自动控制原理课件3

ζ + ζ 2 −1
>>
)
1
如果ζ >>１ 如果ζ >>１ (ζ − ζ −1)ωn ≈ 0 (ζ − ζ 2 −1)ω n 系统可近似为一阶环节，极点为 系统可近似为一阶环节，
(ζ + ζ 2 −1)ωn
s = −(ζ − ζ 2 −1)ωn
10 GB (s) = (s +1)(s +10)
ζ =1.74 10 1 GB (s) = 2 ≈ s +11s +10 s +1
e
−(ζ − ζ 2 −1)ωnt
e
−(ζ + ζ 2 −1)ωnt
ζ − ζ 2 −1
ζ + ζ 2 −1
ห้องสมุดไป่ตู้
s1
1
ζ − ζ 2 −1
>
1
s2
靠近虚轴， 靠近虚轴，起主导作用
ζ + ζ 2 −1
例
4 4 GB (s) = 2 = s + 5s + 4 (s +1)(s + 4)
ωn = 2
1 4 1 1 1 C(s) = − ⋅ + ⋅ s 3 s +1 3 s + 4
(
e
−(ζ − ζ 2 −1)ωnt
−
e
−(ζ + ζ 2 −1)ωnt
ζ + ζ 2 −1
)
c(t) =1−
1
响应曲线如图
2 ζ 2 −1 ζ − ζ 2 −1
(
e
−(ζ − ζ 2 −1)ωnt
−
e
−(ζ + ζ 2 −1)ωnt
ζ + ζ 2 −1
)
稳态：∵c (∞)=1 ∴e (∞)=0 稳态： 特征：无超调； 特征：无超调； ωn ɺ(t) t =0 = c (e−s1t − e−s2t ) = 0 2 ζ 2 −1 t =0 其中有两项为指数衰减， 其中有两项为指数衰减，
其中
K K+1 K+1
τ
T=
τ
s +1 Ts +1
=
K K+1
K +1 K K' = '= K +1
(T>0)为闭环系统时间常数 为 闭环放大系数。 闭环放大系数。
r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输出响应的拉氏变换为： 或 ，输出响应的拉氏变换为：
C(s) =
K /τ 1 K /(K +1) K /(K +1) ⋅ = − s + (K +1) /τ s s s + (K +1) /τ 的拉氏反变换， 取C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为 的拉氏反变换
1、最大超调量σp——响应曲线偏离稳态值的最大 最大超调量σ 响应曲线偏离稳态值的最大 常以百分比表示， 值，常以百分比表示，即 c(t p ) − c(∞ ) σp = ×100% c(∞ ) 最大超调量说明系统的相对稳定性 相对稳定性。 最大超调量说明系统的相对稳定性。
2. 峰值时间 p——响应曲线到达第一个峰值所需的 峰值时间t 响应曲线到达第一个峰值所需的 时间，定义为峰值时间 峰值时间。 时间，定义为峰值时间。 3.延滞时间 d——响应曲线到达稳态值50 所需的时间，称为延 延滞时间t 响应曲线到达稳态值50 所需的时间， 延滞时间 响应曲线到达稳态值50%所需的时间 称为延 滞时间。 滞时间。
4. 上升时间 r——反映动态初期的快慢，有2种定义： 上升时间t 反映动态初期的快慢， 种定义： 反映动态初期的快慢 种定义 (1) 响应曲线从稳态值的 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； 所需时间； 到 所需时间 (2) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。 一般对有振荡的系统常用“ 一般对有振荡的系统常用“(2)”，对无振荡的系统常用“(1)”。 ，对无振荡的系统常用“ 。
s1,2 = −(ζ ± ζ 2 −1)ωn
对于单位阶跃输入
[2 ζ 2 −1(ζ − ζ 2 −1)]−1 [2 ζ 2 −1(ζ + ζ 2 −1)]−1 1 C(s) = − + s s + (ζ − ζ 2 −1)ωn s + (ζ + ζ 2 −1)ωn
拉氏反变换
c(t) =1−
1
2 ζ 2 −1 ζ − ζ 2 −1
ωn = 3.16
实际上一般误差精度情况下， ζ≥1.5时 系统可近似为一阶环节。 实际上一般误差精度情况下，当ζ≥1.5时，系统可近似为一阶环节。 1.5
2） ζ =１，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -ωn 根的分布如图 系统输出的拉氏变换为
当0<ζ<1时 s1,2 = −ζωn ±ωn 1−ζ 2 j 为一对共轭的复数根 ζ 时 其中 当ζ ＝0 当ζ<0
s1,2 = −ζωn ±ωd j ωd = ωn 1−ζ 2 称为有阻尼振荡频率 称为有阻尼振荡频率
s1,2 = ±ωn j
为一对共轭的虚数根
1）ζ ＞１，称为过阻尼情况 ） 此时， 此时，系统有两个不相等的实数根为
<1， 3）0<z <1，称为欠阻尼情况
有一对共轭复数根 s1,2 = −ζωn ± jωd 称为有阻尼振荡频率 有阻尼振荡频率。 式中 ωd = ωn 1−ζ 2 称为有阻尼振荡频率。 单位阶跃信号r(t)=1(t) r(t)=1(t)时 单位阶跃信号r(t)=1(t)时，系统输出的拉氏变换为
2 ωn C(s) = 2 s(s 2 + 2ζω n s + ωn ) +2
τ
当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值 时 曲线到达稳态值
K c(t) = (1− e−t /T ) = c(∞)(1− e−t /T ) K +1
t = T， c(1T) = 0.632 c(∞) ， t = 3T， c(3T) = 0.950c(∞) ， t = 4T， c(4T) = 0.982c(∞) ， 响应曲线在经过3T（ 误差 误差） 误差） 响应曲线在经过 （5%误差）或4T（2%误差）的时间后进入 （ 误差 稳态。所以t 误差） 误差） 稳态。所以 s=3T （5%误差）或ts= 4T （2%误差） 误差 误差 3）稳定性 ）
第三章 控制系统时域分析法
动态性—— 3.1 动态性 —— 3.2
典型系统的瞬态响应及性能指标 增加零、 增加零、极点对二阶系统响应的影响
稳态性——3.3 反馈控制系统的稳态误差 3.3 稳态性 稳定性——3.4 劳斯-霍尔维茨稳定性判据 3.4 劳斯稳定性
3.1
系统的瞬态（动态） 系统的瞬态（动态）响应及性能指标
瞬态响应（动态响应） 瞬态响应（动态响应） 是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起 作用时刻起， 是指系统的输出从输入信号 作用时刻起，到稳 为止， 定状态为止 随时间变化的过程。 定状态为止，随时间变化的过程。 瞬态响应分析方法： 瞬态响应分析方法： 1. 直接求解法 ——一阶和二阶系统 一阶和二阶系统 2. 间接评价法 ——高阶系统 高阶系统 3. 计算机仿真法 ——高阶系统 高阶系统
2）响应的瞬态过程 ）
K c(t) = (1− e−t /T ) K +1
系统的时间常数为 τ T= K +1 对响应c(t)求导数 求导数 对响应
单调下降，即表明在 时 单调下降，即表明在t=0时c(t)变化率最大 变化率最大
c1 (t) = K t
dc(t) K −(K+1)t /τ = e dt τ
5. 调整时间 s——响应曲线从零开始到进入误差 调整时间t 响应曲线从零开始到进入误差 允许范围内所需时间。 允许范围内所需时间。 误差允许范围通常用稳态值的绝对百分数给出， 误差允许范围通常用稳态值的绝对百分数给出，如稳态值的 95%~105%（或98%~102%。 （ 。
瞬态响应分析——阶跃输入作用下 3.1.3 瞬态响应分析 阶跃输入作用下
1 2 At r(t) = 2 0 t >0 t ≤0
单位抛物线信号。 当A =1时，则称为单位抛物线信号。 时 则称为单位抛物线信号 4、脉冲信号 单位脉冲信号的表达式为： 单位脉冲信号的表达式为：
1 r(t) = ε 0 0 <t <ε t < 0及 > ε t
趋于零时就得理想的单位脉冲信号 单位脉冲信号(亦称 当ε 趋于零时就得理想的单位脉冲信号 亦称 函数)。 δ(t) 函数 。
ω 1 C(s) = 2 2 s + 2ζωns +ωn s
2 n
2 二阶系统的特征方程为 s 2 + 2ζωn s + ωn = 0
s1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
当ζ >1 当ζ ＝1
s1,2 = −ζωn ±ωn ζ 2 −1
为两个不相等的实数根 为两个相等的实数根
s1,2 = −ζωn
∫ ∞δ (t)dt −
∞
=1
5、正弦信号 、
n Asi ωt r(t) = 0 t >0 t ≤0
其中A为幅值， 其中 为幅值，ω =2π/T为角频率。 为幅值 π 为角频率。
3.1.2 系统性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况 对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。 下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。
T=
τ
K +1
闭环系统时间常数
当闭环系统传递函数的极点为正数（ Τ<0)时 系统不稳定。 当闭环系统传递函数的极点为正数（即Τ<0)时，系统不稳定。