重力场数据处理中小波母函数的选择

第25卷第6期物　探　与　化　探Vol.25,No.6 2001年12月GEOPHYSICAL&GEOCHEMICAL EXPLORA TION Dec.,2001重力场数据处理中小波母函数的选择

李健1,周云轩1,2,许惠平1

(1.长春科技大学地学信息系统研究所,吉林长春　130026;　2.中国科学院长春

地理研究所,吉林长春　130021)

摘要:在分析小波分析技术的本质和小波母函数性质的基础上,考虑待分析信号的特性,从而给出

一种小波母函数的选取方法。利用上述方法选取的小波母函数进行小波分析将获得较优的效果。

关键词:小波分析;小波母函数;正则性;消失矩;重力场

中图分类号:P631.1 文献标识码:A 文章编号:1000Ο8918(2001)04Ο0410Ο08

小波分析作为调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶,因其在时间域和频率域都具有表征信号局部特征的能力,已在信号处理、图像处理、量子场论、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形、数字电视、地震勘探[1]以及地球物理位场数据处理等科技领域得到广泛应用。

在位场数据处理中,小波分析的应用集中在异常识别、异常分离、信号去噪、重磁下延、反演成像等方面。胡宁[2]将小波变换应用到分解重力异常中,通过东昆仑地区实际资料处理,认为这种方法在重力资料处理解释中,具有快速、简捷的特点。李宗杰等[3]将小波变换引入位场信号处理,利用小波分析理论将重磁异常进行分解、滤波、重建,从而提取区域异常和局部异常,尤其是提取微弱信号作用明显,显著提高了信噪比。他们证明二维小波变换对于提取面积性区域异常、局部异常及消除高频弱磁干扰具有重要意义[4]。Li Y[5]应用小波变换快速反演大型磁数据,恢复三维磁化率。何继善,温佩琳等[6]在频率域电磁测深静态效应的自动识别和压制、重磁异常分离的高精度方法、电阻率函数的奇异性分析和深度反演等方面成功地应用了小波分析理论。侯遵泽,杨文采等[7]利用小波分析方法原理,在对中国布格重力异常多尺度分解的基础上[8],反演了各种尺度意义下中国大陆地壳的密度差异,给出中国大陆地壳中相对密度差异的空间分布,为研究中国大陆地壳构造,进行深部地质研究提供了新结果。David A.Chapin[9]为解决位场解释中的干扰问题,把小波变换滤波器引入位场数据处理,克服了常规滤波技术的弱点。王刚等[10]采用小波分析方法对山东胜利油区的航磁异常进行了分析处理。M.Fedi和T.Quarta[11]把离散小波变换应用到位场区域剩余分离和局部异常的过滤。作者对合成数据和真实数据分别用Fourier分析和小波分析进行处理,其结果表明小波分析方法处理的效果明显优于Fourier分析的处理的效果。T.A.Ridsdill2Smith和M.C.Den2 tith[12]研究了离散小波变换在航磁数据处理中的应用,指出标准算子诸如水平和垂直导数算子,任意阶积分算子和Hilbert变换算子能在小波域中被对角化。此外DWT不仅保持了信号

收稿日期:2000Ο09Ο25;修回日期:2000Ο10Ο27

基金项目:国家高科技发展计划海洋领域青年基金(820ΟQΟ14)、教育部“高等学校骨干教师资助计划”、位场最优化小波分层技术及在南海莺———琼盆地的应用(1999018704)资助

成分的空间位置,而且能够智能化地在某一给定频段内区分噪声和信号。随着小波分析技术在重力场数据处理中应用的深入与小波分析中所用到的小波母函数的不唯一性(即小波母函数具有多样性),如何选择一个最优或较优的小波母函数是小波分析在位场数据处理中的一个热点和难点。通过小波母函数的膨胀和平移,得到一小波序列,并用其逼近信号,以达到分析信号的目的,根据小波母函数的主要性质和小波分析技术的基本思想,提出一种选择小波母函数的方法———通过判断小波母函数与所感兴趣的子信号的相似性来选取小波母函数。1　小波分析的实质[13,14]

Fourier 分析将平稳信号分解成谐波的组合。与之类似,小波分析则将非平稳信号分解成各种小波的组合,而且根据小波变换的反演公式[15]可对信号进行反演运算。实际上,小波变换是一种转换信息的工具,在信息转换的处理过程中,不会造成信息的损失,小波变换只是获得了信息的新的等价描述。由于小波母函数具有极其灵活的可选择性,因此在进行信号分析时,就可以通过选择不同的小波母函数,使相应的小波变换能够尽量突出信号中包含的我们感兴趣的某些信息,或使之便于提取,或使其数值比较特殊,同时隐藏或淡化其它信息,使之不被损失,从而保证了进一步的分析。

但并非所有的小波母函数都适合于位场数据处理,小波母函数的选取对位场数据处理的结果有很大的影响。

2　小波母函数的主要性质

2.1　支撑长度

所谓支撑是指小波母函数在无穷远处的衰减状况。如果小波母函数在无穷远处很快就衰减为零,则它具有有限支撑。

2.2　对称性[16]

小波母函数的对称性直接影响信号的重构。如果具有对称性,则在重构算法中,失真就能避免,重构信号就能给出原始信号的一个很好逼近。尤其在图像压缩中,对称性尤为重要,这是因为:①图像通常是以对称的方式来处理的;②人的视觉边缘对于对称量化误差更容易忍受;③对称滤波器具有线性相位性质,能够更好地恢复原来的图像。

2.3　正则性(光滑性)[17]

正则指时间连续的小波母函数至少是连续的,或者更好一点,是一阶或二阶连续可微的。正则序(regularity order )是连续可微的次数,因而小波母函数的正则序是小波母函数逼近的光滑性的量度,正则性越好收敛越快。

2.4　消失矩[18]

若Ψ(x )满足∫

x l Ψ(x )d x =0,　l =0,1,…,k -1,即Ψ(x )有k 个连续的零点,那么消失矩(vanishing moments )为k ,小波的消失矩的大小决定了用小波逼近光滑函数时的收敛率。此外较高的消失矩使我们能够研究函数的高阶变化和某些高阶导数中可能的奇异性。

然而,在实际处理中,不存在既有紧支撑、正交、对称又有很好的正则性和消失矩的小波母函数。考虑地球物理位场数据的特性,一般要求小波母函数具有紧支撑性,然而支撑长度越短,光滑度就越小,二者相互矛盾(这与海森堡测不准原理[19]是统一的)。另外,除haar 小波外,不存在正交对称小波,而haar 小波的局部性能很坏。因而正交性和对称性也是一对矛盾。・114・6期李健等:重力场数据处理中小波母函数的选择