受弯构件在短期、长期、重复荷载下的变形及计算方法汇总

令
因 2）徐变挠度
，联立三式得：
＞ 等号右边第二项为负值，故 ＜1。
受弯构件挠度与曲率关系的表达式可写成
l —构件的计算跨度； C—与挠度曲线形状有关的系数。

上式说明挠度和曲率成正比。因此，由之前公式得到

反映徐变的综合影响，包括影响压区和拉区徐变的各种因素 以及受压钢筋对徐变的影响。由其表达式可知，各种影响因素 都反映在中和轴和应变的变化中。实际应用中可由试验测定。
表明 1、一点加荷至0.9 My时，残余变形约为初次 加荷变形的(5～25)％； 2、两点加荷时则为初次加荷变形的(20～40)％。 3、当内力峰值在屈服内力的50％以下时，重 复荷载与单调加载的内力(或荷载)-变形曲线基 本一致，重复荷载的影响可以忽略。
3.1.2重复荷载下产生残余变形的机理
(1)重复荷载作用下粘结应力退化，相对滑动增长； (2)重复荷载下产生新的次裂缝。随荷载循环这两种因 素相互作用使钢筋应变(裂缝截面应变和平均应变)增大， 因此使构件的残余变形增大，同时可能导致钢筋提早 达到屈服。 实际工程中 除抗(地)震结构，几乎无可能达到屈服荷载 Py。一般 重复荷载结构，类如承受机械往复振动和车辆动载， 荷载通常不超过50％屈服荷载。因此，可不考虑重复 荷载残余变形累积的影响，即重复荷载不超过使用荷 载时，可以用短期荷载刚度值计算变形。

2.2.2长期参数刚度的修正

对于长期变形增长的全面分析，应同时考虑拉区和压区应变的时随变 化。拉区已有的裂缝随时间而开展，同时产生次裂缝。钢筋和混凝土 间的粘结徐变时随变化，显示为裂缝截面间钢筋的平均应变加大，也 就是值较短期荷载时为大。ψ的基本表达式为：
为在裂缝间受拉钢筋应力图形的完整系数，是时随变量，随时间而 减少。如，短期荷载下，光面钢筋 ＝0.7，变形钢筋 ＝0.8；长 期荷载下，光面钢筋 ＝0.3；变形钢筋的 ＝0.4。
，相应

在裂缝截面，有 因此平均截面钢筋的平均拉应力为 曲率为


故平均截面惯性矩为：

令fr=k2(fc)2/3，同阶段构件刚度的主要 因素-拉区裂缝出发，只是考虑的途径不同。但是，由公 式推导过程可知，有效拉力法缺点为：
（1）有效拉力取决于拉区应力 ，有效拉力（T）及其抵 抗力矩（M）与荷载产生的（M）无关； （2）有效拉力及其在受拉区中的分布与应变无关。 其次，分析有效惯性矩法与等 效拉力法的关系，后者所依据 的试验资料恰为前者的基础， 表达形式上二者是相同的，都 是设法求得带裂缝截面惯性矩 的修正值，两种方法与相同的 变形试验结果的对比，如左图 所示，精度也大致相同。 英国设计规范（CP110）的变 形计算方法就是根据上述等效 拉力的原理建立的。
(2)经一次(或多次)活荷载的变形为 : 重复荷载惯性矩取经验值： 参数
（8-87） （8-88）
Mu —极限弯矩（即破坏弯矩）；
Mcr —裂缝形成时的抵抗力矩； Ich —重复荷载惯性矩。
活荷载卸荷后，残余变形为 ，
（8-89）
近似计算时取 ，即认为 A与 B重合。此时，变形计算值近似为：
（8-90） 当恒载及活荷载均为均布荷载时，
3.2重复荷载下计算方法
考虑残余变形计算刚度的近似法： 如图8-21 点表示只承受恒载的变 形，因恒载弯矩 较小，卸载后循 线下降，无残余变形。 点表示恒 载加活荷载的变形，卸载时循 线 下降。计算按不同阶段进行。
(1)恒载的变形为：
（8-86） ( I e)g —恒载弯矩为M。时随有效惯性矩，按 (8-37)计算； K —变形系数； E ht—混凝土的弹性模量，当考虑恒载为长期荷载时则应 取时随弹性模量 。



代入，得 令ψ =1，且 ，则 ，

即为我国现行规范（TJ10-74）采用的公式
它改进之处在于，可以由试验资料的统计分析得到较 为笼统的参数ψ ，η ，特别是 ξ。


1.2.3有效惯性矩法
直接由试验资料的统计分析，得 出带裂缝阶段的刚度经验表达式， 令 B=EhIe ， 其中 Ie 为有效惯性矩。 由试验数据可以作Ie/ Iucr-M/Mcr 曲 线。 当M≥Mcr时，经验公式为
B为刚度；Bd为短期荷载作用下的刚度；Wg为受拉钢筋Ag的截 面抵抗矩；x为平均受压区高度。对单筋矩形截面:
n为考虑非弹性时钢筋和混凝土变形模量之比，ψ 为拉
区混凝土带裂缝的影响参数，ν 反映压区混凝土非弹 性变形的影响参数。

根据最初 MypaЩeB 提出的理论，改进后的刚度计算 基本公式： 曲率 其中 刚度
即为通用开裂截面计算曲率的公式。求出的变形比实 际的变形(试验值)要大，是由于没有考虑拉区混凝土 的作用。


1.2.2解析刚度法
以分析影响刚度的主要因素为基础而建立的计算公式。影 响刚度的主要因素为受拉区的裂缝和受压区的混凝土的非 弹性变形。拉区和压区的平均应变决定曲率的大小，凡是 影响拉区和压区平均应变的因素都是影响曲率的因素，也 就是影响构件变形的因素。MypaЩeB最初提出的计算曲率 和刚度的公式是：
上述计算理论是建立在这样的前提下的： （1）混凝土不受拉； （2）考虑了压区混凝土的非弹性变形。
如果压区混凝土应力-应变为直线关系，应力和受 压区高度都可得到简单的解。 对于单筋矩形截面受弯构件（图8-7） ，应力为
受压区高度：
曲率：
不考虑混凝土受拉区（开裂状态）截面的折算惯性矩 Ihg ：
此时，曲率计算公式化为：
带裂缝的钢筋混凝土构件与匀质弹性构 件的刚度差别，最主要的是拉区存在有 裂缝，而裂缝间的混凝土参与受拉工作。 因此，将不考虑混凝土受拉的计算方法 作为基础，引入裂缝间混凝土受拉这一 影响因素加以修正，以计算变形和刚度。 这就是等效拉力法的实质。设裂缝间截 面的混凝土应力分布如图左图。 由平衡关系
设将混凝土拉应力折算为钢筋拉应力 拉区混凝土的抵抗力矩为 ，则


上述式子中 度系数。
为压边缘混凝土的应变；
为受压区高
受压区混凝土的压应力的合力为：
由混凝土的应力应变曲线可求得 α（平均压应力系数 ）：
压力中心位置系数 γ ，由应力应变曲线面积对原 点取矩求得，即
故
由平衡条件得到
当已知应力应变关系曲线、N、M时，也可以求 出受压区高度。由几何关系得到曲率：

—徐变试验中混凝土的初始应力，即弹性压缩应力。
所以徐变曲率公式可化为 在时间t，令 ，上式即化为：
即长期变形即可由短期变形乘以一个考虑时随因素（徐变和收 缩）的系数得到。设时间为的总变形为：
—收缩变形； —徐变变形； —短期变形; —考虑 徐变和收缩综合影响产生的变形； T—时间为的徐变和收缩综 合系数，即
受弯构件在短期、长期及重复荷载下 的变形及计算方法
1 短期荷载作用
1.1 概述

短期荷载下受弯构件的变形是钢筋混凝土构件变形 问题的基础。对于匀质弹性体杆件，结构力学中的 变形计算公式是建立在下列关系上的： （1）物理关系-虎克定律； （2）平衡条件；


（ 3 ）几何关系 - 平截面假定，应变和变形（曲率） 的关系。
目前，钢筋混凝土构件屈服前各阶段变形计算的 各种方法，同样是以上述基本关系为基础的。只 是物理关系考虑了混凝土应力应变关系的非线性 特征。



1.2 计算方法
1.2.1不考虑拉区混凝土影响的变形计算理论
忽略裂缝之间受拉区混凝土的作用，实质上等于 将受拉区各个截面看成全部开裂 ( 图8-4)。这是许 多国家最初以至现在仍在沿用的计算理论 —按开 裂截面计算变形。电算分析结构全过程的应力应 变关系，而不注重计算较精确的变形数值时，普 遍以这种理论为依据。对于有轴力的偏压 ( 拉 ) 构 件，这种理论同样适用。 由平截面假定，可求出钢筋应变 ，例如在距压区 边缘高度 处钢筋 的应变为
第二种方法较用笼统的长期变形系数 ， 、 为 长期和短期变形(挠度)，更便于分析长期变形的影响因 素。 除这两类方法外 ， 还有一种过去通用的简略的方法— —按变弹性模量法计算长期变形。



2.1 计算方法
2.1.1时随系数法
长期荷载下受弯构件的变形增长主要是由于受压区混凝土的徐变。计 算时随变形应考虑收缩与徐变的相互影响。普通钢筋混凝土构件（非 预应力）中，两者的相互影响可以忽略。 1）徐变曲率 混凝土徐变使梁的拉区和压区应变随时间而增长。拉区徐变影响较小， 有时可忽略；压区混凝土徐变的发展，使中和轴下移，曲率增长。假 定应变分布符合平截面假定，徐变引起的曲率与短期荷载曲率具有图 8-14的关系。
裂缝的区段；这里 为带裂缝工作的刚度， 为裂缝刚 形成的刚度。

2 长期荷载作用
2.1 概述
长期荷载下变形(时随变形)的计算方法主要分为两类： （1）长期变形系数法；(2)长期变形因素解析法。
对影响长期变形的因素进行分析，确认其主要影响因 素为压区混凝土的徐变，同时忽略拉区应变的时随性 质，形成了一种因素解析法——时随系数法。 若 同时 考虑压区和拉区长期变形的影响长期 ， 则 形成 另 一 种 因素解析法——刚度参数修正法。
3）收缩曲率

通用的估计收缩变形（曲率）的方法是“等拉力法”（图8-16）。图（816）为图8-16和的叠加，表示收缩的最后效应。为可收缩应变。

收缩曲率为： —混凝土变形模量（考虑收缩和徐变后在时间的变形模量）； e ，I —相应于全截面、或开裂截面，或有效截面的偏心距和惯性矩


4）按时随系数计算长期变形 欧美各国近年多用徐变率（单位徐变）理论。徐变率的定义 是： —徐变应变，由单独的素混凝土试件的徐变试验取得；
式中， Ie—有效惯性矩，即裂缝阶段惯性矩的定值； Iucr —未开裂时截面的换算惯性矩；Icr —开裂截面 的换算惯性矩；Mcr—裂缝形成时的弯矩；M —使用 荷载下弯矩；m—经验指数，取 m =3或4较符合试验 结果。美国设计规范中带裂缝刚度计算方法就是根 据此式建立的。