【北师大版】2012高三数学文《优化方案》一轮复习课件第2章§2.12

3．函数的最值 函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条 连续_不__断________的曲线，那么它必有最大值和最 小值．
思考感悟 3．极值与最值有何区别与联系？
提示：极值与最值的区别和联系：
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况， 是在局部范围对函数值的比较；函数的最值 是表示函数在一个区间上的情况，是对函数 在整个区间上的函数值的比较．
a.
②当 1a＞1，即 0＜a＜1 时，g′(x)＝－a2＋ 21x2＝1－2xa2x2＞0，[g(x)]最大值＝g(1)＝－a2－12 ＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1. 综上所述，当 a≥1 时，b≥－ a；
当 0＜a＜1 时，b≥－a＋2 1.
利用导数求函数的最值
求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最 小的一个是最小值．
提示：对于可导函数来说，函数在某点x0的导 数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分 条件，即y＝f(x)在x0处取得极值必有f′(x0)＝0， 但反过来不成立．如f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2， ∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，事 实上f(x)＝x3在R上单调递增，另一方面对于可 导函数f(x)，若f′(x)在x0的两侧异号，则x＝x0 必是f(x)的一个极值点．
例1
(2009 年高考安徽卷)已知函数 f(x)＝x－
2x＋1－alnx，a>0.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)设 a＝3，求 f(x)在区间[1，e2]上的值域，
其中 e＝2.71828…是自然对数的底数．
【思路点拨】 对(1)，先求导，再将导函数 转化为二次函数问题，最后通过对二次函数 的讨论解决问题；对(2)，由(1)作为基础，(2) 的求解就变成了增函数、减函数在定区间上 的最值问题，求解即得．
(2)判别f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0， 那么f(x0)是________极__大__值②．如果在x0附近的左 侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 _______极__小__值_ ．
思考感悟 2．导数为零的点一定是极值点吗？
(3)对第(1)问解答，影响着第(2)问的求解．错 误的发生就是因为第(1)问解答的失误，导致 第(2)问得出错误结果．
利用导数研究函数的极值
求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号： 如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么 函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的 左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x) 在这个根处取得极小值．
例(22010 年 高 考 安 徽 卷 ) 设 函 数 f(x) ＝ sinx － cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与 极值． 【思路点拨】 列表讨论f(x)与f′(x)的变化情况 求单调区间与极值． 【解】 由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π， 知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，
答案：D
3．若函数y＝ex＋ mx有极值，则实数m的取 值范围是( )
A．m＞0
B． m ＜0
C． m ＞1
D． m ＜1
解析：选B.y′＝ex＋ m ，函数y＝ex＋ mx有 极值，则函数y＝ex＋ mx在定义域内不单调， ∴ m ＜0.
4．(原创题)函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是 ________．
(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区 间端点的函数值进行比较，或者考查函数在 区间内的单调性．
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值， 那么极大值就是最大值，极小值就是最小 值．
(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为 零的点不一定是极值点，如函数y＝x3在x＝0 处导数为零，但x＝0不是极值点．
增 则在这个区间上， 函数y＝f(x)单调递
减
思考感悟 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增， 那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在 (a，b)上单调递增的充要条件？
提示：函数f(x)在(a，b)上是增函数，则 f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上单调递增 的充分不必要条件．
§2.12 导数的应用
§
双基研习•面对高考
2.12
导
数
考点探究•挑战高考
的
应
用
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理
1．导数与函数的单调性
如果在某个 区间内， 函数y＝f(x)
导数 导数__f_′__(x_)_>_0_
导数__f_′__(x_)_＜__0__
单调性 则在这个区间上， 函数y＝f(x)单调递
上恒成立，则 b≥－a2x－21x，x∈(0,1]．
设 g(x)＝－a2x－21x，x∈(0,1]．
①当 1a∈(0,1]，即 a≥1 时，g(x)＝－a2x＋21x≤
－2
a 4
＝－
a，等号成立的条件为
x＝
1∈ a
(0,1]，

[g(x)]最大值＝g
1a＝－
a，因此 b≥－
解：(1)由题意知，f′(x)＝ax2＋2bx＋1， 当(2b)2－4a≤0 时，f(x)无极值， 当(2b)2－4a＞0，即 b2＞a 时， f′(x)＝ax2＋2bx＋1＝0 有两个不同的解，即
x1＝－b－a b2－a，x2＝－b＋a b2－a， 因此 f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．
f′(x)
＋
单调递增 f(x)
x1 0
极大值
(x1，x2) －
单调递减
x2 0
极小值
(x2，＋∞) ＋
单调递增
此时 f(x)在(0，a－ 2a2－8)上单调递增，在
a－ (
a2－8 2
，
a＋
a2－8 2
)
上
单
调
递
减
，
在
a＋ (
2a2－8，＋∞)上单调递增．
(2)当a＝3时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝1， x2＝2. 由(1)知，在[1，e2]内，当x＝2时f(x)取得极值， f(1)＝0，f(2)＝2－3ln2，f(e2)＝e2－2e－2－5. 因为f(2)<f(1)<f(e2)，所以f(x)在区间[1，e2]上的值 域为[2－3ln2，e2－2e－2－5 ]．
【误区警示】 本题对综合能力要求较高， 在考场解答中容易出现以下问题：
(1)求导失误．不少考生在第一步出现计算上 的错误，而导致失分．考场上作答时，即使 到了最后也要沉着应战，把该拿的分拿到 手．
(2)求导后不能准确转化为二次函数去讨论， 而是陷入分式函数的复杂讨论中不能自 拔．解决这一点需要有较强的观察能力以及 平时解决复杂问题的基本数学功底，这样才 能保证在考场上的发挥．
②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2有 f′(x ＝0，对其余的 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x) 也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当 Δ>0 即 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个 不同的实根 x1＝a－ 2a2－8，x2＝a＋ 2a2－8， 0<x1<x2.
x
(0，x1)
例3
(2010年高考重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋
x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)
是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上 的最大值与最小值．
【思路点拨】 (1)由g(x)是奇函数可得关于a， b的方程，进而求得a，b的值．(2)利用g′(x) 讨论g(x)的单调性，进而可求得极值，把g(x) 的极值和在[1,2]上的端点值比较可求得最 值．
解析：据题意fx′＞0x＝lnx＋1＞0 ，得 x＞1e.
答案：(1e，＋∞)
5．(教材习题改编题)已知函数f(x)＝x3－12x＋ 8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M， m，则M－m＝________. 答案：32
考点探究•挑战高考
考点突破
利用导数研究函数的单调性
此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以 及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能 以小题形式出现，也可以以中档大题形式出 现．应注意函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，则 f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条 件，并非充要条件．
于是 f′(x)＝1＋ 2sinx＋π4. 令 f′(x)＝0，从而 sinx＋π4＝－ 22，得 x＝π，或 x＝32π.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，π) 与32π，2π，单调递减区间是π，32π，极小 值为 f32π＝32π，极大值为 f(π)＝π＋2.
解得 a＝－13，b＝0，因此 f(x)的解析式为 f(x) ＝－13x3＋x2.
(2)由(1)知 g(x)＝－13x3＋2x，所以 g′(x)＝－ x2＋2，令 g′(x)＝0，解得 x1＝－ 2，x2＝ 2， 则当 x＜－ 2或 x＞ 2时，g′(x)＜0，从而 g(x)在区间(－∞，－ 2]，[ 2，＋∞)上是减 函数；当－ 2＜x＜ 2时，g′(x)＞0，从而 g(x)在[－ 2， 2]上是增函数．
①当a＞0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下 表：
由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值 和极小值．
②当a＜0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下 表：
由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值 和极小值． 综上所述，当a，b满足b2＞a时，f(x)能取得极 值．
(2)由题意知 f′(x)＝ax2＋2bx＋1≥0 在区间(0,1
【名师点评】 可导函数的极值点必须是导 数为0的点，导数为0的点不一定是极值 点．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条 件是f′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧的f′(x) 的符号不同．不可导的点也可能是极值点．
变式训练 1 (2009 年高考山东卷)已知函数
f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a＞0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增， 试用 a 表示出 b 的取值范围．
【解】 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)， 导函数 f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2. 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的 判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增 函数．
2．函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对 x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0)，我们说f(x0) 是 函 数 f(x) 的 一 极个大_值________ ， 记 作 y极大值_＝__f_(_x_0)________；如果对x0附近的所有点，都 有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一极个小_值________， 记作_y_极_小__值_＝__f_(x_0_)_．_____极大值与极小值统称 为极__值__．______
【解】 (1)由题意得 f′(x)＝3ax2＋2x＋b. 因此 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b ＋2)x＋b.因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(－ x)＝－g(x)，即对任意实数 x，有 a(－x)3＋(3a ＋1)·(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋ 1)x2＋(b＋2)x＋b]，从而 3a＋1＝0，b＝0，
课前热身
1．(教材习题改编)函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间 (－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数， 则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3
D．a＝－3，b∈R
答案：DΒιβλιοθήκη 2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y ＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不 可能正确的是( )