【配套K12】高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数1.2.2

1.2.2同角三角函数的基本关系
课时过关·能力提升
基础巩固
1已知cos α=2
3
,则sin2α等于()
A.5
9
B.±59
C.√53
D.±√53
解析:sin2α=1-cos2α=5 9 .
答案:A
2已知α为锐角,sin α=3
5
,则tan α等于()
A.4
5
B.54
C.43
D.34
解析:∵α为锐角,∴cosα=√1-sin2α=4 5 .
∴tanα=sinα
cosα
=34.
答案:D
3化简√1-cos2190°的结果为()
A.cos 190°
B.sin 190°
C.-sin 190°
D.-cos 190°
解析:原式=√sin2190°=|sin190°|=-sin190°.答案:C
4已知在△ABC中,tan A=−5
12
,则cos A的值是()
A.12
13
B.−1213
C.513
D.−513
解析:∵tan A=−512,且A 是△ABC 的内角,∴A 是钝角.
∵sinA cosA =−512,∴sin A=−512cos A.
又sin 2A+cos 2A=1,
∴25144cos2A +cos2A =1,cos2A =144169,cos A=−1213.
答案:B
5若sinα-2cosα3sinα+5cosα=−5,则tan α的值为( )
A.-2
B.2 C .2316D.−2316
解析:sinα-2cosα3sinα+5cosα=sinα
cosα-23sinαcosα+5=tanα-23tanα+5=−5,解得tan α=−2316
.
答案:D
6若sin θ=−1213,tan θ>0,则cos θ= .
解析:∵sin θ=−1213<0,tan θ>0,
∴θ是第三象限角,
∴cos θ<0,则
cos θ=−√1-sin 2θ=−√1-(-1213)2=−513.
答案:−513
7已知sin x=2cos x ,则sin 2x= .
解析:∵sin x=2cos x ,∴sin 2x=4cos 2x.
∴sin 2x=4(1-sin 2x ).解得sin 2x =45.
答案:45
8已知A 为锐角,且lg(1+cos A )=m ,l g 11-cosA =n,则lg sin A 的值为
.
答案:m -n 2
9求证:tanαsinα
tanα-sinα
=tanα+sinα
tanαsinα
.
证明左边=
sin2α
cosα
sinα
cosα-sinα
=sin
2α
sinα-sinαcosα
=1-cos
2α
sinα(1-cosα)
=1+cosα
sinα
,右边=
sinα
cosα+sinα
sinα
cosα·sinα
=
1
cosα+1
sinα
cosα
=1+cosα
sinα
.
左边=右边.故原式成立.
10已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1.求下列各式的值: (1)tan α;
(2)2sinα-3cosα4sinα-9cosα
.
解(1)2cos2α+3cosαsinα-3sin2α
=2cos2α+3cosαsinα-3sin2α
sin2α+cos2α
=
2+3tanα-3tan2α
1+tan2α,
则
2+3tanα-3tan2α
1+tan2α=1,
即4tan2α-3tanα-1=0.
解得tanα=−1
4或tanα=1.
(2)原式=2sinα
cosα-
3cosα
cosα
4sinα
cosα-
9cosα
cosα
=2tanα-3
4tanα-9
,
当tanα=−1
4时,原式=
7
20
;
当tanα=1时,原式=1
5
.
能力提升
1已知tan α>0,且sin α+cos α<0,则() A.cos α>0 B.cos α<0
C.cos α=0
D.cos α符号不确定
解析:∵tan α=
sinαcosα>0, ∴sinαcosα
>0,即sin α与cos α符号相同. 又sin α+cos α<0,则cos α<0.
答案:B
2若α∈[0,2π),且√1-cos 2α+√1-sin 2α=sin α−cos α,则角α的取值范围是( )
A .[0,π2]B.[π2,π]
C .[π,3π2]D.[3π2
,2π) 解析:由已知√1-cos 2α+√1-sin 2α
=√sin 2α+√cos 2α
=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,
∴sin α≥0,cos α≤0.
又α∈[0,2π),∴α∈[π2
,π].
答案:B 3若非零实数m ,n 满足tan α-sin α=m ,tan α+sin α=n ,则cos α等于( )
A .n -m m+n B.m -n 2
C .
m+n 2 D.m -n n+m 解析:已知条件中的两等式联立,得{tanα-sinα=m ,tanα+sinα=n ,
解得tan α=m+n 2,sinα=n -m 2,则cos α=sinαtanα=n -m n+m . 答案:A
★4已知θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59
,则sin θcos θ的值为( ) A .√23B.−√23C.13D.−13
解析:由sin 4θ+cos 4θ=59,
得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59
.
∵θ是第三象限角,
sin θ<0,cos θ<0, ∴sin θcos θ=√23.
答案:A
5化简sin 2α+sin 2β-sin 2αcos 2β-sin 2αsin 2β的结果为 .
解析:原式=(sin 2α-sin 2αcos 2β)+(sin 2β-sin 2αsin 2β)=sin 2α(1-cos 2β)+sin 2β(1-
sin 2α)=sin 2αsin 2β+sin 2βcos 2α=sin 2β(sin 2α+cos 2α)=sin 2β.
答案:sin 2β
6已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦,则实数m 的值为 .
答案:√3
7已知sin θ=a sin φ,tan θ=b tan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ=√a 2-1
b 2-1.
证明由题意知a =sinθsinφ,b =tanθtanφ=sinθcosφcosθsinφ
. 右边=√sin 2θsin 2φ-1sin 2θcos 2φcos 2θsin 2φ-1=√sin 2θ-sin 2φsin 2φsin 2θcos 2φ-cos 2θsin 2φcos 2θsin 2φ
, 整理,得
右边=√
sin 2θ-sin 2φsin 2φ·cos 2θsin 2φsin 2θ-sin 2φ=|cos θ|. 因为θ为锐角,所以右边=cos θ=左边.
★8已知sin α+cos α=13,其中0<α<π,求sin α−cos α的值.
解∵sin α+cos α=13,
即1+2sinαcosα=1 9 ,
∴sinαcosα=−4 9 .
∵0<α<π,且sinαcosα<0, ∴sinα>0,cosα<0.
∴sinα-cosα>0.
又(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=17 9 ,
∴sinα-cosα=√17 3
.。