新考纲高考系列数学数列综合
2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课五数列的综合
题型一 等差数拟]设等比数列 an 的前n项和为Sn，已知Sn＋
Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝1.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)已知数列 cn 是等差数列，且c1＝a1，c3＝S2，设bn＝an·cn，求数
列 bn 的前n项和Tn.
题后师说
巩固训练2
[2022·安徽十校联考]已知数列 an 满足a1 ＋a2 ＋…＋an－1 －an ＝－
2ሺn ≥ 2且n ∈ ∗ ሻ，且a2＝4.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设数列
2n
an −1 an+1 −1
2
的前n项和为Tn，求证： ≤Tn<1.
3
题型三 数列中的结构不良试题
(1)求数列 an 的通项公式；
n
(2)若bn＝
，求数列 bn 的前n项和Tn.
2Sn +n an
题型二 数列与不等式的综合问题
1
例2 [2023·山东烟台模拟]已知数列 an 的前n项和为Sn ，a1 ＝ ，当
2
n≥2时，Sn2 ＝anSn－an.
(1)求Sn；
(2)设数列
值范围．
2n
Sn
的前n项和为Tn ，若λTn≤ n2 + 9 ·2n 恒成立，求λ的取
数λ使得数列 bn 是等差数列．
注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分．
题后师说
结构不良试题是近几年新高考命题的新题型，对这类题型的解法是：
先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”
的条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解．
巩固训练3
[2023·山东济南历城二中模拟]在“①an＋1>an，a3a10＝44，a4＋a9＝
2024年新高考版数学专题1_7.4 数列求和、数列的综合
1 2
+
1 2
1 3
+…+
1 n
n
1 1
=1-
n
1 1
,
又因为n≥1,所以0< 1 ≤ 1 ,即有 1 ≤Tn<1,
n1 2
2
所以 1 ≤Tn<1 2
≤Tn<1.
解析 (1)选①.因为a4是a3与a5-8的等差中项,所以2a4=a3+a5-8,则16a1=4a1+ 16a1-8,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式是an=2n.
选②.设{an}的公比为q,依题意,有 aS23
a1q 4, a1(1 q
13+23+33+…+n3= n(n 1) 2 .
2
2.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常
数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和.以下为常见的拆项公式:
1) 1 = 1 - 1 ;
n(n 1) n n 1
2)
(2n
1 1)(2n
1)
=
1 2
1 2n 1
1 2n 1
;
3) 1 = n 1- n .
n n1
5.分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,例如:
高考 数学
专题七 数列
新高考数列知识点总结归纳
新高考数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它是由一系列按特定规律排列的数按一定的次序形成的有序集合。
而在新高考数学考试中，数列作为一个重要的知识点，经常出现在试卷中。
本文将对新高考数列相关的知识点进行总结归纳，以期帮助同学们更好地掌握数列的概念和相关的解题方法。
一、数列的基本概念数列由一系列按特定规律排列的数按照一定的次序形成，通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示。
其中，a₁表示数列的第一个数，aₙ表示数列的第n个数。
数列中相邻两项之间的差称为公差，通常用d表示。
若给定数列的第一项和公差，可以通过an = a₁ + (n-1)d来计算数列的第n项。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。
在新高考数学中，等差数列是最常见的数列类型之一。
1. 等差数列的通项公式对于等差数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果其公差为d，首项为a₁，那么它的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2. 等差数列的和等差数列的和可以通过求和公式Sn = n/2[2a₁ + (n-1)d]来计算，其中Sn表示等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 等差数列的相邻两项的和相等；- 等差数列的前n项和与n成正比；- 等差数列的对称轴为前后两项和的平均值。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。
在新高考数学中，等比数列也是常见的数列类型之一。
1. 等比数列的通项公式对于等比数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果其公比为q，首项为a₁，那么它的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
2. 等比数列的和等比数列的和可以通过求和公式Sn = a₁ * (1 - q^n)/(1 - q)来计算，其中Sn表示等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质等比数列具有以下性质：- 等比数列的相邻两项的比相等；- 等比数列的前n项和与n无关；- 等比数列的对数轴为前后两项比的平均值的对数。
高三数列综合知识点总结
高三数列综合知识点总结数列是高中数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高三阶段，数列是一个重点考点，在考试中占据一定的比重。
为了帮助同学们系统地掌握数列的知识，下面将对高三数列的综合知识点进行总结。
一、等差数列等差数列是最基础的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
1. 判定等差数列等差数列的判定条件是相邻的两个数之差都相等。
2. 求通项公式已知等差数列的首项a1和公差d，可以利用通项公式求得任意一项的值。
3. 求前n项和求得前n项和。
4. 常见等差数列性质等差数列的性质包括首项、末项、公差、项数、前n项和等。
二、等比数列等比数列是另一个重要的数列概念，它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)。
1. 判定等比数列等比数列的判定条件是相邻的两个数之比都相等。
2. 求通项公式已知等比数列的首项a1和公比r，可以利用通项公式求得任意一项的值。
3. 求前n项和求得前n项和。
4. 常见等比数列性质等比数列的性质包括首项、公比、项数、前n项和等。
三、数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛，下面列举几个常见的数列应用问题。
1. 等差数列应用例如，一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问2小时后行驶的距离是多少？2. 等比数列应用例如，一枚细菌每分钟分裂一次，如果最初只有一枚细菌，10分钟后有多少枚细菌？3. 数列表示几何图形例如，如何利用数列表示一个等边三角形的周长或面积？四、数列的进阶知识除了等差数列和等比数列，高三阶段还会涉及到数列的一些进阶知识，如等差数列的部分和、等比数列的无穷和、等差数列与等比数列的混合应用等。
五、解数列题的解题技巧解数列题需要掌握一些解题技巧，包括确定数列类型、找到已知条件、利用已知条件求解、化简计算过程等。
新考纲高考系列数学 数列
新考纲高考系列数学数列考试内容： 数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数 列 知识要点1. ⑴等差、等比数列：其中⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b=、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122 →2d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇 得到所求项数到代入12-⇒n n . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：Pr P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(11---n nn n a a a a 为同一常数。
新高考数列知识点总结
新高考数列知识点总结一、数列的定义与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它是由一系列按特定规律排列的数字组成。
数列一般表示为{a_1, a_2, a_3, ..., a_n}，其中a_i表示第i 个元素。
数列的性质包括有界性、单调性、通项公式等。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，d表示公差。
等差数列的性质包括：1. 公差d相同，任意两项之差相等。
2. 通项公式可推导出任意项的值。
3. 求和公式为Sn = (a_1 + a_n)*n/2。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
它的通项公式为a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，r表示公比。
等比数列的性质包括：1. 公比r相同，任意两项之比相等。
2. 通项公式可推导出任意项的值。
3. 求和公式为Sn = a_1*(1-r^n)/(1-r)，当|r|<1时成立。
四、特殊的数列1. 斐波那契数列斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)，其中a_1 = 1，a_2 = 1。
斐波那契数列具有许多特殊性质，如黄金分割比等。
2. 幂次数列幂次数列是指数列中每一项都是前一项的某个正整数次幂的数列。
它的通项公式为a_n = a_1^k^n，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，k为正整数。
幂次数列的性质包括：- 当k>1时，数列呈不断增大的趋势。
- 当0<k<1时，数列呈不断减小的趋势。
五、数列间的关系1. 数列之和的关系若已知数列的通项公式，可通过求和公式求得数列之和。
对于等差数列，求和公式为Sn = (a_1 + a_n)*n/2；对于等比数列，求和公式为Sn = a_1*(1-r^n)/(1-r)。
2. 数列的递推关系数列间的递推关系是指通过已知数列的前一项或前几项来推导出后一项的关系。
新高考数列知识点总结
新高考数列知识点总结### 新高考数列知识点总结数列是高中数学中的一个重要概念，它在新高考中占有一席之地。
数列不仅考察学生的计算能力，还考察逻辑推理和抽象思维能力。
以下是新高考中数列部分的知识点总结：1. 数列的定义与表示- 数列是按照一定规律排列的一列数。
- 通常用小写字母表示数列的项，如 \(a_n\) 表示数列的第 \(n\) 项。
2. 等差数列- 等差数列是每相邻两项的差相等的数列。
- 公差 \(d\) 为相邻两项的差，通项公式为 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)。
- 求和公式为 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。
3. 等比数列- 等比数列是每相邻两项的比相等的数列。
- 公比 \(q\) 为相邻两项的比，通项公式为 \(a_n = a_1q^{n-1}\)。
- 求和公式为 \(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q \neq 1\)）。
4. 数列的通项公式与求和公式- 通项公式是描述数列中任意一项与项数关系的公式。
- 求和公式是描述数列前 \(n\) 项和的公式。
5. 数列的递推关系- 递推关系是描述数列中项与前一项或几项之间的关系的公式。
- 常见的递推关系有 \(a_{n+1} = a_n + d\) 或 \(a_{n+1} = a_n \cdot q\)。
6. 数列的极限- 数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列项趋向的值。
- 极限的概念在数列的收敛性讨论中非常重要。
7. 数列的性质- 数列具有单调性、有界性等性质。
- 这些性质在解决数列问题时经常被用到。
8. 数列的应用- 数列在实际问题中有广泛的应用，如金融、物理、计算机科学等领域。
- 理解数列在实际问题中的应用有助于加深对数列概念的理解。
9. 数列的证明- 数列的证明通常涉及到数学归纳法等证明方法。
- 掌握数学归纳法是解决数列证明题的关键。
10. 数列的分类- 数列可以根据不同的特征进行分类，如单调数列、有界数列等。
新高考数列知识点归纳总结
新高考数列知识点归纳总结数列是高中数学中非常重要的一个概念，它在新高考中也是必考的内容之一。
掌握数列的相关知识，对于学生的数学成绩提升有着重要的作用。
本文将对新高考数列的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地复习和应对考试。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是由一串按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
2. 通项公式：数列中的每一项都可以用一个公式来表示，这个公式称为通项公式。
3. 首项和公差：数列中的第一项称为首项，相邻两项之间的差称为公差。
二、等差数列1. 等差数列的概念：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为an=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的前n项和：设等差数列的首项为a₁，末项为an，共有n项，前n项和的公式为Sn=(a₁+an)n/2。
三、等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式为an=a₁q^(n-1)。
3. 等比数列的前n项和：设等比数列的首项为a₁，公比为q，共有n项，前n项和的公式为Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
2. 等差-等差数列：等差-等差数列是指每一个项都是一个等差数列的首项，同时这些等差数列的公差也构成一个等差数列。
例如：2, 5, 8, 11, 14, ...五、数列的应用1. 数列在数学中的应用非常广泛，特别是在数学建模和数学推理方面有着重要作用。
2. 数列可以用来描述各种数量的变化规律，如人口增长、销售额增加等等。
3. 通过数列的求和公式，可以计算出各种数量的累加值，如等差数列前n项和、等比数列前n项和等。
2024新高考数学考纲
2024年新高考数学考纲一、数学基础知识数学基础知识是高考数学考试的重要内容，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面。
考生需要掌握以下内容：1. 代数部分：（1）函数：包括函数的定义、函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）、函数的应用等。
（2）数列：包括等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。
（3）不等式：包括不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。
（4）解析几何：包括直线、圆、椭圆、双曲线的方程和性质等。
2. 几何部分：（1）平面几何：包括三角形、四边形、圆等图形的性质和判定等。
（2）立体几何：包括空间点、线、面的关系，空间几何体的性质和判定等。
3. 概率与统计部分：（1）概率：包括事件的概率、独立事件的概率、条件概率等。
（2）统计：包括数据的收集、整理、分析、描述等。
二、几何与空间几何与空间部分主要考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力，考生需要掌握以下内容：1. 平面几何：包括三角形的重心坐标、四边形的对角线长度相等、圆的半径相等等基本性质。
2. 立体几何：包括空间点、线、面的关系，空间几何体的性质和判定等。
在解题过程中，考生需要能够将几何问题转化为代数问题，运用方程的思想解决几何问题。
3. 解析几何：包括直线与圆的位置关系，椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质等。
在解题过程中，考生需要能够将几何问题转化为代数问题，运用方程的思想解决几何问题。
4. 空间向量：包括空间向量的加减运算、数乘运算、数量积运算等基本运算规则。
在解题过程中，考生需要能够运用空间向量的运算规则解决空间位置关系问题。
5. 图形变换：包括平移变换、旋转变换等基本变换规则。
在解题过程中，考生需要能够运用图形变换的规则解决几何作图和判断问题。
6. 圆的性质：包括圆的标准方程、一般方程和参数方程的求法，直线与圆的位置关系等。
在解题过程中，考生需要能够运用圆的性质解决直线与圆的位置关系问题。
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第6章 §6.6 数列中的综合问题
4.(2023·岳阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5,1<a3<2，则数列{a3n}的
前5项和S5的取值范围是
√A.1116，181
B.3136，383
C.－181，－1116
D.－383，－1363
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
题型二 数列与其他知识的交汇问题
命题点1 数列与不等式的交汇 例 2 (1)已知数列{an}满足 a1＋12a2＋13a3＋…＋1nan＝n2＋n(n∈N*)，设数
列{bn}满足：bn＝2anna＋n＋11，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，若 Tn<n＋n 1λ(n∈N*) 恒成立，则实数 λ 的取值范围为
资金开始超过7 000万元
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
A.14
B.13
√C.12
D.11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12， 由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比 数列， 所以an＝2 000×1.12n， 由 an＝2 000×1.12n>7 000 可得 n>log1.1272＝lglg7－1.1lg2 2≈11.1， 因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元.
第六章 数 列
§6.6 数列中的综合问题
考试要求
数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的 热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项 公式、前n项和公式等.
新考纲高考系列数学数列解题方法归纳总结
新考纲高考系列数学数列解题方法归纳总结数列解答策略命题趋势数列是新课程的必修内容，考查难度不应太大，试题倾向考查基础问题。
从高考试题看，数列试题最多为一道选择题或填空题，一道解答题。
因此，预测2012年高考中，数列试题会以考查基础问题为主，解答题中可能会出现与不等式、函数导数的综合等，但难度会得到控制。
备考建议1.数列是特殊的函数，研究时要运用函数思想解决问题，如通项公式、前n项和公式等。
2.解等差（比）数列常见题型，需要抓住基本量a1、d （或q），掌握设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算。
3.分类讨论的思想在本章尤为突出，考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。
4.等价转化是数学复中常用的方法，数列也不例外。
如an 与Sn的转化，将一些数列转化成等差（比）数列来解决等。
复时要及时总结归纳。
5.深刻理解等差（比）数列的定义，正确使用定义和性质是学好本章的关键。
6.解题要善于总结基本数学方法，如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的研究惯，定能事半功倍。
7.数列应用题将是命题的热点，关键在于建模及数列的相关知识的应用。
解答策略1.定义：等差数列{an}⇔an+1-an=d（d为常数），2an=an+1+an-1（n≥2，n∈N*），an=kn+b，Sn=An2+Bn；等比数列an+1=qan（q≠0）。
an=an-1⋅an+1（n≥2，n∈N），an=cqn（c、q均为不为0的常数），Sn=k-kqn（q≠0，q≠1，k≠0）。
2.等差、等比数列性质：等差数列特有性质：①项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)，S奇-S偶=nd，S奇+S偶=2an；②项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)an中，S奇-S偶=an中，S奇+S偶=n(an+an+1)；③若an=m，am=n（m≠n），则am+n=；若Sn=m，Sm=an。
第6章 §6.6 数列中的综合问题--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第六章§6.6 数列中的综合问题考试要求1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.例1 (1)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块√题型一数学文化与数列的实际应用公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－S n)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，5则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次，那么＝____________ dm2.依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，……1.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺教师备选√冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{a n}，设公差为d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺.A.30.3 mB.30.1 mC.27 mD.29.2 m√设|AB|＝x，a≈0.618，因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以有|BC|＝ax，|CF|＝a2x，|FG|＝a3x，|GJ|＝a4x，|JK|＝a5x，|KM|＝a6x.解得26.786<x<28.796，故选项C符合题意.数列应用问题常见模型(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑a n与a n＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者S n与S n＋1(或者相邻三项)之间的递推关系.跟踪训练1 (1)(2022·佛山模拟)随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到√A.2022年12月B.2023年2月C.2023年4月D.2023年6月每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，化简整理得，n2＋9n－860＝0，解得n≈25.17或n≈－34.17(舍)，所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2023年2月.(2)(多选)(2022·潍坊模拟)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{a n}，则A.a4＝12B.a n＋1＝a n＋n＋1C.a100＝5 050D.2a n＋1＝a n·a n＋2√√由题意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，a n＋1＝a n＋n＋1，故B正确；2a n＋1＝(n＋1)(n＋2)，显然2a n＋1≠a n·a n＋2，故D错误.题型二等差数列、等比数列的综合运算例2 (2022·滨州模拟)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝2，b2＝4，a n＝2log2b n，n∈N*.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；设等差数列{a n}的公差为d，因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以a n＝2＋(n－1)×2＝2n.又a n＝2log2b n，即2n＝2log2b n，所以n＝log2b n，所以b n＝2n.(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.由(1)得b n＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项.设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝＝a 64，b 8＝ ＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 762a 72a(1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；教师备选∴a n＋1－a n＝4n－1，可得b n＋2·c n＋1＝b n·c n，两边同乘b n＋1，可得b n＋1·b n＋2·c n＋1＝b n·b n＋1·c n，∵b1b2c1＝b2＝1＋d，∴数列{b n b n＋1c n}是一个常数列，且此常数为1＋d，即b n b n＋1c n＝1＋d，又∵b1＝1，d>0，∴b n>0，∴c1＋c2＋…＋c n对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立.另外本题在探求{a n}与{c n}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.跟踪训练2 已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{a n}的通项公式；设等差数列{a n}的公差为d.因为a1＝1，a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2.所以a n＝2n－1.(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.设等比数列{b n}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.又b1＝1，所以q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.题型三数列与其他知识的交汇问题命题点1 数列与不等式的交汇(1)求数列{a n}的通项公式；依题意可知命题点2 数列与函数的交汇1 022得f′(x)＝x2－12x＋32，所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，因为q>1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，教师备选1.已知函数f(x)＝log2x，若数列{a n}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(a n)，2n＋4成等差数列，则数列{a n}的前n项和S n＝_________.设等差数列的公差为d，则由题意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，…，从而a1＝24，a2＝26，a3＝28，…，数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.设等比数列{a n}的公比为q，解得a1＝4，q＝4，故{a n}的通项公式为a n＝4n，n∈N*.b n＝log2a n＝log24n＝2n，(2)若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2＝4.①求数列{a n}的通项公式；设{a n}的公差为d(d≠0)，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以a1·(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2.所以2a1d＝d2.因为d≠0，所以d＝2a1.又因为S2＝4，所以a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1.因为m∈N*，所以m的最小值为30.K E S H I J I N G L I A N 课时精练。
高考理科数学新课标件数列的综合应用
增长率问题的实际
意义
增长率问题在实际生活中广泛存 在，如人口增长、经济增长、物 价上涨等问题，通过数列模型可 以对其进行有效的分析和预测。
分期付款问题
分期付款问题的定义
分期付款问题是指将一笔款项分成若干期进行支付的问题，通常涉 及到等差数列或等比数列的应用。
分期付款问题的解决方法
通过构建等差数列或等比数列模型，利用数列的通项公式、求和公 式等性质，结合实际情况，求解分期付款问题。
储蓄存款问题的实际意义
储蓄存款是人们日常生活中常见的金融活动，通过数列模型可以对其进行有效的规划和 管理，实现资产的保值增值。
其他实际问题
01
其他实际问题的种类
除了上述三种常见问题外，数列在实 际问题中还有许多其他应用，如物理 中的自由落体运动、化学中的元素周 期表、生物中的细胞分裂等问题。
02
其他实际问题的解决 方法
02
对于收敛的数列，其对应的函 数在定义域内也是有界的；而 对于发散的数列，其对应的函 数可能在定义域内无界。
03
数列的收敛性与函数的有界性 密切相关，可以通过研究数列 的收敛性来判断对应函数的有 界性。
05
典型例题分析与解题思路
选择题答题技巧
排除法
根据题目条件，逐步排除不符合条件的选项， 缩小选知识体系。
03 通过对比、归纳等方法，加深对数列知识点的理 解和记忆。
针对不同题型进行专项训练，提高解题能力
针对数列的求和问题，掌握常见的求和方法，如分组求和、错位相减等， 并进行专项训练。
针对数列的通项公式问题，理解通项公式的推导过程和应用场景，并进行 专项训练。
针对数列的性质判定问题，熟悉数列的性质和判定方法，并进行专项训练 。
高考数列综合知识点总结
高考数列综合知识点总结在高考中，数列综合是一个非常重要的数学知识点。
掌握好数列综合的相关概念和解题方法，不仅可以提高解题效率，还能够帮助我们更好地理解数列的性质和应用。
本文将对高考数列综合的知识点进行总结和归纳。
一、等差数列的综合等差数列是指数列中相邻的两项之差都相等的数列。
在计算等差数列的综合时，我们常用到的有两个公式：首项加末项乘以项数的一半，以及平均数乘以项数。
其中平均数等于首项与末项之和的一半。
通过使用这些公式，我们可以求解等差数列的综合问题。
例如，已知一个等差数列的首项为a，公差为d，共有n项，我们可以用公式Sn = (a + an) * n / 2来求解数列的综合，其中an表示末项。
二、等比数列的综合等比数列是指数列中相邻的两项之比都相等的数列。
在计算等比数列的综合时，我们可以将数列的每一项都乘以一个公比r，然后再应用等差数列的综合公式来求解。
具体公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a表示首项，r表示公比。
需要注意的是，当公比r在-1到1之间时，等比数列的综合存在一个极限值。
当公比在此区间之外时，等比数列的综合趋近于无穷大或无穷小。
我们需要根据具体的题目条件来判断等比数列的综合是否存在极限。
三、递推数列的综合递推数列是一种特殊的数列，其中每一项的值都由前一项来决定。
在计算递推数列的综合时，我们需要根据递推关系找到数列的通项公式，然后再利用前面所介绍的等差或等比数列的综合公式来求解。
常见的递推数列有斐波那契数列和等差递推数列。
斐波那契数列的通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n大于等于3，F1和F2分别为1和1。
而等差递推数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
四、其他数列的综合除了等差、等比和递推数列，高考中还可能出现其他类型的数列综合题目，例如几何数列、重复数列等。
针对这些题目，我们需要根据具体的数列性质和题目条件来选择合适的解题方法。
高考数学数列题目大纲修订版
高考数学数列题目大纲修订版在高考数学中，数列一直是一个重要的考点。
数列作为数学中的一个重要概念，不仅在数学学科内部有着广泛的应用，还与其他学科和实际生活有着密切的联系。
为了更好地帮助考生应对高考数列相关题目，提高数学成绩，对高考数学数列题目大纲进行修订是十分必要的。
一、数列的基本概念1、数列的定义数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如：1，3，5，7，9 就是一个数列。
考生需要理解数列中项的顺序对于数列的定义至关重要。
2、数列的通项公式通项公式是表示数列中第 n 项与项数 n 之间关系的公式。
例如：等差数列的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d，等比数列的通项公式为 an＝ a1 q^（n 1)。
考生要能够根据给定的条件求出数列的通项公式，并利用通项公式进行相关的计算。
3、数列的前 n 项和数列的前 n 项和是指将数列的前 n 项相加所得到的和。
例如：等差数列的前 n 项和公式为 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2，等比数列的前 n 项和公式为 Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q)（q ≠ 1）。
考生要熟练掌握这些求和公式，并能够灵活运用。
二、等差数列1、等差数列的定义及性质如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
等差数列具有许多重要的性质，如：若 m ＋ n ＝ p ＋ q，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 等。
考生需要理解并掌握这些性质，能够运用它们解决相关问题。
2、等差数列的通项公式与前 n 项和公式前面已经提到了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考生要能够熟练运用这些公式进行计算和证明。
3、等差数列的判定给定一个数列，要能够判断它是否为等差数列。
常见的判定方法有定义法、等差中项法等。
三、等比数列1、等比数列的定义及性质如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
等比数列也有许多性质，如：若 m ＋n ＝ p ＋ q，则 am an ＝ ap aq 等。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第6章 必刷大题12 数列的综合问题
当n＝1时，整理得a1＝ma1－1，解得m＝2，
故Sn＝2an－1，
(a)
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
(b)
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(a)－(b)得 an＝2an－2an－1，整理得aan－n 1＝2(常数)，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n－1.
选条件③时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)，
当n＝1时，整理得2a1＝k·21，解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，
(a)
当n≥2时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，
(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，
所以an＝2n－1.
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(2)若 bn＝n＋1l1og2an＋1，且数列{bn}的前 n 项和 Tn＝19090，求 n 的值. 由(1)得 bn＝n＋1l1og2an＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝19090，解得 n＝99.
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(2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大 的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn.
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由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…，
则当n为偶数时，Sn＝ b1＋b4＋
＋b3
n 2
－2
＋
b2＋b5＋
n
n
n
＝ 3(1 272 ) ＋32(1 272 )
k＝1
n
n
＝ {[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k}＝ 2k·4k，
数列知识点总结新高考
数列知识点总结新高考数列是高中数学中重要的内容之一，也是新高考中常见的考点。
掌握数列知识对于学好数学，提高数学成绩至关重要。
下面，我们就来总结一下数列知识点，帮助大家在新高考中取得好成绩。
一、数列的定义与常见形式数列是有序数的排列，用字母a₁, a₂, a₃, ... 表示其中的每一项。
数列中的每一项称为数列的项，项数用n表示。
常见数列的形式有等差数列、等比数列和等差数列的通项公式。
二、等差数列等差数列是指数列中每一项与前一项的差是一个常数。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为：an = a₁+ (n-1)d。
求等差数列的和有两种常见方法：部分和公式和求和公式。
部分和公式是指前n项和Sn = n/2(a₁+an)，求和公式是指前n项和Sn= n/2（2a + (n-1)d）。
三、等比数列等比数列是指数列中每一项与前一项的比是一个常数。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式为：an = a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和有两种常见方法：部分和公式和求和公式。
部分和公式是指前n项和Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)，求和公式是指无穷等比数列的和S = a₁/(1 - q)。
四、通项公式的推导对于等差数列和等比数列的通项公式，有时我们需要推导，以更好地了解数列的规律。
对于等差数列，常用的推导方法有代数方法和解方程法；对于等比数列，常用的推导方法有代数方法和取对数法。
五、数列的运算对于数列，我们可以进行各种运算，包括求和、求差、求积、求商等。
掌握这些运算方法非常重要。
六、数列与数学应用数列不仅仅是简单的数学内容，它还与数学应用有着密切的联系。
数列在金融领域中的应用、物理学中的应用、几何学中的应用等都是数学应用的例子。
深入了解这些应用，可以帮助我们更好地理解数学的意义和作用。
七、数列应用解题方法在解题过程中，我们经常会遇到数列应用的问题。
要解决这些问题，我们需要善于运用数列的相关知识。
新高考数列知识点汇总总结
新高考数列知识点汇总总结数列是数学中的一种基本概念，也是学生在高中阶段需要熟练掌握的内容之一。
近年来，我国教育改革提出了新高考的要求，数列作为其中一部分，在新高考中也占据了重要的地位。
本文将对新高考数列的知识点进行汇总总结，希望对广大学生提供一些帮助。
一、数列的概念和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，其中每个数被称为该数列的项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列中的每一项都有一个确定的位置，称为项数，用n表示。
数列的一般表示形式为{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，其中an表示数列的第n项。
数列的通项公式则表示数列中任意一项与它的项数之间的关系。
数列的性质有以下几点：1. 数列的项数可以是任意正整数，用自然数段表示。
2. 数列有且只有一个首项和一个末项。
3. 数列的项数可以大于首项，也可以小于末项。
4. 数列可以有相同的项，但是位置不同。
二、数列的分类数列根据其规律的不同可以分为等差数列、等比数列和等阶数列。
1. 等差数列等差数列指的是数列中的每两个相邻项之间的差值都相等。
一个等差数列可以由其中的两个项确定，其中首项a₁和公差d决定了整个数列。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1) * d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的前n项和Sn则可以通过求和公式Sn = n/2 * (a₁ + an)来计算。
2. 等比数列等比数列指的是数列中的每两个相邻项之间的比值都相等。
一个等比数列可以由其中的两个项确定，其中首项a₁和公比q决定了整个数列。
等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
等比数列的前n项和Sn则可以通过求和公式Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)来计算。
3. 等阶数列等阶数列指的是数列中的每两个相邻项之间的差值或比值与其项数n有关。
等阶数列的通项公式一般较为复杂，需要根据具体的规律来确定。
6.3数列的综合 高考数学：结构图+考纲解读+命题趋势+专题精讲+即学即练+答案
高考数学结构图+考纲解读+命题趋势+专题精讲+即学即练+答案第三节 数列的综合数列是一种特殊的函数，解数列题时要注意运用函数与方程、分类讨论和等价转化思想等，将复杂的数列问题化繁为简.常见的数列综合题主要有数列与函数的综合（在第二章提型36中已讲解）及数列与不等式的综合两类形式.题型归纳及思路提示题型87 数列与不等式的综合 思路提示数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等.一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题利用等价转化思想将其转化为最值问题. ()a F n >恒成立max ()a F n ⇔>； ()a F n <恒成立min ()a F n ⇔<.例6.38 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.解析 （1）由题意，1910(*)n n a S n N +=+∈ ① 故有1910(2,*)n n a S n n N -=+≥∈ ② 由①-②，可得19n n n a a a +-=，即110(2,*)n n a a n n N +=≥∈，所以有110(2,*)n na n n N a +=≥∈，令1n =，代入式①，可得21910100a a =+=，故2110a a =，故有110(*)n nan N a +=∈， 故数列{}n a 是以10为首项，以10为公比的等比数列，故1101010n n n a -==. 所以lg lg10n n a n ==，即有1lg lg (1)1n n a a n n +-=+-=， 故{lg }n a 是等差数列，且首项为lg101=，公差为1. （2）解法一：由（1）可知lg lg10n n a n ==，所以133113()(lg )(lg )(1)1n n a a n n n n +==-++，故11111133[(1)()()]3(1)3223111n T n n n n =-+-++-=-=-+++. 由1n ≥，可知33312n T n =-≥+. 依题意，231(5)24m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 解法二：先由题意21(5)4n T m m >-对任意的*n N ∈都成立，故需n T 的最小值2m i n1()(5)4n T m m >-，而1330(lg )(lg )(1)n n a a n n +=>+， 故数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和n T 是关于n 的单调递增函数，故n T 的最小值为132T =，所以231(5)24m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 评注 本题中的解法二更为简捷，其原理是一个正项数列的前n 项和是关于n 的单调递增函数.其求解思想是深刻的，同学们应仔细体会并加以应用，有时它会给你带来更为快捷的解题方法.不等式的恒成立问题，主要思想是转化为探求n S 的最值问题，这样既可通过分析n S 解析式的单调性的方法，也可通过“正项数列的前n 项和是关于n 的单调递增函数”得到n S 为n 的单调递增函数，故1n S S ≥，这种方法更能突显考生思维的深刻程度.例6.39 数列{}n a 中，148,2a a ==且满足212(*)n n n a a a n N ++=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =+++，求n S ；（3）设1(*)(12)n n b n N n a =∈-，12(*)n n T b b b n N =+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈，均有32n mT >成立若成立？求出m 的值；若不存在，请说明理由. 解析 （1）由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. （2）设12n n a a a A +++=，若1020n -≥，则5n ≤，当5n ≤时，212128102||||||92n n n n nS a a a A a a a n n n +-=+++==+++=⨯=-； 当6n ≥时，212567555()2940n n n n S a a a a a a A A A A A n n =+++---=--=-=-+，故229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.（3）因为11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++，所以11111111[(1)()()](1)2223121n T n n n =-+-++-=-++，又数列{}n T 是单调递增的，故114T =为{}n T 的最小值，故18432mm >⇒<，所以m 的最大整数值是7.即存在最大整数7m =，使对任意任意*n N ∈，均有32n mT >. 评注 本题中的的第（3）问，还可以如下表述：110(12)2(1)n n b n a n n ==>-+，故数列{}n b 的前n 项和n T 是关于n 的单调递增函数，故n T 的最小值为1114T b ==，所以114T =为n T 的最小值，故18432mm >⇒<，故m 的最大整数值是7.即存在最大整数7m =，使对任意*n N ∈，均有32n m T >. 变式1 已知等差数列{}n a 满足1(*)n n a a n N +>∈，11a =，该数列的前3项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{}n b 的前3项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式,n n a b ； （2）设1212(*)n n n a a a T n N b b b =+++∈，若231()2n n n T c c Z n++-<∈恒成立，求c 的最小值.例6.40 已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和n S 与n a 之间满足22(2,*)21nn n S a n n N S =≥∈-.（1）求证：数列1{}nS 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设存在正整数k ，使12(1)(1)(1)n S S S +++≥*n N ∈都成立，求k的最大值.解析 （1）因为212(2,*)21nn n n n S a S S n n N S -==-≥∈-，故212()(21)nn n n S S S S -=--，所以1120n n n n S S S S ---+=，两边同除以10n n S S -=， 得11120n n S S --+=，故1112n n S S --=(2,*)n n N ≥∈，故数列1{}nS 是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，所以1(*)21n S n N n =∈-. 123212(2,*)(23)(21)(23)(21)n n n n n a S S n n N n n n n ---+-=-==≥∈----，又11a =不满足上式，故1(1)2(2,*)(23)(21)n n a n n N n n =⎧⎪=⎨-≥∈⎪--⎩. （3）12(1)(1)(1)n S S S +++≥*n N ∈都成立11(11)(1)(1)321n ⇔+++≥-*n N ∈都成立，即11(11)(1)(1)2n k +++-≤对一切*n N ∈恒成立，故min 11(11)(1)(1)2n k +++-≤. 令11(11)(1)(1)2()n f n +++-2211[(11)(1)(1)]321()21n f n n +++-=+， 222222()[(1)](22)21(21)1[()]23(21)(23)n f n n n n f n n n n ++++=+=>+++， 故22[(1)][()]f n f n +>，即(1)()f n f n +>.故min()(1)f n f===，因为k为正整数，所以k的最大值为1.变式1设函数()y f x=的定义域为R，当0x<时，()1f x>，且对任意,x y R∈，都有()()()f x y f x f y+=成立，数列{}na满足1(0)a f=，且11()(*)(2)nnf a n Nf a+=∈--.（1）证明：()f x在R上为减函数；（2）求2015a的值；（3）若不等式12111(1)(1)(1)na a a+++≥对一切*n N∈都成立，求k的最大值.变式2 已知{}na是递增数列，其前n项之和为nS，11a>，且10(21)(2)(*)n n nS a a n N=++∈.（1）求数列{}na的通项公式；（2）是否存在,,*m n k N∈，使得2()m n ka a a+=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（3）设2(3)3,251nn n nn anb a cn+-=-=-，若对于任意的*n N∈，不等式1231(1)(1)(1)nb b b≤+++恒成立，求正整数m的最大值.二、不等式的证明（构造辅助函数法与放缩法的应用）1.构造辅助函数（数列）证明不等式引理：10,l n(1)l n1(1)1x xx x x x x xx x-><+<⇔<<->+.证明：先证不等式的左边，ln(1)1xxx<++，移项得ln(1)01xxx-+<+，构造辅助函数()ln(1)(0)1xf x x xx=-+>+.易知(0)0f=，欲证明()0f x<，只需证明()f x在(0,)+∞上单调递减即可.2211()0(1)1(1)xf xx x x'=-=-<+++，故函数()f x在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f<=，故ln(1)1xxx<++.再证明不等式的右边，ln(1)x x+<.移项得ln(1)0x x+-<，构造辅助函数()ln(1)(0)g x x x x=+->.易知(0)0f=，欲证明()0g x<只需证明()g x在(0,)+∞上单调递减，1()1011x g x x x '=-=-<++，故函数()g x 在(0,)+∞上为减函数. ()(0)0g x g <=，故ln(1)x x +<.综上所述，当0x >时ln(1)1xx x x <+<+. 不妨令1(0,1],*x n N n=∈∈，则上述不等式变形为：经典不等式一：111ln(1)(*)1n N n n n<+<∈+ 下面就利用经典不等式一来证明在有关数列与不等式综合题中所涉及的不等式证明问题. 例6.41 证明不等式111ln (2,*)23n n n N n>+++≥∈. 分析 观察不等式，左边只有一项，而右边却有1n -项，显然要将左边的形式加以变换. 解析 由 12212111ln ln()ln()ln()ln()ln(1)ln(1)ln(1)1231121121n n n n n n n n n n n n n ---==+++=++++++-------利用经典不等式一的左边11ln(1)1n n<++来证明. 111111ln(1),ln(1),,ln(1)12112n n n n +>+>+>---.故11111123ln(1)ln(1)ln(1)ln ln ln23121121nn n n +++<++++++=+++-- 234ln()ln 1231nn n =⨯⨯⨯⨯=- 故111ln (2,*)23n n n N n>+++≥∈.变式1 证明：不等式22221111(1)(1)(1)(1)234e n++++<.变式2 数列{}n a 满足112111,(1)(*)2n nna a a n N n n +==++∈+. （1）求证：2(*,2)n a n N n ≥∈≥；（2）已知不等式ln(1)x x +<对0x >成立，试证明：2n a e <.变式3 设函数()ln 1f x x px =-+. （1）求函数()f x 的极值；（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；（3）求证：2222222ln 2ln 3ln 21(*,2)232(1)n n n n N n n n --+++<∈≥+.变式4 已知函数2()22x f x x =-，各项都小于零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =.（1）求证：111ln (*)1n nn n N a n a +<<-∈-； （2）求证：11111ln 2015123201522014+++<<+++.变式5 已知函数()x f x e x =-，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x 的最小值；（2）设*n N ∈，且2n ≥，证明：1211()()()1n n n n n n n e -+++<-.变式6 证明：不等式2111()ln (1,2,)12nk k n n k =-<-≤=+∑.经典不等式二：2111ln(1)(*)n N n n n +>-∈.经典不等式三：23111ln(1)(*)n N n n n+>-∈.证明：令1(0,1]x n=∈，经典不等式二可变为2ln(1)x x x +>-，移项得2ln(1)0x x x +-+>， 构造辅助函数2()ln(1)([0,1])f x x x x x =+-+∈.211(21)(1)121(21)()1201111x x x x x x f x x x x x x +-+++-+'=-+===>++++，故函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，又(0)0f =，故()(0)0f x f >=，即2l n (1)0x x x +-+>. 令1(0,1]x n =∈，得2111ln(1)(*)n N n n n+>-∈.同理可将经典不等式三构造辅助函数23()ln(1)([0,1])f x x x x x =+-+∈.3232213213(1)()230,[0,1]111x x x x x f x x x x x x x +-++-'=-+==>∈+++，故函数()f x 在[0,1]x ∈上单调递增，又(0)0f =，故()(0)0f x f >=，即23ln(1)0x x x +-+>.令1(0,1]x n =∈，得23111ln(1)(*)n N n n n+>-∈.例6.42 求证：对任意的*n N ∈，都有211ln(1)ni i n i =-+>∑成立. 分析 观察不等式的右边，不难想到可应用经典不等式证明. 解析 由经典不等式二知，2111ln(1)n n n+>-，得2111ln(1)11(1)n n n +>----，21ln(11)11+>-， 故11ln(1)ln(1)ln(11)1n n ++++++>-211ni i i =-∑，所以211ln(1)ni i n i=-+>∑.证毕.2.放缩法证明不等式在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.放缩法证不等式的理论依据是：,A B B C A C >>⇒>；,A B B C A C <<⇒<.放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找. 方法1：对n a 进行放缩，然后求和.当1nk k a =∑既不关于n 单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对n a 进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.例6.43 求证：2211nk k=<∑.解析 证法一：2k ≥时，因为21111(1)1k k k k k <=---，所以221111nk kn =<-<∑. 证法二：2k ≥时，因为22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==--+--+， 所以22111113(1)12214nk k n n =<+--<<+∑. 证法三：2k ≥时，因为221111422k k k k <=---+，所以2211121113222nk k n =<-<<-+∑. 评注 不同的证明方法可达不同的结论，基本原则是裂项要能相消；放缩程度越小、越精确，效果越好.此外，常用2(1)(1)n n n n n -<<+来放缩有关2n 的问题.变式1 正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0nn S n n S n n -+--+=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈，都有564n T <.例6.44 已知数列{}n a 满足1111,()20(*)2n n n a n a a a n N ++=-+=∈（1）求n a ； （2）1(2)2n n n n a b ++=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：12nT <. 分析 由递推公式求出数列{}n a 的通项公式，从而求出数列{}n b 的通项公式，将数列{}n b 的通项进行放缩成为裂项相消可求和的形式. 解析 （1）由题意知1(2)n n n a na ++=，则12n n a na n +=+. 12121121(2),,,13n n n n a a a n n n a n a na -----=≥==+. 则12121112212143(1)n n n n n a a a a n n a a a n n n n a -----===++，所以1(2)(1)n a n n n =≥+， 当1n =时，112a =也适合，故1(1)n a n n =+.（2）由题意及（1）得111(2)2112(1)22(1)2n n n n n n n a n b n n n n +++++===-++， 所以22311111111111()()[]122222322(1)22(1)22n n n n T n n n ++=-+-++-=-<++. 变式1 已知函数()(1)(0)f x x x x =+>，数列{}n c 满足111,()(*)2n n c c f c n N +==∈.求证：*,2n N n ∈≥时，都有1211112111nc c c <+++<+++. 变式2 数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，求证：.变式3 在数列中，，且成等差数列，成等比数列.（1）求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：.变式4 （2012广东理19）设数列的前项和为，满足，且成等差数列.。
新高考数列知识点归纳总结
新高考数列知识点归纳总结随着新高考制度的推行，数学作为一门重要的学科，对于考生来说，变得更加关键和重要。
数列作为数学中的一个重要概念，也是新高考数学中的一个必学知识点。
本文将对新高考数列知识点进行归纳总结，帮助考生更好地理解和掌握数列的相关内容。
一、数列的概念和基本特点数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的，我们常将数列记作{an}。
数列的基本特点包括有穷数列和无穷数列两种情况。
有穷数列是指数列中元素的个数有限，而无穷数列是指数列中元素的个数无限。
数列中的每一个元素称为数列的项，分为首项和通项。
首项表示数列的第一个元素，通项表示数列中的任意一项。
二、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质包括：公差为常数、任意项与首项的差是项数与公差的乘积、前n项和的通项公式等。
三、等差数列的应用等差数列在日常生活和数学中有广泛的应用。
在日常生活中，我们常用到等差数列的概念进行计算，如计算等差数列中的某一项或某一部分的和。
在数学中，等差数列也常被用于数列的推导和证明，通过找到规律，我们可以得到等差数列的通项公式。
四、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的性质包括：公比为常数、任意项与首项的比是公比的n次方、前n项和的通项公式等。
五、等比数列的应用等比数列在数学中也有广泛的应用。
在数学中，等比数列常被用于数列的推导和证明，通过找到规律，我们可以得到等比数列的通项公式。
在实际应用中，等比数列也常被用于表示比例关系，如经济增长中的指数增长、科学实验中的放大倍数等。
六、前n项和的计算在数列中，我们常常需要计算前n项的和。
对于等差数列来说，其前n项和的通项公式为Sn=(a1+an)*n/2。
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新考纲高考系列数学数列综合★★★高考在考什么 【考题回放】1.已知a bc d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．73. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A ．122n +- B.3n C. 2n D.31n -【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列， 则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
4.设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ B ）A ．10B ．11C ．12D ．135. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3．又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)．当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时，a 3=12， a 15=72， 有a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2n a 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. ★★★高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★ ★★ 突 破 重 难 点【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥） 易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则11(2)2n n d d n -=≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为112n n d -=． 由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 1122n n a n =++， 求和得21122n n n S n =-+++．【变式】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+ ， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1211122()42212n n n n n n a nd a n S a nd a n n S a a n ++⨯+++===++⨯＝2(1)1n n a n a +++，所以n a n =。
（Ⅱ）由n a n n b a p =，得n n b np =。
所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+ ， 当1p =时，12n n T +=； 当1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+ ，23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p pp npnp p-++--=+++++-=--即11,12(1),11n nn n p T p p np p p++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪-⎩。
（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ， 故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.【范例2】已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记lnn n n a b a aβ-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。
解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，∴5αβ=；（2）'()21f x x =+，21115(21)(21)12442121n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ =5114(21)4212n n a a ++-+，∵11a =，∴有基本不等式可知20a ≥>（当且仅当1a 时取等号），∴20a >同，样3a，……，n a α=（n=1,2,……）， （3）1()()(1)2121nn n n n n n n a a a a a a a a αββββα+----=--=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-， 21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，又113ln l n l n 1b βα-===-2(2n n S =-【文】已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是的导数设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n = . (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-,(1,2,)n = .求数列{n b }的前n 项和n S ．解、(1) 由 210x x +-=得12x -=12α-+∴=12β-=(2) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(22221111n n n n n nn n n a a a a a a a a ββαα+++⎛⎫++ ⎪⎛⎫--==== ⎪--⎝⎭∴ 12n n b b +=又1111ln4ln2a b a βα-===-∴数列{}n b 是一个首项为14ln2,公比为2的等比数列; ∴)()12242112n n n S -==--【变式】对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f （x 0）；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f （x 1），并依此规律继续下去． 现定义f （x ）=124+-x x ． （Ⅰ）若输入x 0＝6549，则由数列发生器产生数列｛x n ｝．请写出数列｛x n ｝的所有项； （Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值； （Ⅲ）（理）若输入x 0时，产生的无穷数列｛x n ｝满足：对任意正整数n ,均有x n ＜x n ＋1，求x 0的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域D ＝（－∞ －1）∪（－1，＋∞） ∴数列｛x n ｝只有三项x 1＝1911，x 2＝51，x 3＝－1 （Ⅱ）∵f （x ）＝124+-x x ＝x 即x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2 即x 0＝1或2时，x n ＋1＝124+-n n x x ＝x n ，故当x 0＝1时，x 0＝1；当x 0＝2时，x n ＝2（n ∈N ）（Ⅲ）解不等式x ＜124+-x x ，得x ＜－1或1＜x ＜2，要使x 1＜x 2，则x 2＜－1或1＜x 1＜2对于函数f （x ）＝164124+-=+-x x x 。