高中数学苏教版选修1-1同步作业练习3.4 导数在实际生活中的应用 Word版含解析

学业分层测评(二十)

导数在实际生活中的应用

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么

速度为24的时刻是________秒末.

【解析】 由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝24，解得t ＝3(t ＝－2舍去).

【答案】 3

2.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关

系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

________万件.

【解析】 令y ′＝－x 2＋81＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去).f (x )在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在x ＝9处取最大值.

【答案】 9

3.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.

【解析】 设广场的长为x 米，则宽为

40000x 米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋40000x (x ＞0)，

所以y ′＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－40000x 2，令y ′＝0， 解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.

当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.

所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米.

【答案】 800

4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________.

【解析】 设圆锥的高为h cm(0＜h ＜20)，则圆锥的底面半径r ＝

202－h 2 ＝400－h 2(cm)，

V ＝V (h )＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，∴V ′＝13π(400－3h 2)，

令V ′＝13

π(400－3h 2)＝0， 解得h ＝2033.

由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.

【答案】 203

3cm 5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.

【解析】 设底面的长为2x cm ，宽为x cm ，

则高为36x 2 cm ，表面积S ＝2×2x ·x ＋2×x ·36x 2＋2×2x ·36x 2＝4x 2＋216x (x ＞0)，

S ′＝8x －216x 2，由S ′＝0，得x ＝3，x ∈(0,3)时，S ′＜0，x ∈(3，＋∞)时，

S ′＞0，

∴x ＝3时，S 最小.此时，长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm.

【答案】 6 cm 3 cm 4 cm

6.(2016·四川高考改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎨⎧

－ln x ，01

图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点

A，B，则△P AB的面积的取值范围是________.

【导学号：24830092】【解析】

由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，－ln x1)(01)，

则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为y＋ln x1＝－1

x1(x－x1)，

即y＝－x

x1

＋1－ln x1.①

则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为y－ln x2＝1

x2(x－x2)，即y＝

x

x2

－1＋ln x2.②

由l1⊥l2，得－1

x1×

1

x2

＝－1，

∴x1x2＝1.

由切线方程可求得A(0,1－ln x1)，B(0，ln x2－1)，

由①②知l1与l2交点的横坐标x P＝

2－ln x1－ln x2

1

x1

＋1

x2

＝2

x1＋x2

.

∴S△P AB＝1

2×(1－ln x1－ln x2＋1)×

2

x1＋x2

＝2

x1＋x2

＝2

x1＋

1

x1

.

又∵x1∈(0,1)，∴x1＋1

x1>2，

∴0<2

x1＋1

x1

<1，

即0

【答案】(0,1)

7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________.

【解析】设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为R2－h2，

则圆柱的体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3，∴V′＝2πR2－6πh2.

令V′＝0，解得h＝

3

3R.∵h∈⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，

3

3R

时，V单调递增，h∈

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

3

3R，R

时，

V单调递减，

故当h＝3

3R时，即2h＝23

3R时，圆柱体的体积最大.

【答案】23 3R

8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.

【解析】设毛利润为L(p)，由题意知

L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).

因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，

所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)＝23 000.

即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.