浙江省嘉兴市2013届高三4月二模考试数学(理)试题(word版,含答案)
【2013嘉兴二模】浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试化学试题Word版含答案
浙江省嘉兴市2013年高三教学测试(二)理综7．对以下问题的认识中，不正确．．．的是 A ．质谱法是用高能粒子束轰击有机物分子，使之分离成带电的“碎片”，并根据其特征谱分析有机物结构的方法B ．丁达尔现象可用于区别溶液与胶体，云、雾、稀硫酸均能产生丁达尔现象C ．谷氨酸（ ）的熔点高达205℃，难溶于苯等有机溶剂，主 要是因为形成内盐D ．“地沟油”经过加工处理制得肥皂或生物柴油，可以实现厨余废物合理利用8．下列说法正确的是A ．硅酸钠溶液的保存和碱溶液一样，存放在橡胶塞密封的广口试剂瓶中B ．用如右图所示操作配制浓硫酸和浓硝酸的混酸C ．用移液管取液后，将移液管垂直放入稍倾斜的容器中，并使管尖与容器内壁接触，松开食指使溶液全部流出，数秒后，取出移液管D ．欲分离硝酸钾和氯化钠的混合物（物质的量比为1：1），先将样品溶解，然后加热至溶液表面出现晶膜后冷却，过滤得硝酸钾晶体；将母液加热至有大量晶体析出后，用余热蒸干，得氯化钠晶体9．X 、Y 、Z 、W 、R 是5种短周期元素，其原子序数依次增大。
X 是周期表中原子半径最小的元素，Y 原子最外层电子数是次外层电子数的3倍，Z 、W 、R 处于同一周期，R 与Y 处于同一族，Z 、W 原子的核外电子数之和与Y 、R 原子的核外电子数之和相等。
下列说法正确的是A ．元素Y 、Z 、W 形成的离子具有相同电子层结构，其离子半径依次增大B ．39g Z 2Y 2中含有的离子数约为1.204×1024C ．元素Z 、R 的氧化物的水化物之间相互反应生成的盐溶液呈中性或碱性D ．元素Y 、R 分别与元素X 形成的化合物的热稳定性：X m Y>X m R10．如图是一种可充电的锂离子电池充、放电的工作示意图。
该电池的反应式为：LiMnO 2 ＋ C 6 Li 1－x MnO 2 ＋ Li x C 6（Li x C 6表示锂原子嵌入石墨形成的复合材料，LiMnO 2表示含锂原子的MnO 2）下列有关说法正确的是A ．K 与N 相接时，A 极为负极，该电极反应式为：Li x C 6 － x e ˉ＝ C 6 ＋ x Li +B ．在整个充电或放电过程中都只存在一种形式的能量转化C ．K 与N 相接时，Li ＋由A 极区迁移到B 极区D ．K 与M 相接时，A 极发生氧化反应，LiMnO 2 －x e ˉ ＝ Li 1－x MnO 2 ＋ x Li +11．下列说法正确的是A．按系统命名法，有机物的命名为2,2,4,4 –四甲基-3,3,5-三乙基己烷B ．乙醇发生消去反应、乙醇氧化为乙醛、乙酸的酯化反应中均是C-O 键发生断裂C ．叶酸的结构如右图所示，叶酸可以发生酯化、水解、氧化、加成等反应HOOC-CH 2CH2-CH-COOH2D ．荧光黄结构为，其分子式为C 20H 12O 5，其中最多有9个碳原子共平面12．关于下列各图的叙述不正确．．．的是图 甲 表 乙 图 丙A ．已知CO 的燃烧热283kJ/mol ，2H 2(g)+O 2(g)=2H 2O(g)；ΔH= - 483.6kJ/mol,则图甲表示CO 和H 2O(g)生成CO 2和H 2的能量变化B ．某温度下，pH=11的NH 3·H 2O 和pH=1的盐酸等体积混合后（不考虑混合后溶液体积的变化）恰好完全反应，反应后的溶液中NH 4+、NH 3·H 2O 与NH 3三种微粒的平衡浓度之和为0.05mol·L ˉ1 C ．在常温下，X 2(g)和H 2反应生成HX 的平衡常数如表乙所示，仅依据K 的变化，就可以说明在相同条件下，平衡时X 2（从F 2到I 2）的转化率逐渐降低，且X 2与H 2反应的剧烈程度逐渐减弱 D ．图丙中曲线表示常温下向弱酸HA 的稀溶液中加水稀释过程中，)()(HA c A c 的变化情况 13．固体粉末X 中可能含有FeO 、Fe 2O 3、MnO 2、K 2SiO 3、K 2SO 3、KAlO 2、MgCl 2、K 2CO 3、NaNO 2中的若干种。
2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。
2013年浙江省高考数学试卷(理)及答案
Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 12 页)2013年浙江省高考数学试卷(理科含答案)本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则Z 数学（理科）试题第 2 页 (共 12 页)A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x ＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．30(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图Z 数学（理科）试题第 3 页 (共 12 页)9．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | 则双曲线的离心率为A B C ．2 D 10．如图，函数y ＝f(x )的图象为折线ABC fn +1 (x )＝f [f n (x )]，n ∈N *，则函数y ＝fA ． BC DZ 数学（理科）试题第 4 页 (共 12 页)非选择题部分 (共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
【2013嘉兴二模】浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学理试题Word版含答案
嘉兴市2013年高三教学测试（二）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ),,2,1,0()1()(n k p p C k P kn k k nn =-=- ．球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}3,2,1{=A ，}9,3,1{=B ，A x ∈，且B x ∉，则=xA ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数i1i31-+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若10<<a ，x x a a log )1(log <-，则A ．10<<xB ．21<x C ．210<<x D ．121<<x 4．函数x x y 2sin 2cos +=，R ∈x 的值域是A ．]1,0[B ．]1,21[ C ．]2,1[-D ．]2,0[5．在5)1)(21(x x +-的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10- 6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2， 则该几何体的体积为 A ．π334+ B ．π33832+ C ．π3332+ D ．π3334+7．在平面直角坐标系中，不等式2|2|≤≤-x y 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C ．22D ．28．若b a ,表示直线，α表示平面，且α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件正视图 侧视图俯视图 （第6题）9．设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．设}{n a 是有穷数列，且项数2≥n ．定义一个变换η：将数列n a a a ,,,21 ，变成143,,,+n a a a ，其中211a a a n ⋅=+是变换所产生的一项．从数列20132,,3,2,1 开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产生的所有项．．．．．．．．．的乘积．．．为 A ．20132013)!2( B ．20122013)!2( C ．2012)!2013( D ．)!!2(2013非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．设数列}{n a 满足11=a ，n n a a 31=+，则=5a ▲．12．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ▲ ． 13．将函数x y sin =的图象先向左平移1个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象对应 的函数解析式为 ▲ ． 14．从点A 到点B 的路径如图所示，则不同的最短路径共有 ▲ 条．15．设△ABC 的三边长分别为c b a ,,则=++222|||||| ▲ ．16．设R ,,∈c b a ，有下列命题：①若0>a ，则b ax x f +=)(在R 上是单调函数； ②若b ax x f +=)(在R 上是单调函数，则0>a ； ③若042<-ac b ，则 03≠++c ab a ； ④若03≠++c ab a ，则042<-ac b ．（第12题）其中，真命题的序号是 ▲ ．17．已知点)0,3(-A 和圆O ：922=+y x ，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于B A ,）是圆O 上的动点，AB PD ⊥于D ，)0(>=λλED PE ，直线PA 与BE 交于C ，则当=λ ▲ 时，||||CN CM +为定值．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cba +的取值范围．19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PBAP，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？A'B 'A21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．22．（本题满分14分）若)(0x f 是函数)(x f 在点0x 附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极值，0x 为极值点．已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ．（Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点； （Ⅱ）若不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）（第21题）2013年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．A ；7．B ；8．D ；9．C ；10．A ．第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第10题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．81；12．5； 13．)121sin(+=x y ；14．22；15．3222c b a ++；16．①③； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ． 三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cba +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+，…4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ．…7分 （Ⅱ）C B A c b a s i n s i n s i n +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6s i n (2π+=A ．…11分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ．故，cba +的取值范围是]2,1(．…14分19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n ，…4分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PBAP，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． …2分因为平面⊥PE A '平面ABC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分（Ⅱ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．…7分则)0,0,0(C ，)1,1,0('++λλλa a A ， )1,0,1('++λλλa a B ，)0,1,1(++λλλaa P ． )1,1,0('++=λλλaa CA ， )1)1(,1,1('+-+-+=λλλλλaa a B A ，（第20题）BF PAF C'B 'A E（第20题）)1,1,0('+-+=λλa a P B ．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ，…9分 平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ．…11分2160cos 311|11|||||22=︒=⋅++-+=λλλλn m n m ， …13分化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． …15分21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(pF ，…2分所以102+=p，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ，则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ． 同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ． …8分MN 的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-，（第21题）即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-．ks5u 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …10分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…12分于是222222241)1(241|24|t t t t t t d ++=+-+-=． 令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=s s d （当3=s 时取等号）． 所以，d 的最小值为3． …15分22．（本题满分14分）若)(0x f 是函数)(x f 在点0x 附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极值，0x 为极值点．已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ．（Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点； （Ⅱ）若不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x xf ，111)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a e xa eax x ．…（*） 设a e xa eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则eae ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ） xe e ex a ax 222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立． …11分②当0>a 时，x e e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exe ae x --=． 令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-；再令1)(2=-e ae x ，解得e a e x +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．…14分命题人郑俊炜（嘉兴）、姜丽芳（嘉兴）吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2013年3月。
浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学(理)试题(扫描版)
2012年高中学科基础测试理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分11．1；12．250-；13．8；14．3π；15．12+n ；16．3；17．114． 三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（Ⅰ）1)32cos()32cos(2sin 3)(--+++=ππx x x x f =1)62sin(2-+πx ． …3分周期是π，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,6πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+6,662πππx ，值域是[]0,2-． …7分 （Ⅱ）由01)62sin(2)(=-+=πB B f 得21)62sin(=+πx 由π<<B 0，得3π=B . …10分 由23=⋅BC BA ，得23cos =B ac ，得3=ac ． …12分 再由余弦定理得，ac c a B ac c a b 3)(cos 22222-+=-+=7=．7=b ． …14分19．（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P .301=C C =P 31034…4分 （Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率32=C C C +C =P 310142636. …8分随机变量ξ服从二项分布)32,3(B ,分布列如下 …12分 2=ξE …14分20．取11C D 的中点H ，连结PH ，AH ．2511==PD PC ,111=C D ,∈P 平面11D DCC ， ∴21,111=⊥H D C D PH ，∴12121=-=H D PD PH ， P D C1B 1A 1C 1D H∴A A D D PH 11////， A A PH 1=，∴四边形AH PA 1为平行四边形，∴AH PA //1，又⊂AH 平面11D ABC ,⊄1PA 平面11D ABC ，∴//1PA 平面11D ABC ． …4分在正方体ABCD 中， AB B A //11，∴//11B A 平面11D ABC ，1111A B A PA = ，∴平面//11B PA 平面11D ABC …7分 （II ）方法1以直线1,,DD DC DA 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令，则)1,0,1(1A ，,2,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛P )0,0,0(D ∴ ,1,21,11⎪⎭⎫ ⎝⎛--=PA…8分 ∵ =n （0，1，0）是平面11A ADD 的一个法向量…10分 设直线1PA 与平面11A ADD 所成角为θ31sin θ，42tan =θ ∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42 …14分方法2： ∵AH PA //1，∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角等于直线AH 与平面11A ADD 所成角． 正方体1111D C B A ABCD -中，显然⊥1HD 平面11A ADD ，∴1HAD ∠就是直线AH 与平面11A ADD 所成角． …10分 在1HAD Rt ∆中，211=H D ,21=AD ,42tan 111==∠AD H D HAD ∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42． …14分21．（Ⅰ）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零．设直线AB 的方程为：b kx y += （0≠k ， 0>b ）由⎩⎨⎧=+=pyx b kx y 22，得0222=--pb pkx x ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-==+>+=∆pb x x pk x x pb k p 22084212122，…4分 ∴2222121214)2(22b ppb p x p x y y =-=⋅=． ∵4221p y y =，∴422p b =，∵0>b ，∴2p b =． ∴直线AB 的方程为：2p kx y +=． 抛物线C 的焦点坐标为)2,0(p ，∴直线AB 过抛物线C 的焦点． …8分 （Ⅱ）假设存在直线AB ，使得||3||1||1PQ PB PA =+, 即3||||||||=+PB PQ PA PQ ． 作x AA ⊥/轴，x BB ⊥/轴,垂足为/A 、/B ，∴ 212121//222||||||||||||||||y y y y p y py p BB OQ AA OQ PB PQ PA PQ +⋅=+=+=+ …11分∵p pk p x x k y y +=++=+221212)(，4221p y y = ∴||||||||PB PQ PA PQ +=42222p p pk p +⋅=242+k ． …15分由3242=+k ，得21±=k ． 故存在直线AB ，使得||3||1||1PQ PB PA =+．直线AB 方程为221p x y +±=． …15分 22．（Ⅰ）4=a 时，()222'41331343xx x x x x f +-=-+=2)4)(13(x x x --=， …2分 ),4,31(∈x 0)('<x f ，),4(+∞∈x ，0)('>x f ， 即)(x f 在),4,31(上单调递减，在),4(+∞单调递增 …4分 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上，当时，4=x )(x f 有最小值=)4(f .2ln 2613- …6分（Ⅱ）当,2131<<a ()222')13(3133x a x a x x a x a x f ++-=+-+= =2))(13(x a x x --， )(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a ,31单调递减，不妨设21x x <，则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x x ,31,21时)()(21x f x f >， 故不等式2121)()(x x x f x f -<-等价于2211)()(x x f x x f +<+ …10分 令函数x x f x g +=)()(，则1)()(''+=x f x g =222)13(4134x ax a x x a x a ++-=+-+再令=)(x h a x a x ++-)13(42，对称轴)21(31813<<+=a a x 由于，,091)31(>=h 0)(2>=a a h ，从而0)(>x h 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x ,31时恒成立，即0)('>x g 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x ,31时恒成立，所以)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛a ,31为增函数，所以2211)()(x x f x x f +<+ 从而对于任意的⎪⎭⎫⎝⎛∈a x x ,31,21,都有不等式2121)()(x x x f x f -<-…15分。
浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学文试题 Word版含答案
嘉兴市2013年高三教学测试（二）文科数学 试题卷 第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}3,2,1{=A ，}9,3,1{=B ，A x ∈，且B x ∉，则=xA ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数1ii+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若1122log (1)log x x -<，则A ．10<<xB ．21<x C ．210<<x D ．121<<x 4．若于指数函数2(),"1"f x a a =>，是“()f x 在R 上的单调”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5。
在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为A ．15B ．25C ．16D ．186.已知直线,l m 与平面αβγ、、，满足,//,l l m βγαγ=⊥ ，则必有A ．m αγβ⊥且//B ．αβαλ⊥//且C ．m l m β⊥//且D ．l m αγ⊥⊥且7。
6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2， 则该几何体的体积为A ．π334+ B ．π33832+ C ．π3332+ D ．π3334+8。
函数sin (0)y x ωω=>的部分如图所示,点A 、B 是最高点,点C正视图 侧视图俯视图 （第7题）是最低点,若ABC ∆是直角三角形,则的值为A ．2π B ．4π C ．3πD ．π9。
设F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，是其右顶点，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于A 、B 两点，若ABC ∆是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A ．(1,2)B．(1)+∞C．(1,1 D ．(2,)+∞10。
2013年浙江省高考数学(理科)试题精校版(word版)(含答案)
2013年浙江省高考数学（理科）试题校对版（word 版）（含答案）数学（理科）试题选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=A ．3i -+B ．13i -+C ．33i -+D ．1i -+2．设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃=A ．(21]-，B ．(4]-∞-，C ．(1]-∞，D ．[1)+∞， 3．已知x ，y 为正实数，则 A ．lg lg lg lg 222x yx y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则“()f x 是 奇函数”是“2πϕ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ．4a = B ．5a = C ．6a = D ．7a =6．已知R α∈，sin 2cos αα+=tan 2α= A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 7．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅ ．则A ．90ABC ∠=︒B ．30BAC ∠=︒ C ．AB AC =D ．AC BC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)xkf x e x k =--=，，则A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9．如图，1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦 点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是ABC ．32 D．210．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂直为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，1[()]Q f f P βα=，2[()]Q f f P αβ=，恒有12PQ PQ =，则 A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题(扫描版)
2013年高三教学测试（二）文科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ；2．A ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．D ； 7．C ； 8．A ； 9．D ； 10．D ．第10题提示：因为812221≤⇒≥+=ab ab b a ，当且仅当212==b a 时取等号．又因为ab ab ab b a ab b a 141)2(21422+=+⋅≥++．令ab t =，所以t t t f 14)(+=在]81,0(单调递减，所以217)81()(min ==f t f ．此时212==b a ．二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．13；12．2013； 13．︒30； 14．5； 15．26525+； 16．4； 17．81． 第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …① )3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将20209x y -=代入，得119922=++λy x ．由1199=+-λ，得到81=λ．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A B A b c a sin sin sin sin --=+． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求c b a +的取值范围． 解：（Ⅰ）C A B A b c a sin sin sin sin --=+c a b a --=，化简得222c ab b a =-+，…4分 所以212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=C ． …7分（Ⅱ）C BA c ba sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…11分 因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ． 故，c ba +的取值范围是]2,1(．…14分19．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，21=a ，231+=+n n a a ．（Ⅰ）记1+=n n a b ，求证：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）由231+=+n n a a ，可知)1(311+=++n n a a ．因为1+=n n a b ，所以n n b b 31=+， …4分 又3111=+=a b ， 所以数列{}n b 是以3为首项，以3为公比的等比数列． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,31n n a =+13-=n n a ，所以n n na n n -=3． 所以)21()3323(2n n S n n +++-⋅++⋅+= …9分 其中2212nn n +=++记n n n T 33232⋅++⋅+= ①13233)1(3233+⋅+⋅-++⋅+=n n n n n T ② 两式相减得1112323333332+++⋅---=⋅-+++=-n n n n n n n T …13分 4334121+⋅-=+n n n T所以4322341221-+-⋅-=+n n n S n n …14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．（Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '；（Ⅱ）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （Ⅱ）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．PAB FC 'B 'A E（第20题） M B F PA FC 'B 'A E （第20题）由（Ⅰ）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分 在R t △PCE 中，求得a EM 552=， 所以55522tan =='=aaEM E A θ．…15分21．（本题满分15分） 已知函数x a x x ax f ln )4(22)(2-+-=，0>a ．（Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,1(上有极值，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）若1=a ，则x x x x f ln 3221)(2--=．x x x x x x x x x f )1)(3( 3232)('2+-=--=--=．…2分 当)3,0(∈x 时，0)('<x f ；当),3(+∞∈x 时，0)('>x f ． …4分 所以函数有极小值3ln 323)3(--=f ，无极大值．…6分 （II ）)0( 42 42)('2>-+-=-+-=x x a x ax x a ax x f ．记42)(2-+-=a x ax x h ．若)(x f 在)2,1(上有极值，则0)(=x h 有两个不等根且在)2,1(上有根． …8分 由0422=-+-a x ax 得)2(2)1(2+=+x x a ， 所以425)2(21)2(22-+++=++=x x x x a ．…10分 因为)4,3(2∈+x ，所以)3,58(∈a ．…14分 经检验当)3,58(∈a 时，方程0)(=x h 无重根．故函数)(x f 在)2,1(上有极值时a 的取值范围为)3,58(．…15分22．（本题满分14分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线1C 上的动点P 作抛物线2C 的两条切线PM 、PN ， 切点为M 、N ．若PM 、PN 的斜率乘积为m ，且]4,2[∈m ，求||OP 的取值范围．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(pF ，…2分 所以102+=p，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）任取点),2(2t t P ，设过点P 的2C 的切线方程为)2(2t x k t y -=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-121)2(22x y t x k t y ，得0224222=+-+-t tk kx x ． 由()0)224(4222=+--=∆t tk k ，化简得022422=-+-t tk k ，…9分记PN PM ,斜率分别为21,k k ，则22221-==t k k m ， 因为]4,2[∈m ，所以]3,2[2∈t…12分（第22题）所以]21,12[4)2(422422∈-+=+=t t t OP ， 所以]21,32[∈OP ．…14分。
2013届苏、锡、常、镇、徐、连六市高三数学第二次模拟考试试卷及答案2013[1].3.20解析
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2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上.1 •已知全集 U ・ 1,2,3,4,5,6 A 」1,3,5?, B 」1,2,3,51，则 g (A“ B)二 ▲2亠ai2•若实数a 满足2i ，其中i 是虚数单位，则▲•1 -i3.已知 m 为实数，直线 h : mx y 3 = 0 , l 2 ：(3m -2)x my 2 = 0 ,则“ m =1”是“ h 〃 l 2 ”的▲ 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空)4•根据右图的伪代码，输出的结果T 为 ▲①若丨二，，且「_ 1 ,贝U l _ ：「②若l _ 一：，且〉/ ［，贝U l _「； ③若 l _ ［，且 31 】，则 l // ：•；④若:-n 二 m ，且 l // m ，则 l // ：• • 则所有正确命题的序号是▲•6•正四面体的四个面上分别写有数字 0, 1, 2, 3,把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2, 0, 1, 3, 0, 3的概率为 ▲.17•已知 cos(750 •:) ，则 cos(3C ° -2>)的值为 ▲•3片片 0 呻呻呻」— 勺 &已知向量 a , b 的夹角为45 ,且a =1 , 2a —b = 710，贝U b =▲S 2n +12013.3「 1k 3While I :: 20 「TI k I 2End While Print T5.已知l , m 是两条不同的直线, :-,:是两个不同的平面，有下列四个命题:9•设S n, T n分别是等差数列「a」,IbJ的前n项和，已知n, N*T n 4n - 2则a10. a11= ▲4+08 b6+bi510•已知F1, F2是双曲线的两个焦点，以线段F j F2为边作正.■:MRF2，若边MR的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲X11.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，函数y=e的图像与y轴的交点为B，P为函数y二e x图像上的任意一点，则OpAB的最小值k12•若对于给定的正实数k,函数f(x) 的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为x半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2,则k的取值范围是▲.13 .已知函数f (x) x x 2 - 3,则f(-5 f (-5㊁)=x+1 x + 2 x + 3 x + 4 2 2▲.14•设函数f (x) =ln x的定义域为M , •：：，且M • 0 ,对于任意a , b , c (M「：), 若a , b , c是直角三角形的三条边长，且f(a), f (b), f (c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为▲.、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明, 请把答案写在答题纸的指定区域内.证明过程或演算步骤,15.(本小题满分14分)在ABC中，角A , B , C的对边分别是a ,(1 )若BA.BC =3 , b = -、3，求a c的值；2c,且A , B , C成等差数列.(2)求2sin A「sinC的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ARG - ABC中，已知E ,F , G分别为棱AB , AC , AO的中点,ACB =900, AF _ 平面ABC CH _ BG , H为垂足.求证：(1) AE〃平面GBC ；C1 G(2) BG _ 平面ACH i叶VC H* ”4 一 V Y17. （本小题满分14分）已知实数a , b , c • R，函数f （x）=ax3- bx2ex满足f （1）= 0 ,设f （x）的导函数为f （x），满足f （0） f （1） .0 .c（1）求一的取值范围；a（2）设a为常数，且a . 0，已知函数f （x）的两个极值点为x1，x2，A（x1, f （x1）），2 a aB（X2, f（X2）），求证：直线AB的斜率k ，-.9 618. （本小题满分16分）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA, EB , EC , ED所在圆的圆心都是O、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是二（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h （米）,且h R ;灯脚FA , FB1, FG , FD1是正四棱锥F — ABGU的四条侧棱，正方形AB1C1D1的外接圆半径为R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为二（弧度）.已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米a（元）,3其中R, h , a都为常数.设该灯架的总造价为y（元）.（1 ）求y关于二的函数关系式；（2 ）当二取何值时，y取得最小值？A B119. （本小题满分16分）2已知椭圆E : — y^1的左、右顶点分别为A , B，圆x2y^4上有一动点P , P 4在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC , PB .(1) 若.ADC =90°，求ADC 的面积S ；(2) 设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1 = k2，求•的取值范围. 20. (本小题满分16分)设数列订鳥的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m , n ,Sm n _ 2a2m(1 S2n) -1 恒成立.(1)若a1 =1，求还,a3, a4及数列的通项公式;(2)若a^a2(a1 a21)，求证：数列ia n?成等比数列.2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答，若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A •（选修4 — 1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，已知CB 是O O 的一条弦，A 是O O 上任意一点，过点A 作O O 的切线交直线CB 于点P , D 为O O 上一点，且 ABD =/ABP . 求证：AB 2 =BP BD .B .（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）C .（选修4 — 4:坐标系与参数方程）（本小题满分10分）I x = 2 _t 、, —已知直线I 的参数方程！ 、一 （t 为参数），圆C 的极坐标方程：“ ■ 2sin v - 0 .j y =1 +J 3t（1） 将直线I 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线I 的距离最小.D.（选修4—5:不等式选讲）（本小题满分10分）已知a , b , c 都是正数，且a 2b 3^ 6，求•. a V . 2b V . 3c 1的最大值.［必做题］第22、23题海小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内 22. （本小题满分10分）已知矩阵A =『a |tc 0 的一个特征值为 r =-1，其对应的一个特征向量为P（第21-A 题）如图，圆锥的高P0 =4 ,底面半径0B = 2 , D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点,F 为底面圆周上一点，满足 EF _ DE .23. (本小题满分10分)(1) 山水城市镇江有“三山”一一金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的 概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用 '表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；(2)某城市有n ( n 为奇数，n _3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5 ,且该游客是否游览这 n 个景点相互独立，用•表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 数差的绝对值，求的分布列和数学期望.答案:(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 0 — DF -E 的正弦值.P右：村^一 •舛耳C| - ABC 中■ G.F 分别为4GMC 中点，・4G = FC 且4G 〃FC …・・四边形AFCG 为平行四边形■ ••・AF 〃 CG ・分 •丄平面的c,・•・CG 丄平面MC.[ACu 平面"PC, .•. CG 丄/C. •“•••1° 分• CD 丄"C\CG,C8u 平面GC8, CGf]CB = C ,・・・NC 丄平血ECG ,11分.又・•• BG u 平面BCG ,・•・ AC1BG. ••••••12分 •••CZZ 丄 CG ・且 ACcCH = C, AC,CH u 平面 ACH 、奴 BG 丄平面/1CH ・ •••14 分17•解：⑴・・・/(l) = a + 6 + c = 0,・・・b = -(a + c)・...... 】分••• f \x) = 3ax 2 + 2bx + c /X0) = c , /f (l) = 3a + 2Z> + c. Ac (3a + 2Z> + c) = c(a-c) = ac-c 2 >0 • ••・OH 0,CH 0 ・ .•.£-(£)2 >o, a a /•0< —<1.a(2)令/\x) = 3ax 2 +2/>x + c = 0>2b. _ c•T+X2"寿，"厂矿s a(x ： + “I + x ：) + b(x 2 + X|) + c刊[Q+讦-"J + bE+xJ + cf(x 2) - /(%,) _ (唱‘ + bx ； + cx<) - (ax, - bx ； + crjk=% f =士-旺•；豐篇严是平行四边形，••・・••5分 ■ 面GBC. GMu 面GBC. ：•人E 〃面GBC ・ ..... 7 分3分 ・4分••5分 ••6分・・・7分岛二数学符案第2页（共10贝）网亦厂詡+"-务*"诰煜£-务七]浑（耳+知令2^'则=» 虫（0，1）. 则 k = ¥〔-（】+ O 2 + 3/]=^-（ -r 1 +/-1）, ……14分 D 18・解：（1）延长EF 与地面交于0「由题意：勺FO 严“且F°产孟• …f 、、从而吩-磊，代爲， f \畤"侖+篇）_ O 1 （注：每写对一个部件造价得2分） 、40 4-cosO —“⑵2（亍飞矿）+以40 4-cos0 设/如亍盂厂 4sin 2 9 + 3-12cos£ 令广⑹二3^0 Q-2cos0）（7 + 2cos&） 一 °12分 13分 11分3 sin 2 0•••“亍当处（O 申时,/<0：吨昴时,小••••••''分 设处佩冷），其中tan 恥*1' •••%<「” ••”"分 ,玉（0冷，"气时，曲小*3 2」12分15分16分答：当0峙时，灯架造价取得械小低心学桃笫3呱（共〔°贝）19.解：⑴设 D^y). V ZADC = 9(T , A A D 2 + DC 2 = AC 2 ・即 F + 4y 2 -4 = 0 t 得,+4x ——(x + 2)2 -4 = 0. (勺+2)/ x 02 + y 02 = 4 , ••• x 2 +4x-_ (x+ 2『-4 = 0 •+ 2將理得(10-3x 0)x 2 + (32 -16x 0)x + 24 - 20心=0 ・(注：消去X.可得方程(x 02 + 4x 0 + 4 + 4y 02)y 2 -4(x 0 + 2)y^Q 9 也得 8 分) 此方程有-根为-2,设*,川则护幣芦 代M 线审方程，得心冷4必ky 则(X + 2)2+F+(X ・1)2*2=9・ 即 x 2+y 2• ••点D 在椭圆E 上，・••令+ b ；联立①，②，消去y,得 3x 2 + 4x-4 = 0,2*•* -2 < x < 2 > x = — •3代入椭圆方程.得丁二年一 • (4)分A A ADC 的面积 S = |x3x^ = >/2 .•••••• 6(2)设P(x 0,y 0),直线M(x + 2),代入椭10分则何沽,他诒■直I 丁圧気10-3x 012分 D• • E —Jb- • j k 、X Q ^21 1— 221 4 禺—4儿 4 X Q _24 Xo-2 八13x 0-22 22V -2<x 0<2, x o*—• A 久的取值范西为(Y ),0)U (0,3)• •20.尿（I ）由条件，得1+S+如（7）.①在①中，令/M = l,得1 + S*]=血2（1 + $2』•②则数列｛1 + SJ （心2/wN*）是公比为g 的等比数列.•••l + Sgl + S?)严(心2, nsN*).④心3时，1 + 5^=(1 + 52)/'3.⑤④-⑤，得勺=(l + S2)g"J(g-l) (/i^3 • zieN*). (*) 在①中，令加="=1,得 1 + S 2 = y/2a 2(l + S 2).• • (1+ S 2)2 =2a 2(l + S 2).贝ij 1 + S 2 = 2a 2 ••: a 2-\ + a }：• q = 1 ・•：伽=2 • ...... 6 分 在①中，令心,”2,得l + SjuQ^O + SJ.则(4 + 勺尸=4(4 + 6+©).⑥在①中•令^ = 2^ = 1,御 1 + Sj=72q(l + S2)• 则（4 +勺）2=险・⑦岛三数学猝案第5 U [（共10页）).=j••• 14分16分剣厂2,山陽=(1 + $2)严(—[)(“N・)・做朴2“(2T)才(心十NJ “亠•心2也适合上式，g计庆“ 井@中，令心,”2,得1 + S「酝隔.即抵=加4・••1 + ®=%10分12分在①中•令^ = 1,« = 2,得1 + S严宓(1 + sj.W1 + S厂血2(1 + $3+兔)，•:爲二風X 2為U (♦),得4=(1 + $2)2"(心3,处2). (*) 14分由条件fl4=a2(a1+a2+l),得+a2 +1 = 4.•fl2 = l + fll> .\fll=l,A02=2 •则％=4x2" = 2 小(诊3, “wNJ5 J •••坷“也适合上式…••陽=2门(weN*).16分•谶列他｝是等比数列.朋神枠第汰陳师-1 + 4 = 1,Ja = 2,c = 1» |c = 1.4的特征多项式为/(2) = (A-l)A-2 = A 2-A-2=0.则入》以=2・]■ *2* ■.•.才0 =才(-2 [ +3 ] ) = (-2)x(-l)5 ；21C •解：（1）宜线/的晋通方程为尸-5 + 1 + 2的・……:圆C 的肾通方程为：? + / + 2^ = 0..・・..・.⑵在圆C 上任取-点p （8如+sin 砒（0打0,2＜））,卩到直教的距助:d = ©cos® tsin 0 ■ 2 - 2 巧 | 12 sin （0 + 彳）■ 2 - 2巧 |■ 2高二数学楸第7贾（共io 臾）数学II （附加题）2IA.证明："打8相切丁•点八肋为3的弦，则例〃=厶"'在00中・ ZACB = "DB, ・・"DB = mAB. 乂在ZiDB/l 和5ABP 中・ ZDBA = "BP・：・厶 DBAs'ABP 、岂二型，即 AB 2^BPBD.BP AB・2分•5分 •8分 10分21B.解：由題意的{当入=2,特征方稈二:鳥 属于特征值石=2的一个轩征向掀为冬彳］3分•7分2,0*：心♦如.心心耐“吋“心丫W (】• ▼】■*•】• w (\A7TT\,亠,Ai.匕■寺且仅当故所求式没平(fl! DEF 法向ft 为”；=(岭.......... .......... 9分10分22. M ：(1)以<sin” =斗二・Of23.解：(2)设平面OM PE =2*+1)=ci…(|)° * a-护 “+琛;(护“ x (i-l )->=2x (护・u , A ^=(2Ar +T0X G“ + 1X C ；“+2X C ；“+...+心J}命•散学舀案=2 x{[(2k + l)xC：：：； + 2k x C ；：t,十(2— 1)x C：：；： + …+ (11)x」.......7・••• ^ = 2x(l)w*«{(2A + l)x[C；：+C；f,+- + C；J-(2A + l)x[C；4+Cj A+- + Ci i，D-8 分= 2x(》”“x(2jt + i)x[(c；；+c；： '+・・+U)-(U+G+…+c「)) = 2x(l)M*'x(2Jt4.1)xCi.10分答：§的数学期望砖为為占.乙岛三数学答案第10页（共10页）。
【2013杭州二模】浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学理试题_Word版含答案(修订版)
浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 是虚数单位，则11i ii i++=+（ ） A ．1322i -+ B ．1322i - C ．3122i + D ．3122i - 2．已知集合{|sin()sin ,(0,)},{|cos()cos ,2A k Z kB k Z k pp q q q p q q =?=??=(0,)},()2z A B 则pq ?ðA ．{|2,}k k n n Z =B ．{|21,}k k n n Z =-C ．{|4,}k k n n Z =D ．{|41,}k k n n Z =-3．设P 为函数()sin()f x x p =的图象上的一个最高点，Q 为函数()cos()g x x p =的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）AB ．2CD ．4．设直线：:(0)l y kx m m =+ ，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则“b k a =-”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若存在实数x ，y 使不等式组0320,60x y x y x y ì- ïïï-+ íïï+- ïïî与不等式20x y m -+ 都成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．m≥0B ． m≤3C ．m≥lD ．m≥36．设数列{a n }是首项为l 的等比数列，若11{}2n n a a ++是等差数列，则12231111()()22a a a a +++2012201311()2a a +++ 的值等于（ ）A ． 2012B ． 2013C ． 3018D ． 30197．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2， 且k 1·k 2=45-，则双曲线的离心率是（ ）AB ．94C ．32D ．958．若函数()(1).x f x x e =+，则下列命题正确的是（ ）A ．对任意21m e <-，都存在x R Î,使得()f x m < B ．对任意21m e >-，都存在x R Î，使得()f x m <C ．对任意21m e <-，方程()f x m =只有一个实根D ．对任意21m e>-，方程()f x m =总有两个实根9．在直角坐标中，A （3，1），B （－3，－3），C （l ．4）．P 是AB 和AC夹角平分线上的一点，且AP =2，则AP的坐标是A ．(-B ．(-C ．(-D (-10．如图，平面a 与平面b 交于直线l ，A ，C 是平面a 内不同的两点，B ，D 是平面b 内不同的两点，且A ，B ． C ．D 不在直线l 上，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中 点，下列判断正确的是（ ）A ．若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD与l 可能平行也有可能相交B ．若AB ，CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行C ．若存在异于AB ，CD 的直线同时与直线AC ，MN ，BD都相交，则AB ，CD 不可能是异面直线D ．M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知2cos ()3x x R =，则cos()3x p-= 。
浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试数学(理)试题(纯word版)
2014年高三教学测试（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{22,4A x x B x x x =≤=<，则R A B = ð （ ）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．[]1,1-D ．()0,2 2．已知(),0,a b ∈+∞，则“2ab >”是“22log log 0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，这是计算111124620+++⋅⋅⋅+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．19?i >B ．20?i >C ．20?i <D ．21?i <4．下列函数中既有奇函数，又在区间[]1,1-上单调递增的是（ ） A ．()sin 2f x x = B ．()tan f x x x =+ C ．()3f x x x =-D ．()22x x f x -=+5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是 （ ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．486．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得122130,120PF F PF F ∠=∠= ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2BC1+ D7．已知函数()23,11,0121,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<⎩，若数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且()111,3n n a a f a +==，则2014S =（ ）A ．895B ．896C ．897D ．8988．函数()f x 的图像如图，则()f x 的解析式可能是 （ ） A ．()cos 2f x x =B ．()sin 4f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ C ．()3cos 28f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()5sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90 ，AD ：BC ：AB =2:3:4，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论： ①DF ⊥BC ；②BD ⊥F C ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是 （ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④10．若直线1ax by +=与不等式组1210210y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域无公共点，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()7,1--B ．()3,5-C ．()7,3-D ．R二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =__________． 12．等比数列{}n a 前n 项的乘积为n T ，且2342a a =，则9T =__________．13．若()()8880182121x x a a x a x ++-=++⋅⋅⋅+，则02468a a a a a ++++=__________．14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．15．如图在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC =2，D 、E 是线段BC 上的两点，且13DE BC =，则AD AE ⋅的取值范围是___________．16．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点A 、B 、C 满足：①△ABC 的重心是F ；②|F A |、|FB |、|FC |成等差数列．则直线AC 的方程是________________________．17．已知集合()()()()}222,0,,1,2,32a A f x y f x y x a y a a ⎧⎪===-+--=±±±⎨⎪⎩，()(){},0,,1,2,3A g x y g x y x y b b ===+-=±±±，则A 中方程的曲线与B 中方程的曲线的交点个数是_________．三． 解答题: 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b C a A= （Ⅰ）若512C π=，求角B 的大小； （Ⅱ）若2,32b C ππ=≤<，求△ABC 面积的最小值． 19． (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD //BC ，P A=AB=AD =2BC =2，∠BAD =θ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若60θ= ，求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P —CD —A 的平面角最小．20． (本题满分14分)有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求P （S ）和P （T ）；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ．21． (本题满分15分)如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线2y x b =+．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；∙BA C EP D（第19题）（Ⅱ）若2a =,过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线的取值范围．21． (本题满分15分)已知a R ∈，函数()()()2,ln 2m x x n x a x ==+．（Ⅰ）令()()(),0,0m x x f x n x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()f x 的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA ⊥OB （O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()()g x m x n x =+存在两个极值点1x 、2x ，求()()12g x g x +的取值范围．（第21题）2014年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立； 考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确； 考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ． ),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； BAC DEFP15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾． 所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ，即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ． 设平面PCD 的法向量为),,(z y x =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=．（第19题）又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ=20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ．③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2P245127245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ，（第21题）所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分） 不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OBOA ⊥（O 为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ，第 11 页 共 11 页 ∴0=⋅，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ． ∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ，∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分） )2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x a x x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则 0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根． 令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ． 由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=a a a 42ln +-=a a a ． 令42ln)(+-=x x x x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln)('<=x x q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln 2<+-<a a a ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。
2013高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
数学_2013年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2013年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若i 为虚数单位，则复数1+i 1−i=( )A iB −iC √2iD −√2i2. 函数f(x)=sin(x +π2)⋅cosx 的最小正周期是（ ） A π2 B π C 2π D 4π3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A OB −1C −32D −744. 已知α，β是空间中两个不同平面，m ，n 是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是（ ）A 若m // n ，m 丄α，则n 丄αB 若m // α，α∩β，则m // nC 若m 丄α，m 丄β，则α // βD 若m 丄α，m ⊂β，则α丄β 5. 已知函数f(x)={f 1(x)，x ≤0f 2(x)，x >0下列命题正确的是（ ）A 若f 1(x)是增函数，f 2(x)是减函数，则f(x)存在最大值B 若f(x)存在最大值，则f 1(x)是增函数，f 2(x)是减函数C 若f 1(x)，f 2(x)均为减函数，则f(x)是减函数D 若f(x)是减函数，则f 1(x)，f 2(x)均为减函数6. 已知a ，b ∈R ，ab ≠0，则“a >0，b >0”是“a+b 2≥√ab”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线c:x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|＝2√3a ，则双曲线C 的离心率是（ ） A √2 B √3 C 2 D √3+18. 已知0<x <π2，则下列命题正确的是（ ）A 若√x <1sinx，则x >1sinxB 若√x <1sinx，则x <1sinxC 若x <1sinx，则√x >1sinxD 若x <1sinx ，则√x <1sinx9. 如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（ ）A 13B 14C 15D 1710. 已知函数f(x)=x 2+bx +c ，(b, c ∈R)，集合A ={x|f(x)=0}，B ={x|f(f(x))=0}，若A ∩B ≠⌀且存在x 0∈B ，x 0∉A 则实数b 的取值范围是（ ） A b ≠0 B b <0或b ≥4 C 0≤b <4 D b ≤4或b ≥4二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 已知奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=log 2(x +3)，则f(−1)=________． 12. 已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2，则z =2x +y 的最小值是________．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. 设(x −2)6=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a 6(x +1)6，则a 0+a 1+a 2+...+a 6 的值为________．15. 一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X 的均值E(X)=________．16. 若a →，b →是两个非零向量，且|a →|=|b →|=λ|a →+b →|，λ∈[√33,1]，则b →与a→−b →的夹角的取值范围是________．17. 己知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB =π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN||AB|的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟• 18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a =12c +bcosC ． (I )求角B 的大小；(II)若S △ABC =√3，求b 的最小值．19. 已知等差数列{a n }的公差不为零，且a 3=5，a 1，a 2．a 5 成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式：（2）若数列{b n}满足b1+2b2+4b3+...+2n−1b n=a n且数列{b n}的前n项和T n试比较T n与3n−1n+1的大小．20. 如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，∠BCD=90∘，BC=CD=√2，AD=BD，EC丄底面ABCD，FD丄底面ABCD且有EC=FD=2．(I )求证：AD丄BF；(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，试求二面角B−MF−C的余弦值．21. 已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点．（1）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；（2）如图②，直线l:y=kx+m与椭圆C上相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．22. 已知函数f(x)=12x2−(2a+2)x+(2a+1)lnx（I）求f(x)的单调区间；（II）对任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)|−f(x2)≤λ|1x1−1x2|，求正实数λ的取值范围．2013年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. B3. C4. B5. D6. C7. C 8. D 9. C 10. B 11. −2 12. −5 13. π614. 64 15. 4 16. [2π3, 5π6]17. √2218. 解：(I)由正弦定理可得：sinA =12sinC +sinBcosC ，…又因为A =π−(B +C)，所以sinA =sin(B +C)，… 可得sinBcosC +sinCcosB =12sinC +sinBcosC ，… 即cosB =12．所以B =13π …(II) 因为 S △ABC =√3，所以 12acsin 13π=√3，所以ac =4 … 由余弦定理可知：b 2=a 2+c 2−ac ≥2ac −ac =ac … 所以b 2≥4，即b ≥2，所b 的最小值为2． … 19. 解：（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意{a 1a 5=a 22a 3=5，∴ {a 1(a 1+4d)=(a 1+d)2a 1+2d =5，解得{a 1=1d =2．∴ a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1． （2）∵ b 1+2b 2+4b 3+...+2n −1b n =a n ，① b 1+2b 2+4b 3+...+2n −1b n +2n b n =a n+1，② ②-①得2n b n+1=2，∴ b n+1=21−n ．当n =1时，b 1=a 1=1，∴ b n ={22−n ，当m ≥2时1，当n =1时，当n =1时，T 1=a 1=1，3×1−11+1=1，此时T n =3n−1n+1．当n ≥2时，T n =1+4(122+123+⋯+12n ) =1+4×122(1−12n−1)1−12=3−12n−2．又2n =(1+1)n =C n 0+C n 1+⋯+C n n>n +1，∴12n−2=42n<4n+1，3−12n−2>3−4n+1=3n−1n+1．∴ 当n =1时，T n =3n−1n+1，当n ≥2时，T n >3n−1n+1．20. (I)证明：∵ ∠BCD =90∘，BC =CD =√2，∴ BD =√2BC =2，∠BDC =45∘ 又由AB // DC ，可知∠ABD =∠BDC =45∘， ∵ AD =DB ，∴ ∠BAD =∠ABD =45∘， ∴ ∠ADB =90∘，∴ AD ⊥DB ．∵ FD 丄底面ABCD ，∴ FD ⊥DB ．又FD ∩DB =D ，∴ AD ⊥平面FBD ， ∴ AD ⊥BF ．(II)解：如图，以点C 为原点，直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系．可得D(√2，0，0)，E(0,√2，0)，F(√2，0，2)，A(2√2，√2，0)，B(0,√2，0)．又∵ N 恰好为BF 的中点，∴ N(√22，√22，1)，FD→=(0,0,−2)，BD →=(√2,−√2,0)．设M(0, 0, z 0)，∴ MN →=(√22,√22,1−z 0)．又∵ {MN →⋅BD →=0˙，{−2(1−z 0)=01−1+0=0，可得z 0=1．∴ M(0, 0, 1)，故M 为线段CE 的中点．设平面BMF 的一个法向量n →=(x,y,z)，且BF →=(√2，−√2，2)， MF →=(√2,0,1)，由{MF →⋅n →=0˙，可得{√2x −√2y +2z =0√2x +z =0，令x =1，则y =−1，z =−√2．得n →=(1,−1,−√2)． 又∵ 平面MFC 的一个法向量为m →=(0,1,0)， ∴ cos <n →，m →>=|n →||m →|˙=−12． 由图可知：二面角B −MF −C 为锐角． 故所求二面角B −MF −C 的余弦值为12．21. 解：（1）由a 2=2，b 2=1，所以c 2=a 2−b 2=1，所以c =1，则F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)设M(x 0, y 0)，则MF 1的中点为N(x 0−12，y02)，F 1M →=(x 0+1,y 0)，F 2N →=(x 0−32,y 02)．∵ MF 1⊥NF 2，∴ F 1M →⋅F 2N →=0，即(x 0+1，y 0)⋅(x 0−32,y 02)=0，∴ x 02−2x 0−3+y 02=0 ① 又有x 022+y 02=1 ②由①、②解得x 0=2−2√2或x 0=2+2√2（舍去） 所以点M 到y 轴的距离为2√2−2． （2）设P(x 1, y 1)Q(x 2, y 2)，∵ OPRQ 为平行四边形，∴ x 1+x 2=x R ，y 1+y 2=y R ． ∵ R 点在椭圆上，∴ x R22+y R 2=1，即(x 1+x 2)22+(y 1+y 2)2=1，即(x 1+x 2)22+[k(x 1+x 2)+2m]2=1，化简得，(1+2k 2)(x 1+x 2)2+8km(x 1+x 2)+8m 2=2 ③． 由{x 22+y 2=1y =kx +m ，得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0．由△>0，得2k 2+1>m 2 ④， 且x 1+x 2=−4km1+2k 2． 代入③式，得16(1+2k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−32k 2m 21+2k 2+8m 2=2，化简得4m 2=1+2k 2，代入④式，得m ≠0． 又4m 2=1+2k 2≥1，解得m ≤−12或m ≥12．22. 解：(I)f′(x)=x −(2a +2)+2a+1x=(x−2a−1)(x−1)x (x >0)令f′(x)=0，得x 1=2a +1，x 2=1 … ①a =0时，f′(x)=(x−1)2x≥0，所以f(x)增区间是(0, +∞)；②a >0时，2a +1>1，所以f(x)增区间是(0, 1)与(2a +1, +∞)，减区间是(1, 2a +1) ③−12<a <0时，0<2a +1<1，所以f(x)增区间是(0, 2a +1)与(1, +∞)，减区间是(2a +1, 1)④a ≤−12时，2a +1≤0，所以f(x)增区间是(1, +∞)，减区间是 (0, 1)…（II ）因为a ∈[32，52]，所以(2a +1)∈[4, 6]，由（1）知f(x)在[1, 2]上为减函数．… 若x 1=x 2，则原不等式恒成立，∴ λ∈(0．+∞) …若x1≠x2，不妨设1≤x1<x2≤2，则f(x1)>f(x2)，1x1>1x2，所以原不等式即为：f(x1)−f(x2)≤λ(1x1−1x2)，即f(x1)−λx1≤f(x2)−λx2对任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1,2]，恒成立令g(x)=f(x)−λx ，所以对任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1,2]有g(x1)<g(x2)恒成立，所以g(x)=f(x)−λx在闭区间[1, 2]上为增函数…所以g′(x)≥0对任意的a∈[32，52]，x1，x2∈[1,2]恒成立而g′(x)=x−(2a+2)+2a+1x +λx2≥0，即(2x−2x2)a+x3−2x+x2+λ≥0，只需(2x−2x2)52+x3−2x+x2+λ≥0，即x3−7x2+6x+λ≥0对任意x∈[1, 2]恒成立，令ℎ(x)=x3−7x2+6x+λ，ℎ′(x)=3x2−14x+6<0(x∈[1, 2])恒成立，∴ ℎ(x)在x∈[1, 2]上为减函数，则ℎ(x)min=ℎ(2)=λ−8，∴ ℎ(x)min=ℎ(2)=λ−8≥0，∴ λ≥8．。
浙江省嘉兴市2013届高三一模试题：数学(理)(扫描版)
三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分） 18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：C B C A cos sin sin 21sin +=， …2分 又因为)(C B A +-=π，所以)sin(sin C B A +=， …4分 可得C B C C B C B cos sin sin 21sin cos cos sin +=+，…6分 即21cos =B .所以3π=B …7分 （Ⅱ） 因为 3=∆ABC S ，所以 33sin 21=πac ，所以4=ac…10分 由余弦定理可知：ac ac ac ac c a b =-≥-+=2222…12分所以42≥b ，即2≥b ，所以b 的最小值为2． …14分19．解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为)0(≠d d ，由题⎪⎩⎪⎨⎧==532251a a a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+52)()4(12111d a d a d a a ，…3分解得：⎩⎨⎧==211d a .…4分122)1(1)1(1-=-+=-+=∴n n d n a a n .…5分（Ⅱ）n n n a b b b b =++++-1321242 ①20．解：（Ⅰ）证明：∵DC BC ⊥，且2==CD BC ，∴2=BD 且 45=∠=∠BDC CBD ； …1分又由DC AB //，可知 45=∠=∠CBD DBA∵2=AD ，∴ADB ∆是等腰三角形，且 45=∠=∠DBA DAB ， ∴ 90=∠ADB ，即DB AD ⊥；…3分 ∵⊥FD 底面ABCD 于D ，⊂AD 平面ABCD ，∴DF AD ⊥， …4分 ∴⊥AD 平面DBF .又∵⊂BF 平面DBF ，∴可得BF AD ⊥. …6分 （Ⅱ）解：如图，以点C 为原点，直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系. 可得)0,2,22(),2,0,2(),0,2,0(),0,0,2(A F B D ， …8分 又∵ N 恰好为BF 的中点，∴ )1,22,22(N .设),0,0(0z M ，∴)1,22,22(0z MN -=.又∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF MN BD MN ，∴可得10=z .故M 为线段CE 的中点. …11分设平面BMF 的一个法向量为),,(1111z y x n =， 且)2,2,2(--=BF ，)1,2,0(-=BM ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n BM n BF 可得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--02022211111z y z y x ， 取⎪⎩⎪⎨⎧===213111z y x 得)2,1,3(1=n . …13分又∵平面MFC 的一个法向量为)0,1,0(2=n ， …14分∴63,cos 21<n n . 故所求二面角B -MF -C 的余弦值为63. …15分 21．解（Ⅰ）)0,1(1-F ，…1分 设),(00y x M ，则1MF 的中点为)2,21(0y x N -， …2分 ∵21NF MF ⊥，∴021=⋅NF MF ，即0)2,23(),1(0000=-⋅+y x y x ， …3分∴03220020=+--y x x （1） …4分又有122020=+y x， （2）由（1）、（2）解得2220-=x （2220+=x 舍去） …5分 所以点M 到y 轴的距离为222-.…6分（Ⅱ）设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OPRQ 为平行四边形，∴R x x x =+21，R y y y =+21． …8分∵R 点在椭圆上，∴1)(2)(221221=+++y y x x ，即1]2)([2)(221221=++++m x x k x x ，…9分化简得，28)(8))(21(2212212=+++++m x x km x x k ．…（1） …10分 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1222得0224)21(222=-+++m kmx x k ．由0>∆，得2212m k >+…（2）， …11分 且221214k km x x +-=+．…12分代入（1）式，得282132)21()21(16222222222=++-++m km k k m k k ，化简得22214k m +=，代入（2）式，得0≠m ． …14分 又121422≥+=k m ， ∴21-≤m 或21≥m ．…15分22．解：（Ⅰ）xa a x x f 12)22()(+++-='=x x a x )1)(12(--- （0>x ）令0)(='x f ，1,1221=+=x a x …1分① 0=a 时，0)1()(2≥-='xx x f ，所以)(x f 增区间是()+∞,0；② 0>a 时，112>+a ，所以)(x f 增区间是)1,0(与),12(+∞+a ，减区间是)12,1(+a ③021<<-a 时，1120<+<a ，所以)(x f 增区间是)12,0(+a 与),1(+∞，减区间是)1,12(+a ④ 21-≤a 时，012≤+a ，所以)(x f 增区间是),1(+∞，减区间是)1,0( (5)分（Ⅰ）因为]25,23[∈a ，所以]6,4[)12(∈+a ，由（1）知)(x f 在]2,1[上为减函数. …6分若21x x =，则原不等式恒成立，∴),0(∞+∈λ …7分若21x x ≠，不妨设2121≤<≤x x ，则)()(21x f x f >，2111x x >， 所以原不等式即为：)11()()(2121x x x f x f -≤-λ，即22111)(1)(x x f x x f λλ-≤-对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 恒成立令x x f x g λ-=)()(，所以对任意的]25,23[∈a ，]2,1[,21∈x x 有)()(21x g x g <恒成立，所以xx f x g λ-=)()(在闭区间]2,1[上为增函数 …9分所以0)(≥'x g 对任意的]25,23[∈a ，]2,1[∈x 恒成立。
浙江省嘉兴市嘉兴一中2013届高三数学一模试卷 理 新人教A版
嘉兴市嘉兴一中2013届高三一模数学理科试卷一．选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分） 1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,4}U A B ===，则()U AC BA ．｛1，3｝B ．｛2，4｝ C ．｛1，2，3，5｝ D ．｛2，5｝ 2．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ． 123．已知等比数列{}n a 中，12345640,20a a a a a a ++=++=，则前9 项之和等于（ ）A ．50B ．70C ．80D ．90 4．已知m a 、都是实数，且0a ≠，则“{,}m a a ∈-”是“||m a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．右图所示的程序框图中的输出结果是 ( )A ．2B ．4C ．8D ．166．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列正确的是A ．若m ∥,n α∥α，则m ∥n B ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β C ．若m ∥,n α∥β，则α∥βD ． 若,m n αα⊥⊥，则m ∥n 7．设向量,a b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +＝( )A ．2B ．．4 D ．8．设变量,x y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．3[1,]2B ．1[,1]2C ．[1,2]D ．1[,2]29．在正实数集上定义一种运算*：当a b ≥时，a *3b b =；当a b <时，a *2b b =， 则满足3*27x =的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1D ．3或10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）(C) 2二．填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分）正视图侧视图俯视图11．曲线sin cos y x x =+在点(,1)2π处的切线斜率为 ▲ .12．已知复数132z =-+,满足210az bz ++=(a,b 为实数),则a b += ▲ . 13. 平面上两定点A,B 之间距离为4,动点P 满足2PA PB -=,则点P 到AB 中点的距离的最小值为 ▲ .14. 随机变量X 的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若12EX =，则DX 的值是 ▲ ．15．已知圆22:2O x y +=，圆22:(1)(3)1M x y -+-=，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是 ▲ .16．已知关于x 的方程22||90x a x a ++-=只有一个实数解，则实数a 的值为 ▲ . 17. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 ． ▲ ．三．解答题（本题共5题，满分72分）18．（本题满分14分）已知1(sin ,)2m A =与(3,sin 3)n A A =+共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.19．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足113,33(*)nn n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足3n n n b a -=.（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3123452n n a a a a S n =+++++，求满足不等式2111284n n S S <<的所有正整数n 的值.20．（本题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ∆是正三角形， 且2AD DE AB ==.（1）设M 是线段CD 的中点，求证：AM ∥平面BCE ； （2）求直线CB 与平面ABED 所成角的余弦值.21．（本题满分15分）如图，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和圆222:(1)5C x y ++=都相切，F 是1C 的焦点.（1）求m 与a 的值；（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点作抛物线1C 的切线，直线交y 轴于点B ，以,FA FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线1C 于,P Q 两点，求NPQ ∆的面积S 的取值范围.22。
(2013嘉兴一模)浙江省嘉兴市2013届高三教学测试数学理试卷(一)
2013年高三教学测试（一）理科数学试题卷注意事项：1. 本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2. 本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件，互斥，那么棱柱的体积公式如果事件，相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式球的表面积公式球的体积公式其中分别表示棱台的上底、下底面积，其中表示球的半径表示棱台的高第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若i为虚数单位，则复数=A. iB. -iC.D.-2. 函数的最小正周期是A. B. π C. 2πD.4π3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. OB. -1C. D.4. 已知α,β是空间中两个不同平面，m , n是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是A. 若m//n m 丄α, 则n 丄αB. 若m//ααβ, 则m//nC. 若m丄α,m 丄β，则α//βD. 若m丄α, m β则α丄β5. 已知函数下列命题正确的是A. 若是增函数，是减函数，则存在最大值B. 若存在最大值，则是增函数，是减函数C. 若,均为减函数，则是减函数D. 若是减函数，则,均为减函数6. 已知a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知双曲线c:,以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|=,则双曲线C的离心率是A. B. C. 2 D.8. 已知，则下列命题正确的是A.若则.B.若，则C. 若，则 D若，则9. 如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是A. 13B. 14C. 15D. 1710. 已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A = {x丨f(x)=0}, B ={x|f(f(x)))= 0},若且存在x0∈B，x0∈A则实数b的取值范围是A B b<0或C D非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.14. 设(x-2)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+…+a6的值为15. 一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中.此时盒中黑球个数X的均值E(X) =__17. 己知抛物线y2=4x的焦点为F,若点A,B是该抛物线上的点，，线段AB的中点M在三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟•18. (本题满分14分）在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a=c + bcosC.(I )求角B的大小(II)若，求b的最小值.19. (本题满分14分）已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3 =5, a1 , a2.a5成等比数列(I)求数列{a n}的通项公式：(II)若数列{b n}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1b n=a n且数列{b n}的前n项和T n试比较T n与的大小20. (本题满分15分）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，= 90° , BC = CD =,AD = BD：EC丄底面ABCD, FD 丄底面ABCD 且有E C=F D=2.(I)求证：AD丄B F :(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角B-MF-C 的余弦值.21 (本题满分15分）已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2, O为原点.(I)如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1,求点M 到y轴的距离；(II)如图②，直线l: ：y=k + m与椭圆C上相交于P,G两点，若在椭圆C上存在点R,使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围.22. (本题满分14分）已知函数(I )求f(x)的单调区间；(II)对任意的，恒有，求正实数的取值范围.三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分）18．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，…2分又因为，所以，…4分可得，…6分即.所以…7分（Ⅱ）因为，所以，所以…10分由余弦定理可知：…12分所以，即，所以的最小值为2．…14分19．解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为，由题，，…3分解得： . …4分. …5分（Ⅱ）①20．解：（Ⅰ）证明：∵，且，∴且；…1分又由，可知∵，∴是等腰三角形，且，∴，即；…3分∵底面ABCD于D，平面ABCD，∴，…4分∴平面DBF.又∵平面DBF，∴可得. …6分（Ⅱ）解：如图，以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x、y、z轴建系. 可得，…8分又∵ N恰好为BF的中点，∴. …9分设，∴.又∵，∴可得.故M为线段CE的中点. …11分设平面BMF的一个法向量为，且，，由可得，取得. …13分又∵平面MFC的一个法向量为，…14分∴.故所求二面角B-MF-C的余弦值为. …15分21．解（Ⅰ），…1分设，则的中点为，…2分∵，∴，即，…3分∴（1）…4分又有，（2）由（1）、（2）解得（舍去）…5分所以点M 到y轴的距离为. …6分（Ⅱ）设，，∵OPRQ为平行四边形，∴，．…8分∵R点在椭圆上，∴，即，…9分化简得，．…（1）…10分由得．由，得…（2），…11分且．…12分代入（1）式，得，化简得，代入（2）式，得．…14分又，∴或．…15分22．解：（Ⅰ）= （）令，…1分①时，，所以增区间是；②时，，所以增区间是与，减区间是③时，，所以增区间是与，减区间是④时，，所以增区间是，减区间是…5分（Ⅰ）因为，所以，由（1）知在上为减函数. …6分若，则原不等式恒成立，∴…7分若，不妨设，则，，所以原不等式即为：，即对任意的，恒成立令，所以对任意的，有恒成立，所以在闭区间上为增函数 (9)分所以对任意的，恒成立。
浙江省嘉兴市丽水市高三数学4月第二次模拟考试试题-理(扫描版)
浙江省嘉兴市丽水市2014 届高三数学 4 月第二次模拟考试一试题理（扫描版）214 年高三教课测试（二）理科数学 参照答案一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．A ；2． A ； 3． D ； 4． B ； 5．C ； 6．D ；7． A ；8． D ；9． B ；10．C ．第 9 题提示：考虑①：由于 BC // AD ， AD 与 DF 订交不垂直，所AD以 BC 与 DF 不垂直，则①不行立； 考虑②：设点 D 的在平面 BCF 上的射影为点 P ，当 BP CF 时就有 BDFC ， EF而AD:BC:AB2 :3 :4 可使条件知足， 因此②正确；PC考虑③：当点 P 落在 BF 上时， DP 平面BBDF ，从而平面 BDF 平面 BCF ，因此③正确．考虑④：由于点D 的射影不行能在 FC 上，因此④不行立 .第 10 题提示：y 1不等式组2x y 1 0 表示的平面地区 2xy1 0是由 A(1, 1), B ( 1,1),C (0, 1) 围成的三角形地区（包括界限） ．bl 1 : a b 1A 1aOy 1 B 1C 1 l 3 : b -1 因 为 直 线 axby 1 与 2x y 1 0l 2 : a b 1 02x y1 0a b 1 0 a b 1 0表示的平面地区无公共点, 因此 a,b 知足：a b 1 0 或 a b 1 0 ．b 1b 1 0(a , b ) 在如下图的三角形地区（除界限且除原点） ．因此 2a3b 的取值范围是 (7, 3) ．二、填空题（本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分）11． 10 ；12． 512；13． 381 （或 6562）；14．8；315． [16 , 8] ；16． 2 x y 10 ；17． 14．9 3第 17题提示：y会合 A 中的方程表示圆心在直线y x 上的六个圆 ,l 3C 3 C 2由对称性只要考虑第一象限.记 a1,2,3对应的圆l 2 l1分别为⊙ C1 , ⊙ C2 , ⊙ C3 , 易知⊙ C1与⊙C3外切,O x ⊙C2与⊙C1, ⊙C3订交,且经过⊙ C1的圆心 .b1,2,3对应的三条直线，与⊙C1外切，l 1 , l 2 , l 3l 1l 2与⊙ C 2外切且与⊙ C 1订交， l 3与⊙ C1与⊙ C 3的外公切线且与⊙ C 2订交，由图知在第一象限共有 7 个交点，故共有14 个交点 .三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分）18．（此题满分 14 分）在△ ABC 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bsin 2C ．a sin A5，求角 B 的大小；（Ⅰ）若 C12ABC（Ⅱ）若 b 2 ，C，求△面积的最小值．3 218．（Ⅰ）（本小题 7 分）由正弦定理，得b sin B sin 2C ．a sin A sin A∴ sin B sin 2C51 sin．62∴ B（ B 5舍）．66（Ⅱ）（本小题7 分）由（Ⅰ）中 sin B sin 2C 可得 B2C或B2C．又 B2C时，C， B 2C，矛盾．3，即 B 23因此 B2C，A C 2C，即 A C ．因此 S ABC 1hb tan C 3 ，2即当 C3时， S ABC 的最小值是 3 ．19．（此题满分 15 分）如图，四棱锥P ABCD 中， PA平面 ABCD ， AD // BC , PA AB AD2BC 2，BAD，E是棱P D 的中点．（Ⅰ）若60，求证： AE平面 PCD ；（Ⅱ）求的值，使二面角P CD A 的平面角最小．19．（Ⅰ）（本小题 7 分）z当60 时，P∵AD//BC , AB AD 2BC 2 ．∴ CD AD ．? E又 PA平面 ABCD ，∴ PA CD ．∴ CD平面 PAD ．AD y又 AE平面 PAD ，∴ CD AE ．x B C又 PA AD ， E 是棱 PD 的中点，（第 19 题）∴PD AE．∴AE 平面 PCD ．（Ⅱ）（本小题8 分）如图，成立空间直角坐标系 A xyz，则 P( 0,0,2) ， B (2 sin, 2cos ,0) ，C ( 2sin ,2cos1,0) ，D ( 0,2,0) ．∴ DP(0, 2,2) 、 DC(2 sin ,2 cos 1,0) ．设平面 PCD 的法向量为 n( x , y , z ) ，则nDP 2 y2z0(2 sin) x ( 2cos1) y 0 n DC取 y 1 ，得 n(2 cos 1,1,1) ．2sin又易知平面 ABCD 的法向量为 m(0,0,1) ．设二面角 P CD A 的平面角为，则 cos| m n |12 cos 1 2| m | | n |2()2sin要使最小，则 cos最大，即2 cos10 ，2 sin∴cos 1，得3 220．（此题满分14 分）有 A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，全部的球仅有颜色上的差别．（Ⅰ）从每个盒子中随意拿出一个球，记事件S 为“获得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不同样的三个球”，求P ( S)和P(T )；（Ⅱ）先从 A 盒中任取一球放入 B 盒，再从 B 盒中任取一球放入 C 盒，最后从 C 盒中任取一球放入 A 盒，设此时 A 盒中红球的个数为，求的散布列与数学希望E．20．（Ⅰ）（本小题 6 分）1111 C 31C 21C 112 P( S)， P(T)C 31C 31C 31．333279（Ⅱ）（本小题 8 分）的可能值为 0,1,2 ．①考虑0 的情况，第一 A 盒中一定取一个红球放入 B 盒，相应概率为1，此时 B 盒中3有 2 红 2 非红；若从 B 盒中取一红球放入 C 盒，相应概率为1，则 C盒中有 2红2非红，从2C 盒中只好取一个非红球放入 A 盒，相应概率为1；若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒，相应2概率为1，则 C 盒中有 1 红 3 非红，从 C 盒中只好取一个非红球放入 A 盒，相应概率为3．故24P(0)111135．3222424②考虑 2 的情况，第一 A 盒中一定取一个非红球放入 B 盒，相应概率为2，此时 B盒3中有 1 红 3 非红；若从 B 盒中取一红球放入 C 盒，相应概率为1，则C盒中有2红 2非红，4从 C 盒中只好取一个红球放入 A 盒，相应概率为1；若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒，相应2概率为3，则 C 盒中有 1 红 3 非红，从 C 盒中只好取一个红球放入 A 盒，相应概率为1 ．故44P(2)211315．3424424③ P(1)557．1241224因此的散布列为012P575241224的数学希望5175．E021 24122421．（此题满分 15 分）如图，设椭圆x 2y21(a b0) 长轴的右端点为 A ，短轴端点分别为B、C，还有a 2 b 2抛物线 y x 2 b ．（Ⅰ）若抛物线上存在点 D ，使四边形 ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若 a 2 ，过点 B 作抛物线的切线，切点为P ，直线 PB 与椭圆订交于另一点Q ，求| PQ |的取值范围．y |QB |P21．（Ⅰ）（本小题 6 分）D由四边形 ABCD 是菱形，CQ得 D(a, a 2b) ，O A x且a 2b2b，解得 a31Ba 2b 2， b，2b33（第 21 题）因此椭圆方程为3x 29 y 2 1 ．（Ⅱ）（本小题9 分）不如设 P(t , t2b) （ t0 ），由于 y2x|xt ，' |x t t2因此 PQ 的方程为y2t ( x t )t 2 b ，即 y2tx t 2 b ．又由于直线 PQ 过点B，因此t 2bb ，即 b t 2．2因此 PQ 的方程为 y 2 tx t 22．y2tx t 2联立方程组2，消去 y，得 (t 264 )x 232tx 0 ．x 2 4 y24t 41因此点 Q 的横坐标为x Q32t，t 264因此|PQ|x P x Q t21 ．|QB |x QxB 232又t22(0,4)| PQ | 的取值范围为9)．b，因此(1 ,|QB |822．（此题满分 14 分）已知 a R ，函数 m (x )x2， n ( x ) a ln( x 2 ) ．m (x ) , x0A 、B 知足 OA OB（O（Ⅰ）令 f ( x )，若函数 f ( x ) 的图象上存在两点n ( x ) , x 0为坐标原点），且线段 AB 的中点在 y 轴上，求a的取值会合；（Ⅱ）若函数 g ( x ) m (x )n ( x ) 存在两个极值点x1、 x 2，求 g ( x1 )g ( x 2 ) 的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题 6 分）由题意，不如设 A (t ,a ln( t2)) ，B(t ,t 2 ) ，且 t0，∴ OA OB 0 ，即t2at 2 ln(t 2)0 ，∴ a1ln( t．2)∵ ln( t 2) (ln 2, ) ，∴ a 的取值会合是 { x | 0x1 } ．ln 2（Ⅱ）（本小题 8 分）g ( x ) x 2a ln( x2) ， g ' ( x )2x 24x a x2．要使 g ( x ) 存在两个极值点，则g '( x ) 0 即 2x 24x a0 在 ( 2, ) 上存在两不等的实根．令 p ( x )2 x 2 4 x a ，∵ p ( x ) 的图象的对称轴为 1 ，∴168a 0 且 p ( 2) 0 ．∴ 0 a2 ．x 1x 由上知x 1x2 22a ． 2∴ g ( x 1 ) g ( x 2 ) x 12a ln( x 12 ) x 22 a ln( x 2 2) ( x 1 x 2 ) 22 x 1x 2 a ln[ x 1 x 2 2 (x 1x 2 ) 4]( 2)2a a ln2令 q ( x )a a ln[a 2 2(2) 4]22a 4 ．x4 ， x(0,2) ，x lnx2x ∴ q '( x ) ln 0 ， q ( x ) 在 (0,2) 上单一递减，2 ∴ 2 a lnaa 4 4 ．2故 g ( x 1 ) g ( x 2 ) 的取值范围是 (2,4) ．。
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2013年嘉兴市高三教学测试（二）高三数学试题卷（理科）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}3,2,1{=A ，}9,3,1{=B ，A x ∈，且B x ∉，则=xA ．1B ．2C ．3D ．92．在复平面内，复数i1i31-+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若10<<a ，x x a a log )1(log <-，则A ．10<<xB ．21<x C ．210<<x D ．121<<x4．函数x x y 2sin 2cos +=，R ∈x 的值域是A ．]1,0[B ．]1,21[C ．]2,1[-D ．]2,0[5．在5)1)(21(x x +-的展开式中，3x 的系数是A ．20B ．20-C ．10D ．10-6．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的 直径均为2，则该几何体的体积为A ．π334+B ．π33832+C ．π3332+D ．π3334+7．在平面直角坐标系中，不等式2|2|≤≤-x y 表示的平面区域的面积是正视图 侧视图俯视图 （第6题）A ．24B ．4C ．22D ．28．若b a ,表示直线，α表示平面，且α⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．设}{n a 是有穷数列，且项数2≥n ．定义一个变换η：将数列n a a a ,,,21 变成143,,,+n a a a ，其中211a a a n ⋅=+．从数列20132,,3,2,1 开始，反复实施变换η，直到只剩下一项而不能变换为止．则变换所产．．．．生的所有项的乘积．．．．．．．．为 A ．20132013)!2( B ．20122013)!2( C ．2012)!2013( D ．)!!2(2013非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．设数列}{n a 满足11=a ，n n a a 31=+，则=5a ▲．12．若某程序框图如图所示，则运行结果为 ▲ ．13．将函数x y sin =的图象先向左平移1个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象对应 的函数解析式为 ▲ ． 14．从点A 到点B 的路径如图所示，则不同的最短路径共有 ▲ 条．15．设△ABC 的三边长分别为c b a ,,，重心为G ，则=++222||||||GC GB GA ▲ ．16．设R ,,∈c b a ，有下列命题：B（第12题）①若0>a ，则b ax x f +=)(在R 上是单调函数； ②若b ax x f +=)(在R 上是单调函数，则0>a ； ③若042<-ac b ，则 03≠++c ab a ； ④若03≠++c ab a ，则042<-ac b ． 其中，真命题的序号是 ▲ ．17．已知点)0,3(-A 和圆O ：922=+y x ，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P （异于B A ,）是圆O 上的动点，AB PD ⊥于D ，)0(>=λλED PE ，直线PA 与BE 交于C ，则当=λ ▲ 时，||||CN CM +为定值．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA B A bc a sin sin sin sin --=+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求cb a +的取值范围．19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，ACPF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PBAP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？21．（本题满分15分） 如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=xy C 上，点P是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ． （Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点；（Ⅱ）若不等式exea a eax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数）BF PAF C'B 'A E（第20题）（第21题）2013年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．A ；7．B ；8．D ；9．C ；10．A ．第9题提示：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线．第10题提示：数列20132,,3,2,1 共有20132项，它们的乘积为!22013．经过20122次变换，产生了有20122项的一个新数列，它们的乘积也为!22013．对新数列进行同样的变换，直至最后只剩下一个数，它也是!22013，变换终止．在变换过程中产生的所有的项，可分为2013组，每组的项数依次为01201120122,2,,2,2 ，乘积均为!22013，故答案为20132013)!2(． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11．81； 12．5； 13．)121sin(+=x y ； 14．22；15．3222cba++； 16．①③；17．81．第17题提示：设),(00y x P ，则)11,(00y x E λ+，)3(3:00++=x x y y PA …①)3(311:00--+=x x y y BE λ…② 由①②得)9()9)(1(220202--+=x x y y λ， 将2029x y-=代入，得119922=++λyx．由1199=+-λ，得到81=λ．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA B A bc a sin sin sin sin --=+．（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求cb a +的取值范围．解：（Ⅰ）CA B A bc a sin sin sin sin --=+ca b a --=，化简得222c ab b a =-+，…4分 所以212cos 222=-+=abcb a C ，3π=C ．…7分 （Ⅱ）C BA cb a sin sin sin +=+)]32sin([sin 32A A -+=π)6sin(2π+=A ．…11分因为)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ，所以]1,21()6sin(∈+πA ．故，cb a +的取值范围是]2,1(． …14分19．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取3个球，记随机变量X 为取出3球中白球的个数，已知215)3(==X P ．（Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望． 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则215)3(393===C C X P n， …4分即215789)2)(1(=⨯⨯--n n n ，解得6=n ． …7分 （Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：…11分221532815214318410)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ．…14分20．（本题满分15分）如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，ACPF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （Ⅰ）求证：//'C B 平面PE A '． （Ⅱ）设λ=PBAP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？E'A解：（Ⅰ）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．…2分因为平面⊥PE A '平面ABC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分（Ⅱ）以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图．…7分则)0,0,0(C ，)1,1,0('++λλλaaA ，)1,0,1('++λλλaa B ，)0,1,1(++λλλaaP ．)1,1,0('++=λλλa a CA ， )1)1(,1,1(''+-+-+=λλλλλaaaB A ，)1,1,0('+-+=λλaaP B ．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ， …9分 平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ．…11分由2160cos 311|11|22=︒=⋅++-+=λλλλ， …13分化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． …15分21．（本题满分15分）如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=xy C 上，点P是抛物线1C 上的动点．（第20题）（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．解：（Ⅰ）1C 的焦点为)2,0(p F ， …2分 所以102+=p ，2=p ．…4分 故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y ．…6分（Ⅱ）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ，则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x ．同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx x ．…8分MN的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-，即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-．由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-． …10分所以直线MN 的方程为222t tx y -+=．…12分于是222222241)1(241|24|tt tt t t d ++=+-+-=．令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=ss d （当3=s 时取等号）．（第21题）所以，d 的最小值为3． …15分22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ． （Ⅰ）若11-=e a ，求函数|)(|xf y =的极值点；（Ⅱ）若不等式exea a eax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 解：（Ⅰ）若11-=e a ，则11ln )(---=e x x x f ，111)('--=e xx f ．当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．…6分（Ⅱ）不等式exea a e ax x f )21()(22-++-≤，整理为0)21(ln 22≤++-+a exa eax x ．…（*）设aexa eax x x g ++-+=)21(ln )(22，则ea eax xx g 2121)('2+-+=（0>x ）xe eex a ax222)21(2++-=xe e ax e x 2)2)((--=． …8分①当0≤a 时，02<-e ax ，又0>x ，所以，当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(m ax ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立．…11分②当0>a 时，xe e ax e x x g 2)2)(()('--=)12)((2exea e x --=．令2212e a exea =-，解得ae x =1，则当1x x >时，2212ea exea >-；再令1)(2=-eae x ，解得eaex +=22，则当2x x >时，1)(2>-ea e x ．取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ． (14)。