第二章 一元函数微分2

第二章 一元函数微分学

一．导数与微分 1．知识要点

1．导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率 x

y x f x ∆∆=→∆0

0lim

)('x

x f x x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

000

)('0x f 0

0)

()(lim

x x x f x f x x --=→

2．导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜

率。

曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为：

)((')(000x x x f x f y -=-

法线方程为：)()

('1)(000x x x f x f y --

=-

3．在经济学中，)(x f 的边际函数是指)(x f 关于自变量x 的变化率)('x f 。例如)

('x C 表示边际成本函数，)('x R 表示边际收入函数，)('x L 表示边际利润函数。 4．函数可导与连续的关系：如果函数)(x f 在点0x 可导，则)(x f 在点0x 处连续。但

是，连续却不一定可导。

5．求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函

数的求导法则、参数方程的求导法则。 6．微分的定义与运算法则。

2．典型例子

例1：求函数00

,

0,)(2

1=≠⎪⎩⎪⎨

⎧=-x x e x f x 的一、二阶导数并讨论其连续性。 例2：设00

,0,1si n )(≤>⎪⎩

⎪⎨⎧=x x x

x x f k

（k 为实数），问k 在什么范围内)(x f （1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导

例3：设f 是可导函数，对于任意实数t s ,有 st t f s f t s f 2)()()(++=+，且

a f =)0('，求函数)(x f 的表达式。

例4：求x x x x x f ---=32)2()(的不可导点的个数。（答案：2） 例5：设0)0(=f ，则)(x f 在点0=x 可导的充分必要条件是 （A ）cosh)1(1lim 2

-→f h

h 存在；

（B ）)1(1lim 0

h

h e f h

-→存在； （C ）sinh)(1lim

2

-→h f h

h 存在；

（D ）)]()2([1lim 0

h f h f h

h -→存在。

例6：设)(x y y =是由方程1=+y e xy 所确定的隐函数，求)0(''y （答案：0）

例7：设⎩⎨

⎧

-==)

()(')('t f t tf y t f x 且)(t f 二次可微，0)(''≠t f ，求2

2

,dx

y

d dx dy （答案：)

(''1,

t f t ）

例8：设函数)(x f y =的导数)('x f 与二阶导数)(''x f 均存在，并且均不为零，其反

函数为)(y x ϕ=，求)(''y ϕ。 （答案：3

)]

('[)(''x f x f -）

例9：作已知曲线0354222=+--++y x y xy x 的切线，使其平行于直线

032=+y x ，使求此切线方程。 （答案：0232=-+y x ）

例10：已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6

π

θ=

的切线与法

线的直线方程。（答案：04

54

33.=+--y x ，04

14

3.=+-+y x ）

例11：设)('x f 在],[b a 上连续，且0)(',0)('<>b f a f ，则下列结论中错误的是 （A ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得)()(0a f x f >； （B ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得)()(0b f x f >； （C ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)('0=x f ； （D ）至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0=x f （答案：（D ）） （2004年数学三）

例12：以下命题中，正确的是

（A ）若)('x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界。 （B ）若)(x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界。 （C ）若)('x f 在)1,0(内有界，则)(x f 在)1,0(内有界。 （D ）若)(x f 在)1,0(内有界，则)('x f 在)1,0(内有界。 （答案：（C ）） （2005年数学三）

二．微分中值定理 1．知识要点

微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦。

1．Rolle 定理：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则存在),(b a ∈ξ，使得0)('=ξf ，即方程0)('=x f 在),(b a 内至少存在一个实根。

Rolle 定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法。

2．Lagrange 中值定理：设)(x f 内可导在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则存在),(b a ∈ξ，使得

a

b a f b f f --=

)()()('ξ 即 )(')()(ξf a f b f =-

Lagrange 中值定理将函数和导数联系在一起了。

3．Cauchy 中值定理：设函数)(x f 与)(x g 满足：在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，0)('≠x g 。则存在),(b a ∈ξ，使得

)

(')(')

()()()(ξξg f a g b g a f b f =--

很明显，Rolle 定理是Lagrange 中值定理的一种特殊情况，而Lagrange 中值是

Cauchy 中值定理的一种特殊情况。

4．带Peano 余项的Taylor 公式：设)(x f 在点0x 的n 阶导数存在，则

]

)[()(!

)

()(!

2)(''))((')()(000)

(2

00000n

n n x x o x x n x f

x x x f x x x f x f x f -+-+

+-+

-+=