数列的综合应用

第十六节 数列的综合应用

[自我反馈]

1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2

n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )

A ．－1或2

B ．0或2

C ．2

D ．1

解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2

n ＝2b n (n ≥2)，

所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.

2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧

a n 2

，当a n 为偶数时，

3a n ＋1，当a n 为奇数时.

若a 6＝

1，则m 所有可能的取值为( )

A ．{4,5}

B ．{4,32}

C ．{4,5,32}

D ．{5,32}

解析：选C a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧

a n 2

，当a n 为偶数时，

3a n ＋1，当a n 为奇数时，

注意递推的条件是a n (而不是n )为偶

数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.

3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．

解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝

a 3－a 1

2

＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ，

依题意有(8＋x )2

＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11.

答案：－11

4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *

)等于________．

解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得

2

1－2n

1－2

≥100，即2n

≥51，

而25＝32,26＝64，n ∈N *

，所以n ≥6. 答案：6

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2

，数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，b 4

＝8.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若数列{c n }满足c n ＝ab n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2

－(n －1)2

＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1亦满足上式， 故a n ＝2n －1(n ∈N *

)．

又数列{b n }为等比数列，设公比为q ， ∵b 1＝1，b 4＝b 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴b n ＝2

n －1

(n ∈N *

)．

(2)c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n

－1.

T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)

＝(21

＋22

＋ (2)

)－n ＝

2

1－2n

1－2

－n .

所以T n ＝2

n ＋1

－2－n .

考向一 等差数列与等比数列的综合问题

【典例1】(2016·济南模拟)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)求数列{b n }的前n 项和.

【母题变式】

1.若本例题条件“{b n -a n }是等比数列”变为“{b n -a n }是等差数列”,其他条件不变,求数列{b n }的通项公式.

2.若本例题条件“b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }是等比数列” 变为“a n +2a n-1=

n b 1 ”,求数列{b n }的通项公式.

【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{a n }的

公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则

159

23

a a a

a a

++

+

= ( )

【加固训练】

1.等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,若S

n+1,S n,S n+2成等差数列,则公比q为( )或1 或-1

2.(2016·泰安模拟)已知数列{a n}是公差大于零的等

差数列,数列{b n}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,

a3+b3=13.

(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式.

(2)设c n=a n a n+1,求数列

n

1

c

⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

的前n项和T n.