高中数学课时跟踪检测十六一元二次不等式及其解法习题课新人教A版必修56

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高考数学一轮总复习课时跟踪检测(三十六) 一元二次不等式及其解法理新人教版-新人教版高三全册数

课时跟踪检测(三十六) 一元二次不等式及其解法一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．(2016·某某模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1) 解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：选D 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值X 围是[0,4]．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2， ∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3. 又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)． 3．(2016·某某一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值X 围是(－3,0]．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值X 围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 8．(2016·某某质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，某某数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2016·某某统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值X 围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·某某一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.2．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值X 围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值X 围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(56)

人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知关于 x 的不等式 (ax −1)(x +1)<0 的解集是 (−∞,−1)∪(−12,+∞)，则 a 的值为 ( ) A ． 2 B ． −2C ． −12D ． 122. 已知 f (x )=2x +3(x ∈R )，若 ∣f (x )−1∣<a 的必要条件是 ∣x +1∣<b (a,b >0)，则 a ，b 之间的关系是 ( ) A ． b <a2B ． b ≥a2C ． a ≤b2D ． a >b23. 设 0<x <1，则 a =√2x ，b =1+x ，c =11−x 中最大的一个是 ( ) A ． a B ． b C ． c D ．无法判断4. 已知 2a +b =1（a >0，b >0），则 2a+1b 的最小值是 ( )A ． 4B ． 92C ． 8D ． 95. 若两实数 x ，y 满足 xy <0，那么总有 ( ) A ． ∣x +y ∣<∣x −y ∣ B ． ∣x +y ∣>∣x −y ∣ C ． ∣x −y ∣<∣x ∣−∣y ∣D ． ∣x +y ∣<∣y ∣−∣x ∣6. 函数 y =3x 2+6x 2+1 的最小值是 ( ) A ． 3√2−3B ． −3C ． 6√2D ． 6√2−37. 不等式组 {x (x +2)>0,∣x ∣<1 的解集为 ( )A ． {x∣ −2<x <−1}B ． {x∣ −1<x <0}C ． {x∣ 0<x <1}D ． {x∣ x >1}8. 已知 a ∈[−1,1] 时不等式 x 2+(a −4)x +4−2a >0 恒成立，则 x 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2)∪(3,+∞) B ． (−∞,1)∪(2,+∞) C ． (−∞,1)∪(3,+∞)D ． (1,3)9. 若正数 a ，b 满足 1a +1b =1，则 1a−1+9b−1 的最小值为 ( ) A ． 1 B ． 6 C ． 9 D ． 1610. 已知函数 f (x )=ax 2+bx (a >0,b >0) 的图象在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率为 2，则8a+b ab的最小值是 ( ) A ．10B ．9C ．8D ．3√2二、填空题（共6题）11. 已知 −1≤x +y ≤4，且 2≤x −y ≤3，则 z =2x −3y 的取值范围是（用区间表示）．12. 若正数 a ，b 满足 4a +3b −1=0，则 12a+b +1a+b 的最小值为．13. 已知 x ，y 均为正实数，且 x +y =16，则 xy 9x+y 的最大值为．14. 若 x >0，y >0，且 12x+y +4x+y =2，则 7x +5y 的最小值为．15. 设正实数 x ，y ，z 满足 x 2−xy +4y 2−z =0，则当z xy取得最小值时，2x +3y −6z 的最大值为．16. 已知 x <12，则 2x +12x−1 的最大值是．三、解答题（共6题） 17. 请回答：(1) 对于函数 y =x +1x ，当 x >0 时，求函数的最小值．(2) 对于问题 1 中的函数，当 x <0 时，求函数的最大值． (3) 对于问题 1 中的函数，求 y 的取值范围． 18.(1) 若 a ∈R ，解关于 x 的不等式：(x +a −2)(x +2a 2−4a )≥0．(2) 若 −1≤a ≤2 时，不等式 (x +a −2)(x +2a 2−4a )≥0 恒成立，求 x 的取值范围．19.已知a>1，b>1．求b2a−1+a2b−1的最小值．20.解不等式：−x2+8x−3>0．21.若不等式ax2+bx−1>0的解集是{x∣ 1<x<2}．(1) 试求a，b的值；(2) 求不等式ax+1bx−1>0的解集．22.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=76000vv2+18v+20l．(1) 如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为辆/小时；(2) 如果限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【知识点】二次不等式的解法2. 【答案】B【解析】∣f(x)−1∣=∣2x+2∣<a，解得−a2−1<x<a2−1，∣x+1∣<b，解得−b−1<x<b−1．由题目知：由−a2−1<x<a2−1可推出−b−1<x<b−1，所以{−b−1≤−1−a2,b−1≥−1+a2,所以b≥a2．【知识点】不等式的性质、充分条件与必要条件3. 【答案】C【知识点】不等式的性质4. 【答案】D【解析】因为2a+b=1，a>0，b>0，所以2a +1b=(2a+1b)⋅(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba×2ab=9，当且仅当{2ba=2ab,2a+b=1,即a=b=13时，等号成立．【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】A【知识点】不等式的性质6. 【答案】D【解析】y=3(x2+1)+6x2+1−3≥2√3(x2+1)⋅6x2+1−3 =2√18−3=6√2−3,当且仅当 x 2+1=2x 2+1，即 x 2=√2−1 时，等号成立．故选D ．【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】C【解析】解不等式 x (x +2)>0 得 x <−2 或 x >0，解不等式 ∣x ∣<1 得 −1<x <1，所以原不等式组的解集为 {x∣ 0<x <1}．【知识点】绝对值不等式的解法、二次不等式的解法8. 【答案】C【解析】把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f (a )=(x −2)a +x 2−4x +4，则由 f (a )>0 对于任意的 a ∈[−1,1] 恒成立，得 f (−1)=x 2−5x +6>0，且 f (1)=x 2−3x +2>0 即可，解不等式组 {x 2−5x +6>0,x 2−3x +2>0, 得 x <1 或 x >3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法9. 【答案】B【知识点】均值不等式的应用10. 【答案】B【解析】由题意知 fʹ(x )=2ax +b ，又 f (x )=ax 2+bx (a >0,b >0) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率为 2，所以 fʹ(1)=2a +b =2，所以 a +b2=1，所以8a+b ab=8b +1a=(a +b2)⋅(8b +1a )=8a b+b2a+5≥2√8ab⋅b2a+5=9,当且仅当 {a =13,b =43 时“=”成立，所以8a+b ab的最小值是 9．【知识点】利用导数求函数的切线方程、均值不等式的应用二、填空题（共6题）11. 【答案】[3,8]【解析】因为z=−12(x+y)+52(x−y)，所以3≤−12(x+y)+52(x−y)≤8，所以z∈[3,8]．【知识点】不等式的性质12. 【答案】3+2√2【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】1【解析】xy9x+y =19y+1x，由x+y=16，可得1 x +9y=116(x+y)(1x+9y)=116(1+9+yx+9xy)≥116(10+√yx⋅9yx)=1,当且仅当y=3x=12，等号成立，则xy9x+y的最大值为1．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】7+2√6【解析】令2x+y=m>0，x+y=n>0，1m +4n=2，7x+5y=2(2x+y)+3(x+y)=2m+3n=12(2m+3n)(1m+4n)=12(14+8mn+3nm)≥12×(14+2√8mn⋅3nm)=7+2√6.当且仅当8mn =3nm取等号．【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】4【解析】由已知z=x2−xy+4y2，得zxy =x2−xy+4y2xy=xy+4yx−1≥2√xy⋅4yx−1=3，当且仅当xy =4yx，即x=2y时等号成立，则z=6y2，2x +3y−6z=22y+3y−66y2=4y−(1y)2，当1y=2时，取最大值4．【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】−1【解析】因为x<12，2x−1<0，所以1−2x>0，因为2x+12x−1=2x−1+12x−1+1=−(1−2x+11−2x)+1，因为1−2x>0，所以1−2x+11−2x ≥2√11−2x⋅(1−2x)=2（当且仅当x=0时，等号成立），所以2x+12x−1≤−2+1=−1．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当x>0时，y=x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x时上式取等号，此时x=1．(2) 当x<0时，y=x+1x ≤−2√x⋅1x=−2，当且仅当x=1x时上式取等号，此时x=−1．(3) 因为x≠0，由（1）（2）可知y∈(−∞,−2]∪[2,+∞)．【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】(1) 原不等式即：[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]≥0，方程[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]=0的二根为2−a，4a−2a2，令2−a<4a−2a2即2a2−5a+2<0，解得12<a<2，所以当12<a<2时，原不等式解集为{x∣ x≥4a−2a2或x≤2−a}．令2−a=4a−2a2即2a2−5a+2=0，解得a=12或a=2，所以当a=12或a=2时，原不等式解集为R．令2−a>4a−2a2即2a2−5a+2>0，解得a<12或a>2，所以当a<12或a>2时，原不等式解集为{x∣ x≥2−a或x≤4a−2a2}．(2) 因为−1≤a≤2，所以0≤2−a≤3，因为4a−2a2=−2(a−1)2+2，所以−6≤4a−2a2≤2，所以当−1≤a≤2时，2−a，4a−2a2二式的最小值为−6，最大值为3．所以欲使−1≤a≤2时，不等式[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]≥0恒成立，应有x≤−6或x≥3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法19. 【答案】因为a−1>0，b−1>0，所以b 2a−1+4(a−1)≥4b，a2b−1≥4a．两式相加，得b 2a−1+4(a−1)+a2b−1+4(b−1)≥4a+4b，所以b 2a−1+a2b−1≥8，当且仅当b 2a−1=4(a−1)，且a2b−1=4(b−1)时等号成立．因此，当a=b=2时，b 2a−1+a2b−1取得最小值8．【知识点】均值不等式的应用20. 【答案】因为Δ=82−4×(−1)×(−3)=52>0，所以方程−x2+8x−3=0有两个不相等的实根x1=4−√13，x2=4+√13．又二次函数y=−x2+8x−3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x∣4−√13<x<4+√13}．【知识点】二次不等式的解法21. 【答案】(1) 因为不等式 ax 2+bx −1>0 的解集是 {x∣ 1<x <2}，所以 a <0 且方程 ax 2+bx −1=0 的解是 1 和 2，所以 1+2=−ba，1×2=−1a，所以 a =−12，b =32．(2)ax+1bx−1>0，化为−12x+132x−1>0，即x−23x−2<0，即 (x −2)(3x −2)<0，解得 32<x <2，所以不等式 ax+1bx−1>0 的解集为 (32,2)．【知识点】二次不等式的解法、分式不等式的解法22. 【答案】(1) 1900 (2) 100 【解析】(1) 当 l =6.05 时，F =76000vv 2+18v+20×6.05=76000vv 2+18v+121=76000v+121v+18≤2√v⋅121v+18=1900，当且仅当v =121v，即 v =11 时，等号成立．所以最大车流量为 1900 辆/小时．(2) 当 l =5 时，F =76000v v 2+18v+20×5=76000v+100v+18，所以 F ≤2√v⋅100v+18=2000，当且仅当 v =10 时，等号成立．所以最大车流量比（1）中的最大车流量增加 2000−1900=100（辆/小时）．【知识点】均值不等式的实际应用问题。

高中数学课时作业16一元二次不等式及其解法习题课新人教A版必修5

课时作业16一元二次不等式及其解法习题课，b a ＝，Δ＝a－2＋a－，，－2<∴－2<a<2.综上，可得实数的取值范围是(－2,2]．已知函数f(ax＋b2－成立，若当x∈[－D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由f (1－x )＝f (1＋x )，知f (x )的对轴称为x ＝a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0对x ∈[－1,1]恒成立，即f (x )min ＝b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．不等式x ＋1x≤3的解集是________．解析：原不等式等价于x ＋1x －3≤0⇔1－2x x ≤0⇔2x －1x≥0⇔x (2x －1)≥0，且x ≠0，解得x ≥12或x <0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12或x <07．若函数f (x )＝x 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得，不等式x 2－6kx ＋k ＋8≥0的解集为R ，所以函数y ＝x 2－6kx ＋k ＋8的图象在x 轴上方，与x 轴至多有一个公共点．所以Δ＝(－6k )2－4×1×(k ＋8)≤0，整理得9k 2－k －8≤0，(k －1)(9k ＋8)≤0，解得－89≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，1 8．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与售价P 元/件之间的关系为P ＝150－2x ，生产x 件所需成本为C ＝50＋30x 元，要使日获利不少于1 300元，则该厂日产量应在________范围之内(件)．解析：由题意得：(150－2x )x －(50＋30x )≥1 300，化简得：x 2－60x ＋675≤0，解得15≤x ≤45，且x 为整数．答案：{x |15≤x ≤45，x ∈N *}三、解答题(每小题10分，共20分)9．解不等式：(1)x ＋12－x≥－2；(2)x ＋2x 2＋x ＋1>1. 解析：(1)由x ＋12－x ≥－2可得x ＋12－x ＋2≥0，即5－x 2－x ≥0，所以x －5x －2≥0，不等式等价于{ x －x －5，x －2≠0，解得x <2或x ≥5.所以原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．(2)因为x 2＋x ＋1>0，所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1，即x 2－1<0，解得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．10．某单位在对一个长800 m ，宽600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形．不等式x －x ＋x －2<0原不等式可化为(3x －4)(2x ＋1)(x －1)<0，如图，利用数轴标根法可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪－12<x <43且x ≠1，Δ＝[0,1)．万元，该工厂每生产)万元－x ，13.5 x 假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围内？工厂生产多少台产品时盈利最大？x )，则f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝{－0.5x2＋6x－x，10.5－x x(1)要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0，所以{0≤x≤7，－0.5x2＋6x－13.5>0或{x>7，10.5－x>0，即{0≤x≤7，x2－12x＋27<0或{x>7，10.5－x>0，得{0≤x≤7，3<x<9或7<x<10.5，则3<x≤7或7<x<10.5，即3<x<10.5.所以要使工厂有盈利，产品数量x应控制在大于300台小于1050台的范围内．(2)当3<x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5.而当x>7时，f(x)<10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．。

高中数学新人教A版必修5第三章 3.2 第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)

第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式[典例] 解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x>1. [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(3－x )≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x ≠3⇒－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0.等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴23<x <34. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <34.(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系①f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≥0，g (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )≤0，g (x )≤0， ②f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≤0，g (x )≥0， ③f (x )g (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0，④f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0.[活学活用]1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A.{}x |x ＜－1或x ＞2B.{}x |－1＜x ＜2C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＞2解析：选A 依题意，a >0且－ba ＝1. ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x －ba (x －2)>0，即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.不等式中的恒成立问题2取值范围．[解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．1．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＜0，f (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．2．已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＜0，g (－3)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0.因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max (f (x )存在最大值)； a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min (f (x )存在最小值)．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的实际应用[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解] (1)由题意，得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >0，0<x <1，解不等式组，得0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 的范围为⎝⎛⎭⎫0，13.用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．[活学活用]某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m(0<x <600)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.层级一学业水平达标1．不等式x －1x ≥2的解集为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：选B 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x ≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.2．不等式4x ＋23x －1＞0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12 解析：选A4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞13或x ＜－12.3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得10≤t ≤15.5．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．3解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－x x ＋4≥1的解集为________．解析：因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－4，12 7．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43.答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________．解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 9．已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b .(1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由f (x )>0，得－3x 2＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2－a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a (5－a )－b ＝0，27－3a (5－a )－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0，即2a 2－10a ＋(12－b )>0.又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b )<0，∴b <－12，∴实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. 10．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额， f (2)＝4 800(万元)． (3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128， ∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．层级二应试能力达标1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3]D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 解析：选D x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )解析：选Dx ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.5．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的范围是(100,400)．答案：(100,400)7．已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (m －2)<0，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]． (2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 24. ①当－a2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2].。

浙江专版高中数学课时跟踪检测十五一元二次不等式及其解法新人教A版必修5

——教学资料参考参考范本——浙江专版高中数学课时跟踪检测十五一元二次不等式及其解法新人教A版必修5______年______月______日____________________部门层级一学业水平达标1．不等式6x2＋x －2≤0的解集为( ) A. B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤－23或x≥12 C.D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤－23 解析：选A 因为6x2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.2．设a<－1，则关于x 的不等式a(x －a)<0的解集为( ) A. B ．{x|x>a}C.D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1a 解析：选A ∵a<－1，∴a(x－a)·<0⇔(x －a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a.3．在R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab ＋2a ＋b ，则满足x⊙(x－2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：选B 由a⊙b＝ab ＋2a ＋b ，得x⊙(x－2)＝x(x －2)＋2x ＋x －2＝x2＋x －2<0，所以－2<x<1.4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )A．{x|x<－1或x>lg 2}B．{x|－1<x<lg 2}C．{x|x>－lg 2}D．{x|x<－lg 2}解析：选D f(x)<0的解集为，所以f(x)>0的解集为，∴0<10x<∴x<lg ，即x<－lg 2.5．函数y＝的定义域为( )A．[－7,1] B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B 由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：先把原不等式可化为x2＋3x－4<0，再把左式分解因式得(x －1)(x＋4)<0，所以不等式的解集为(－4,1)．答案：(－4,1)7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，∴0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，∴a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0.解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a.所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}．10．若函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围．解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a≠0时，有即所以0<a<2.综上可知，实数a的取值范围是[0,2)．层级二应试能力达标1．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．[－4,4]解析：选A 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.2．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A 由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是( )A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：选A ∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.4．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为( ) A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}解析：选A 因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x ＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．5．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．解析：由f(x)>x，得或解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)6．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为______．解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)7．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，因此所求解集为(－∞，0)∪.(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，因此⇒m＝－.8．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，所以a<－1或a>.若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，所以3－2a>，此时不等式的解集是；若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，所以3－2a<，此时不等式的解集是.综上，当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为.。

一元二次函数、方程和不等式(学业水平质量检测)高一数学(新教材人教A版必修第一册)(解析版)

《第二章一元二次函数、方程和不等式》学业水平质量检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x ) D ．随x 值变化而变化【答案】A【解析】因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )． 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜n D ．m ＜－n ＜n ＜－m 【答案】D【解析】法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中： ①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ； ②若a >b ，则ac 2>bc 2； ③若ac 2>bc 2，则a >b ； ④若a >b >0，c >d ，则ac >bd . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】若a >b ，c <0时，ac <bc ，①错；②中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，②错；③正确；④中，只有c >d >0时，ac >bd ，④错，故选A.4．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 22＝4＋2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y y x ≥4＋4x y ·yx＝8. 当且仅当x y ＝yx，即x ＝y ＝4时取等号．5．已知不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集为( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><21-1x x x 或 C ．{x |－2＜x ＜1} D ．{x |x ＜－2或x ＞1}【答案】A【解析】由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2＋x －1＜0. 解得－1＜x ＜12.6．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处 D ．2 km 处【答案】A【解析】设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ×45x ＝7，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．8．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A ．T >0B ．T <0C ．T ＝0D ．T ≥0【答案】B【解析】法一：取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二：由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0.8．已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2【答案】D【解析】∵x >0，y >0，∴2y x ＋8xy ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当2y x ＝8x y 时取“＝”. 若2y x ＋8xy>m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m <8，解之得－4<m <2. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的)9．（2019-2020学年•济宁高一月考）若110a b<<，则下列不等式中正确的是( ) A ．a b ab +< B ．2b aa b+> C ．2ab b > D ．22a b <【答案】：ABD ．【解析】：由110a b<<可得，0b a <<， 0a b ab ∴+<<，故A 正确；由0b a <<可得0a b b a ≠>，由基本不等式可知2b aa b+>，故B 正确；因为0b a <<，所以2ab b <，故C 错误；因为0b a <<，所以22b a >，故D 正确．10．（2019-2020学年•淄博高一期中）下列表达式的最小值为2的有( ) A ．当1ab =时，a b + B ．当1ab =时，b aa b +C ．223a a -+D【故选】：BC ．【解析】：对选项A ，当a ，b 均为负值时，0a b +<，故最小值不为2；对选项B ，因为1ab =，所以a ，b 同号，所以0,0b a a b >>，所以22b a b a a b a b +=，当且仅b aa b=，即1a b ==±时取等号，故最小值为2；对选项C ，2223(1)2a a a -+=-+，当1a =时，取最小值2；对选项2212222a a +=+，=，即221a +=时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2．11．（2019-2020学年•清江浦区校级期末）若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中正确的说法是( )A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m >-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．当0m >时，1223x x <<<【答案】：ABD ．【解析】：A 中，0m =时，方程为(2)(3)0x x --=，解为：12x =，23x =，所以A 正确；B 中，方程整理可得：2560x x m -+-=，由不同两根的条件为：△254(6)0m =-->，可得14m >-，所以B 正确．当0m >时，如图可得1223x x <<<；当104m -<<时，如图，1223x x <<<所以C 不正确，D 正确，12．（2019-2020学年•南通期末）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为( )A ．∅B ．(1,)a -C ．(,1)a -D ．(-∞，1)(a -，)+∞【答案】：ABCD ．【解析】：对于()(1)0a x a x -+>，当0a >时，()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-，故不等式的解集为(x ∈-∞，1-，)(a ⋃，)+∞；当0a <时，()(1)y a x a x =-+开口向下，若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -，若1a <-，不等式的解集为(,1)a -，综上，ABCD 都成立，第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019-2020学年·江苏七市高一第三次调研)已知不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________．【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x 【解析】方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a ＝5，b ＝－6.所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x 14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．【答案】20【解析】由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x min ＝20.15.a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．【答案】a ＜0＜b【解析】若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b .所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .16．(2019-2020学年·浙江省诺丁汉大学附中高一上学期期中)已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2ax +a +2，其中a ∈R ．（1）当a ＝1时，f （﹣1）＝_________；（2）若f （x ）的值域是R ，则a 的取值范围为_________．【答案】﹣2，（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解析】（1）a ＝1时，x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x +3，而函数f （x ）是定义域上的奇函数，故f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2；（2）∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）＝0，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2ax +a +2，故对称轴是x ＝a ，若f （x ）的值域是R ，则⎩⎨⎧≥+-=∆>0)2(4402a a a 或⎩⎨⎧≤+≤020a a ，解得：a ≥2或a ≤﹣2，则a 的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），故答案为：﹣2，（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)（2019-2020学年•四川南充高一期末）已知a R ∈且1a ≠，试比较11a-与1a +的大小．【解析】：21(1)11a a a a-+=--．可得 ①当0a =时，111a a=+-； ②当1a >时，201a a <-，∴111a a<+-；③当1a <且0a ≠时，201a a >-，∴111a a>+-．综上可知：当0a =时，111a a=+-；当1a >时，111a a<+-；当1a <且0a ≠时，111a a>+-． 18．(本小题满分12分(2019-2020学年·郑州高一模拟)若x ，y 为正实数，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．【答案】18【解析】由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x ＝1.∵x 、y 为正实数， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 28＝10＋8y x ＋2xy ＝10＋2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x x y4≥10＋2×2×4y x ·xy＝18，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时，取等号．又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6. ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取得最小值18.19．(本小题满分12分)（2019-2020学年•桥西区校级高一月考）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b > （Ⅰ）求a 、b ；（Ⅱ）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++<．【解析】：（Ⅰ）由题意知0a >且1，b 是方程2320ax x -+=的根，1a ∴= 又21b a⨯=，2b ∴=；（Ⅱ）不等式可化为2(2)20x c x c +++>，即()(2)0x c x ++>；当2c >时，不等式的解集为{|2}x c x -<<- 当2c =时，不等式的解集为∅当2c <时，不等式的解集为{|2}x x c -<<-20．(本小题满分12分)已知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【答案】见解析【解析】(1)因为ax 2＋2ax ＋1≥0，恒成立． ①当a ＝0时，1≥0恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，a 的取值范围为0≤a ≤1.(2)由x 2－x －a 2＋a <0得，(x －a )[x －(1－a )]<0. 因为0≤a ≤1，所以①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x <0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上所述，当0≤a <12时，解集为{x |a ＜x ＜1－a }；当a ＝12时，解集为∅；当12<a ≤1时，解集为{x |1－a ＜x ＜a }． 21.(本小题满分12分)（2019-2020学年•贺州高一期末）解关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++>．【解析】：当0a =时，不等式化为10x -+>， 1x ∴<；当0a >时，原不等式化为1(1)()0x x a-->，①当1a >时，不等式的解为1x a<或1x >； ②当1a =时，不等式的解为1x ≠； ③当01a <<时，不等式的解为1x <或1x a>；综上所述，得原不等式的解集为：当0a =时，解集为{|1}x x <；当01a <<时，解集为{|1x <或1}x a>；当1a =时，解集为{|1}x x ≠；当1a >时，解集为1{|x x a<或1}x >． 22.(本小题满分12分)已知函数y ＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式x 2＋3x －a<x ；(2)设x >a 时，y ＝x 2＋3x －a 有最小值为6，求a 的值．【答案】见解析【解析】(1)∵y ＝x 2＋3y －a ，x 2＋3x －a <x ，整理得(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，⎪⎭⎫⎝⎛+a x 3(x －a )<0， ∴解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x a x 3；当a <0时，⎪⎭⎫⎝⎛+a x 3(x －a )>0，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->a x a x x 或3. (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴y ＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，等号成立，即y有最小值2a2＋3＋2a. 依题意有2a2＋3＋2a＝6，解得a＝1.。

高中数学课时跟踪检测十五一元二次不等式及其解法新人教A版必修5

高中数学课时跟踪检测十五一元二次不等式及其解法新人教A 版必修5层级一学业水平达标1．不等式6x2＋x －2≤0的解集为( )A.B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≤－23或x≥12 C.D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≤－23 解析：选A 因为6x2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.2．设a<－1，则关于x 的不等式a(x －a)<0的解集为( )A.B ．{x|x>a}C.D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x<1a 解析：选A ∵a<－1，∴a(x－a)·<0⇔(x －a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a.3．在R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab ＋2a ＋b ，则满足x⊙(x－2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 解析：选B 由a⊙b＝ab ＋2a ＋b ，得x⊙(x－2)＝x(x －2)＋2x＋x －2＝x2＋x －2<0，所以－2<x<1.4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )A．{x|x<－1或x>lg 2}B．{x|－1<x<lg 2}C．{x|x>－lg 2}D．{x|x<－lg 2}解析：选D f(x)<0的解集为，所以f(x)>0的解集为，∴0<10x<∴x<lg ，即x<－lg 2.5．函数y＝的定义域为( )A．[－7,1] B．(－7,1) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析：选B 由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：先把原不等式可化为x2＋3x－4<0，再把左式分解因式得(x－1)(x＋4)<0，所以不等式的解集为(－4,1)．答案：(－4,1) 7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，∴0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，∴a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．。

【三维设计】高中数学第1部分 3.2第1课时一元二次不等式及其解法课时跟踪检测新人教a版必修5

课时跟踪检测(十五) 一元二次不等式及其解法一、选择题1．下列不等式①x 2＞0；②－x 2－x ≤5；③ax 2＞2；④x 3＋5x －6＞0；⑤mx 2－5y ＜0；⑥ax 2＋bx ＋c ＞0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13C ．∅D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－133．设集合M ＝{x |x 2－x ＜0}，N ＝{x ||x |＜2}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ∩N ＝M C ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝R4．关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＜0C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜05．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}二、填空题6．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为________．8．已知2a ＋1＜0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＜0的解集是________．三、解答题9．已知ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13＜x ＜12，试求a ，c 的值，并解不等式－cx 2＋2x －a ＞0.10．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)．答案课时跟踪检测(十五)1．选D 根据一元二次不等式的定义知①②正确．2．选D 不等式可化为(3x ＋1)2≤0，因此只有x ＝－13，即解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13，故选D.3．选B ∵M ＝{x |0＜x ＜1}，N ＝{x |－2＜x ＜2}， ∴MN ，即M ∩N ＝M .4．选D 由于不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为全体实数，所以，与之相对应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.5．选A 令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2<0.∴t <2. ∴|x |<2，得－2<x <2.6．解析：原不等式即为3x －x 2≥x 2＋2x ＋1，可化为2x 2－x ＋1≤0，由于判别式Δ＝－7＜0，所以方程2x 2－x ＋1＝0无实数根，因此原不等式的解集是∅. 答案：∅7．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，0＜x ＜3，∴0＜x ＜1. 答案：{x |0＜x ＜1}8．解析：∵方程x 2－4ax －5a 2＝0的两个根为x 1＝－a ，x 2＝5a ，又∵2a ＋1＜0，即a ＜－12，∴x 1＞x 2.故原不等式解集为{x |5a ＜x ＜－a }．答案：{x |5a ＜x ＜－a }9．解：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13＜x ＜12，知a ＜0，且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根为x 1＝－13，x 2＝12，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－13＋12＝－2a，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2.此时，－cx 2＋2x －a ＞0，即2x 2－2x －12＜0，其解集为{x |－2＜x ＜3}．10．解：原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)(x －2a)≤0.当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a.综上所述，当－2<a <0时，解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为{x |－1≤x ≤2a}．。

部编版2020年高中数学课时跟踪检测十六一元二次不等式及其解法习题课新人教A版必修56

课时跟踪检测（十六）一元二次不等式及其解法（习题课）层级一学业水平达标1．不等式x －1x≥2的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：选B 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.2．不等式4x ＋23x －1＞0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞13或x ＜－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞13 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－12 解析：选 A4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－12，此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞13或x ＜－12. 3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0<t ≤20，t ∈N)；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为( )A ．[15,20]B ．[10,15]C ．(10,15)D ．(0,10]解析：选B 由日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得10≤t ≤15.5．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1B ．－1C ．－3D ．3解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－xx ＋4≥1的解集为________．解析：因为5－xx ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＋4≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－4，12 7．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________．解析：根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 9．已知f (x )＝－3x 2＋a (5－a )x ＋b .(1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由f (x )>0，得－3x 2＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2－a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋a 5－a －b ＝0，27－3a 5－a －b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝9.(2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0，即2a 2－10a ＋(12－b )>0.又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b )<0，∴b <－12，∴实数b 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 10．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解：税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧8080－10P·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.故P 的范围为[2,6]．(2)∵f (P )＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数， ∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额，f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．层级二应试能力达标1．不等式x ＋5x －12≥2的解是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析：选Dx ＋5x －12≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2x －12，x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N )解析：选Dx ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选 B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15,30]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]解析：选C 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.5．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．解析：5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的范围是(100,400)．答案：(100,400)7．已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4mm －2<0，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]．(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.①当－a2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4.综上，可得a的取值范围为[－7,2].。

高中数学课时达标检测(十六)一元二次不等式及其解法(

课时达标检测（十六）一元二次不等式及其解法（习题课）一、选择题1．不等式4x ＋23x －1＞0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞13或x ＜－12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－12解析：选 A4x ＋23x －1＞0⇔(4x ＋2)(3x －1)＞0⇔x ＞13或x ＜－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞13或x ＜－12.2．已知A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x －a ＞0}，A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤3解析：选 B A ＝{x |x 2－x －6≤0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≤0}＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x －a ＞0}＝{x |x ＞a }，因为A ∩B ＝∅，所以a ≥3.故选B.3．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A.{}x |x ＜－1或x ＞2B.{}x |－1＜x ＜2C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＞2解析：选A 依题意，a >0且－b a＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a (x －2)>0，即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.4．设集合P ＝{m |－1＜m ＜0}，Q ＝{m ∈R|mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系式中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅解析：选A 当m ＝0时，－4＜0对任意实数x ∈R 恒成立；当m ≠0时，由mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x ∈R 恒成立可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16m 2＋16m ＜0，解得－1＜m ＜0.综上所述，Q ＝{m |－1＜m ≤0}，∴P Q ，故选A.5．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m ＜0D ．m ≥－4解析：选A 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，在(0,1]上为减函数，当x ＝1时，f (x )最小值＝－3，所以m ≤－3. 二、填空题6．若a ＜0，则不等式x －4ax ＋5a＞0的解集是________．解析：原不等式可化为(x －4a )(x ＋5a )＞0，由于a ＜0，所以4a ＜－5a ，因此原不等式的解集为{x |x ＜4a ，或x ＞－5a }．答案：{x |x ＜4a ，或x ＞－5a }7．若关于x 的不等式mx 2－mx ＋1＜0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．解析：假设原不等式的解集为空集．当m ＝0时，原不等式化为1＜0，此时不等式无解，满足要求．当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，∴0＜m ≤4.综上可得0≤m ≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m ＜0或m ＞4. 答案：m ＜0或m ＞48．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x >8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x. 第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为4x －8x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －8－4x －8x 升．依题意，得(x －8)－4x －8x≤28%·x . 由于x >0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403.又∵x >8，∴8<x ≤403.答案：⎝⎛⎦⎥⎤8，403三、解答题9．若不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}． (1)试求a ，b 的值； (2)求不等式ax ＋1bx －1＞0的解集．解：(1)∵不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}， ∴a ＜0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两根，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝3，－1a ＝2，a ＜0.于是得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32.(2)由(1)得不等式ax ＋1bx －1＞0即为－12x ＋132x －1＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1＞0，因此(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23＜0，解得23＜x ＜2.即原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23＜x ＜2. 10．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4.(1)如果对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．解：(1)由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)＋4＝0此时应满足Δ<0，即 4(a －2)2－16<0，解得0<a <4.(2)若对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧ f －3<0，f 1<0，－3<2－a <1，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a <0，1＋2a <0，1<a <5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>256，a <－12，1<a <5.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．11．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：令g (x )＝f (x )－a ＝x 2－2ax ＋2－a ，x ∈[－1，＋∞)，因此当x ∈[－1，＋∞)时要使f (x )≥a 恒成立，只要不等式x 2－2ax ＋2－a ≥0恒成立，结合二次函数图象(如图)，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ≤－1，g －1≥0，解得－3≤a ≤1.法二：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . 当a ∈(－∞，－1]时，结合图象知f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )最小值＝f (－1)＝2a ＋3.∴要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )最小值≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ≤－1.当a ∈(－1，＋∞)时，f (x )最小值＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1＜a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b ，2a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，2<x <c ； ②当c <2时，c <x <2； ③当c ＝2时，不等式无解．综上所述：当c >2时，不等式解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时不等式解集为∅.。

2020版高中数学课时作业16一元二次不等式及其解法新人教A版必修5

课时作业16 一元二次不等式及其解法[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)解析：因为3x ＋2>0，所以x >－23.所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23. 又因为(x ＋1)(x －3)>0，所以x >3或x <－1. 所以B ＝{x |x <－1或x >3}．所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23∩{x |x <－1或x >3}＝{x |x >3} 答案：D 2．函数y ＝17－6x －x2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B3．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：由(x －1)2<3x ＋7，得x 2－5x －6<0，解不等式得－1<x <6， ∴集合A ＝{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5，共6个．答案：C4．若函数f (x )＝1kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则常数k 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4] 解析：∵函数f (x )＝1kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，∴kx 2＋kx ＋1>0对x ∈R 恒成立．当k >0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4；当k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立；当k <0时，不符合条件．故0≤k ＜4.选C.答案：C5．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，应有( )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (2)<f (－1)<f (5)解析：由不等式的解集为{x |x <－2或x >4}，得x ＝－2和x ＝4是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，故f (x )的图象的对称轴为x ＝－2＋42＝1，且其图象开口向上结合图象可得f (5)>f (－1)>f (2)．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}7．不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0的解集为________．解析：由题得[x －(a ＋1)](x －a )<0，所以a <x <a ＋1. 答案：(a ，a ＋1)8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3. ①当x ≥0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6>3，x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x ≥0，即x >3或0≤x <1；②当x <0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6>3，x <0，解得－3<x <0.综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：(－3,1)∪(3，＋∞) 三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(a ＋b )x ＋b <0.解析：(1)由题意得x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，且a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1·b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由a ＝1，b ＝2得不等式为x 2－3x ＋2<0，即(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. ∴不等式的解集为(1,2)．10．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.解析：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝a . ∵函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象是开口向上的抛物线， ∴当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}；当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }．[能力提升](20分钟，40分)11．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a } D ．{x |5a <x <－a }解析：方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a,5a .∵2a ＋1<0，∴a <－12，∴－a >5a .结合函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }．故选A.答案：A12．不等式2x －3x －4≤14的解集为________．解析：不等式2x －3x －4≤14可化为2x －3x －4≤2－2，因为函数y ＝2x为增函数，所以x －3x－4≤－2，移项，通分整理得x 2－2x －3x≤0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≥0，x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x >0，解得x ≤－1或0<x ≤3.所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪(0,3]．答案：(－∞，－1]∪(0,3] 13．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值．解析：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝m m ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.14．解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R )．解析：①当k ＝0时，不等式的解为x >0.②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解为x <1＋1－k2k或x >1－1－k 2k；若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0<k <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k <－1时，不等式的解集为R .。

精品推荐学年高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法课时作业16 新人教A版必修5

课时作业(十六) 一元二次不等式及其解法
A组基础巩固
1．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|xLeabharlann 3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2<x<3}D．{x|－3<x<2}
解析：二次函数的图象开口向下，故不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}．
答案：0<m<2
8．函数f(x)＝log2 ＋的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则需
即
∴其定义域为 .
答案：
9．已知函数y＝的定义域为R，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
解：∵函数y＝的定义域为R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0<a≤1.综上，0≤a≤1.由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
a．对于不等式ax2－ x＋－a≥0恒成立，
则即
∴a＝ .
b．对于不等式 x2＋ x－a≤0恒成立，
则即
∴a＝ .
∴a＝时，x≤f(x)≤ (x2＋1)对一切实数x都成立，
∴存在常数a＝，b＝，c＝，
使得不等式x≤f(x)≤ (x2＋1)对一切实数x都成立．
答案：D
5．若不等式|2x－3|>4与关于x的不等式x2＋px＋q>0的解集相同，则x2－px＋q<0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由|2x－3|>4得2x－3>4或2x－3<－4，则x> 或x<－ .由题意可得

高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(二)课时作业新人教A版必修5

3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0) {x |x< x 1或x>x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b2a }R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0) {x |x 1<x <x 2}∅∅2．节分是不等式的同解变形法则：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≤0g x ≠0；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －12≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D 解析x ＋5x －12≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2x －12x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝x 2－3x ＋2>0g －1＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，gx <0的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ，所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，g x <0的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解由题意可列不等式如下：⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2， ∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －1·－2＋x 2－2x ＋1>0，x －1·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .。