )＝错误!，H （x ，y )＝错误!，求证：Q (x ，y )≥A (x ，y ）≥G (x ，y ）≥H (x ,y ）．证明：∵错误!2＝错误!≤错误!＝错误!，∴错误!≥错误!，即Q （x ，y ）≥A （x ，y )．由基本不等式,得A (x ，y )≥G （x ，y )．H (x ，y )＝错误!≤错误!＝错误!＝G (x ，y ），即G (x ，y )≥H (x ，y ）．综上所述：Q （x ,y )≥A （x ,y ）≥G (x ,y ）≥H （x ，y ）．专题三 利用平均不等式求最大(小)值重要的结论：已知x ，y 都是正实数，则:（1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2错误!;（2)如果和x＋y是定值S,那么当x＝y时,积xy有最大值错误!S2.错误!求函数y＝2x2＋错误!(x＞0）的最小值．下列解法是否正确？为什么？解法一：y＝2x2＋错误!＝2x2＋错误!＋错误!≥3错误!＝3错误!，∴y min＝3错误!。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的
基本性质优化练习
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．“x<－1”是“x2－1>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0 x<－1，
∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．
答案：A
2．下列命题中不正确的是( )
A．若>，则a>b
B．若a>b，c>d，则a－d>b－c
C．若a>b>0，c>d>0，则>b
c
D．若a>b>0，ac>bd，则c>d
答案：D
3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为
( )
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．M≥N
解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M<N.故选A.
答案：A
4．已知m，n∈R，则>成立的一个充要条件是( )
A．m>0>n B．n>m>0
C．m<n<0 D．mn(m－n)<0
解析：∵>⇔－>0⇔>0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)<0.
答案：D
5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
解析：x1＋x2<0⇒x1<－x2，
又∵f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上递增，
∴f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)<0.
同理：f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x3)<0.
以上三式相加得2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0.
即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
答案：B
6．有以下四个条件：
①b>0＞a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使＜成立的有________．
解析：①∵b>0>a，∴>0>；
②∵0>a>b，∴<<0；
③∵a>0>b，∴>0>；
④∵a>b>0，∴>>0.
答案：①②④
7．若－1<a<2，－2<b<1，则a－|b|的取值范围是________．
解析：∵－2<b<1，∴0≤|b|<2.
∴－2<－|b|≤0.
而－1<a<2，∴－3<a－|b|<2.
答案：(－3,2)
8．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系是________．解析：法一：M－N＝＋－－b
1＋b
＝＋＝，
由已知可得，a>0，b>0且0<ab<1，
∴1－ab>0，∴M－N>0，即M>N.
法二：＝，
∵0<a<，∴0<ab<1，∴2ab<2，
∴a＋b＋2ab<a＋b＋2，∴>1.
又M>0，N>0，∴M>N.
答案：M>N
9．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明：∵＋－a－b＝(a－b)·＝，
(a－b)2≥0恒成立，且已知a>0，b>0，
∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.
∴＋≥a＋b.
10．已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2，试比较a，b，c的大小．解析：∵a2－2ab＋c2＝0，∴b＝.
又∵a2＋c2>0，a>0，∴b>0.
又∵bc>a2>0，∴bc同号．∴c>0.
∵(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
又∵a>0，∴b－c≥0.
当b－c>0时，b>c.
又bc>a2，b＝，
∴·c>a2，即(a－c)(2a2＋ac＋c2)<0.
∵a>0，b>0，c>0，
∴2a2＋ac＋c2>0，a－c<0，即a<c.
∴a<c<b.
当b－c＝0时，b＝c.
∵bc>a2，∴b2>a2，b≠a.
∵a2－2ab＋b2＝(a－b)2＝0，∴a＝b.
∴矛盾，也就是b－c≠0.
综上可知，a<c<b.
[B组能力提升]
1．若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：对于0<ab<1，如果a>0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0<ab<1不成立，因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件；即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件．
答案：A
2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a
B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2
D．a2>－a>a>－a2
解析：∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0可得，－1<a<0，
∴－a>a2>0，∴0>－a2>a.
综上有－a>a2>－a2>a.
答案：B
3．若a，b∈R，且a>b，则下列不等式：①>；②(a＋b)2>(b＋1)2；
③(a－1)2>(b－1)2.
其中不恒成立的是________．
解析：①－＝＝.
因为a－b>0，a(a－1)符号不确定，①不恒成立；
②取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2>0，②不恒成立；
③取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不恒成立．答案：①②③
4．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．解析：∵4≤≤9，∴≤≤，
∴≤≤.
又∵3≤xy2≤8，而＝＝，
且≤xy2·≤，∴2≤≤27.
答案：27
5．已知a，b，c均为正数，且b<c，比较ab与ac＋bc的大小．解析：法一：∵a>0，且b<c，
∴ab<ac，
∵c>0，b>0，∴bc>0，
∴ac＋bc>ac>ab，
即ab<ac＋bc.
法二：∵a>0，b>0，c>0，
∴0<a<a＋b，
∵0<b<c，
∴ab<c(a＋b)，
即ab<ac＋bc.
法三：ab－(ac＋bc)＝a(b－c)－bc.
∵b<c，∴b－c<0，而a>0，
∴a(b－c)<0.
又∵b>0，c>0，
∴bc>0，－bc<0，
∴a(b －c)－bc<0，
即ab －(ac ＋bc)<0.
∴ab<ac ＋bc.
6．已知f(x)＝ax2＋c ，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解析：由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，
得⎩⎪⎨⎪
⎧ －4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5.
设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝，c ＝，
∴f(3)＝9a ＋c ＝－u ＋v.
又，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 53≤－53u≤203，－83≤83v≤403.
∴－1≤－u ＋v ≤20，即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20]。