人教版26.1.4二次函数的图像
九年级下册数学概念
人教版数学九年级下册第二十六章二次函数 (1)26．1 二次函数及其图像 (1)26．2 用函数观点看一元二次方程 (6)26．3 实际问题与二次函数 (6)第二十七章相似 (6)27．1 图形的相似 (6)27．2 相似三角形 (7)27．3 位似 (7)第二十八章锐角三角函数 (8)28．1 锐角三角函数 (8)28．2 解直角三角形 (10)第二十九章投影与视图 (12)29．1 投影 (12)29．2 三视图 (12)第二十六章二次函数26．1二次函数及其图像二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ；顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x -x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
二次函数的图像和性质PPT课件
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线y .
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像 o
x
都是抛物线.
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x² (3) y=x²+6 (4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条__直__线_， (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图
像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
二次函数的图像和性质PPT课 件
创设情境，导入新课
问题：
上面的图片都是二次函数的图片， 与我们生活密切相关
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
二次函数的图像课件
二次函数可以描述物体在自由落体中的运动和抛体的轨迹。
经济学
二次函数用来建模成本、收益和市场需求曲线等经济现象。
工程学
二次函数可以应用于建筑设计、电子电路和机械运动等领域。
1
顶点坐标
顶点坐标(h, k)是二次函数图像的最低或最高点。
2
开口方向
二次函数的a值决定了图像是开口向上还是向下。
3
对称轴
对称轴是通过顶点的一条垂直线，它将图像分成两个对称部分。
二次函数的图像特点
平滑曲线
二次函数图像是一条光滑的 曲线，没有突变或间断。
变化率
图像的斜率反映了函数在不 同点上的变化速度。
极值点
通过移动顶点，我们可以使 二次函数图像的最低点或最 高点达到所需的位置。
二次函数的平移变换
1
垂直平移
2
通过添加或减去一个常数，我们可以上
下移动二次函数图像。
3
水平平移
通过添加或减去一个常数，我们可以左 右移动二次函数图像。
变化顶点
平移可以使图像的顶点移动到新的位置， 改变函数的最低或最高点。
二次函数的图像课件
欢迎来到本课件！在这里，我们将深入探讨二次函数的有趣且迷人的图像特 性，帮助您了解这个重要的数学概念。
二次函数的定义
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不 等于0。
二次函数的标准形式
二次函数的标准形式是f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是顶点坐标。
二次函数的缩放变换
水平缩放
通过改变a的值，我们可以拉伸或压缩二次函数图像 的水平方向。
人教26.1二次函数图象及其性质
二次函数○引：二次函数：一般地，形如y=ax ²+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数，叫二次函数，其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.○一：y=ax ²的图像及其性质 用描点法画出y=x ²的图像，（描点法三步骤：列表，描点，连线.分别注意，自变量的取值范围，坐标的表示，按横坐标的顺序把各点用平滑的曲线连接起来）.同样的，用描点法画出y=-x ²的图像. 观察图像可理解“抛物线”的概念，同时图像具有对称性，（由于点（m ，m ²）和它关于y 轴的对称点（-m ，m ²）都在抛物线y=x ²上，所以抛物线y=x ²关于y 轴对称）最高点或最低点，即抛物线和对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x ²与抛物线y=-x ²关于x 轴对称.再在抛物线y=x ²所在坐标系中画出函数y=½x ²的图像与函数y=2x ²的图像，比较共同点和不同点发现，开口都向上，顶点都是原点，但x ²的系数越大，抛物线的开口反而越小. 在抛物线y=-x ²所在坐标系中画出函数y=-½x ²的图像与函数y=-2x ²的图像，比较共同点和不同点发现，开口都向下，顶点都是原点，但x ²的系数越大，抛物线的开口越大.总结：一般地，抛物线y=ax ²的对称轴是y 轴，顶点是原点.a 的值互为相反数时，两条抛物线关于x 轴对称.（因为抛物线y=ax ²上的点（x ，x ²）与抛物线y=-x ²上的点（-x ，x ²）是关于x 轴对称的）|a|的绝对值相同，y=ax ²的形状相同.○二：y=a （x-h ）²+k 的图像及其性质（1）y=ax ²+k 的图像用描点法在同一坐标系中画出y=x ²+1和y=x ²-1的图像，写出抛物线的开口方向、顶点和对称轴，对比y=x ²的图像、解析式、函数对应数值表、位置、形状等找出他们之间的关系. 可以发现把y=x ²向上平移一个单位就的到抛物线y=x ²+1，向下平移一个单位得到抛物线y=x ²-1.抛物线的形状相同，对称轴相同（顶点横坐标相同），顶点不同表示成（0，k ）与k 有关（抛物线y=x ²上的点是（x ，x ²），将各个点纵坐标的数值＋1即（x ，x ²+1），形成相应的新抛物线y=x ²+1就是将抛物线y=x ²向上平移一个单位）把抛物线y=2x ²向上平移5个单位，得到y=2x ²+5的图像. 总结：抛物线y=ax ²+k 的图像可由y=ax ²的图像上下平移得到，（上+下-）（增减性讨论同上）a ＞0时：抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，除顶点外图像都在x 轴上方. a ＜0时：抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，除顶点外图像都在x 轴下方.x<0时，y 随x 的增大而减小 x>0时，y 随x 的增大而增大x<0时，y 随x 的增大而增大 x>0时，y 随x 的增大而减小|a|的绝对值越大，抛物线的开口越小.k>0时，向上平移k 个单位长度 k<0时，向下平移|k|个单位长度.a>0时，开口向上;有最低点(0,k)，当x=0时y 最小值=k ，图像在x 轴上方，与x 轴无交点a<0时，开口向下;有最高点(0,k)，当x=0时y 最大值=k ，图像与x 轴有两个交点 a>0时，开口向上;有最低点(0,k)，当x=0时y 最小值=k ，图像与x 轴有两个交点a<0时，开口向下;有最高点(0,k)，当x=0时y 最大值=k ，图像在x 轴上方，与x 轴无交点（2）y=a （x-h ）²的图像用描点法在同一坐标系中画出y=½（x+1）²和y=½（x-1）²的图像，写出抛物线的开口方向、顶点和对称轴，对比y=½x ²的图像、解析式、函数对应数值表、位置、形状等找出他们之间的关系.可以发现把y=½x ²水平向左平移一个单位就的到抛物线y=½（x+1）²，水平向右平移一个单位得到抛物线y=½（x-1）².抛物线的形状相同，对称轴发生变化x=h ，与h 有关，顶点不同，但顶点纵坐标都为0，可表示为（h ，0），（对称轴是经过点（h ，0）且与x 轴垂直的直线，这条直线上的所有点横坐标都是h ，因此记作x=h ）总结：抛物线y=a （x-h ）²的图像可由y=ax ²的图像左右平移得到，（增减性讨论同上）h>0时，向右平移，h 个单位长度，h<0，向左平移|h|个单位长度（左+右-）.a>0时，开口向上，图象除顶点外在x 轴上方，a<0时，开口向下，图象除顶点外在x 轴下方.对称轴是直线x=h,顶点（h ，0）.注意：y=x ²-2与y=（x-2）²平移成y=x ²的区别.（3）y=a （x-h ）²+k 的图像由以上经验，显然，y=a （x-h ）²+k 可以由y=ax ²图像平移得到，平移方法“左加右减，上加下减”.先水平或先垂直均可.（矩形ABCD ，从A 到C 的路径，AB+BC 与AD+DC 相同） 总结：一般地，抛物线y=a （x-h ）²+k 与y=ax ²形状相同，位置不同，把抛物线y=ax ²平移后可以得到抛物线y=a （x-h ）²+k ，平移的方向、距离由h ，k 来决定.当a>0时， h ＞0 顶点在第一象限 开口向上， k ＞0，抛物线在x 轴上方 h ＜0 顶点在第二象限 函数图象有最高点， k ＜0，抛物线与x 轴有两个交点 h ＞0 顶点在第四象限 函数有最大值 h ＜0 顶点在第三象限 当a<0时， h ＞0 顶点在第一象限 开口向下， k ＞0，抛物线与x 轴有两个交点 h ＜0 顶点在第二象限 函数图象有最高点， k ＜0，抛物线在x 轴下方 h ＞0 顶点在第四象限 函数有最大值 h ＜0 顶点在第三象限 对称轴是直线x=h ，顶点坐标（h ，k ）○三：y=ax ²+bx+c 的图像及其性质画法分三步：第一，用配方法将一般式转化成y=a （x-h ）²+k 的形式：222222244)2(])2()2([)(ab ac ab x a ac ab ab x a b x a ac x ab x ac bx ax y -++=+-++=++=++=第二，确定抛物线开口方向、对称轴和顶点 a 决定开口方向和开口大小，对称轴x=ab 2-，顶点（ab 2-，ab ac 442-），第三，利用对称性描点画图.(正确找到对称轴)平移步骤：先把二次函数转化成y=a （x-h ）²+k 的形式，确定其顶点（h ，k ）；并将抛物线进行平移。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍 二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二 次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点 和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。 图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可 以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解 析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况， 进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达 方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。
26.1.4二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
a<0,向下 X=0
(0,0)
y=ax² + k
a>0,向上 X=0
(0,k)
a<0,向下 X=0
(0,k)
y=a(xh)2
a>0,向上 X=h
(h,0)
a<0,向下 X=h
(h,0)
总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
3．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2 个单位后，得到的抛物线解析式为 ____________． 4．写出一个顶点是（5，0），形状 、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同 的 二 次 函 数 解 析 式 ___________________________
小结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
h 个单位.
(2)抛物线 y a( x h) 的性质：
2
① a 0 时,开口向上； 0 时，开口向下； a ②对称轴是：直线 ③顶点坐标是 ：
x h；
(h,0)
(3)对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小完全 相同，只是开口方向和位置不同
函数y＝a（x-h）2的图像和性质
黄梅县八角亭中学九年级数学组
复习:
在的图象,
2
比较它们与二次函数 y x 的图象之 间有怎样的关系?
2
抛物线
开口方向 a>o a<o 向下
对称轴 顶点坐标 X=0 X=0 （0，0）
26.1.4二次函数 的图象
26.1.4二次函数2y ax bx c =++的图象九年级下册 编号07【学习目标】1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2的图象．【学习过程】 一、知识链接：1.抛物线()2231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y有最值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②52212++=x x y ③c bx ax y ++=2（5）归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=（二）、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）（3）描点，并连线：（4）观察：①图象有最 点，即x =时，y 有最 值是 ；②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答
九年级数学下册 26.1二次函数及其图象 二次函数与物理的关系素材 新人教版-新人教版初中九年级下册
word
1 / 1 二次函数与物理的关系
二次函数是数学中很重要的一部分，与物理有相当密切的关系.
一、 直线等加速运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为S ＝vt ，而在直线等加速运动（即通常所说的加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用S 表示距离（米），用0v 表示初始速度（米／秒），用t 表示时间（秒），用a 表示每秒增加的速度（米／秒）.那么直线等加速运动位移的公式是：
S ＝20at t v
就是说，在初始速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数二次函数.
二、 自由落体位移
我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的速度为9.8米／秒，我们用g 表示.
自由落体位移的公式为：S ＝2gt
就是说，在初始速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的二次函数.
三、 动能
现在我们来看另一方面的问题.我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关.比如说，以个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易.这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大.
我们用E 表示物体具有的动能（焦耳），m 表示物体的质量（千克），用v 表示物体的速度（米／秒），那么计算物体动能的公式就是：E ＝2mv
就是说，动能E 是物体的质量m 的二次函数.
另外，通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值X 围的要求大部分都是要求该数值大于等于0，所以图象大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在第一象限.还有，物理学上用到的公式，一般很少有常数项.。
《二次函数的图像》课件
U形抛物线
当二次项系数 a > 0 时，函数图像呈现为U形抛物线，开 口向上。
倒U形抛物线
当二次项系数 a < 0 时，函数图像呈现为倒U形抛物线， 开口向下。
二次函数图像的参数
通过改变二次函数的参数 a、b、c，可以调整图像的位置、形状和大小。
2
表Hale Waihona Puke 式和图像特点掌握二次函数的标准形式、顶点、对称轴等图像特点。
3
回顾知识点和技巧
复习重要知识点和解题技巧，巩固对二次函数的理解。
结束语
1 鼓励继续学习
鼓励学生继续学习数学知识，深入理解二次函数及其应用。
2 提供建议和资源
提供实用的学习建议和资源，帮助学生进一步提升数学能力。
3 感谢参与和学习
感谢学生对本次课程的参与和学习，祝愿他们在数学学习中取得更大的成就。
1
a 的影响
改变 a 的值将扩大或压缩抛物线的形状，同时改变开口方向。
2
b 的影响
改变 b 的值将使抛物线水平平移，改变对称轴的位置。
3
c 的影响
改变 c 的值将使抛物线垂直平移，改变顶点的位置。
练习与应用
通过绘制二次函数图像的练习题，帮助学生巩固对二次函数图像的理解。同时介绍二次函数在物 理学和经济学中的实际应用。
二次函数图像呈现为抛物线形状，具有顶点、对称轴和开口方向。它的图像可以是开口向上或开 口向下，取决于二次项系数 a 的正负。
顶点
抛物线的最高点或最低点，对应函数的最小值或最大值。
对称轴
抛物线的中心线，对称地分割抛物线。
开口方向
人教版二次函数的图像和性质ppt课件
2 y 3x2
1.5 1
0.5
a＞0
-2
-1
-0.5
（0，-1）
-1
y
1
3x
2
1
2
(3)在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
4 23（0，2）
7
6
y 2x2 1
5
4
3
2
y 2x2
1
你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性 质吗?
完成填空：
当x__﹤__0__时，函数值y随x的增大而减小；当x_﹥___0__时， 函数值y随x的增大而增大，当x______=时0，函数取得最 _____小_值，最____小__值y＝____1__．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
7
6
y 2x2 1
5
4
3
2
y 2x2
1
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
人教版九年级数学26.1.2_二次函数图象(1)
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
,y=x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 y = − x2 2
y =−2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, a>0时 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 越大 越大, 顶点是抛物线的最低点,a越大 抛物线的开口越小
1 2 y= x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 y=－ 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 y= :(1)列表 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … (2)描点 (2)描点
y= -
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y= 2x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
(3) 连线 函数y= 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 与函数y=x 图中虚线图形) 的图像相比, 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 和不同点? 共同点：开口向上; 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－ y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
26.1二次函数图象和性质(3)
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小; o |a|越小,抛物线的开口越大; (3) a>0时, 在y轴左侧,y随x的增大而减 小,在y轴右侧,y随x增大而增大; a<0时, 在y轴左侧,y随x的增大而增 大,在y轴右侧,y随x增大而减少;
2
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向右平移;二次函数 y (x 6) 请回答下列问题: 2 1 2 y 的图象作怎样的平移变换得 x 1. 把函数 2 1 2 到函数 y 的图象 . (x 6) 2
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
画出二次函数 虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解: 先列表 x … -3 -2 -1 0 描点
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 y ( x 、 1) 2 y ( x 的图像 1) 2 ,并考 2 2
1 2 y (x 6) 2.说出函数 的图象的顶点坐标和对 2
称轴.并说
如果反过 来,如何表述?
明x取何值时，函数取最大值？
1 2 向右平移 1 y x y (x 6)2 6个单位 2 2 1 2 y (x 6) 抛物线 顶点是(6,0),对称轴是直线x=6. 2
新人教版九年级数学上册 二次函数 的图像和性质
∵这段抛物线经过点(3,0)
4y
解得: 因此抛物线的解析式为:
3 2
1 x
O 1234
02:05
答:水管长应为2.25m.
牛刀小试
C C D
02:05
灵活变通
y 1 (x 2)2 3 2
想一想
02:05
求二次函数解析式时，一定要根据题目的已知条件，正确设出 解析式，再用待定系数法求出待定系数，从而求出函数解析式.
02:05
上式恒成立.
02:05
y
C
O Ax
M B
02:05
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管. 在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在 与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
02:05
y 2(x 2)2 2
3.学会运用函数知识解决问题的基本方法.
02:05
在数学的天地里，重要的并不是我们已经知道了 什么，而是我们该怎样去知道什么！
－－－－毕达哥拉斯
再见！
02:05
02:05
1.它们具有相同的开口方向、开口大小.
3.一定条件下互相可以转化. 左右平移
上下平移
左右平移
02:05
上下平移
二次函数
开口方向
向上 向下
向上 向下
对称轴
顶点坐标
( 1 , －2) ( 30平移7个单位.
答：不能，因为它们形状虽然相同，但开口方向相反.
1.开口：具有相同的开口方向、开口大小，只是位置不同.
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函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的 增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在 对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (1)位置不同 (2)顶点不同 (3)对称轴不同 (4)最值不同 3.联系: y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成将 y=ax² 的图象经过特定的平移后得到.
y=ax2+bx+c(a<0)
2 b 4 ac b 2a , 4a b 直线 x 2a
位置
开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 2a 时 , 最小值为 4 ac b 4a
2 2
2 2
x 对称轴：
-
b 2a
顶点坐标：
（b 2a
b 4 ac b a x . 2a 4a
，
4 ac-b 4a
2
）
函数y=ax2+bx+c的顶点式
b 4 ac b y a x . 2a 4a
2 2
4 ac - b （， ） 2a 4a
的图象呢? 能否转化为 上一节课所 学知识？
解： y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x 6 x 21
2
提取二次项系数 配方 整理
x x
2
12 x 42
2
12 x 36 36 42
2
x 6
x 6
6
顶点式
化简:去掉中括号
2
3.
直接画函数
∵a=
1 2
y
1 2
x 6 x 21
2
的图象
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. >0,
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
顶点坐标:(6,3).
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
x
y 1 2
…
2
3 7.5
4 5
5 3.5
6 3
7 3.5
8 5
9 7.5
b
2
快速反应：根据公式确定下列抛物线的对称轴和顶点 坐标。
1. y=-x2-2x 2. y=-2x2+8x-8
直线x=-1（-1,1）
直线x=2 （2,0）
3.（选作）火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与 时间 t (s) 的关系为h = - 5 t ²+ 150 t +10 经过多长时 间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象
你准备好了吗？
函数表达式
y ax
y ax
2
开口 方向
增减性
对称轴
顶点坐标
( 0 ,0 )
2
c
2
y a x h
2
y a x h k
a>0,在对称轴 y 轴 ( 直线 x 0 ) 左侧,y都随x a>0, 的增大而减小, 开口 在对称轴右 y 轴 ( 直线 x 0 ) 向上; 侧,y都随 x的 增大而增大.; 直线 x h a<0,在对称轴 a<0, 左侧,y都随x 开口 的增大而增大, 直线 x h 向下. 在对称轴右 侧,y都随 x的 增大而减小 .
(0, c )
( h ,0 )
(h, k )
你知道吗？
中国人的飞天梦想又一次勇敢起航啦 ！
北京时间 2011年9月29日 晚21时16分， 中国在酒泉卫 星发射中心载 人航天发射场， 用“长征二号 F”T1运载火箭， 将中国全新研 制的首个目标 飞行器“天宫 一号”发射升 空。
你知道吗？ 当一枚火箭被竖直向上发射时,它的 高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以 用公式 h = - 5 t ² + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最 x a a
b
b 4 ac b y a x . 2a 4a
2
2
c b b x a a 2a 2a 2 2 b 4 ac b 2 2a 4a
答：经过15秒，火箭到达最高点，起最大高度为11350米。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线
顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0)
2 b 4 ac b 2a , 4a b 直线 x 2a
作业
P14 习题26.1 第6题
衷心感谢
亲爱的老师和同学们！
祝福您们开心每一天！
1. y 3 x 2 x
2
2. y
1 2
1 1 y 3 x 3 3
2
x - 4x 3
2
y
1 2
x 4
2
-5
函数y=ax2+bx+c的顶点式
用配方法求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
y ax
a
2
2 a x a x
… …
x 6
3
…
直接画函数
y
1 2
x 6 x 21
2
的图象
2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 图像. 2 问题： 1
1
y
x 6 x 21
2
2
1.看图像说说抛物线
y 1 2 x 6 x 21
2
的增减性。
● ●
2.怎样平移抛物线
y 1 2 x
2
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 2a 时 , 最大值为 4 ac b 4a
2
增减性
最值
全堂小结
1.本节课你的最大感受是什么？ 2.根据本节课的学习，你能说出二次 函数y=ax2与y=ax2+bx+c相同点、不 同点以及联系吗？
2
5
● ● ● ●
●
（6,3）
可以得到抛物线
y 1 2 x 6 x 21 ？
2
O
5
10
x
你学会了吗？
研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到 对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)² +k的形式，然后确定抛 物线的开口方向、对称轴和顶点。 练习： 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
今天我们继续学习： 二次函数的一般形式y=ax2+bx+c的图象
直接画函数
线
y 1 2 x
2
y
1 2
x 6 x 21
2
的图象
1 x 6 x 21
2
我们知道,作出二次函数
y
1 2
x
2
的图象,通过平移抛物
y
是可以得到二次函数
y 1 2
的图象.
应该在什么位置作出函数
2 2 x 6 x 21