江苏省南京市、盐城市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题

江苏省南京市、盐城市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ．
4．命题“ θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．
6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差 是 ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2
＝4x 上的点P 到其焦点的距离为 3，则点P 到点O 的距离为 ．
8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，
则
2
1
a a 的值为 ． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1
的体积分别为V 1与V 2，则
2
1
V V ＝ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜
2
π
)的图象与y 轴交点的纵坐标为3，
y 轴右侧第一个最低点的横坐标为
6
π
，则ω的值为 ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42
=+u u u r u u u r u u u r
，则
cos ∠BAC 的值为 ．
12．若无穷数列{}cos()n ω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为 ．
13．已知集合P ＝{}
()16x y x x y y +=，，集合Q ＝{}
12()x y kx b y kx b +≤≤+，，若
第5题
P ⊆Q ，则
122
1
b b k -
+的最小值为 ．
14．若对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2121
x
e x ax ≤-+成立，则实数a 的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6
π
+
=．
（1）若cosC ＝6
3
，AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝4
5
，求sinA ．
16．（本题满分14分）
如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1
PC PC
的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．
17．（本题满分14分）
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．
（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）
18．（本题满分16分）
设椭圆C ：22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，
0y ) 在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r
，
求λμ+的最小值．
19．（本题满分16分）
定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．
（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11
22
n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；
（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得
40394040
20192019
m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）
若函数()x
x
f x e ae
mx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．
（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02
()f x e
≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
附加题，共40分
21．【选做题】本题包括A ，B ， C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦
变换后得到圆C ′：22
13x y +=，求实数a 的值．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．
C ．选修4—5：不等式选讲
已知正实数 a ，b ，c 满足123
1a b c
++=，求23a b c ++的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．
（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为
3
π
，求母线AA 1的长．
23．（本小题满分10分）
设
22201221
(12)
n
i
n
n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n
N *
∈)，记
0242n n S a a a a =++++L ．
（1）求n S ；
（2）记1
2
3
123(1)n
n
n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立．。