一种点边带权最小生成树的近似算法
最小生成树算法详解
Kruskal算法应用案例
问题描述
最小生成树问题的求解算法除了Prim算法和Kruskal算法之外，还有基于动态规划的算法、基于回溯的算法、基于分治的算法等。
应用场景
例如，在计算几何中，可以通过基于动态规划的算法求解最小包围矩形、最小包围圆、最小包围球等问题；在数值计算中，可以通过基于回溯的算法求解一元高次方程的根等。
其他算法比较与择优
Kruskal算法
Prim算法
Boruvka算法
各算法优缺点比较
根据实际应用场景选择算法
03
Boruvka算法
时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数，空间复杂度为O(E)。
各算法时间复杂度与空间复杂度比较
01
Kruskal算法
时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数，空间复杂度为O(E)。
时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
Prim算法
总结词：Kruskal算法是另一种常用的最小生成树算法，其核心思想是通过将所有的边按照权值大小从小到大排序，然后依次选择每条边，如果这条边连接的两个顶点在已经生成的树中不构成环路，则将这条边加入到树中。详细描述：Kruskal算法的基本步骤如下将所有的边按照权值大小从小到大排序。初始化一颗空树作为生成的树的初始状态。从第一条边开始，遍历每条边，如果这条边连接的两个顶点在已经生成的树中不构成环路，则将这条边加入到树中。重复步骤3，直到所有的边都被遍历过。生成的树即为最小生成树。时间复杂度：Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
详细描述：Prim算法的基本步骤如下
1. 从一个任意顶点开始，将该顶点加入到已经访问过的顶点集合中。
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式是：
给定无向连通图G(V,E)，其中V为图的顶点集合，E为图的边集合。
每条边e∈E都带有一个非负权重w(e)。
找到一个包含图中所有顶点的子图T(V,E')，使得E' ⊆ E，并且E'构成一颗树（即连通且无环），使得所有的边的权重之和最小。
拓展：
最小生成树的应用十分广泛，可以用于解决多种问题。
以下是最小生成树的一些常见拓展场景：
1.带有约束条件的最小生成树：
在某些情况下，除了最小化权重之和外，还需要满足一些特定的约束条件。
例如，可以要求最小生成树的边数限制在特定的范围内，或者要求选择特定类型的边。
这时可以在最小生成树的模型中引入额外的约束条件，从而得到满足要求的最小生成树。
2.多目标最小生成树：
有时候，最小生成树问题不仅需要最小化权重之和，还需要考虑其他目标。
例如，可以同时考虑最小化权重之和和最大化生成树中的最长边权重。
这样的问题可以转化为多目标优化问题，并通过权衡不同目标之间的关系来求解。
3.带有边权重动态变化的最小生成树：
在某些场景中，图的边权重可能会根据一些规则进行动态变化。
例如，网络中的通信链路可能会根据网络拓扑和负载情况进行变化。
这时可以通过动态更新最小生成树来快速适应环境变化，从而保持最小生成树的有效性。
总之，最小生成树的模型可以通过引入不同的约束条件和目标函数进行拓展，以适应不同的应用场景。
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式摘要：一、最小生成树的定义与背景1.定义最小生成树2.最小生成树在图论中的重要性二、最小生成树的模型与数学公式1.Kruskal 算法2.Prim 算法3.最小生成树的数学公式三、最小生成树的性质与应用1.性质2.应用正文：一、最小生成树的定义与背景最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
最小生成树在网络分析、通信网络、运筹学等领域具有广泛的应用。
二、最小生成树的模型与数学公式1.Kruskal 算法Kruskal 算法是一种贪心算法，其基本思想是按照边权值从小到大的顺序依次选取边，每次选取一条边，判断是否构成回路，如果不构成回路，则将该边加入到最小生成树中。
Kruskal 算法可以得到一个最小生成树。
2.Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法，其基本思想是从一个顶点开始，每次选择连接已选择顶点与未选择顶点之间的最短边，直到所有顶点都被选择为止。
Prim 算法同样可以得到一个最小生成树。
3.最小生成树的数学公式最小生成树的边权值之和可以用W 表示，顶点数用V 表示，边数用E 表示，则有W = ΣWi，其中Wi 表示第i 条边的权值。
根据最小生成树的定义，可以得到最小生成树的权值之和为W" = (V - 1) * ΣWi / E，其中V - 1 表示生成树的顶点数比原图少1，ΣWi 表示所有边的权值之和，E 表示边的数量。
三、最小生成树的性质与应用1.性质最小生成树具有以下性质：（1）生成树包含所有顶点；（2）生成树中的边权值之和最小；（3）生成树中任意两个顶点之间存在一条路径。
2.应用最小生成树在网络分析、通信网络、运筹学等领域具有广泛的应用，例如在电力系统中，可以通过最小生成树算法来找到最短路径，从而优化电力传输路径，提高电力传输效率。
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式【原创实用版】目录1.最小生成树的概念2.最小生成树的数学公式3.举例说明最小生成树的计算过程正文1.最小生成树的概念最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
这里的生成树是指一个连通图的生成树，即保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
2.最小生成树的数学公式假设有一个加权连通图 G(V, E)，其中 V 是顶点集合，E 是边集合，每条边的权值为 w_ij，表示顶点 v_i 和 v_j 之间的边的权值。
设 T 为G 的最小生成树，|T| 表示 T 中边的数量，那么最小生成树的数学公式可以表示为：|T| = ∑(w_ij)其中，∑(w_ij) 表示 T 中所有边的权值之和。
3.举例说明最小生成树的计算过程假设有一个图 G(V, E)，其中 V = {1, 2, 3, 4, 5}，E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}，权值分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6。
首先，我们需要计算图中每条边的权值之和，结果如下：- (1, 2)：1- (1, 3)：2- (2, 3)：3- (3, 4)：4- (3, 5)：5- (4, 5)：6接下来，将这些权值相加，得到：∑(w_ij) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21因此，最小生成树的边数为 21 / 2 = 10.5，但由于边数必须为整数，所以最小生成树的边数为 11。
计算生成树时，可以从任意一个顶点开始，这里我们以顶点 1 为例，计算生成树的过程如下：- 1 -> 2，权值为 1- 2 -> 3，权值为 3- 3 -> 4，权值为 4- 3 -> 5，权值为 5将这些边按照权值从小到大排序，得到：1 ->2 (权值：1)3 ->4 (权值：4)3 -> 5 (权值：5)接下来，我们依次将这些边加入生成树，同时删除原图中的对应边，得到最小生成树：1 ->2 ->3 -> 4//3 5最后，我们可以验证一下最小生成树的权值之和是否等于 11：1 + 2 + 4 + 5 = 12由于计算过程中出现了误差，我们需要重新计算最小生成树。
最小生成树算法及其算法
最小生成树算法及其算法最小生成树(Minimum Spanning Tree，简称MST)是一种在无向图中找到一棵包含所有顶点，且边权重之和最小的树的算法。
MST应用广泛，例如在通信网络中铺设光缆、构建公路网，以及电力线路规划等方面。
常见的求解MST的算法有Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法：Prim算法采用贪心的策略，在每一步选择当前生成树与未选择的顶点中，权重最小的边，并将该边所连接的顶点加入生成树中。
Prim算法的具体步骤如下：1)初始化一个空生成树，将其中一个顶点加入生成树中。
2)在未选择的顶点中，选择权重最小的边，并将其所连接的顶点加入生成树中，同时将边加入生成树中。
3)重复上述步骤，直到所有的顶点都加入生成树中。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
如果使用优先队列来选取权重最小的边，时间复杂度可以优化到O(E log V)，其中E 为边数。
2. Kruskal算法：Kruskal算法也是一种贪心算法，它首先将所有边按照权重从小到大排序，然后按顺序将边加入生成树中。
在加入边的过程中，要注意不能形成环路。
Kruskal算法的具体步骤如下：1)初始化一个空生成树。
2)将所有边按照权重从小到大排序。
3)依次选择权重最小的边，将该边所连接的顶点加入生成树中。
如果加入该边会形成环路，则舍弃该边。
4)重复上述步骤，直到生成树中包含了所有的顶点。
Kruskal算法的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边数。
由于排序边的时间复杂度较高，Kruskal算法通常使用并查集来快速判断是否形成环路，从而优化算法的效率。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，得到的最小生成树在边数上都等于顶点数减1，且具有最小权重和。
这是由于MST的定义决定的。
总之，最小生成树算法是在图中找到一棵包含所有顶点的树，使得边的权重之和最小。
Prim算法和Kruskal算法是两种经典的求解最小生成树问题的贪心算法，它们的时间复杂度分别为O(V^2)和O(E log E)。
最小生成树的几个算法
<图>最小生成树的几个算法。
一、Prim 算法：1、将图中顶点分为两个集合，其中集合X 包含图的一个顶点v0，集合Y 包含除v0 外的其它所有顶点；2、将跨接这两个集合的权值最小的边加入图中，并将其依附在集合Y 中的顶点v1 从Y 中移入集合X 中；3、反复过程2，直到集合Y 为空，所得生成子图即为最小生成树。
二、Kruskal 算法：1、将图中所有边按权值从小到大排序；2、取权值最小的边，加入图中，判断是否形成了回路，若无，则保留此边，否则去掉该边，重取权值较小的边；3、反复过程2，直到全部顶点均连通为止。
三、破圈法：1、在图中找到一个回路；2、去掉该回路中权值最大的边；3、反复此过程，直到图中不存在回路为止。
四、去边法：1、将图中所有边按权值从大到小排序；2、去掉权值最大的边，若图不再连通则保留此边，再选取下一权值较大的边去掉；3、反复此过程，直到图中只剩下n-1 条边为止。
下面的程序是实现Prim、去边法、Kruskal算法的。
弄好了久好久，出现了很多Bug，很多地方方法也可能不够简。
可能还有很多Bug，但先收手了。
第四次上机作业输入无向图的邻接矩阵，使用前面讲过的任意三种方法求该图的最小代价生成树，并分析各自的时间复杂度。
#include<iostream>#include<queue>using namespace std;/***************************基本上共用的大模块（结构定义，邻接矩阵输入）************************************/#define MAX_VERTEX_NUM 20typedef struct //存放连接矩阵权值的一个结点{int weight;}Adj,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct //连接矩阵{AdjMatrix arc; //存权值的域int vexnum; //节点个数int edge; //边的个数}MGraph;typedef struct Node //用链表表示{int v1; //v1，v2为边的两个结点int v2;int weight;struct Node *next; //指向下一个结点}Node;typedef Node *NODEPTR;void CreateMGraph(MGraph &M){/*创建一个邻接矩阵表示有权图*/cout<<"请输入结点的个数:";cin>>M.vexnum;M.edge=0;cout<<"请输入该图的邻接矩阵:"<<endl; for(int i=1;i<=M.vexnum;i++){for(int j=1;j<=M.vexnum;j++){cin>>M.arc[i][j].weight;if(M.arc[i][j].weight)M.edge++;}}}/***********************查找最小生成树的Prim算法**********************************/struct Closedge{int adjvex;int lowcost;};struct Closedge closedge[MAX_VERTEX_NUM];//附设一个辅助数组，以记录从V-U具有最小代价的边。
最小生成树算法过程详解(信息系统项目管理师考试)
最小生成树算法过程详解针对最小生成树算法这一知识点，相当一部分课本和相关参考书对算法过程讲解并不是特别详尽。
本文主要针对信息系统项目管理师考试，对最小生成树算法过程进行逐步解析，以更加促进对知识点的理解和掌握。
1.概念在连通的带权图的所有生成树中，权值和最小的那棵生成树（包含图中所有顶点的树）称作最小生成树（权值：在数据结构领域，权值是树或者图中两个结点路径上的值，这个值表明一种代价，如从一个结点到达另外一个结点的路径的长度、所花费的时间、付出的费用等）。
2.带权连通无向图的最小生成树算法（1）普里姆（Prim）算法设已知G=(V,E)是一个带权连通无向图，U为构造生成树过程中已被考虑在生成树上的顶点的集合，顶点V=｛0,1,2,…，n-1｝，T是构造生成树过程中已被考虑在生成树上的边的集合。
Eij为顶点i、j之间的边，且i∈U，j∈V-U。
初始时，U只包含1个出发顶点i，T为空。
从出发顶点i开始查找，连接该顶点的所有边中，如果边Eij具有最小权值,那么最小生成树应包含Eij。
把j加到U中，把Eij加到T中，然后又从i、j开始，查找除去边Eij以外的连接i、j的最小代价边，依次重复上述过程，并使T不产生回路，直到U=V为止。
这时，T即为要求的最小代价生成树的边的集合。
普里姆算法的时间复杂度为O（n²），适合于稠密图（边数远远大于顶点数的图）。
（2）克鲁斯卡尔（Kruskal）算法设T(V,ψ)为初始状态只有n个顶点而无边的森林，顶点V=｛0,1,2,…，n-1｝，Eij为顶点i、j之间的边。
初始时，T只包含n个顶点。
按边代价递增的顺序，依次选择Eij并加入T，重复上述过程，并使T不产生回路，直到所有顶点均连接为止，此时T为最小生成树。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(elog2e），较适合于稀疏图（边数远远小于顶点数的图）。
下面，分别运用两种算法对例题进行解析。
例：下图是某地区的通信线路图，假设其中标注的数字代表通信线路的长度（单位：千米），现在要求至少要架设多长的线路，才能保持6个城市的通信联通？普里姆算法：1.选择A为出发顶点，查找连接顶点A的顶点中权值最小的边。
最小生成树的算法
最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。
下面将介绍几种最小生成树的算法。
一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。
基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。
基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。
当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。
最小生成树普里姆算法
最小生成树普里姆算法一、前言最小生成树是图论中的重要概念，其应用广泛，如网络设计、电路设计、机器人路径规划等。
普里姆算法是一种用于求解最小生成树的经典算法之一，本文将详细介绍普里姆算法的原理和实现。
二、基本概念1. 最小生成树：在一个无向连通图中，生成树是指包含所有顶点的树，最小生成树则是指权值和最小的生成树。
2. 权值：在图中每条边上都有一个权值，表示该边的重要性或代价。
通常情况下，权值越小，则该边越重要或者代价越低。
3. 顶点集合：一个图可以由若干个顶点组成，顶点集合即为这些顶点组成的集合。
4. 边集合：在一个图中，连接两个顶点之间的线段称为边，在这些边构成的集合即为边集合。
三、普里姆算法原理普里姆算法是一种贪心算法，其基本思想是从任意一个节点开始构建最小生成树，并逐步扩展节点集合。
具体步骤如下：1. 选择任意一个节点作为起始节点，将其加入节点集合中。
2. 从节点集合中的所有节点出发，找到连接到其他节点的边中权值最小的边，并将连接的节点加入节点集合中。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被加入节点集合中。
4. 最终得到的树即为最小生成树。
四、普里姆算法实现普里姆算法可以用优先队列（堆）来实现，以提高效率。
具体实现步骤如下：1. 初始化一个空的最小生成树和一个空的优先队列。
2. 随机选择一个起始顶点，并将其加入最小生成树和优先队列中。
3. 取出堆顶元素（即权值最小的边），判断该边所连的两个顶点是否已经在最小生成树中。
如果两个顶点都已经在，则跳过；如果只有一个顶点在，则将另一个顶点加入最小生成树和优先队列中；如果两个顶点都不在，则将这两个顶点和这条边加入最小生成树和优先队列中。
4. 重复步骤3，直到所有顶点都被加入最小生成树中。
五、代码实现以下是基于邻接矩阵实现普里姆算法的C++代码：```#include <iostream>#include <queue>using namespace std;const int MAXN = 100;const int INF = 0x3f3f3f3f;int g[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵表示图int n; // 图中顶点数struct Edge {int from, to, weight;bool operator<(const Edge& e) const {return weight > e.weight;}};priority_queue<Edge> q; // 优先队列（堆）void prim() {bool vis[MAXN] = {false}; // 记录每个顶点是否已经在最小生成树中vis[0] = true; // 从第一个顶点开始构建最小生成树for (int i = 1; i < n; i++) {if (g[0][i] != INF) { // 将所有与第一个顶点相连的边加入优先队列中q.push({0, i, g[0][i]});}}while (!q.empty()) {Edge e = q.top();q.pop();if (vis[e.from] && vis[e.to]) { // 如果这条边所连的两个顶点都已经在最小生成树中，则跳过continue;}cout << e.from << " -> " << e.to << " : " << e.weight << endl;if (!vis[e.from]) { // 如果这条边所连的起始顶点不在最小生成树中，则将其加入最小生成树vis[e.from] = true;for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[e.from][i] != INF && !vis[i]) { // 将所有与该顶点相连的边加入优先队列中q.push({e.from, i, g[e.from][i]});}}}if (!vis[e.to]) { // 如果这条边所连的终止顶点不在最小生成树中，则将其加入最小生成树vis[e.to] = true;for (int i = 0; i < n; i++) {if (g[e.to][i] != INF && !vis[i]) { // 将所有与该顶点相连的边加入优先队列中q.push({e.to, i, g[e.to][i]});}}}}}int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {cin >> g[i][j];if (g[i][j] == 0) { // 如果两个顶点之间没有边，则将其权值设为INFg[i][j] = INF;}}}prim();return 0;}```六、总结普里姆算法是一种简单易懂、实现方便的求解最小生成树的算法。
最小生成树算法总结
最小生成树算法总结最小生成树是指在一个无向连通图中，找到一个子树，使得这棵子树中所有边的权值之和最小。
最小生成树可以用于最优化问题，例如道路铺设、网络布线等。
下面将介绍三种最小生成树算法：Prim算法、Kruskal算法、Boruvka算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，从一个点开始，每次添加连接到已有集合中的最小边，直到所有点都在同一个集合中。
可以用以下步骤描述Prim算法：(1) 选择一个起点，将该起点加入最小生成树的顶点集合，然后将该顶点相邻的边加入边集合中。
(2) 从边集合中找到权值最小的一条边，将该边对应的顶点加入最小生成树的顶点集合，同时将该顶点相邻的边加入边集合中。
(3) 重复上述步骤，直到所有顶点都在最小生成树的顶点集合中。
Prim算法的实现可以使用堆优化，时间复杂度为O(E + VlogV)，其中E为边数，V为顶点数。
2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，与Prim算法不同的是，Kruskal算法是按照边的权值从小到大依次添加，直到所有顶点都在同一个集合中。
可以用以下步骤描述Kruskal算法：(1) 将所有边按照权值从小到大排序。
(2) 依次取出排好序的边，如果该边所连接的两个顶点不在同一个集合中，就将这条边加入最小生成树的边集合中，并将这两个顶点合并到同一个集合中。
(3) 重复步骤(2)，直到所有顶点都在同一个集合中。
Kruskal算法的实现可以使用并查集，时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于集合的分治算法，与Prim算法和Kruskal算法不同，Boruvka算法的时间复杂度是线性的。
可以用以下步骤描述Boruvka算法：(1) 对每个顶点建立单元素集合。
(2) 对每个集合，选择与该集合相连的最小权值的边，将这些边添加到最小生成树的边集合中，并将这些集合合并到同一个集合中。
(3) 如果只剩下一个集合，算法结束。
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树普利姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）是求解最小生成树的两种常用方法。
最小生成树是指连接图中所有节点，且边的权重和最小的树。
这两种算法各有特点，在不同的场景中使用。
1.普利姆算法：适用于边稠密的图普利姆算法是一种贪心算法，从一个节点开始，不断选择与当前树相连的、权重最小的边，并将该边连接的节点加入树中，直到所有节点都被遍历完。
这样就得到了最小生成树。
以下是普利姆算法的伪代码：1.创建一个空的树，用于保存最小生成树2.选择一个起始节点，将其加入树中3.从树中已有的节点出发，找到与树相连的边中权重最小的边4.将找到的边连接的节点加入树中5.重复步骤3和4，直到所有节点都加入树中普利姆算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
2.克鲁斯卡尔算法：适用于边稀疏的图克鲁斯卡尔算法是一种基于排序和并查集的贪心算法，按照边的权重从小到大的顺序选择，并判断是否会构成环。
如果不会构成环，则选择该边，并将其加入最小生成树中，直到所有节点都被连接。
以下是克鲁斯卡尔算法的伪代码：1.创建一个空的树，用于保存最小生成树2.将所有边按权重从小到大排序3.创建一个并查集，用于判断边是否会构成环4.遍历排序后的边，对于每条边，判断其连接的两个节点是否属于同一个集合（即是否会构成环）5.如果不会构成环，则选择该边，并将其加入树中，同时将该边连接的两个节点合并到同一个集合中6.重复步骤4和5，直到所有节点都连接在一起克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
这两种算法的应用场景有所不同。
如果要求解的图是边稠密的（即边的数量接近节点数量的平方），则使用普利姆算法更为高效。
因为普利姆算法的时间复杂度与边的数量有关，所以处理边稠密的图会更快一些。
而对于边稀疏的图（即边的数量接近节点数量的线性），克鲁斯卡尔算法更加适用，因为它的时间复杂度与边的数量有关。
最小生成树两种算法详解
最⼩⽣成树两种算法详解最⼩⽣成树众所周知, 树是⼀种特殊的图, 是由n-1条边连通n个节点的图.如果在⼀个有n个节点的⽆向图中, 选择n-1条边, 将n个点连成⼀棵树, 那么这棵树就是这个图的⼀个⽣成树.如果保证树的边权和最⼩, 那么这棵树就是图的最⼩⽣成树.为了求⼀棵树的最⼩⽣成树, 有两种算法, ⼀种是选择点加⼊树的Prim算法, 另⼀种是选择边加⼊树的Kruskal算法.Prim算法这个算法的过程和Dijkstra类似, 但有所不同.⾸先选择任意⼀点作为树的第⼀个节点0, 枚举与它相连的所有点i, 将两点之间的边权记为这个点到⽣成树的距离b[i], 选择距离最近的点加⼊⽣成树, 然后枚举与之相邻的节点j, ⽤边权a[i,j]更新b[j], 使其等于min(b[j],a[i,j]), 这样再继续加⼊当前离⽣成树最近的点, 在更新它相邻的点, 以此类推, 直到所有点全部加⼊⽣成树. 这样, 便求出了最⼩⽣成树.关于正确性我⾃⼰的思路是这样的: 如果⽤Prim算法求出了⼀棵最⼩⽣成树, 将⼀条边u换成另⼀条更⼩的v, 就得到⼀棵边权和更⼩的⽣成树. ⾸先保证树连通, 所以去掉u和v, ⽣成树被分成两个连通块是⼀模⼀样的. 在当时连接u的时候, 已经决策完的⽣成树⼀定也和v相连, 这时v连接的节点⼀定会⽐u连接的节点更早加⼊, 所以⼀开始的假设不成⽴, 算法正确.具体代码实现#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;int n,m,l,r,x,a[5005][5005]/*邻接矩阵*/,b[5005]/*点到⽣成树的最短边权*/,now/*当前加⼊的点*/,k=1/*⽣成树节点数*/,ans=0/*⽣成树总边权和*/;bool vsd[5005]={0};void update(int at){//⽤节点at更新其他点的b[]值for(int i=1;i<=n;i++) {b[i]=min(a[at][i],b[i]);}vsd[at]=true;return;}int find(){//寻找当前离⽣成树最近的点int ft=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vsd[i]){//不在树中if(b[i]<=b[ft]){ft=i;}}}return ft;}int main(){cin>>n>>m;memset(a,0x3f,sizeof(a));for(int i=1;i<=n;i++){a[i][i]=0;}for(int i=1;i<=m;i++){cin>>l>>r>>x;a[l][r]=min(a[l][r],x);//防⽌有两个点之间出现边权不同的⼏条边a[r][l]=min(a[r][l],x);}memset(b,0x3f,sizeof(b));update(1);while(k<n){//加⼊n-1个点后返回(第⼀个点本来就在树中, ⽆需加⼊)now=find();//加⼊最近的点nowans+=b[now];//统计答案update(now);//更新其他点k++;//统计点数}cout<<ans<<endl;return 0;}Kruskal算法这个算法和Prim相反, 它是将边记为树上的边, 最终得到⼀棵最⼩⽣成树.将所有边按边权排序, 然后将它们从⼩到⼤讨论是否加⼊⽣成树. 如果该边的两个端点属于同⼀个连通块, 这时加⼊该边就会形成环, 不符合树的定义, 所以舍弃. 如果该边两个端点不属于同⼀个连通块, 那么连接该边, 将两个端点所在连通块连成⼀个.当共加⼊n-1条边的时候, 就得到了⼀棵最⼩⽣成树.对于查找两点是否在同⼀个连通块中的⽅法, 我们可以使⽤并查集来维护点之间的连通关系.正确性简易说明Kruskal相对来说更好理解, 因为从⼩到⼤排序后, 使⽤被舍弃的边连成环是⾮法的, 使⽤排在后⾯的合法的边替换已经选择的边, 得到的答案不是最优的. 所以Kruskal算法正确.代码实现#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,fa[10005],s,e,l,k=0,ans=0;struct side{int le,ri,len;//起点, 终点, 边权}a[200005];bool cmp(side x,side y){//结构体sort规则return(x.len<y.len);}int find(int x){//并查集寻找最⽼祖先if(fa[x]==x){//⾃⼰就是当前连通块最⽼祖先return x;}fa[x]=find(fa[x]);//⾃⼰祖先的最⽼祖先return fa[x];}int main(){cin>>n>>m;memset(a,0x3f,sizeof(a));for(int i=1;i<=m;i++){cin>>s>>e>>l;a[i].le=s;//结构体存储边a[i].ri=e;a[i].len=l;}sort(a+1,a+m+1,cmp);//按边权升序排列for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;//初始化并查集}int i=0;while((k<n-1/*加⼊了n-1个点跳出*/)&&(i<=m/*枚举完了所有的边跳出*/)){i++;int fa1=find(a[i].le),fa2=find(a[i].ri);//两个端点的最⽼祖先if(fa1!=fa2){//不在同⼀连通块ans+=a[i].len;//记录答案fa[fa1]=fa2;//连接连通块k++;//记录边数}}cout<<ans<<endl;return 0;}之前发的是笔记, 现在发的是实战总结。
最小生成树克鲁斯卡尔算法详解
最小生成树克鲁斯卡尔算法详解转载自：数据结构中图结构的最小生成树克鲁斯卡尔算法详解我一直想把克鲁斯卡尔算法实现，但是由于马上就要考试了，而且自己由于天气寒冷等各种原因没能如愿。
不过在昨天一天的努力中，我终于完成了克鲁斯卡尔算法的实现。
算法是c++的，图的数据结构是以邻接矩阵为基础，并且使用了模板，所以可以对任何类型的顶点进行最小生成树的生成。
克鲁斯卡尔算法中的核心思想就是逐个在边的集合中找到最小的边，如果满足条件就将其构造，最后生成一个最小生成树。
它首先是一系列的顶点集合，并没有边，然后我们从邻接矩阵中寻找最小的边，看看它是否和现有的边连接成一个环，如果连接成环，则舍弃，另外取其它的边。
如果不连接成环，则接受这个边，并把其纳入集合中。
以此类推。
我们知道，一课有n个顶点的树(无论是树还是二叉树)，它必定有n-1个边。
我们只需要对上述操作循环至少n-1次(因为可能选出的边会构成环，不是我们需要的边)。
下面就是我寻找最小边的c++代码：Code：min=INFINITY；for(i=0；i vexnum；i++){for(j=i；j vexnum；j++){if(arcs[i][j].adj！=INFINITY&&minarcs[i][j].adj){if(arcs[i][j].adj=vexSet.lowcost&&！vexSet.IsAlreadyIn(i,j)){min=arcs[i][j].adj；track_i=i；track_j=j；}}}}首先让min为最大(INFINITY)，然后让其与邻接矩阵的一个个元素进行比较，我在遍历邻接矩阵的时候使用的是上三角(◥)法，因为无向网的邻接矩阵是对称矩阵。
当然我们必须记录满足调件的顶点的下标，所以track_i、track_j就变得必要了。
又因为我们要满足每次选取的最小权值的边呈递增数列，所以arcs[i][j].adj vexSet.lowcost(其中vexSet.lowcost为上次保存的最小边)就变得必要了。
最小生成树算法详解
Kruskal算法的核心是使用并查集来维护连通性，当一条边的两个顶点属于不同的 连通分量时，将这条边加入到生成树中，同时将两个连通分量合并为一个连通分 量，直到所有的连通分量都被合并为一个连通分量，生成树构建完毕。
算法步骤
初始化
将所有的边按照权值从小到大排序，初始化并查集和生成树。
选择边
从最小的边开始，依次选择每一条边，如果这条边的两个顶点属于不同的连通分量，将这 条边加入到生成树中，并将两个连通分量合并为一个连通分量。
最小生成树算法详解
xx年xx月xx日
目 录
• 最小生成树概述 • 普里姆算法（Prim算法） • 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法） • 最小生成树算法比较 • 最小生成树算法实践
01
最小生成树概述
定义与性质
定义
最小生成树是一个图的所有顶点连接起来形成的树，其所有 边的权重之和最小。
性质
最小生成树是一种最优树，它代表了从图中所有顶点中选择 一些顶点，使得这些顶点之间连接的边的权重之和最小。
重复选择
重复以上步骤，直到所有的边都被考虑过，生成树构建完毕。
Kruskal算法的拓展与优化
拓展
Kruskal算法适用于任何连通的带权图，不仅限于树和森林。
优化
在实现Kruskal算法时，可以通过优化查找和排序算法来提高效率。例如，使 用并查集的路径压缩和按秩合并优化来减少查找和合并操作的时间复杂度。
01
图论
最小生成树算法是图论中的一个经典问题，需要使用图的数据结构来
表示和解决问题。
02
并查集
并查集是一种用于处理不相交集合的数据结构，可以高效地解决最小
生成树算法中的连通性问题。
03
最小生成树的经典算法
最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一个连接图中所有节点且权值之和最小的树。
有两个经典算法可以解决最小生成树问题：普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）。
1. 普里姆算法（Prim's Algorithm）：
普里姆算法是一种贪心算法，从一个初始节点开始，逐步选择与当前生成树相邻的边中权值最小的边，将其加入生成树，然后扩展到新加入的节点。
该算法的基本步骤如下：
1. 选择初始节点，将其标记为已访问。
2. 从已访问的节点中选择一条边，该边的权值最小且连接一个未访问的节点。
3. 将该边和相应的节点加入生成树，并标记该节点为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问。
2. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）：
克鲁斯卡尔算法也是一种贪心算法，它通过按权值升序的顺序逐渐选择图中的边，如果选择某条边不形成回路，则将其加入生成树。
该算法的基本步骤如下：
1. 将图中所有边按照权值升序排列。
2. 从最小权值的边开始，依次选择每条边。
3. 如果选择某条边不形成回路，则将其加入生成树，否则舍弃该边。
4. 重复步骤2和步骤3，直到生成树中包含了所有节点。
这两种算法都能够有效地求解最小生成树问题，选择使用哪个算法通常取决于具体的问题需求、图的规模和边的数量。
在实际应用中，这两种算法都有广泛的应用。
克里斯托菲德斯算法
克里斯托菲德斯算法（Christofides algorithm）是一种应用于旅行商问题（TSP，Traveling Salesman Problem）的近似算法。
该算法在度量空间（即距离对称且满足三角不等式）上进行求解，可以保证找到的相对最优哈密尔顿回路长度有3/2的近似比。
克里斯托菲德斯算法的基本思想是在一个有权图中寻找一个哈密顿回路（即经过所有顶点的回路），并通过构造最小生成树来得到近似解。
算法的主要步骤如下：
1. 初始化：随机生成一个源顶点，将其作为起始点。
2. 构造最小生成树：使用Prim或Kruskal算法构建最小生成树。
3. 寻找哈密顿回路：从起始点开始，沿着最小生成树进行遍历，尝试寻找一个哈密顿回路。
4. 优化：如果找到的哈密顿回路长度大于当前最优解，则替换最优解。
需要注意的是，克里斯托菲德�算法依赖于图的性质，例如度数、连通性等。
在实际应用中，算法的结果可能受到初始化策略和最小生成树构建算法的影响。
因此，有时需要对算法进行多次运行，以获得更好的近似解。
截至2017年，克里斯托菲德斯算法仍然是一般性旅行商问题算法中近似比最好的结果。
在实际应用中，该算法在解决大规模旅行商问题时表现出较好的性能。
c语言数据结构kruskal算法两种构造最小生成树算法 -回复
c语言数据结构kruskal算法两种构造最小生成树算法-回复中括号内的内容为主题，写一篇1500-2000字文章，一步一步回答。
Kruskal算法是用来解决最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）问题的一种常用算法。
最小生成树是指在一个连通带权无向图中，选择边的子集构建出的一棵树，该树的所有边权之和最小。
Kruskal算法通过不断选择权值最小的边来构建最小生成树。
Kruskal算法的实现过程分为两个主要步骤：排序边和构建最小生成树。
首先，我们需要对图中的边进行排序，按照边权的大小从小到大排列。
这样做的目的是为了在构建最小生成树时能够优先选择权值较小的边。
排序可以使用不同的算法，例如快速排序或者堆排序。
接下来，我们需要构建最小生成树。
首先创建一个空的集合，用于存储最小生成树的边。
然后依次遍历排好序的边，对于每一条边，判断其两个顶点是否在同一个连通分量中。
如果是，说明该边加入最小生成树会形成环；如果不是，说明该边可以加入最小生成树。
为了判断两个顶点是否在同一连通分量中，可以使用并查集数据结构。
对于每一条边，首先找到其两个顶点所在的连通分量的根节点。
如果两个顶点的根节点不同，说明它们不在同一个连通分量中。
此时，将这条边加入最小生成树的集合中，并将两个连通分量合并为一个。
如果根节点相同，说明顶点在同一个连通分量中，不能将这条边加入最小生成树，因为会形成环。
遍历完所有的边后，最小生成树的构建完成。
此时，最小生成树的边集合即为算法的输出结果。
除了Kruskal算法，还有另一种构造最小生成树的算法，称为Prim算法。
Prim算法与Kruskal算法类似，都是通过选择边来构建最小生成树。
然而，两者的选择边的方式有所不同。
Prim算法选择的是与已经选择的顶点集合相邻的权值最小的边。
在构建最小生成树的过程中，首先选择一个起始顶点，将其加入已选择的顶点集合。
然后，依次选择与已经选择的顶点集合相邻的边中权值最小的边，将其加入最小生成树的边集合，并将与该边相邻的顶点加入已选择的顶点集合。
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一
种 点 边 带 权 最 小 生成 树 的近 似 算 法
李镇坚 朱 洪
（ 复旦大学计算机科学 与工程系 上海 ２ ０ ３ ） ０ ４ ３
摘 要
在给定的一个除边有代价外 点也 有两种代价 的图中， 要求 出一棵 点边 代价和 最小的 生成树 。这 个优 化问题具有 实际应
用背景。证 明了该 问题是 Ｎ Ｐ难 的， 并且也给 出该 问题的近似算法和近似度分析。 关键词 最小 生成树 近似算法 近似度 Ｎ Ｐ难
ｗ ｉ ｈ ｓｆｕ ｄ Ｔ ｅ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ａ ｒｃ ｉａ ｐ ｌ ａｉｎ Ｉ ｉ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｈ ｒ ｂｅ ｉ ＮＰ ｈ ｒ ， ｈ ｐ ｒｘ ｍａｉ ｎ ａｇ ｒｔ ｍ ｆ ｒ ｅｇ ｔ ｏ ｎ ， ｈ ｐ ｉ ａｉ ｒ ｂ ｅ ｈ ｓｐ ａ ｔ ｌ ｐｉ ｔ ． ｔ ｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ｓ ｉ ｍｉ ｏ ｃ ａ ｃ ｏ ｔ ・ ａ ｄ Ｔ ｅ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｌ ｏｉ ｏ ｏ ｈ ｔ ｅ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｈ ｎ ｙ ｉ ｆ ｈ ｐ ｒ ｘｍａｉｎ ｒ ｔ ｒ ｒ ｓ ｎｅ ． ｈ ｐ ｉ ａ ｉ ｒｂ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ａ ａ ｓｓ ｏ ｅ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ａｉ ａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｍｉ ｏ ｌ ｔ ｏ ｏ Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ Ｍｉ ｉ ｍ ｐ ｎ ｉ ｇｔｅ Ａｐ ｒｘ ｍａｉ ｎ ａｇ ｒ ｈ ｎｍｕ ｓ ａ ｎｎ ｒ ｅ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏ ｔ ｍ Ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｒｔ Ｎ ・ ａｄ ｏ ｌ ｉ ｐ ｒ ｘ ｍａｉ ａｉ ｏ ｏ Ｐ ｈ ｒ
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第２ ５卷 第 １期
２０ａｉ ｎ ｎ ｏ ｔ ｒ ｍｐ ｔ ｒＡｐ ｌｃ ｔ ｓ ａ ｄ Ｓ ｆ ｏ ｗａ ｅ
Ｖｏ． ５ １ ２ Ｎｏ ．１
Ｊｎ ２ ０ ａ，ｏ８
给定 某 连 通 无 向 图 Ｇ＝（ ， ， 权 函数 为 加： Ｒ Ｖ Ｅ） 边 — 以 及
Ｃｔ ） ∑ 加 ） ｏ（ ＝ ｓＴ （ ＋∑ （） ∑ ｄ ＋ （
（ ・ ＥＴ ０） ｉ ｌ ７ （） ｉ （
（） Ｕ ｉ
＝ 一 ＋∑ Ｉ．＋ ∑ Ｉ Ｉ ｎ１ Ｉ２ Ｖ ： 一 ＋ （Ｖ】】 】 ＋∑ ｌ ｌ ｎ １ ∑ 】，＋ ）
假定某生成树 有 个 叶子结点 ， 那么该树就有 ｎ—ｋ个 内 ｐ 结点 。那么我们有 ：
本文将 研究讨论 一种有实际应用背景的最小生成树 问题 。 我们知道在一棵树 中有 两种 点 ： 一种 是叶 子结 点 （ 时也 有
叫终端 ） 另一种点 叫 内结点 （ 时也 叫枢纽 ） ， 有 。假 如我们 要在 城市之间构建一个连通 网络 ， 了城市 与城 市之 间架设线 路需 除 要费用之外 ， 两个城市还需要 连接设 备费用 ， 我们知道作为终端 和枢纽地位的城市的连接设 备可能 是不一 样的 ， 而且 即使 是作 为枢纽 （ 终端 ） 的两个城市 ， 由于各种 因素 （ 比如地理位置 ） 消 所 耗的连接设备费用也可能会不 同。那 么如何使构造 的费用最小 呢？这个 问题我们可 以形式地描述如下 ：
定理 得证 。
两个点权 函数 ： Ｒ 和 ： —Ｒ 。设 为 图 Ｇ的某棵生 成 树 ， ． 为树 的叶子结点集以及 （ 为树 的内结点集 。 Ｖ（ ） ） 为方便描述 ， ｄ Ｔ ／ 为顶 点 ／在树 中的度数 ， 令 （ ，） ３ ３ 下面记 ：
（ ｅａｔｅｔｆＣ ｍ ｕｅ Ｓｉ ｃ ａｄＥ ｇｎｅｉｇ Ｆ ｄ ｎＵ ｉ ｒｔ，ｈｎ ｈ ｉ ０ ４ ３ Ｃ ｉ Ｄｐ ｒ ｎ ｏ ｏ ｐ ｔ ｃ ｎｅ ｎ ｎ ｉ ｒ ， ｕａ ｎｖ ｓｙ Ｓ ａｇ ａ ０ ３ ， ｈｎ ｍ ｒ ｅ ｅ ｎ ｅｉ ２ ａ）
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ Ｗｉ ｒ ｐ ｎ ｗｈｃ ｅ ｉ ｅ ａ ｅ ｔ ｏ ｋ ｎ ｓ ｏ ｏ ｔｂ ｓｄ ｓ ｅ ｇ ｓ ｃ ｓ ， ｎ ｍｕ ｓ ａ ｎ ｎ ｒ ｅ ｗ ｔ ｄ ｅ ｎ ｅ ｃ ｓ ｔ ａ ｇ ａ ｈ ｉ ｉｈ ｖ ￣ ｃ ｓ ｈ ｖ ｗ ｉ ｄ ｆ ｃ ｓ ｅ ｉｅ ｄ ｅ ｏ ｔ ａ ｍｉ ｉ ｍ ｐ ｎ ｉ ｇ ｔ ｉ ｅ ｇ ｓ ａ ｄ ｖ ￣ｉｅ ｈ ｅ ｈ
对 于任意 一无 向连 通 图 Ｇ＝（ ， ， 们 构造 边 权 函 数 Ｖ Ｅ） 我 和点 权 函数 ： ∈Ｅ， ｅ Ｖｅ 加（ ）：１ 即 Ｇ的每 条 边 权 都 为 １ Ｖ ， ； ∈ ， ）＝１和 （ （ ）：２ 。可 以看 出 这三 个 函 数都 是 常 量
函数 。
问题来证明其 Ｎ Ｐ难 。
０ 引 言
生成树 问题 在网络中有着 重要 的应用 ， 中研 究最多 的就 其 是最小 生成树 问题 。对 于一般 的最 小生 成 树 问题 （ 边权 和 最 小 ） Ｋｕｋｌ Ｐ ｍ 相 继 提 出 了快 速 、 效 、 单 的算 法。 ， ｒｓａｌ 和 ｒ 】 ｉ 有 简
： ｎ 一 １ ＋ｎ ＋ ｎ — ｋ
＝
３ —ｋ ｎ 一 ｌ
因此我 们有如下结论 ： 图 Ｇ中存 在大 于等于 个叶 子结 在
点 的生 成树 ， 当且仅 当存在满足 Ｃ ｓ（ ≤３ ｏｔ ） ｎ—ｋ 一１的点边 带 权生 成树 。而且已知最多叶结点生成树 问题是 Ｎ Ｐ难 的， 所以
ＡＮ Ｐ ＡＰ ＲｏＸＩ ＡＴＩ Ｍ ｏＮ ＡＬＧｏＲＩ Ｈ Ｍ Ｉ Ｍ ＵＭ Ｐ Ｔ ｏＦ Ｍ ＮＩ Ｓ ＡＮＮＩ ＮＧ ＴＲＥＥ
ＷＩ ＴＨ ＥＤＧＥＳ ＡＮＤ ＶＥＲＴＩ ＣＥＳ Ｗ ＥＩ ＧＨ Ｔ
Ｌ ｈｎｉｎ Ｚ ｕＨｏｇ ｉ ｅｊ ｈ ｎ Ｚ ａ