2020-2021学年高考总复习数学(理)历年模拟、联考试题汇编及答案解析一
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考模拟训练试题及答案解析
最新高考模拟训练试题理科数学(一)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳索笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．笫I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,2,3,5,7,21,,M N x x k k M M N ===-∈⋂=则A.{}123，，B.{}135，，C.{}235，，D.{}1357，，， 2.ii =A.14+B.12+C.12--D.14-- 3.点()()1,0,0,1A B ，点C 在第二象限内，已知5,2,6AOC OC OC OA πλ∠===+uuu r uu r 且 OB μuu u r ，则λμ，的值分别是A.1-B.C.1，1- 4.ABC ∆中，“sin sin A B =”是“ABC ∆为等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,a b 表示两条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若//,//,//a M b M a b 则；②若,,//,//b M a M a b a M ⊂⊄则；③若,,a b b M a M ⊥⊂⊥则；④若,//a M a b b M ⊥⊥则.A.0B.1C.2D.36.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为A.20122B.20132C.20142D.201312 7.若变量,x y 满足条件0,21,43y x y z x y x y ≥⎧⎪+≥=+⎨⎪+≤⎩则，的取值范围是A.(]3-∞，B.[)3+∞，C.[]03，D.[]13，8.已知函数()()21,0,1,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为 A.0B.1C.2D.39.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足()()()311,0f x f x x f x x -=--≥=且时，，则()()2710f x f x +->的解集为A.∅B.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 10.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭ D.111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设()[)[]()260,0,2,6,2,6,x x f x f x dx x x ⎧∈⎪==⎨-∈⎪⎩⎰则___________. 12.艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A,B,C 三个不同的演出场馆工作，每个演出场至少派一人.若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有________种.13.若直线22680y kx x y x =+-+=与圆相切，且切点在第四象限，则k=_________.14.已知函数()214f x x ax b =+-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b +的最小值为__________.15.设M 是一个非空集合，#是它的一个代数运算（例如：+，×），如果满足以下条件： （I ）对M 中任意元素,,a b c ，都有()()####a b c a b c =；（II ）对M 中任意两个元素,a b ，满足#a b M ∈.则称M 对代数运算#形成一个“可#集合”.下列是“可#集合”的为__________.①{}2,1,1,2-- ②{}1,1,0- ③Z ④Q三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量()()()22cos ,3,1,sin 22a x b x f x a b ===⋅-函数. （I ）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，若()1,1,23,f C c ab a b ===>且，求边,a b 的值.17. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为正三棱柱，点D 在底面ABC 中，且12,3,DA DC AC AA E ====为棱11A C 的中点.（I ）证明：平面11A C D ⊥平面BDE;（II ）求二面角1C DE C --的余弦值.18. （本小题满分12分）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A 市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为1142、，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为1124、，两人租车时间都不会超过三小时.（I ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；（II ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.19. （本小题满分12分）将正奇数组成的数列{}n a ，按下表排成5列：（I ）求第五行到第十行的所有数的和；（II ）已知点()()()111222,,,,,,n n n A a b A a b A a b ⋅⋅⋅在指数函数2x y =的图象上，如果，以12,,,n A A A ⋅⋅⋅为一个顶点，x y 轴轴为邻边构成的矩形面积为12n,12,,n S S S S S S ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+求的值n T .20. （本小题满分13分）设椭圆()2222:10x y C ab a b+=>>的一个顶点与抛物线242x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，离心率3e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点. （I ）求椭圆C 的方程.（II ）是否存在直线l ，使得1?OM ON ⋅=-uuu r uuu r 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. （III ）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN//AB.是否存在,?AB MN λλ=使若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()1ln a x f x x e x-+==在处取得极值，,a t R ∈，且0t >. （I ）求a 的值； （II ）求函数()()()(]10,g x x f x t =-⋅在上的最小值； （III ）证明：对任意的()()11221212121,,x f x x f x x x x x t t x x -⎛⎫∈+∞≠< ⎪-⎝⎭，且，都有.。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考适应性检测试题及答案解析
最新高三适应性训练（一）理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 满足(34)|43|i z i -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为 （ ）A ．4-B ．45-C ．4D ．452．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B U 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 （ ） A ．{0} B ．{03}，C ．{13,4}， D ．{013,4}，，3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =（ ） A ． 3 B ． 4 C.5 D ． 6 4．函数3sin()cos()226y x x ππ=++-的最大值为 （ ）A ．213B ．413 C ．413D ．135．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是 （ ）A ．45,8B ．845,3C ．84(51),3+D ．8，8 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p =（ ）A ．2B ．32C ．1D ．37．已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）8．在平行四边形ABCD 中，AD =1，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点．若1=⋅BE AC ，则AB 的长为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．29．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（*n N ∈），且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =（ ） A ．132B ．299C ．68D ．9910．已知实数,x y 满足2211x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则2x y +的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[1,)+∞C． D．11．已知函数2()cos f x x x =-，则31(),(0),()52f f f -的大小关系是（ ）A ．31(0)()()52f f f <<-B ．13(0)()()25f f f <-<C ．31()()(0)52f f f <-<D ．13()(0)()25f f f -<<12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的半焦距为(0)c c >，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x=+与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A.815B.415C.23 D.12二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高考总复习数学(理)第二次大联考模拟试题及答案解析
最新全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．16．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．27．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．20．已知椭圆C：+=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．最新全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={y|y=|x|﹣3，x∈A}=[﹣3，0），则A∩B=（﹣2，0），故选：C．2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用命题的否定定义即可得出．【解答】解：∵命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为：∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立．故选：C．3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．【分析】求出b的值，从而求出z﹣bi对应的点所在的象限即可．【解答】解：===+i，故|z|==，解得：b=6，∴z=﹣1+5i，∴z﹣bi=﹣1+5i﹣6i=﹣1﹣i，故复数z﹣bi在复平面上对应的点在第三象限，故选：C．4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，∴r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，∴城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和差化积公式，诱导公式化简已知即可计算求值．【解答】解：cos54°+cos66°﹣cos6°=2cos cos﹣cos6°=2cos60°cos（﹣6°）﹣cos6°=cos6°﹣cos6°=0．故选：A．6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】将直线y=x+a代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由两平行直线的距离公式，结合平行四边形的面积公式，化简整理，运用双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由y=x+a代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2）x2﹣2a3x﹣a4﹣a2b2=0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得|AB|=•=•=2•，由两平行直线的距离公式可得d=，由题意可得6b2=2••，化为a2=3b2，又b2=c2﹣a2，可得c2=a2，即e==．故选：B．7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立平面直角坐标系，从而利用平面向量的坐标表示化简即可．【解答】解：建立如右图所示的平面直角坐标系，∵，∠BAD=45°，∴设D（x，x），（x＞0），则C（4﹣x，x），G（2，x），E（2，0），F（，），故=（2﹣，），所以在方向上的投影为==，即=，解得，x=1；故CD=4﹣2=2，故=2，故选：B．8．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代人②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，S=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，S=，满足结束循环的条件，故退出的循环的条件，应为：k＜8？，故选：D10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得ab的方程，解得ab令x=1计算可得．【解答】解：∵（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，∴a2（﹣b）3=﹣80，a（﹣b）4=80，解得a=1，b=2∴（a﹣bx）5=（1﹣2x）5，令x=1可得（1﹣2x）5=﹣1，∴展开式所有项系数之和为﹣1，故选：A．11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r=，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=πr2+r2sin120°=（l2﹣4）+（l2﹣4），因为几何体的体积为V=Sh=，所以S=π+，所以（l2﹣4）+（l2﹣4）=π+，解得l=2故选：A12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．【解答】解：由选项知a＞0，设g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，即g（x）=0有唯一解，则g′（x）=2x﹣﹣2a=，令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（另一根舍去），当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，+∞）上是单调递增函数，∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0，∴，∴，∴2alnx1+ax1﹣a=0∵a＞0，∴2lnx1+x1﹣1=0，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解，∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解为x1=1，即x1==1，∴，∴当a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f（0）=0进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为R，若函数f（x）是偶函数，则g（x）=e x+是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=1+a=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由，利用抛物线的定义可得：x M+1=，解得x M，代入抛物线方程可得：y M．可得：k MF=tan∠MFx，进而得出．【解答】解：∵，∴x M+1=，解得x M=．代入抛物线方程可得：=4×，解得y M=．取y M=．∴k MF==﹣=tan∠MFx，∴∠MFx=．则∠NMF=．故答案为：．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是（﹣1，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】易知y=log2x在其定义域上是增函数，从而化为利用线性规划求+的取值范围．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点A（1，1）确定的直线的斜率，易知B（﹣1，0），故==，=﹣1，故﹣1＜≤，故＜+≤2，故﹣1＜log2（+）≤1，故答案为：（﹣1，1]．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及，可得AC=CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．【解答】解：∵∠DAC=90°，=，可得：AC=CD，又∵AB=6，，∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（CD）2+（+CD）2﹣2×CD×（+CD）×，∴整理可得：CD2+2CD﹣90=0，解得：CD=3，AC=6，∵AB=AC=6，∴sinB=sinC==，∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过与S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3）作差，进而可知数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵，S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3），∴a n=[+3a n﹣（+3a n﹣1）]，整理得：﹣=3（a n+a n﹣1），又∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，又∵a1=a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），∴数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，∴其通项公式a n=3n；（2）证明：由（1）可知==（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由四边形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C，由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1，故BC1⊥平面A1B1C，从而平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BC=CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BC1，又∵AB∥A1B1，∴A1B1⊥BC1，又A1B1⊂平面平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1C，又BC1⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1B1C．（2）∵BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．∴AB=，建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（0，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，1），A（0，，0），C1（1，0，1），D（，，0），设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（0，，0），则•=x+z=0，•=y=0，令x=1，则z=﹣1，y=0，即平面ABC1的法向量为，=（1，0，﹣1），设平面C1BD的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（，，0），则•=x+z=0，•=x+y=0，令y=1，则x=﹣，z=，即平面C1BD的法向量为，=（﹣，1，），则====﹣则平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值是．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图先求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）利用频率分布图能求出40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得年龄分布在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，∴在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：40×0.75=30（人）．（2）年龄分布在[20，50）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，年龄分布在[50，60）的频率为0.3，∴中位数为：50+=55．平均数的估计值为：25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有（0.005+0.010）×10×40=6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX==．20．已知椭圆C：+=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在Q．【解答】解：（1）右焦点F（c，0）到直线x﹣y+3=0的距离为5，可得=5，解得c=2，由题意可得a2+b2=10，又a2﹣b2=8，解得a=3，b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程x2+9y2=9，可得t2（cos2α+9sin2α）+2mcosα•t+m2﹣9=0，可得△=（2mcosα）2﹣4（cos2α+9sin2α）（m2﹣9）＞0，t1t2=，t1+t2=﹣，则+=+==，=为定值，即有2（m2+9）=18（9﹣m2），解得m=±，代入判别式显然成立．故在x轴上存在点Q（±，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值10．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）若a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）若a=，F（x）=（x2+bx+1）e x，则F′（x）=（2x+b）e x+（x2+bx+1）e x=[x2+（b+2）x+b+1]e x=（x+1）[x+（b+1）]e x，由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），①若b+1=1，即b=0时，F′（x）=（x+1）2e x≥0，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，+∞），②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣（b+1），﹣1），③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣1，﹣（b+1））；（2）方程f（x）=e x在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=e x在（0，1）内有解，即e x﹣2ax2﹣bx﹣1=0，设g（x）=e x﹣2ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h（x）=g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g′（x）=e x﹣4ax﹣b，h′（x）=e x﹣4a，当a≤时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，当a≥时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜，设φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），则φ′（x）=﹣lnx，令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=，当1＜x＜时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，当＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，则φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，则h（ln（4a））＜0恒成立，由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜，当＜a＜时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）＞g（0）=0，g（x2）＜g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，综上，实数a的取值范围是（，）．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．【解答】（1）证明：连接BE，∵DE与圆O相切，∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP∴∠BFE=∠DEP，∴DE∥BF；（2）解：由切割线定理，得PC2=PE×PF=12，∵D为线段BP的中点，DE∥BF；∴PF=2PE，∴PF=2，∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．∴DE为Rt△PBF的中位线，∴DE=2，在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；（2）求出直线l的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴x+y=3．即直线l的普通方程为x+y=3．（2）直线l的标准参数方程为，代入曲线C的普通方程得t2+3﹣5=0．∴|QA|•|QB|=|t1t2|=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．2016年8月17日。
2020-2021学年高考总复习数学(理科)八校联考模拟试题及答案解析
最新八校高三联合考试理科数学一、选择题：共12题1．复数z=2−i1+i的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】主要考查复数代数形式的乘除运算和复数的代数表示法及其几何意义.∵z=2−i1+i=(2−i)(1−i) (1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i,∴z̅=12+32i.∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(12,32),在第一象限.故选D.2．某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N＝3,则输出i＝A.6B.7C.8D.9 【答案】C【解析】主要考查直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.执行程序框图,可得N＝3是奇数,满足条件:n=10,i=2,不满足条件:返回循环;n=10是偶数,不满足条件,n=5,i=3不满足条件,返回循环;n=5是奇数,满足条件,n=16,i=4不满足条件,返回循环;n=16是偶数,不满足条件,n=8,i=5不满足条件,返回循环;n=8是偶数,不满足条件,n=4,i=6不满足条件,返回循环;n=4是偶数,不满足条件,n=2,i=7不满足条件,返回循环;n=2是偶数,不满足条件,n=1,i=8满足条件,结束循环,输出i的值为8.故选C.3．设集合A={x|2x>1},B={y|y=√2x−1,x∈A},则A∩(C R B)等于A.(√3,2)B.[√3,2)C.(0,√3)D.(0,2)【答案】B【解析】本题主要以分式不等式的解法及指数函数的值域为载体,考查集合的补集和交集运算.由集合A={x|2x>1}={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2},∵ 0<x<2,∴1<2x<4,0<2x−1<3,∴B={y|y=√2x−1,x∈A}={y|0<y<√3}.又全集是U=R,∴C R B={y|y≤0或y≥√3},∴A∩(C R B)=[√3,2).故选B.4．函数y=sin2x的图像的一个对称中心为A.(0,0)B.(π4,0)C.(π4,12)D.(π2,1)【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质以及二倍角公式. 因为函数y =sin 2x =12−12cos2x ,令2x =k π+π2,kϵZ,求得x =k π2+π4,可得它的图象的对称中心为(k π2+π4,12),kϵZ,故选C.5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是A.143B.4C.103D.3【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,及简单几何体的体积.由三视图知余下的几何体如图所示:其中E 、F 都是侧棱的中点,∴上、下两部分的几何体相同,∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积V =12×23=4.故选B.6．在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为A.1 193B.1 359C.2 718D.3 413附:若X ∼(μ,σ2),则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544, 【答案】B【解析】主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考查正态分布中两个变量μ和σ的应用,以及正态分布的图象的对称性.正态分布的图象如下图:正态分布N (-1,1),则在(0,1)的概率如图中阴影部分,由概率为12×[P (μ−2σ<X ≤μ+2σ)−P (μ−σ<X ≤μ+σ)]=0.1359;即阴影部分的面积为0.1359;所以点落入图中阴影部分的概率为P =0.1359;所以投掷10 000 个点,则落入阴影部分的个数的估计值为10000×0.1359=1359.故选B.7．已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1⋅a 6⋅a 11=−3√3,b 1+b 6+b 11=7π,则tanb 3+b 91−a 4⋅a 8的值是A.1B.√22C.−√22D.−√3【答案】D【解析】主要考查等差数列和等比数列的性质以及正切函数的求值.因为数列{a n }是等比数列,且a 1⋅a 6⋅a 11=−3√3,所以a 1⋅a 6⋅a 11=a 63,解得a 6=−√3∴1−a 4⋅a 8=1−a 62=−2;又因为数列{b n }是等差数列,所以b 1+b 6+b 11=7π=3b 6,b 6=7π3,∴b 3+b 9=2b 6=14π3.故tan b 3+b 91−a4⋅a 8=tan14π3−2=tan (−7π3)=tan2π3=−√3.故选D.8．已知实数x,y 满足{x +y −4≤0y −1≥0x −1≥0,则z =y 2x的最大值是A.13B.1C.3D.9【答案】D【解析】主要考查简单的线性规划问题.作出不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =y 2x表示的几何意义可知,当曲线过点C(1,3)时,z 取最大值9.故选D.9．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若cos 2B ＋cos B ＝1-cos A cos C ,则A.a ,b ,c 成等差数列B.a ,b ,c 成等比数列C.a ,2b ,3c 成等差数列D.a ,2b ,3c 成等比数列【答案】B【解析】主要考查正弦定理,诱导公式,同角三角函数间的基本关系,两角和的余弦公式以及等比数列的性质,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.∵cos 2B ＋cos B ＝1-cos A cos C ,∴1−cos 2B =cosB +cosAcosC.即sin 2B =−cos (A +C )+cosAcosC =sinAsinC,由正弦定理可知:b 2=ac.所以a ,b ,c 成等比数列.故选B.10．某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析,则在取到选择题时解答题也取到的概率为A.C 121⋅C 61⋅C 201C 223−C 103 B.C 121⋅C 61⋅C 41+C 121⋅C 62C 223−C 103C.C 121⋅(C 61⋅C 41+C 62)+C 122⋅C 61C 223−C 103 D.C 223−C 103−C 163C 223−C 103【答案】C【解析】主要考查分布计数原理以及古典概型的概率计算公式. 由条件,采用分类的方法:分三类;第一类:抽到的3道题分别为:一道选择题,一道填空题,一道解答题;共有C 121⋅C 61⋅C 41种; 第二类:抽到的3道题分别为一道选择题,两道解答题,共有C 121⋅C 62种; 第三类:抽到的三道题为两道选择题,一道解答题,共有C 122⋅C 61种;总的抽取方式共有C 223−C 103种,由古典概型的概率计算公式可知:在取到选择题时解答题也取到的概率为C 121⋅(C 61⋅C 41+C 62)+C 122⋅C 61C 223−C 103.故选C.11．双曲线eq f(x 2,a 2)-eq f(y 2,b 2)＝1(a ,b ＞0)的两顶点为A 1,A 2,虚轴两端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是A.3−√52B.√5−12C.√5+12D.3+√52【答案】C【解析】主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离和直线与圆锥曲线的位置关系.因为双曲线的虚轴两端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.∴F 1(−c,0),B 1(0,b ),可得直线F 1B 1的方程为y =bc (x +c ),即bx −cy +bc =0.∵双曲线的两顶点为A 1,A 2, 以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ∴点O 到直线F 1B 1的距离等与半径,即22=a,化简得b 2c 2=a 2(b 2+c 2),∵b 2=c 2−a 2,∴上式化简整理得c 4−3a 2c 2+a 4=0.两边同时除以a 4,得e 4−3e 2+1=0,解之得e 2=3±√52.∵双曲线的离心率大于1,∴e 2=3+√52,可得e =√5+12.故选C.12．已知f (x )=|x ∙e x |,又g (x )=f 2(x )+tf (x ),(t ∈R ),若满足g(x)=−1的x 有四个,则t 的取值范围为A.(−∞,−e 2+1e) B.(e 2+1e,+∞) C.(−e 2+1e,−2) D.(2,e 2+1e)【答案】A【解析】主要考查利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系.f (x )=|xe x |={xe x ,x ≥0−xe x,x <0,易知f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,当xϵ(−∞,0)时,f (x )=−xe x ,f ′(x )=−e x (x +1),故f (x )在(−∞,−1)上是增函数,在(−1,0)上是减函数,作其图象如下:且f (−1)=1e ;故方程f 2(x )+tf (x )+1=0(t ∈R )有两个不同的实根,x 1∈(0,1e),x 2∈(1e,+∞),故{0+0+1>01e 2+t 1e+1<0,解得,tϵ(−∞,−e 2+1e ). 故选A.二、填空题：共4题13．设n=∫4sinxdx π20,则(x +2x )(x −2x )n 的展开式中各项系数和为_________.【答案】3【解析】主要考查二项式定理和定积分的应用.n =∫4sin x dx =−4cos x|0π2π20=4.则(x +2x )(x −2x )n=(x +2x )(x −2x )4,令x =1得,(x +2x)(x −2x)4=3.故答案为3.14．正ΔABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为−1,且AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =________. 【答案】23【解析】主要考查平面向量的数量积.因为正ΔABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为−1,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.以BC 边上的高为y 轴,以BC 为x 轴建立平面直角坐标系,A(0,√3),C (1,0),B (−1,0),由AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知:D (23,√33),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(53,√33),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23.故答案为23.15．已知P ,A ,B ,C 是球O 球面上的四点,ΔABC 是正三角形,三棱锥P −ABC 的体积为9√34,且∠APO =∠BPO =∠CPO =30°,则球O 的表面积为______________.【答案】16π【解析】主要考查球的体积和表面积的求法.如图,P,A,B,C 是球O 球面上的四点,∆ABC 是正三角形,设∆ABC 的中心为S ,球O 的半径为R,∆ABC 的边长为2a,∵∠APO =∠BPO =∠CPO =30°,OB =OP =R,∴OS =R2,BS =√32R .∴2√33a =√32R ,解得a =34R,2a =32R,∵三棱锥P −ABC 的体积为9√34,∴13×12×12×32R ×32Rsin60°×32R =94√3,解得R =2,∴球O 的表面积S =4πR 2=16π.故答案为16π.16．下列说法中所有正确的序号是________.①”p ∧q “为真的一个必要不充分条件是”p ∨q “为真.②若p:1x>0,则¬p:1x ≤0.③若实数a,b 满足√a +√b =1,则12≤a +b ≤1.④数列{2n(2n +1)2}(n ∈N ∗)的最大项为29. 【答案】①③④【解析】主要考查命题的真假判断.① “p ∧q ”为真等价于p 、q 均为真;“p ∨q ”为真等价于p 、q 只需一真即可,∴①正确;②若1x>0,则x >0,故¬p:x ≤0,∴②错误;③由基本不等式可知a +b ≤(√a +√b)2=1,a+b2≥(√a+√b 2)2=14,∴ a +b ≥12, ∴③正确.④函数y =2n (2n +1)2=2n +1(2n +1)2−1(2n +1)2=12n +1−1(2n +1)2(n ∈N ∗)是单调递减的,∴n =1时,y 有最大值29,∴④正确.故答案为:①③④三、解答题：共8题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N ∗),且满足a n +S n =2n +1．(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:12a 1a 2+122a2a 3+⋯+12n an a n+1<13．【答案】(1)∵a n +S n =2n +1,令n =1,得2a 1=3,a 1=32．∵a n +S n =2n +1,∴a n−1+S n−1=2(n −1)+1,(n ≥2,n ∈N ∗), 两式相减得2a n −a n−1=2,整理a n =12a n−1+1,a n −2=12(a n−1−2),(n ≥2) ∴数列{a n −2}是首项为a 1−2=−12,公比为12的等比数列,∴a n −2=−(12)n ,∴a n =2−12n ．(2)∵12n a n a n+1=12n ⋅2n+1−12n ⋅2n+2−12n+1=2n+1(2n+1−1)(2n+2−1)=12n+1−1−12n+2−1,∴12a 1a 2+122a 2a 3+⋯+12n a n a n+1=(122−1−123−1)+(123−1−124−1)+⋯+(12n+1−1−12n+2−1)=13−12n+2−1<13.【解析】主要考查由递推公式求数列的通项公式及数列求和(裂项相消法). (1)令n=1,得a1=32,根据通项公式求出2a n−a n−1=2,整理得到数列{a n−2}是首项为a1−2=−12,公比为12的等比数列,根据等比数列的通项公式即可得出结果;(2)∵12n a n a n+1=12n+1−1−12n+2−1,∴12a1a2+122a2a3+⋯+12n a n a n+1=13−12n+2−1<13.18．已知正方形ABCD的边长为2,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点．(1)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足|PE|<1的概率;(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【答案】(1)所有点P构成的区域是正方形ABCD的内部,其面积为S正=2×2=4．满足|PE|<1的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分,其面积为S=π2．所以|PE|<1的概率为P=SS正=π24=π8．(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,任意选取两个点,共可构成28C28条不同的线段,其中长度为1的线段有8条,长度为√2的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为√5的线段有8条,长度为2√2的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为1,2,4,5,8,且P(ξ=1)=828=27,P(ξ=2)=428=17,P(ξ=4)=628=314,P(ξ=5)=828=27,P(ξ=8)=228=114,所以随机变量ξ的分布列为:ξ 1 2 4 5 8P 271731427114随机变量ξ的数学期望为Eξ=1×27+2×17+4×314+5×27+8×114=247.【解析】主要考查离散型随机变量的分步列,离散型随机变量的数学期望及几何概型的概率计算公式.(1)根据已知条件可知:满足|PE|<1的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分, 其面积为S=π2.根据几何概型的概率计算公式即可得出结果;(2)根据条件列出随机变量ξ的分布列,根据随机变量的数学期望的计算公式即可得出结果.19．如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,过A1C作平面A1CD平行于BC1,交AB于点D.(1)求证:CD⊥AB;(2)若四边形BCC1B1是正方形,且A1D=√5,求直线A1D与平面BCC1B1所成角的正弦值.【答案】(1)连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则E 为AC 1中点,∵BC 1∥平面A 1CD ,DE =平面A 1CD ∩平面ABC 1, ∴DE ∥BC 1, ∴D 为AB 的中点,又∵ΔABC 为正三角形,∴CD ⊥AB .(2)222115AD +A A =A D Q =, ∴A 1A ⊥AD ,又B 1B ⊥BC,B 1B ∥A 1A , ∴A 1A ⊥BC , 又AD BC B I ,∴A 1A ⊥平面ABC,设BC 的中点为O ,B 1C 1的中点为O 1,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,OO 1所在的直线为y 轴,OA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O-x y z .则A 1(0,2,√3),D(12,0,√32),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−2,−√32), 平面BCC 1B 1的一个法向量n =(0,0,1),|cos 〈A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 〉|=|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n||A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√1510. 所以直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值为√1510. 【解析】主要考查线面平行的性质定理以及用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. (1)连结AC 1,设AC 1与A 1C 相交于点E ,连接DE ,由线面平行即可得出DE ∥BC 1, 进而得到D 为AB 的中点,又因为ΔABC 为正三角形,所以得证;(2)由勾股定理得出:A 1A ⊥AD ,结合题中条件得出A 1A ⊥平面ABC, 建立适当的空间直角坐标系,求出平面BCC 1B 1的一个法向量n =(0,0,1),进而求出结果.20．已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接ΔABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y−20=0.(1)求抛物线方程;(2)过抛物线上一动点M作抛物线切线l,又MN⊥l且交抛物线于另一点N,ME(E在M的右侧)平行于x轴,若∠FMN=λ∠NME,求λ的值.【答案】(1)设抛物线的方程为y2=2px,则其焦点为(p2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),联立{4x+y−20=0y2=2px,整理得8x2−(p+80)x+200=0,∴x2+x3=p+808,y2+y3=20−4x1+20−4x2=−p2,又ΔABC的重心为焦点F,⇒{p2=x1+x2+x33⇒x1=11p−8080=y1+y2+y33⇒y1=p2,代入抛物线中,解得p=8,故抛物线方程为y2=16x.(2)设M(x0,y0),即切线l:y0y=8(x+x0)⇒k MN=−y08,即tan∠NME=−k MN=y08,又tan∠FME=−k MF=−y0x0−4,∵tan∠FME=−k MF=−y0x0−4,即λ=1.【解析】主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查了直线的倾斜角与斜率的关系.(1)先设抛物线的方程为y2=2px,然后表示焦点坐标,抛物线和直线方程联立可消去y得到关于x的一元二次方程,进而可得到B,C的横坐标之和与纵坐标之和,再由A点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程,最后将A,B,C的坐标代入ΔABC的重心坐标公式可求得p的值,从而确定抛物线方程;(2)设M(x 0,y 0),即切线l:y 0y =8(x +x 0)⇒k MN =−y 08,由直线倾斜角与斜率的关系和题上的已知条件即可得出结果.21．已知函数f(x)=−x 3+x 2(x ∈R),g(x)满足g ′(x)=ax (a ∈R,x >0),且g(e)=a,e 为自然对数的底数.(1)已知ℎ(x)=e 1−x f(x),求ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程;(2)设函数F(x)={f(x),x <1g(x),x ≥1,O 为坐标原点,若对于y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任一点P ,在曲线y =F(x)(x ∈R)上总存在一点Q ,使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且PQ 的中点在y 轴上,求a 的取值范围. 【答案】(1)∵ℎ(x)=(−x 3+x 2)e 1−x ,ℎ′(x)=(x 3−4x 2+2x)e 1−x ,∴ℎ(1)=0,ℎ′(1)=−1.∴ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程为y =−(x −1),即y =−x +1.(2)∵g ′(x)=a x(a ∈R,x >0), ∴g(x)=alnx +c ,∴g(e)=alne +c =a +c =a ,故c =0,从而g(x)=alnx ,设P(t,F(t))为y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点,则t ≤−1,∵ PQ 的中点在y 轴上,∴Q 的坐标为(−t,F(−t)),∵ t ≤−1,∴−t ≥1,所以P(t,−t 3+t 2),Q(−t,aln(−t)) ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2−at 2(t −1)ln(−t). 由于OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,所以a(1−t)ln(−t)<1.当t =−1时,a(1−t)ln(−t)<1恒成立,∴ a ∈R , 当t <−1时,a <1(1−t)ln(−t),令φ(t)=1(1−t)ln(−t)(t <−1),则φ′(t)=(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2,∵t <−1,∴t −1<0,tln(−t)<0,∴φ′(t)>0,从而φ(t)=1(1−t)ln(−t)在(−∞,−1)上为增函数,由于t →−∞时,φ(t)=1(1−t)ln(−t)→0,∴φ(t)>0,∴a ≤0.【解析】主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性问题,同时也考查了分类讨论的数学思想方法. (1)∵ℎ(x)=(−x 3+x 2)e 1−x ,求出ℎ(1)=0,并对ℎ(x)求导,求出导函数在x =1时的值,也即切线的斜率,利用直线方程的点斜式即可求出结果;(2)根据导数的定义和题干中的已知条件,求出g(x)=alnx , 设P(t,F(t))为y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点,∵ PQ 的中点在y 轴上,∴Q 的坐标为(−t,F(−t)),再利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,得a(1−t)ln(−t)<1.当t =−1时,a(1−t)ln(−t)<1恒成立,∴ a ∈R ,当t <−1时,a <1(1−t)ln(−t),令φ(t)=1(1−t)ln(−t)(t <−1),则φ′(t)=(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2,根据φ(t)的单调性求出φ(t)>0,进而求出a 的取值范围.22．如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点．(1)求证:DE ∥AB ;(2)求证:AC ·BC ＝2AD ·CD .【答案】(1)连接OE ,因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点, 所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点, 所以OE ∥AB ,故DE ∥AB .EACD(2)因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,所以∠BAD ＝∠DAC , 又∠BAD ＝∠DCB ,∠DAC ＝∠DCB . 又因为AD ⊥DC ,DE ⊥CE △DAC ∽△EC DAC CD=AD CE, AD ·CD ＝AC ·CE , 2AD ·CD ＝AC ·2CE,2AD ·CD ＝AC ·BC .【解析】主要考查直径所对的圆周角为直角以及与圆有关的比例线段的知识,解题时,注意线段乘积的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出.(1) 连接OE ,因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点,所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点,所以OE ∥AB ,故DE ∥AB ;(2)要证AC ·BC ＝2AD ·CD ,转化为AD ·CD ＝AC ·CE ,再转化为比例式AC CD=AD CE,最后只须证明△DAC ∽△ECD 即可.23．已知直线l :{x =1+12t,y =√32t,(t 为参数), 曲线C 1:{x =cos θ,y =sin θ,(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB |;(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.【答案】(1) l 的普通方程为y =√3(x −1),C 1的普通方程为x 2+y 2=1,联立方程组{y =√3(x −1),x 2+y 2=1,解得l 与C 1的交点为A (1,0),B(12,−√32), 则|AB |=1.(2)C 2的参数方程为{x =12cos θ,y =√32sin θ,(θ为参数).故点P 的坐标是(12cos θ,√32sin θ),从而点P 到直线l 的距离是d =|√32cos θ−√32sin θ−√3|2=√34[√2sin (θ−π4)+2],由此当sin (θ−π4)=−1时,d 取得最小值,且最小值为√64(√2−1).【解析】主要考查直线的参数方程,函数的图象与图像变化,圆的参数方程和点到直线的距离公式,以及两点间距离公式. (1)分别求出直线l 的普通方程和曲线C 1的普通方程,联立直线方程与曲线方程,求出点A,B 的坐标,利用两点间距离公式即可得出结果;(2)把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C 2的参数方程:{x =12cos θ,y =√32sin θ,(θ为参数),任取一点P 的坐标是(12cos θ,√32sin θ),利用点点到直线的距离公式即可求出d =√34[√2sin (θ−π4)+2],根据三角函数的值域得出d 的最小值为√64(√2−1).24．已知函数f (x )=|x −2|.(1)解不等式:f (x )+f (x +1)≤2; (2)若a <0,求证:f (ax )−f (2a )≥af (x ).【答案】(1)由题意,得f (x )+f (x +1)=|x −1|+|x −2|, 因此只须解不等式|x −1|+|x −2|≤2,当x ≤1时,原不式等价于-2x +3≤2,即12≤x ≤1;当1<x ≤2时,原不式等价于1≤2,即1≤x ≤2; 当x >2时,原不式等价于2x -3≤2,即2<x ≤52.综上,原不等式的解集为{x|12x ≤52}.(2)由题意得f (ax )−af (x )=|ax −2|−a |x −2| =|ax −2|+|2a −ax |≥|ax −2+2a −ax | =|2a −2|=f (2a ).所以f(ax)−f(2a)≥af(x)成立．【解析】主要考查含绝对值不等式,取绝对值时常用零点分段法.(1)根据题意,不等式f (x )+f (x +1)≤2可等价转化为|x −1|+|x −2|≤2,通过对x ≤1与1<x ≤2及x >2的讨论分析,去掉绝对值符号,即可求得原不等式的解集;(2)利用绝对值不等式a <0时,可得f (ax )−af (x )=|ax −2|−a |x −2|≥|ax −2+2a −ax |=f (2a ). 从而可得结论.。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)金榜大联考试题及答案解析
最新高三毕业班金榜大联考理数本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分考试时间120分钟第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的l 已知全集U=R ，集合 {}4|,0,|2,1x A y y x B y y x x ⎧⎫==>==<⎨⎬⎩⎭则 A.(0，2) B. (],0-∞C.[2，+∞)D.{}[)02,+∞U2．已知双曲线 22221(,,0,0)x y m n R m n m n -=∈≠≠的离心率为 3，则 A. m n > B. m n <C. m n =D. m n <3已知不等式 220kx kx -+>的解集为 {}|2x x m -<<，设， ()log (0,m f x x k m =+>且1m ≠），则 ()0f x <的解集为A. 33)B. 33)C. 3(3)-∞D. 33,)+∞4.从编号为001，002，……，1000的1000个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，巳知样本中两个相邻的编号分别为885，915，则样本中最小的编号应该为A. 5B. 10C. 12D. 155.若 1sin 5a =，且a 是第二象限角，则 22sin 2sin cos a a a +的值为 A.6464- C. 61624+ D.61624-+ 6已知[M]表示不超过实数村的最大整数，如： []2,13-=-[][],2,12,22,==已知 []11322log 3,2,3a b c -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则a ，b ，c 的大小关系是A.a=b<cB.a=b >cC.a<b<cD.a>b>c7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.403B. 40C. 203D. 20 8.已知抛物线 2:2(0)C y px p =>与圆 22':()4C x p y ++=只有唯一的公共点，则抛物线C 的准线与圆C '相交的弦长为A.3B. 2C. 23D. 4 9.的值为 A. 5B. 0 C. -5 D.1010．给定命题p ：“复数z 是纯虚数”是“ 20z <”的充要条件；命题q ：已知非零向量a ，b 满足a 在b方向上的投影为。
2020-2021学年高考总复习数学(理)八校联考模拟试题及答案解析
最新高三年级八校联考 理科数学 试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共40分)一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上） 1．复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（ ） A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i -D ．23i +2． 若,x y ∈R ，且1,230,0,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≥，则2z x y =-的最小值等于（ ）A ．0B ．3C ．1D ．－13.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是A ．7203B ．7500C ．7800D ．74064．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）A ．.充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．532⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为（ ） A ．40-B ．40C ．80D ． 80-6．下列函数中，在区间()∞+,0上为增函数的是（ ）A ．1+=x yB ．()21-=x yC ．x y -=2D ．()1log 5.0+=x y7．在等差数列}{n a 中，01>a ，且7853a a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ）PCA ．5SB ．6SC ．7SD ．8S8．双曲线22221y x a b-=与抛物线218y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直于实轴的弦长为3,则双曲线的离心率等于 A ．2 BC．2D ．3第Ⅱ卷（非选择性试题共110分）二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =I10．已知直线PA 切⊙O 于点A ，PBM 是⊙O示有P BAC ∠=∠，若9PA BM ==，5,BC = 则_________.AB =11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是12．直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于13．已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为14．在边长为1的等边ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =u u u r u u u r，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>u u u r u u u r u u u r ，则11m n+取最小值时，||AP =u u u r ________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。
2020-2021学年高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析高考模拟练习
H
设点 P( m，2，0) 0 m 2 ，于是
O
uuur
A
有 DF 1,1,1 ，uurFP m,1, 1 ．
x
C P
y
B
设平面 PDF 的法向量
n x, y, z ，则
uuur
n DF 0，
x y z 0，
uuur
即
n FP 0，
mx y z 0．
令 z 1 ，得 x 2 ， y m 1 ．
m1
9 项和等于
A． 26
B． 30
C． 36
D． 40
6．若不等式组
x 3y 4 0 3x y 4 0 所表示的平面区域被直线
x0
4 y kx 分为面积相等的两部
3
分，则 k 的值是
A． 3 B． 7 C． 3 D. 4
7
3
4
3
7．已知点 A 3,0 ，点 P 在抛物线 y 2
4x 上，过点 P 的直线与直线 x
18.解： (Ⅰ )令 f ( x) 0 ， 即 ( x2 x 1 )eax 0 ． a
分
因为 eax
0 ,所以 x2
1 x
0．
a
分
…………………………… 1 …………………………… 2
4 1 ,因为 a 0,所以 0 .
a
所以方程 x 2
1 x
0 有两个不等实根：
a
a x1
a2 a
a
， x2
2a
17．（本小题 14 分）
如 图 ， 在 多 面 体 ABCD EF 中 ， 四 边 形
ABCD 为正方形， EF ∥ AB ， EF EA， AB 2EF H 为 AD 的中点．
2020-2021学年高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析
第4题图第2题图最新高三年级模拟考试（一）数学（理）试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数i1i+在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足A B C =I ，且A 不是B 的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24 B ．20+42 C ．28 D ．24+ 425．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前k ≤4 开始 k =1，S =1 S =S ·2kk =2k9项和等于A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．37 B ．73 C ．34 D.437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，||||PB PA =，则cos APB ∠的值为A ．12 B ．13C ．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()21g x x =-，()3f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是A ．(10-∞，B ．1010⎡-⎣， C ．310⎡-⎣， D ．)10⎡+∞⎣，第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．261()x x+的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）10．在△ABC 中，60A ∠=︒，1AC =，△ABC 的面积为3，则BC 的长为． 11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______.12．若a ,b ,c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的最大值为．13．已知函数2()log f x x =.若0b a ＜＜,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是． 14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．.................................1.....................第2行 (3)……………………………我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为，第n (n ∈N *)行中白圈与黑圈的“坐标”为________． 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值．16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性； （Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t 1，t 2，t 3，…，t 16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率． 17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，90AED ∠=︒，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EH ∥平面FBD ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角--B FD P 的大小为3π？若存在求出BP甲 乙的长，若不存在请说明理由.18．（本小题13分）已知函数21()()ax f x x x e a=--(a ≠0)． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求f (x )的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若02)(≥+ax f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题14分）已知椭圆M :2222x y +=.（Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()Nm m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．理科数学参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）9. 20；11.1；13.()3+∞，；14.()1314，,-1-1313+122n n-（，）．三、解答题（共6个小题，共80分）15. 解：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-()11sin 2cos212x x =-+……………………………………………4分12242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………6分 所以函数)(x f 的最小正周期22T ππ==．……………………………7分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， (8)分所以当244x ππ-=，即4x π=时，函数)(x f 取得最大值0， (10)分当242x ππ-=-，即8x π=-时，函数)(x f 取得最小值12． (12)分所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为0和12． ……………………………13分16. 解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高． ……………………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差． (7)分分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:）， （1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:）， （1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:）， （1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:）， （2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）． 其中满足条件 “恰好有一个时刻的温差不小于3︒”的事件（记为A ）共有3个： （1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）． 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率31()155P A ==． ……………………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结HO ，FO ．因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 是BD 的中点， 又H 是AD 中点，所以//OH AB ，12OH AB =．而//EF AB ，12EF AB =，所以//EF OH 且EF OH =，所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FBD ，EH ⊄平面FBD ， 所以//EH 平面FBD ．……………………………5分 （Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EHAD ⊥．因为//AB EF ，EF EA ⊥， 所以AB EA ⊥． 因为AB AD ⊥， 所以AB⊥平面AED ，CA因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥，所以EH⊥平面ABCD ．9分（Ⅲ）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H －xyz ．则 ()100A ，，，0()10D -，，，()011F ，，()010O ，，，0()12C -，，设点()20()02P m m <≤，，，于是有()1,1,1DF =u u u r，(),1,1FP m =-u u u r．设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则00n n DF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur ，，即00x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩，． 令1z =，得21x m =-，11m y m --=-．所以21,,111n m m m --⎛⎫=⎪--⎝⎭． 平面BDF 的法向量()1,1,0OA =-u u u r．所以cos 3n n OA OA π⋅=⋅u u u r u u u r，即12=．所以1m =-．所以点P 的坐标为()120-，，，与点C 的坐标相同． 所以2BP BC ==．……………………………14分18.解：(Ⅰ)令0)(=x f ， 即0)1(2=--axe ax x ． ……………………………1分因为0>axe,所以012=--ax x ． ……………………………2分ya41+=∆,因为0>a ,所以0>∆. 所以方程012=--ax x 有两个不等实根：12a x a +=，22a x a -=所以函数)(x f 有且只有两个零点1x =和2x = (3)分(Ⅱ)()()21axf x a x x e a ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭． …………………………4分 令()0f x '=，即()210a x x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x a =-或1x =． ………………5分当a6分7分8分综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为2(,)a -∞-，(1,)+∞，单调递减区间为2(,1)a-； 当2a <-时，()f x 单调递增区间为2(,1)a -，单调递减区间为2(,)a-∞-，(1,)+∞； 当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),1-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． (9)分(Ⅲ)因为0a >，所以当2x a <-时，有20x >，2x a->，0a >， 所以210x x a-->，从而()0f x >． ……………………………10分当2x a ≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得极小值1(1)0a f e a=-<． 所以，()11a f e a=-为函数()f x 在R 上的最小值． ……………………………11分由题意，不等式02)(≥+ax f 对x R ∈恒成立，所以得021≥+-ae a a ，解得2ln 0≤<a ．所以a 的取值范围是(]0,ln 2．…………………………………………13分19.解：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2212x y +=所以a =1b =，1c =．所以椭圆M 的离心率2c e a ==.……………………4分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC 垂直平分OB ．所以A ，C ，B ．AC =OB =所以OAC ∆的面积1122OAC S AC OB ∆=⋅22411=. …………6分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222(21)4220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+->，122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，122221my y k +=+．……………………9分 因为四边形OABC 为平行四边形，所以()12122242211,2kmm k OB OA OC x x y y k ⎛⎫=+=++= ⎪+⎝+⎭-u u u r u u u r u u u r ，．所以22422121kmm B k k -⎛⎫ ⎪⎝++⎭，，代入椭圆方程，化简得22214k m +=. …………………10分因为AC=====2m. …………………11分 点O 到AC 的距离d=. …………………12分所以OAC ∆的面积2OAC S AC d ∆1=⋅224m 1=⨯=综上，OAC ∆ ……………………………13分因为OAC ∆的面积等于ABC ∆的面积，所以ABC ∆的面积为定值4. …………………………………………14分xy20. 解：(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=. ……………1分由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++.假设数列{}n a 是等差数列，那么1a ，2a ，3a 成等差数列.所以2132a a a =+，因而20p p -=，解得1p =或0p =.……………………2分由已知1p ≠，当0p =，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在. 所以数列{}n a 不可能是等差数列.………………………………………………3分 (Ⅱ) 因为{}n a 是递减数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.因为11a =，所以21a p =-，231a p p =--.因为数列{}n a 是等比数列，所以22(1)1p p p -=--，得12p =或0p =（舍去）. 则212a =，公比1q 2=，故11()2n na -=. ……………………4分设12m n n n n <<<<…，那么11n n +≤，22n n +≤，…，m n m n +≤（1m ≥）．因为111122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1122)n mn +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1212111111222222mn n n n n n m+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭......． (5)分因为12111(11111121122222212mn n n mn n m ++++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-)……6分 而11111111022222n m n m n a -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11122n m n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. (7)分(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以 2122210n n n n a a a a +--+->． ① 因为22122nn ->，所以212221n n n n a a a a +-->-. ②由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222nnn n a a +-==-. ③ (9)因为{}2n a 是递减数列，同理得，2210n n a a --<， 故()212122122n n n n a a ----=-=-. ④由③④可知，()12nn n a a +-=-. ……………………11分 因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L()()()211222n -=+-+-++-L()()()()112122112333nn n⎡⎤⋅-----⎣⎦===---. 所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nn a n N *-=-∈. ………………………13分。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析一
C ．D ．最新高考仿真模拟试题数学试题(二)（理科）1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间120分钟.2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。
第一卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数iz 11-=，则z 的共轭复数是（ ） A ．11i +B ．1i +C ．11i-D ．1i -2．已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∧⌝是假命题3．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出的S 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是（ ）5．将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能的值为（ ）A ．4π-B ．4πC ．43πD ．43π- A ．B ．6．若22nx x ⎫+⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．120B ．180C ．45D ．907．已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A ．y x 82=B ．y x 162= C ．y x 3382=D ．y x 33162= 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ） A ．364πB ．348πC ．316πD ．38π9．已知131<≤k ，函数k x f x --=|12|)(的零点分别为,1x 2x )(21x x <，函数|12|)(-=x x g 12+-k k的零点分别为,3x 4x )(43x x <，则)()(1234x x x x -+-的最小值为（ ）A ．3log 2B ．6log 2C ．3D ．110．已知,x y R ∈且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ,则存在R θ∈,使得(4)cos sin 20x y θθ-+=的概率为（ ）A ．18π-B ．24π-C ．8πD ．4π 第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考模拟试题及答案解析
最新局考数学模拟卷.填空题（每小题4分。
共56分）1.函数2. ，则x y3. 不等式lo g 24.5.6. 0的解集为方程| lg x | x 3在极坐标系中，直线3 m 一,——，则x 2 20实数解的个数(2cos sin7.若多面体的各个顶点都在同一球面上.（结果用反三角函数表示））2与直线cos 1的夹角大小为，则称这个多面体内接于球.如图，设长方体ABCD AB1GD1内接于球。
，且AB BC 2 , AA 2虹则A、两点之间的球面距离为8.已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知1、5、1 、…，，一，—、y这四个数据的x5 59、设x a1(x 4)a2(x2)4a3(x 4)3a4(xa〔，a2,L ,a6均为实数, ,则a〔a2a3 a4 a5a6a11a12a1310.在三行三列的方阵a21a22a23中有9个数aa31a32a33平均数为3 ,则x y最小值为数，则三个数中任两个不同行不同列的概率是2)2 a5(xij(i 1,2,3; j4) a6,其中1,2,3）,从中任取三个.（结果用分数表示）11 .在空间四边形ABCD中，点E,F分别是AC,BD 的中点AB=CD=6 , AB与CD 所成的角为60度，贝U EF的长为12.定义点P对应到点Q的对应法贝U ：m、f : P(m,n) Q( V n,------------ ),23(m 0,n 0),则按定义的对应法则f ,当点P 在线段AB 上从点A(4,0)开始运动到点B(0,4)时，可得到P 的对应点Q 的相应轨迹，记为曲线E ,则曲线E 上 的点与线段AB 上的点之间的最小距离为13.已知函数f (x) v'3 | cos — x | (x 0),图象的最高点2则 lim 一Sn —n n 1 ( 2)14 .把a n 4n 1中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列则烷013二.选择题(每小题 5分，共20分)各数中也为定值的是(B. S15若 |f(X 1) f(X 2)| | f( ) f(三.解答题.已知函数 f (x) sin — cos — 、.33 3从左到右依次记为R, P 3, P 5,，函数y f(x)图象与x 轴的交点从左到右依次记为P 2,P 4,P 6,，设& RP 2 P 2P 3 (P 2P 3 P 3P 4)2 (P 3P 4 P 4P 5)3 (P 4P 5 P 5P 6)4(P n P n 1 P n1P n2)L15 .等差数列(a n ｝的前n 项和为S n ,当a 〔，d 变化时，若a ? a 8a,是一个定值, 那么下列知集合A (z bi z bi z 2 0,b R,z C)B (zz 1,zAI B,则b 的取值范围是(A. 1,1B. 1,1 C . 1,0 0,1 D. 1,0 0,117.已知为三角形的一个内角，且sincos1…2 .一,则万程X sin 2y 2 cos =1 表示A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦在点 y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线18 .已知y f (x)是定义域为R 的单调函数，且x 〔 x 2,1,X 2 x 2 为1(A)(B)(C) 0(D)19.(本题满分12分，每小题各 6分)2x cos —(1)将f(x)写成Asin( x ) h ( A 0 )的形式，并求其图像对称中心的横坐标;(2)若函数f (x)的定义域为D (0,亍，求函数f(x)的值域.20.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知PA 平面ABC , AC AB , AP BC 2, CBA 30 , D , E分别是BC , AP的中点.(1)求异面直线AC与ED所成的角的大小；(2)求PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积.21 .(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知函数f (x) 3x k(k为常数)，A( 2k,2)是函数y f 1(x)图像上的点.(1)求实数k的值及函数y f 1(x)的解析式；(2)将y f 1(x)的图像按向量a (3,0)平移得到函数y=g(x)的图像.若2f1(x 后3) g(x) 1对任意的x 0恒成立，试求实数m的取值范围.22 .(本题满分16分，第1小题5分，第2小题5+6分)已知两点A( 1,0)、B(1,0)，点P(x,y)是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标- - uuur uuur保持不变、纵坐标扩大到J2倍后得到点Q(x,j2y)满足AQ BQ 1.1求动点P 所在曲线C 的轨迹方程;①求点H , G 的坐标;明理由.n 1a n x ，则称数 A 可以表示成x 进制形式，简记为:A x~ (81)(82)(83).....(a n 〔)(a n )。
2020—2021年高考总复习数学(理)六校联考模拟试题及参考答案(精品试题).docx
年六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，则“l1∥l2”是“m=﹣7”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知空间两条不同的直线m，n和平面α，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊂α，n∥α，则m∥n4．将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的图象的一个对称中心为（）A．B． C．（）D．5．等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C． D．7．设m为不小于2的正整数，对任意n∈Z，若n=qm+r（其中q，r ∈Z，且0≤r＜m），则记f m（n）=r，如f2（3）=1，f3（8）=2，下列关于该映射f m：Z→Z的命题中，不正确的是（）A．若a，b∈Z，则f m（a+b）=f m（a）+f m（b）B．若a，b，k∈Z，且f m（a）=f m（b），则f m（ka）=f m（kb）C．若a，b，c，d∈Z，且f m（a）=f m（b），f m（c）=f m（d），则f m （a+c）=f m（b+d）D．若a，b，c，d∈Z，且f m（a）=f m（b），f m（c）=f m（d），则f m （ac）=f m（bd）8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC=，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD的四条边长，有且只有8个不同的点P，使得=λ成立，那么λ的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）二、填空题：本大题共小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共分.正视图侧视图俯视图9．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为，表面积为．10．已知，则f（x）的最小正周期为，单调递减区间为．11．设函数，则f（log23）= ，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．12．动直线l：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0过定点P，则点P的坐标为若直线l与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是．13．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若=，则= ．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为正方形边上的动点，现将△ADE所在平面沿AE折起，使点D在平面ABC上的射影H在直线AE上，当E从点D运动到C，再从C运动到B，则点H所形成轨迹的长度为．15．设a，b，c∈R，对任意满足|x|≤1的实数x，都有|ax2+bx+c|≤1，则|a|+|b|+|c|的最大可能值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（I）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．17．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF 与平面ADE所成的锐二面角大小．18．已知函数f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值．（I）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．20．已知数列{a n}满足：a n+1=（a n+）；（I）若a3=，求a1的值；（Ⅱ）若a1=4，记b n=|a n﹣2|，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据题目中A={x|x2﹣4x+3＜0}的解集求得A，再求它们的交集即可．【解答】解：因为A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}故选：C．【点评】本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，则“l1∥l2”是“m=﹣7”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；简易逻辑．【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵“l1∥l2”，直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，分别化为：y=﹣x+，y=﹣x+．∴﹣=﹣，≠，解得：m=﹣7．则“l1∥l2”是“m=﹣7”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知空间两条不同的直线m，n和平面α，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊂α，n∥α，则m∥n【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．利用线面平行和垂直的性质判断．B．利用线面垂直的性质判断．C．利用线面平行的性质判断．D．利用线面平行的性质判断．【解答】解：A．若m⊥α，因为n∥α，所以必有m⊥n，所以A正确．B．垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B错误．C．若m∥α，n∥α，则根据平行于同一个平面的两条直线位置关系不确定，所以C错误．D．若m⊂α，n∥α，由于直线m，n不一定在一个平面内，所以m，n不一定平行．所以D错误．故选A．【点评】本题考查了空间点线面的位置关系的判断，要求熟练掌握线面平行和垂直关系的性质和定理．4．将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数的图象的一个对称中心为（）A．B． C．（）D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】把原函数的图象变换后得到函数y=sin2x 的图象，故所得函数的对称中心为（，0），k∈z，由此可得答案．【解答】解：将函数y=sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数y=sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin2x 的图象．令2x=kπ，可得x=，k∈z．故所得函数的对称中心为（，0），k∈z．故选A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的对称中心，属于中档题．5．等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，可得：0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．可得﹣=9，．于是a n=d，即可判断出结论．【解答】解：∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．∴﹣=9，可得：2a1+9d=0，∴．∴a n=a1+（n﹣1）d=d，可得：a5=﹣＞0，＜0．．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程及其一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C． D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先画出图形，如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．【解答】解：如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得，•=0，∴AC⊥OF，∴AO=AF，又c=OF，OA：y=，A的横坐标等于C的横坐标，所以A（，），且AO=，AO2=，所以a=b，则双曲线的离心率e为=．故选C．【点评】本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知若（+）•=0的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．7．设m为不小于2的正整数，对任意n∈Z，若n=qm+r（其中q，r ∈Z，且0≤r＜m），则记f m（n）=r，如f2（3）=1，f3（8）=2，下列关于该映射f m：Z→Z的命题中，不正确的是（）A．若a，b∈Z，则f m（a+b）=f m（a）+f m（b）B．若a，b，k∈Z，且f m（a）=f m（b），则f m（ka）=f m（kb）C．若a，b，c，d∈Z，且f m（a）=f m（b），f m（c）=f m（d），则f m （a+c）=f m（b+d）D．若a，b，c，d∈Z，且f m（a）=f m（b），f m（c）=f m（d），则f m （ac）=f m（bd）【考点】映射．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，f m（n）=r表示的意义是n被m整除所得的余数r；由此通过举反例的方法判断A错误，通过推理说明B、C、D选项正确．【解答】解：根据题意，f m（n）=r表示的意义是n被m整除所得的余数r；∴对于A，当m=3，a=4，b=5时，f3（4+5）=0，f3（4）=1，f3（5）=2，f3（4+5）≠f3（4）+f3（5）；∴A错误；对于B，当f m（a）=m（b）时，即a=q1m+r，b=q2m+r，∴ka=kq1m+kr，kb=kq2m+kr，即f m（ka）=f m（kb）；∴B正确；对于C，当f m（a）=f m（b），f m（c）=f m（d）时，即a=q1m+r1，b=q2m+r1，c=p1m+r2，d=p2m+r2，∴a+c=（q1+p1）m+（r1+r2），b+d=（q2+p2）m+（r1+r2），即f m（a+c）=f m（b+d）；∴C正确；对于D，当f m（a）=f m（b），f m（c）=f m（d）时，即a=q1m+r1，b=q2m+r1，c=p1m+r2，d=p2m+r2，∴ac=q1p1m2+（r2q1+r1p1）m+r1r2，bd=q2p2m2+（r2q2+r1p2）m+r1r2，即f m（ac）=f m（bd）；∴D正确．故选：A．【点评】本题考查了映射的定义与应用问题，也考查了整除和余数的应用问题，是综合性题目．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC=，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD的四条边长，有且只有8个不同的点P，使得=λ成立，那么λ的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；分类法；平面向量及应用．【分析】建立坐标系，设P的坐标，根据=λ得到关于x的方程，根据P的位置分四种情况讨论方程解得情况．【解答】解：以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则梯形的高为=2，∴A（﹣1，2），B（1，2），C（2，0），D（﹣2，0），∴E（﹣，1），F（，1）．（1）当P在DC上时，设P（x，0）（﹣2≤x≤2），则=（﹣﹣x，1）=（，1）．于是=（﹣﹣x）（﹣x）+1=x2﹣=λ，∴当λ=﹣时，方程有一解，当＜λ≤时，λ有两解；（2）当P在AB上时，设P（x，2）（﹣1≤x≤1），则=（﹣﹣x，﹣1）=（，﹣1）．于是=（﹣﹣x）（﹣x）+1=x2﹣=λ，∴当λ=﹣时，方程有一解，当＜λ≤﹣时，λ有两解；（3）当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4，设P（x，2x+4）（﹣2＜x＜﹣1），则=（﹣﹣x，﹣2x﹣3）=（，﹣2x﹣3）．于是=（﹣﹣x）（﹣x）+（﹣2x﹣3）2=5x2+12x+=λ．∴当λ=﹣或﹣＜λ＜时，方程有一解，当﹣﹣时，方程有两解；（4）当P在BC上时，直线BC的方程为y=﹣2x+4，设P（x，﹣2x+4）（1＜x＜2），则=（﹣﹣x，2x﹣3）=（，2x﹣3）．于是=（﹣﹣x）（﹣x）+（2x﹣3）2=5x2﹣12x+=λ．∴当λ=﹣或﹣＜λ＜时，方程有一解，当﹣﹣时，方程有两解；综上，若使梯形上有8个不同的点P满足=λ成立，则λ的取值范围是（﹣，]∩（﹣，﹣]∩（﹣，﹣）∩（﹣，﹣）=（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数与二次方程的关系，分类讨论思想，属于中档题．二、填空题：本大题共小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共分.正视图侧视图俯视图9．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为，表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为圆锥的一半．【解答】由三视图可知几何体为圆锥的，底面半径为1，高为2．母线为．∴几何体的体积V==．几何体的表面积S==2+．故答案为，2．【点评】本题考查了圆锥的三视图，结构特征，面积与体积计算，属于基础题．10．已知，则f（x）的最小正周期为2π，单调递减区间为（2kπ+，2kπ+）k∈Z ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（x﹣）﹣，由周期公式可得最小正周期，解2kπ+＜x﹣＜2kπ+可得单调递减区间．【解答】解：由三角函数公式化简可得：f（x）=•2sin cos﹣（1+cosx）=sinx﹣cosx﹣=sin（x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期为T=2π，令2kπ+＜x﹣＜2kπ+可解得2kπ+＜x＜2kπ+，∴函数的单调递减区间为（2kπ+，2kπ+）k∈Z，故答案为：2π；（2kπ+，2kπ+）k∈Z．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．11．设函数，则f（log23）= 3 ，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是[log2，] ．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质求出f（log23）的值即可；画出函数f（x）的图象，结合图象以及函数的范围，得到关于t的不等式组，解出即可．【解答】解：f（）==3，画出函数f（x）的图象，如图示：，若f（x）=0，x=4，若f（x）=1，则2x=1或8﹣2x=1，解得：x=0或x=，∴只需即可，解得：≤t≤，故答案为：[，]．【点评】本题考查了分段函数问题，考查对数函数的性质，复合函数的性质，是一道中档题．12．动直线l：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0过定点P，则点P的坐标为（0，﹣6）若直线l与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是1＜λ≤．【考点】简单线性规划；恒过定点的直线．【专题】数形结合；转化法；直线与圆；不等式．【分析】利用分离参数法，解方程组即可求出定点坐标，作出不等式组对应的平面区域利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0得：λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0，由得，即直线恒过定点P（0，﹣6）．作出不等式组对应的平面区域如图：当1﹣λ=0时，λ=1，此时直线方程为x=0，满足直线和平面区域有公共点，当λ≠1时，直线方程为y=x+则满足直线的斜率k＞0，且点A（1，0）在直线的下方或在直线上，即＞0且y≤x+，即＞0①且0≤×1+=，②即由①得λ＞1或λ＜，由②得1≤λ≤，由①②得1＜λ≤，故答案为：（0，﹣6）；1＜λ≤．【点评】本题主要考查直线过定点以及线性规划的应用，建立方程组关系以及利用数形结合是解决本题的关键．13．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若=，则= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】用表示出，根据三点共线得出λ，μ的关系．【解答】解：∵，∴=，∴==+，∴==（λ+μ）+=（﹣λ﹣μ）+．∵A，D，E三点共线，∴﹣λ﹣μ+=1，∴λ+1=．∴=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，三点共线原理的应用，属于基础题．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为正方形边上的动点，现将△ADE所在平面沿AE折起，使点D在平面ABC上的射影H在直线AE上，当E从点D运动到C，再从C运动到B，则点H所形成轨迹的长度为π．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，在平面AED内过点D作DH⊥AE，H为垂足，由翻折的特征知，连接D'H，则∠D'HA=90°，当E从点D运动到C，再从C运动到B，故H点的轨迹是以AD'为直径的半圆弧，根据长方形的边长得到圆的半径，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，在平面AED内过点D作DH⊥AE，H为垂足，由翻折的特征知，连接D'H．则∠D'HA=90°，当E从点D运动到C，再从C运动到B，故H点的轨迹是以AD'为直径的半圆弧，根据边长为2的正方形ABCD知圆半径是1，所以其所对的弧长为π，故答案为：π【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点H的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变．本题是一个中档题目．15．设a，b，c∈R，对任意满足|x|≤1的实数x，都有|ax2+bx+c|≤1，则|a|+|b|+|c|的最大可能值为 1 ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得1≥|ax2+bx+c|max，由|ax2+bx+c|≤|ax2|+|bx|+|c|，结合|x|≤1，即可得到最大值，进而得到所求值．【解答】解：任意满足|x|≤1的实数x，都有|ax2+bx+c|≤1，即有1≥|ax2+bx+c|max，由|ax2+bx+c|≤|ax2|+|bx|+|c|，由|x|≤1，可得|ax2|+|bx|+|c|≤|a|+|b|+|c|，可得当且仅当x=±1时，取得最大值|a|+|b|+|c|，即有|a|+|b|+|c|≤1，即有|a|+|b|+|c|的最大可能值为1．故答案为：1．【点评】本题考查绝对值不等式恒成立问题的解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（I）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD 的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】解：（Ⅰ）cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，…因为∠D∈（0，π），所以sinD=，…所以△ACD的面积S===．…（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12，所以AC=2．…在△ABC中，BC=2，，…把已知条件代入并化简得：，所以AB=4．…【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF 与平面ADE所成的锐二面角大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）连结AC，通过证明MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面BCF．（II）先由线面垂直的判定定理可证得AD⊥平面ABFE，可知∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角，解Rt△DAE，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）连AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，∴N为AC中点．在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF．∵CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，∴MN∥平面BCF．（Ⅱ）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A∴AD⊥平面ABFE，∴DE在面ABFE上的射影是AE．∴∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角．故在Rt△DAE中：∴．设P∈EF且AP⊥EF，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则∴设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则∴平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．18．已知函数f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值．（I）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（I）根据条件建立方程和不等式关系即可求f（x）的解析式；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（I）∵f（x）=（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，∴f（1）==1，即a=1+b，①f（x）=≤=，∵f（x）在R上有最大值．∴=．即2a=3②，由①②得a=3，b=2，即f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）依题意，若x∈[1，2]时有意义，则m＞2或m＜1，则当x=2时，不等式也成立，即1≤，即m≥2|2﹣m|，平方得3m2﹣16m+16≤0，即≤m≤4，．由f（x）≤得≤，即x≤，则|x﹣m|≤，即﹣≤x﹣m≤，在x∈[1，2]上恒成立．①当x=1时，不等式成立，当x≠1时，m≤，则m≤4②对于m≥，x∈（1，2]上恒成立，等价为m≥（）max，设t=x+1，则x=t﹣1，则t∈（2，3]，则==t+﹣2，在（2，3]上递增，则（）max=，则m≥．综上实数m的取值范围是2＜m≤4．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件建立方程关系求出函数的解析式，利用参数分离法转化求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．19．如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由圆的面积公式可得b=1，再由三等分可得a=3b=3，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，代入椭圆方程求得P，M的坐标，再由直线和圆方程联立，求得A的坐标，直线AB的斜率，求得△EPM的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值，进而得到所求直线的斜率，可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由圆C2的面积为π，得：b=1，圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得a=3b=3，所以椭圆方程为：+y2=1；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，由，得：或，所以P（，），同理得M（，），k PM=，由，得A（，），所以：k AB=，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以k﹣=±，则直线AB：y=x=（k﹣）x，所以所求直线l方程为：．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用圆的面积和三等分思想，考查直线方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，以及直线和圆方程联立，求得交点，以及直线的斜率，运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}满足：a n+1=（a n+）；（I）若a3=，求a1的值；（Ⅱ）若a1=4，记b n=|a n﹣2|，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由数列{a n}满足：a n+1=（a n+），a3=，代入可得a2，a1．（2）由a1=4，a n+1﹣2=＞0；可得a n＞2．a n+1﹣a n=＜0，{a n}为单调递减数列．进而得到a n+1﹣2=（a n﹣2）（a n﹣2），，即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足：a n+1=（a n +），a3=，∴=，解得a2=或；…当时，解得a1=1或4…当时，无解．∴a1=1或4．…（2）∵a1=4，a n+1﹣2=＞0；∴a n＞2．∴a n+1﹣a n =＜0，∴{a n}为单调递减数列．∴2＜a n＜4，∴=＜，a n+1﹣2=（a n﹣2）（a n﹣2），∴，∴S n=b1+b2+…+b n=（a1﹣2）+（a2﹣2）+…+（a n﹣2）≤2+++…+=2+．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。
2020-2021学年高考总复习数学(理)毕业班学习质量检测试题及答案解析
最新高三教学质量检测理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合A ＝｛x ｜12log (1)x ＋＞－1｝，集合B ＝｛x ｜1＜3x ＜9}，则（C RA ）∩B ＝A ．（0，1]B ．[1，2）C ．（1，2）D ．（0，1）2．实数2a ii＋－（a 为实数）的共轭复数为A ．1B ．－5C ．－1D ．－i 3．等比数列{n a }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 1与a 7的等比中项为 A ．±81 B ．81 C ．－81 D ．27 4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样， 则分段的间隔k 为40；②线性回归直线ˆy＝ˆb x ＋ˆa 恒过样本点的中心（x ，y ）； ③随机变量ξ服从正态分布N （2，2 ）（σ＞0），若在（－∞，1）内取值的概率为0．1， 则在（2，3）内的概率为0．4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若，则等于A ．3B ．4C ．5D ．6 6．由曲线y ＝2x －2x 与直线x ＋y ＝0所围成的封闭图形的面积为 A ．23 B ．56 C ．13 D ．167．执行如图所示的程序框图，输出的n 的值为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．138．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足n S ＜0的正整数n 的最小值为 A ．12 B ．13C ．14D ．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是 A ．2 B ．8 C ．83 D ．16310．设当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cosx －3sinx 取得最小值，则tan θ等于A ．23B ．－23C ．－32D ．3211．已知双曲线22221x y a b－＝的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1做圆222x y a ＋＝的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且｜BC ｜＝｜CF 2｜，则双曲线的渐近线方程为 A ．y ＝±3x B ．y ＝2±2 C ．y 31）x D ．y ＝31)x ±－12．定义在（－1，＋∞）上的单调函数f （x ），对于任意的x ∈（－1，＋∞），f[f （x ）－x x e ]＝0恒成立，则方程f(x)－()f x '＝x 的解所在的区间是 A ．（－1，－12） B ．（0，12） C ．（－12，0） D ．（12，1） 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）＝2lg(1)2xx a－－＋奇函数，则a的值为___________．14．若实数x，y满足约束条件4,2,1,x yy xxy⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋≤－≤≥≥0,则1x yx＋－的最小值为____________．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______________．16．已知数列{n a}的通项公式n a＝22nn，则数列{n a}的前n项和n S＝__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA＋sinB＝（cosA＋cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a＋b＋c＝12，求△ABC面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD．AD＝AE＝AP＝2．（Ⅰ）求二面角A－PE－D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．（本小题满分12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．（本小题满分12分）如图，F 1，F 2是椭圆C ： 22221x y a b＋＝的左、右两个焦点，｜F 1F 2｜＝4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足1AF uuu r ＝22BF uuu r．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求直线AF 1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA 1B 1B 的面积．21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝1－x ＋lnx （Ⅰ）求f （x ）的最大值；（Ⅱ）对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）且x 2＜x 1是否存在实数m ，使得22mx －21mx －11ln x x＋22ln x x ＞0恒成立；若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{n a }满足11n a ＋＝2(1)2n n n a a a ＋，且a 1＝12，数列{n a }的前n 项和为n S ， 试比较2n S e 与21n ＋的大小并加以证明．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考模拟试题及答案解析一
最新高考模拟考试（6）理科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合(){}lg 1x y x A ==-，{}2,R x y y x B ==∈，则A B =U （ ） A ．∅B ．R C ．()1,+∞D ．()0,+∞2、若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模z =（ ） A ．13B ．5C ．7D ．133、下列函数为偶函数的是（ ） A ．()21f x x x=+B ．()2log f x x =C ．()44x x f x -=-D ．()22f x x x =-++ 4、若x 、y 满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最小值是（ ）A ．23B ．25C ．45D ．1 5、执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106、二项式6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项的值是（ ）A ．240B ．60C ．192D ．1807、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是（ ）A ．23B ．43C ．2D ．48、已知集合(){}{}123,,,0,1,1,2,3i S x x x x i =P P =∈=，对于()123,,a a a A =，()123,,b b b S B =∈，定义A 与B 的差为()112233,,a b a b a b A -B =---，定义A 与B 之间的距离为()31,i i i d a b =A B =-∑．对于∀A ，B ，C S ∈，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()()(),C ,C ,d d d A +B =A B B ．()()(),C ,C ,d d d A +B >A B C ．()()C,C ,d d A-B-=A BD ．()()C,C ,d d A-B->A B二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题） 9、不等式21x x -≥的解集是．10、三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是． 11、已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a =．12、已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32f x x x f '=-⋅，则函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程是．13、已知平面向量a r 、b r 满足231a b +=r r ，则a b ⋅rr 的最大值是． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点22,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭作圆4cos ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．15、（几何证明选讲选做题）如图，AB 为O e 的直径，C A 切O e 于点A ，且C 22A =，过C 的割线C MN 交AB 的延长线于点D ，若C D M =MN =N ，则D B 的长等于．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈．1先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图象；23x π-3π-2π π32πx 06π23π 1112ππ()f x121- ()2若265f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02α-<<，求sin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17、（本小题满分12分）某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，据此绘制了如图所示的频率分布直方图． ()1求成绩在区间[)80,90的频率；()2从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[]90,100内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．18、（本小题满分14分）如图，四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥底面CD AB ，底面CDAB 为梯形，//DC AB ，C 90∠AB =o ，且1C CD 2PA =AB =B =，12EB =PE ．()1求证：D//P 平面C AE ；()2求二面角C A-E-P 的余弦值．19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=（n *∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设()31log 1n n b S +=-（n *∈N ），求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+=的正整数n 的值．20、（本小题满分14分）已知抛物线1C :2x y =，圆2C :()2241x y +-=．()1在抛物线1C 上取点M ，2C 的圆周上取一点N ，求MN 的最小值；()2设()00,x y P （024x ≤≤）为抛物线1C 上的动点，过P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 两点，求AB 中点D 的横坐标的取值范围．21、（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）． ()1若1a =，求函数()f x 的极值；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；()3若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DADBCABC二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）9、[)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U 10、128 11、17 12、6160x y --= 13、124（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分） 14、sin 2ρθ=- 15、477三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、解：()1完成表格： 2x －π3－π3π2π32π 53πx 0π6512π 23π 1112π πf (x )121－112 图象如图：……………4分（每列填完整各得1分）()23()cos 265f απα+== ……………7分 02πα-<<Q4sin 5α∴=-……………8分24sin 22sin cos 25ααα∴==-……………9分27cos 22cos 125αα=-=-……………10分sin(2)4πα∴-=sin 2cos cos 2sin 44ππαα-……………11分247()2525=---=12分 17、解：()1因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1-⨯+++⨯=， …………………3分()2由已知和()1的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有600.16⨯=人，成绩在区间[90,100]内的学生有600.005103⨯⨯=人，…………………4 分 依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3 …………………5 分32166333991236333399515(0),(1),422831(2),(3) (91484)C C C P P C C C C C P P C C ξξξξ============则分10分……………6分则均值E ξ=515310123142281484⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 18、()1证明：连结BD ，交AC 于点M ，连结EM∵AB ∥DC ，CD AB 21=∴21==CD AB MD BM ……1分 又∵21=PE BE ∴PEBEMD BM =…………2分 ∴ 在△BPD 中，//PD EM ………………3分Q ,PD AEC EM AEC ⊄⊂平面平面……4分∴PD ∥平面EAC …………………………5分()2方法一：以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系…6 分 设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫⎪⎝⎭．……………7 分设)1,,(1y x n =为平面EAC 的一个法向量，则⊥1n AC ，⊥1n AE ，∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,22x y ==-，∴)1,21,21(1-=n ． ……………9分设)1,,(''2y x n =为平面PBC 的一个法向量，则⊥2n BC ，⊥2n BP ，又(),0,0BC a =u u u r ，(0,,)BP a a =-u u u r ，∴''0,0,ax ay a =⎧⎨-+=⎩，解得'0,'1x y ==，∴)1,1,0(2=n ……………11分.63||||,cos 212121=⋅⋅>=<∴n n n n n n ……………13分∴二面角A CE P --的余弦值为36． ……………14分 方法二：在等腰Rt PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥…………6分∵面PAB ⊥面PCB ，面PAB I 面PCB =PB ， ∴AN ⊥平面PBC ．……………7分在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由AN CE ⊥、NH CE ⊥，得CE ⊥平面ANH ，故AH CE ⊥． ∴AHN ∠就是二面角A CE P --的平面角．……………9分在Rt PBC ∆中，设CB a =，222PB PA AB a =+=，1233BE PB a ==，1266NE PB a ==，22113CE CB BE a =+=……………10分 由NH CE ⊥，EB CB ⊥可知：NEH ∆∽CEB ∆， ∴NH CB NE CE =，代入解得：22aNH =．……………12分 在Rt AHN ∆中，22AN a =， ∴tan 11ANAHN NH ∠==，13cos 6111AHN ∠==+．……………13分 ∴二面角A CE P --的余弦值为36． ……………14分 19、解：()1当1n =时，11a s =，由11112s a +=，得123a =……………………1分当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 11112n n s a --=-， …………………2分∴()1112n n n n s s a a ---=- 即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n …………………………………………5分∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．…………………………………6分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅)(*∈N n …………………………………………7分()211123nn n S a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭()13131log 1log 13n n n b S n ++⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭……………9分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ …………………………………………11分 1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++…13分解方程11252251n -=+，得100n =…………………………………………14分 20、解：()1设00()M x y ，，则200x y =，2(04)C ，则2||MC ==1分==≥7()2M ，是取等号……3分∴||MN 的最小值为2||MC1-……………………5分()2由题设知，切线与x 轴不垂直，Q 200()P x x ，0(24)x ≤≤，∴设切线21200:()l y k x x x =-+，设221122()()A x x B x x ，，，，AB 中点()D x y ，，则122x x x +=将12l ，与1C 的方程联立消y 得22000x kx kx x -+-=即00()[()]0x x x k x ---=得0x x =（舍）或0x k x =- 设二切线的斜率为12k k 、，则110x k x =-，220x k x =-∴121202x x k k x +=+-………………………………………8分又2(04)C ，到12l ，的距离为11=，两边平方得222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=*L L “”………………9分 则12k k 、是*“”的二根，则20012202(4)1x x k k x -+=--………………………………10分 则200012120022002(4)62211x x x x x k k x x x x -+=+-=-=--- ∴020003311x x x x x =-=---……………………………………………………11分 Q 001x x -在0[24]x ∈，上为增函数 ∴00311524x x ≤-≤，∴004121153x x ≤≤-∴034215x x -≤-≤--………………13分∴x 的范围是4[2]5--，……………………………………14分21、解：()1()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞…………………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=…………………………2分由'()0f x =，解得1x =当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减 当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递增所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=………………4分()21()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞ 又22221(1)(1)[(1)]'()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+=--==…………………………5分 ①当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)x ∈+∞上'()0h x >所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增…………………………6分 ②当10a +>，即1a >-时，在(0,1)x a ∈+上'()0h x < 在(1,)x a ∈++∞上'()0h x >所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增……………………7分综上所述：当1a >-时，()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞ 当1a ≤-时，()h x 只有递增区间为(0,)+∞……………………8分 ()3若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <． 则函数1()ln a h x x a x x+=-+在[1,]e 上的最小值小于零……………………9分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由()2可知()h x 在[1,]e 上单调递减 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>- 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-……………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时，由（2）可知()h x 在[1,]e 上单调递增 故()h x 在[1,]e 上最小值为(1)h ，由(1)110h a =++< 可得2a <-（满足0a ≤）……………………11分 ③当11a e <+<，即01a e <<-时，由()2可知可得()h x 在[1,]e 上最小值为 (1)2ln(1)h a a a a +=+-+因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<∴2ln(1)2a a a +-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去……………………13分综上所述得2a <-，或211e a e +>- ∴实数a 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-U ……………………14分。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析一.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A ∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A． B． C． D．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B． C．D．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2xD．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数C．奇函数D．偶函数8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A． B．2 C．D．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．（2，+∞）D．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B 两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A ∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1，+∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．解答：解：由（2+i）z=1+2i，得，∴，则z的共轭复数所对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：从两个方向判断：一个是看能否得到△ABC为钝角三角形，另一个看△ABC为钝角三角形能否得到，这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件．解答：解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选A．点评：考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A． B． C． D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值，由裂项法求和即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤9，S=，i=2满足条件i≤9，S=+，i=3…满足条件i≤9，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值．由于S=++…+=（1﹣+﹣+﹣…+﹣）=×（1+）=．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求数列的和，综合性较强，属于基本知识的考查．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B． C．D．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，通过零点分区间的方法，对x 的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，再解即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，则f（x）=，∴当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔﹣2x﹣1≤4，∴﹣≤x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，有3≤4恒成立，当x≥1时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔2x+1≤4，∴1≤x≤．综上所述，不等式|x+2|+|x﹣1|≤4的解集为[﹣，]．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可以通过对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数解决，也可以利用绝对值的几何意义解决，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2xD．考点：简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数C．奇函数D．偶函数考点：函数的周期性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x）；从而说明周期是1即可．解答：解：由题意，f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=（x+1）﹣（[x]+1）=x﹣[x]=f（x）；故函数f（x）=x﹣[x]在R上为周期为1的周期函数，故选B．点评：本题考查了函数的周期性的判断，属于基础题．8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A． B．2 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：数形结合法；空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，求出该正方体的正视图面积的取值范围，定义ABCD选项判断即可．解答：解：根据题意，得；水平放置的正方体，如图所示；当正视图为正方形时，其面积最小=2；当正视图为对角面时，其面积最大为×=2．∴满足棱长为的正方体的正视图面积的范围为[2，2]．∴B、C、D都有可能，A中﹣1＜2，∴A不可能．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．（2，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．解答：解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角，∴AF＞EF∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴AF=，∵EF=a+c∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0解得＞2或＜﹣1双曲线的离心率的范围是（2，+∞）故选：C．点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解答：解：作出函数y=|f（x）|的图象如图：若a＞0，则|f（x）|≥2ax，若a=0，则|f（x）|≥2ax，成立，若a＜0，则|f（x）|≥2ax，成立，综上a≤0，故选：A．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为﹣0.61 ．考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：本题考查回归直线方程的求法．依据所给条件可以求得、，因为点（，）满足回归直线的方程，所以将点的坐标代入即可得到a的值．解答：解：依题意可得，==3.5，==4.5，则a=﹣1.46=4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61．故答案为：﹣0.61．点评：回归分析部分作为新课改新加内容，在高考中一直受到重视，从山东考题看，一般以选择题或填空题出现．本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x ﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．解答：解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180点评：本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B 两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．解答：解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（cos2A，cos2），且•=1，∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1，∴cosA=或cosA=﹣1，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意知a=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），∴3=12﹣2bc（1+cos），∴bc=3，∴S△ABC=bcsinA=×3×=，由，得b=c=，∵a=，∴△ABC为等边三角形．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分别求出其概率值，列出分布列，求出数学期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A，则；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，，，，，．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P∴，故所求的数学期望为．点评：本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望，熟练掌握公式是解题的关键，本题属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；综合题．分析：（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC，进而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．解答：解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME 与NC平行且相等．∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如设是平面ABN的一个法向量，则∴，令y=1∴设MN与面ABN所成角为θ则，化简得3λ2+5λ﹣2=0，λ=﹣2或由题意知λ＞0，∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设C方程为，利用顶点恰好经过抛物线的准线，求出b，根据椭圆经过点，求出a，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程代入，利用韦达定理，结合斜率公式，即可探索k1，k2，k3之间的关系式．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，∵抛物线的准线，∴…（1分）由点在椭圆上，∴，∴a2=4…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在．∵F（﹣1，0），∴设直线AB的方程为y=k（x+1），代入，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得．…（6分）由题意知M（﹣4，﹣3k），…（8分）∵y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），代人k1，k2得，∴…（10分）=…（12分）∴k1+k2=2k3…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答出．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ），先求出导函数，再分情况①当a≤0时②当0＜a ＜1时③当a=1时④当a＞1时进行讨论（Ⅱ）（1）由题意得到即h（x）≥0恒成立，分离参数，利用导数函数最小值即可．（2）当时，，转化为，分别令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放缩法，从而证得结论．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定义域为{x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①当a≤0时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②当0＜a＜1时，令h′（x）＞0，则x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；…（3分）③当a=1时，恒成立；④当a＞1时，令h′（x）＞0，则x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；…（4分）综上：当a≤0时，h（x）的增区间为（1，+∞），h（x）的减区间为（0，1）；当0＜a＜1时，h（x）的增区间为（0，a）和（1，+∞），h（x）的减区间为（a，1）；当a=1时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞1时，h（x）的增区间为（0，1）和（a，+∞），h（x）的减区间为（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由题意，对任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，显然当a＞0时，h（1）＜0，此时对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；…（8分）当a≤0时，，∴；综上：a的取值范围为．…（9分）（2）证明：由（1）知：当时，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，当且仅当x=1时等号成立．当x＞1时，可以变换为，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有==∴不等式恒成立．…（14分）点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，渗透了分类讨论的思想，属于难题．。
2020-2021学年最新高考总复习数学（理）高考仿真模拟试题及答案解析
2020-2021学年最新⾼考总复习数学（理）⾼考仿真模拟试题及答案解析参考公式：台体的体积公式V=)(312211S S S S h ++ 其中S 1,S 2分别表⽰台体的上、下底⾯积， h 表⽰台体的⾼锥体的体积公式Sh V 31=其中S 表⽰锥体的底⾯积，h 表⽰锥体的⾼球的表⾯积公式 S =4πR 2 球的体积公式3π34R V =其中R 表⽰球的半径最新普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学仿时卷选择题部分 (共40分)注意事项:1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号⽤⿊⾊字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题纸上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
柱体的体积公式Sh V =其中S 表⽰柱体的底⾯积，h 表⽰柱体的⾼⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求. 1．设全集U R =，集合1{|()2}2x A x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则( )A B =I （） A ．{|1x x ≤-或0}x ≥B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >-2、设a ∈R ，则“a=－32”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯，下列命题正确的是（）A.m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nB. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nC. m ⊥α， n ?β， m ⊥n ，则α⊥βD.m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β2cm B. 33cmC. 333cm D . 33cm5、已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x （）A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±6、等⽐数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(...),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（） A ．27 B ．81 C ．243 D.7297、在平⾯直⾓坐标系中，不等式??≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表⽰的平⾯区域的⾯积为8，则32+++x y x 的最⼩值为（）A ．1028-B ．246-C ．245-D ．3221(0,0)x y a b a b-=>>两渐近线上的点，A 、B 在y 轴上的射影分别为A 1、B 1，M 、N 分别是A 1A 、B 1B 、的中点，若AB 中点在双曲线上，且2,OM ON a ?≥-u u u u r u u u r则双曲线的离⼼率的取值范围为( )A.31,2??B.3[,)2+∞C. D.)+∞ ⾮选择题部分 (共110分)注意事项：1．⽤⿊⾊字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2020-2021学年高考总复习数学(理)毕业班质量检查模拟试题及答案解析
最新普通高中毕业班质量检查理科数学试题（满分150分 考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}12,A x x x =-≤∈Z ,2{|log (1),}B x y x x ==+∈R ，则A B =IA ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{1,1,2,3}- 2根据上表中的数据可以求得线性回归方程y bxa =+中的b 为6.6，据此模型预报广告费用为10 万元时销售额为A ．66.2万元B ．66.4万元C ．66.8万元D ．67.6万元3．阅读右边的程序框图，输出结果S 的值为 A ．1008- B ．1 C ．1-D ．04．已知a ∈R，i 是虚数单位，命题p ：在复平面内，复数121iz a =+-对应的点位于第二象限；命题q ：复数2i z a =-的模等于2，若p q ∧是真命题，则实数a 的值等于 A ．1-或1 B ．C ．．5．已知3cos(π)5α+=，π(,π)2α∈，则πtan()4α-=A ．17- B.7-C.17D.7 6．在等比数列{}n a 中，首项11a =，且3454,2,a a a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为A.921-B.362C.1021-D.4527．已知直线:1l x y -=与圆22:2210x y x y Γ+-+-=相交于A C ,两点，点B ,D 分别在圆Γ上运πcos2i S S =+动，且位于直线l 的两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 AB．CD．8．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的 三视图，则该几何体的体积为 A ．83B ．2C ．8D ．69．已知点1F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以12F F ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为B1C1D10．设点(,)x y 在不等式组1,1,40x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域上，若对于[0,1]b ∈时，不等式ax by b ->恒成立，则实数a 的取值范围是A ．2(,4)3B ．2(,)3+∞ C ．(4,)+∞ D ．(2,)+∞11．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P在正方形ABCD 的边上，射线OP 交球O 的表面于点M ．现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为B.D.12．已知函数4log 3(0),()1() 3 (0),4x x x x f x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩若()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，则12||x x -=A ．3ln 2-B ． 3ln 2C．D ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()sin 2f x x x a =--，若()f x 在[0,π]上的最大值为1-，则实数a 的值是_______． 14．在23(2)x x --的展开式中5x 的系数是（用数字作答）.15．已知平行四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，1,2AB AD ==,点P 是线段BC 上的一个动点，则AP DP ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________．16．在数列{}n a 中，已知2111,1n n n a a a a +>=-+*()n ∈N ，且1220151112a a a +++=L ，则当201614a a -取得最小值时，1a 的值为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ)若3π4ADC ∠=，求AD 的长； (Ⅱ)若2BD DC =，△ACDsin sin BADCAD∠∠的值．18. （本小题满分12分）微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用．某网络运营商对甲、乙两个（Ⅰ）如果抢到红包个数超过5个的手机型号为“优”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其它因素，要从甲品牌的5种型号中选出3种型号的手机进行大规模宣传销售． ①求在型号Ⅰ被选中的条件下，型号Ⅱ也被选中的概率；②以X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过5个的型号种数，求随机变量X 的分布列及数 学期望()E X ．参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AD PD ==，PA =，120PDC ∠=o ，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段AB 上． （Ⅰ）若12AF =，求证：CD EF ⊥； FEDCBA P（Ⅱ）设平面DEF 与平面DPA 所成二面角的平面角为θ， 试确定点F的位置，使得cos θ=20．（本小题满分12分）已知点P 是直线2y x =+与椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>的一个公共点，12,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知,A B 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点(0,),(0,)M m N n ，试判断mn 是否为定值，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x bx a =-+(,)a b ∈R ，21()12g x x =+． （Ⅰ）讨论()f x 在(1,)+∞上的单调性；（Ⅱ）设1b =，直线1l 是曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线，直线2l 是曲线()y g x =在点22(,())Q x g x 2(0)x ≥处的切线．若对任意的点Q ，总存在点P ，使得1l 在2l 的下方，求实数a的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙1O 与⊙2O 相交于,A B 两点，过点A 作⊙1O 的切线交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙1O ，⊙2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P ． （Ⅰ）求证:AD ∥EC ；（Ⅱ）若AD 是⊙2O 的切线，且6PA =，2PC =，9BD =，求AD 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求||||OA OB ⋅的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||21|f x x a x =-+-()a ∈R ． （I ）当1a =时，求()2f x ≤的解集；（II ）若()|21|f x x ≤+的解集包含集合1[,1]2，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1. B2. A3. D4. D5. B6. D7.A8. B9. C 10.C 11.A 12.D 二、填空题：13. 1 14. -3 15. 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16.54三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解法一：(Ⅰ) 在三角形中，1cos ,3B =Q sin B ∴=…………2分在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,又2AB =，4ADB π∠=，sin B =83AD ∴=. …………5分 (Ⅱ) 2BD DC =Q ,2ABD ADC S S ∆∆∴=,3ABC ADC S S ∆∆=, …………6分又ADC S ∆=，ABC S ∆∴=， …………7分 1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠Q ,6BC ∴=， …………8分 1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠Q ，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 2ABD ADC S S ∆∆=sin 2sin BAD ACCAD AB∠∴=⋅∠， …………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．AC ∴=， …………11分sin2sin BAD AC CAD AB∠∴=⋅=∠． …………12分解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)2BD DC =Q ,3ABC ADC S S ∆∆∴==, 又1sin 2ABD S AB BC ABC ∆=⋅∠Q ,6BC ∴=， 4,2BD CD ∴==． …………8分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．AC ∴=， …………9分在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， 即sin sin 2sin BD ADBBAD ADB AB⋅∠∠==∠，同理在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADC CAD AC ⋅∠∠==…………11分 又Q sin ADB ∠=sin ADC ∠，sin 2sin sin sin BAD ADBADC CAD∠∠∴==∠∠． …………12分18． 解：（Ⅰ）根据题意列出22⨯列联表如下：2分()22104910250.4 2.07255552525K -⨯===<⨯⨯⨯⨯，所以没有85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关．………………4分 （Ⅱ）①令事件C 为“型号I 被选中”；事件D 为“型号II 被选中”，则1234335533(),()510C C P C P CD C C ====,所以()1()()2P CD P D C P C ==．………………6分 ②随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,………………7分()1232353110C C P X C ⋅===；()122335325C C P X C ===； ()33351310C P X C ===．………………10分故X 的分布列为()123 1.810510E X ∴=⨯+⨯+⨯=………………12分19．解：（Ⅰ）在PCD ∆中，2PD CD ==，∵E 为PC 的中点，∴DE 平分PDC ∠，60PDE ︒∠=,∴在Rt PDE ∆中，cos601DE PD ︒=⋅=，…………2分过E 作EH CD ⊥于H ，则12DH =，连结FH ，∵12AF =，∴四边形AFHD 是矩形， ………………4分 ∴CD FH ⊥，又CD EH ⊥，FH EH H =I ，∴CD ⊥平面EFH ，又EF ⊂平面EFH ，∴CD EF ⊥． ………………5分（Ⅱ）∵2AD PD ==，PA =AD PD ⊥，又AD DC ⊥，∴AD ⊥平面PCD ，又AD ⊂平面ABCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ． ………………6分 过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，则由平面PCD ⊥平面ABCD 知，DG ⊥平面ABCD ， 故,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，以,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -， ………………7分 则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,P -，又知E 为PC 的中点，E 1(0,,22，设(2,,0)F t ，则1(0,2DE =u u u r ，(2,,0)DF t =u u u r ， (0,DP =-u u u r ，(2,0,0)DA =u u u r．…………8分 设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ∴111110,2220,y z x ty ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 取12z =-，可求得平面DEF 的一个法向量(,2)=-n ， ………………9分设平面ADP 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,DP DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m 所以2220,20,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩取=m ． ………………10分∴cos cos ,4m n θ=<>==u r r ，解得43t = H PA B C D EF x∴当43AF =时满足cos θ=． ………………12分20． 解法一：（Ⅰ）将2y x =+代入椭圆方程2221x y a+=，得2222(1)430a x a x a +++=， ………………1分Q 直线2y x =+与椭圆有公共点，∴422164(1)30a a a ∆=-+⨯≥，得23a ≥，a ∴≥． ………………3分 又由椭圆定义知122PF PF a +=，故当a =12PF PF +取得最小值，此时椭圆C 的方程为2213x y +=.………………4分（Ⅱ）设111100(,),(,),(,)A x y B x y Q x y -，且(0,),(0,)M m N n ，Q QA QM k k =，010010y y y m x x x --∴=-，即001001()x y y y m x x --=-，0m y ∴=-00101()x y y x x --=011001x y x y x x --． ………………6分同理可得n =011001x y x y x x ++． ………………8分222201100110011022010101x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-∴=⋅=-+-， ………………10分又220013x y +=，221113x y +=，220013x y ∴=-，221113x y =-， 22220122010122220101(1)(1)331x x x x x x mn x x x x ----∴===-- 则mn 为定值1． ………………12分 解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作1F 关于直线2y x =+的对称点1F '， 连结12F F '交直线于点P 时，12PF PF +取得最小值，此时满足1212122PF PF PF PF F F a ''+=+==． ………………1分 设点12(,0),(,0)F c F c -，可求得点1(,0)F c -关于直线的对称点1F '的坐标为()2,2c --+，∴122F F a '==2a ， ………………3分 又221c a =-，解得23a =，此时椭圆C 的方程为2213x y +=． ………………4分（Ⅱ）同解法一．21．解：（Ⅰ）由()ln f x x x bx a =-+，所以()ln 1f x x b '=+-，因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >， …………………1分①当10b -≥，即1b ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增．…………………2分 ②当10b -<，即1b >时，令()ln 10f x x b '=+-=，得1e b x -=， 当1(1,e )b x -∈时，0ln 1x b <<-，所以()0f x '<； 当1(e ,+)b x -∈∞时，ln 1x b >-，所以()0f x '>，所以()f x 在1(1,e )b -上单调递减，在1(e ,+)b -∞上单调递增． …………………4分． （Ⅱ）由()ln f x x x x a =-+，得()ln f x x '=， 所以曲线()y f x =在点11(,())P x f x 处的切线1l 的方程为111ln ()y y x x x -=-，即11ln y x x x a =-+． …………………5分由21()12g x x =+，得()g x x '=，所以曲线()y g x =点22(,())B x g x 2(0)x ≥处的切线2l 的方程为222()y y x x x -=-，即2222112y y x x x -=-+． …………………6分要使直线1l 在直线2l 的下方，当且仅当12212ln ,112x x a x x =⎧⎪⎨-<-+⎪⎩恒成立， 即222112x a e x <-+2(0)x ≥恒成立． …………………8分设21()1(0)2x x e x x φ=-+≥，则()x x e x φ'=-，令()xt x e x =-，则()1x t x e '=-，当[0,)x ∈+∞时，()(0)0t x t ''≥=，所以()x t x e x =-在[0,)+∞上是增函数， …………………10分 则()(0)10t x t ≥=>，即当[0,)x ∈+∞时，()0x φ'>， 也就是21()12x x e x φ=-+在[0,)+∞上是增函数， 所以21()12x x e x φ=-+在0x =处取得最小值为2， 综上可知，实数a 的取值范围是2a <． .....................12分 22．解：（Ⅰ）连接AB ，∵AC 是⊙1O 的切线，∴BAC D ∠=∠， (3)分又∵BAC E ∠=∠，∴D E ∠=∠，∴AD ∥EC ． ………………5分 （Ⅱ）设BP x =，PE y =，∵6PA =，2PC =，∴12xy =，① ………………6分 ∵AD ∥EC ，∴962DP AP x PE PC y +=⇒=， ∴39x y =-,②………………7分由①②可得，34x y =⎧⎨=⎩或⎩⎨⎧-=-=112y x （舍去）………8分∴916DE x y =++=， ∵AD 是⊙2O 的切线，∴2916AD DB DE =⋅=⨯， ………………9分 ∴12AD =. ………………10分23．解：（Ⅰ）由1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=， 所以1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． ………………3分 由2cos sin ρθθ=得22cos sin ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．………5分（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=， …………6分且tan k α=∈， 联立2cos ,ρθθα=⎧⎨=⎩得1||2cos OA ρα==， ………………7分 联立2cos sin ,ρθθθα⎧=⎨=⎩得22sin ||cos OB αρα==， ………………9分 所以122sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k αρρααα⋅=⋅=⋅==(2,∈， 即||||OA OB ⋅的取值范围是(2,． ………………10分 解法二：（Ⅰ）同方法一．（Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，其中t 为参数， 将cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩代入1C :2220x y x +-=，得22cos 0t t α-=， 设点A 对应的参数为A t ，则2cos A t α=， ………………7分同理，将cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩代入2y x =，得22sin cos t t αα=， 设点B 对应的参数为B t ，则2sin cos B t αα=， ………………9分 所以2sin ||||2cos 2tan 2cos A B OA OB t t k αααα⋅=⋅=⋅==，∵k ∈，∴||||OA OB ⋅的取值范围是(2,． ………………10分24. 解：（I ）当1a =时，()|1||21|f x x x =-+-，()2f x ≤⇒|1||21|2x x -+-≤， 上述不等式可化为1,21122,x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,21212,x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1212,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1,20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或11,22,x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或1,4.3x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩………………3分 ∴102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， ∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤. ………………5分（II ）∵()|21|f x x ≤+的解集包含1[,1]2， ∴当1[,1]2x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立， ………………6分 即|||21||21|x a x x -+-≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，∴||2121x a x x -+-≤+， 即||2x a -≤，∴22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在1[,1]2x ∈上恒成立， ………………8分 ∴max min (2)(2)x a x -≤≤+， ∴512a -≤≤，∴a 的取值范围是5[1,]2-．………………10分。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)5月模拟联考试题及答案解析.docx
普通高中联考 理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x 2≤x}，则M ∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}2.在复平面内，复数Z 满足()i i z 311+=+，则Z 的共轭复数对应的点位于 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（ ） A ．65 B ．70C ．130D ．2604．给出下列四个结论，其中正确的是 ( )A ．若11a b>，则a<b B ．“a=3"是“直线l 1：2310a x y +-=与直线l 2:320x y -+=垂直”的充要条件C ．在区间[0，1]上随机取一个数x ，sin2x π的值介于0到12之间的概率是13D ．对于命题P ：x ∃∈R 使得21x x ++<0，则P ⌝：x ∀∈R 均有21x x ++>05.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．π65 D ．6π6．在△ABC 中，若(2)0AB ABAC ?=u u u r u u u ru u u r，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7.设x,y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+=（ ） A.4B.83C.113D.2568. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）232俯视图正视图A. -20B. 52 C. -192 D. -16010．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，∠ABC=120°，AB=BC=1，三棱锥O —ABC 的体积为54，则球O 的表面积是（ ）A ．64πB ．16πC ．323π D ．544π11．定义在R 上的函数()f x 满足f （1）=1，且对任意x ∈R 都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（ ） A ．（1，2） B ．（－∞，1） C ．（1，+∞） D ．（－1，1）12.过椭圆14922=+y x 上一点H 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为( ) A.21B. 32C. 1 D. 34 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年高考总复习数学(理)毕业班综合测试及答案解析一
最新普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
（1）已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z }，则(A)M N ⊆ (B) N M ⊆ (C) {}0M N =I (D) M N N =U（2）已知复数z =3i1i ++，其中i 为虚数单位， 则z =(A)12(B) 1 (C) 2 (D)2 （3）已知cos 1123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A)13 (B)223 (C)13- (D)223-（4）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D)0.16（5）不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(),a b D ∈, 则23z a b =-的最小值是(A) 4- (B) 1- (C) 1 (D) 4（6）使231(2nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6（7）已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数()f x 的单调递减区间是(A)32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B)52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (C) 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z )(D)5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) （8）已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为 (A)169π (B)163π (C)649π (D)643π（9）已知命题p ：x ∀∈N *,1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *,122x x-+=则下列命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D)()()p q ⌝∧⌝（10）如图, 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是(A)46+π (B)86+π (C) 412+π (D)812+π（11）已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为(A)4λ (B) 2λ(C) λ (D) 无法确定 （12）设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为(A)7 (B) 6 (C) 3 (D) 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)毕业班模拟测试题及答案解析.docx
2019届高中毕业模拟试卷理科数学(考试时间 120分钟 满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|(2)0},{2,1,0,1,2}A x x x B =-≤=--,则A B I = A. {2,1}-- B. {1,2} C. {1,0,1,2}- D. {0,1,2} （2）已知11zii i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于 A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限（3）已知向量(,),(1,2),a x y b ==-r r 且(1,3)a b +=r r ，则|2|a b -=r rA.1B.3C.4D.5（4）已知命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是 A. p q ∧ B.()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. ()()p q ⌝⌝∧（5）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点F 到渐近线的距离为2a ,则该双曲线的离心率等于A.2B. 3C. 5D.3（6）已知函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图像如图所 示，0()(0)f x f =-，则正确的选项是 A.0,16x πϕ== B. 04,63x πϕ==C. 0,13x πϕ== D. 02,33x πϕ==D 1C 1B 1A 1DCBA（7）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 A. 2- B.12C. 1-D. 2（8）在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面 积小于π的概率为 A.14B.12C.34D. 4π（9）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A.2B.4C.25+D.425+（10）如图所示，直四棱柱1111ABCD A B C D -内接于半径为3的半球O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的取值范围是 A. 1 B.2 C.3 D. 2（11）已知函数21,0,()(2),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩为R 上的单调区间，则实数a 的取值范围是A. [1,0)-B.(0,)+∞C.(2,0)- D. (,2)-∞-俯视图侧（左）视图1122正（主）视图（12）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知2,sin 3sin c A B ==，则ABC ∆的最大值为 A.32B. 3C.2 D. 2二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）（13）若,x y 满足约束条件0,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值是.（14）41(1)(1)x x-+的展开式中含2x 项的系数为.（15）已知正实数,x y 满足xy x y =+，若2xy m ≥-恒成立，则实数m 的最大值是.（16）过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，作,AC BD 垂直抛物线的准线l 于,,C D 其中O 为坐标原点，则下列结论正确的是.（填序号）①AC CD BD BA +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ;②存在R λ∈,使得AD AO λ=u u u r u u u r成立； ③0FC FD •=u u u r u u u r;④准线l 上任意一点M ，都使得0AM BM •>u u u u r u u u u r.三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,4 3.3n n n a S S a +==++ （Ⅰ）证明：{1}n a +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和为n S .PEDCBA（18）（本小题满分12分）如图，正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为4，4,PD E =为PA 的中点， （Ⅰ）求证：平面EBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值.（19）（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：年份 2011 2012201320142015居民生活用水量（万吨）236 246 257 276 286（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y bx a =+；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量.A参考公式：1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，动点M 到点F （1,0）的距离与它到直线2x =的距离之比为22.（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y kx m m =+≠与曲线E 交于A,B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C,D 两点（且C,D 在A,B 之间或同时在A,B 之外）.问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由. （21）（本小题满分12分）已知函数ln ()().x f x mx m R x =-∈（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的零点个数；（Ⅱ）当0m ≥时，求证：函数()f x 有且只有一个极值点； （Ⅲ）当0b a >>时，总有()()1f b f a b a->-成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （22）（本小题满分10分）如图，AB 为O e 的直径，过点B 作O e 的切线BC ，OC 交O e 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D. （Ⅰ）求证：2.CE CD CB =•（Ⅱ）若122,5AB BC ==,求CE 与CD 的长.（23）（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）和cos 1+sin x y ββ=⎧⎨=⎩（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线=OM θα：与圆1C 的交点为,O P ,与圆2C 的交点为,O Q ，求|OP||OQ|•的最大值.（24）（本小题满分10分） 已知函数()||||.f x x a m x a =-++（Ⅰ）当1m a ==-时，求不等式()f x x ≥的解集； （Ⅱ）不等式()2(01)f x m ≥<<恒成立时，实数a的取值范围是{|33}a a a ≤-≥或，求实数m 的集合.。
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历年模拟、联考试题汇编及答案解析（理科）1．【2015新余一中毕业年级第二次模拟】某城市2013年的空气质量状况如下表：其中污100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为( )．A.35B ．1180 C.119 D ．56【答案】A【解析】由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.2.【重庆市巴蜀中学2015届高三模拟考试】从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )． A.110 B.310 C.35D.910 【答案】D【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为910，故选D.法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－110＝910，故选D. 3.【2015届安徽省黄山市高三第一次质量检测】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】从5个点中，任取2个点，有2510C 种方法，其中2个点之间的距离不小于该正方形边长的情况有4个边长和2个对角线长共6种情况，所以所求的概率为63105=，则选A.4.【2015届河北省唐山一中等五校高三第二次联考】在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（ ）A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 【答案】B【解析】∵22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴0,2a b a b >><，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()111132115222=1-2432S P S ??创==´阴影矩形，故选B ． 5. 【2015·湖北省八校联考】公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________【解析】∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L Ω=20，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则L A =56.【石室中”模拟考试】从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是．【解析】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有（1、2），（1、3），（1、4），（1、5），（2、3），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），（4、5），共10种情况，其中这两个数的和为5的有（1、4），（2、3），共2种；则取出两个数的和为5的概率故答案 7.【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试全运会年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是_______．【解析】设“至少有一名A 大学志愿者”为M ，从6名志愿者抽2人有2615C =，事件M 包含有24159C -=个8.【江西师大附中等五校2015届,(,1),(2,4),||4,k Z AB k AC AB ABC ∈==≤∆u u u r u u u r u u u r若则 是直角三角形的概率是 。
【解析】因又因为k Z ∈，所以{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，在ABC V 中()2,3BC AC AB k =-=-u u u r u u u r u u u r，若为直角三角形可得.0,.0,.0,AC AB AB BC AC BC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2,3,1,8k k k k =-==-=，满足条件的有3个，所以所求概率为37.故答案为37. 9.【2015届湖北省武汉市武昌区高三调考】已知函数x b x a x x f 223)1(31)(+--=，其中}4,3,2,1{∈a ，}3,2,1{∈b ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为__________.【答案】34【解析】22'21f x x a x b =--+（）（），若函数)(x f 在R 上是增函数，则对于任意'0x R f x ∈≥，（）恒成立．所以224140a b =--≤V （），即()221a b -≤，全部试验结果为：4312⨯=，满足()221a b -≤的有当1a =时，1,2,3b =，当2a =时，1,2,3b =，当3a =时，2,3b =，当4a =时，3b =，共有33219++++=，所以所求概率为：93124=.故答案为34. 10.【2015湖北武汉部分中学联考】如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为．11.【2015届湖南省衡阳市八中高三模拟考试】5. 设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于( ) A ．73 B ．53C ．5D ．3 【答案】A【解析】由正态曲线的对称性知(23)(2)23a a -++=⨯, 73a ∴=. 12. 【辽宁省沈阳市2015年高三教学质量监测】 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为（ ） A ．536 B ．2936 C ．736D ．13【答案】C【解析】3221221227(1)(1)(1)(1)43343343336⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯-⨯=13．【湖北省武汉市2015届高三调考】设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，3，若随机变量X 的数学期望EX ＝2，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243 C.13243D.80243【答案】D【解析】∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，∴EX ＝n 3＝2.∴n ＝6.∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.14. 【南昌二中2014—2015学年度高三模拟考试】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )．A.18B.14C.25D.12 【答案】 B【解析】 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝110410＝14.15. 【重庆市重庆一中2015届高三模拟考试】袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（ ）A.35B.34C. 12 C.310 【答案】C【解析】记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知P (A )＝35，P (AB )＝35×24＝310，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P (B |A )＝12.16.【2015届山东省莱芜市莱芜一中高三模拟考试】某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是 A. 4310-⨯ B. 5310-⨯C. 6310-⨯D. 7310-⨯【答案】B【解析】由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题， 根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对9道题的概率为选B17. 【安徽省皖南八校2015届高三第一次联考】某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N (1000,402)，则此县农民月均收入在1000元到1080元间人数的百分比为________．【答案】47.72%【解析】P (1000<ξ≤1080)＝12P (920<ξ≤1080)＝12P (1000－80<ξ≤1000＋80)＝12×0.9544＝0.4772. 18.【2015届山西省太原五中模拟考试】设随机变量(1,4)X N :，若()()p X a b p X a b ≥+=≤-，则实数a 的值为【答案】1【解析】由()()p X a b p X a b ≥+=≤-，得，得1a =19.【2015届湖南省长郡中学高三模拟考试】已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E （X ）=A B ．2 C D ．3【答案】A【解析】由数学故选择A. 20．【广东湛江市2015届高中则)(X D =（ ）【答案】C【解析】由0.20.21y ++=得0.6y =， ∴数学期望3100.210.230.62i ii EX X P ===⨯+⨯+⨯=∑，∴方差322221()(())(02)0.2(12)0.2(32)0.6 1.6i i i D X X E X P ==-=-⨯+-⨯+-⨯=∑故选C.21.【福建省泉州五校2015届高三联考】已知P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝0)＝13，P (ξ＝－1)＝13，则D (ξ)等于( )．A ．2B ．4C ．1 ．23【答案】C【解析】由0.20.21y ++=得0.6y =， ∴数学期望3100.210.230.62i ii EX X P ===⨯+⨯+⨯=∑，∴方差322221()(())(02)0.2(12)0.2(32)0.6 1.6i i i D X X E X P ==-=-⨯+-⨯+-⨯=∑故选C.22.【2015届四川省绵阳中学高三模拟考试】某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概）A.()1P ξ=B.()1P ξ≤C.()1P ξ≥D.()2Pξ≤【答案】B选B.23.【2015新余一中高三模拟】在电视台举行的十八大知识竞赛中，答对一题得1分，弃权得0分，答错扣1分.甲队答其中一题的得分X 的分布列如下：若EX ＝13，则DX 的值是( )A.49B.59C.23D.95【答案】B【解析】 a ＋13＋c ＝1得 a ＋c ＝23.由EX ＝13得13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12.DX ＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.24.【重庆市重庆一中2015届高三模拟考试】若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则E ξ的最大值为________【答案】12【解析】E ξ＝2p －12≤12 (0≤p ≤12)25. 【广东惠州市2015届高三调研】某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得1 0分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率乙答对每个题的 若甲的最后得分为X ，则X 的分布列. 【答案】【解析】X 的取值可为：0，10，20，30，40.分112(10)1339P X 骣÷ç==?=÷ç÷ç桫， 2112(20)13327P X 骣骣鼢珑==-=鼢珑鼢珑桫桫， 3112(30)13381P X 骣骣鼢珑==?=鼢珑鼢珑桫桫， 411(40)381P X 骣÷ç===÷ç÷ç桫. X \的分布列如下： X10203040P23 29 227 281 18126.【2015届四川省绵阳市高三二诊】2014年11月12日，科幻片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1） 求从这12人中随机选取2人，至少有1人为“满意观众”的概率；（2） 以本次抽样的频率作为概率，从整个绵阳市观看此影片的观众中任选3人，记x 表示抽到“满意观众”的人数，求x 分布列及数学期望。