3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
高中数学3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的正切公式课件新人教A版必修四1
T(α－β)
[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( tan α＋tan β (2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ任意α，β∈R，tan(α＋β)＝ 都成立．( 1－tan αtan β ) )
tan α＋tan β (3)tan(α＋β)＝ 等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)· (1－tan αtan β)． 1－tan αtan β ( )
[自 主 预 习· 探 新 知]
两角和与差的正切公式 名称 两角和 的正切 两角差 的正切 简记 符号 T(α＋β) 公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β _____________ tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β ____________ 使用条件 π α，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠1 π α，β，α－β≠kπ＋2(k∈Z) 且 tan α· tan β≠－1
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第2课时 两角和与差的正切公式
学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正 切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两 角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
∵α，β 均为锐角， ∴α＋β∈(0，π)， π ∴α＋β＝4. (2)∵AD⊥BC 且 BD∶CD∶AD＝2∶3∶6， BD 1 ∴tan∠BAD＝AD＝3， CD 1 tan∠CAD＝AD ＝2， tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
tan∠CAD－tan∠BAD ＝ 1＋tan∠CADtan∠BAD 1 1 2－3 ＝ 1 1 1＋2×3 1 ＝7.]
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。
3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。
类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二课时)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1、2课时）学习目标：1、能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系；2、能运用公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等问题。
学习重点：运用公式进行化简、求值、证明等问题学习难点：用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
一、知识链接：1、cos(α－β)＝2、cos 80cos 35cos10cos 55+ =3、0000cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_______a a a a -++-+= 二、新课导学 （一）新知探究思考1:由公式C αβ-出发，如何推导出两角和的余弦公式？新知1：对于任意角,αβ有：cos()αβ+=思考2：怎样用两角和与差的余弦公式推导出sin()αβ±？（利用诱导公式来实现正、余弦的互化）新知2：对于任意角,αβ有：sin()αβ+= sin()αβ-=思考3：你能用两角和与差的正、余弦公式及正切函数与正、余弦函数的关系推导出tan()αβ±吗？新知3：tan()αβ+=tan()αβ-=思考4：公式T αβ±中的,αβ依然可以是任意角吗？若不是，你能确定出公式T αβ±中的,αβ的取值范围吗？依据是什么？注意：公式的变形：tan tan αβ±=分析以上6个公式的特点，并记忆。
（二）新知运用 Ⅰ、简单的公式应用1、（A 级）求0000sin 15,sin 75,cos 75,tan 105的值。
2、（A 级）完成课本P 131的练习 第五题 （做在课本上）3、（A 级）求下列各式的值： （1）sin 21cos 39cos 21sin 39+（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；（3）cos(40)cos 20sin(40)sin(20)-+--（4）0cos(25)sin(35)sin(25)ααα++-+ ； （5）tan17°＋tan28°+tan17°tan28° （6）tan 50tan 20tan 50tan 203--第二课时4、自学课本P129例题3，并完成课本P131的练习2、3、4、7 练习2 （A级）解：练习3 （A级）解：练习4 （A级）解：练习7（B级）解：5、（B级）在△ABC中，若3cos5A=，且5cos13B=，则cos___________C=Ⅱ、凑角思想的应用6、（B级）21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+已知求的值。
人教A版数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)
第2课时（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cosβ＋sin （α＋β）sinβ;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x xx x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式(1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+(2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1. 2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕; cos （α±β）＝〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°; （2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得.解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°; （3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-.例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+co s (x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值. 活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ. ∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k ∈Z ).∴θ=k π-4π(k ∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练 已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明：方法一：右边=2(sin6πcosα+cos 6πsinα)=2(21cosα+23sinα)=cosα+3sinα=左边.方法二：左边=2(21cosα+23sinα)=2(sin 6πcosα+cos 6πsinα)=2sin(6π+α)=右边. 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cosφ=22ba a +,sinφ=22ba b +,从而得到tanφ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练 化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx)=22sin(6π-x).例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;（2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ), 即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin (α-β)= 31, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,①sinαcosβ-cosαcosβ=31.②①+②得sinαcosβ=125, ①-②得cosαsinβ=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.（四）作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解：由韦达定理得：tanα+tanβ=ab -,tanαtanβ=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.（五）课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.。
高中数学 人教A版必修4 第3章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
根据 α，β 的任意性，在上面式子中，以－β 代替 β 得
tan α＋tan－β tan α－tan β tan(α－β)＝ ＝ . 1－tan αtan－β 1＋tan αtan β
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
问题 2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α± β 的取值是任
【典型例题】 例1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ；(2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° . 1－ 3tan 15°
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tan 60° ＋tan 15° 解 (1)原式＝ ＝tan(60° ＋15° ) 1－tan 60° tan 15°
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研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.2（二）
练习 2：求值：tan 20° ＋tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° .
解 方法一 ∵tan 20° ＋tan 40° ＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )，
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∴原式＝tan 60° (1－tan 20° tan 40° )＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3－ 3tan 20° tan 40° ＋ 3tan 20° tan 40° ＝ 3.
3.1.2（二）
探究点一 问题 1
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两角和与差的正切公式的推导
sin α 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α＝ ，从两 cos α
角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正 切值表示 tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试． sinα＋β sin αcos β＋cos αsin β 答 当 cos(α＋β)≠0 时，tan(α＋β)＝ ＝ . cosα＋β cos αcos β－sin αsin β 当 cos αcos β≠0 时，分子分母同除以 cos αcos β，得 tan α＋tan β tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β
3.1.2 辅助角公式---两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)
罗平县第三中学高一数学组编 第 1 页 共 1 页课题：两角和与差的正弦、余弦和正切公式（二）【课 型】新授课【教学目标】1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换。
【教学重点】两角和、差正弦和正切公式的运用 【教学难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.【教学过程】【讲授新课】ba b a b a =++=+ϕϕαααtan )sin(cos sin 22 【例题讲解】例1、（1）x x sin 23cos 21- （2）x x cos sin 3+ (3))cos (sin 2x x -（4）x x sin cos - （5）2cos 6sin x x - （6）12cos 312sinππ+（7）12cos 12sinππ+ （8）x x cos sin 3+=【巩固练习】教材P132面6题【课时小结】掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换【课后作业】课本137页练习13题【课后反思】_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的和角C的正弦为sinC。
根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c，其中a、b、c分别为三角形ABC的对边、邻边和斜边。
根据正弦公式，sinC = c/c =1、所以，两角和的正弦公式为sin(A + B) = sinC = 12.两角和的余弦公式：设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的和角C的余弦为cosC。
根据三角函数的定义，有cosA = b/c和cosB = a/c。
根据余弦公式，cosC = cos(A + B) = cos(AcosB - BsinA) = cosAcosB + sinAsinB = (b/c)(a/c) + (a/c)(b/c) = 2ab/c²。
3.两角和的正切公式：设角A和角B的正切分别为tanA和tanB，则它们的和角C的正切为tanC。
根据三角函数的定义，有tanA = a/b和tanB = b/a。
根据正切公式，tanC = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) = (a/b + b/a) / (1 - (a/b)(b/a)) = (a² + b²) / (ab - ab) = a² + b² / ab。
4.两角差的正弦公式：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的差角C的正弦为sinC。
根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c。
根据差角公式，sinC = sin(A - B) = sin(AcosB + BsinA) = sinAcosB - cosAsinB = a/c(b/c) - (b/c)(a/c) = 2a b/c²。
5.两角差的余弦公式：设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的差角C的余弦为cosC。
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二)
sin( ) sin cos cos sin
S
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2
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二)
二、讲解新课：
sin( ) tan( ) (这里有什么要求?) cos( ) k ( k Z ) 2 sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) 2 tan tan 1 tan tan
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二)
4 4 例题2.已知 tan , tan( ) , 求 tan 2 . 5 5
解： 2
1.两角和的正切公式:
tan tan tan( ) 1 tan tan
简记为:T(α+β)
用 代替
2.两角差的正切公式:
tan tan tan( ) 1 tan tan
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简记为:T(α-β)
5
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3.
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§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(二) 变形应用
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3 1 tan75= tan(45+30)= 3 3 3 12 6 3 = 2+ 3 6 3 3 3 1 3
2.化简：
1 t an 1 t an t an ; t an t an 2 . 1 t an t an
答案： 1 tan tan ; 2 tan .
tan71o - tan26o 1- 3tan75o 3、求值： (1) o o (2) 1+ tan71 tan26 3 + tan75o
答案： (1) 1； (2) -1.
小结：
通过对和差公式的探索、推导和初步应 用，体会和认识公式的特征及功能.
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
公对 式比
两角和与差的正弦角公式：
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
注意：
cos , tan 的 . 值 4 4
3 解：由sin =- , 是第四象限的角，得 5
4 cos 1 sin 1 ( ) , 5
2 3 2 5
sin 3 所以 tan cos 4
于是有 2 4 2 3 7 2 sin( ) sin cos cos sin ( ) ; 4 4 4 2 5 2 5 10
探公 究式
两角和的余弦公式推导：
把 转 为 ， 有 化 则
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin .
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
利用公式求值
π π 3π π 3 已知 <α< ，0<β< ，cos 4－α ＝ ， 4 4 4 5 3π 5 sin 4 ＋β ＝ ，求 sin(α＋β)的值． 13
3π π π 分析： 4 ＋β － 4－α ＝ ＋(α＋β). 2
π 3π π π 解析：∵ <α< ，∴－ < －α<0， 4 4 2 4 π π 3 4 ∵cos 4－α ＝ ，∴sin 4－α ＝－ ； 5 5 π 3π 3π ∵0<β< ，∴ < ＋β<π， 4 4 4 3π 5 3π 12 ∵sin 4 ＋β ＝ ，∴cos 4 ＋β ＝－ ； 13 13
∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3－ 3tan 23° tan 37° ， 故得 tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量 之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求： (1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少；(3)使 项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数式；(5)尽量使被 开方数不含有三角函数式．
tan α－tan β 1＋tan αtan β 3 练习：5. 3
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．
第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
1．存在 α，β∈R，使 tan (α＋β)＝tan α＋tan β 吗？
tan α－tan β
2．对任意 α，β∈R，tan (α－β)＝
吗？
1＋tan αtan β
tan α＋tan β
3．tan (α＋β)＝
等价于 tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)?
1－tan αtan β
已知 tan α＋π5 ＝37 ，tan 45π－β ＝25 ，则 tan (α－β)＝________． 【解析】tan (α－β)＝tan [π＋(α－β)]
＝tan α＋π5＋45π－β
＝1t－antanα＋α5π＋＋π5ttaann
45π－β 45π－β
＝1－37＋37×2525
＝1.
答案：1
1＋tan 45°tan 21°
4．已知 A，B 都是锐角，且 tan A＝13
，sin B＝
5 5
，则
A＋B＝________．
【解析】因为 B 为锐角，sin B＝
5 5
，所以 cos B＝2 5 5
，
所以 tan B＝12
tan A＋tan B ，所以 tan (A＋B)＝
1－tan A tan B
－β))，三者知二可求出第三个．
(2)化简过程中注意“1”与“tan
π 4
”，“
3
”与“tan
π 3
”等特殊数与特殊角的函数值之间
的转化．
基础类型二 给值求值(数学运算)
【典例】已知 tan α＝12 ，tan (α－β)＝－25 ，那么 tan (2α－β)的值为( )
A．－34
B．98
C．－89
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第2课时课件
[答案] B
)
B．1 D． 6
tan10° ＋tan20° 3 [解析] ∵ ＝tan30° ＝3， 1－tan10° tan20° 3 ∴tan10° ＋tan20° ＝ 3 (1－tan10° tan20° )． ∴原式＝tan10° tan20° ＋1－tan10° tan20° ＝1.
π 1 1 3． 若 α， β∈(0， tanβ＝3， 则 tan(α＋β)＝________. 2)且 tanα＝2， [答案] 1 1 1 tanα＋tanβ 2＋3 [解析] tan(α＋β)＝ ＝ 1＝1. 1－tanαtanβ 1－6
1 已知 tanx＝4，tany＝－3，则 tan(x＋y)＝________，tan(x－y) ＝________.
[答案]
1 tanx＋tany 4－3 11 [解析] tan(x＋y)＝ ＝ ＝－ 7 . 1 1－tanxtany 1－4×－3 tanx－tany tan(x－y)＝ ＝ 1＝13. 1＋tanxtany 1＋－3×4 1 4＋3
sinα－β 2．推导 tan(α－β)的公式，既可以用 tan(α－β)＝ ， cosα－β 也可以将 tan(α－β)变换为 tan[α＋(－β)]．自己写出推证过程，结 tanα－tanβ 果为 tan(α－β)＝___________________ .使此表达式有意义的 α、 β、 1＋tanαtanβ π kπ＋2(k∈Z) α－β，均不等于___________________ ．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)知识点梳理两角和与差的正切公式T (α+β)：tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β ；T (α－β)：tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β． 【预习自我评估】(1) 若tan )4(πα+=31,则tan α=________． .答案-21 (2)求值：75tan 175tan 1-+=________． 答案 －3常考题分类整理题型一 两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用【例1】 (1)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A ．17 B ．16 C ．57 D ．56解析 tan β=tan [(α+β)－α]=tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α=17．答案 A (2)1－3tan 75°3＋tan 75°=________； 解析 原式=1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°=1tan (60°＋75°)=1tan 135°=－1．答案 －1 (3)求值：tan 23°+tan 37°+3tan 23°tan 37°=________．解析∵tan 23°+tan 37°=tan 60°(1－tan 23°tan 37°),∴原式=3－3tan 23°tan 37°+3tan 23°tan 37°=3．答案 3 方法总结 公式T (α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T (α±β)中,如果分子中出现“1”常利用1=tan π4来代换,以达到化简求值的目的,如3tan α＋31－tan α=3tan )4(απ+；1－tan α1＋tan α=tan )4(απ-． (2)整体变换：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式．(3)熟知变换：两角和的正切公式的常见四种变形：①tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)；②1－tan αtan β=tan α＋tan βtan (α＋β)． 【变式探究1】 求值：(1)1＋tan 15°1－tan 15°； (2)tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°． 解 (1)1＋tan 15°1－tan 15°=tan 45°＋tan 15°1－tan 15°tan 45°=tan(45°+15°)=tan 60°=3． (2)由tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β得tan α+tan β=tan(α+β)(1－tan αtan β)得tan 10°+tan 35°=tan 45°(1－tan 10°tan 35°) =1－tan 10°tan 35,所以tan 10°+tan 35°+tan 10°tan 35°=1．题型二 条件求值问题【例2】 (1)设tan α,tan β是方程x 2－3x +2=0的根,则tan(α+β)的值为( )A ．－1B ．1C ． －3D ．3解析 由题意知tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,所以tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan α·tan β=31－2=－3．答案 C (2)已知sin α=12,α为第二象限的角,且tan(α+β)=－3,则tan β的值为( ) A ．33 B ．－33C ． 3D ．－3 解析 ∵α为第二象限角,∴cos α<0,cos α=－32,∴tan α=－33．tan β=tan [(α+β)－α]=tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α=－3＋331＋(－3)·(－33)=－33．答案 A 【变式探究2】 已知sin α＋cos αsin α－cos α=3,tan(α－β)=2,则tan(β－2α)=________． 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α=tan α＋1tan α－1=3,则tan α=2,因为tan(α－β)=2,所以tan(β－α)=－2,故tan(β－2α)=tan [(β－α)－α]=tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α=－2－21＋(－2)×2=43．答案 43 题型三 给值求角问题【例3】 (1)在△ABC 中,tan A =13, tan B =－2,则角C =________； 解析 tan(A +B )=tan A ＋tan B 1－tan A tan B =13－21－13×(－2)=－1,∵A +B ∈(0,π),∴A +B =3π4,∴C =π－(A +B )=π4．答案 π4 (2)若α,β均为钝角,且(1－tan α)(1－tan β)=2,求α+β．解 ∵(1－tan α)(1－tan β)=2,∴1－(tan α+tan β)+tan αtan β=2,∴tan α+tan β=tan αtan β－1,∴tan α＋tan β1－tan αtan β=－1.∴tan(α+β)=－1．∵α,β∈),2(ππ,∴α+β∈(π,2π)．∴α+β=7π4． 【变式探究3】 已知α为锐角,且tan(α-β)=3,tan(α+β)=2,则角α等于( )A ．π8B ．38πC ．π4D ．π2解析∵tan 2α=tan [(α+β)+(α－β)]=tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)·tan (α－β)=3＋21－3×2=－1,∴2α=－π4+k π(k ∈Z ),∴α=－π8+12k π(k ∈Z )． 又∵α为锐角,∴α=π2－π8=3π8．答案 B课堂达标训练1．与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( ) A ．tan 66° B ．tan 43° C ．tan 24° D ．tan 20°解析 原式=tan 45°－tan21°1＋tan 45°tan 21°=tan(45°－21°)=tan 24°．答案 C 2．已知A +B =45°,则(1+tan A )(1+tan B )的值为( )A ．不确定B ．1C ．－2D ．2解析 (1+tan A )(1+tan B )=1+(tan A +tan B )+tan A tan B =1+tan(A +B )(1－tan A tan B )+tan A tan B =1+1－tan A tan B +tan A tan B =2．答案 D3．已知tan )2(βα-=13,tan )2(αβ-=－12,则tan α＋β2=________．解析 tan α＋β2=tan[(α－β2)+(β－α2)]=12－131－12×(－13)=17．答案 -17 4．已知A ,B 都是锐角,且tan A =13,sin B =55,则A +B =____ ．答案 π45．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值． 解 ∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1－tan 18°tan 42°)+tan 120°=－tan 60°tan 18°tan 42°,∴原式=－1．课后作业1．已知α,β为任意角,则下列等式：①cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β；②sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；③cos )2(απ+=－sin α；④tan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β．其中恒成立的等式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个解析 ①②③恒成立．答案 B 2．若tan )4(απ+=－2,则tan α的值为( )A ．13B ．3C ．23D ．2 解析 tan(α+π4)=1＋tan α1－tan α=2,解得tan α=3．答案 B 3．A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且tan A ,tan B 是方程3x 2－5x +1=0的两个实数根,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定解析 ∵tan A +tan B =53,tan A ·tan B =13,∴tan(A +B )=52,∴tan C =－tan(A +B )=－52,∴C 为钝角．答案 C 4．设tan(α+β)=25,tan(β－π4)=14,则tan(α+π4)=________． 解析 tan(α+π4)=tan[(α+β)－(β－π4)]=25－141＋25×14=322．答案 322 5．如果tan α,tan β是方程x 2－3x －3=0两根,则sin (α＋β)cos (α－β)=________． 解析 sin (α＋β)cos (α－β)=sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β=tan α＋tan β1＋tan αtan β=31＋(－3)=－32．答案 －32 6．已知tan α,tan β是方程x 2－3x －3=0的两根,试求sin 2(α+β)－3sin(α+β)cos(α+β)－3cos 2(α+β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3.∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=31－(－3)=34．∴sin 2(α+β)－3sin(α+β)cos(α+β)－3cos 2(α+β)=sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)=tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1=(34)2－3×34－3(34)2＋1=－3． 7．已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且－π2<α<π2,－π2<β<π2,求α+β的值． 解 由根与系数的关系得tan α+tan β=－33,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=－331－4=3,又－π2<α<π2,－π2<β<π2,且tan α<0,tan β<0．∴－π2<α<0,－π2<β<0,∴－π<α+β<0,∴α+β=－2π3． 8．在△ABC 中,tan A +tan B +tan C =33,tan 2B =tan A ·tan C ,则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析 由公式变形得：tan A +tan B =tan(A +B )(1－tan A tan B )=tan(180°－C )(1－tan A tan B )=－tan C (1－tan A tan B ) =－tan C +tan A tan B tan C ．∴tan A +tan B +tan C =－tan C +tan A tan B tan C +tan C =tan A tan B tan C =33． ∵tan 2B =tan A tan C ,∴tan 3B =33．∴tan B =3,B =60°．答案 C9．已知tan α=lg 10a , tan β=lg 1a ,且α+β=π4,则实数a 的值为( ) A ．1 B ．110 C ．1或10 D ．1或110解析∵α+β=π4,∴tan(α+β)=tan α＋tan β1－tan αtan β=1,tan α+tan β=1－tan αtan β,即lg 10a +lg 1a =1－lg 10a ·lg 1a ,1=1－lg 10a ·lg 1a , ∴lg 10a ·lg 1a =0．∴lg 10a =0或lg 1a =0．得a =110或a =1．答案 D 10．已知tan )4(απ+=2,则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．答案 23 解析∵tan )4(απ+=2,∴1＋tan α1－tan α=2,解得tan α=13．∴12sin αcos α＋cos 2α=sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α=tan 2α＋12tan α＋1=19＋123＋1=23． 11．已知α,β均为锐角,且tan β=cos α－sin αcos α＋sin α,则tan(α+β)=________． 解析 ∵tan β=cos α－sin αcos α＋sin α=1－tan α1＋tan α．∴tan β+tan αtan β=1－tan α．∴tan α+tan β+tan αtan β=1． ∴tan α+tan β=1－tan αtan β．∴tan α＋tan β1－tan αtan β=1,∴tan(α+β)=1．答案 1 12．已知tan(α－β)=12,tan β=－17,且α,β∈(0,π),求2α－β的值． 解∵tan(α－β)=12,tan β=－17,∴tan α=tan [(α－β)+β]=tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β=)71(211)71(21-⨯--+=13<1．∵α∈(0,π),∴0<α<π4,0<2α<π2．又tan β=－17<0,β∈(0,π),∴π2<β<π,∴－π<2α－β<0．又tan(2α－β)=tan [(α－β)+α] =tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α=12＋131－12×13=1,∴2α－β=－3π4．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
1
A.3
B.2
C.
2 2
√D.
3 3
∵cos α＋cosα－π3＝1， ∴cos α＋12cos α＋ 23sin α＝32cos α＋ 23sin α
＝
3
3 2 cos
α＋21sin
α
＝ 3cosα－π6＝1，
∴cosα－π6＝ 33.
(2)化简：①sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3 .
∴β>α，而 α，β∈0，π2， ∴0<β－α<π2， ∴β－α＝π3， 即选项D正确，C错误.
(2)在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则 tan Atan B 的值为
1 A.4
√B.13
1
5
C.2
D.3
∵C＝120°，∴tan C＝－ 3. ∵A＋B＝π－C， ∴tan(A＋B)＝－tan C. ∴tan(A＋B)＝ 3， tan A＋tan B＝ 3(1－tan Atan B)， 又∵tan A＋tan B＝233， ∴tan Atan B＝13.
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
√D.a>c>b
(sin2256°
由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)
＝cos 77°＝sin 13°，
第四章
考试要求
1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
人教a版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(2)1-tanαtan
β=
tan
tan
tan
.
(3)tanα+tanβ+tanαtanβ·tan(α+β)=tan(α+β).
(4)tanαtanβ= 1 tan tan .
tan( )
类型 一 两角和与差的正切公式的简单应用
【典型例题】
1.已知tanα +tanβ =2，tan(α +β )=4，则tanα tanβ 等于
1 tan75 1 tan45tan75
3
答案： 3
3
3. tan75 tan 45 30 tan45 tan30 2 Βιβλιοθήκη 3.1 tan45tan30
【拓展提升】利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式. T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一， 因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正 用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
1 tan 20tan 100
所以tan20°+tan100°=tan120°(1-tan20°tan100°)，
即tan20°+tan100°=tan120°-tan120°tan20°tan100°,
又tan120°=-tan60°,
所以tan20°+tan100°+tan60°=tan60°tan20°tan100°， 所以 tan 20 tan 100 tan 60 1,
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(二)
两角和与差的正切公式 cos cos sin sin sin cos cossin
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B4.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B5.两角和的正切公式：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)6.两角差的正切公式：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sin A cos A2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A 3.正切的二倍角公式：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)这些公式在三角函数的学习中非常重要，可以用于简化计算，推导其他公式，解三角方程等。
以上是两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式的简要描述。
详细阐述这些公式需要更多的字数，下面将对每个公式进行更详细的解释。
1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B这个公式表示角A和角B的和的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦加上角A的余弦乘以角B的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B这个公式表示角A和角B的差的正弦等于角A的正弦乘以角B的余弦减去角A的余弦乘以角B的正弦。
3.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B这个公式表示角A和角B的和的余弦等于角A的余弦乘以角B的余弦减去角A的正弦乘以角B的正弦。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一 两角和与差的正切公式知识点二 两角和与差的正切公式的变形 1．T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).2．T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .( × )提示 公式成立需α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z .2．使公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠k π＋π2(k ∈Z )即可．( × )提示 还应使α±β≠k π＋π2，k ∈Z .3．若α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )4．α≠k π－π4，且α≠k π＋π2，k ∈Z 时，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.( √ )题型一 正切公式的正用例1 (1)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.(2)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用 答案 A解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.反思感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 ．考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.题型二 正切公式的逆用与变形使用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ .考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案3解析 原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 解 方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 反思感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练2 若A ，B 是△ABC 的内角，并且(1＋tan A )·(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.2π3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求角 答案 A解析 由(1＋tan A )(1＋tan B )＝2， 得1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝2. 所以tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B .由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1－tan A tan B 1－tan A tan B ＝1，得A ＋B ＝π4.和、差角公式的综合应用典例 已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝ . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 17[素养评析] 借助和、差角公式，将要求代数式与已知条件建立联系，需要具备较好的运算能力，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．(2018·全国Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝ . 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15， 解得tan α＝32.3．计算：3－tan 15°1＋3tan 15°＝ .考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案 1解析 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.4．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 综合应用两角和与差的正切公式求角 答案 －2π3解析 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0.所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. 所以－π<α＋β<0，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝333＝ 3.所以α＋β＝－2π3.5．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α＋β)的值．考点 和、差角公式的综合应用 题点 综合运用和、差角公式化简求值 解 (1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝255×35－55×45＝2525. (2)tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. (3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路． 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．一、选择题1．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 C解析 (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 2．已知tan α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎫13π4－α等于( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12考点 两角和与差正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫13π4－α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12. 3．在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A 等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析 在△ABC 中， 因为3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，所以B ＋C ＝150°，所以A ＝30°，所以sin 2A ＝sin 60°＝32.4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π3考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求角答案 C解析 ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝－1，又α为锐角，∴2α＝3π4，∴α＝3π8.5．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A ．－13 B.13 C ．－3 D ．3考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2＝13.6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于()A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C .∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝3 3.又∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝33，∴tan B ＝3，又0°＜B ＜180°，∴B ＝60°.7．已知tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为() A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 C解析 ∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg(10a )＋lg 1a ＝1－lg(10a )·lg 1a ，1＝1－lg(10a )·lg 1a ，∴lg(10a )·lg 1a ＝0.∴lg(10a )＝0或lg 1a＝0. 得a ＝110或a ＝1. 二、填空题8.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值答案3 9.1－3tan 75°3＋tan 75°＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 －1解析 原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75° ＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.10．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ . 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式综合应用答案 43 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3， 则tan α＝2，因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43. 11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan ∠CAD －tan ∠BAD1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13＝17. 三、解答题12．已知一元二次方程ax 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)＝0的两个根为tan α，tan β，求tan(α＋β)的值． 考点 两角和与差的正切公式题点 利用两角和与差的正切公式求值解 由a ≠0和一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝2a ＋1a ，tan αtan β＝a ＋2a， 代入上式可得：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2a ＋1a 1－a ＋2a＝－12－a .13．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值． 考点 两角和与差的正切公式题点 两角和与差的正切公式的综合应用解 (1)由题意得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55， 因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan [(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第2课时)
3.填空:(1)两角和与差的正切公式
简记符号
公式
使用条件
T(α+β)
tan(α+β)=
α,β,α+β均不等于kπ+ (k∈Z)
T(α-β)
tan(α-β)=
α,β,α-β均不等于kπ+ (k∈Z)
(2)S(α+β),C(α+β),T(α+β)都叫做角公式;S(α-β),C(α-β),T(α-β)都叫做角公式.
α，β∈R
C(α＋β)
cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
α，β∈R
C(α－β)
cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
α，β∈R
三、导学指导与检测
导学指导
阅读相关材料
完成相应练习
一、两角和的余弦公式
【思考】1.如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式?
2.填空:cos(α+β)=.(C(α+β))=
《
一、学习目标
1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
2.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算
二、思维导图
简记符号
公式
使用条件
S(α＋β)
sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
α，β∈R
S(α－β)
sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
探究三和角、差角公式的变形使用
【例3】化简下列各式:
(1)tan 23°+tan 37°+ tan 23°tan 37°;(2) sin cos .
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复习引入 基本公式：
tan tan tan( ) 1 tan tan
复习引入 基本公式：
tan tan tan( ) 1 tan tan
tan tan tan( ) 1 tan tan
类型的变换.
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131;
2. 《习案》作业三十一的 第 1 、 2、 3题 .
D．等腰三角形
练习：
12 sin
3.
3 cos
12
的值为 (
)
A. 0
B. 2
C.
2
D. 2
思考：
3 12 已知 , cos( ) , 2 4 13 3 sin( ) , 求 sin 2 . 5
课堂小结
掌握两角和与差的余弦、正弦
和正切公式的应用及asin＋bcos
(1) 求角A； 1 2 sin B cos B ( 2) 若 3, 求 tan C的值. 2 2 cos B sin B
练习：
1. 教材P.132练习第7题. 2. 在△ABC中，sinAsinB＜cosAcosB， 则△ABC为 ( )
A．直角三角形
C．锐角三角形
B．钝角三角形
2 2
b tan a
讲解范例：
例2. 已知函数f ( x ) 2 sin x 2 3 cos x ,
x R.
(1)求f(x)的最值；
(2)求f(x)的周期、单调性.
讲解范例：
例3. 已知A、B、C为△ABC的三内角，
向量 m (1, 3 ), n (cos A, sin A), 且 m n 1.
练习
教材P.132练习第6题.
练习
教材P.132练习第6题.
思考：
怎样求 a sin b cos 的类型？
讲解范例： 例1. 化简 2 cos x 6 sin x .
讲解范例： 例1. 化简 2 cos x 6 sin x .
思考：
2 2 是怎么得到的？
讲解范例：
归纳：
a sin b cos a b sin( )
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：董文建
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin
复习引入 基本公式：
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin