2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式 Word版含解析
高中数学选修4-5(人教A版)4-5第一讲不等式和绝对值不等式1.2知识点总结含同步练习题及答案
和． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，则 (|x − 4| + |x − 3|)min > a ，因为 (|x − 4| + |x − 3|)min = 1 ，所以 a < 1．
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高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步绝对值不等式
一、知识清单
绝对值不等式的解法
二、知识讲解
1.绝对值不等式的解法 描述： 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质． （1）|f (x)| > |g(x)| ⇔ f 2 (x) > g 2 (x)； （2）|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ⇔ f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x)； （3）|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x)； （4）含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解，也可用图象法去求解． 例题： 解不等式 1 < |x + 1| < 3 ． 解：原不等式等价于
x − 3 < 2x − 1 < 3 − x,
解得 −2 < x <
4 ，故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ − 2 < x < } . ∣ 3
解不等式 |x − 1| + |x + 2| ⩾ 5 ． 解：当 x < −2 时，原不等式化为 1 − x − x − 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩽ −3； 当 −2 ⩽ x ⩽ 1 时，原不等式化为 1 − x + x + 2 ⩾ 5 ，不等式无解； 当 x > 1 时，原不等式化为 x − 1 + x + 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩾ 2． 综上，原不等式的解集为 {x | x ⩽ −3或x ⩾ 2}． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：由绝对值的几何意义可知，|x − 4| + |x − 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之
数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式
探究二 含绝对值不等式的证明
[例 2] 求证：|a22－|ab| 2|≥|a2|－|b2|.
[证明] 法一：①当|a|≤|b|时， 由|a22－|ab| 2|≥0，|a2|－|b2|≤0，知不等式成立． ②当|a|>|b|时， |a22－|ab| 2|－(|a2|－|b2|)＝|a|22－|a||b|2－|a|－2 |b| ＝|a|－2 |b|·(|a|＋|a||b|－1)＝|a|－2 |b|·|ba|≥0， 即|a22－|ab| 2|≥|a2|－|b2|. 综合①②知不等式成立．
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
[典例] 已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，若关于 x 的不等式 f(x)<|a－1|的解集非 空，则实数 a 的取值范围是________． [解析] 只要|a－1|大于 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|的最小值，则 f(x)<|a－1|的解集非空． 而 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3| ＝|2x＋1|＋|3－2x|≥|(2x＋1)＋(3－2x)|＝4， 由|a－1|>4，即 a－1>4 或 a－1<－4， 解得 a>5 或 a<－3，故 a∈(－∞，－3)∪(5，＋∞)． [答案] (－∞，－3)∪(5，＋∞)
[解析] ∵0＜n＋n 1＜1. ∴lgn＋n 1＜0. 由 x＜5，并不能确定|x|与 5 的关系， ∴可以否定①②③， 而|x|lgn＋n 1＜0，故④成立．
2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲 二 绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法
3．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围．
解析：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3.
(2)令 y＝|2x＋1|－|x－4|，则
－x－5，x≤－12， y＝3x－3，－12<x<4，
x＋5，x≥4， 作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|与函数 y＝2 的图象， 它们的交点为(－7,2)和53，2. 所以|2x＋1|－|x－4|>2 的解集为(－∞，－7)∪53，＋∞.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当 x＝12时等号成立，所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.① 当 a≤1 时，①等价于 1－a＋a≥3，无解． 当 a>1 时，①等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
1．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法是：先化为不等式组 －c≤ax＋b≤c ，再
利用不等式的性质求出原不等式的解集．
2．|ax＋b|≥c(c>0)的解法是：先化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c ，再进一步利
用不等式性质求出原不等式的解集．
三、|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 1．可以利用绝对值不等式的 几何意义 ． 2．利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间， 然后确定各个绝对值中的多项式的 符号 ，进而去掉 绝对值符号 ． 3．可以通过构造函数 ，利用 函数图象 ，得到不等式的解集．
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5训练：第一讲 不
一、基础达标1.已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h；且|b－1|＜h，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时a，b与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙；若|a－1|＜h，|b－1|＜2h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.答案 B2.设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A.|a＋b|＋|a－b|＞2B.|a＋b|＋|a－b|＜2C.|a＋b|＋|a－b|＝2D.不能比较大小解析当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.综上可知，|a＋b|＋|a－b|＜2.答案 B3.对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析利用三角不等式直接求解.∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.答案 C4.下列不等式中恒成立的个数是()①x＋1x≥2(x≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c＞0)；③a＋mb＋m＞ab(a，b，m＞0，a＜b)；④|a＋b|＋|b－a|≥2a.A.4B.3C.2D.1 解析①不成立，当x＜0时不等式不成立；②成立，a＞b＞c＞0⇒aab＞bab即1b＞1a，又由于c＞0，故有cb＞ca；③成立，因为a＋mb＋m－ab＝（b－a）mb（b＋m）＞0，(a，b，m＞0，a＜b)，故a＋mb＋m＞ab；④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选B.答案 B5.x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|＋|x－1|≥1，当且仅当x∈[0，1]时取“＝”.同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当y∈[0，1]时取“＝”.∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.而|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，∴|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，∴x＋y∈[0，2].答案[0，2]6.下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上).解析 ∵x ＞1，∴log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b 同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确； 综上①③④正确.答案 ①③④7.求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值.解 法一 ||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二 把函数看作分段函数.y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎨⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.二、能力提升8.已知设ab ＞0，有如下四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |.其中正确的是( )A.①②B.①③C.①④D.②④解析 ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确.答案 C9.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A.5或8B.－1或5C.－1或－4D.－4或8解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a .(1)当－1≤－a 2，即a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，－x －a ＋1，－1＜x ＜－a 2，3x ＋a ＋1，x ≥－a 2.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a 2＝3.所以a ＝－4.(2)当－1＞－a 2，即a ＞2时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a 2，x ＋a －1，－a 2＜x ＜－1，3x ＋a ＋1，x ≥－1.易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a 2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.答案 D10.不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________. 解析 |a ＋b ||a |－|b |≥1⇔|a ＋b |－（|a |－|b |）|a |－|b |≥0⇔(|a |－|b |)·[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.答案 |a |＞|b |11.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0). (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围.(1)证明 由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5，得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 12.已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.证明 (1)若|a |＞|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a|－|b|2＝右边.(2)若|a|＜|b|，左边＞0，右边＞0，∴原不等式显然成立.(3)若|a|＝|b|，原不等式显然成立.综上可知原不等式成立.三、探究与创新13.对定义在[－1，1]上的函数f(x)，若存在常数A＞0，使得对任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤A|x1－x2|，则称f(x)具有性质L.问函数f(x)＝x2＋3x ＋5与g(x)＝|x|是否具有性质L？试证明.解f(x)具有性质L，g(x)不具有性质L.证明如下：(1)对于f(x)＝x2＋3x＋5，任取x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|＝|x21－x22＋3(x1－x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2＋3)|＝|x1－x2||x1＋x2＋3|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋3)≤5|x1－x2|.故存在A＝5，使f(x)具有性质L.(2)对于g(x)＝|x|，设它具有性质L，任取x1，x2∈[0，1]，则|g(x1)－g(x2)|＝||x1|－|x1||＝||x1|－|x2|| |x1|＋|x2|＝|x1－x2||x1|＋|x2|≤A|x1－x2|，得A≥1|x1|＋|x2|，1A≤|x1|＋|x2|≤2.得1A∈(0，2].取x1＝14A2≤1，x2＝116A2≤14，有|x1|＋|x2|＝12A＋14A＝34A＜1A，与|x1|＋|x2|≥1A矛盾，故g(x)＝|x|不具有性质L.。
2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲达标检测Word版含解析
达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a >b >c ，则1b －c －1a －c( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．小于等于0D ．大于等于0解析：∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0， ∴1a －c <1b －c ，∴1b －c －1a －c >0.故选A. 答案：A2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0， ∴a >－b >0,0>b >－a ， ∴a >－b >b >－a . 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B ．2333 C.32 3D ．23 2 解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2，而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232.答案：A4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.答案：C5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．6解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2. 答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1解析：y ＝(x －1)22x －2＋12x －2＝x －12＋12(x －1)≤－21－x 2·12(1－x )＝－1.答案：C7．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1D ．a ≥1解析：取a ＝0时，|x |≥0恒成立， 所以a ＝0符合，可以排除A ，D. 取a ＝1时，|x |≥x 恒成立，所以a ＝1符合，从而排除C ，所以正确答案为B. 答案：B8．使3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 所满足的条件是( )A ．－3≤x <32 B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3 D ．－3≤x ≤3解析：使式子有意义的x 所满足的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3－|x |≥0，|2x ＋1|－4>0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－|x |≤0，|2x ＋1|－4<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤3，|2x ＋1|>4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，2x ＋1>4或2x ＋1<－4，∴⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x >32或x <－52.∴－3≤x <－52或32<x ≤3.故选C. 答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( ) A ．27 B ．54 C ．52D ．56解析：∵9＝a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时取得最大值27∴abc ≤27， 此时其表面积为6×32＝54.故选 B. 答案：B10．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1＝(1－a )(1＋a )(1－b )(1＋b )a 2b 2＝(1＋a )(1＋b )ab ＝2ab ＋1，∵a ＋b ＝1，∴2ab ≤1. ∴ab ≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1≥9.答案：D11．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立， 所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0， 解得a ≥4，或a ≤－1. 答案：A12．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x ≥m 恒成立，则m 的最大值是( ) A ．(a －b )2 B ．(a ＋b )2 C ．a 2b 2D ．a 2解析：∵a 2x ＋b 21－x ＝[a 2x ＋b 21－x][x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a 2(1－x )x ＝b 2x1－x 时等号成立．所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________． 解析：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32； 当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立； 当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.由上综合知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为|x －12|＋|x ＋12|≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32 14．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．解析：因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a ＋b ，又x ，c ，d ，y 成等比数列，所以xy ＝cd ，(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x y ＋yx ＋2≥2x y ·y x ＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，取等号．答案：415．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xa y ≥1＋a ＋2a ，∴1＋a ＋2a ≥9，即a ＋2a －8≥0，故a ≥4. 答案：416. 下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c ； ④若a <b <0，c >0，则c a >cb .其中正确命题有________．(填序号)解析：②不正确，因为0<c <1时，lg c <0.①③④正确． 答案：①③④三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设x 、y 、z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值． 解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ， ∴x 2y 3z ≤1(当x2＝y ＝4z 时，取“＝”)． ∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.18．(12分)已知ab ≠0，且a >b ，试比较1a 与1b 的大小． 解析：1a －1b ＝b －a ab ，∵ab ≠0，a >b ，∴b －a <0， 如果ab <0，b －a ab >0，∴1a >1b ， 如果ab >0，b －a ab <0，∴1a <1b .19．(12分)解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解析：①当x >2时，原不等式等价于 ⎩⎨⎧x >2(2x －4)－(3x ＋9)<1⇒x >2. ②当－3≤x ≤2时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤2－(2x －4)－(3x ＋9)<1⇒－65<x ≤2. ③当x <－3时，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x <－3－(2x －4)＋(3x ＋9)<1⇒x <－12. 综上所述知不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－65或x <－12.20．(12分)已知a >0，b >0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9. 证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a ＝33b >0.①同理可证a 2＋1b ＋1a 2≥331b >0.②由①，②结合不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2 ≥33b ×331b ＝9，当a ＝b ＝1时，取等号． 21．(13分)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上所述，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立． 则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．22．(13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．解析：设点P的坐标为(x，y)．(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*)当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．d2(x)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x －3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．。
人教版高中数学选修4-5优化练习：第一讲二绝对值不等式1绝对值三角不等式
[课时作业 ][A 组基础稳固]1．设 ab＞ 0，下边四个不等式：① |a＋b|＞ |a|；② |a＋ b|＜|b|；③ |a＋ b|＜|a－b|；④ |a＋b|＞|a|－ |b|中，正确的选项是 ()A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④分析：∵ ab＞0，① |a＋ b|＝|a|＋|b|＞|a|，正确；②|a＋b|＝|a|＋ |b|＞|b|，因此②错；③ |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a－b|，因此③错；④ |a＋b|＝|a|＋ |b|＞|a－b|≥|a|－|b|，正确．因此①④正确，应选 C.答案： C2．已知 x 为实数，且 |x－5|＋|x－3|<m 有解，则 m 的取值范围是 ()A． m>1B．m≥1C． m>2D．m≥2分析：∵ |x－ 5|＋ |x－3|≥|x－5＋ 3－ x|＝2，∴|x－ 5|＋ |x－3|的最小值为 2.∴要使 |x－5|＋ |x－ 3|<m 有解，则 m>2.答案： C．已知≠|，＝|a|－|b||a|＋|b|，n＝，则 m，n 之间的大小关系是 ()3|a| b m|a－b||a＋b|A． m>n B．m<nC． m＝ n D．m≤n分析：令 a＝3， b＝ 2，则 m＝ 1， n＝ 1；令 a＝－ 3，b＝2，则 m＝1，n＝5，5∴ n≥m，选 D.答案： D4．函数 y＝|x＋1|＋|x－ 2|的最小值及获得最小值时 x 的值分别是 () A． 1，x∈[ －1,2]B．3,0C． 3，x∈[ －1,2]D．2，x∈[1,2]分析：运用含绝对值不等式的基天性质有|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋ |2－x|≥|x ＋ 1＋ 2－ x|＝ 3.当且仅当 (x ＋1)(2－x)≥0 时等号建立，即获得最小值的充要条件，∴－ 1≤x ≤2.答案： C5．以下不等式中恒建立的个数是 ()1① x ＋ x ≥ 2(x ≠ 0)；c c② a <b (a>b>c>0)；a ＋ m a， a <b)；④|a ＋b|＋|b －a| ≥2a.③b ＋m >b (a ，b ，m>0A ． 4B ．3C ． 2D ．1分析： ①不建立，当 x<0 时不等式不建立； ②建立，a b1 1a>b>0? ab >ab 即 b >a ， 又因为 c>0，c c故有 b >a ；③建立，因为a ＋m ab － a ma ＋m a－ b ＝＋m>0(a ，b ，m>0，a<b)，故＋>b ；b ＋mb bb m④建立，由绝对值不等式的性质可知： |a ＋ b|＋|b －a|≥|(a ＋ b)－(b －a)|＝|2a|≥2a ，应选 B.答案： B6．已知 |a ＋b|<－c(a ，b ，c ∈R)，给出以下不等式：① a<－b －c ；② a>－b ＋c ；③ a<b － c ；④ |a|<|b|－c ；⑤ |a|<－ |b|－c.此中必定建立的不等式是 ________(把建立的不等式的序号都填上 )．分析：∵ |a ＋ b|<－ c ，∴ c<a ＋b<－ c ，∴ a<－b－c，a>－b＋c，①②建立，|a|－ |b|<|a＋b|<－c，∴|a|<|b|－c，④建立．答案：①②④7．函数 y＝|x－4|＋|x－ 6|的最小值为 ________．分析： y＝ |x－4|＋ |x－ 6|≥|x－4＋6－x|＝ 2，当且仅当 4≤x≤6 时，等号建立．答案： 28．若 |x－ 4|＋ |x＋5|>a 关于 x∈ R 均建立，则 a 的取值范围为 ________．分析：∵ |x－ 4|＋ |x＋5|＝|4－x|＋ |x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当 a<9 时，不等式对 x∈ R 均建立．答案： (－∞，9)9．若 f(x)＝x2－x＋c(c 为常数 )， |x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明： |f(x)－ f(a)|＝ |(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝ |(x－a)(x＋ a－ 1)|＝|x－a| ·|x＋a－1|<|x＋ a－ 1|＝|(x－a)＋ (2a－ 1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－ a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋ 1＝ 2(|a|＋1)．10．已知函数 f(x)＝ log2(|x－1|＋ |x－ 5|－a)．(1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的最小值；(2)当函数 f(x)的定义域为 R 时，务实数 a 的取值范围．分析：(1)函数的定义域知足 |x－1|＋ |x－ 5|－a>0，即 |x－ 1|＋ |x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋ |x－5|，由 |x－ 1|＋ |x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知 g(x)min＝4，∴ f(x)min＝log2(4－ 2)＝1.(2)由(1)知， g(x)＝ |x－1|＋|x－5|的最小值为 4.∵|x－ 1|＋ |x－5|－a>0，∴a<g(x)min时， f(x)的定义域为 R.∴a<4，即 a 的取值范围是 (－∞，4)．[B组能力提高 ]1．设 |a|<1，|b|<1，则 |a＋b|＋ |a－b|与 2 的大小关系是()A． |a＋ b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋ |a－ b|<2C． |a＋ b|＋|a－b|＝2D．不可以比较大小分析：当 (a＋b)(a－b)≥0 时， |a＋b|＋|a－ b|＝ |(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当 (a＋b)(a－b)<0 时，|a＋ b|＋ |a－b|＝|(a＋b)－(a－ b)|＝2|b|<2.答案： B2．对随意 x，y∈R，|x－ 1|＋|x|＋|y－1|＋ |y＋ 1|的最小值为 ()A． 1B．2C． 3D．4分析：∵ x，y∈R，∴ |x－1|＋|x|≥|(x－ 1)－x|＝1，|y－1|＋ |y＋ 1|≥|(y－1)－(y＋ 1)|＝2，∴|x－ 1|＋ |x|＋|y－ 1|＋ |y＋1|≥3.∴|x－ 1|＋ |x|＋|y－ 1|＋ |y＋1|的最小值为 3.答案： C3．关于实数 x， y，若 |x－1|≤1， |y－2| ≤1，则 |x－2y＋1|的最大值为 ________．分析： |x－2y＋1|＝|(x－ 1)－2(y－1)|≤|x－1|＋ |2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－ 2|＋2≤5，即 |x－ 2y＋1|的最大值为 5.答案： 54．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)| ≤m|x|对一确实数x 均建立，则称 f(x)为 F 函数．给出以下函数：① f(x)＝ 0；② f(x)＝x2；③ f(x)＝ 2(sin x＋ cos x)；④ f(x)＝2x；⑤ f(x)是定义x ＋ x＋ 1在 R 上的奇函数，且知足对一确实数 x1， x2均有 |f(x1)－f(x2)|≤x2|1－x2此中是F|.函数的序号是 ________．|f x|f x分析：由 |f(x)|≤m|x|，当 x≠0时，知m≥|x|，关于①，有|x|＝0，x≠0，故取 m>0 即可；关于②，由 |x2＝2，∴|f x＝|x|，无最大值；关于③，由f(x)||x||x|ππ |f xx ＋ 4|f x1＝ 2sin(x ＋4)，而 |x|＝|x|无最大值；关于④，由|x|＝x 2＋x ＋144≤ ，x ≠0，只需取 m ＝ 即可；3 3关于⑤，令 x 2＝ 0，x 1＝ x ，由 f(0)＝0，知 |f(x)|≤2|x|.答案： ①④⑤5．关于随意的实数 a(a ≠ 0)和 b ，不等式 |a ＋ b|＋ |a －b| ≥M ·|a|恒建立，记实数 M 的最大值是 m ，求 m 的值．|a ＋b|＋|a －b|分析： 不等式 |a ＋ b|＋|a － b|≥M ·|a|恒建立，即M ≤ 关于随意的实数 |a|a(a ≠ 0)和 b 恒建立，即左侧恒小于或等于右侧的最小值．因为 |a ＋b|＋|a － b|≥|(a ＋b)＋(a － b)|＝2|a|，当且仅当 (a －b)(a ＋b)≥0 时等号建立，即 |a|≥|b|时，等号建立，也就是 |a ＋b|＋ |a －b|的最小值是 2.|a|因此 m ＝2.6．已知 |x 1－2|<1，|x 2－ 2|<1.(1)求证： 2<x 1＋ x 2 <6，|x 1 －x 2 |<2.(2)若 f (x)＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2，求证： |x 1－ x 2|<|f(x 1)－ f(x 2 )|<5|x 1 －x 2|.证明： (1)∵ |x 1－ 2|<1，|x 2 －2|<1，∴ 2－ 1<x 1<2＋ 1,2－ 1<x 2<2＋1，即 1<x 1<3,1<x 2<3，∴ 2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－ 2)|≤|x 1－ 2|＋ |x 2－2|<1＋1＝2，即 |x 1－x 2|<2.(2)∵f(x)＝x 2－ x ＋1，22∴ |f(x 1)－f(x 2)|＝ |x 1－x 1－x 2＋x 2|＝|(x1－ x2) ·(x1＋x2－ 1)|＝|x1－x2| ·|x1＋x2－1|，由 (1)知 2<x1＋x2<6，|x1－x2|>0，∴|x1－x2|<|x1－ x2 | ·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，即 |x1－x2|<|f(x1)－f(x2 )|<5|x1－ x2|.。
人教A版高中数学选修4-5练习-第一讲绝对不等式的解法
第一讲 不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：原不等式同解于x －2<0，即x <2. 答案：A2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：B3．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A. 答案：A4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4. 又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解． 答案：B 二、填空题6．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集是∅，则a 的取值范围是________________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ≤3. 答案：(－∞，3]7．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋4a ≤4.所以a ＝2，综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}． 答案：(－∞，0)∪{2}8．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________________．解析：f (x )≤5⇔|2x －1|＋x －2≤0，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＋x －2≤0，解得12≤x ≤1.②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋x －2≤0，解得－1≤x <12.综上可得－1≤x ≤1.答案：[－1，1] 三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，，解得a ＝2.(2)由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则m ≤g (x )min . 即实数m 的取值范围是(－∞，5]．10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．B级能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足以下条件的m的取值范围．(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.解：法一因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x ＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．。
2018学年高中数学人教A版选修4-5学案：第1讲 2-1 绝对值三角不等式 含解析
二绝对值不等式1.绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a －b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立【解析】当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．【答案】 B教材整理3三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D.不可能比较大小【解析】当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]【精彩点拨】 令t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|，只需m ≤t min .【自主解答】 法一 对x ∈R ，|x ＋1|＋|x ＋2|≥|(x ＋1)－(x ＋2)|＝1，当且仅当(x ＋1)(x ＋2)≤0时，即－2≤x ≤－1时取等号．∴t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1]．法二 t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＝⎩⎨⎧ －(2x ＋3) ， x <－2，1， －2≤x ≤－1，2x ＋3， x >－1.∴t ≥1，则t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1.因此实数m 的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．[再练一题]1．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因为f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2. 【精彩点拨】 不管|a |，|b |,1的大小，总有m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．【自主解答】 依题意m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，从而|x |2>|b |.因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x 2|<|x ||x |＋|x |2|x 2|＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.1．将文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[再练一题]2．若f (x )＝x 2－x ＋c (为常数)，且|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1).【导学号：32750018】【证明】 |f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.又|x－a|<1，∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．[探究共研型]探究1【提示】不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.探究2你能给出定理2的几何解释吗？【提示】在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b －c|.已知a，b∈R，则有(1)|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是________；(2)|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是________．【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别求解．【自主解答】(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔|a|－|b||a－b|≤1，因此|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是a≠b.(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔|a|＋|b||a＋b|≥1.因此|a |＋|b ||a ＋b |≥1成立的充要条件是a ≠－b . 【答案】 (1)a ≠b (2)a ≠－b1．本题求解的关键在于|a |－|b |≤|a －b |与|a |＋|b |≥|a ＋b |的理解和应用．2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．[再练一题]3．条件不变，试求：(1)||a |－|b |||a －b |＜1成立的充要条件； (2)|a |＋|b ||a ＋b |＞1成立的充要条件． 【解】 (1)因为ab ＜0⇔||a |－|b ||＜|a －b |⇔|a |－|b ||a －b |＜1， 所以||a |－|b |||a －b |＜1成立的充要条件是ab ＜0. (2)因为|a |＋|b ||a ＋b |＞1⇔|a |＋|b |＞|a ＋b |且a ＋b ≠0⇔ab ＜0且a ≠－b ， 所以|a |＋|b ||a ＋b |＞1成立的充要条件是ab ＜0且a ≠－b . [构建·体系]绝对值三角不等式—⎪⎪⎪⎪⎪ —绝对值的几何意义—绝对值三角不等式—三个实数的绝对值不等式—求最值与范围1．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C．|a－b|＜||a|－|b|| D.|a－b|＜|a|＋|b|【解析】∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.【答案】 B2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件可以是()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1 D.b<－1【解析】当b<－1时，|b|>1，∴|a|＋|b|>1，但|a|＋|b|>1⇒/b<－1(如a＝2，b＝0)，∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．【答案】 D3．已知四个命题：①a>b⇒|a|>b；②a>b⇒a2>b2；③|a|>b⇒a>b；④a>|b|⇒a>b.其中正确的命题是________．【解析】当a>b时，|a|≥a>b，①正确．显然②③不正确．又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．【答案】①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.【导学号：32750019】【解析】∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.【答案】 35．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．【解】∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，即10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有()A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|【解析】当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.【答案】 D2．已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系为()A．m>n B．m<n C．m＝n D.m≤n【解析】由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得|a|－|b||a－b|≤1，|a|＋|b||a＋b|≥1.【答案】 D3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确．．．的是() A．|a＋b|＞a－b B．2ab≤|a＋b|C ．|a ＋b |<|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】 当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错．【答案】 C4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( )A ．|a |＜|b |＋|c |B ．|c |＜|a |＋|b |C ．b ＞||c |－|a ||D.b ＜||a |－|c ||【解析】 b ＞|a －c |＞|a |－|c |，b ＞|a －c |＞|c |－|a |，故A ，B 成立，∴b ＞||a |－|c ||，故C 成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】 D5．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的( )【导学号：32750020】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵|x －a |＜m ，|y －a |＜m ，∴|x －a |＋|y －a |＜2m .又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |，∴|x －y |＜2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x －y |＜2m 不一定有|x －a |＜m 且|y －a |＜m ，故“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．【解析】 因为a ，b ∈R ，则|a －b |>2，其几何意义是数轴上表示数a ，b 的两点间距离大于2，|x －a |＋|x －b |的几何意义为数轴上任意一点到a ，b 两点的距离之和，当x 处于a ，b 之间时|x －a |＋|x －b |取最小值，距离恰为a ，b 两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R .【答案】 R7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b 同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确．综上，①③④正确．【答案】 ①③④8．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.【答案】 ①③⇒②三、解答题9．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －b |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.【证明】 ∵|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. [能力提升]1．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3 D.4【解析】 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.【答案】 C2．以下三个命题：(1)若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；(3)若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23. 其中正确的有________个．【解析】 (1)1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴1＋|b |＞|a |成立，(1)正确；(2)|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|a －b |正确；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |＜2|y |＜23，正确． 【答案】 33．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750021】【解析】 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.【答案】 －2≤a ≤44．若1＜a ＜8，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是____________．【解析】 ∵－4＜b ＜2，则0≤|b |＜4，∴－4＜－|b |≤0.又∵1＜a ＜8，∴－3＜a －|b |＜8.【答案】 (－3,8)5．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .【证明】 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a.。
数学人教A版选修4-5学案：第一讲二绝对值不等式(第2课时)含解析
2.绝对值不等式的解法1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题．2．了解绝对值不等式的几何解法．1．含有绝对值的不等式的解法（同解性）（1)｜x｜＜a错误!(2)|x|＞a错误!对于不等式｜x｜＜a(a＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合．如图：【做一做1】若集合M＝{x｜｜x|≤2},N＝{x|x2－3x＝0｝，则M∩N＝(）A．{3｝B．{0} C．{0,2} D．｛0，3}2．|ax＋b｜≤c（c＞0），|ax＋b|≥c(c＞0）型不等式的解法（1)|ax＋b｜≤c(c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________,再利用不等式的性质求出原不等式的解集．(2）|ax＋b｜≥c（c＞0）的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．【做一做2－1】若条件p：|x＋1｜≤4,条件q：x2＜5x－6，则p是q的(）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【做一做2－2】|2x＋1｜＞｜5－x｜的解集是__________．3．｜x－a｜＋｜x－b|≥c和｜x－a|＋｜x－b|≤c型不等式的解法有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________．解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的______,进而去掉__________．解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．|x－a|＋|x－b｜≥c或｜x－a｜＋|x－b|≤c型的不等式的三种解法可简述为:①几何意义；②根分区间法;③构造函数法．【做一做3】不等式|x－1｜＋｜x－2｜＜2的解集是__________．答案：1．（1)－a＜x＜a无解(2)x＞a或x＜－a x≠0x∈R【做一做1】B方法一：由代入选项验证可排除选项A、C、D,故选B.方法二：M＝｛x|－2≤x≤2｝，N＝{0，3｝，∴M∩N＝｛0｝．2．（1)－c≤ax＋b≤c（2）ax＋b≥c ax＋b≤－c【做一做2－1】A∵由p：|x＋1|≤4，得－4≤x＋1≤4,即－5≤x≤3，又q：2＜x＜3，∴p为x＞3或x ＜－5，q为x≥3或x≤2。
数学人教A版选修4-5达标训练：1.2绝对值不等式含解析
更上一层楼基础·巩固1。
不等式｜2x+1|>3的解集是_______________.思路分析：利用解绝对值不等式的基本方法求解即可.答案：{x|x<—2或x 〉1｝2。
a 、b 为满足ab<0的实数，那么( ）A 。
|a+b|〉｜a —b ｜B 。
|a+b|〈|a —b|C 。
|a-b|<|｜a|-|b ｜｜ D.|a-b ｜<|a|+|b|思路分析:取a=3,b=-3代入验证，即可否定A 、C 、D 项。
答案：B3。
不等式|x+1|+｜x+2｜〈5的所有实数解的集合是( ） A 。
（—3,2） B.（—1，3) C.（—4,1)D 。
(—23,27） 思路分析：利用绝对值的几何意义求解比较简便.答案:C4.若|a+b|〈|a|+|b ｜成立，a 、b 为实数，则有（ ）A 。
ab 〈0B 。
ab 〉0C 。
ab≥0D 。
以上都不对思路分析：分a≥0，a<0对b≥0，b 〈0讨论即可.答案：A5.若x 、y 、a∈R ，且｜x —y|<a,求证：|y ｜〈｜x|+a 。
思路分析：利用定理1的推论将一个绝对值符号“拆”为两个绝对值符号，巧妙地运用“拆”的功能可使问题解决。
证明：∵a〉|x-y｜=｜(-y)+x|≥｜-y｜—|x｜=|y｜—｜x｜,∴|y|<｜x|+a。
6。
已知x∈R,y∈R，则|x｜〈1,|y｜〈1是|x+y|+|x—y|〈2的_______条件（）A。
充分不必要 B.必要不充分C。
既不充分也不必要D。
充要思路分析：求解充要条件问题时，要注意必须来回考虑。
具体解法如下：若｜x｜<1，|y|〈1，则当（x+y）（x—y）≥0时,|x+y｜+｜x-y|=|(x+y）+（x-y)|=2|x｜〈2.当(x+y)（x—y)〈0时,｜x+y｜+｜x—y｜=|(x+y）-(x—y）｜=2|y|<2。
若｜x+y｜+｜x-y｜〈2,则2|x|=｜(x+y）+(x—y)｜〈|x+y｜+｜x—y｜〈2，即|x｜〈1。
2017-2018学年高二数学人教A版选修4-5教师用书：第1讲 二 绝对值不等式-2 含答案 精品
2.绝对值不等式的解法1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点)2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.(重点)3．能利用绝对值不等式解决实际问题．教材整理1 绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集阅读教材P15～P15倒数第2行以上部分，完成下列问题．阅读教材P15～P17“探究”以上部分，完成下列问题．1．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.2．|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.不等式|x＋1|＞3的解集是( )A．{x|x＜－4或x＞2} B．{x|－4＜x＜2}C．{x|x＜－4或x≥2} D.{x|－4≤x＜2}【解析】由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.【答案】 A教材整理3 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法阅读教材P17～P19，完成下列问题．1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的解集为( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3)C ．(－4,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 【解析】 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．【答案】 C预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53≤x ≤73.(2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一 由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x －＞0，x －x ＋＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6.∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 法二 作函数y ＝x 2－5x 的图象，如右图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合． 解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6. 解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3. 即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义．1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3，由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}．(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 解fx ，由集合相等，求a →求y ＝f x ＋f x ＋的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]．1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}．(2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10， 因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1， 故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立．探究 【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x －a |＋|x －b |＝c 成立的x 值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a ，b 为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x －a ，x －b 的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集．(1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|； (2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0， 解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5， 根据函数f (x )的图象可知，原不等式的解集为 (－∞，5)．绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【导学号：32750022】【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32且x ≠－24．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．【解析】 不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，当－32≤x ≤32时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，325．解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】 若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5训练：第一讲 不
一、基础达标1.不等式|x ＋1||x －1|＜1的解集为( ) A.{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B.{x |0＜x ＜1}C.{x |－1＜x ＜0}D.{x |x ＜0}解析⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1＜1⇔－1＜x ＋1x －1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －1＞－1，x ＋1x －1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋x －1x －1＞0，x ＋1－x ＋1x －1＜0⇔⎩⎨⎧2x （x －1）＞0，x －1＜0⇔x ＜0. 答案 D2.关于x 的不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，－1]∪[4，＋∞)B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.[1，2]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)解析 由绝对值的几何意义得，|x ＋3|－|x －1|的最大值为4.∴a 2－3a ≥4恒成立，即a ≥4或a ≤－1.答案 A3.当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A.a ＞5－2B.0＜a ≤5－2C.a ≥5－2D.以上都不正确解析 |x －2|＜a ⇒2－a ＜x ＜2＋a ，|x 2－4|＜1⇒－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5.当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，可知⎩⎨⎧2－a ≥－5，2＋a ≤－3⇒⎩⎨⎧a ≤2＋5，a ≤－2－3⇒a ≤－2－ 3.∵a ≤－2－3与a ＞0矛盾，∴舍去.或⎩⎨⎧2－a ≥3，2＋a ≤5⇒⎩⎨⎧a ≤2－3，a ≤5－2⇒a ≤5－2. ∴0＜a ≤5－2.答案 B4.已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是增函数，则不等式log a |x ＋1|＞log a |x －3|的解集为( )A.{x |x ＜－1}B.{x |x ＜1}C.{x |x ＜1，且x ≠－1}D.{x |x ＞1}解析 因为a ＞0，且a ≠1，所以函数f (x )＝2－ax 为减函数.又因为y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是增函数，所以0＜a ＜1，则y ＝log a x 为减函数，所以|x ＋1|＜|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0.由|x ＋1|＜|x －3|，得(x ＋1)2＜(x －3)2，即x 2＋2x ＋1＜x 2－6x ＋9，解得x ＜1.又x ≠－1，且x ≠3，所以解集为{x |x ＜1，且x ≠－1}.答案 C5.不等式|2x －1|＋x ＞1的解集是________.解析 法一 把|2x －1|＋x ＞1移项，得|2x －1|＞1－x ，把此不等式看作|f (x )|＞g (x )的形式得2x －1＞1－x 或2x －1＜－(1－x )，∴x ＞23或x ＜0，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞23或x ＜0. 法二 用分类讨论的方法去掉绝对值符号.当x ＞12时，2x －1＋x ＞1，∴x ＞23；当x ≤12时，1－2x ＋x ＞1，∴x ＜0.综上得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞23或x ＜0. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞23或x ＜0 6.若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53＜x ＜13，则a ＝________.解析 根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解.∵|ax －2|＜3，∴－1＜ax ＜5.当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a ，又不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53＜x ＜13，故a ＝－3.答案 －37.解不等式：|x ＋1|＋|x －1|≤1.解 当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)－(x －1)≤1，无解.当－1＜x ＜1时，原不等式可化为x ＋1－(x －1)≤1，得2≤1，无解.当x ≥1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤1，无解.综上，可知原不等式的解集为空集.二、能力提升8.不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ≤3C.{}x |x ≥3D.{x |－3＜x ≤0}解析 当x ≤－3时，有－(x ＋3)＋(x －3)＞3，即－6＞3，无解.当－3＜x ＜3时，有x ＋3＋x －3＞3，则x ＞32，∴32＜x ＜3.当x ≥3时，有x ＋3－(x －3)＞3，即6＞3，∴x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32. 答案 A9.“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A.必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立. 答案 B10.不等式4＜|3x －2|＜8的解集为________.解析 本题是由两个绝对值不等式构成的不等式组，可分别解出其解集，然后取交集即可.由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎨⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒ ⎩⎨⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜103或－2＜x ＜－23. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜103或－2＜x ＜－23 11.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值.解 (1)由f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12＜x ＜4，x ＋5，x ≥4.作出函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图象略)，它与直线y ＝2的交点为(－7，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. (2)由y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象(图略)可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92.12.已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|＜log 2a (其中a ＞0).(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围.解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2.当x ＜－12时，－x －2≤2，得－4≤x ＜－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，得－12≤x ≤23；当x ＞1时，x ≤0，此时x 不存在.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－4≤x ≤23. (2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞， 即f (x )的最小值为－32，所有f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 三、探究与创新13.已知实数a ，b 满足：关于x 的不等式|x 2＋ax ＋b |≤|2x 2－4x －16|对一切x ∈R 均成立.(1)请验证a ＝－2，b ＝－8满足题意；(2)求出所有满足题意的实数a ，b ，并说明理由；(3)若对一切x ＞2，均有关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当a ＝－2，b ＝－8时，有|x 2＋ax ＋b |＝|x 2－2x －8|≤2|x 2－2x －8|＝|2x 2－4x －16|.(2)在|x 2＋ax ＋b |≤|2x 2－4x －16|中，分别取x ＝4，x ＝－2，得⎩⎨⎧|16＋4a ＋b |≤0，|4－2a ＋b |≤0，∴⎩⎨⎧16＋4a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0，∴a ＝－2，b ＝－8，因此满足题意的实数a ，b 只能是a ＝－2，b ＝－8.(3)由x 2＋ax ＋b ≥(m ＋2)x －m －15(x ＞2)，∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1).∴对一切x ＞2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2（x －1）×4x －1－2＝2(当x ＝3时等号成立)， ∴实数m 的取值范围是(－∞，2].。
数学人教A版选修4-5优化练习第一讲 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．设＞，下面四个不等式：①＋＞；②＋＜；③＋＜－；④＋＞－中，正确的是( )．①和②．①和③．②和④．①和④解析：∵＞，①＋＝＋＞，正确；②＋＝＋＞，所以②错；③＋＝＋＞－，所以③错；④＋＝＋＞－≥－，正确．所以①④正确，应选.答案：．已知为实数，且－＋－<有解，则的取值范围是( )．≥．>．≥．>解析：∵－＋－≥－＋－＝，∴－＋－的最小值为.∴要使－＋－<有解，则>.答案：．已知≠，＝，＝，则，之间的大小关系是( )．<．>．≤．＝解析：令＝，＝，则＝，＝；令＝－，＝，则＝，＝，∴≥，选.答案：．函数＝＋＋－的最小值及取得最小值时的值分别是( )．．，∈[－]．，∈[－]．，∈[]解析：运用含绝对值不等式的基本性质有＋＋－＝＋＋－≥＋＋－＝.当且仅当(＋)(－)≥时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－≤≤.答案：．下列不等式中恒成立的个数是( )①＋≥(≠)；②<(>>>)；③>(，，>，<)；④＋＋－≥.．．．．解析：①不成立，当<时不等式不成立；②成立，>>⇒>即>，又由于>，故有>；③成立，因为－＝>(，，>，<)，故>；④成立，由绝对值不等式的性质可知：＋＋－≥(＋)－(－)＝≥，故选.答案：．已知＋<－(，，∈)，给出下列不等式：①<－－；②>－＋；③<－；④<－；⑤<－－.其中一定成立的不等式是(把成立的不等式的序号都填上)．解析：∵＋<－，∴<＋<－，∴<－－，>－＋，①②成立，－<＋<－，∴<－，④成立．答案：①②④．函数＝－＋－的最小值为．解析：＝－＋－≥－＋－＝，当且仅当≤≤时，等号成立．答案：。
2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 二 绝对值不等式 2 绝对值不等式的解法
[课时作业][A 组 基础巩固]1．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A.Error!B ．Error!C ．{x |x ≥3}D ．{x |－3<x ≤0}解析：原不等式⇔Error!或Error!或Error!⇔Error!或Error!或Error!⇔<x <3或x ≥3⇔x >.3232答案：A2．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( )A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1)D ．(－，)3272解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．答案：C3．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.∪(－12，0)[1，32]B.∪(－12，0][1，32]C.Error!D.Error!解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－<x ≤0或1≤x <12.32答案：D4．不等式>a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( )|ax －1x |A. B ．(14，＋∞)[14，＋∞)C. D ．[0，12)(0，12)解析：∵2∉M ，∴≤a ，|2a －12|即|2a －1|≤2a ，∴a ≥，故选B.14答案：B 5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，则不等式log a |x ＋1|>log a |x －3|的解集为( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <1且x ≠－1}D ．{x |x >1}解析：因为a >0，且a ≠1，所以2－ax 为减函数．又因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，所以0<a <1，则y ＝log a x 为减函数．所以|x ＋1|<|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0.由|x ＋1|<|x －3|，得(x ＋1)2<(x －3)2，即x 2＋2x ＋1<x 2－6x ＋9，解得x <1.又x ≠－1且x ≠3，所以解集为{x |x <1且x ≠－1}．答案：C6．不等式≥1的解集为________．|1－x1＋x |解析：不等式等价于≥1或≤－1，1－x 1＋x 1－x1＋x 解之得－1<x ≤0或x <－1.答案：(－∞，－1)∪(－1,0]7．不等式|2x －1|＋x >1的解集是________．解析：法一：把|2x －1|＋x >1移项，得|2x －1|>1－x ，把此不等式看作|f (x )|>a 的形式得2x －1>1－x 或2x －1<－(1－x )．∴x >或x <0，23故解集为Error!.法二：用分类讨论的方法去掉绝对值符号．当x >时，2x －1＋x >1，∴x >；1223当x ≤时，1－2x ＋x >1，∴x <0.12综上得原不等式的解集为Error!.答案：Error!8．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3.∴|AB |＋|AC |≥3.∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3.法二：设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3.∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3.法三：∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴|a |≥3.∴a ≤－3或a ≥3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)9．解下列不等式：(1)|x ＋5|－|x －3|>10；(2)|x |＋|x －3|≤5；(3)x ＋|2x －1|<3.解析：(1)①当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－8>10，所以Error!的解集为∅.②当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4，所以Error!的解集为∅.③当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10，所以Error!的解集为∅.综上所述，原不等式的解集为∅∪∅∪∅＝∅.(2)法一：原不等式|x |＋|x －3|≤5⇔Error!或Error!或Error!⇔－1≤x <0或0≤x <3或3≤x ≤4⇔－1≤x ≤4.所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．法二：|x |与|x －3|可以看作是在数轴上坐标为x 的点到0和3的距离．因此，不等式的几何意义是数轴上到0和3的距离之和不超过5的x 的范围，结合数轴很容易得出－1≤x ≤4，所以原不等式的解集为[－1,4]．(3)原不等式可化为Error!或Error!解得≤x <或－2<x <.124312所以原不等式的解集是Error!.10．已知函数f (x )＝|x －1|＋|2x ＋2|.(1)解不等式f (x )>5；(2)若不等式f (x )<a (a ∈R)的解集为空集，求a 的取值范围．解析：(1)根据条件f (x )＝Error!当x >1时，f (x )>5⇔3x ＋1>5⇔x >，43又x >1，所以x >；43当－1≤x ≤1时，f (x )>5⇔x ＋3>5⇔x >2，又－1≤x≤1，此时无解；当x<－1时，f(x)>5⇔－3x－1>5⇔x<－2，又x<－1，所以x<－2.综上，f(x)>5的解集为Error!.(2)由于f(x)＝Error!可得f(x)的值域为[2，＋∞)．又不等式f(x)<a(a∈R)的解集为空集，所以a的取值范围是(－∞，2]．[B组 能力提升]1．不等式组Error!的解集为( )33A．(0，) B．(，2)3C．(，4) D．(2,4)3解析：由Error!⇔Error!⇔Error!⇔Error!⇔<x<4.答案：C2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．[－1,0]C．[0,1]D．[0，＋∞)：y＝kx的图象如图，当k<0时，解析：作出y＝|x＋1|与l直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知k∈[0,1]．答案：C3．不等式|x2＋2x－1|≥2的解集是________．解析：原不等式等价于：x 2＋2x －1≥2①或x 2＋2x －1≤－2，②解①得：x ≤－3或x ≥1，解②得：x ＝－1.∴原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ＝－1或x ≥1}．答案：{x |x ≤－3或x ＝－1或x ≥1}4．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．解析：|3x －b |<4⇔<x <.b －43b ＋43∵解集中有且仅有1,2,3，∴Error! 解得5<b <7.答案：(5,7)5．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若≤k 恒成立，求k 的取值范围．|f (x )－2f (x 2)|解析：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－≤x ≤，得a ＝2.4a 2a (2)记h (x )＝f (x )－2f ，(x 2)则h (x )＝Error!所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.6．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝＋，M 为不等式f (x )< 2|x －12||x ＋12|的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝Error!当x ≤－时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；12当－<x <时，f (x )<2；1212当x ≥时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.12所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.。
数学·选修4-5(人教A版)练习第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法 Word版含解析
第一讲不等式和绝对值不等式绝对值不等式绝对不等式的解法级基础巩固一、选择题．不等式－＞的解集是( )解析：由－＞得－＞或－＜－所以＞或＜－.答案：．(·山东卷)不等式－－－＜的解集是( )．(－∞，)．(－∞，)．(，)．(，)解析：法一：当＜时，原不等式化为－－(－)＜即－＜，不等式恒成立；当≤＜时，原不等式即－－(－)＜，解得＜；当≥时，原不等式化为－－(－)＜即＜，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，)．法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点到，两点(距离为)的距离之差小于的点满足＜，所求不等式的解集为(－∞，)．答案：．(·天津卷)设∈，则“－＜”是“＋－＞”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：因为－＜等价于＜＜，＋－＞等价于＜－或＞，所以“－＜”是“＋－＞”的充分不必要条件．答案：．若不等式－＜成立的充分条件是＜＜，则实数的取值范围是()．≥．≥．≤．≤解析：由题意，可知(，)是(－＋，＋)的子集，由此可推得选；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．答案：．如果关于的不等式－＋＋≥的解集是全体实数，则实数的取值范围是( )．[－，－]．(－∞，]∪[，＋∞)．(－∞，－]∪[－，＋∞)．[，] 解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知≤－或≥－.答案：二、填空题．若不等式－≤的解集为{≤≤}，则实数＝．解析：法一：由－≤可得－≤－≤，即≤≤，又≤≤，所以＝.法二：由题意可知＝，＝是－＝的两根，则解得＝.答案：．若不等式＋＋－≥＋对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是．解析：当＜时，显然成立；。
2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：综合检测 Word版含解析
综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab >0，－c a <－db ，则下列各式恒成立的是( )A ．bc <adB ．bc >ad C.a c >bdD ．a c <b d解析：－c a <－db ，ab >0两边同乘以ab ，－bc <－ad ，∴bc >ad ，选B. 答案：B2．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－23C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－23或x>2D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－23<x<2解析：由|3x －2|>4，得3x －2>4或3x －2<－4. 即x >2或x <－23.答案：C3．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D ．4楼解析：设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n≥29＝2×3＝6，当且仅当n ＝9n ，即n ＝3时取等号．答案：C4．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1，S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，那么( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1<S 2 C ．S 1≥S 2D ．S 1≤S 2解析：由排序不等式，得顺序和≥反序和，即S 1≤S 2，选D. 答案：D5．若x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝30，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，10] C ．[3，＋∞)D ．[10，＋∞)解析：∵x ＋y ＋z ≥33xyz ， 即xyz ≤103， ∴lg(xyz )≤lg 103＝3，即lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤3，当且仅当x ＝y ＝z ＝10时取等号．故选A. 答案：A6．不等式|x ＋1|＋|2x －4|>6的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：原不等式可化为以下几种： ①⎩⎨⎧x<－1－x －1－2x ＋4>6⇒x <－1；②⎩⎨⎧ －1≤x≤2x ＋1－2x ＋4>6⇒∅；③⎩⎨⎧x>2x ＋1＋2x －4>6⇒x >3.故选B. 答案：B7．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D ．k ≤－3解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x<－1，2x －1，－1≤x＜2，3，x≥2，则f (x )min ＝－3，∴k <－3. 答案：B8．函数y ＝2x －3＋8－4x 的最大值为( ) A.3 B ．53C.5D ．2解析：由已知得函数定义域为[32，2]，y ＝2x －3＋2×4－2x ≤错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即x ＝错误!时取等号． ∴y max ＝3. 答案：A 9．设A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t7＋t，则A 与B 的关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：B＝s7＋s＋t7＋t>s7＋s＋t＋t7＋t＋s＝s＋t7＋s＋t＝A.答案：B10．若0<α<β<γ<π2，则F＝sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α－12(sin 2α＋sin2β＋sin 2γ)的符号为( )A．F>0 B．F<0 C．F≥0 D．F≤0解析：∵0<α<β<γ<π2，且y＝sin x在(0，π2)上为增函数，y＝cos x在(0，π2)上为减函数．∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.根据排序不等式：乱序和≥反序和，则sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．答案：A11．已知a2＋b2＋c2＝9，x2＋y2＋z2＝16，则错误!的最大值为( )A．52B．7 C．9 D．53解析：错误!＝错误!＝错误!，∵ax＋by＋cz＝错误!≤错误!＝错误!＝12，∴原式≤25＋2×12＝49＝7，故最大值为7，选B. 答案：B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤1，|x 2|≤1时，| f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，由g (x )与M 的关系是( ) A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉MD ．不能确定解析：g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)·(x 1＋x 2＋2)，|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤4|x 1－x 2|，所以g (x )∈M . 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x 2y 2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时等号成立．答案：914．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1且|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集为空集，∴a 2＋a ＋1<1，∴a 2＋a <0. ∴－1<a <0. 答案：(－1,0)15．有一长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z ，满足1x2＋1y2＋1z2＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．解析：∵(x 2＋y 2＋z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1y2＋1z2≥(1＋1＋1)2＝9，即x 2＋y 2＋z 2≥1.当且仅当x ＝y ＝z ＝33时取等号，∴长方体的对角线长l ＝x2＋y2＋z2的最小值为1. 答案：116．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案：12 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12分)解不等式|2x －1|＋|2－x |<x ＋3. 解析：(1)当x <－3时，显然无解，(2)当－3≤x ≤12时，原不等式为1－2x ＋2－x <x ＋3.即0<x ≤12.(3)当12<x ≤2时，原不等式为2x －1＋2－x <x ＋3，即1<3，显然成立，∴12＜x ≤2.(4)当x >2时，原不等式为2x －1＋x －2<x ＋3， 即2<x <3.综合(1)，(2)，(3)，(4)可得原不等式的解集为{x |0<x <3}． 18．(12分)若a >2，b >3，求a ＋b ＋错误!的最小值．解析：因为a >2，b >3，所以a －2>0，b －3>0，所以a ＋b ＋错误!＝(a －2)＋(b －3)＋错误!＋5≥3错误!＋5＝3＋5＝8(当且仅当a ＝3，b ＝4时，等号成立)．所以所求最小值为8.19．(12分)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝2，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解析：由柯西不等式，(x ＋y ＋z )2≤[(2x )2＋(3y )2＋z 2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12，因为x ＋y ＋z ＝2，所以2x 2＋3y 2＋z 2≥2411，当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1，即x ＝611，y ＝411，z ＝1211时，等号成立，所以2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为2411.20．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：2(a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b )≥b2＋c2b ＋c ＋c2＋a2c ＋a ＋a2＋b2a ＋b . 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b . 由排序原理知：a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b ≥c2b ＋c ＋a2c ＋a ＋b2a ＋b ， a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b ≥b2b ＋c ＋c2c ＋a ＋a2a ＋b ， 将上面两个同向不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b ≥b2＋c2b ＋c ＋c2＋a2c ＋a ＋a2＋b2a ＋b .21．(13分)已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝100. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋1bn，记T n 是数列{a n }的前n 项之积， 即T n ＝a 1a 2a 3…a n ，试证明：T n >bn ＋1. 解析：(1)设等差数列{b n }的公差为d ，则⎩⎨⎧b1＝110b1＋10×92d ＝100，得d ＝2，b n ＝2n －1. (2)a n ＝1＋1bn ＝1＋12n －1， T n ＝a 1a 2a 3…a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1， 当n ＝1时，T 1＝1＋11＝2>3，命题得证．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时命题成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1 >2k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1. ∵2k ＋1×2k ＋3<错误!＝2k ＋2， ∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3， ∴T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1 >2k ＋3.即n＝k＋1时命题成立．综上知，当n∈N＋时，T n>bn＋1.22．(13分)某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα＝12，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高)?解析：如图建立平面直角坐标系，则A(200,0)，B(0,220)，C(0,300)．直线l的方程为y＝(x－200)tan α，即y＝x－2002.设点P 的坐标为(x ，y )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x －2002(x >200)，由经过两点的直线的斜率公式，得k PC ＝x －2002－300x ＝x －8002x .k PB ＝x －2002－220x ＝x －6402x.由直线PC 到直线PB 的夹角的公式得(由图可知k PC ，k PB 均小于0，即x <640) tan ∠BPC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪kPB －kPC 1＋kPB·kPC ＝1602x 1＋x －8002x ·x －6402x＝64xx2－288x ＋160×640＝64x ＋160×640x－288(x >200)．要使tan ∠BPC 达到最大，只需x ＋160×640x－288达到最小，由基本不等式x ＋160×640x－288≥2160×640－288. 当且仅当x ＝160×640x 时上式取得等号，故当x ＝320时，tan ∠BPC 最大，这时点P 的纵坐标y 为320－2002＝60.由实际问题知，0<∠BPC <π2，所以tan ∠BPC 最大时∠BPC 最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大．。
2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第二讲一比较法Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．下列四个数中最大的是()A．lg 2B．lg 2C．(lg 2)2D．lg(lg 2)解析：∵1<2<2<10，∴0<lg 2<lg 2<1，∴(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0.∴选A.答案：A2．若a，b为不相等的正数，则(ab k＋a k b)－(a k＋1＋b k＋1)(k∈N*)的符号() A．恒正B．恒负C．与k的奇偶性有关D．与a，b大小无关解析：(ab k＋a k b)－a k＋1－b k＋1＝b k(a－b)＋a k(b－a)＝(a－b)(b k－a k)∵a>0，b>0，若a>b，则a k>b k，∴(a－b)(b k－a k)<0；若a<b，则a k<b k，∴(a－b)(b k－a k)<0.答案：B3．a、b都是正数，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是()A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q解析：P2Q2＝a＋b＋2ab2(a＋b)≤a＋b＋a＋b2(a＋b)＝1，∴P≤Q，应选D.答案：D4．如果log a3>log b3且a＋b＝1，那么()A．0<a<b<1 B．0<b<a<1C ．1<a <bD ．1<b <a解析：∵a >0，b >0，又∵a ＋b ＝1，∴0<a <1,0<b <1，∴lg a <0，lg b <0，由log a 3>log b 3⇒lg 3lg a －lg 3lg b >0⇒1lg a －1lg b >0⇒lg b －lg a lg a lg b >0⇒lg b >lg a ⇒b >a .∴0<a <b <1.答案：A 5．已知a >b >0，c >d >0，m ＝ac －bd ，n ＝(a －b )(c －d )，则m 与n 的大小关系是( )A ．m <nB ．m >nC ．m ≥nD ．m ≤n解析：∵a >b >0，c >d >0，∴ac >bd >0，ac >bd ，∴m >0，n >0.又∵m 2＝ac ＋bd －2abcd ，n 2＝ac ＋bd －(ad ＋bc )，又由ad ＋bc >2abcd ，∴－2abcd >－ad －bc ，∴m 2>n 2.∴m >n .答案：B6．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P >Q ，则实数a ，b 满足的条件为________． 解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a )＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2b 2－2ab ＋1＋4＋a 2＋4a＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P >Q ，∴P －Q >0，即(ab －1)2＋(a ＋2)2>0∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－27．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时等号成立)．答案：28．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y .解析：∵x y ＝a ＋b －a a －a －b ＝a ＋a －b a ＋a ＋b <a ＋a ＋b a ＋a ＋b ＝1，且x >0，y >0， ∴x <y答案：<9．已知a >0，b >0，求证：a b ＋b a ≥a ＋b . 证明：法一：∵a b ＋b a a ＋b＝a b a ＋b ＋b a a ＋b ＝aab ＋b ＋bab ＋a ＝a ab ＋a 2＋b ab ＋b 22ab ＋(a ＋b )ab ＝a 2＋b 2＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab， 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴a 2＋b 2＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab ≥2ab ＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab＝1， 当且仅当a ＝b >0时取等号． ∴a b ＋b a ≥a ＋b . 法二：∵a b ＋b a －(a ＋b ) ＝(a b －b )＋(b a－a )． ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0 当且仅当a ＝b >0时取“＝”∴a b ＋b a≥a ＋b . 10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p ，q 满足p ＋q ＝1时，证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x ，y 都成立的充要条件是0≤p ≤1. 证明：pf (x )＋qf (y )－f (px ＋qy )＝p (x 2＋ax ＋b )＋q (y 2＋ay ＋b )－(px ＋qy )2－a (px ＋qy )－b＝p (1－p )x 2＋q (1－q )y 2－2pqxy＝pq (x －y )2.充分性：若0≤p ≤1，q ＝1－p ∈[0,1]．∴pq ≥0，∴pq (x －y )2≥0，∴pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )．必要性：若pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )．则pq (x －y )2≥0，∵(x －y )2≥0，∴pq ≥0.即p (1－p )≥0，∴0≤p ≤1.综上所述，原命题成立．[B 组 能力提升]1．已知a >0，且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．大小不确定解析：P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1. 当0<a <1时，0<a 3＋1<a 2＋1，则0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，即P －Q >0. ∴P >Q .当a >1时，a 3＋1>a 2＋1>0，a 3＋1a 2＋1>1， ∴log a a 3＋1a 2＋1>0，即P －Q >0.∴P >Q . 答案：A2．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝ (lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n ，x >1，则a 与b的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：a －b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －n x＝(lg m x －lg n x )－(1lg n x －1lg m x )＝(lg m x －lg n x )－lg m x －lg nxlg m x lg n x＝(lg m x －lg n x )(1－1lg m x lg n x )＝(lg m x －lg n x )(1－1lg m ＋n x )．∵x >1，∴lg x >0.当0<lg x <1时， a >b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；当lg x >1时，a >b .∴应选A.答案：A3．设m ＝|a |＋|b ||a ＋b |，n ＝|a －b |||a |－|b ||，那么它们的大小关系是m ________n .解析：m n ＝|a |＋|b ||a ＋b ||a －b |||a |－|b ||＝(|a |＋|b |)||a |－|b |||a ＋b |·|a －b |＝|a 2－b 2||a 2－b 2|＝1，∴m ＝n .答案：＝4．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)． 解析：设这种商品的成本费为a 元．月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a ，则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045(a －3 5009)，∵a <3 5009，∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末5．设直角三角形的斜边长为c ，两直角边长分别为a ，b ，试比较c 3与a 3＋b 3的大小．解析：∵c 是直角三角形的斜边长，a ，b 是直角边长，∴a ＋b >c,0<a c <1,0<b c <1，且a 2＋b 2＝c 2，∴a 3＋b 3c 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝1， 即a 3＋b 3c 2<1，故a 3＋b 3<c 3.6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋m )，且f (0)、f (2)、f (6)成等差数列．(1)求f (30)的值；(2)若a 、b 、c 是两两不相等的正数，且a 、b 、c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解析：(1)由f (0)、f (2)、f (6)成等差数列，得2log 2(2＋m )＝log 2m ＋log 2(6＋m )，即(m ＋2)2＝m (m ＋6)(m >0)．∴m＝2.∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.(2)f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，又b2＝ac，∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b. ∵a＋c>2ac＝2b(a≠c)，∴2(a＋c)－4b>0，∴log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，即f(a)＋f(c)>2f(b)．。
2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲一不等式1不等式的基本性质Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．“x<－1”是“x2－1>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．答案：A2．下列命题中不正确的是()A．若3a>3b，则a>bB．若a>b，c>d，则a－d>b－cC．若a>b>0，c>d>0，则a d> bcD．若a>b>0，ac>bd，则c>d答案：D3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为() A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M<N.故选A.答案：A4．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()A．m>0>n B．n>m>0 C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：∵1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)<0.答案：D5．已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能解析：x 1＋x 2<0⇒x 1<－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增，∴f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.同理：f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 3)<0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]<0.即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.答案：B6．有以下四个条件：①b >0＞a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.其中能使1a ＜1b 成立的有________．解析：①∵b >0>a ，∴1b >0>1a ；②∵0>a >b ，∴1a <1b <0；③∵a >0>b ，∴1a >0>1b ；④∵a >b >0，∴1b >1a >0.答案：①②④7．若－1<a <2，－2<b <1，则a －|b |的取值范围是________．解析：∵－2<b <1，∴0≤|b |<2.∴－2<－|b |≤0.而－1<a <2，∴－3<a －|b |<2.答案：(－3,2)8．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M 、N 的大小关系是________．解析：法一：M －N ＝11＋a ＋11＋b －a1＋a －b1＋b＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab)(1＋a )(1＋b )，由已知可得，a >0，b >0且0<ab <1，∴1－ab >0，∴M －N >0，即M >N .法二：M N ＝2＋a ＋ba ＋b ＋2ab ，∵0<a <1b ，∴0<ab <1，∴2ab <2，∴a ＋b ＋2ab <a ＋b ＋2，∴2＋a ＋ba ＋b ＋2ab >1.又M >0，N >0，∴M >N .答案：M >N9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .10．已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．解析：∵a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c 22a .又∵a 2＋c 2>0，a >0，∴b >0.又∵bc >a 2>0，∴bc 同号．∴c >0.∵(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0，又∵a >0，∴b －c ≥0.当b －c >0时，b >c .又bc >a 2，b ＝a 2＋c 22a ，∴a 2＋c 22a ·c >a 2，即(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0，a －c <0，即a <c .∴a <c <b .当b －c ＝0时，b ＝c .∵bc >a 2，∴b 2>a 2，b ≠a .∵a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2＝0，∴a ＝b .∴矛盾，也就是b －c ≠0.综上可知，a <c <b .[B 组 能力提升]1．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．答案：A2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2解析：∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0可得，－1<a <0，∴－a >a 2>0，∴0>－a 2>a .综上有－a >a 2>－a 2>a .答案：B3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式：①b a >b －1a －1；②(a ＋b )2>(b ＋1)2； ③(a －1)2>(b －1)2.其中不恒成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a (a －1)＝a －b a (a －1). 因为a －b >0，a (a －1)符号不确定，①不恒成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2>0，②不恒成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不恒成立．答案：①②③4．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14，∴181≤y 2x 4≤116.又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y2x 4， 且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x 3y 4≤27.答案：275．已知a ，b ，c 均为正数，且b <c ，比较ab 与ac ＋bc 的大小．解析：法一：∵a >0，且b <c ，∴ab <ac ，∵c >0，b >0，∴bc >0，∴ac ＋bc >ac >ab ，即ab <ac ＋bc .法二：∵a >0，b >0，c >0，∴0<a <a ＋b ，∵0<b <c ，∴ab <c (a ＋b )，即ab <ac ＋bc .法三：ab －(ac ＋bc )＝a (b －c )－bc .∵b <c ，∴b －c <0，而a >0，∴a (b －c )<0.又∵b >0，c >0，∴bc >0，－bc <0，∴a (b －c )－bc <0，即ab －(ac ＋bc )<0.∴ab <ac ＋bc .6．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解析：由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3，∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤u ≤－1－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403.∴－1≤－53u ＋83v ≤20，即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20]。
2017-2018学年高中数学选修4-5评估验收卷：第一讲不等式和绝对值不等式含答案
评估验收卷（一）（时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是( )A．a－c＞b－d B.错误!＞错误!C．ac＞bd D．c－b＞d－a解析:a＞b⇒－b＞－a，①c＞d，②①＋②可得c－b＞d－a.答案：D2．若不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是13＜x＜错误!，则实数m的取值范围是( ）A。
错误! B.错误!C.错误!D．(－1，3）解析：根据题意，得不等式m－1＜x＜m＋1,设此命题为p,命题错误!＜x＜错误!为q.则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示的集合的真子集，则有错误!(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤错误!. 答案:B3．设x ∈R，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1"的( ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由｜x －2|＜1解得1＜x ＜3。
因为“1＜x ＜2”能推出“1＜x ＜3”，“1＜x ＜3”推不出“1＜x ＜2”，所以“1＜x ＜2"是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件．答案：A4．若a ＞b ，x ＞y ，下列不等式不正确的是（ ）A ．a ＋x ＞b ＋yB ．y －a ＜x －bC ．|a |x ＞｜a |yD ．(a －b ）x ＞(a －b )y解析：对于A ，两式相加可得a ＋x ＞b ＋y ，A 正确；对于B ，a ＞b ⇒－a ＜－b ，与y ＜x 相加得y －a ＜x －b ,B 正确；对于D ，因为a －b ＞0，所以（a －b ）x ＞(a －b ）y ，D 正确；对于C ，当a ＝0时，不等式不正确．答案:C5．不等式|2x－log2x｜＜|2x｜＋｜log2x|的解为( )A．1＜x＜2 B．0＜x＜1C．x＞1 D．x＞2解析：由题意知错误!所以log2x＞0，解得x＞1.答案：C6．不等式｜x|＞错误!的解集为( ）A．｛x|x＞2或x＜－1} B．｛x｜－1＜x＜2｝C．｛x｜x＜1或x＞2｝D．{x｜1＜x＜2｝解析：｜x|＞错误!⇒错误!或错误!解得x＜1或x＞2。
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[课时作业][A 组 基础巩固]1．设ab ＞0，下面四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④解析：∵ab ＞0，①|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a |，正确；②|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|b |，所以②错；③|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |，所以③错；④|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |≥|a |－|b |，正确．所以①④正确，应选C.答案：C2．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1C ．m >2D ．m ≥2解析：∵|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x |＝2，∴|x －5|＋|x －3|的最小值为2.∴要使|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m >2.答案：C3．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：令a ＝3，b ＝2，则m ＝1，n ＝1；令a ＝－3，b ＝2，则m ＝15，n ＝5，∴n ≥m ，选D.答案：D4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值及取得最小值时x 的值分别是( )A ．1，x ∈[－1,2]B ．3,0C ．3，x ∈[－1,2]D ．2，x ∈[1,2]解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3.当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤x ≤2.答案：C5．下列不等式中恒成立的个数是( )①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )； ④|a ＋b |＋|b －a |≥2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①不成立，当x <0时不等式不成立；②成立，a >b >0⇒a ab >b ab 即1b >1a ，又由于c >0，故有c b >c a ；③成立，因为a ＋m b ＋m －a b ＝(b －a )m b (b ＋m )>0(a ，b ，m >0，a <b )，故a ＋m b ＋m>a b ； ④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a ＋b |＋|b －a |≥|(a ＋b )－(b －a )|＝|2a |≥2a ，故选B.答案：B6．已知|a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：①a<－b－c；②a>－b＋c；③a<b－c；④|a|<|b|－c；⑤|a|<－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上)．解析：∵|a＋b|<－c，∴c<a＋b<－c，∴a<－b－c，a>－b＋c，①②成立，|a|－|b|<|a＋b|<－c，∴|a|<|b|－c，④成立．答案：①②④7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立．答案：28．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案：(－∞，9)9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min时，f(x)的定义域为R.∴a<4，即a的取值范围是(－∞，4)．[B组能力提升]1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2. 当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.答案：B2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为() A．1 B．2C．3 D．4解析：∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.答案：C3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：54．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：①f(x)＝0；②f(x)＝x2；③f(x)＝2(sin x＋cos x)；④f(x)＝xx2＋x＋1；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥|f(x)||x|，对于①，有|f(x)||x|＝0，x≠0，故取m>0即可；对于②，由|x2|＝|x|2，∴|f(x)||x|＝|x|，无最大值；对于③，由f(x)＝2sin(x＋π4)，而|f(x)||x|＝|2sin(x＋π4)||x|无最大值；对于④，由|f(x)||x|＝1x2＋x＋1≤43，x≠0，只要取m＝43即可；对于⑤，令x2＝0，x1＝x，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|.答案：①④⑤5．对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M 的最大值是m，求m的值．解析：不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤|a＋b|＋|a－b||a|对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，即左边恒小于或等于右边的最小值．因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，等号成立，也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2. 所以m ＝2.6．已知|x 1－2|<1，|x 2－2|<1.(1)求证：2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|<2.(2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2，求证：|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|. 证明：(1)∵|x 1－2|<1，|x 2－2|<1， ∴2－1<x 1<2＋1,2－1<x 2<2＋1，即1<x 1<3,1<x 2<3，∴2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)|≤|x 1－2|＋|x 2－2|<1＋1＝2，即|x 1－x 2|<2.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 22＋x 2|＝|(x 1－x 2)·(x 1＋x 2－1)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|，由(1)知2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|>0，∴|x1－x2|<|x1－x2|·|x1＋x2－1|<5|x1－x2|，即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.。