八年级数学上册第十二章全等三角形122三角形全等的判定第2课时三角形全等的判定SAS同步训练57
八年级数学上册 第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第2课时“边角边”11-15 (2)
证明：∠B=∠E 相等的两个角同加或同减，
A
得证到明相：等∵的∠对B应A角D=∠EAC
∴ ∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC
D
C
即∠BAC=∠DAE
B
E 在△ABC与△ADE中，
AB=AE
∠BAC=∠DAE
AD=AC
∴△ABC≌△AED 优∴质课∠件 B=∠E
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5
即时通讯
6
7
1
4、如图，AB平分∠DAC，要用SAS条件确定 △ABC≌△ADB,还需要有什么条件？
C
AC=AD
B A
寻找相等的对应角
D
角平分线
寻找相等的对应边
公共边
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2Байду номын сангаас
全品P25 8题、9题
证明线段相等---先证明三角形全等（SAS)
寻找相等的对应角 根据平行线的性质 （内错角相等、同位角相等） 直角三角形（直角）
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3
1、边边边公理、边角边公理—夹角
2、转化思想
证线段位置关系 （垂直、平行） 角平分线
角相等
证三角 形全等
求角度数、数量关系
线段相等
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SSS SAS
4
寻找对应相等的边：公共边、中点或 中线、通过计算（同加或同减）、做 辅助线（构造公共边等）
寻找对应相等的角：公共角、角平分 线平分角、直角或垂直（90°）、平 行线性质、通过计算（同加或同减）
八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定教案(新版)新人教版
八年级数学上册第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定教案（新版）新人教版教学内容本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS）•及利用全等三角形的判定进行证明．教学目标1．知识与技能了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．2．过程与方法经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．3．情感、态度与价值观培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．重点与难点重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．教具准备一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．图1 图2教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．教学过程一、设疑求解，操作感知【教师活动】（出示教具）问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，•你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1•的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，•剪下模板就可去割玻璃了．【理论认知】如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．•反之，如果△ABC 与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：•只要两个三角形三条边对应相等，就可以保证这两个三角形全等．【作图验证】（用直尺和圆规）先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如教材图12．2-2所示）画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，B′C′=BC.1．画线段取B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧交于点A′；3．连接线段A′B′、A′C′．【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．二、范例点击，应用所学【例1】如教材图12．2─3所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC的中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．（教师板书）【教师活动】分析例1，要证明△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中,AB=AC,AD=AD,BD=CD,∴△ABD≌△ACD（SSS）．【评析】符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”；从例1可以看出，•证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．书写中注意对应顶点要写在对应位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写．三、实践应用，合作学习【问题思考】已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在直线上，AD=FB（如图所示），要用“边边边”证明△ABC≌△FDE除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．【学生活动】先独立思考后，再发言：“还应该有AB=FD，只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD．”【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动．四、随堂练习，巩固深化1、教材P37练习1，2．2、如图所示，AB=DF，AC=DE，BE=CF，BC与EF相等吗？•你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．（BC=EF，△ABC≌△DFE）五、课堂总结，发展潜能1．全等三角形的性质是什么？2．正确地判断出全等三角形的对应边、对应角，•利用全等三角形处理问题的基础，你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法？3．“边边边”判定法告诉我们什么呢？•（答：只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性）12.2 三角形全等的判定（第2课时）教学目标1．知识与技能领会“边角边”判定两个三角形全等的方法．2．过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题．3．情感、态度与价值观培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值．重点与难点重点：会用“边角边”证明两个三角形全等．难点：应用结合法的格式表达问题．教具准备投影仪、直尺、圆规．教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受．教学过程一、回顾交流，操作分析【动手画图】【投影】作一个角等于已知角．【学生活动】动手用直尺、圆规画图．已知：∠AOB．求作：∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB．【作法】（1）作射线O1A1；（2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA•于点C，•交OB于点D；（3）以点O1为圆心，以OC长为半径画弧，交O1A1于点C1；（4）以点C1为圆心，以CD•长为半径画弧，交前面的弧于点D1；（5）过点D1作射线O1B1，∠A1O1B1就是所求的角．【导入课题】教师叙述：请同学们连接CD、C1D1，回忆作图过程，分析△COD和△C1O1D1•中相等的条件．【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：OD=O1D1，OC=O1C1，∠COD=∠C1O1D1，△COD≌△C1O1D1．归纳出规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS•”）．【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力．【媒体使用】投影显示作法．【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识．二、范例点击，应用新知【例2】如教材图12．2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，•使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？【教师活动】操作投影仪，显示例2，分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．在△ABC和△DEC中，CA=CD，CB=CE，如果能得出∠1=∠2，△ABC和△DEC•就全等了．证明：在△ABC和△DEC中，AC=DC，∠1=∠2，BC=CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE.想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB=DE的依据是什么？（全等三角形对应边相等）【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书写．【媒体使用】投影显示例2．【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与．【评析】证明两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．三、辨析理解，正确掌握【问题探究】（投影显示）我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质．操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，•使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（教材图12．2-7），出现一个现象：△ABC与△ABD满足两边及其中一边的对角相等，但△ABC与△ABD不全等．这说明，•有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆规实验一次，做法如下：（如图所示）（1）画∠ABT；（2）以A为圆心，以适当长为半径，画弧，交BT于C、C′；（3）连接AC，AC′，△ABC与△ABC′不全等．【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．【教学形式】观察、操作、感知，互动交流．四、课堂总结，发展潜能1．请你叙述“边角边”定理．2．证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，•观察已经具备了什么条件，然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等．12.2 三角形全等的判定（第3课时）教学内容本节课的主要内容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS）及利用全等三角形的判定进行证明．教学目标⑴理解并掌握全等三角形的判定方法3（ASA）及其推论（AAS）；⑵会运用ASA（AAS）判定两个三角形全等；⑶进一步学会运用全等三角形证明线段、角相等的思想方法.重点与难点1．重点：应用“角边角”“角角边”判定三角形全等．2．难点：学会综合法解决几何推理问题．教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规．教学方法采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生的求知欲．教学过程一、回顾交流，巩固学习【知识回顾】（投影显示）情境思考：1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，•将上述条件注在图中，不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴交流．图1 图2[答案：能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而得出EH=FH] 2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明△ABC≌△ADE吗？[答案：BC=•DE （SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明．【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问．【学生活动】通过情境思考，复习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方法，小组交流，踊跃发言．【教学形式】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲．二、实践操作，导入课题【动手动脑】（投影显示）问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′= ∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，•放到△ABC 上，它们全等吗？【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下：画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B.1．画A′B′=AB；2．在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，∠EB′A′=∠B，A′D，B′E相交于。
人教版数学八年级上册第十二章12.2 全等三角形的判定
第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第1课时 “边边边” 学习目标：1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得 数学结论的过程． 重点：三角形全等条件的探索过程.难点：寻找判定三角形全等的条件．一、知识链接1.叫做全等三角形.2.全等三角形的性质：（1） ，（2） .3.如右图，△ABD ≌△ACD那么对应点是 ; 相等的边是： ;相等的角是： .二、新知预习已知三角形△ABC 你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？一、要点探究探究点1：三角形全等的判定条件 活动1：只给出一个条件画三角形 画一画：1.请你以下面给出的线段AB=3cm 为三角形的一边，画一个三角形.（画完后剪下来，看是否能与同桌画的重合）2.请你画一个三角形，要求这个三角形有一个内角是45度.（画完后剪下来，看是否能与同桌画的重合）归纳总结:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.活动2：给出两个条件画三角形做一做：给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?分别按下列条件做一做.①三角形两条边分别为4 cm，6 cm；②三角形一内角为30°和一条边为4 cm；③三角形两内角分别为30°和45°.归纳总结:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.活动3：给出三边时画三角形1.画一画:画一个三角形，要求这个三角形的三条边的长度分别是4，6，8厘米.（画完后剪下来，看是否能与同桌画的重合）2.做一做：先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗?要点归纳：_______________的两个三角形全等.（简写为“______”或“_______”）ABC FED 符号表示：如图，如果典例精析例1：如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.求证:△ABC≌△DCF.【变式题】已知: 如图,点B、E、C、F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .求证: （1）△ABC ≌ △DEF；（2）∠A=∠D.方法总结：利用“边边边”判定两个三角形全等，先根据已知条件找出对应边，再从隐藏条件中找出剩下的对应边，找到两个三角形的三组对应边即可证明这两个三角形全等.针对训练1.如图,△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定()A.△ABD△△ACDB.△ABE△△ACEC.△BDE△△CDED.以上答案都不对2.如图，已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB，证明△ABC ≌△FDE.探究点2：尺规作图作一个角等于已知角画一画：已知:△BAC.求作:△B'A'C',使△B'A'C'=△BAC.作一个角等于已知角的依据是___________.DEFABC∆∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫===________________________________________BC ADF二、课堂小结1.如图，D 、F 是线段BC 上的两点，AB=CE ，AF=DE ，要使△ABF ≌△ECD ，还需要条件．.第1题图 第2题图2.如图，AB ＝CD ，AD ＝BC , 则下列结论：①△ABC ≌△CDB ；②△ABC ≌△CDA ； ③△ABD ≌△CDB ；④BA ∥DC . 正确的个数是 ( ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.如图，AB=AE ，A C=AD ，BD=CE ，求证：△ABC ≌△AED.4.已知：如图 ，AC=FE ，AD=FB,BC=DE.求证：(1)△ABC ≌△FDE; (2) ∠C= ∠E.5.已知:如图,AD ＝BC,AC ＝BD.求证:∠C ＝∠D .(提示: 连结AB) 拓展提升6.如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，BH ＝CH ，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？全等三角形判定定理1 简称 图示符号语言有三边对应相等的两个三角形全等“边边边”或“SSS ”∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，AC ＝A 1C 1，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1(SSS)．当堂检测DC OABABCFED第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第2课时 “边角边”学习目标：1．掌握三角形全等的“边角边”的条件．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获 得数学结论的过程．3．能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题． 重点：掌握一般三角形全等的判定方法S ＡS.难点：运用全等三角形的判定方法解决证明线段或角相等的问题.三、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理2--“边角边”问题：两个三角形的两边和一角分别相等有几种情形？列举说明.活动：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB ，A′C′＝AC ，△A′＝△A ，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？追问1：你是如何使△A’=△A 的? 结合这个问题，给出画△A’B’C’的方法.追问2：回忆作图过程,这两个三角形全等是满足哪三个条件？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS ”).几何语言：如图，如果DEF ABC ∆∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫===________________________________________课堂探究ABC例1：【教材变式】已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2. 求证:(1) AD=CD；(2) DB 平分∠ADC.变式:已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A=∠C.例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?方法总结：证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.针对训练如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.求证：△AFD≌△CEB.探究点2：“边边角”不能作为判定三角形全等的依据做一做：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？画一画：画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？要点归纳：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形_________全等.例2：下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( ) A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF B ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF C ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF D ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF 方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA 时是不能判定三角形全等的．针对训练如图，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( ) A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．∠A=∠C D ．∠ABC=∠CDA二、课堂小结1.在下列图中找出全等三角形进行连线.2.如图，AB=DB ，BC=BE ，欲证△ABE ≌△DBC ， 则需要增加的条件是 ( )A.∠A ＝∠DB.∠E ＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD ＝∠EBC全等三角形判定定理2简称图示符号语言有两边及夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”或“SAS ”∴△ABC △△A 1B 1C 1(SAS)．注意：“一角”指的是两边的夹角.当堂检测⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,11111C A AC A A B A AB3.已知:如图2,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，求证：BD=CD.【变式1】已知：如图，AB=AC, BD=CD，求证：∠BAD= ∠CAD.【变式2】已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，求证：BE=CE.拓展提升5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时“角边角”和“角角边”学习目标：1.了解1.探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等.重点：已知两角一边的三角形全等探究.难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”.自主学习一、知识链接1.能够的两个三角形叫做全等三角形.2.判定两个三角形全等方法有哪些?边边边：对应相等的两个三角形全等.边角边：和它们的对应相等的两个三角形全等.二、新知预习1.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？（1）以①为模板，画一画，能还原吗？（2）以②为模板，画一画，能还原吗？（3）以③为模板，画一画，能还原吗？（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________.猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ABCFED四、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理3--“角边角”活动：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB ，△A′=△A ，△B′=△B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA ”).几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF.典例精析例1：如图，已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝ ∠DBC ，求证：△ABC ≌△DCB ．例2：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.方法总结：证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来解决. 针对训练如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .课堂探究A B CABCFED探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm ，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳： 相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS ”).几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF. 典例精析例3：在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝ ∠E ，BC=EF. 求证：△ABC ≌△DEF ．例4：如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .求证：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 针对训练如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是( )二、课堂小结 全等三角形判定定理3简称图示符号语言有两角及夹边（或一角的对边）对应相等的两个三角形全等 “角边角”（ASA ）或“角角边”(AAS)∴△ABC △△A 1B 1C 1(ASA)．推论：“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等.1.△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A ．AC ＝DFB ．BC ＝EF C ．∠A＝∠D D ．∠C ＝∠F2. 在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°， 且AC ＝A′C′，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等B ．一定全等C ．不一定全等D ．以上都不对 3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的 两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，那么应补充一个条件 ， 才能使△ABC ≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2, 求证：AB=AD. 拓展提升6.已知：如图，△ABC △△A′B′C′ ，AD 、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高. 试说明AD ＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,1111B B B A AB A A第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第4课时“斜边、直角边”学习目标：1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题.3.在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理.重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题．一、知识链接1.我们学过的判定三角形全等的方法有______________.2.如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）；（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.二、新知预习1.如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.（1）△ABC与△DEF全等吗？（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC是否全等于Rt△DEF.动手画一画.三、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________自主学习五、要点探究探究点1：直角三角形全等的判定--“斜边、直角边”问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 为什么？问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？问题3：两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 为什么？做一做：任意画出一个Rt△ABC,使△C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使△C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC 上，它们能重合吗？要点归纳：相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“HL ”).几何语言：如图，在 Rt △ABC 和Rt △BAD 中，典例精析例1：如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC ≌ △BAD ，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） 【变式1】如图，AC 、BD 相交于点P,AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D,AD=BC.求证：AC=BD.课堂探究_____,_____,Rt ____Rt .ABC BAD ⎧⎨⎩∵∴△△PDC A【变式2】如图：AB ⊥AD ，CD ⊥BC ，AB=CD,判断AD 和BC 的位置关系.例2：如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？针对训练已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.二、课堂小结 直角三角形判定 简称 图示符号语言斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”或“HL ”∴Rt △ABC △Rt △A 1B 1C 1(HL)．注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中.CADB⎩⎨⎧==,'',''C A AC B A AB1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3， AE ＝4，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE. 求证：△EBC≌△DCB.5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.【变式1】如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.当堂检测【变式2】如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC。
数学人教版八年级上第十二章12.2 三角形全等的判定
12.2 三角形全等的判定1．三角形全等的判定方法一：边边边(SSS) (1)边边边：三边．．对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS ”)． 这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也就随之确定，这就是三角形的稳定性．．．，它在实际生活中应用非常广泛． (2)书写格式：①先写出所要判定的两个三角形；②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出； ③得出结论：两个三角形全等．如下图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，AC ＝A ′C ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS)．警误区 书写判定两个三角形全等的条件 在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量．如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示△A ′B ′C ′的量．符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”，在以后的推理中，这样书写简捷、方便．要注意它们的区别．(3)作一个角等于已知角． 已知：∠AOB .求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； ②画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； ③以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点D ′； ④过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB . 【例1】 如图所示，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，求证：△ABC ≌△DCB .分析：已知两边对应相等，由图形可知BC 为两个三角形的公共边，所以△ABC ≌△DCB (SSS)．证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，BC ＝CB (公共边)，AC ＝DB ，∴△ABC ≌△DCB (SSS)．2．三角形全等的判定方法二：边角边(SAS)(1)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”)．(2)书写格式：如下图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∴⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A ′B ′，∠A ＝∠A ′，AC ＝A ′C ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SAS)．警误区 不能用“SSA ”判定三角形全等有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA ”作为三角形全等的判定．如图，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD 两条边对应相等，并且边AC ，AD 所对的角∠B=∠B ，很显然，△ABC 和△ABD 不全等．(3)注意：①在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角是两边的夹角，而不是其中一边的对角．②为了避免“SAS ”与“SSA ”(两边不夹角)混淆，在应用该方法时，要观察图形确定三个条件，按“边→角→边”的顺序排列，并按此顺序书写．【例2】 如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上，已知∠ACE ＝∠FCB ，AC ＝EC ，BC ＝FC ，则△ABC 与△EFC 全等吗？请说明理由．解：△ABC ≌△EFC .理由：∵∠ACE ＝∠FCB ，∴∠ACE ＋∠ECB ＝∠FCB ＋∠ECB ， 即∠ACB ＝∠ECF .在△ABC 和△EFC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝EC ，∠ACB ＝∠ECF ，BC ＝FC ，∴△ABC ≌△EFC (SAS)．3．三角形全等的判定方法三、四：角边角(ASA)及角角边(AAS) (1)角边角：①内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”)．②书写格式：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠A ′，AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA)．(2)角角边：①内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”)．②书写格式：如下图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(AAS)．(3)“角边角”与“角角边”的关系：由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等．无论这一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可判定两个三角形全等．(4)注意：①在运用“ASA ”时，要从图形上确定是按“角→边→角”的顺序排列条件； ②在运用“AAS ”时，要从图形上确定是按“角→角→边”的顺序排列条件． 警误区 不能用“AAA ”判定三角形全等有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“AAA ”作为三角形全等的判定．如下图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，很显然，△ABC 和△A ′B ′C ′不全等．【例3】 (一题多证)已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE ＝EF .求证：AE ＝CE .证法一：∵AB ∥FC ， ∴∠ADE ＝∠F .在△ADE 和△CFE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠F ，DE ＝FE ，∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△CFE (ASA)．∴AE ＝CE . 证法二：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF ，∠ADE ＝∠F .在△ADE 和△CFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠ECF ，∠ADE ＝∠F ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE (AAS)．∴AE ＝CE .4．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)(1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”)．(2)书写格式：如下图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′， ∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(HL)．警误区 “HL ”适用的前提条件 (1)“HL ”只适合直角三角形全等的判定，不适合．．．一般三角形全等的判定；(2)直角三角形全等的判定既可以用“SSS ”“SAS ”“ASA ”和“AAS ”，又可以用“HL ”．【例4】 如图，AD ⊥CD ，AB ⊥CB ，垂足分别是D ，B ，且AD ＝AB ，求证：AC 平分∠DCB .证明：∵AD ⊥CD ，AB ⊥CB ， ∴∠D 与∠B 都是直角． 在Rt △ADC 和Rt △ABC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AC ＝AC ， ∴Rt △ADC ≌Rt △ABC (HL)．∴∠ACD ＝∠ACB ，即AC 平分∠DCB .5．判定两个三角形全等的常用思路判定两个三角形全等的方法有：“SSS ”“SAS ”“ASA ”“AAS ”“HL ”这五种，其中“HL ”只适合于直角三角形．在具体运用过程中，要认真分析已知条件，挖掘题中隐含条件，有目的地选择三角形全等的条件，一般可按下面的思路进行：(1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找第三边→SSS ，找夹角→SAS ，找直角→HL.(2)已知一边一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS ，边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧ 找角的另一邻边→SAS ，找边邻着的另一角→ASA ，找边的对角→AAS.(3)已知两角 ⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找任一边→AAS. 6．全等三角形判定和性质的综合运用全等三角形的性质是对应角相等、对应边相等，全等三角形的判定是“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”．在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定．说明两条线段或两个角相等时，可考虑两条线段或两个角所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其他的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件．【例5】 如图，已知∠E ＝∠F ＝90°，∠1＝∠2，AC ＝AB ，求证：△AEB ≌△AFC.分析：已知∠E ＝∠F ＝90°，AC ＝AB ，即已知一边及一角，并且这边是角的对边，根据判定两个三角形全等的常用思路再找另一角即可，由∠1＝∠2，可得∠EAB ＝∠FAC ，再根据全等的判定方法AAS 可证△AEB ≌△AFC .证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAC ＝∠2＋∠BAC ， 即∠EAB ＝∠FAC .在△AEB 和△AFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠F ，∠EAB ＝∠FAC ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AFC (AAS)．【例6】 如图1，已知AB ∥CD ，OA ＝OD ，AE ＝DF ，求证：EB ∥CF.图1证明：如图2，∵AB ∥CD ，∴∠4＝∠3. 在△OAB 和△ODC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠4＝∠3，OA ＝OD ，∠2＝∠1，图2∴△OAB ≌△ODC (ASA)．∴OB ＝OC . 又∵AE ＝DF ，OA ＝OD ，∴OA ＋AE ＝OD ＋DF ，即OE ＝OF . 在△BOE 和△COF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠2＝∠1，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△COF (SAS)． ∴∠E ＝∠F .∴EB ∥CF .7．全等三角形判定中的探究性问题动态探究型问题一般是指几何图形的运动，包括点动(点在线上运动)、线动(线的平移、对称、旋转)、面动〔平面几何图形的平移、对称(翻折)、旋转〕．这类问题具有灵活性、多变性，常融入三角形，综合运用三角形全等知识．但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动．点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其宗，解决问题要抓住一些关键点即可．对于运动变化过程中的探索性问题的求解，应动中取静，先取某一特定时刻物体的状况进行探究，获得结论，再由特殊推知其一般结论，并运用几何知识(全等三角形的判定)加以证明．【例7】 (科学探究题)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？解：(1)∵t ＝1 s ，∴BP ＝CQ ＝3×1＝3(cm)． ∵AB ＝10 cm ，点D 为AB 的中点，∴BD ＝5 cm. 又∵PC ＝BC －BP ，BC ＝8 cm ， ∴PC ＝8－3＝5(cm)． ∴PC ＝BD .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∴△BPD ≌△CQP .(2)∵v P ≠v Q ，∴BP ≠CQ .又∵△BP D 与△CQP 全等，∠B ＝∠C ， 则BP ＝PC ＝4 cm ，CQ ＝BD ＝5 cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t ＝BP 3＝43(s)．∴v Q＝CQt＝543＝154(cm/s)．。
人教版八年级数学上册第12章第2课时 三角形全等的判定——SSS
数学
4.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出 ∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是 SSS .
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数学
5．如图，用直尺和圆规作一个已知角的平分线的示意图，依 据“ SSS ”判定△COM 和△CON 全等，从而说明 OC 是 ∠AOB 的 角平分线 ．
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数学
精典范例 6.【例 1】如图，AD＝BC，要使△ABC≌△BAD，还需添加 的条件是 AC＝BD .
SSS .
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数学
2．如图，已知点 A，D，C，F 在同一条直线上，AB＝DE， BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，根据 SSS 还需要添加一个条 件是 AD＝CF(或AC＝DF） ．
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知识点二：三角形全等判定方法(SSS)的应用 如图，AB＝CD，BD＝AC，用三角形全等的判定“SSS”可证 明 △ABC ≌ △DCB 或 △ABD ≌ △DCA .
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AD＝CB 证明：在△ABD 和△CDB 中，AB＝CD ，
BD＝DB
∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C.
小结：根据 SSS 推出△ABD≌△CDB，再根据全等三角形的 性质推出即可.
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★13.如图，点 A，D，C，F 在同一直线上，AB＝EF，AD＝ CF，BC＝ED.求证：AB∥EF. 证明：∵AD＝CF， ∴AD＋DC＝CF＋DC，即 AC＝FD， 在△ABC 与△FED 中， AB＝FE，AC＝FD，BC＝ED，
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知识要点 知识点一：三角形全等的判定(SSS) 三边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“边边边”或 “SSS”)． 几何语言：
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在△ABC 与△A′B′C′中，
八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定课件 (新版)新人教版
C
E
B
如果两个三角形具备两角一边对 应相等，有几种可能情况？
共三种情况
1、两角夹边对应相等。 2、有两个角和其中一个角的对边对应相等
3、有两个角对应相等，以及一个三角形中 的夹边与另一个三角形中一对应角的对边 对应相等。
我们先来探究两角夹边对应相等时 两个三角形是否全等
先任意画一个△ABC，再画一个△DEF 使得EF=BC， ∠E = ∠B ，∠F = ∠C；
如果把已知中的 ∠3=∠4
改成, ∠D=∠C 此题又如何?
1.如图，AB、CD相交于点O，已知∠A=∠B 添加条件 AO=BO （填一个即可）
就有 △AOC≌ △BOD
B
还有吗？
C
O D
A
1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，BD=CE
求证：AB=AC
A
12
34 BDE C
2、如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？
心思在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上，既是技术上的进步，也是理论上的深化，通过几个相关案例的制作，课件的概 念就会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案，把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题，增加课堂教学气氛，提高学生的学习兴趣，拓宽学生的知识视野，10年来被广泛应用于中小学教学中的手段，是现代教学发 展的必然趋势。
2.要根据题意选择适当的方法。
3.证明线段或角相等，就是证明它们所 在的两个三角形全等。
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
人教版八年级数学上册第十二章 全等三角形 三角形全等的判定(第2课时)
△ADE中,
∵
AB=AD
ቐ∠BAC=∠DAE
AC=AE ,
∴△ABC≌△ADE（SAS）,∴∠C=∠E．
连接中考
2.如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当AB=5时,求CD的长．
（1）证明：在△AEB和△DEC中,
AE=DE
ቐ∠AEB=∠DEC,
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
C
几何语言：
在△ABC 和△ DEF中,
A
AB = DE,
必须是两边
F
B
∠A =∠D, “ 夹 角 ”
AC =AF ,
∴ △ABC ≌△ DEF（SAS）． D
E
探究新知
素养考点 1 利用“边角边”定理证明三角形全等
例1 如果AB=CB ,∠ ABD= ∠ CBD,那么 △ ABD 和△
证明:∵ ∠1＝∠2(已知),
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质),
A
即∠ABC＝∠DBE.
D
在△ABC和△DBE中,
1
AB＝DB(已知),
B2
C
∠ABC＝∠DBE(已证),
E
CB＝EB(已知),
∴△ABC≌△DBE（SAS）.
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
探究新知
素养考点 2 利用全等三角形测距离
1.回顾三角形全等的判定方法 1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或
“SSS”）.
2.符号语言表达：
A
在△ABC和△ DEF中
AB=DE, BC=EF,
八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 HL课件 (新版)新人教版
∴∠C =∠D=90°
A
B
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
AB=BA（共公边）
AC=BD.(已知）
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴BC=AD.
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边 滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DFE的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF .
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
AB=DF
C
AC=DF
∴Rt△ACB≌Rt△DFE（HL）
D
BF
E
注意：使用HL判定时，必须先得出两个直角三角形，然后 再证明斜边和一直角边分别对应相等。
1.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证：
BC=AD.
D
C
证明：∵AC⊥BC, BD⊥AD,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
【跟踪训练】
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明：∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE
在Rt△ABF和Rt△CDE中, A
E
AF=CE
AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
D
∴BF=DE.
B
F C
2. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端 分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相 等吗？请说明你的理由.
人教版八年级上册数学教学课件 第12章 全等三角形12.2三角形全等的判定(第2课时)
∴△ABC≌△A´B´C´（SAS）
如果把“两边及其夹角分别相等”改为 “两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一 边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?
“已知两边及其中一边的对角分别相等
的两个三角形全等”不一定成立.
例2 如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B的距 离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可 以直接到达点A和B.连接AC并延长至D,使CD =CA,连接BC并延长到点E,使CE =CB.连接ED,那 么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?
八年级数学·上 新课标 [人]
第十二章 全等三角形
学习新知
检测反馈
回顾思考
Hale Waihona Puke 学习新知(1)怎样的两个三角形是 全等三角形?全等三角形 的性质是什么?三角形全 等的判定方法“SSS” 的内容是什么?
(2)如果两个三角形有两条边和一
个角分别对应相等,那么这两个三角形一定 全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹 在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是 角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如
4.看图填空.
如图所示,已知BC∥EF,AD=BE,BC=EF. 试说明△ABC≌△DEF. 解:∵AD=BE, ∴ AD+DB =BE+DB, 即 AB = DE . ∵BC∥EF, ∴∠ ABC =∠ DEF (两直线平行,同位角相等). 在△ABC和△DEF中, AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF , ∴△ABC≌△DEF(SAS).
两边及其夹角分别相等的 两个三角形全等,简写成“边角 边”或“SAS”.
三角形全等的条件中的相等的 角必须是夹角,否则这两个三角形 不一定全等,即有两边和其中一边 的对角分别相等的两个三角形不一 定全等.
八年级数学上册第十二章全等三角形122三角形全等的判定12.2.1“SSS”2
第十二章 12.2.1“SSS”
知识点：边边边定理(SSS)
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
关键提醒:1. 用“SSS”判定两个三角形全等时,只需说明两个三角形的三对对应边相等,证明时一定要正确理解“对应”的含义.
2. 运用“SSS”证明三角形全等时,还要注意公共边这一隐含条件的利用.
考点1：利用“SSS”证明三角形全等
【例1】如图,点A、E、C、F在同一条直线上,AB=FD,BC=DE,AE=FC.求证:△ABC≌△FDE.
解:∵AE=F C,∴AE+EC=FC+CE,即AC=FE.
在△ABC和△FDE中,∴△ABC≌△FDE(SSS).
点拨:在两个三角形中,已经知道了两条对应边相等,即AB=FD,BC=DE,还缺少一个条件,可以找两边的夹角,也可以找边.本题中已知AE=FC,所以可以寻求第三条对应边相等.
考点2：“SSS”证明三角形全等在实际生活中的应用
【例2】曙光中学师生自己动手新建一条水泥路(如图),为检验这条水泥路的两边缘l1,l2是否平行,小鹏同学手中只有米尺,他先在此水泥路的一边缘l1上取两点A、B,在此水泥路的另一边缘l2上取两点C、D,并且使CD=AB,然后用手中的米尺测得AC=BD.小鹏由此便确定此水泥路的两边缘l1,l2是平行的,你知道其中的道理吗?
解:如图,连接AD.在△ABD与△DCA中,
∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠BAD=∠CDA.∴l1∥l2.。
八年级数学上册 第十二章全等三角形12.2三角形全等的判定第2课时“边角边”6-10 (2)
寻找对应相等的边角边
BF=CE ∠B=∠C
相等线段同加同减-对应 AB=DC
边
∴△BAD≌△BAC (SAS)
即∠A=∠D
优质课件
5
它伤害兽类，简直没有个完。 画师胸有成竹一丝不苟，先在画壁上打底，再按照九条龙的身姿，用粗线条描出简单的轮廓。经过深思熟虑，黑狗十三分客气地请来了花猫。
综艺在线观看 https:///index.php/vod/type/id/3.html 狐狸吓坏了，立马夹着尾巴逃走了。
中点-对应B边A=BA
∠BAD=∠BAC
D
A
C
AD=AC 则△BAD≌△BAC (SAS).
即BD=BC
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4
2、如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，
∠B=∠C，求证： ∠A=∠D
【证明】∵BF=BE+EF
A
D
CE=CF+FE
而Байду номын сангаасE=CF
∴BF=CE
BE
F C 在△ABF和△DCE中，
D
C
A
B
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等.
优质课件
3
1、如图，B点在A寻点的找正对北应方向相。等两的车边从路角段边AB的一 端D两A地出发。，此分时C别，向D东公到、B共向的边西距进-离对行相应相等同边吗的？距为离什，么到？达C、
B
垂【直证明-对】∵应在△角B（AD9和0△°BA）C中，
由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。简写成“边角边”或“SAS”
用符号语言表达为：
A
2020八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定教案 (新版)新人教版
DB＝DC
∴△ABD≌△ACD（SSS）
作
业
设
计
A档：学案P28三角形全等的判定（1）典例探究
B档：学案P28三角形全等的判定（1）：典例探究、巩固训练、基础达标
C档：学案P28三角形全等 的判定（1）：典例探究、巩固训练、基础达标
1—9
D档：学案P28三角形全等的判定（1）：巩固训练1——4、基础达标1——7
三角形全等的判定
课题：三角形全等的判定
课时
第一课时
教学设计
课标
要求
掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等
教
材
及
学
情
分
析
本节重点研究了三角形全等的判定方法，并在其中渗透了研究几何图形的基本问题和方法。在推理论证方面，本节既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题，在问题的设计中还融入看平行线的性质与判定、三角形中边或角的等量关系、距离的概念、折纸情境等内容。为了降低学生利用全等三角形的知识进行推理论证的难度，本章设置看多道例题做出示范，包括怎样分析条件与结论的关系，怎样书写证明格式，还总结了证明几何命题的一般步骤。本节课程是在学习了几何的基础知识以及全等三角形的基础上学习的。学生有一定的几何分析推理能力，本节的学习仍从基础做起，在找全等所需条件的方法上要进行一步加强，在对全等三角形判定的综合应用上下功夫。
你画出的△A/B/C/与△ABC一定全等吗？
一边分别相等
一角分别相等
两边分别相 等
一边一角分别相等
两角分别相等
三角分别相等
先任意画出一个△ ABC，再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB， B/C/ =BC，A/C/ =AC.把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定课件
∠B = ∠E ∴ △ABC≌△DEF（ASA）
E
F
第六页，共二十页。
探究2 有两个角和其中(qízhōng)一个角的对边对应相
等
如图：的在两△个A三B角C和形△是D否E全F中等，？∠A=∠D，
∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？
能利用角边角条件(tiáojiàn)证明你的结论吗？ A
的夹边与另一个三角形中一对应角的对边
对应相等。
第四页，共二十页。
我们先来探究两角夹边对应相等时
两个(liǎnɡ ɡè)三角形是否全等
先任意画一个(yī ɡè)△ABC，再画一个△DEF
使得EF=BC， ∠E = ∠B ，∠F = ∠C；
A
NM
D
B
C
画法 1、画EF=BC
E
F
(huà fǎ)2：、画∠MEF = ∠B;再画∠NFE= ∠C
A
D
E
O
B
C
第十八页，共二十页。
1.你能总结(zǒngjié)出我们学过哪些判定三角形 全等的方法吗？
2.要根据题意选择适当(shìdàng)的方法。 3.证明线段或角相等，就是证明它们所
在的两个三角形全等。
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
12.2（ASA）（AAS）。**边角边（SAS）：。公理3（全等三角形判定3）。有两个(liǎnɡ ɡè)角和它们 夹边对应相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形全等。∴ △ABC≌△DEF（ASA）。(简写成“角边角”或“ASA”）。有两个 形全等。(简写成“角角边”或“AAS”）。如果 把已知中的AB=AC改成AD=AE,那么BD和CE还相等么。则在△ACD与△CBD中便有：。CD=CD。试想△ACD与 △CBD会全等吗
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 12.2三角形全等的判定(第2课时)课件
第六页，共十四页。
例1 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离 (jùlí)，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C， 连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使 CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离， 为什么?
第七页，共十四页。
相等时，应分为几种情形讨论？
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｃ
ＢＣຫໍສະໝຸດ Ａ'Ａ'
Ｂ'
Ｃ'
边－角－边
第一种
Ｂ'
Ｃ'
边－边－角
第二种
第三页，共十四页。
做一做
已知任意(rènyì)∆ABC，画△A´B´C´ ，使 A´B´ =AB， A´C´ =AC，∠ A´ =∠A.
A
B
C
画完后，将△A´B´C´剪下来，放到∆ABC上，你 会得到什么(shén me)结论？
判定三角形全等的方法有哪些？要注意些什么 问题？证明(zhèngmíng)线段、角相等有什么思路 ？
第十一页，共十四页。
（2）选做题：
如图1，点C在线段AB上， △ACM， △CBN都是等边三
角形。求证:① △ACN≌△MCB; ②如图2，若将
△CBN绕点C旋转(xuánzhuǎn)任意角度后，△ACN和 △MCB还是全等的吗？若是请给予证明。
第四页，共十四页。
通过以上操作，两个三角形满足什么(shén me)条件？ 得到了什么(shén me)结论？
结论 ： (jiélùn)
在两个三角形中,如果有两条边及它们(tā men) 的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（ 简记为边角边或SAS)
第五页，共十四页。
八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.2三角形全等的判定12.2.3利用两角一边判定三角形全等
2018年秋八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.2 三角形全等的判定12.2.3 利用两角一边判定三角形全等（ASA、AAS）课时作业（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.2 三角形全等的判定12.2.3 利用两角一边判定三角形全等（ASA、AAS）课时作业（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋八年级数学上册第十二章《全等三角形》12.2 三角形全等的判定12.2.3 利用两角一边判定三角形全等（ASA、AAS）课时作业（新版）新人教版的全部内容。
第3课时利用两角一边判定三角形全等（ASA，AAS)知识要点基础练知识点1三角形全等的判定方法—-“角边角”1.如图,BD平分∠ABC和∠ADC,则△ABD≌△CBD，依据是（A）A。
ASA B。
AASC.SASD.AAA2。
如图，某同学不小心将一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是(C）A.带（1)和(2）去B。
只带(2)去C.只带(3)去D.都带去知识点2三角形全等的判定方法——“角角边”3。
如图,在△ABC中,∠C=90°，点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E，则△ACB≌△MDE ,判断依据是AAS.(用字母表示)4。
如图,AB=AE，∠1=∠2,∠C=∠D.求证：△ABC≌△AED.证明：∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED（AAS）。
【人教版】2020八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定教案 (新版)新人教版
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
AD＝AD
DB＝DC
∴△ABD≌△ACD（SSS）
从最少的条件开始，适时引导学生有条理、有依据地思考问题，两个三角形满足的条件组合适时提醒学生按照一定的顺序、规律进行，不重不漏，让学生在讨论的过程中体验分类的思想，培养学生的合情推理能力和清晰条理的语言表达能力，通过动手操作过程，让学生参与、体会知识的探究形成过程。
三角形全等的判定
课题：三角形全等的判定
课时
第一课时
教学设计
课标
要求
掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等
教
材
及
学
情
分
析
本节重点研究了三角形全等的判定方法，并在其中渗透了研究几何图形的基本问题和方法。在推理论证方面，本节既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题，在问题的设计中还融入看平行线的性质与判定、三角形中边或角的等量关系、距离的概念、折纸情境等内容。为了降低学生利用全等三角形的知识进行推理论证的难度，本章设置看多道例题做出示范，包括怎样分析条件与结论的关系，怎样书写证明格式，还总结了证明几何命题的一般步骤。本节课程是在学习了几何的基础知识以及全等三角形的基础上学习的。学生有一定的几何分析推理能力，本节的学习仍从基础做起，在找全等所需条件的方法上要进行一步加强，在对全等三角形判定的综合应用上下功夫。
示范如何分析问题，并怎样将分析过程规范的表述出来，规范解题过程
教
学
过
程
巩固练习
尺规作一个角等于已知角
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第2课时三角形全等的判定(SAS)
[学生用书P27]
1．如图12-2-18所示，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要加上条件( )
图12-2-18
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．∠C＝∠D
D．OA＝OB
2．如图12-2-19所示，BE＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为( )
图12-2-19
A．20°B．30°C．40°D．50°
3．如图12-2-20，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件：____(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.
图12-2-20
4．[2016·泸州]如图12-2-21，C是线段AB的中点，CD＝BE, CD∥BE.求证：∠D＝∠E.
图12-2-21
5．如图12-2-22，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.
图12-2-22
6.[2015·杭州]如图12-2-23，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
图12-2-23
7．[2016·重庆]如图12-2-24，点A，B，C，D在同一直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.
图12-2-24
参考答案
【知识管理】
1．唯一确定
2．夹角对应关系
【归类探究】
例1略
例2△OAB≌△ODC，△ABC≌△DCB.理由略．
【当堂测评】
1．A 2.D 3.(1)(3) 4.不是AC＝DF
【分层作业】
1．B 2.C 3.AC＝DF或∠B＝∠DEF或AB∥DE 4．略 5.略 6.略7.略。