1.1一元二次方程

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1.1一元二次方程的解法(2)配方法(1)课件苏科版数学九年级上册

.
3、解方程. （1）x2-6x-40=0
（2）x2-10x+25=0
（3）x2-x-1=0
（4）(x-3)2=2x+6
例题讲解
例2：求代数式 x2-4x-8的最值.
过程展示：解：原式=x2-4x+22-22-8
=(x-2)2-12 ∵(x-2)2≥0 ∴(x-2)2-12≥-12 ∴（x2-4x-8）min= -12
.
4、17.已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0．
(1)求a，b，c的值； (2)判断三角形的形状．
课堂练习
谢谢
1.1 一元二次方程的解法（2）
——配方法（1）
九年级数学备课组
知识回顾
用直接开平方法解方程：（1）2x2 - 3 = 5 （2）(x-1)2 - 9=0 （3）(x-4)2 =(2x+5)2
讲授新知
你会不会解这个方程 x2 - 4x + 4 = 9
方程变成这样呢？
x2 - 4x = 5
这样呢？
牛刀小试
1、求代数式 x2+10x-13的最值.
2、求代数式 -x2+10x-13的最值.
课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？
1、用配方法解一元二次方程 2、用配方法求代数式最值
课堂练习
1、若关于x 的一元二次方程x2-8x+m=0配方后得到方程(x--n)²=6，则关于x 的一元二次方程x2+8x+m=5配方后得到方程 ( )
x2 - 4x - 5 = 0
讲授新知
x2 - 4x - 5 = 0的步骤

1.1一元二次方程(1)

1．1 一元二次方程教学目标1.了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．2.根据实际问题，建立数学模型，类比一元一次方程概念给一元二次方程下定义．3.一元二次方程的一般形式及其有关概念．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【学习过程】一、问题情境学生活动：列方程．问题(1) ：两个连续整数的积为30，求这两个整数？分析：若设较小的整数为x，那么较大的整数是______，根据题意建立方程：____________，整理得：____________。

问题(2)：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？分析：若假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．问题（3）：《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？分析：假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．思考：如何建立一元二次方程的数学模型？二、探索新知探究活动：请思考并回答下面问题．(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？(2)各个未知数项中，未知数的最高次数是几次？(3)方程中等号两边有分式或无理式吗？点拨：(1)都只含一个未知数x；(2)它们的最高次数都是2次的；(3)都是整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．因此，方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．即时训练：将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．例2．要使(k+1)x|k|+1+(k–1)x+2=0是一元二次方程，则k=_______.分析：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的三个要素：①只含一个未知数；②未知数的最高指数为2；③二次项系数a≠0；④方程为整式方程。

《1.1一元二次方程》作业设计方案-初中数学苏科版12九年级上册

《一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元二次方程的基础知识学习，使学生能够：1. 理解一元二次方程的概念及标准形式。

2. 掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法和公式法。

3. 学会运用一元二次方程解决简单的实际问题。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础知识巩固：- 复习一元二次方程的定义及其一般形式，如ax^2+bx+c=0。

- 掌握一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的应用。

2. 方程解法实践：- 通过因式分解法求解几个一元二次方程的实例。

- 利用求根公式求解一元二次方程，并能够验证解的正确性。

3. 实际问题应用：- 设计几个与一元二次方程相关的实际问题，如抛物线问题、面积问题等，要求学生通过建立一元二次方程并求解来解决问题。

三、作业要求为确保学生能够有效地完成作业，特提出以下要求：1. 基础知识部分：- 必须熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式，能够准确判断一个方程是否为一元二次方程。

- 判别式的计算要准确无误，并能根据判别式的值判断方程的根的情况。

2. 方程解法部分：- 因式分解法求解时，应分解正确，步骤清晰。

- 使用求根公式时，计算过程应完整，结果准确。

3. 实际问题应用部分：- 学生需认真审题，准确理解问题的背景和要求。

- 建立的一元二次方程应与实际问题相符合，解的过程和结果需合理。

四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 基础知识的掌握程度。

2. 解法的正确性和计算过程的规范性。

3. 实际问题解决的能力和结果的合理性。

五、作业反馈作业完成后，教师将对学生的作业进行批改，并根据批改情况给出反馈：1. 对学生掌握的基础知识、解法及实际问题解决能力进行总结评价。

2. 对学生在作业中出现的错误进行指正，并给出改进建议。

3. 针对学生的薄弱环节，将在课堂上进行重点讲解和辅导，帮助学生更好地掌握一元二次方程的相关知识。

通过以上作业设计，旨在通过系统的作业内容，使学生能够全面掌握一元二次方程的基础知识和解法，并能够运用所学知识解决实际问题。

苏科版数学九年级上册《1.1 一元二次方程》教学设计

苏科版数学九年级上册《1.1 一元二次方程》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第一章第一节“1.1 一元二次方程”是整个九年级上册数学学习的重要内容，也是整个初中数学学习的关键部分。

本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法及其应用。

通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够应用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对公式、方程等概念有一定的了解。

但一元二次方程相对于其他方程来说，较为复杂，需要学生有较强的逻辑思维能力和转化能力。

同时，由于九年级的学生学习压力较大，对于新知识的接受能力有一定的影响。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。

2.教学难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用自主学习、合作交流的教学方法。

教师引导学生通过观察、思考、讨论等方式，发现一元二次方程的解法，并能够应用到实际问题中。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解一元二次方程的概念和解法。

2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。

通过问题的引入，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解，呈现一元二次方程的概念和解法。

引导学生观察、思考，发现一元二次方程的解法。

3.操练（10分钟）学生分组合作，解决一些简单的一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程认识一元二次方程

知4－练
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正
方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的
长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与
全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短
一段的长x.
感悟新知
知2－练
解：(1)列方程4x2＝25，移项，得4x2－25＝0. (2)列方程x(x－2)＝100，去括号，得x2－2x＝100，移项，得x2－2x－100＝0. (3)列方程x•1＝(1－x)2，去括号，得x＝x2－2x＋1，移项，合并同类项，得x2－3x＋1＝0.
感悟新知
总结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
感悟新知
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，知4－练 2 据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约
感悟新知
下列例方1 程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
1 x
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的
有( )
A．1个 BA. 2个 C．3个 D．4个
知1－练
导引： ①含有两个未知数； ②不是整式方程； ③符合一元二次方程的“三要素” ④未知数的最高次数不是2 ⑤整理后未知数的最高次数不是2
知4－讲
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为

1.1 一元二次方程教学设计

章节名称21.1 一元二次方程编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1）理解一元二次方程的概念，能够判断一元二次方程；2）理解一元二次方程的一般形式，正确识别一般式中的二次项及其系数、一次项及其系数及常数项；3）理解一元二次方程的根的概念。

过程与方法:回顾一元一次方程的知识引入一元二次方程的概念，通过对实际生活中遇到的问题列出一元二次方程，归纳一元二次方程特点，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。

情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。

2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。

教学重点一元二次方程的概念及一般形式。

教学难点将一元二次方程化成一般形式及一元二次方程的根的理解。

板书设计21.1一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数，a≠0)。

一元二次方程解的概念：能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。

方程的解也叫做根。

教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【知识点回顾】师：同学们你们还记得之前学的一元一次方程的概念吗？生：一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数最高次数是1，等号两回顾一元一边都是整式，这样的方程叫一元一次方程。

一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a≠0）. 【情景导入】师：现有四个实际生活中遇到的问题，根据题干信息列方程，化简方程，观察所得结果，你发现了什么？[多媒体展示][情景引入]问题一：正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？问题二：有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米（蓝色部分）,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。

苏科版九年级数学上册《1.1 一元二次方程》练习题-附答案

苏科版九年级数学上册《1.1 一元二次方程》练习题-附答案基础巩固提优1.下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是( ).A.ax²+bx+c=0B.x²+1=(x+1)(x−2)C.3x²+1=0D.2x2−2x2.为增强学生体质，丰富学生的课外生活，为同学们搭建一个互相交流的平台，学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环(参赛的每两队间比赛一场)，根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛.设学校应邀请x 个队参赛，根据题意列方程为( ).A. x(x+1)=15B. x(x--1)=15C.12x(x+1)=15D.12x(x−1)=153.若关于 x 的一元二次方程2x²+(k+8)x−(2k—3)=0的各项系数之和为5,则k 的值为 .4. 已知方程ax²+bx−6=0与方程ax²+2bx−15=0有一个公共解是3，求a、b的值.5.如果关于x 的方程 (m −3)x |m−1|−x +3=0是一元二次方程，求m 的值.6.已知关于x 的方程( (m +1)x m 2+1+(m −3)x −1=0.(1)当m 取何值时，此方程是一元二次方程?(2)当m 取何值时，此方程是一元一次方程?思维拓展提优7.已知 2+√3是关于 x 的一元二次方程 x²−4x+m=0的一个实数根，则实数m 的值是( ).A. 0B. 1C. —3D. —18.已知 x²−3x −4=0,则代数式 xx 2−x−4的值是( ).A. 3B. 2 C 13 D 12实验班提优训练9.若实数x 满足x2−2√2x−1=0,则x2+1x2= .10.若9a-3b+c=0且a≠0,则一元二次方程ax²+bx+c=0必有一个根是 .11.已知关于x 的方程(k−1)x²+(k+2)x−3=0.(1)当k 为何值时，此方程为一元一次方程?并求出此方程的解.(2)若此方程为一元二次方程，求k 的取值范围.12.先化简,再求值:a−2a2−1÷(a−1−2a−1a+1),其中a是方程x²−x−1=0的根.13.已知关于x 的一元二次方程(x—1)(x-2)=m+1(m 为常数).(1)若它的一个实数根是关于x 的方程-3(x-m)+6=0的根,求m的值;(2)若它的一个实数根是关于x的方程2(x一n)-4=0的根,求证::m--n≥-1.14.如图，某小区规划在一个长为 40 m、宽为26m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都为144 m²，求甬路的宽度.(根据题意列出方程即可)延伸探究提优15.教材或资料中会出现这样的题目：把方程12x2−x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.(1)下列式子中，哪几个是方程12x2−x=2所化的一元二次方程的一般形式? (答案只写序号)circle112x2−x−2=0;circle2−12x2+x+2=0;circle3x2−2x=4;circle4−x2+2x+4=0;circle5√3x2−2√3x−4√3=0.(2)方程12x2−x=2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?16.请阅读下列材料：问题：已知方程x²+x−1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y，则y=2x，即x=y2.把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0,化简，得y²+2y−4=0,故所求方程为y²+2y−4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1)已知方程x²+3x−2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于 x 的一元二次方程ax²−bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.中考提分新题17.已知m为方程x²+3x−2022=0的根，那么m³+2m²−2025m+2022的值为( ).A. —2022B. 0C. 2 022D. 404418.若关于 x 的一元二次方程mx²+nx−1=0(m≠0)的一个根是x=1，则m+n的值是 .参考答案1. C [解析]A.当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B.该方程化简后为−x−3=0,是一元一次方程，故本选项不符合题意；C.3x²+1=0是一元二次方程，故本是分式，不是方程，故本选项不符合题意.故选 C.选项符合题意；D.2x2−2x2. D [解析]利用安排比赛的场次数=邀请参赛的队伍数×(邀请参赛的队伍数−1)÷2,即可x(x 得出关于x的一元二次方程.由题意，得每队比赛的场次数为x−1,则总场次数为12−1)=15.故选 D.3.8 [解析]方程二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、k+8、−(2k−3),根据二次项系数、一次项系数及常数项的和为5，得2+k+8−(2k−3)=5,解得k=8.4. ∵方程ax²+bx−6=0与ax²+2bx−15=0有一个公共解是3,∴ax²+2bx−15=ax²+bx−6.∴bx−9=0,∴3b−9=0,解得b=3.将x=3代入ax²+bx−6=0,得a×3²+3×3−6=0,解得a=−13,即a的值是−13,b的值是3.5. 由题意,得||m−1|=2且m−3≠0,解得m=−1.6.(1)当m²+1=2且m+1≠0,即m=1时，此方程是一元二次方程.(2)当m²+1=1且m+1+m−3≠0,或m+1=0且m−3≠0时，即m=0或−1时，此方程是一元一次方程.7. B [解析]根据题意，得(2+√3)2−4×(2+√3)+m=0,解得m=1.故选 B.8. D [解析]将x²−3x−4=0两边同时加上2x，得x²−x−4=2x,所以xx2−x−4=x2x=12.故选 D.9.10 [解析]·“x2−2√2x−1=0∴x−2√2−1x =0,⋯x−1x=2√2.C.(x−1x )2=8,即x2−2+1x2=8.∘x2+1x2=10.10.x=−311.(1)当k=1时，此方程为一元一次方程.此时3. x-3-0,解得x=1.(2)若此方程为一元二次方程，则A≠112. 原式=(a−3)(a+1)(a−1)+(4+1)(a−1)−(2a−1)a+1⋯=α−2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−2)=1a(a−1)=1a2−a∵a是方程x²−x−1=0的根a²−a−1=0a²−a=1,原式=11=113.(1)解关于x的方程-−3(x−m)+6=0得r=m+2,把.x=m+2代入方程(x−1)(x−2)=m+1得(m+2−1)(m+2−2)=m+1整理得m²=1,解得m=1或m=−1(2)解关于x的方程：2(x−n)−4=0得x=n+2,把x=n+2代入方程(x—1)(x—2)=m+1得(n+2-1)(n+2-2)=m+1整理得m=n²+n−1,所以m−n=n⁹−1.因为n²≥0,所以m-n的最小值为-114.设甬路的宽度为 xm，根据题意，得(40-2x)(26-x)=144×6化简，得2x²−92x+176=0即x²−46x+88=0.15.(1)①②④⑤(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为--2a，常数项为-4a.因此二次项系数：一次项系数:常数项=1:(-2):(-4).16.(1)设所求方程的根为y,则y=-x,即x=-y,把x=-y代入方程.x²+3x−2=0,得y²−3y−2=0,即所求方程为y²−3y−2=0.(2)设所求方程的根为y，则y=1x ,即x=1y.把x=1y 代入方程ax²−bx+c=0,得α•1y2−b⋅1y+c=0,整理，得cy²−by+a=0,即所求方程为cy²−by+a=0.17. B [解析]∵m为方程.x²+3x−2022=0的根∴m²+3m−2022=0,∴m²+3m=2022,∴原式=m³+3m²−m²−3m−2022m+2022=m(m²+3m)−(m²+3m)−2022m+2022=2022m−2022−2022m+2022=0.故选 B.18.1 [解析]把.x=1代入方程mx²+nx−1=0得m+n−1=0,解得m+n=1.。

1.1 一元二次方程(八大题型)

1.1一元二次方程考点一、一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.考点二、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.考点三、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.题型1：一元二次方程的概念1．下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列叙述正确的是（）A ．形如20ax bx c ++=的方程叫一元二次方程B ．方程2434x x +=不含有常数项C ．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程3．下列方程中，是一元二次方程的有（）个①25x x =；②()22360x --=；③21x =；④27(2)7x x x -=；⑤2120x x +-=．A ．1B ．2C ．3D ．44．下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x+=；④20x a -=（a 为任意实数）1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．方程2x 2﹣5x ＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．2，5，4B ．2，﹣5，4C ．﹣2，﹣5，4D ．2，﹣5，﹣47．把2(2)43x x x x -=-化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．8．把一元二次方程(()2210x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．25440x x +=-B ．25440x x --=C ．25210x x -+=D ．25460x x -+=题型3：根据一元二次方程的概念确定参数9．已知（m －1）21mx +＋3x －5＝0是一元二次方程，则m ＝________．10．当m =___________时，方程(2150m m xmx --+=是一元二次方程．11．关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，则k =________．12．若方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．13．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-14．要使方程()()2310a x b x c -+++=是关于x 的一元二次方程，则（）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠﹣1D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠015．关于x 的方程（m 2﹣4）x 2＋（m ﹣2）x ﹣2＝0，当m 满足______时，方程为一元二次方程，当m 满足______时，方程为一元一次方程．16．关于x 的一元二次方程(1)2||10m x x m -++-=，常数项为0，求m 的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得||10m -=，所以1m =±．小轩：由题意，得||10m -=，且10m -≠，所以1m =-．其中解题过程正确的是（）A ．两人都正确B ．小轩正确，小莉不正确C ．小莉正确，小轩不正确D ．两人都不正确题型4：一元二次方程的解17．若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有一个解为1x =-，则m 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．418．若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1219．已知x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．﹣1题型5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形20．若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462021m m -+的值为_____．21．若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（）A ．2022B ．2020C ．2019D ．202122．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为（）．A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算23．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法24．若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）中，a ，b ，c 满足a +b +c =0和a ﹣b +c =0，则方程的根是（）A ．1，0B ．﹣1，0C ．1，﹣1D ．无法确定25．关于x 的方程()2220k x kx +--=必有一个根为（）A ．x=1B ．x=-1C ．x=2D ．x=-226．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202227．如果a ，b ，k 均为整数，则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k 的取值有()A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个28．两个关于x 的一元二次方程2c 0ax bx ++=和2a 0cx bx ++=，其中a ，b ，c 是常数，且a c 0+=，如果2020x =是方程2c 0ax bx ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程2a 0cx bx ++=的根的是（）A ．±2020B ．12020-C ．-2020D ．12020题型7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题29．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211aa +的值是___．30．若(),ab a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n<<<B ．m n a b<<<C ．a m n b <<<D ．m a b n<<<31．设a 、b 是整数，方程x 2+ax +b =022a b ab+的值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-1题型8：一元二次方程的解的估算32．根据表格估计方程x 2+2x =6其中一个解的近似值．x 1.63 1.64 1.65 1.66…x 2+2x5.91695.96966.02256.0756…根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）A．2019B．2018C．0D．2020答案与解析题型1：一元二次方程的概念1．下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．解：①x 2﹣5x ＝2022，是一元二次方程；②20ax bx c ++=，当a =0时不是一元二次方程；③2316xx +=，是一元二次方程；④()()2261x x x -+=+，整理后不含二次项，不是一元二次方程，所以，一定是关于x 的一元二次方程的是①③，共2个，故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0（a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．下列叙述正确的是（）A ．形如20ax bx c ++=的方程叫一元二次方程B ．方程2434x x +=不含有常数项C ．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如20(a 0)++=≠ax bx c 的方程叫一元二次方程，可得答案．解：A ．形如20(a 0)++=≠ax bx c 的方程叫一元二次方程，故A 不符合题意；B ．方程2434x x +=的一般形式是24340x x +-=，常数项是4-，故B 不符合题意；C ．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C 不符合题意；D ．()230y -=是关于y 的一元二次方程，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键．3．下列方程中，是一元二次方程的有（）个①25x x =；②()22360x --=；③21x =；④27(2)7x x x -=；⑤2120x x+-=．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】2的整式方程．①变形为250x x -=，是一元二次方程；②()22360x --=，整理变形为42063x x -+=，最高次数为4，不是一元二次方程；③21x =，变形为210x -=，是一元二次方程；④27(2)7x x x -=变形为140x =，不是一元二次方程；⑤2120x x+-=，是分式方程；故①③满足，共有2个一元二次方程故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．4．下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x+=；④20x a -=（a 为任意实数）1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①220ax x ++=，0a =时不是一元二次方程；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程；③13x x+=是分式方程；④20(x a a -=为任意实数）是一元二次方程；1x =-，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．题型2：一元二次方程的一般形式5．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【答案】A 【解析】【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为2310,x x --=从而可得答案．解：∵(1)(1)3x x x +-=，∴213,x x -=2310,x x \--=∴方程的一般形式为：2310,x x --=故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：()200++=≠ax bx c a ”是解本题的关键．6．方程2x 2﹣5x ＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．2，5，4B ．2，﹣5，4C ．﹣2，﹣5，4D ．2，﹣5，﹣4【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：∵方程2x 2﹣5x ＝4化成一般形式是2x 2﹣5x ﹣4＝0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．7．把2(2)43x x x x -=-化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．【答案】230x x -=31-0【解析】【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可．解：2(2)43x x x x -=-，，去括号：22243x x x x -=-，移项合并同类项：230x x -=，∴二次项系数为：3；一次项系数为：1-，常数项为：0；故答案为：230x x -=；3；1-；0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：20(a 0)++=≠ax bx c 是解题的关键．8．把一元二次方程(()2210x x x +-=化成一般形式，正确的是（）A ．25440x x +=-B ．25440x x --=C ．25210x x -+=D ．25460x x -+=【答案】B【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．解：(()2210x x x -+-=，去括号得：x 2-5+4x 2-4x +1=0，整理得：5x 2-4x -4=0．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键．题型3：根据一元二次方程的概念确定参数9．已知（m －1）21mx +＋3x －5＝0是一元二次方程，则m ＝________．【答案】－1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义m -1≠0，且212m +=，解答即可．∵（m －1）21m x +＋3x －5＝0是一元二次方程，∴m -1≠0，且212m +=，∴m -1≠0，且1,1m m ==-，∴1m =-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．10．当m =___________时，方程(2150m m x mx --+=是一元二次方程．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答．∵(2150m m x mx --+=是一元二次方程，∴212m -=且0m ≠，解得m =【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．11．关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，则k =________．【答案】1-【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．解：关于x 的方程||1(1)50+--+=k k x x 是一元二次方程，1012k k ì-¹ï\í+=ïî①②由①得：1,≠k 由②得：1,k =±所以 1.k =-故答案为：1-【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．12．若方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．【答案】2-【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,由题意得:22022m m -≠⎧⎨-=⎩解得:m =-2.故答案为：2-【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.13．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-【答案】B【解析】【分析】把x =0代入方程（m -3）x 2+3x +m 2-9=0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．解：把x =0代入方程（m -3）x 2+3x +m 2-9=0中，得m 2-9=0，解得m =-3或3，当m =3时，原方程二次项系数m -3=0，舍去，∴m =-3故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.14．要使方程()()2310a x b x c -+++=是关于x 的一元二次方程，则（）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠﹣1D ．a ≠3且b ≠﹣1且c ≠0【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a -3≠0，a ≠3．故选B ．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．当a =0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b =0或c =0时，上面的方程在a ≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．15．关于x 的方程（m 2﹣4）x 2＋（m ﹣2）x ﹣2＝0，当m 满足______时，方程为一元二次方程，当m 满足______时，方程为一元一次方程．【答案】2m ≠±2m =-【解析】【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可.解：由题意得：m 2﹣4≠0，解得：2m ≠±，即当2m ≠±时，方程为一元二次方程；由题意得：m 2﹣4＝0，且m ﹣2≠0，解得：m ＝﹣2，即当m ＝﹣2时，方程为一元一次方程．故答案为：2m ≠±；m ＝﹣2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．16．关于x 的一元二次方程2(1)2||10m x x m -++-=，常数项为0，求m 的值．下面是小莉和小轩的解题过程：小莉：由题意，得||10m -=，所以1m =±．小轩：由题意，得||10m -=，且10m -≠，所以1m =-．其中解题过程正确的是（）A ．两人都正确B ．小轩正确，小莉不正确C ．小莉正确，小轩不正确D ．两人都不正确【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和绝对值的性质进行计算，然后即可得出答案．由题意，得||10m -=，且10m -≠，解得1m =-．故小轩正确，小莉不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，得出关于m 的方程是解题关键．题型4：一元二次方程的解17．若关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=有一个解为1x =-，则m 的值是（）A ．1B ．3C ．－3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x =-1代入一元二次方程可得到关于m 的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．解：把x =-1代入x 2-2x +m =0得1+2+m =0，解得m =-3．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中，求出a 的值，再根据30a -≠，即可确定a 的值．将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∴30a -≠解得3a ≠故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．19．已知x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．﹣1【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x ＝x 的方程x 2﹣4x +c ＝0，列出关于c 的新方程，通过解新方程来求c 的值．解：∵x 的方程x 2﹣4x +c ＝0的一个根，∴x 2﹣4x +c ＝0，∴（2﹣4（+c ＝0，解得c ＝1．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的定义．题型5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形20．若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462021m m -+的值为_____．【解析】【分析】由题意知22310m m --=，即2231m m -=，再将2462021m m -+整理并将2231m m -=整体代入计算求解即可．解：由题意知：22310m m --=，即2231m m -=，∴2462021m m -+()22232021m m =-+212021=⨯+=2023．故答案为：2023．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．21．若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（）A ．2022B ．2020C ．2019D ．2021【答案】D【解析】【分析】设1t x =+，即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=，由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022x =，即250at bt ++=有一个根为2022t =，所以12022x +=，x =2021．由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=，对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-，设1t x =+，所以250at bt ++=，而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2022x =，所以250at bt ++=有一个根为2022t =，则12022x +=，解得2021x =，所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2021x =．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．22．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根，则22202220211a a a -++的值为（）．A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义，得到2202210a a -+=，然后将其变形得到a 2=2022a -1，a 2+1=2022a ，最后整体代入代数式求值即可．解：∵a 是关于x 的一元二次方程2202210x x -+=的一个根，∴2202210a a -+=，∴a 2=2022a -1，a 2+1=2022a ，∴原式=2022a -1-2021a +20222022a=a -1+1a =211a a +-=2022a a-1=2021，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想．23．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．【答案】32/1.5【解析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：∵关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，∴2230am bm --=，2230an bn --=∴223am bm -=，223an bn -=∵(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，∴[2（am 2－2bm ＋a ）][3(an 2－2bn )－2a ]＝54∴2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =∵ab ≠0∴a ，b 均为非零实数，∴32a =故答案为：32【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法24．若方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）中，a ，b ，c 满足a +b +c =0和a ﹣b +c =0，则方程的根是（）A ．1，0B ．﹣1，0C ．1，﹣1D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把1x =-代入得：0a b c -+=，即方程的一个解是1x =-；故选：C ．本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．25．关于x 的方程()2220k x kx +--=必有一个根为（）A ．x=1B ．x=-1C ．x=2D ．x=-2【答案】A【解析】【分析】分别把1x =，1-，2，2-代入()2220k x kx +--=中，利用一元二次方程的解，当k 为任意值时，则对应的x 的值一定为方程的解.解：A 、当1x =是，220k k +--=，所以方程()2220k x kx +--=必有一个根为1，所以A 选项正确；B 、当1x =-时，220k k ++-=，所以当0k =时，方程()2220k x kx +--=有一个根为1-，所以B 选项错误；C 、当2x =时，48220k k +--=，所以当3k =时，方程()2220k x kx +--=有一个根为2，所以C 选项错误；D 、当2x =-时，48220k k ++-=，所以当1k =-时，方程()2220k x kx +--=有一个根为2-，所以D 选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.26．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【解析】【分析】把2(1)3a x bx b -+-=化为：()()21130,a x b x -+--=再结合题意可得12021,x -=从而可得方程的解.解：2(1)3a x bx b -+-=可化为：()()21130,a xb x -+--=关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =，∴把1x -看作是整体未知数，则12021,x -=2022,x =即2(1)3a x bx b -+-=有一根为2022.x =故选D【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.27．如果a ，b ，k 均为整数，则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k 的取值有()A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个【答案】C【解析】【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a +b =k ，ab =18；再由a ，b ，k 均为整数，求出k 的值即可．解：∵（x+a ）（x+b ）=x 2+kx+18，∴x 2+（a+b ）x+ab=x 2+kx+18，∴a+b=k ，ab=18，∵a ，b ，k 均为整数，∴a=±1，b=±18，k=±19；a=±2，b=±9，k=±11；a=±3，b=±6，k=±9；故k 的值共有6个，故选C ．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．28．两个关于x 的一元二次方程2c 0ax bx ++=和2a 0cx bx ++=，其中a ，b ，c 是常数，且a c 0+=，如果2020x =是方程2c 0ax bx ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程2a 0cx bx ++=的根的是（）A ．±2020B ．12020-C ．-2020D ．1 2020【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．∵0a ≠，0c ≠，a+c=0∴1c a=-，∵ax 2+bx+c=0和cx 2+bx+a=0，∴20b c x x a a++=，210c b x x a a ++=，∴210b x x a +-=，210b x x a--=，∵2020x =是方程20ax bx c ++=的一个根，∴2020x =是方程210b x x a+-=的一个根，∴2020x =-是方程210b x x a --=的一个根，即2020x =-是方程20cx bx a ++=的一个根故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．题型7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题29．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211a a +的值是___．【答案】2023-【解析】【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =-，则2202110a a ++=，然后利用整体代入的方法计算．解：∵关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，∴“天宫”方程的一个解为1x =-，方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程，2202110a a ∴++=，220211a a ∴+=-，212021a a +=-，220211a a +=-，∴2220212022120211a a a a a a ++-++2220212021120211a a a a a a a =+++-++2202112021a a a a a=-++---111a a =-+-+12a a=+-212a a +=-20212a a-=-20212=--2023=-．故答案为：2023-．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．30．若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n<<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n<<<【答案】D【解析】【分析】利用a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根得到（a-m ）（a-n ）=-1＜0，进而判断出m ＜a ＜n ，同理判断出m ＜b ＜n ，即可得出结论．解：∵a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根，∴（a-m ）（a-n ）+1=0，∴（a-m ）（a-n ）=-1＜0，∵m ＜n ，∴m ＜a ＜n ，同理：m ＜b ＜n ，∴m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m ）（a-n ）＜0是解本题的关键．31．设a 、b 是整数，方程x 2+ax +b =022a b ab +的值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-1【答案】C【解析】【分析】，再代入方程x 2+ax +b =0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b 的值，再代入计算即可．=1．∵方程x 2+ax +b =0，∴2+b =0．∴))2110a b ++=．∴(()240a a b -+-+=．∵a 、b 是整数，∴20,40a a b -=⎧⎨-+=⎩．解得2,2a b =⎧⎨=-⎩．∴22a b ab +=()()222222+-⨯-=2-．故选：C ．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题题型8：一元二次方程的解的估算32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．x 1.63 1.64 1.65 1.66…x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756…根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）【答案】1.65【解析】【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225，∵0.0304＞0.0225，∴6.0225比5.9696更逼近6，∴方程x2+2x=6的一个解大约是1.65，故答案为：1.65．【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．一、单选题D .21x =，是一元二次方程，故此选项符合题意故选：D【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．把一元二次方程()2132x x x +=+化为一般形式，正确的是（）A ．22530x x ++=B ．22220x x -+=C ．2220x x --=D ．22310x x --=【答案】C【解析】原方程去括号移项后，得222320x x x +--=，合并同类项，得2220x x --=．3．关于x 的方程()273320aa x x ----=是一元二次方程，则（）A ．3a ≠±B ．3a =C ．3a =-D ．3a =±【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，列出272a -=和30a -≠，求解即可．【解析】解：∵关于x 的方程()273320aa x x ----=是一元二次方程，∴272a -=且30a -≠，解得，3a =±且3a ≠，即3a =-，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据次数为2列出方程，注意：二次项系数不为0．4．将一元二次方程2213x x -=化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A ．2，﹣1B ．2，0C ．2，3D ．2，﹣3【答案】D【分析】由题意，将一元二次方程化为一般形式20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 为二次项系数，b 一次项系数；c 常数项，即可；【解析】依题：将一元二次方程2213x x -=化为一般式为：22310x x --=；对照一元二次方程的一般式的各项系数可得：二项式系数：2；一次项系数：-3；故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的一般式及各项系数及常数项，关键在熟练的将一元二次方程转换为一般式；5．已知m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m 的值为（）A ．2020B ．2021C ．2019D ．-2020【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2-3m =-1，再把2020﹣m 2+3m 变形为2020﹣（m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m 为一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根．∴m 2-3m +1=0，即m 2-3m =-1，∴2020﹣m 2+3m =2020﹣（m 2-3m ）=2020-（-1）=2020+1=2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．若关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，则m 的值是（）A ．1-B ．1C ．1+或1-D ．0【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且0a ≠）特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解析】∵关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，∴210m -=且10m -≠，解得1m =-．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．7．已知a ，b ，c 满足0,420a b c a b c ++=++=，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况为（）A ．121,2x x ==B ．121,2x x =-=-C ．方程的解与a ，b 的取值有关D ．方程的解与a ，b ，c 的取值有关【答案】A【解析】∵0,420a b c a b c ++=++=，∴a c b +=-①，42a c b +=-②，②-①得3a b =-，∴2c a =，分别∴一元二次方程20ax bx c ++=的某一个解的取值范围是11x -<<．故答案为：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．10．已知m ，n 是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个实数根，设2210010012100,,,s m n s m n s m n =+=+⋯=+，…，则202020192018as bs cs ++的值为（）A ．2019B ．2018C ．0D ．2020【答案】C 【解析】∵201920192019s mn =+，201820182018s m n =+，202020202020s m n =+，∴202020192018as bs cs ++=()()()()()2020202020192019201820182018220182a m n b m n c m n m am bm c n an bn c +++++=+++++．∵m ，n 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，∴220,0am bm c an bn c ++=++=，∴20182018202020192018000as bs cs m n ++=⨯+⨯=．二、填空题11．请你写出一个解为2的一元二次方程：___________．【答案】x 2+x -6=0（答案不唯一）【分析】根据方程解的定义，构造方程即可解决问题．【解析】解：（x -2）（x +3）=x 2+x -6=0．故答案为：x 2+x -6=0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解及其应用问题；灵活运用解的定义来分析、判断是解题的关键．12．将一元二次方程(x -2)(2x +1)=x 2-4化为一般形式是___________.【答案】x 2-3x +2=0【分析】把方程化为ax 2+bx +c =0的形式即可求解．【解析】解：(x -2)(2x +1)=x 2-4，去括号得2x 2+x -4x -2=x 2-4，移项得2x 2+x -4x -2-x 2+4=0，合并同类项得x 2-3x +2=0．故答案为：x 2-3x +2=0．∴220222αα+=，220222ββ+=，∴()()()()22202212022221224ααββ+-++=-⨯+=故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．三、解答题。

苏科版九年级数学上册课件.1一元二次方程(共24张)

2．试比较下面两组方程的异同：
相同点
不同点
方程
整式方程与分式方程
未知数
未知数的最高次数
概念
5X=20
整式方程
x
一元一
1 次方程
x2-2=0
-2 x2+19x-24=0 整式方程
x
2
5x2+10x-4.8=0
学习目标
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道的！
—— 毕达哥拉斯
于x的一元二次方程，求m,n 的值。
不积跬步，无以至千里！
方程
一元一次方程一元二次方程
概念
一般情势
解法
？
用方程解决问题
？
即： k－≠1±≠01 即： k=－1
3.关于x的一元二次方程 (m－1)x2 ＋ 5x+m2－1＝0
的常数项是0，求m 的值。
解：由题意可得：
m2－1=0 m－1≠0
即：m=－1
本节学习的数学知识是：
（1）一元二次方程的概念:
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。一元二次方程必备条件：
①只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2； ③都是整式方程;
④二次项的系数不为0.
本节学习的数学知识是：
（2）一元二次方程的一般情势
a x 2 + b x + c = 0 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
如何理解一元二次方程的一般情势
ax2 bx c 0 (a≠0)？
（1）(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件
找一元二次方程的二次项、一次项
（2）系数及常数项要先化为一般式

苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程(课件)

(1) 3x2-x=2
(2) 7x-3=2x2;
(3) 2x(x-1)=3(x+5)-4
(4) abx2+cx+d=2x (5) (m+n)x2= (m-n)
(ab不为0) (m+n不为0)
当a 满足条件_______时，关于x的方程（a2-4)x2+(a+2)x=8是一元二次方程；
当a 满足条件_______时，关于x的方程（a2-4)x2+(a+2)x=8 是一元一次方程.
3. x+x3=7 5. x2-4=(x+2)2
4. x2 - 2x=0
3 6. 2x2 4 =7
概念巩固
例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2(x2 1) 3x
3(x 3)2 (x 2)2 7
练一练：1、指出下列关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
1.1 一元二次方程
问题1:正方形桌面的面积是2m2，设正方形的边长是x m，求它的边长。
x2=2
问题2:学校图书馆去年年底有图书5万册，
估计到明年年底增加到7.2万册，平均每年增长的增长率是多少？
5(1+x)2=7.2
问题3：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米，如果花圃的面积是24平方米，求花圃的长与宽。
(1)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a不为0）有两个根为1和-1，
则a+b+c=_____, a-b+c=_______
(2)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a不为0）

苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程课件

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，
因为甲队对乙对和乙队对甲队是同一场
比赛，所以全部比赛共 21x（x-1）场.
根据题意，得
1 2
x（x-1）=28
化简，得 x2-x-56=0
课程讲授
2 根据题意列一元二次方程
练一练：为增强学生身体素养，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环情势（每两队之间赛一场）.现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意可列方程为__21_x_（__x_-_1_）__=_2_1__.
解: x(x-1)=420化为一般情势为x2-x-420=0，其中二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-420.
课堂小结
定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
解：设花圃的宽是 xm, 则花圃
墙
的长是 (19 2x)m.
根据题意，得 x(19 2x) 24
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般情势
问题2：我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8 万册，平均每年增长的百分率是多少？
解：设平均每年增长的百分率是x. 根据题意，得 5(1 x)2 9.8
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般情势 3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般情势
练一练：一元二次方程2x2-3x-1=0的二次项系数是2，
则一次项系数是（ C）
A.3 B.2 C.-3 D.-1
课程讲授
2 根据题意列一元二次方程

苏科版数学九年级上册1.1一元二次方程同步课件

这样只含有一
个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
特征：
（1）只含一个未知数
（2）未知数的最高次数是2
（3）整式方程
例题讲授
例1.下列方程是一元二次方程的是（ C ）
A.x 2 y 1 0
2
3
B. 2 1 x
x
5
C. 3 x 2 x 1 0
D.x 2 x x 2 1
ax2 又叫二次项
bx叫一次项
c叫常数项
想一想为什么一般情势中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可
以为零吗？
当a=0时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时，
ax2 = 0
及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做
一元一次方程.
情景引入
“体育小中考”：
（1）方案一：已知运动场的周长为400m，想设计一个长比宽多20m的矩形，
设宽为x m, 可列方程为
；
（2）方案二：已知运动场的面积为5500 m2，想设计一个正方形，边长是
原计划的1.2倍，结果提前2天完成，可列方程为_________________.
=
+2

1.2
（5）某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册.设图书馆的藏书平均每年增
2
5(1
+
)
= 9.8

苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程(共20张)

2x2 2x - 24 0
x2 2 0
2x2 19x 24 0
5x2 10x 4.8 0
2x2 2x - 24 0
你能仿照一元一次方程的一般式写出一元二次方程的一般式吗？
要求：1、先自主思考
2、后小组讨论，环绕问题，表达清晰，组内选代表发表观点
3、讨论完请举手示意
• 例将下列方程化为一般情势，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
1.1 一元二次方程
复习旧知、类比新知
1、什么叫方程？我们以前研究过哪些种类的方程？它们有怎样的特征？请举例。
一元二次方程
概念
解法
Байду номын сангаас
应用
自主练习要求： 1、独立思考、自主完成。 2、完成后请举手示意。
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，
m2
设正方形桌面的边长是xm，
可得方程 x2 2
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
正方形的边长是 x cm，可得方程 x(x 10) 600
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m，设梯子的底端到墙面的距离是xm，可得方程 x2 (x 1)2 25
5m x-1
x
x2 2
x(19 2x) 24
x(x 10) 600
(1)x 2 x 2 2x2 5x

1.1一元二次方程的概念《湘教版九年级上册》(1)

2
7
0
－4
抢答：
一元二次方程
2
二次项一次项常数项系数系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 ax 2 bx的形式,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
例3.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不
去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为(x－4) 尺,长为 (x－2) 尺,依题意得方程：
ax bx c 0(a, b, c是常数项，a 0)
2
其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
由上面两个问题，我们可以得到两个方程：
(35 2 x) 900 0. 即:4 x 2 140 x 325 0
2
0.01t 2t 0.
2
1、上述两个方程有什么共同特点？ 2、与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？ 1、上面两个方程整理后含有一个 ___未知数,它们的最高次数是 2 ___ ,等号两边是整 __ 式。 2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？请定义。