专题06 导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：导数的几何意义、定积分与微积分基本定理
第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x y x x =++（）， 所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =- 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2017、2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ， 因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二 易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以 3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 3-【解析】(1)x y ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-， 得00(1)12x x x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减． 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<． 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-．。
三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析+Word版含解析-专题01 集合
1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ）A ．{|0}AB x x =<B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以 {|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=< ，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B = ，则B =（ ） A.{}1,3- B.{}1,0 C.{}1,3 D.{}1,5【答案】C【解析】由{}1A B = 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C.【考点】 交集运算，元素与集合的关系3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A 表示以()0,0 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x = 上所有的点组成的集合，圆221x y += 与直线y x = 相交于两点()1,1 ，()1,1-- ，则A B 中有两个元素.故选B .【考点】 交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B =（ ）（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3}（C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3}【答案】A 【解析】利用数轴可知{}21A B x x =-<<- ，故选A.【考点】集合的运算5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P （ ）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【解析】利用数轴，取Q P ,所有元素，得=Q P )2,1(-．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-= ，，，，，， ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2016课标1,理1】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】因为23{|-430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><< 故选D. 考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.8.【2016新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）(A) 2，3] (B)（-∞ ，2]U 3,+∞） (C) 3,+∞） (D)（0，2]U 3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥ 或，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．9.【2016新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}= ，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.10. 【2016山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞ （-1，+），选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.11.【2016浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R ð（ ）A ．2,3]B ．( -2,3 ]C ．1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】 试题分析：根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=- R R Q x x P Q 痧．故选B ． 考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．12.【2016年北京理数】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B = （ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由}22|{<<-=x x A ，得}1,0,1{-=B A ，故选C.考点：集合交集.13.【2016年四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =-- ，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.14.【2015重庆，理1】已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【解析】由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D .【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.【名师点晴】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.15.【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B = ð( )（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B = ð，故选A. 【考点定位】集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的运算，涉及全集、补集、交集相关概念和求补集、交集的运算,是基础题.16.【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）(){|13}A x x -<<(){|11}B x x -<< (){|12}C x x <<(){|23}D x x <<【答案】A【解析】 {|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<< ，选A.【考点定位】集合的基本运算.17.【2015广东，理1】若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = （ ）A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．【解析】因为()(){}{}|4104,1M x x x =++==--，()(){}{}|4101,4N x x x =--==，所以M N =∅ ，故选A ．【考点定位】一元二次方程的解集，集合的基本运算.【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的解集，有限集合的交集运算和运算求解能力，属于容易题． 18.【2015浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]【答案】C.【解析】由题意得，)2,0(=P C R ，∴()(1,2)R P Q = ð，故选C.27. 【2016天津理数】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3}（D ）{1,4}【解析】试题分析：{1,4,7,10},A B {1,4}.B == 选D .考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.28. 【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N = （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N = ，故选A ．【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于，否则很容易出现错误．29.【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B = （ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =- ，故选A ．【考点定位】集合的运算．【名师点睛】本题考查一元二次不等式解法和集合运算，要求运算准确，属于基础题． 综上所述，“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的充要条件.30.【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B = {}1,1-，故选C ．【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用21i =-和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准确度．31.【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数的值为 ▲ .【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.32.【2016江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________▲________.【答案】{}1,2-【解析】试题分析：{1,2,3,6}{|23}{1,2}A B x x =--<<=-考点：集合运算33.【2015江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5A 中元素的个数为5个.【解析】{123}{245}{12345}A B==，，，，，，，，，,，则集合B【考点定位】集合运算【名师点晴】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的个数. 本题需注意检验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．。
近3年2015-2017各地高考数学真题分类专题汇总--导数及其应用
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用一、选择题（在每小题给出的四个选项中¸只有一项是符合题目要求的）1（2017北京文）已知函数1()3()3x xf x =-¸则()f x （ ）.A 是偶函数¸且在R 上是增函数 .B 是奇函数¸且在R 上是增函数 .C 是偶函数¸且在R 上是减函数 .D 是奇函数¸且在R 上是增函数2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ）.A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1,)+∞ .D (4,)+∞З.（2017山东文）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）2.A 4.B 6.C 8.D4.（2017山东文）若函数()e xf x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（ ）x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-¸则（ ）.A )(x f y =在)2,0(单调递增.B )(x f y =在)2,0(单调递减.C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==¸则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b<<8.（2017天津文）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（ ） .A [2,2]- .B [- .C [- .D [-9.（2017新课标Ⅲ文数）函数2sin 1xxx y ++=的部分图像大致为（ ）.A .B .C .D10.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a （ ） 21.-A.B 13.C 121.D11.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点¸则=a（ ）21.-A31.B 21.C1.D 12.（2017新课标Ⅰ理数）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减¸且为奇函数．若(11)f =-¸则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）.A [2,2]-.B [1,1]-.C [0,4] .D [1,3]1З.（2017新课标Ⅱ理）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点¸则()f x 的极小值为（ ） 1.-A.B 32e --.C 35e -1.D14.（2017天津理）已知奇函数()f x 在R 上是增函数¸()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-¸0.8(2)b g =¸(3)c g =¸则c b a ,,的大小关系为（ ）.A a b c << .B c b a << .C b a c <<.D b c a <<15.（2017天津理）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设R a ∈¸若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立¸则a 的取值范围是（ ） ]2,1647.[-A ]1639,1647.[-B ]2,32.[-C ]1639,32.[-D1б.（2017山东理）已知当[]0,1x ∈时¸函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点¸则正实数m 的取值范围是（ ）.A (])0,1⎡+∞⎣ .B (][)0,13,+∞.C ()⎡+∞⎣ .D ([)3,+∞17.（2017浙江）若函数b ax x x f ++=2)(在区间]1,0[上的最大值是M ¸最小值是m ¸则m M - （ ）.A 与a 有关¸且与b 有关.B 与a 有关¸但与b 无关.C 与a 无关¸且与b 无关.D 与a 无关¸但与b 有关18.（2017浙江）函数)(x f y =的导函数()y f x '=的图象如图所示¸ 则函数)(x f y =的图象可能是（ ）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）19.（2017山东文）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且)2()4(-=+x f x f .若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则=)919(f .20.（2017天津文）已知a ∈R ¸设函数()ln f x ax x =-的图象在点))1(,1(f 处的切线为l ¸则l 在y 轴上的截距为 .21.（2017新课标Ⅱ文）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数¸当(,0)x ∈-∞时¸32()2f x x x =+¸则(2)f = .22.（2017新课标Ⅲ文数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.2З.（2017新课标Ⅰ文数）曲线21y x x=+在点)2,1(处的切线方程为_______.24.（2017新课标Ⅲ理数）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_____________.25.（2017山东理）若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增¸则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+2б.（2017江苏）已知函数31()2e ex x f x x x =-+-．若2(1)(2)0f a f a -+≤¸则实数a 的取值范围是 ．27.（2017江苏）．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数¸在区间[0,1)上¸2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==¸*}n ∈N ¸则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 28.（2017北京文）已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29.（2017新课标Ⅱ文）设函数2()(1)e x f x x =-.（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时¸()1f x ax ≤+¸求a 的取值范围.З0.（2017天津文））设,a b ∈R ¸||1a ≤.已知32()63(4)f x x x a a x b =---+¸()e ()x g x f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点),(00y x 处有相同的切线¸ （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立¸求b 的取值范围.З1.（2017新课标Ⅲ文数）已知函数.)12(ln )(2x a ax x x f +++=（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0<a 时¸证明3()24f x a≤--．З2.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数.)()(2x a a e e x f x x --=（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x ≥¸求a 的取值范围．ЗЗ.（2017山东文）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当2=a 时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.З4.（2017新课标Ⅱ理）已知函数2()ln f ax a x x x x =--¸且()0f x ≥．（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ¸且220e ()2f x --<<．З5.（2017北京理）已知函数.cos )(x x e x f x -= （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0¸π2]上的最大值和最小值.Зб.（2017浙江）已知函数).21()12()(≥--=-x e x x x f x（Ⅰ）求)(x f 的导函数；（Ⅱ）求)(x f 在区间1[+)2∞，上的取值范围．З7.（2017山东理）已知函数()22cos f x x x =+¸()()cos sin 22x g x e x x x =-+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈¸讨论()h x 单调性并判断有无极值¸若有求出极值.З8.（2017新课标Ⅰ理数）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点¸求a 的取值范围.()0f x ≥З9.（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值¸且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（1）求b 关于a 的函数关系式¸并写出定义域； （2）证明：23b a >；（З）若()f x ¸()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-¸求a 的取值范围．40.（2017新课标Ⅲ理数）已知函数.ln 1)(x a x x f --= （1）若 ¸求a 的值；（2）设m 为整数¸且对于任意正整数n ¸21111++1+)222n ()(1)(m <¸求m 的最小值．41.（2017天津理）设a ∈Z ¸已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ¸()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ¸函数0()()()()h x g x m x f m =--¸求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ¸使得对于任意的正整数,p q ¸且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq -≥.201б年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用1、（201б年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点¸使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直¸则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （Α）sin y x = （Β）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】Α2、（201б年四川高考）已知Α函数f(x)＝x З－12x 的极小值点¸则Α= (Α)-4 (Β) -2 (C)4 (D)2 【答案】DЗ、（201б年四川高考）设直线l 1¸l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1¸P 2处的切线¸l 1与l 2垂直相交于点P ¸且l 1¸l 2分别与y 轴相交于点Α¸Β则则△P ΑΒ的面积的取值范围是(Α)(0,1) (Β) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】Α4、（201б年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增¸则Α的取值范围是（Α）[]1,1-（Β）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（201б年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数¸则(0)f '的值为__________. 【答案】З2、（201б年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数¸当0x ≤ 时¸1()x f x ex --=-¸则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x =三、解答题1、（201б年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==¸若函数()f x 有三个不同零点¸求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++¸得()232f x x ax b '=++． 因为()0f c =¸()0f b '=¸所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时¸()3244f x x x x c =+++¸ 所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=¸得23840x x ++=¸解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以¸当0c >且32027c -<时¸存在()14,2x ∈--¸222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭¸ 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭¸使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知¸当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时¸()2320f x x ax b '=++>¸(),x ∈-∞+∞¸ 此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增¸所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时¸()232f x x ax b '=++只有一个零点¸记作0x ． 当()0,x x ∈-∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时¸()0f x '>¸()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述¸若函数()f x 有三个不同零点¸则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==¸0c =时¸230a b ->¸()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（201б年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设Α=2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立¸求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞¸函数()()2g x f x =-有且只有1个零点¸求Αb 的值. 解：（1）因为12,2a b ==¸所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =¸即222xx-+=¸亦即2(2)2210x x -⨯+=¸所以2(21)0x-=¸于是21x=¸解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立¸且()0f x >¸所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=¸且2((0))44(0)f f +=¸ 所以4m ≤¸故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点¸而00(0)(0)220g f a b =-=+-=¸ 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+¸又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>¸ 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-.令'()()h x g x =¸则''22()(ln ln )(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+¸ 从而对任意x R ∈¸'()0h x >¸所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数¸ 于是当0(,)x x ∈-∞¸''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时¸''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数¸在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <¸则0002x x <<¸于是0()(0)02xg g <=¸ 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=¸且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断¸所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点¸记为1x . 因为01a <<¸所以log 20a <¸又02x <¸所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >¸同理可得¸在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点¸矛盾.因此¸00x =. 于是ln 1ln ab-=¸故ln ln 0a b +=¸所以1ab =.З、（201б年山东高考）设f (x )=x ln x –Αx 2+(2Α–1)x ¸Α∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )¸求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数Α的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞¸ 则()112'2ax g x a x x-=-=¸ 当0a ≤时¸()0,x ∈+∞时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增； 当0a >时¸ 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0g x >¸函数()g x 单调递增¸1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时¸()'0g x <¸函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时¸函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时¸函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭¸单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知¸()'10f =.①当0a ≤时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x >¸()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ②当102a <<时¸112a >¸由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 可得当当()0,1x ∈时¸()'0f x <¸11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸ 所以()f x 在(0,1)内单调递减¸在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增¸ 所以()f x 在x=1处取得极小值¸不合题意. ③当12a =时¸即112a=时¸()'f x 在(0,1)内单调递增¸在 ()1,+∞内单调递减¸ 所以当()0,x ∈+∞时¸()'0f x ≤¸ ()f x 单调递减¸不合题意. ④当12a >时¸即1012a << ¸当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时¸()'0f x >¸()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时¸()'0f x <¸()f x 单调递减¸ 所以f(x)在x=1处取得极大值¸合题意. 综上可知¸实数Α的取值范围为12a >.4、（201б年四川高考）设函数f(x)=Αx 2－Α－lnx ¸g(x)=1x －ee x ¸其中Α∈R ¸e=2.718…为自然对数的底数。
专题06 导数的几何意义—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()yf x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =-- 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y在点()0,3处的切线方程为 .【答案】53y x =-+或530x y +-=. 【解析】55x y e -'=-，所求切线的斜率为55y e =-=-，故所求切线的方程为35y x -=-，即53y x =-+或530x y +-=. 【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,3处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 【考点定位】导数与切线斜率．6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.试题解析：（Ⅰ）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为，令则所以在上单调递增.因为(0)0,m =所以 当时，()0,m x >当0x <时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，①当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时取得极大值.③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.力、基本计算能力、分类讨论思想等。
导数的几何意义(导数与切线)(word解析版附答案)
导数的几何意义（导数与切线）【考纲要求】（1）了解导数概念的实际背景.（2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求基本函数的导数.（4） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +的复合函数）的导数. 【命题规律】导数的运算是导数应用的基础，一般较少直接考查，而导数的几何意义----切线问题是高考考查的热点.预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的几何意义，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）求函数的导函数例1.【2017浙江高考改编】已知函数()()x 1f x x-2x-1e x 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，求()f x 的导函数.【答案】（I ）()()()12121()221x x x e f x x x ----=>-'；【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到：1.基本初等函数的导函数相当熟悉；2.导函数的四则运算要熟练.另外，在求导的过程中，要注意对原式进行变形，使得便于我们求导.【变式1】【函数中含有参数，利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷（文）】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【变式2】【2017江西太原高三模考一（文）改编题】已知函数()()()2102x f f f x e x x e '=+-，则)(x f 的最小值为___________________.【答案】1（二）导数的几何意义例2.【2017天津卷（文）】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .【答案】1【解析】(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数，倾斜值的正切值就是斜率.【变式1】【2017四川乐山第三次调研考试（理）】已知曲线()221x x f x e e ax =-+-存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()3,+∞B. 73,2⎛⎫⎪⎝⎭C.7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. ()0,3 【答案】B【解析】由题得()222x x f x e e a '=-+，则方程2223x x e e a -+=有两个解，令x t e =，且()2223g t t t a =-+-，则由图象可知，有()0g t >且0∆>，即30a ->且()4830a -->，解得732a <<，故选B. 【变式2】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为A. 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. 3π[,π) 4D. π3π(,24⎤⎥⎦ 【答案】B【解析】由题意得()22k f x x x ==-'=()2111x --≥-,即tan α1k =≥-,解得πα02≥≥或3παπ4≤≤.即切线倾斜角的范围为π3π0,,π24⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选B. 【变式3】【2015陕西卷（理）】设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,1【变式4】【【2014江苏】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则. 【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．（三）在一点处的切线方程例3.【2017全国1卷（文）】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________.【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则()212f x x x -'=，所以()1211f ='-=， 所以曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为()211y x -=⨯-，即1y x =+． 【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是()()000y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【变式1】【2016全国3卷（理）】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是__________．【答案】21y x =--【变式2】【增加例题中函数的参数，求参数的取值】【2017届衡水中学押题卷3（文）改编题】已知函数()()1e x f x bx a =-+（a ， R b ∈）.若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，求a ， b 的值分别为________.【答案】2,1【解析】函数()f x 的定义域为R ，()()e 1e x x f x b bx =+-' ()1e x bx b =+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()00,{01,f f '==得10,{11,a b -=-=解得1,{ 2.a b ==（四）过一点的切线方程例4.【2015全国1卷（理）改编题】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线.【答案】（Ⅰ）；【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当 时，轴是曲线的切线.【方法技巧归纳】对于曲线)(x f y =上“过”点),(n m 的切线问题，一般要先设切点),(00y x ，于是切线为))(('0m x x f n y -=-，再根据切点在曲线上得)(00x f y =，切点在切线上得))(('000m x x f n y -=-.列方程组，可得切点的值.【变式1】【2017甘肃第二次高考诊断考试（理）】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ）A. [)1,+∞B. []0,1C. (1,e e -⎤⎦D. (1,e -⎤-∞⎦【答案】A切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ， 解得： 00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ， 综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞ .（五）两曲线的公切线例5.【2016全国2卷（理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切点为()11ln +2x x ，，则它的切线为111ln 1y x x x =⋅++.()ln 1y x =+的切点为()22ln +2x x ，，则它的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，所以()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，所以1ln 11ln 2b x =+=-．【方法技巧归纳】两曲线有公共切线，一般可以分别求出两曲线的切线，然后说明这两直线重合；或者先求出其中一条曲线的切线，然后说明其也和另一曲线相切.【变式1】【2015全国2卷】已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a = ．【答案】8 【解析】由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与1)2(2+++=x a ax y 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.【变式2】【2017河南六市第二次联考（理）】若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由y =ax 2(a >0),得y ′=2ax ，由y =e x ,得y ′=e x ，曲线C 1:y =ax 2(a >0)与曲线C 2:y =e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1,ax 12),与曲线C 2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-， 可得2x 2=x 1+2，∴11212x ea x += ， 记()122x ef x x+=，则()()1222'4x e x f x x +-= ，当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增. ∴当x =2时, ()2min 4e f x =.∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【数学思想】无限逼近的极限思想 （1）由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.（2）曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”⇒“割线→切线”.（3）在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点． 【处理导数的几何意义问题注意点】(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P 的切线方程”与“该曲线在点P 处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P 处的切线方程”问题的考查较为普遍.【典例试题演练】1．【2017宁夏银川一中高三二模（文）】已知在平面直角坐标系中，曲线()ln f x a x x =+在x a =处的切线过原点，则a =A. 1B. eC. 1eD. 0 【答案】B2．【2017辽宁沈阳东北育才学校第九次模拟考试（理）】已知函数()xaf x x e =- (0)a >，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲x y e =相切，符合情况的切线A. 有0条B. 有1条C. 有2条D. 有3条 【答案】A【解析】函数f (x )= x ax e -的导数为f ′(x )=1−1x ae a，a >0.易知,曲线y =f (x )在x =0处的切线l 的斜率为1−1a ,切点为(0,−1)， 可得切线的方程为y =(1−1a)x −1. 假设l 与曲线y =e x 相切,设切点为(x 0,y 0)，即有e x 0=1−1a =(1−1a)x 0−1，消去a 得e x 0=e x 0⋅x 0−1,设h (x )=e x x −e x −1， 则h ′(x )=e x x ,令h ′(x )>0，则x >0，所以h (x )在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增， 当x →−∞,h (x )→−1,x →+∞,h (x )→+∞， 所以h (x )在(0,+∞)有唯一解,则e x 0>1， 而a >0时,1−1a <1,与e x 0>1矛盾，所以不存在. 故选：A.3．【2017湖南长沙长郡中学高三5月模考（理）】设曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A. []1,2-B. []3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()()1,32sin x f x e g x a x ''=--=-，所以直线12,l l 的斜率分别为()11201,32sin x k e k a x =-+=-，则由题设可得()()10132sin 1x e a x -+-=-，即10132sin 1x a x e -=+，又因为对任意1x ，都有11011x e <<+，故 存在0x 使得0032sin 1a x <-<，即存在0x 使得002sin 312sin x a x <<+，故1232a -≤≤，即1233a -≤≤，应选答案D . 4．【2017安徽蚌埠高三二质检（理）】已知函数()1xf x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,e -+∞B. ()2,0e -C. 21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1x a x e -=-有两个不同的解，设()1x y x e -=-，则()'2,2,'0,2,'0x y x e x y x y -=-∴， ()1x y x e -=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增2x ∴=时，函数取得极小值2,e --又因为当2x >时总有()10x y x e -=-<，所以可得数a 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D.5．【2017四川绵阳高三月考（理）】过点()2,1A 作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条 【答案】A6．【2018河北石家庄二中开学考试（理）】已知函数()()21,f x g x x x==.若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________．【答案】4-【解析】因为()()21,f x g x x x ==，所以()21‘,f x x=-设曲线()f x 与l 切于点111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则切线斜率211k x =-，故切线方程为()121111y x x x x -=--，即21112y x x x =-+，与()2g x x =联立得： 2211120x x x x +-=，因为直线l 与曲线()g x 相切，所以02411221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，解得112x =-，故斜率211k 4x =-=-. 故答案为： 4-7．【2018广东茂名高三五校联盟9月联考（理）】若函数的图象在点处的切线斜率为，则函数的极小值是__________． 【答案】【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率，故，令可得，则函数的极小值为，应填答案.8．【2017河南新乡三模（文）】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=）【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又 ()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-9．【2017湖南郴州市高三第四次质量检测（文）】若函数（）在区间只有一个极值点，则曲线在点处切线的方程为__________． 【答案】【解析】由题意可得，所以即在有唯一奇次根.根据根的存在性定理，即，，又因为，所以.,，,所以切线方程为.答案为：x-y+6=0.10．【2018河南周口市中英文学校开学考】曲线()C:sin 2x f x x e =++在0x =处的切线方程为_____．【答案】23y x =+【解析】由()sin 2x f x x e =++，得()cos x f x x e ='+， ()03f =，切线的斜率为()02k f ='=，故切线方程为23y x =+，故答案为23y x =+.11．【2018贵州贵阳高三8月摸底考】已知函数()()1*n n f x x x n N +=-∈，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】12n n +⋅【解析】对函数求导可得： ()()1'1n n f x nx n x -=-+， 则()()()11'221222n n n f n n n --=⨯-+⨯=--⨯， 且： ()12222n n n f -=-=-，曲线在()()2,2f 处的切线方程为()()12222n n y n x -+=--⨯⨯-， 令0x =可得： ()1222n y n -=+⨯， 即()1222n n b n -=+⨯，错位相减可得其前n 项和为12n n -⋅.12．【2017湖南省郴州市高三第四次质量检测（文）改编】已知函数（）与函数有公共切线.则求的取值范围为_____________.【答案】13．【2017吉林实验中学八模（理）改编】已知函数()()ln af x x a R x=+∈．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=，求实数a 的值．【答案】（1）1a =-【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得()12f '=， 1a =-； 试题解析：（Ⅰ）()21'af x x x=-,函数()f x 在1x =处的切线平行于直线 20x y -=.()112,1f a a ∴=-=∴=-'.14．【2017陕西省西安市西北工业大学附属中学第八次模拟（理）】已知函数()()1ln t x f x e t x -=-（常数0t >）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y tx =相切，证明： 2t <.【答案】(1) ()f x 的单增区间为()1,+∞，单减区间为()0,1;(2)见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ， ()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；（Ⅱ）设曲线()y f x =与直线y tx =的切点为()()00,x f x ，由00011ln t x tx x +-=，可得()00001ln x t x x x +=+， ()()1ln x r x x x x +=+，其中11,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性可得()()12r x r <=，即2t <.（Ⅱ）证明：设曲线()y f x =与直线y tx =的切点为()()00,x f x ，因为()()11t x f x t ex -⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，所以()()01001t x f x t e t x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'，即()01011t x e x -=+. 因为直线y tx =经过切点()()00,x f x ，所以()()01000ln t x f x e t x tx -=-=， 于是，有00011ln t x tx x +-=，即()00001ln x t x x x +=+.令()()111t x h x e x -=--，则()()1210t x h x te x -+'=>，故()h x 单增，又()110h =-<， 11101t h e t t ⎛⎫+=--> ⎪+⎝⎭，所以()h x 有唯一零点0x ，且011,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭.再令()()1ln x r x x x x +=+，其中11,1x t ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则()()2223ln 10ln x x x r x x x x ----=<+'，故()r x 单减，所以()()12r x r <=，即2t <.。
专题01 集合—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
（D） (0, )
【答案】C 【解析】
试题分析： A {y | y 0}， B {x | 1 x 1}，则 A B （-1，+），选 C.
考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算. 【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基 本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结 合，增大了考查的覆盖面.
6. 【 2017 天 津 ， 理 1 】 设 集 合 A {1, 2, 6}, B {2, 4}, C {x R | 1 x 5} ， 则
(A B) C （ ）
（A）{2} （B）{1, 2, 4} （C）{1, 2, 4, 6} （D）{x R | 1 x 5} 【答案】 B 【解析】 ( A B) C {1，2，4，6} [1，5] {1，2，4} ,选 B.
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是（ ） （A）3
【答案】C
（B）4
（C）5
（D）6
【解析】由题意， A Z {2, 1, 0,1, 2}，故其中的元素个数为 5，选 C.
考点：集合中交集的运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是 结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
2【. 2017 课标 II，理】设集合 1, 2, 4 ， x x2 4x m 0 .若 1 ，则
（）
A.1, 3
B.1, 0
C. 1, 3
D. 1, 5
【答案】C
【 解 析 】 由 1 得 1 B ， 即 x 1 是 方 程 x2 4x m 0 的 根 ， 所 以
三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版分析+Word版含分析-专题07导数应用求函数最值、单调性等
【2017年】1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a ex ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e-'=+-令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减所以()f x 极小值为()111(111)1f e -=--=-，故选A 。
【考点】函数的极值；函数的单调性2.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间． 3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
【答案】(1)1a =；(2)证明略。
【解析】试题解析：（1）()f x 的定义域为()0，+∞。
设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥。
三年高考(2016-2018)数学(文)真题分项版解析专题06导数的几何意义(原卷版)
专业文档珍贵文档考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数的概念与几何意义1.了解导数概念的实际背景2.理解导数的几何意义Ⅱ选择题、填空题★★2.导数的运算1.能根据导数定义求函数y=C(C 为常数),y=x,y=,y=x 2,y=x 3,y=的导数2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数Ⅲ]选择题、解答题本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.2018年高考全景展示1.【2018年新课标I 卷文】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.2．【2018年天津卷文】已知函数f(x)=e xln x ，为f (x)的导函数，则的值为__________．3．【2018年全国卷II 文】曲线在点处的切线方程为__________．4．【2018年天津卷文】设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I ）若求曲线在点处的切线方程；（II ）若，求的极值；（III ）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d 的取值范围.。
完整版导数专题之导数的几何意义答案
导数专题之导数的几何意义1、若存在过点(1,0)的直线与曲线y最值问题综合问题人一rf线与线求参问题 占与占 八、、 J恒成立问题 线与点存在性问题知识结构315X 和y ax2/ 9都相切，则a等于(A1 或-64B .211或亠4C .寸或-642、设a 0, f(x) ax 2 bx c ,曲线 y f(x)在点P(X o , f(X o ))处切线的倾斜角的取值范围为［0,才］,则P 到曲线y f (x)对称轴距离的取值范围为( D )0,1aB. 0,丄2aC . 0, b 2aD .0,b 1 2a3、已知f (x) x 3-3x ,过点P(1,m)可作函数 f (x)的三条切线，则m 的取值范围为(B )(2, 1)B . ( 3, 2)C . ( 1,0)D .(0,1)4、设点 P 在曲线2e x 上，点Q 在曲线yIn(2 x)上，则PQ 最小值为(BA .1 In2、、.2(1 In2)1 In2D . 、. 2(1 ln2) 5、已知函数f (x) g ax 2 (2a 1)x 2l nx(a R)若曲线yf (x)在x 1和的切线互相平行，则【解析】f (x) ax (2a 1) - (x 0). f (1) x f (3)，解得6、设曲线y x n 1(n N *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 X n ,令a nlg X n ,则 a 1 a 2 La gg 的值为—-22lg ^g^cj-.g 98^99- 2 3 99 1007、定义：曲线C 上的点到直线I 的距离的最小值称为曲线 C 到直线I 的距离，已知曲线C1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2： x 2+ (y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a= _________9 、 10 41 — — — — 【解析】曲线C 2 : x 2+(y+4) 2=2到直线l:y=x 的距离为d --------------- \ 22 2 2 2 ,4. 12 121曲线C 1： y=x 2+a 对应函数的导数为 y 2x ,令2x 1得x 3,所以C 1： y=x 2+a 上的点在交点处有共同的切线，求 a 的值和该切线方程;1 a【解析】f (x)-,g (x) -(x 2 Jx x解析：点( 1 , 1)在函数 y x n 1的导函数为y ' (ny x n (n N )的图像上， (1 , 1)x n y '|x 1 n 1 切线是：1 )为切点, y 1 (n1)( x 1)a)，点(丄丄 a)到到直线l:y=x 的距离应为22 414 J 2上占，解12a或9 .a得-(舍去)。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题06导数的几何意义文含解析
专题06导数的几何意义文考纲解读明方向本部分主要是对导数概念及其运算的考查，以导数的运算公式和运算法则为基础，以导数的几何意义为重占八、、-1. 导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等2. 导数的运算是每年必考的内容，一般不单独考查，而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查•3. 本节内容在高考中分值为5分左右，属于容易题•2018年咼考全景展示1. 【2018年新课标I卷文】设函数S：•、-「-丁"] •若；为奇函数，则曲线’在点* 处的切线方程为A. ■- -B. ■—C.D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得I，进而得到’ 的解析式，再对：求导得出切线的斜率：，进而求得切线方程•详解：因为的数fOO是奇函数：所加-1 = 0,解得口= 1,所以= X s +x, f© =3^ + 1,所以f (0) = 17(0) = Q,所汰曲= fa在点处的如訪程为y - /(0)=厂⑼也化简可得F=心故选D-点睛：该题考查的是有关曲线’在某个点. 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2. _________________________________________________________________________________ 【2018年天津卷文】已知函数f(x)=e x ln x,尸⑷ 为f(x)的导函数U广门)的值为___________________________________ .【答案】e详解：由函数的解析式可得:【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力•3 .【2018年全国卷ii文】曲线y = 皿在点°」①处的切线方程为________________ .【答案】y=2x - 2【解析】分析：求导『何= > 可得斜率女=厂⑴二為进而得出切线的点斜式方程一详解：由y = fM = 2lnx t得f(x) =^A则曲线y = 2皿在点(1刀观的切线的斜率为七=厂⑴=L则所求切线方程为y-0 = 2(x-1), BPy = 2x - 2.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理•4 .【2018年天津卷文】设函数' ；，其中''^ ',且是公差为的等差数列(I)若* 1求曲线--■■:在点」处的切线方程；(II )若，求’的极值；(III )若曲线•- 与直线匸一"■■■■'■■有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】(I )x+y=O；( n )极大值为6 ;极小值为-6-;(川)- ◎-小m：卞一【解析】分析：(I)由题意可得f(x)=x3-x, ' =3x2-1，结合f(0)=0，: =-1，可得切线方程为x+y=0. (n)由已知可得： f (x)=x3-3t2x2+(3t 22-9)X- 1 23+9t2.则. =3x2-6t 2x+3t22-9.令=0,解得x= t2-,或x= t2+ .据此可得函数f (x)的极大值为f(t2-・)=6 •；函数极小值为f( t2+ )= -6 .(III )原问题等价于关于x的方程(x-12+d) ( x-t2) ( x-t2-d)+ ( x-t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x-t 2，可得u3+(1-d2) u+6・=0.设函数g(x)= x3+(1 -d2)x+6 ，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x) 的性质可得的取值范围是：-r'"---二—-详解：(I)由已知，可得f(x)=x(x-1)( X+1)=X3-X,故. =3x2-1，因此f(0)=0，=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y-f(O)=；: (x-0)，故所求切线方程为x+y=O.(n)由已知可得3 3 2 2 3f (x)=( x-t 2+3)( x-t 2)( x-t 2-3)=( x-t 2) -9(x-t 2)= x -3t2x +(3t 2 -9) x-12 +9t 2.故. =3x2-6t2x+3t 22-9.令. =0，解得x=t 2—，或x=t2+ .当x变化时，.，f (x)的变化如下表：所以函数f (x)的极大值为f(t2-」)=(-・ )3-9X(--' )=6，;函数f (x)的极小值为f(t2+ )=( )3-9X( • )= -6 .线匸饲与直线严-1日沪氏存有三个互异的公共点等价于关于佬的方有三个互异的实数解，令可得心甌.设函数gt^）=x-亠（1 -用）x亠b V3、则曲线〕=U与直线;r=-I lri:Y\空有三个互异的公共点、等价于函数j =g Lf 有三个零点.0｛小込（1-企当歩勺时，9©）级这时只町在R上单调递増，不合题意・当步沁时,90卜Q，解得vW,茅-A »X 3易得，gw在Lb期）上单调递甕在E底］上单调递减，在2 上单调递増.恥:的极犬值躺）詡—誓〕_gf YT + 6压。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题06导数与函数的零点等综合问题文20171101
专题06 导数与函数的零点等综合问题1.【2014全国1，文12】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则的取值范围是( )()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-【答案】C2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：2(,)x a∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减;2(0)x a∈，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：2()0(0)0f af ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即得：3222()3()10a a a ⨯-+>，可解得：24a >，则2(,2a a ><-舍去）． 考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数()()32113f x x x ax a R =+++∈. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】(1)()22f x x x a '=++,方程220x x a ++=的判别式为44a ∆=-,①当1a ≥时,0∆≤,则()0f x '≥,此时()f x 在R 上是增函数；②当1a <时,方程220x x a ++=的两根分别为11x =-21x =-解不等式220x x a ++>,解得1x <-或1x >-解不等式220x x a ++<,解得11x -<<-此时,函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-和()1-+∞,单调递减区间为(11--；综上所述,当1a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,当1a <时,函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-和()1-+∞,单调递减区间为(11--；(2)()3232000011111111233222f x f x x ax a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅++⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦323200011113222x x a x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20000001111113224222x x x x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20000111236122x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()200011414712122x x x a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭, 若存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,必须2004147120x x a +++=在110,,122⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭上有解, 0a <,()()21416712442480a a ∴∆=-+=->,方程的两根为114784x ---'==214784x -+-'==00x >,02x x '∴==,依题意,01<<,即711,492148121a ∴<-<,即2571212a -<<-,又由7142-=得54a =-,故欲使满足题意的0x 存在,则54a ≠-, 所以,当25557,,124412a ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,存在唯一0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足()012fx f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 当2557,,012412a ⎛⎤⎧⎫⎡⎫∈-∞---⎨⎬ ⎪⎥⎢⎝⎦⎩⎭⎣⎭时,不存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误．利用导数求函数()f x 的单调区间的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间，令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间．3.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．(I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II)()0,+∞ 【解析】试题分析：(I)先求得()()()'12.xf x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.试题解析： (I)()()()()()'12112.x xf x x e a x x e a =-+-=-+(i)设0a ≥,则当(),1x ∈-∞时,()'0f x <；当()1,x ∈+∞时,()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增.当()()ln 2,1x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在()()ln 2,1a -单调递减.③若2ea <-,则()21ln a ->,故当()()(),1l n2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.(II)(i)设0a >,则由(I)知,()f x 在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，,取b 满足b <0且ln 22b a<, 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭,所以()f x 有两个零点.(ii)设a =0,则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.(iii)设a <0,若2ea ≥-,则由(I)知,()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时,()f x <0,故()f x 不存在两个零点；若2ea <-,则由(I)知,()f x 在()()1,ln 2a -单调递减,在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0,故()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为()0,+∞. 考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.4.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点．由（2）得函数()f x 的最小值，再对的取值范围进行讨论确定()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ，当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x ax x a x x f ,2)12(,12)(22对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==.(i)当2=a 时，2)2()(min -==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f令()40f x x +=，即xx f 4)(-=（0x >）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．5. 【 2014湖南文21】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<. 【答案】(1) 单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈,单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(2)详见解析(2)利用(1)问的结果可知函数()f x 在区间()0,π上是单调递减的,即()f x 在区间()0,π上至多一个零点,根据正余弦的函数值可得1022f x ππ⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭,再根据()f x 在区间上()(),1n n ππ+单调性和函数()f x 在区间()(),1n n ππ+端点处函数值异号可得函数()f x 在区间()(),1n n ππ+上有且只有一个零点,即()()122222111111n n n x n x n n ππππ++<<+⇒<<+,则依次讨论1,2,3n n n ==≥利用放缩法即可证明2221211123n x x x +++<. 试题解析:数()f x 求导可得()()'cos sin cos sin 0f x x x x x x x x =--=->,令()'0f x =可得()*x k k N π=∈,当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时,sin 0x >.此时()'0f x <;当()()()()21,22*x k k k N ππ∈++∈时,sin 0x <,此时()'0f x >, 故函数()f x 的单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈,单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(2)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减,又02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12x π=, 当*n N ∈时,因为()()()()()()11111110nn f n fn n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦,且函数()f x 的图像是连续不断的,所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点,又()f x 在区间()(),1n n ππ+上是单调的,故()11n n x n ππ+<<+,因此, 当1n =时,2211423x π=<;当2n =时,()222121112413x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()222221231111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭, 综上所述,对一切的*n N ∈,2221211123n x x x +++<. 【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域．2．利用单调性求最值时不要忽视f′(x)＝0的情况．3．“f′(x 0)＝0”是“函数f(x)在x 0取到极值”的必要条件．6.【2014四川，文21】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数。
三年高考()高考数学试题分项版解析 专题03 导数的几何意义与运算 文
专题03 导数的几何意义与运算1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年月日 12 350002015年月15日 48 35600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．升B ．升C ．10升D ．12升【答案】B【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）321122y x x x =-- （B ）3211322y x x x =+- （C ）314y x x =- （D ）3211242y x x x =+-【答案】A【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为32()y f x ax bx cx ==++，则2()32y f x ax bx c ''==++，由题得：(0)1f '=-，(2)0f =，(2)3f '=即184201243c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以321122y x x x =--，故选A . 考点：函数的解析式.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解析式等知识，属于难题.解题时要认真理解题意，“一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲 路段为某三次函数图像的一部分”，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语言转化为数学语言，(0)1f '=-，(2)0f =，(2)3f '=，从而确定出参数,,a b c3.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)【答案】A()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又与2l 的交点为221111112222111121121,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭Q ，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．4.【2017课标1，文14】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00y x P 及斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：))(('000x x x f y y -=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．5.【2017天津，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .【答案】【解析】试题分析：(1)f a =，切点为(1,)a ，1()f x a x'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a a x -=--，令0x =得出1y =，在y 轴的截距为.【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线的斜率．相应地，切线方程为()()000y y f x x x '-=-．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.6.【2014高考广东卷.文.11】曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________. 【答案】52y x =--或520x y ++=.【解析】53x y e =-+Q ,5x y e '∴=-,故所求的切线的斜率为055k e =-=-,故所求的切线的方程为()25y x --=-,即52y x =--或520x y ++=.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,2-处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．7. 2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】2y x =考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．8. 【2015高考陕西，文15】函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=- 【解析】()()(1)x x y f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e -=-函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-【考点定位】：导数的几何意义. 【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 9.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .【答案】1考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.10. 【2014，安徽文15】若直线与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线的两侧，则称直线在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =【答案】①③④，【解析】试题分析：由题意，①3y x =上在()0,0P 处的切线方程为0x =，曲线C 在P 附近位于切线的两侧，满足条件；②2)1(+=x y 上在()1,0P -处的切线方程为0x =，曲线C 在P 附近位于切线的同侧，不满足条件；③x y sin =上在()0,0P 处的切线方程为y x =，曲线C 在P 附近位于切线的两侧，满足条件；④x y tan =上在()0,0P 处的切线方程为y x =，曲线C 在P 附近位于切线的两侧，满足条件；⑤x y ln =上在()1,0P 处的切线方程为1y x =-，曲线C 在P 附近位于切线的同侧，不满足条件，故选①③④，如下图：考点：1，函数的切线方程；2，对定义的理解，【名师点睛】对于函数新定义的创新题，要紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000'()()y y f x x x -=-.11. 【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．【答案】3【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.12. 【2015新课标2文16】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R ., (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(I)390x y --=,（2）(II)⑴0a =无极值；⑵0a <极大值为31sin 6a a --,极小值为a -；⑶0a >极大值为a -,极小值为31sin 6a a --. 【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由()()(sin )g x x a x x '=--,通过讨论确定()g x 单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（I ）由题意'2()f x x ax =-，所以，当2a =时，(3)0f =，'2()2f x x x =-，所以'(3)3f =，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，即390x y --=.（II ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以''()()cos ()sin cos g x f x x x a x x =+---， ()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--令()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =->，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <.所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.（2）当0a =时，'()(sin )g x x x x =-，当(,)x ∈-∞+∞时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；所以，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.（3）当0a >时，'()()(sin )g x x a x x =--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，'()0g x >，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，'()0g x <，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，'()0g x >，()g x 单调递增.所以，当0x =时，()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；当x a =时，()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--. 综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-.当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--. 【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．14.【2017北京，文20】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()y f x =的单调性，求得最值.15.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞【解析】试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x，(1)2,(1)0.'=-=f f 所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ， 则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得22121(1)1,1(1)1=---=---x a a x a a 由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，的取值范围是(],2.-∞考点： 导数的几何意义，函数的单调性.【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．16.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线 在点(1,(1))f 处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值.【答案】（I ）1a = ；(II) 1k = ；(III) 24e . 【解析】设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时，()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln8110,h e e=-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =. 因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增.所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩. 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减；可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <. 综上可得函数()m x 的最大值为24e.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II ）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.其次是根据（II ）的结论，确定得到()m x 的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥. 17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分） 已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()yf x =在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐标为2-.（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当1k<时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【解析】：（Ⅰ）2'(x)3x 6x a f =-+，'(0)f a =．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为y 2ax =+．由题设得，22a-=-，所以1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，32()32f x x x x =-++．设32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+．由题设得1k 0->．当0x ≤时，2'()3610g x x x k =-+->，g()x 单调递增，g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1k)x ()g x h x h x =+->．2'()3x h x =-63(x 2)x x =-，()h x 在(0,2)单调递减；在(2,)+∞单调递增.所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【考点定位】1. 利用导数研究曲线上某点切线方程；2. 利用导数研究函数图象的交点． 【名师点睛】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，属于难题，第二问，需将两个函数交点个数的问题转化为一个函数的零的个数问题来加以研究．要求学生有较强的推理能力和计算能力． 18.【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;（III ）见解析. 【解析】试题解析：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 19.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值. 【答案】（Ⅰ）54a =；（Ⅱ）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()=f x 极小()5ln5f =-【解析】试题解析：解：（Ⅰ）对()f x 求导得()2114a f x x x'=--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =知()32,4f x a '=--=-解得54a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知53()ln 442x f x x x =+--，则()22215145,444x x f x x x x --'=--= 令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞内，故舍去. 当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数；由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-.考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.【名师点睛】本题考查了导数的求法，导数的几何意义，导数在研究函数性质中的应用，属于中档题，准确应用导数公式及导数的运算法则是关键．20.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调区间;（II ）设曲线()y f x =与轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;（II ）见试题解析;（III ）见试题解析. 【解析】根为2x ' ,可得132412ax '=-+,由()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,得()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '= ,由()4h x x = 在在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,可得11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .试题解析:（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x ¢=-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数,都有()()f x g x £.（III ）由（II ）知()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,设方程()g x a = 的根为2x ' ,可得132412a x '=-+,因为()g x 在(),-∞+∞ 单调递减,又由（II ）知()()()222g x f x a g x '≥== ,所以22x x '≤ .类似的,设曲线()y f x = 在原点处的切线为(),y h x = 可得()4h x x = ,对任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤ 即()()f x h x ≤ .设方程()h x a = 的根为1x ' ,可得14ax '=,因为()4h x x = 在(),-∞+∞ 单调递增,且()()()111h x a f x h x '==≤ ,因此,11,x x '≤ 所以13212143ax x x x ''-≤-=-+ .【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.。
三年高考20152017数学理试题分项版分析Word版含分析专题07导数应用求函数最值单调性等
【2017年】1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 【答案】A 【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a e x ax e x a x a e ---'=+++-=+++- 因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)x f x x x e -=--，故21()(2)x f x x x e -'=+- 令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增，在(2,1)-单调递减所以()f x 极小值为()111(111)1f e -=--=-，故选A 。
【考点】函数的极值；函数的单调性 2.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('x f 的正负，得出原函数)(x f 的单调区间．3.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<。
【答案】(1)1a =；(2)证明略。
【解析】试题解析：（1）()f x 的定义域为()0，+∞。
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1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,x y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PAB A B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.3.【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <错误！未找到引用源。
时，()ln()3f x x x =-+错误！未找到引用源。
，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______________．【答案】21y x =--【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．4.【2014广东理10】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .【答案】53y x =-+或530x y +-=.【解析】55x y e -'=-，所求切线的斜率为55y e =-=-，故所求切线的方程为35y x -=-，即53y x =-+或530x y +-=.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点()0,3处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．5.【2014江苏理11】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,2,a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-． 【考点定位】导数与切线斜率．6.【2017山东，理20】已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数得斜率()2f ππ'=，由点斜式写出直线方程.试题解析：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为 ()()222y x πππ--=-，即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )x h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m = 所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <(1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.③当1a >时，ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.力、基本计算能力、分类讨论思想等。
7.【2017北京，理19】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式()()()000y f f x '-=-；（Ⅱ）设()()h x f x '=，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调减求函数的最大值()00h =，可以知道()()0h x f x '=≤恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为()f x '不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '= ，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()h x '恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，根据单调性求最值，从而判断()yf x =的单调性，求得最值.8.【2016年高考北京理数】（本小题13分）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.【解析】的单调区间。