2019考研数学基础阶高数之不定积分
考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
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第四章 不定积分⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分1第一节 不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数：若对于,有或,称为在区间内的原函数。
I x ∈∀∈)()(x f x F='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I2原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。
)(x f I )(x F x∈I )()(x f x F='3【例1】设是在上的一个原函数,则在上（ )（A ）可导 （B ）连续（C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ）)(x F )(x f (,)a b ()()fx F x(,)a b4【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为（A ）. （B ）。
（C ）。
（D). 【答案】（B ）)(x f x sin )(x f x sin 1+x sin 1-x cos 1+x cos 1-5二、不定积分的定义不定积分：在区间内,的带有任意常数I )(x f6项的原函数称为在区间内的不定积分，记为:，即 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。
C x F+)()(x f I ⎰dx x f )(⎰+=C x F dx x f )()(C不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇-—无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）
高等数学之不定积分
tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C；②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
（二）第二类换元积分法（有根号，平方和差）
x (t)可导且(t) 0
（1）定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3：不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形（如右图）则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三：分部积分法
高数之不定积分
有理函数的不定积分可以通过有理函数的分解来进行求解。对于形如 (f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}) 的有理 函数，其中 (P(x)) 和 (Q(x)) 是多项式，可以将 (f(x)) 分解为多项式和简单分式的和，然后分别对各项 进行积分，最后求得整个函数的不定积分。
03
不定积分的运算技巧
不定积分表的使用
查阅公式
不定积分表包含了大量常见函数的积分公式， 方便学生快速查阅。
简化计算
使用不定积分表可以简化复杂的积分计算过 程，提高解题效率。
避免错误
对于初学者来说，不定积分表可以避免在记 忆和推导过程中出现错误。
注意事项
使用不定积分表时需要注意公式的适用范围 和条件，以及公式的推导和证明。
求解反常积分
反常积分（无穷积分）也可以通 过不定积分来求解，通过不定积 分得到原函数，再根据反常积分 的定义进行计算。
求解函数的零点
对于某些函数，通过不定积分可 以找到函数的零点，或者在求解 过程中作为中间步骤。
在物理问题中的应用
解决动力学问题
01
在经典力学中，不定积分常用于解决与速度、加速度和力相关
03
求解高阶微分方程
不定积分可以用来求解一阶常微 分方程，通过不定积分得到原函 数，再代入初值条件求解。
对于高阶微分方程，不定积分可 以用来求解部分特解，或者在求 解过程中作为中间步骤。
在函数求值中的应用
计算定积分
不定积分是计算定积分的基础， 通过不定积分得到原函数，再根 据定积分的定义计算定积分。
高数之不定积分
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的运算技巧 • 不定积分的应用 • 常见不定积分公式与表格
考研高等数学高数公式
考研高等数学高数公式在考研高等数学中，高数公式是非常重要的一部分，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
下面是一些常见的高数公式。
1.导数相关公式：-基本导数公式：$\frac{d(c)}{dx}=0$ （常数导数为0）$\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$ （幂函数的导数）$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x$ （正弦函数的导数）$\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x$ （余弦函数的导数）$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$ （正切函数的导数）-乘法法则：$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ （两个函数的乘积的导数）-除法法则：$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ （两个函数的商的导数）-复合函数求导法则：$\frac{d(u(v))}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$ （复合函数的导数）2.积分相关公式：-不定积分公式：$\int kdx=kx+C$ （常数的积分）$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ （幂函数的不定积分，n不等于-1）$\int e^xdx=e^x+C$ （指数函数的不定积分）$\int \sin xdx=-\cos x+C$ （正弦函数的不定积分）$\int \cos xdx=\sin x+C$ （余弦函数的不定积分）$\int \tan xdx=-\ln，\cos x，+C$ （正切函数的不定积分）-定积分基本公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ （定积分的基本公式）$\int_{a}^{b}kdx=k(b-a)$ （常数的定积分）-分部积分法则：$\int u dv=uv-\int v du$ （分部积分法则）3.极限相关公式：-基本极限：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ （正弦函数的极限）$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ （余弦函数的极限）-洛必达法则：若$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ （洛必达法则）-泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$ （泰勒展开公式）以上只是一些高等数学中常用的公式，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
考研数学高数公式：不定积分
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考研数学高数公式：不定积分
第四章：不定积分
学习要求：
1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质
2.掌握不定积分的换元积分法
3.掌握不定积分的分步积分法
4.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分。
不定积分的基本公式和定理
1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
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考研不定积分的解法和分析
不定积分— 岳美汐在应对不定积分的题型中,首先我们要对基本的积分公式掌握的非常熟练。
例如1ln dx x C x =+⎰，sin cos xdx x C =-+⎰，sec tan sec x xdx x C =+⎰,21arctan 1dx x C x =++⎰等。
记忆这些不定积分的基本公式的时候，我们要注意细节。
细节决定了我们考研数学考试成绩的高低。
例如对1x 进行积分的时候,得到ln x C +,注意要对x 加有绝对值。
对sin x 进行积分的时候，得到cos x C -+,注意负号。
对sec tan x x 进行积分,我们要是在考试中自己去算比较浪费时间，所以在平时要对这样的公式加强记忆，对于211x+进行积分的时候，得到的是arctan x C +，对于一些比较特殊的函数积分，我们要经常练习,多记忆。
对基本的不定积分的公式，我们要烂熟于心。
那么要想做出不定积分的计算题，我们仅单纯的记忆基本的不定积分的公式是不够的。
我们还需要对不定积分的一些换元方法了如指掌。
下面我们具体的说一下，不定积分的方法有：第一类换元法（凑微分）,第二类换元法，分部积分法.在基础阶段的时候，要对每一种方法都非常的熟练,高数课本每一节后面都有针对性的习题，所以我们要认真的做高等数学的课本上的不定积分的课后习题。
不定积分计算是定积分计算的基础，也是后面多元函数积分学的计算的基础。
希望同学要重视不定积分的计算。
不仅如此，在概率论与数理统计中，许多题也都要应用到积分。
所以不定积分计算是非常重要的。
而在考研题中对不定积分的计算的方法一般会综合起来运用。
这样就增加我们的计算量以及计算方法的灵活性。
下面我们结合具体实例2ln sin sin x dx x⎰，如果对基本公式21cot sin dx x x =-⎰很熟悉的话，这道题就化为ln sin cot xd x -⎰，再应用分部积分可以得到2cot ln sin cot x x xdx -⋅+⎰，在应用简单的三角函数的变换22csc 1cot x x -=，那么积分()22cot csc 1xdx x dx =-⎰⎰，再根据2csc cot xdx x C =-+⎰，这道题就解出来了。
10分钟掌握高数上不定积分问题(考研、期末复习均可以用)
10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）好久没有更新高数的内容了，之前一直更新的是概率论和线性代数的内容，其中概率基本更完了，线性代数还没，知识点有点多，道阻且长，哭唧唧T_T！！下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------首先简单介绍下积分，积分是导数的一个反向求解过程，很多人在高中的时候是学过导数的，所以在大学再学的时候会觉得比较简单，但是到了积分这一节，会突然卡住，发现怎么那么难，正着做会，反着就不会了，那么下面重点讲讲不定积分的求解吧一、原函数与不定积分的基本概念1、原函数设 f(x),F(x) 为定义在区间 I 上的函数，若对一切的 x\in I ，有 F'(x)=f(x) ，则称 F(x) 为 f(x) 的原函数备注：（1）函数 f(x) 是否存在原函数与区间 I 有关（2）连续函数一定存在原函数，反之不对（3）有第一类间断的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能有原函数（这句话还有另一种表达方式：即某个函数的导函数不一定连续），如F(x)=x^{2}sin\frac{1}{x}(x\ne0) ,F(x)=0(x=0)f(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}(x\ne0) ,f(x)=0(x=0)显然 F'(x)=f(x) ，但 x=0 为 f(x) 的二类间断点，即导函数不连续（4）若 f(x) 有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之差为常数（5）原函数、函数及导函数对比2、不定积分设 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 f(x) 的所有原函数F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 \int f(x)dx=F(x)+C注解：（1）\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx （2） \int kf(x)dx=k\int f(x)dx【例题】\int (x+\frac{1}{x})dx=\int xdx+\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}+ln\left| x\right|+C\int 5xdx=5\intxdx=5\times\frac{1}{2}x^{2}=\frac{5}{2}x^{2}+C二、不定积分基本公式1、常数函数积分\int kdx=kx+C2、幂函数积分\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C ，\int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C3、指数函数积分\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}a^{x}+C ，\inte^{x}dx=e^{x}+C4、三角函数积分\int sinxdx=-cosx+C ，\int cosxdx=sinx+C，\inttanxdx=-ln\left| cosx \right|+C， \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C ， \int secxdx=ln\left| secx+tanx\right|+C ， \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx\right|+C ， \int sec^{2}xdx=tanx+C ， \intcsc^{2}xdx=-cotx+C ， \int secxtanxdx=secx+C ， \int cscxcotxdx=-cscx+C5、特殊函数积分\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C ， \int\frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C三、不定积分的积分法不定积分的积分方法主要有五种：一类换元法、二类换元法、分步积分法、有理函数积分法、三角函数积分法，课本上一般只介绍了前三种，不够全面，下面具体来看看（一）一类换元法（凑微法）1、定义设 f(u) 的原函数为 F(u) ， \varphi(x) 为可导函数，则\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\intf[\varphi(x)]d\varphi(x)令 \varphi(x)=u ，则原式 =\intf(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C在微凑法里面，很多同学会懵逼：d后面那个是怎么来的，完全没有思路实际上，一类换元法的话会涉及到微分的知识，如果对微分熟悉的同学应该还是可以看懂的，下面简单讲解一下回顾下微分的内容， dy=f'(x)dx ，其中 y=f(x) ，基于这个点，看下几个例子y=x^{2},dy=2xdx\Rightarrowdx^{2}=2xdxy=sinx,dy=cosxdx\Rightarrowdsinx=cosxdx【例题】\int 2xdx=\int d(x^{2})=x^{2}+C\intcosxdx=\int d(sinx)=sinx+C上述两道题从第一步到第二部的变化现在应该可以看懂了，主要就是利用微分的形式进行变化的2、凑微法基本公式以下列举了一些凑微法中常用的公式，不过不建议大家去背下来，主要还是要靠题目去巩固【例题】\int \frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\intarcsinxdarcsinx=\frac{1}{2}(arcsinx)^2+C（二）二类换元法1、定义设 \varphi(t) 为单调可导函数，且\varphi'(t)\ne0， f(x) 有原函数，则令 x=\varphi(t)\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt=\intg(t)dt=G(t)+C =G[\varphi^{-1}(x)]+C2、适用范围（1）二类换元法经常使用在根号下的平方相加减的积分计算中，这时候就利用三角替换进行解答主要利用两个三角函数公式的变换：sin^{2}x+cos^{2}x=1 ， tan^{2}x+1=sec^{2}x ，利用三角函数的变化，去掉根号，再进行计算，常用的替换如下：情形一：若函数中含有 \sqrt{a^{2}-x^{2}} ，变换 x=asint情形二：若函数中含有 \sqrt{a^{2}+x^{2}}，变换 x=atant情形三：若函数中含有 \sqrt{x^{2}-a^{2}}，变换 x=asect（2）无理函数化成有利函数的积分【例题1】求解\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}解答：令 \sqrt{x}=t,x=t^{2},dx=2tdt原式为 \int\frac{dx}{\sqrt{x}+1}=\int\frac{2tdt}{t+1}=\int \frac{2t+2-2}{t+1}dt=2-\int \frac{2}{t+1}dt=2t-2ln\left| t+1\right|+C最后将 t 换回 x 即可，即原函数为2\sqrt{x}-2ln\left| \sqrt{x}+1 \right|+C【例题2】求解 \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}解答：令 x=tant,dx=sec^{2}t原式为 \int\frac{sec^{2}tdt}{\sqrt{1+tan^{2}t}}=\int\frac{sec^2t}{sect}dt=\int sectdt=ln\left|tant+sect \right|+C做到这边很多人又有疑问了，tant 可以换回去 x ，那么 sect 呢，如何换成 x的表达式，这里介绍一种图像结合的方法，大家看下下面这张三角形结合直角三角形及t和x的函数关系，即可推导出其余三角函数的公式所以原式为 =ln\left|x+\sqrt{1+x^{2}} \right|+C（三）分部积分法1、定义设 u(x),v(x) 连续可导，则分部积分法公式为 \intu(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)2、适用情况以下几种形式可以采用分部积分法进行计算：（1）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^ne^{x}dx （2）被积函数为幂函数与指数函数之积，如\int x^nlnxdx （3）被积函数为幂函数与三角函数之积（4）被积函数为幂函数与反三角函数之积（5）被积函数为指数函数与三角函数之积（6）被积函数含有 sec^nx 或 csc^nx （ n 为奇数）备注：用分部积分法时一定要注意，哪个函数设为 u(x) ，哪个函数为 v(x) ，下列简述下不同的设法最后的结果是怎么样的【例题】求解 \int xe^{x}dx解答一：u(x)=e^{x},v'(x)=x 则u'(x)=e^{x},v(x)=\frac{1}{2}x^2\intxe^{x}dx=\inte^{x}d\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2e^{x}-\int\frac{1}{2}x^2e^{x}dx做到这发现一个问题，原来的积分仅为一次方，而用了一次分部积分后发现变成了二次方，解答难度变得更大了，这说明在函数的假设过程中是有问题的，若利用该方法继续往下算，会发现永远算不出来解答二：u(x)=x,v'(x)=e^{x} 则 u'(x)=1,v(x)=e^{x}\intxe^{x}dx=\int xde^{x}=xe^{x}-\inte^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C做到这里会发现分部积分法最重要的就是要将 u,v 设正确了，只要假设正确了，一般就能做出来（四）有理函数积分1、形式设 R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} ，其中 P(x),Q(x) 为多项式，此处仅考虑P(x)的次数比 Q(x) 次数低时的情况（若P(x)的次数比 Q(x) 次数高时，可对 P(x) 进行拆分）（1） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}dx（2） \int \frac{dx}{(x+a)(x+b)^2}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{B}{(x+b)}+\frac{C}{(x+b)^2}dx（3）\int \frac{dx}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\int\frac{A}{(x+a)}+\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)}dx将有理函数设成上面带有 A,B,C 的函数，通过与原式对比，解答出 A,B,C ，再进行计算【例题】求解 \int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx分析：\frac{x+1}{x^2-x-6}=\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-3)}由 A(x-3)+B(x+2)=(A+B)x+(2B-3A)=x+1A+B=1 ， 2B-3A=1\RightarrowA=\frac{1}{5} ， B=\frac{4}{5}解答：\int \frac{x+1}{x^2-x-6}dx=\int\frac{1}{5}\frac{1}{x+2}+\frac{4}{5}\frac{1}{x-3}dx\frac{1}{5}ln\left| x+2\right|+\frac{4}{5}ln\left| x-3 \right|+C（五）三角函数积分三角函数的积分一般利用几个基础的三角变换公式进行化简，化简后再进行积分求解：1、倍角公式：sin2x=2sinxcosx ， cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2、半角公式：利用背角公式进行推导，此处不进行列举3、和积化差公式：sin\alpha+sin\beta=2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})sin\alpha-sin\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\fr ac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha+cos\beta=2cos(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{ 2})cos(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2})cos\alpha-cos\beta=-2sin(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2})sin(\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta}{2})4、万能公式法令 tan\frac{x}{2}=u ，则 sinx=\frac{2u}{1+u^2} ，cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2} ， dx=\frac{2}{1+u^2}du利用万能公式便可将三角函数积分变换成有理函数积分进行求解，不过该解法相对比较麻烦，很少会采用该方法进行计算不定积分的解答方法基本就是这些了，方法比较多，但是不同方法有对应的积分形式，只要熟悉了积分形式，解答的时候也相对快捷--------------分割线---------------码字不易，请大家点个赞吧~另外如果有考研或者数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~也可以点击头像加入社群进行交流~。
《高数》必背公式之不定积分(完整版)
《高数》必背公式之不定积分（完整版）高等数学中的不定积分是一种数学运算，它是求解导数的逆运算，也称为反导函数。
在学习高等数学的过程中，我们需要掌握一些常用的不定积分公式，以便能够更好地解决各种数学问题。
下面是一些常见的不定积分公式的完整版，共计超过1200字。
1.基本积分公式(1) ∫k dx = kx + C （k为常数，C为任意常数）(2) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n不等于-1，C为任意常数）(3) ∫e^x dx = e^x + C(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （a为常数且a不等于1）(5) ∫sinx dx = -cosx + C(6) ∫cosx dx = sinx + C(7) ∫sec^2x dx = tanx + C(8) ∫csc^2x dx = -cotx + C(9) ∫secx tanx dx = secx + C(10) ∫cscx cotx dx = -cscx + C(11) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C2.分部积分法分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，可以通过将一个积分式子拆分成两部分来求解。
∫u dv = uv - ∫v du其中，u和v是函数，∫u dv和∫v du分别表示u和v的不定积分。
3.三角函数的积分公式(1) ∫sin(ax) dx = -1/a cos(ax) + C(2) ∫cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + C(3) ∫tan(ax) dx = -ln，cos(ax)，/a + C （a不等于0）(4) ∫cot(ax) dx = ln，sin(ax)，/a + C （a不等于0）(5) ∫sec(ax) dx = (1/a) ln，sec(ax) + tan(ax)， + C(6) ∫csc(ax) dx = (1/a) ln，csc(ax) - cot(ax)， + C4.指数函数和对数函数的积分公式(1) ∫e^ax dx = (1/a) e^ax + C （a不等于0）(2) ∫ln(ax) dx = x(ln(ax) - 1) + C5.三角函数与指数函数的积分公式(1) ∫e^x sin(x) dx = (1/2) e^x (sinx - cosx) + C(2) ∫e^x cos(x) dx = (1/2) e^x (sinx + cosx) + C(3) ∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^axcos(bx))/(a^2 + b^2) + C(4) ∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^axsin(bx))/(a^2 + b^2) + C以上只是一部分常用的不定积分公式，还有许多其他的公式可以根据需要进行学习。
高数关于不定积分的概念理解
关于不定积分∫f(x)d x整体记号中的“d”能被看作微分（dx被看作因
子参与运算）的解释
导数的其中一个定义叫微商，即f’(x)=dy/dx,而微分公式d f(x)=f’(x)dx则表明了求导是求微分“df(x)”最关键的步骤，甚至把求微分当作了求导数（之后再乘dx）。
这都无可厚非，基于此种印象和习惯，我们自然而然地把求不定积分看作了求导的逆运算。
但实际上，这是不准确的，或者说是错的！
事实上：求不定积分是求微分的逆运算，并非求导的逆运算。
即“∫”和“d”之间犹如“×”和“÷”的相逆过程、指数运算和对数运算的相逆过程一样。
即：d：将整体（原函数）“无限细分”
∫：将d细分后的重新组合成整体（原函数）
而“∫g(x)dx”中的“g(x)dx”就是微分公式“df(x)=f’(x)dx”的等号右边部分“f’(x)dx”，将其用等号左边部分去替代，则：∫g(x)dx=∫df(x),就更加容易理解“∫”和“d”的关系了。
即：“∫（）”中的“（）”可以被理解为“被无限细分的原函数”，而“∫（）”就可以被理解为“将无限细分后的原函数重新整合起来”，自然也就是原函数了。
综上：所以说，“整体式中的‘d’”并不是仅仅的形式，而是因为不定积分是微分的逆运算，即用原函数f(x)的微分“g(x)dx (f’(x)dx)”去进行“∫”运算得到f(x)。
不理解的先去看微分的章节啦~
希望这个理解可以帮到正在学高数的你哦~。
高数知识点不定积分的定义和基础考点高数知识点不定积分的定义和基础
高数知识点不定积分的定义和基础考点高数知识点不定积分的
定义和基础
不定积分的定义是**寻找一个函数的导数等于给定函数的过程，即找到一个函数F，使得F'(x) = f(x)**。
不定积分是微积分中的基础概念，它表示函数的原函数。
如果一个函数F在区间I上的导数是f(x)，那么称F为f在区间I上的一个原函数。
不定积分的本质是求解微分方程的过程，其中\( \frac{d}{dx} \left[ \int f(x) dx \right] = f(x) \)。
不定积分的基础考点包括**基本积分公式和积分方法**。
对于基础考点，掌握不定积分的性质和基本积分公式是非常重要的。
这些公式包括但不限于：对常数的积分、幂函数的积分、自然对数函数的积分、三角函数的积分等。
除了基本积分公式外，还需要熟悉并能够应用换元积分法和分部积分法等技巧来解决更复杂的积分问题。
换元积分法通常用于解决积分中含有复合函数的问题，而分部积分法则适用于积分乘积形式的函数。
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。
它在微积分中有着广泛的应用。
下面是不定积分的知识点总结。
一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。
其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。
2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
其中a、b为常数。
（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。
3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。
其中，k是常数，C是任意常数。
（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。
其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。
（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。
其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。
其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。
二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
高数大一知识点不定积分
高数大一知识点不定积分高数大一知识点：不定积分不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是微积分学的基础知识之一。
它是对函数进行求积的过程，与导数的概念相对应。
在大一的高等数学课程中，学生通常会接触到不定积分的概念和基本的求积方法。
本文将介绍不定积分的定义、性质以及常见的求积方法。
一、不定积分的定义不定积分，也称为原函数，是函数的一个重要性质。
如果函数F(x)在区间[a, b]上具有导数f(x)，那么在该区间上的任意一点x，F(x)都是f(x)的一个不定积分。
不定积分用符号∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
不定积分的结果可以表示为F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：对于任意常数a、b，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2. 基本积分表：大部分常见的函数的不定积分都有对应的基本积分表。
例如，∫xdx = 1/2x^2 + C，∫s in(x)dx = -cos(x) + C，∫e^xdx = e^x + C等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是函数f(x)在[a, b]区间上的一个原函数，那么∫f(x)dx在区间[a, b]上的积分为F(b) - F(a)。
三、常见的求积方法1. 代入法：通过选择适当的变量代换，将被积函数转化为求解简单的不定积分。
例如，∫2x(1 + x^2)^3dx，可以通过代入u = 1 + x^2，将原积分转化为∫2(u)^3du，然后再进行求积。
2. 分部积分法：通过对乘积的导数进行积分，可以将被积函数转化为求解简单的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
例如，∫x*sin(x)dx，可以选择u = x，dv = sin(x)dx，然后再根据公式进行计算。
基本的不定积分的公式
基本的不定积分的公式不定积分可是微积分里的重要内容呢，就像我们生活中的钥匙，能帮我们打开数学世界里好多神秘的大门。
先来说说不定积分的定义吧。
简单来讲，不定积分就是求一个函数的原函数。
那啥是原函数呢？比如说，对于函数 f(x)，如果存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那 F(x) 就是 f(x) 的一个原函数。
这就好比你知道了速度函数（相当于 f(x)），然后要找出位移函数（相当于F(x)）。
咱来看看一些基本的不定积分公式。
比如，∫x^n dx = (1/(n + 1))x^(n + 1) + C （n ≠ -1），这就好像是数学世界里的一个通用密码。
我记得之前有个学生，特别可爱。
他在学这个公式的时候，总是把n 的取值弄混。
有一次做作业，他把 n = -1 也直接套进这个公式里去了，结果算得一头雾水。
我给他指出来之后，他恍然大悟的表情，那叫一个有趣。
再说说∫cos x dx = sin x + C ，∫sin x dx = -cos x + C 这两个公式。
想象一下，余弦函数和正弦函数就像是一对欢喜冤家，在不定积分的世界里你追我赶。
还有∫e^x dx = e^x + C ，这个就像一个超级稳定的存在，不管怎么积分，它还是它自己。
就拿我之前给学生出的一道题来说吧。
题目是求∫3x^2 + 2cos x dx 。
这时候就得把每一项分别积分，用我们刚才说的那些公式。
先算∫3x^2 dx ，根据公式就得到 x^3 + C1 ，再算∫2cos x dx ，得到 2sin x + C2 ，最后把它们加起来，结果就是 x^3 + 2sin x + C （C 为常数）。
在实际运用中，不定积分的公式就像是我们的工具，得熟练掌握，才能在数学的战场上冲锋陷阵。
比如说，在物理中计算变力做功的时候，不定积分就能大显身手。
如果力随位移的变化关系给出来了，通过不定积分就能求出力做的功。
总之，基本的不定积分公式是我们探索微积分世界的基石，只有把这些基石打牢了，我们才能在数学的大厦里自由穿梭，发现更多的精彩。
高数二 4.1不定积分的概念
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
1 2
tan
x
C
.
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 9 已知一曲线 y f ( x) 在点( x, f ( x)) 处的 切线斜率为sec2 x sin x ，且此曲线与y 轴的交 点为(0,5) ，求此曲线的方程.
解 dy sec2 x sin x, dx
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
y sec2 x sin xdx
tan x cos x C, y(0) 5, C 6, 所求曲线方程为 y tan x cos x 6.
四、 小结
原函数的概念：F( x) f ( x)
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
2019考研数学：考研数学积分学知识汇总!
2019考研数学：考研数学积分学知识汇总在考研数学中，积分学的地位是不言而喻的，无论是一元函数积分学还是多元函数积分学，都是考试的重中之重。
这部分内容不仅考试要求高，分值重，而且在读研期间也会有非常高的实用价值。
那么在考研复习的准备阶段，大家都需要掌握哪些内容呢?下面文都考研辅导老师为大家总结一下考研数学中的积分学的知识点和重难点，希望对大家有所帮助。
一元函数积分学的一个重点是要求计算不定积分与定积分。
在计算过程中，会用到不定积分和定积分的基本性质(如对称性)、换元积分法、分部积分法。
其中的换元积分法是考试的重点，常用的换元方法有三角函数换元、倒代换，只要大家多加练习是可以熟练掌握的，但是要想准确地识别换元的方法和最简捷的换元方式，还需要大家多多总结。
定积分的应用也是一个重点，常考的是面积、体积的求解，相关的公式大家要整理下来并记忆，通过多练掌握解题技巧。
定积分在物理上的应用(数一数二有要求)，如功、引力、压力、质心、形心等，记忆相关公式即可。
定积分在经济中的应用(数三有要求)，掌握弹性函数和边际函数、边际分析，理解并掌握相关公式。
多元函数的积分学的一个重点是计算二重积分，计算时首先考虑用奇偶性和对称性进行化简，然后在直角坐标或极坐标下进行计算。
如果遇到计算有困难的问题可以考虑的方法有：交换累次积分的次序或者转化为极坐标。
这部分内容每年都会考察，大家一定要引起重视。
三重积分、曲线积分和曲面积分都是数一单独考察的部分。
对于数一的同学而言也是考试的重点和难点。
其中注意Green公式和Gauss公式Stokes公式，以及曲线积分与路径无关的条件的具体应用。
散度、旋度要求记住公式会计算即可。
以上就是积分学在考研数学中的主要内容和重点难点，希望大家多多动手，多多思考，不断提高自己。
When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.Is not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.Is not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
2019考研数学之不定积分与定积分测试题及答案(2019-6)
2019考研数学之不定积分与定积分测试题及答案（2019-6）1.求⎰-dx x x 212.求⎰+-dx x e x x x x x )cos 1(cos sin cos 22 （22)s i n c o s 2()c o s (x x e x x x x e -='） 3.求⎰+dx x411 4.求⎰+dx x xe x2/32arctan )1( 5.求⎰++dx x x )1(ln 22 6.求⎰-+-+++dx x x x x x x 234223234 解：由于 2133)1(234223223234-+-+++=-+-+++x x x x x x x x x x x 223211)22)(1(1332133222232++++-=++--+=-+-+x x x x x x x x x x x x x 于是 ⎰-+-+++dx x x x x x x 234223234=⎰⎰⎰++++-++dx x x x dx x dx x 223211)1(2 =⎰+++++-++dx x x x x x 221)22(|1|ln )1(2122 =⎰⎰++++++++-++dx x dx x x x x d x x 2222)1(1122)22(|1|ln )1(21 =C x x x x x +++++-++)1arctan(22|1|ln )1(2122 7.求⎰++dx xx x x x x 224224cos sin 4sin cos sin cos 解：原式=⎰⎰+=++x d x x dx x x x tan )4(tan tan 1)4(tan tan tan 122222=⎰+-x d x x tan )4tan 1tan 1(4122 =C x x +---)tan 21arctan(81cot 41 8.求⎰-++112341sin 1dx x x x 9.求⎰-22arctan |sin |ππdx e x x10.求⎰+2cos sin sin πdx a a a x x x11.设函数)(x f 在 [a ，b ] 上有连续的导数，且0)()(==b f a f ，证明|)(|m a x 4)(|)(|2x f a b dx x f b x a b a '-≤≤≤⎰ 12.设函数)(x f 、)(x g 在 [a ，b ] 上连续，证明⎰⎰⎰⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(22213.求曲线x y sin =在区间[ 0, π] 上与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
考研真题不定积分
考研真题不定积分考研真题不定积分在考研数学中，不定积分是一个重要的概念和考点。
不定积分是求函数的原函数的过程，也是求解一些常见的微积分问题的方法之一。
考研真题中的不定积分题目涉及到了很多不同的方法和技巧，对于考生来说是一个很大的挑战。
在本文中，我们将探讨考研真题中的不定积分问题，并提供一些解题思路和技巧。
在考研数学中，不定积分是求解函数的原函数的过程。
原函数是指在给定函数的导数等于该函数的函数。
不定积分可以看作是导数的逆运算。
在解不定积分题目时，我们需要找到函数的原函数，并确定积分常数。
考研数学中的不定积分题目通常涉及到一些常见的函数，如幂函数、指数函数、三角函数等。
在解题时，我们可以利用一些基本的积分公式和性质来简化计算过程。
例如，对于幂函数，我们可以利用幂函数的积分公式进行计算。
对于指数函数和三角函数，我们可以利用它们的特殊性质来求解不定积分。
除了基本的积分公式和性质，我们还可以利用一些常见的积分技巧来解决不定积分题目。
例如，我们可以利用换元法、分部积分法、三角代换等方法来简化计算过程。
这些技巧可以帮助我们将复杂的不定积分问题转化为简单的形式，从而更容易求解。
在考研真题中，不定积分题目通常涉及到一些复杂的函数和积分形式。
这就需要我们具备一定的数学知识和解题技巧。
在解题时，我们可以先观察题目给出的函数形式，然后根据函数的性质和积分技巧选择合适的方法进行求解。
同时，我们还需要注意题目给出的条件和要求，以便正确地求解不定积分。
在解不定积分题目时，我们还需要注意一些常见的错误和陷阱。
例如，忘记加上积分常数、计算错误、选择错误的积分方法等。
为了避免这些错误，我们可以在解题过程中进行反复检查和验证。
同时，我们还可以多做一些练习题目，提高自己的解题能力和技巧。
总之，考研真题中的不定积分是一个重要的考点，对考生来说是一个很大的挑战。
在解题时，我们可以利用基本的积分公式和性质，运用一些常见的积分技巧，注意题目给出的条件和要求，避免常见的错误和陷阱。
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2019考研数学基础阶高数之不定积分
跨考教育——成建军
“不定积分”是考研数学——微积分的基本运算。
不定积分是导数的逆运算，同时也是后续定积分及多元积分的基础。
不定积分是微积分的重要基石，很多考生微积分学不好，感觉积分很难算。
在考研数学中直接考察不定积分的运算很少，但其它的考点如果不定积分不会算往往导致结果得不到。
比如一个二重积分运算题，首先化成累次积分，其次累次积分计算往往是定积分运算，而定积分要想算出需要不定积分计算能够熟练运用。
不定积分计算作为微积分的三大支柱之一，如果不会，基本上微积分是学不会的。
因此，2019的考生在基础阶复习时一定要搞定不定积分计算。
为帮助2019同学掌握基本不定积分计算的方法，确保基础阶掌握不定积分计算，跨考教研室的成建军老师给各位梳理出一个严密的不定积分计算流程。
不定积分计算流程：⎩⎨⎧⇒⇒第一换元
有理积分可化有理积分分部积分
A 、有理积分
()()()()⎩⎨⎧+++=+++=----⎰0
1
1011:a x a x a x Q b x b x b x P dx x Q x P n n n n m m m m 1、n m ≥除法降次
()()()
()x S x R x P x Q
()()()()()()()()dx x Q x R dx x S dx x Q x R x S dx x Q x P ⎰⎰⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+= 示例1、1
2
1111
22
22
4
42
----+++x x x x x x x
()
dx x x x dx
x dx x dx x x ⎰⎰⎰⎰++-=++-=++1
231121112322
24
2、分母分解处理()
()dx x Q x R ⎰
(1)
()()⎰⎰+++=dx q px x B
Ax dx x Q x R 2
()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++++=+++
-++++=+++
-+=+++dx q
px x B A p A q px x A dx q px x B A p A q px x q px x d A dx q
px x B
A p A dx q px x p x A dx
q
px x B A p p x A
dx q px x B Ax 222222222122ln 2122222222
22
⎰++dx q px x 21
①042
<-q p
C 42arctan 4142112
2222+⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-+-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎰⎰p q p
x p q dx p q p x dx q px x ②042
=-q p
C 21
21122++-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++⎰⎰p
x dx p x dx q px x ③042
>-q p
C 4
2
42ln 42142421
1
22
22
22+-+
+--
+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⎰⎰q p p x q p p
x q p dx
q p
p x q p p
x dx q px x
(2)()2>次数x Q (())2(≤n n x Q 重根含) ①()含无实根的二次式x Q
()()*++++=q
px x B
Ax x Q x R 2 左右同乘x ，令∞→x 确定A ②()含单根的一次式x Q
()()*+-=0
x x C
x Q x R 左右同乘0x x -，令0x x =确定C ③()含二重根的二次式x Q
()()()*+-+-=2
02
01x x D x x D x Q x R 左右同乘()2
0x x -，令0x x =确定2D
顺序②③①剩下待定系数采用特殊值法。
(3)())3(≥n n x Q 重根含
示例2、()()
dx x x x ⎰+-113
2
()()()()
1111113
232++-+-+-=+-x D
x C x B x A x x x 左右同乘()3
1-x ，令1=x 确定21=
C ，左右同乘1+x ，令1-=x 确定8
1
-=D ，分解式()()()()1
1
81112111113
232+--+-+-=+-x x x B x A x x x 。
最后，令2,0=x 有43,81==B A 。
()()()()dx x x x x dx x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=+-18112
1143181
113232
B 、第一类换元法(凑微分)
设()f u 有一个原函数()F u ，()u x ϕ=可导，则有
()()[]'()()()()()f x x dx u x f u du F u C F x C ϕϕϕϕ==+=+⎰
⎰令
C 、可化有理积分
⎪⎩
⎪
⎨⎧根式处理指数函数三角函数可化有理积分
第二类换元法
设()x t ψ=是单调，可导的函数，且'()0t ψ≠，设'
(())()f t t ψψ具有原函数()G t ，则
'()()[()]()f x dx x t f t t dt ψψψ=⎰
⎰令1
()()G t G x C ψ-⎡⎤==+⎣⎦.
1、三角函数
万能公式
2、指数函数 x
a t = 3、根式处理
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++∆=三角函数或或或三角换元有理积分求出不含根号直接令根式形式t
a t a x x a t a t a x a x t
a t a x x a x d cx
b ax b
ax t n n n cot tan :csc sec :cos sin :222222 D 、分部积分公式
⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u
原则：
1、好凑微分的做v ，求导简化的做u ；
2、先v 后u ；
3、常做u 的优先级：()x a
x
a
a x
dt t f arc 三角或>>>>⎰ln,
,；
4、常用凑微分：()b ax d adx +=，()221x d xdx =
，()
111++=a a x d a dx x ，()x d dx x
ln 1=，2
x 1
t
()x x e d dx e =，()
x x a d a
dx a ln 1
=
，()x d xdx sin cos =，()x d xdx cos sin -=，()x d dx x tan cos 12=，()x d dx x
cot sin 1
2
-=.。